módulo 4ºsecundaria vunidad

I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010

Página 1

SESIÓN Nº 18

I. ACTIVIDADES DE INICIO:

El teorema de Pitágoras

Henry Perigal (1801-1898) El británico Henry Perigal dedicó muchos años de su larga vida a la demostración de teoremas geométricos utilizando la técnica de disección.

Ofrecemos dos de sus demostraciones del “teorema de los tres cuadrados”, publicadas en The Messenger of Mathematics (1874).

Refiriéndose a la primera de ellas, Perigal se expresaba en los siguientes términos:

(...) fue descubierta en 1830 pero impresa en 1835, con una demostración euclidea de Mr. William Godward, para la distribución privada entre mis amigos. Hasta la fecha no había sido publicada, que yo sepa, excepto como un diagrama en mi tarjeta de visita.

La primera demostración “por traslación de las partes componentes”

Por el centro del cuadrado de la base [cateto mayor] se dibujan dos rectas: una de ellas paralela a la hipotenusa, y la otra perpendicular a la hipotenusa. Por los puntos medios de los cuatro lados del cuadrado de la hipotenusa se trazan cuatro líneas paralelas a los lados [catetos] del triángulo, tal como se muestra en la figura.

Como una de las líneas que corta al cuadrado de la base por su centro es paralela a la hipotenusa y está comprendida entre dos paralelas [los lados del cuadrado] y como la otra línea, que corta a la anterior perpendicularmente, también está comprendida entre dos paralelas [los lados del cuadrado], entonces cada uno de los cuatro segmentos es la mitad del lado del cuadrado de la hipotenusa, que queda dividido, por tanto, en cuatro cuartos simétricos [que encierran un cuadrilátero].

Los lados del cuadrilátero I son paralelos a los lados correspondientes del cuadrilátero i; además, dos de los lados de cada uno de dichos cuadriláteros son la mitad de la hipotenusa. Por tanto, los dos cuadriláteros (I e i) tienen el mismo perímetro y la misma área.

De forma similar se puede probar que P y L, E y A, R y G son iguales y semejantes. Además, todos tienen el mismo perímetro y la misma área.

El lado mayor de E es igual y paralelo al lado mayor de A, que es paralelo e igual a la perpendicular [cateto menor] más el lado menor de I. Quitando el lado menor de I del lado mayor de E queda el lado del cuadrilátero H. Dicho cuadrilátero, al ser rectangular y tener los cuatro lados iguales, es un cuadrado igual al cuadrado de la perpendicular [cateto menor] del triángulo rectángulo.

Por consiguiente, las cinco componentes del cuadrado de la hipotenusa son iguales y semejantes a las partes componentes del cuadrado de la base y al cuadrado de la perpendicular [cateto menor]. Lo que demuestra que el cuadrado sobre la hipotenusa es equivalente a las áreas de los cuadrados sobre los catetos.

CAPACIDAD:

Determina las relaciones métricas entre los elementos del

rectángulo.

Aplica el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas

geométricos


Página 2

La segunda demostración: dos cuadrados que se convierten en uno

Construcción.- Coloca los dos cuadrados, uno al lado del otro, con sus bases sobre una misma línea recta (o uno sobre otro con dos lados verticales sobre una misma recta, como en la figura).

Biseca la suma de sus bases y la diferencia de sus lados. Por estos dos puntos de división dibuja dos perpendiculares que pasen por el centro [del cuadrado mayor] y acaben en los lados del cuadrado mayor que, por tanto, queda dividido en cuatro partes iguales.

Prolonga estas dos líneas la mitad de su longitud más allá de la base y el lado del cuadrado próximo al cuadrado pequeño y dibuja [por lo extremos de las prolongaciones] dos líneas más de la misma longitud y perpendiculares a ellas. Así se forma otro cuadrado que contiene al cuadrado pequeño dentro de cuatro cuadriláteros iguales y semejantes a los cuatro cuartos del cuadrado mayor. Por tanto, el nuevo cuadrado es equivalente a los dos cuadrados dados.

II. CONCEPTOS PRELIMINARES

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO.-Es el pie de la

perpendicular trazada del punto a dicha recta.

