modulo de analisis vectorial

2014-1

1 Fsica Cero | Departamento de ciencias

Los cuaterniones vienen de Hamilton y han sido una maldicin pura para quienes, de alguna

forma, los han tocado. El vector es un

sobreviviente intil y jams ha sido de la ms mnima utilidad para ningn ser viviente.

Lord Kelvin

01. PRELUDIO

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES En Fsica, ciertos fenmenos en estudio requieren de magnitudes que posean una cualidad de direccionalidad y sentido. Por ejemplo, si se tratase del movimiento de un automvil, y que la informacin respecto a su movimiento sea la siguiente: Inf. 1: El automvil se va a desplazar 10 m. La informacin suministrada es incompleta, puesto que, el automvil tiene infinitas posibilidades de movimiento, en el sentido que se puede mover a cualquier punto de una circunferencia de 10 m de radio con centro en su posicin actual:

Si la informacin respecto al automvil fuese la siguiente: Inf. 2: El automvil se va a desplazar 10 m en direccin vertical. La informacin suministrada esta vez, reduce el nmero de posibilidades de la inf. 1, de infinito a slo dos:

Pero an as, la informacin sigue siendo incompleta. Ahora, si la informacin fuese: Inf. 3: El automvil se va a desplazar 10 m en direccin vertical hacia adelante.

La informacin es completa, sabremos con certeza donde ser la posicin final del automvil. La magnitud fsica utilizada en este ejemplo es llamada desplazamiento y necesita de una cualidad de direccionalidad y sentido aparte de un valor (en el ejemplo el valor era 10 m) para describirse completamente en el fenmeno de movimiento. De esta manera se distinguen dos grandes grupos de magnitudes de acuerdo a si su naturaleza requiere de una cualidad direccional y sentido o no:

MAGNITUDES ESCALARES: No poseen una cualidad de direccionalidad y sentido. Son descritas completa y nicamente por su valor (valor numrico + unidad) cuyo nmero se expresa a travs de un objeto matemtico denominado escalar.

MAGNITUDES VECTORIALES: Poseen una cualidad de direccionalidad y sentido. Son descritas completamente con su valor, direccin y sentido expresadas a travs de un objeto matemtico denominado vector.

Ejemplo 1. Algunas magnitudes escalares y vectoriales. MAGNITUDES ESCALARES: Tiempo, masa, distancia, energa, temperatura, cantidad de sustancia, potencial gravitatorio, presin, potencial elctrico, carga elctrica, ngulo plano, ngulo slido, rea, etc. MAGNITUDES VECTORIALES: Velocidad, aceleracin, fuerza, momento de una fuerza o torque, cantidad de movimiento, campo elctrico, campo magntico, potencial vector, vector rea, etc.

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02. VECTORES

DEFINICIN DE VECTOR Un vector es un objeto geomtrico que posee un tamao, una direccin y un sentido. Se le representa de forma grfica como un segmento dirigido (rayo) con un punto inicial (P) y un

punto terminal (Q), siendo su denotacin . Donde L es la recta que contiene al vector. Otras denotaciones para un vector pueden ser: una letra con una flecha en su parte superior

( v etc. ), una letra con una semiflecha en su

parte superior ( v etc. ) o tambin se le puede representar con negrita (R, v, F, etc.). CARACTERIZACIN DE UN VECTOR Un vector se caracteriza por poseer siempre:

MDULO O NORMA: Es el tamao del vector. Fsicamente, representa el valor o medida de la magnitud vectorial con sus respectivas unidades. Sea un vector a , su mdulo se denota por a o a. Un vector con mdulo igual a 1 es un vector unitario. Un vector con mdulo 0 es un vector nulo.

DIRECCIN: Esta dada por la orientacin (ngulo) que posee la recta que contiene al vector respecto a un sistema de referencia.

SENTIDO: Viene dado por la ordenacin de los puntos inicial y terminal (P y Q). Grficamente la punta del la flecha indica el sentido del vector.