. P

pie

L

P’

P’: es el punto proyectado

L : es la recta de proyección

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN SEGMENTO:

DE UN SEGMENTO PERPENDICULAR A LA RECTA

A

B

L

……: es la proyección ortogonal de AB

DE UN SEGMENTO PARALELO A LA RECTA

A B

L

…….: es la proyección ortogonal de AB

DE UN SEGMENTO OBLICUO A LA RECTA

A

C

B

L

D

….. : Es la proyección de AB

….. : Es la proyección de DC

ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Sea el rectángulo ABC, recto en C.

C

a h b

B m H n A

---------------------------- c ---------------------------

DONDE:

a y b : longitudes de los catetos BC y CA

c : longitud de la hipotenusa

h : altura relativa a la hipotenusa

m : ………………………………………….

n : …………………………………………


Página 3

c.ma2 2b

222 cba

n.mh2

c.hb.a

III. CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Los siguientes teoremas nos describen las principales relaciones que hay entre las longitudes de los lados, altura y las proyecciones

de los catetos sobre la hipotenusa, en un triángulo rectángulo.

TEOREMA 1.- En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de su proyección por la hipotenusa


C

a h b

B m H n A

-------------------------- c ----------------------------

Se cumple:

DEMOSTRACIÓN

ABCBHC ABCCHA

TEOREMA 2 (TEOREMA DE PITÁGORAS).- En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es

igual al cuadrado de su hipotenusa


C

a h b

B m H n A

------------------------ c ---------------------------

Se cumple:

DEMOSTRACIÓN

Partimos de las expresiones demostradas en el teorema

1(sumando miembro a miembro).

TEOREMA 3.- En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la misma.


C

a h b

B m H n A

------------------------ c ---------------------------

Se cumple:

DEMOSTRACIÓN

CHABHC

TEOREMA 4.- En todo triángulo rectángulo, el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su

altura relativa.


C

a h b

B m H n A

------------------------ c ---------------------------

Se cumple:

DEMOSTRACIÓN

Multiplicamos miembro a miembro las expresiones del T1

Reemplazamos el T3


Página 4

222 h

1

b

1

a

1

TEOREMA 5.- En todo triángulo rectángulo, la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos es igual a la inversa

del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa


C

a h b

B m H n A

------------------------------- c ---------------------------------

Se cumple:

En una semicircunferencia:

m n

En circunferencias tangentes exteriores:

IV. APLICANDO LO APRENDIDO:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 01) Hallar “x”

Rpta.:

02) Hallar “x”

Rpta.:

03) Hallar “x”

Rpta.:

04) Hallar “x”

Rpta.:

05) Hallar “x”

Rpta.:

06) Hallar “x”

Rpta.:

07) Hallar “x”

Rpta.: 08) Hallar “x”

Rpta.:

B

x

4 12

A C

2

3 x13

x

5

34

x

1

4

4

x

3

4

2

x

5

2

5

10

x

x

54

6

h x = 2 rR.

h² = m.n

r

x

R


Página 1

O A D C

B

H

09) Hallar “x”

Rpta.: 10) Si (AB)

2 + (FG)

2 = 8; calcular BF (las dos figuras son cuadrados)

Rpta.: 11) Calcular “R” si AM = 3 y AB = 9

Rpta.: 12) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan la altura

BH y la bisectriz interior AQ , los cuales se cortan en “P”, calcular BP, si AP = 7 y PQ = 2

Rpta.:

13) Calcular MN ; si R = 3r; r = 1 y AB = 6

Rpta.:

14) En la figura, hallar DH , si AD = 3 y el diámetro DC = 4

Rpta.:

15) La figura muestra una rueda apoyada en un ladrillo de altura 9, calcular el radio de le rueda.

Rpta.:

16) Si ABCD es un cuadrado BE = 1 y FC = 9. calcular EF. F punto de tangencia.

Rpta.:

17) En la figura, se pide la proyección de AB sobre la recta “L”

Rpta.:

18) La hipotenusa de un triángulo rectángulo excede en 1 cm al cateto mayor; si el cateto menor mide 9cm, hallar el área de la región limitada por otro triángulo rectángulo. Rpta.:

19) Calcular “AP”, si AQ = 4

Rpta.:

20) En la figura BM = MC = 4 y BN es mediana, calcular AB.

Rpta.:

15 x

2x

C

A

B

E

D

F

G

N

M

A

B

15

10

18

17

B

A

L

A

B

C

M

N

B A

P

Q

O

B

A D

C E

F

B

R

A

M


Página 2

V. PARA REFORZAR EN CASA: PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO

NIVEL I 01) Hallar “x”

a) 1 b) 2 c) 10

13 d) 5 e)

13

60

02) Hallar “x”

a) 3 d) 6 c) 9 d) 11 c) 13

03) Hallar “x”

a) 11 d) 12 c) 12,8 d) 13 c) 14

04) Hallar “x”

a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 11

05) Hallar “x”

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9

06) Hallar “x”

a) 3 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

07) Hallar “x”

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 25

08) Hallar “x”

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

09) Hallar “x”

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

10) Las diagonales de un rombo mide 12cm y 16cm el lado del rombo mide:

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 11) Hallar “H”, si AP = 4, PC = 9

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

12) Calcular la altura del trapecio ABCD (BC // AD) circunscrito a una circunferencia de centro “O”. Si OC = 15 y OD = 20

a) 22 b) 25 c) 23 d) 26 e) 24 13) Calcular la altura BH del triángulo rectángulo ABC. Si AB = 6 y

BC = 8

a) 8,4 b) 4,8 c) 2,8 d) 2,4 e) 4,7

14) Si el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 10. Hallar el perímetro del triángulo equilátero inscrito en la misma circunferencia.

a) 615 b) 612 c) 32 d) 35 e) 36

15) En la figura, 13PR y 6

ABRC . Calcular la medida del

perímetro del cuadrado ABCD

a) 12 b) 16 c) 18 d) 24 e) 36

x 5 12

3

6

5

x

x

12

20

x

x 3

109

x x + 7

x+6

x

3

6

x 11

x+5

x

20

x+8

x

20

7

x+9

B

A C

H

P

B

A CH

P

C

A B

D

R


Página 3

NIVEL II 1. Una circunferencia es tangente a dos lados adyacentes de

un cuadrado y divide a cada uno de los otros dos lados en dos segmentos cuyas longitudes son 2m y 23m, calcular la longitud en m del radio de la circunferencia. a) 12 b) 15 c) 10 d) 17 e) N.A.

2. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado tiene una longitud

“L”. Se traza una circunferencia que pasa por los vértices B y C, tangente al lado AD . Calcular la longitud del radio de la circunferencia. a) 3L/5 b) 6L/5 c) 5L/6 d) 3L/4 e) N.A.

3. Se tiene un triángulo ABC donde se traza la mediana CM y

la altura BH que se cortan en P. Si MP = 2PC = 2m y AC = 2PB, calcular el valor de .PB

a) m5 b) m6 c) m3

d) m2 e) N.A.

4. En la figura, OM = a; AO = OC = R y 222 163 mRa ,

calcular el valor de AM .

a) 6m b) 4m B c) 3m M d) 2m e) N.A. A O C

5. En la figura, el radio de la semicircunferencia mide 8m y

PB = 1m, calcular .AM

a) 10m P b) 9m c) 12m M d) 8m e) N.A.

A C

6. En la figura, OA = PQ =12m y OP = 4m, calcular la longitud

EF . a) 3m F b) 4m c) 2,5m E d) 5m P e) N. A. B A

7. En la figura, los radios de las circunferencias tangentes miden r =5m; R = 13m, calcular BC si AB = 8m y CD = 10m.

a) m139

b) m129 r R

c) m136

d) m138 A B C D

e) NA

I. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

MATEMÁTICA CUARTO….ROJAS GASCO Gustavo MATEMÁTICA CUARTO….COVEÑAS NAQUICHE Manuel MATEMÁTICA CUARTO…. ROJAS PEÓMAPE Alfonso.

MATEMÁTICA CUARTO…. Editorial SANTILLANA

GEOMETERÍA…PROYECTO INGENIO – 2007 GEOMETERÍA …COLECCIÓN RACSO – 2005 GEOMETERÍA …ADUNI – 2005 GEOMETERÍA...EDITORIAL SAN MARCOS -2007

O

Q

O

EL CUERPO HUMANO NO ES MÁS QUE APARIENCIA Y ESCONDE NUESTRA REALIDAD, LA REALIDAD ES EL ALMA


Página 4

SESIÓN Nº 19


Debido a la forma muy variada que presenta el relieve de un terreno en la corteza terrestre. Muchas veces es un

problema realizar la medición de dicho terreno, ya que se encuentran en lugares inaccesibles. Por lo cual con el

transcurrir del tiempo se ha ido encontrando diferentes tipos de soluciones, tal es asi dando muy buenos resultados

para el avance técnico y científico como la Topografía, la Ingeniería Civil, la Arquitectura, etc.