Otras caractersticas que puede poseer son: PUNTO DE APLICACIN: Est determinado

en el punto inicial del vector (P). LNEA DE ACCIN: Est determinada en la

recta que contiene al vector (L).

Ejemplo 2. Caractersticas de un vector fuerza. REPRESENTACIN DE UN VECTOR EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Un vector se determina y representa a travs de un sistema de coordenadas. Un sistema de coordenadas es un sistema de referencia que posee ejes y un origen. Existen varios sistemas de coordenadas como: el sistema de coordenadas cartesianas, clndricas, esfricas, esferoidales oblatas, esferoidales prolatas, parablicas, elpticas, hiperblicas, etc. En nuestro estudio slo incluiremos el sistema de coordenadas cartesianas. Los vectores en un sistema de coordenadas cartesianas se pueden representar de tres formas: FORMA GEOMTRICA: Se representa con la

grfica de un rayo (flecha). FORMA ANALTICA: Como las coordenadas

de un punto en el sistema coordenado. FORMA RECTANGULAR: Como funcin de

vectores unitarios especiales. FORMA POLAR: Como funcin del mdulo y

la direccin del vector. El sistema de coordenadas cartesianas es un sistema de referencia compuesto por uno, dos o tres ejes, dependiendo de si el sistema cartesiano es unidimensional, bidimensional o tridimensional.

SISTEMA DE COORDENADAS , LINEAL O UNIDIMENSIONAL: Corresponde a una sola dimensin, que se representa con un eje, que puede ser llamado eje X, y en el cual se definen un origen O, que coincide con el nmero cero, y un vector unitario . Se le denomina tambin recta OX de

MDULO

SENTIDO

PUNTO DE APLICACIN LNEA DE

ACCIN

P Q L

DIRECCIN

= 10 N

El vector fuerza de la figura de adjunto tiene las siguientes caractersticas: MDULO:

DIRECCIN: 30 respecto a la recta X de referencia. SENTIDO: El que indica la punta de la flecha.

30

10 N

X

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coordenadas o en ocasiones, ecta eal o ecta ca tesiana. En este sistema un vector se representa de las siguientes formas: FORMA GEOMTRICA:

FORMA ANALTICA: Con una coordenada. a = A = (xA)

FORMA RECTANGULAR: En funcin del vector :

a = =

MDULO: Est dado por: a = a =

DIRECCIN: Su direccin es la del eje X, con sentido positivo (+) si el vector apunta a la

derecha, o negativo ( ) si apunta a la izquierda.

FORMA POLAR: No tiene.

Ejemplo 3. Vector unidimensional. La posicin de un mvil sobre una recta respecto a un origen O est dada por un vector denominado vector posicin o radiovector. Sea que el mvil est en el punto P, determinado por la coordenada x = +2 m. Entonces el vector posicin se representa por:

= (2) = 2

Grficamente: Con mdulo:

= = 10 m Que es el mismo valor de la coordenada. Y sentido positivo (+).

SISTEMA DE COORDENADAS , PLANAR O BIDIMENSIONAL: Corresponde a dos dimensiones, que se representan con dos ejes, que pueden ser llamado eje X (eje de abscisas) y eje Y (eje de ordenadas), perpendiculares entre s, definindose en la interseccin un origen O, que coincide con el par ordenado (0,0), y dos vectores unitarios: y , paralelos a los ejes X e Y, respectivamente. Se le denomina tambin

plano OXY de coo denadas o en ocasiones, plano ca tesiano. En este sistema un vector se representa de las siguientes formas: FORMA GEOMTRICA:

FORMA ANALTICA: Con dos coordenadas (par ordenado).

a = = ( ) FORMA RECTANGULAR: En funcin de

los vectores unitarios y .