Por ejemplo: Los egipcios sabían como trazar figuras geométricas y perpendiculares en el terreno, usando solamente

una cuerda.

Trenzando la cuerda y haciendo centro en A. se traza un arco, luego cambiando de posición y haciendo centro en

B se traza otro arco hasta que se intersecten los dos arcos en P y P’ y al unir los extremos de las intersecciones se

habrá formado la perpendicular como se indica en la figura.

II. CONCEPTOS PRELIMINARES RECUERDO La clasificación de los triángulos por la medida de sus ángulos, son:

Si sus ángulos son agudos (grafícalo)

Si uno de sus ángulos es obtuso

(grafícalo)

Si uno de sus ángulos es recto

(grafícalo)

A los dos primeros triángulos se llaman triángulos oblicuángulos

A

B

A B

P’

P’

CAPACIDAD:

Aplica correctamente los teoremas fundamentales de las

relaciones métricas en los triángulos oblicuángulos.

Resuelve ejercicios y problemas sobre triángulos oblicuángulos,

aplicando las relaciones métricas


Página 5

COMO RECONOCER UN TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO:

En todo triángulo obtusángulo se cumplen las siguientes propiedades 1º PROPIEDAD

En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado que se

opone a un ángulo agudo, siempre es menor que la suma de los

cuadrados de los otros dos.

Si 222º90 cba

b

a

c

2º PROPIEDAD

En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado que se

opone a un ángulo obtuso, siempre es mayor que la suma de

los cuadrados de los otros dos.

Si 222º90 cba

b a

c

Determinar si los triángulos siguientes son acutángulos u obtusángulos

1). ABC; AB = 3; BC = 5; AC = 6

2). MNP; MN = 5;NP = 7; MP = 8

3). RST; RS = 6;ST = 8; RT = 10

PROYECCIÓN DE UN LADO SOBRE OTRO LADO

En el triángulo es importante conocer la proyección de

un lado sobre otro, para ello siempre se traza una

altura.

- En el triángulo acutángulo: En el triángulo acutángulo,

la proyección de un lado sobre otro esta contenido en

este último.

- En el triángulo obtusángulo: En el triángulo

obtusángulo, para encontrar la proyección de un lado

sobre uno de los lados adyacentes al ángulo obtuso, se

debe prolongar este último.


Página 6

AB

C

cx

P

a b

M

III. CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO:

TEOREMA DE EUCLIDES

TEOREMA 1

“En todo triángulo, el cuadrado de un lado que se opone a un

ángulo Agudo es igual a la suma de los cuadrados de los

otros dos, menos el doble producto de uno de ellos por la

proyección del otro sobre aquel”.

Si: α < 90º

TEOREMA 2 “En todo triángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel” Si α > 90º

Ejemplo de aplicación

Los lados de un triángulo ABC miden AB = 6; BC = 4; AC = 3

Calcular

a). La proyección de BC sobre AB b). La proyección de AC sobre AB c). La proyección de BC sobre AC

d). La proyección de AB sobre AC e). La proyección de AC sobre BC

TEOREMA DE LA MEDIANA (DE APOLONIO)

“En todo triángulo la suma de los cuadrados de los lados laterales a una mediana es igual al doble del cuadrado de la mediana más la mitad del cuadrado del lado donde cae la mediana”.

Así en la figura:

TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA

En todo triángulo, se cumple lo siguiente:

Si “x” es la proyección de la mediana CM , entonces

Dado el ABC :

BM mediana

22 2 2

22

bx a c

x

A M C

B

c a

b

2

b

2


Página 7

2

Dado el ABC:

BD bisectriz interior

x ac mn

;a c bc ab

m nn m a c a c

BD bisectriz exterior

OTROS TEOREMAS Teorema de la bisectriz interior

Teorema de la bisectriz exterior

Dado el ∆ABC:

Teorema de Herón: Si 2

cbap

b a

Teorema de Stewart

b x a

m n

c

Teorema de Euler

b

a c

d

IV. APLICANDO LO APRENDIDO PROBLEMAS DE APLICACIÓN

01) Hallar “x”