a = =

MDULO: est dado por:

a = a =

DIRECCIN: Se define una direccin dada por el ngulo que forma el vector con el

semieje X positivo y determinada por:

tan =

FORMA POLAR: En funcin del mdulo a y la direccin :

a = (a cos a sen) = a cos a sen

Donde: a cos = = a a sen = = a

Los vectores y son llamados

componentes rectangulares del vector . Grficamente:

0

X

xA

a

1

O A

0

X

10

1

O P

a

X

Y

O (0, 0)

A (xA, yA)

xA

yA

A (xA, yA)

a a

a

X

Y

O (0, 0) xA

yA

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Ejemplo 4. Vector bidimensional. La posicin de un mvil en un plano respecto a un origen O est dada por un vector posicin o radiovector . Sea que el mvil se halle en el punto P determinado por las coordenadas x = +3 m e y = +4 m. Entonces el vector posicin se representa por:

= (3 4) O tambin por:

= (3 4 ) Con mdulo:

= 3 4 m = 25 m Y direccin:

tan = 4 3 Que corresponde a un ngulo = 53. En forma polar:

= (25cos53 25sen53) [m] = (25cos53 25sen53 ) [m]

Siendo = 25cos53 = 3[m] = 25sen53 = 4[m]

Los mdulos de las componentes de . Grficamente:

SISTEMA DE COORDENADAS , ESPACIAL O TRIDIMENSIONAL: Corresponde a tres dimensiones, que se representan con tres ejes, que pueden ser llamado eje X, eje Y y eje Z, perpendiculares entre s, definindose en la interseccin un origen O, que coincide con el par ordenado (0,0,0), y tres vectores

unitarios: , y , paralelos a los ejes X, Y y Z, respectivamente. Se le denomina tambin espacio OXYZ de coo denadas o en ocasiones, espacio ca tesiano. En este sistema un vector se representa de las siguientes formas:

FORMA GEOMTRICA:

FORMA ANALTICA: Con tres coordenadas (terna ordenada).

a = = ( ) FORMA RECTANGULAR: En funcin de ,

y .

a = =

MDULO: Est dado por:

a =

DIRECCIN: Dada por los ngulos directores que son los ngulos que

forma el vector a con los ejes X, Y y Z, respectivamente. Los cosenos de estos

ngulos se denominan cosenos directores, cuyos valores estn dados por:

cos = a

cos = a

cos = a

Existe una propiedad de los cosenos directores:

cos2 cos2 cos2 = 1

FORMA POLAR: Con el mdulo del vector a y los cosenos directores, tambin se puede representar al vector por:

a = a (cos cos cos )

= a cos a cos a cos Donde:

a = a cos a = a cos

a = a cos Son las componentes rectangulares de .

53

X

Y

O (0, 0)

P (3, 4)

3

4

a

Y

Z

O (0, 0, 0)

A (xA, yA, zA)

yA

zA

X

xA

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Ejemplo 5. Vector tridimensional. La posicin de un mvil en el espacio respecto a un origen O est dada por un vector posicin o radiovector . Sea que el mvil se halle en el punto P determinado por las coordenadas x =

3 m, y = 2 m y z = 2 m. Entonces el vector posicin se representa por:

= (3 2 2) O tambin por:

= (3 2 2 ) Con mdulo:

= (3) (2) (2)

m = 9 m

Su direccin est determinada por los cosenos directores:

cos =3

9

cos =2

9

cos =2

9

A partir de los cosenos directores, el vector se puede expresar como:

= 9(cos cos cos )[m] Grficamente:

03. CLASIFICACIN DE VECTORES

CRITERIO DE EQUIPOLENCIA Dos o ms vectores son equipolentes (o iguales) cuando las magnitudes fsicas que representan tienen el mismo mdulo, direccin, sentido, y adems producen los mismos efectos.

VECTORES FIJOS, DESLIZANTES Y LIBRES

En la siguiente figura, los vectores E tienen el mismo mdulo direccin y sentido.

Existen magnitudes vectoriales en los cuales, segn las condiciones de equipolencia sus vectores, pueden clasificarse en:

VECTORES LIBRES: Quedan determinados con slo: MDULO DIRECCIN SENTIDO La condicin de equipolencia para vectores libres es la siguiente: los vecto es lib es son iguales o producen los mismos efectos cuando tienen el mismo mdulo, direccin y sentido, aunque las rectas que los contengan y los puntos en que se apliquen sean dife entes.

En la figura, si E son libres, entonces:

= = = = E VECTORES DESLIZANTES: Quedan

determinados con: MDULO DIRECCIN SENTIDO LNEA DE ACCIN La condicin de equipolencia para vectores deslizantes es la siguiente: los vecto es deslizantes son iguales o producen los mismo efectos cuando tienen el mismo mdulo, direccin, sentido y estn contenidos en la misma recta (lnea de accin), aunque los puntos donde se apliquen sean dife entes.

En la figura, si los vectores E son deslizantes, entonces slo:

= Puesto que tienen la misma lnea de accin.

VECTORES FIJOS O LIGADOS: Quedan determinados con: MDULO DIRECCIN SENTIDO LNEA DE ACCIN

O (0, 0, 0)

Y

Z

A (3, 2, 2)

2

2

X 3

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PUNTO DE APLICACIN La condicin de equipolencia para vectores fijos o ligados es la siguiente: los vecto es fijos son iguales o producen los mismos efectos cuando tienen el mismo mdulo, direccin, sentido estn contenidos en la misma recta (lnea de accin) y se aplican sob e un mismo punto.

En la figura, si los vectores E son fijos, entonces son diferentes unos a otros, slo se podra decir que son equipolentes (iguales) consigo mismos:

= = = = E = E Ejemplo 6. Magnitudes fsicas vectoriales representadas por vectores libres, deslizantes y fijos: VECTORES LIBRES: Velocidad, aceleracin, momento de un par, etc. VECTORES DESLIZANTES: Fuerza aplicada sobre un cuerpo rgido, velocidad angular en un slido rgido, etc. VECTORES FIJOS: Vector posicin, campo gravitatorio, campo elctrico, etc. VECTORES ESPECIALES

VECTOR UNITARIO O VERSOR: Es un vector de mdulo igual a 1. Se les suele denotar con un circunflejo en la parte superior de la letra que designa el versor: u.

u = 1 Cuando a un vector v se le divide por su mdulo, se obtiene un versor v denominado vector normalizado.

v =v

v

Los vectores unitarios , y paralelos a los ejes X, Y y Z, respectivamente, son versores cartesianos y conforman una base. Estos tres versores constituyen el llamado triedro cartesiano, como se muestra en la figura:

A partir de los versores cartesianos se representan los dems vectores en el espacio.

VECTORES CONCURRENTES: Son aquellos que tienen el mismo punto inicial y/o cuyas rectas que los contienen concurren en un mismo punto en el plano o en el espacio.

VECTORES COLINEALES: Son aquellos que los contiene una misma recta.

VECTORES OPUESTOS: Vectores de igual magnitud, pero sentidos opuestos.

VECTORES COPLANARES: Vectores cuyas rectas que los contienen se encuentran sobre un mismo plano.

VECTORES ORTOGONALES: Son vectores que forman entre s un ngulo de 90.

a b c

a b

a

b

a

b

c

a

b

c

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VECTORES ORTONORMALES: Son vectores que forman entre s un ngulo de 90 y adems son unitarios.

04. OPERACIONES CON VECTORES

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Es una operacin definida para vectores libres, deslizantes y fijos. Consiste en asociar a un vector a un escala un nuevo vector a , de la misma clase que a (es decir, libre, deslizante o fijo).

a = ( )

= ( ) = ( )

= ( ) ( ) ( ) Este nuevo vector se obtiene de modo que: 1. a = || a

Donde || es el valo absoluto de y a es el mdulo de a . De esta manera se dice que el mdulo del vecto a es || veces el mdulo de a .

2. La di eccin de a es la misma que la de a . 3. Su sentido de a es el mismo que el de a si

0 y es contrario si 0.

Ejemplo 7. 4 (3, 2, 6)

= (4 (3), 4 ( 2), 4 ( 6)) = (12, 8, 24)

(1 3 )( 3 6 )

= (1 3 ) (1 3 )(3) (1 3 )(6)

= (3 3 ) 3 2

( 1 2 )(2 6 )

= 2 3

3( 2 5 )

= ( 3) ( 3)( 2) ( 3)(5)

= 3 23 15 SUMA DE VECTORES Es una operacin definida para:

Vectores libres. Vectores deslizantes cuyas lneas de accin

concurren en un punto (concurrentes). Vectores fijos cuyos puntos de aplicacin

coinciden (concurrentes).

Consiste en asociar a un par de vectores a y b ,

un tercer vector a b denominado vector suma

o resultante ( ).

() = ( )

( ) =

=

=

=

=

PROPIEDADES DEL PRODUCTO

DE UN VECTOR POR UN

ESCALAR

1. ASOCIATIVIDAD:

2. DISTRIBUTIVIDAD RESPECTO

A LA SUMA DE ESCALARES:

3. ELEMENTO IDENTIDAD O

NEUTRO:

El nmero 1 es la identidad. 4. ELEMENTO SIMTRICO U

OPUESTO:

El vector es el opuesto de . 5. ELEMENTO NULO:

El nmero cero es el elemento

nulo y es el vector nulo.

a = b = 1

a (0 1)

a

a ( 1)

a

a ( 1 0)

a

a ( 1)

a

a

b

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La suma de vectores se puede realizar por diferentes procedimientos agrupados en dos: grficos y analticos.

PROCEDIMIENTOS GRFICOS: Los procedimientos grficos toman en cuenta el carcter geomtrico de los vectores para realizar la suma vectorial. Estos son los siguientes: 1. MTODO DEL PARALELOGRAMO: Es un

mtodo vlido slo para dos vectores. Para hallar la resultante se unen los vectores sumandos en su punto inicial (punto de aplicacin para vectores fijos) para formar un paralelogramo trazando rectas paralelas a los vectores sumandos. La resultante ser la diagonal mayor que coincide con el punto donde se unen los vectores sumandos.

2. MTODO DEL TRINGULO: Es un mtodo vlido slo para dos vectores. Para hallar el vector resultante se unen los vectores sumandos uno a continuacin de otro para luego con la resultante formar un tringulo. El sentido de la resultante es de tal manera que su punto inicial coincida con el punto inicial del primer vector sumando y su punto terminal con el punto terminal del segundo vector sumando.

3. MTODO DEL POLGONO: Es un mtodo vlido para dos o ms vectores coplanares. Para hallar el vector resultante se unen los vectores sumandos uno a continuacin de otro para luego con la resultante formar el polgono. El sentido de la resultante es de tal manera que su punto inicial coincida con el punto inicial del primer vector

sumando y su punto terminal con el punto terminal del ltimo vector sumando.

NOTAS: Cuando se trata de dos vectores

sumandos este mtodo coincide con el mtodo del tringulo.

Cuando los vectores sumandos forman un polgono cerrado, la resultante ser cero.

PROCEDIMIENTOS ANALTICOS: Los procedimientos analticos toman en cuenta el carcter analtico de los vectores para realizar la suma vectorial. Los procedimientos analticos son los siguientes: 1. TEOREMA DEL COSENO Y TEOREMA

DEL SENO: Aplicados para la suma de dos vectores. Sirven para hallar directamente el mdulo y la direccin de la resultante. El mdulo de la resultante de la suma

de dos vectores a y b que forman entre si un ngulo se halla a pa ti del teorema del coseno:

= a b 2a b cos

La direccin de la resultante (referida al ngulo ) se halla a pa ti del teorema del seno:

a

sen=

sen=

b

sen

NOTAS: Un caso particular del teorema del

coseno es cuando los vectores sumandos forman un ngulo de 90.

b

a

b

= a b

= a b c d

a

b

c

d

180

a

= a b

a

b

= a b

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En ese caso, los vectores son ortogonales entre s. La ley de cosenos aplicada se reduce al teorema de Pitgoras:

= a b

Otro caso particular del teorema del

coseno es cuando dos vectores sumandos de igual mdulo forman un ngulo de 120. En este caso, la resultante tiene igual mdulo que los vectores sumandos.

Otro caso particular del teorema del coseno es cuando los vectores sumandos forman un ngulo de 0. En este caso, los vectores son colineales y tienen el mismo sentido. La ley de cosenos aplicada se reduce a una suma de mdulos:

= a b

Y otro caso particular del teorema del coseno es cuando los vectores sumandos forman un ngulo de 180. En este caso, los vectores son colineales y tienen sentidos opuestos. La ley de cosenos aplicada se reduce al valor absoluto de una resta de mdulos:

= |a b |

De estos dos ltimos casos, podemos

decir que si tenemos dos vectores a sumar, la resultante mxima entre ellos ser cuando formen un ngulo de 0 y la resultante mnima cuando formen un ngulo de 180:

= a b

= |a b | Ejemplo 8. Ejemplos de aplicacin de los teoremas del coseno y del seno. Sean dos vectores que forman entre ellos un

ngulo de 60, de mdulos a = 15 m y

b = 20 m. Hallar el mdulo y direccin respecto al eje X del vector resultante. Solucin:

Utilizando el teorema del coseno para hallar el mdulo de la resultante:

= 15 20 2(15)(20) cos 60 m

= 537 m

Utilizando el teorema del seno para hallar la direccin respecto al eje X de la resultante:

15

sen=

537

sen60

sen = 337 74

= a csen(337 74 ) = sen (337 74 )

Dados los vectores a y b de la figura, determinar el mdulo del vector resultante.

= a b

a

b

b a

= a b

b a

= a b

60

= a b

20 m

a

b

15 m

X

25 78

a

b

5 cm

60 60

a

b

= a b

120

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Solucin: El vector b es unitario y tiene mdulo b = 1 cm. El mdulo de a es 5 cm. Ahora, haciendo coincidir los orgenes de ambos formando el paralelogramo:

Y aplicando el teorema del coseno para hallar el mdulo de la resultante:

= 5 1 2(5)(1) cos 53 m

= 42 m

2. MTODO ALGEBRAICO: Aplicado para la suma de dos o ms vectores. Sean dos vectores en el espacio (tambin se cumple para y ):

a = (a a a ) = a a a

b = (b b b ) = b b b

Entonces la suma de estos vectores estar dada por:

a b = (a b a b a b )

= (a b ) (a b ) (a b )

Y el mdulo de la suma est dado por:

a b (a b ) (a b ) (a b )

Ejemplo 9. Ejemplos de aplicacin del mtodo algebraico. Sean los vectores:

a = (1 0 1) =

b = (2 1 2) = 2 2 c = ( 1 1 0) =

d = (0 3 0) = 3 Hallar la resultante, su mdulo y su direccin en el espacio. Solucin: 1ero) Sumamos los vectores siguiendo el mtodo algebraico, obteniendo el vector resultante:

= a b c d = (2 5 1) = 2 5 2do) Hallamos el mdulo de la resultante:

= 2 5 0 = 30

3ero) Por ltimo la direccin de la resultante est determinada por los ngulos directores y surge de aplicar los dos resultados anteriores:

cos =

=

2

30=30

15

cos =

=

5

30=30

6

cos =

=

1

30=30

30

De esto, los ngulos directores son:

= a ccos(30 15 )

= a ccos(30 6 )

= a ccos(30 30 )

Sean los vectores: a = (3 2) = 3 2

b = (1 2) = 2 c = ( 2 0) = 2

d = ( 1 1) = Hallar la resultante, su mdulo y su direccin en el plano. Solucin: 1ero) Sumamos los vectores siguiendo el mtodo algebraico, obteniendo la resultante:

= a b = (1 1) = 2do) Hallamos el mdulo de la resultante:

= 1 1 = 2 3ero) Por ltimo la direccin de la resultante est determinada por el ngulo que forma la resultante con el eje X positivo y est determinada por su tangente:

tan =1

1= 1

= a ctan(1) = 45

3. DESCOMPOSICIN RECTANGULAR O POLAR: Aplicado para la suma de dos o ms vectores.

Sean a , b y c vectores en el plano ,

cuyos mdulos son a , b , c y

d , respectivamente y cuyas

a

b

5 cm 53

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direcciones estn dadas en la siguiente figura:

Descomponiendo cada uno de estos vectores en sus componentes rectangulares obtenemos:

a = a cos a = a sen

b = b cos

b = b sen

c = c sen c = c cos

d = d sen

d = d cos

Con lo cual, las componentes de la resultante estn dadas por:

= a b c d

= (a cos b cos c sen

d sen )

= a b c d

= (a sen b sen c cos

d cos ) Por tanto:

= = ( )

= ( )

Con mdulo:

= =

Y direccin determinada por:

tan =

Ejemplo 10. Ejemplo de aplicacin del mtodo de descomposicin rectangular. Dados los vectores fuerza de la figura, cuyos mdulos son:

a = 43 N

b = 5 N

c = 23 N

d = 5 N Obtener la resultante, su mdulo y direccin. Solucin: 1ero) Descomponiendo cada uno de los vectores en sus componentes rectangulares:

a = 43 cos 60 = 23

a = 43 sen60 = 6

b = 5cos 37 = 4

b = 5sen37 = 3

c = 23 sen30 = 3

c = 23cos 30 = 3

d = 5 sen53 = 4

d = 5cos 53 = 3

2do) Las componentes de la resultante estn dadas por:

= a b c d = 3

= a b c d = 3

Por tanto:

= = 3 3 = (3 3)

3ro) Con lo cual, el mdulo de la resultante est dado por:

X

Y

c

A

a

b

d

B

C

D

X

Y

c

A

60

a

b

d

37 30

53

B

C

D

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= = 3 3 = 23

4to) Y la direccin de la resultante determinada por:

tan =

=3

3= 3

= a ctan(3) = 60

DIFERENCIA DE VECTORES Como en el clculo vectorial slo est definido la adicin y multiplicacin de vectores, para determinar la diferencia de dos vectores se puede partir de la adicin.

Sean los vectores a y b , el vector diferencia

a b detonado por se obtiene como la suma

del vector a y el opuesto del vector b .

= a ( b )

= a b

El vector se obtiene por el mtodo del paralelogramo:

= a b 2a b cos(180 )

Por tanto:

= a b 2a b cos

En conclusin, dados 2 vectores a y b tendremos:

y representan los vectores suma y diferencia, respectivamente, de los vectores a y

b . Propiedades:

Si a = b , entonces = a b = 0

Si a = b el vector resultante se encuentra en la bisectriz del ngulo entre los vectores y el vector diferencia es perpendicular al vector resultante.

Donde:

=

2

El mdulo de la resultante es:

= = 2a cos (

2)

El mdulo de la diferencia es

= = 2a sen (

2)

=

( ) = ( )

( ) =

= =

PROPIEDADES DE LA SUMA DE

VECTORES

1. CONMUTATIVIDAD:

2. ASOCIATIVIDAD:

3. DISTRIBUTIVIDAD RESPECTO

A LA SUMA DE VECTORES:

4. ELEMENTO NEUTRO PARA LA

ADICIN:

a

b

b

a

b

a

b

a

modulo de analisis vectorial

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