Rpta.: 02) Hallar “x”

Rpta.:

03) Hallar “x”

Rpta.:

04) Hallar “x”

Rpta.:

05) Hallar “x”

Rpta.:

06) Hallar “x”

Rpta.:

07) Hallar “x”

Rpta.:

B

A CD

x

m n

c a

b

A C D

B

a

b

x

n

c

m

2x mn ac

c m

a n

x

7 6

5

x 4

6

3

5x

4 2

6

x

12

10

x

2

3

5

x

6

6

10

x

10

7

5

h

c

c)b)(pa)(p-p(pc

2h --

x².c = a²m + b2n – c.m.n

m n x

m²+n² = a² + b² + c²+d² + 4x²


Página 8

08) Hallar “x”

Rpta.:

09) Hallar “x”

Rpta.:

10) Hallar “x”

Rpta.:

11) Hallar “x”

Rpta.:

12) En la figura AT = PB = BC = 6. Calcular “AC” (P y T son puntos de tangencia)

Rpta.:

13) Según el gráfico AB = 13, BC = 15 y AC = 14. Calcular “MN” (M, N, L son puntos de tangencia)

Rpta.:

14) Calcular MN. Si ABCD es un trapecio AB = 13, BC = 6, CD = 15, AD = 20, BM = MC; AN = ND.

Rpta.:

15) Calcular BD si, AB = 6, AC = 7, BC = 8; “BD” es bisectriz interior.

Rpta.:

16) Calcular BD, si AB = 6, AD = 3, DC = 9, BC = 10

Rpta.:

17) Calcular la medida del lado de un rombo ABCD si AM = 9, MD = 13, siendo “M” punto medio de BC. Rpta.:

18) Los lados de un triángulo miden 13, 14, 15 ¿Cuánto mide la altura relativa al lado medio? Rpta.:

19) En un triángulo ABC; AB = 3, BC = 5, AC = 6. Calcular la

longitud de la proyección de AB sobre AC Rpta.:

20) En un triángulo ABC, AB = 7, BC = 97 , C = 6. Se traza la

mediana BM . Calcular la longitud de la proyección de AM

sobre BM . Rpta.:

32

x

23

x

6

2 1

10

x

38

X 16

10 332

C

P

A

B

T

A

B

CL

M

N

M

N

B C

A D

B

A CD

B

A CD


Página 9

V. PARA REFORZAR EN CASA. PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO

01) Hallar “x”

a) 61 b) 80 c) 11

30 d) 5 e) 2

191

02) BM es mediana del triángulo ABC, hallar “x”

a) 1,2 b) 3,2 c) 4,6 d) 4,5 e) 4,8

03) Hallar “x”

a) 5 b) 21 c) 48 d) 27 e) 23

04) Hallar “x”

a) 2 b) 4 c) 6 d) 10 e) 8

05) Hallar “x”

a) 3,5 b) 2,5 c) 1,5 d) 4,5 e) 6,5

06) Los lados de un triángulo oblicuángulo miden 8; 9 y 5 metros respectivamente. Calcular la longitud de la proyección del lado medio sobre el lado menor. a) 1m b) 0,8m c) 1,2m d) 0,5m e) 2m

07) Hallar “x”

a) 3

8 b)

5

4 c)

4

5 d)

2

3 e)

2

1

08) Hallar “x”

a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 e) 9

09) En un triángulo ACD, AC = 7; CD = 3; AD = 5. Calcular la longitud

de la proyección de AD

a) 2,5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 6,5 10) Los lados de un triángulo oblicuángulo miden 7; 5 y 10

respectivamente. Calcular la longitud de la proyección del lado medio sobre el lado mayor. a) 3,8 b) 6,2 c) 4,5 d) 6 e) 5

11) En un triángulo ABC; AB = 7, BC = 5, AC = 3. Calcular la longitud de

la proyección de BC . Sobre AC .

a) 2,2 b) 3 c) 2 d) 1,5 e) 2,5 12) En un triángulo isósceles ABC. AB = 3, AC = 6. Calcular la

longitud de la proyección de AB sobre BC

a) 0,75 b) 0,6 c) 0,8 d) 1 e) 1,2

13) En un triángulo ABC, AB = 10, BC = 6, la proyección de AB sobre

AC es el triple que la proyección de BC sobre AC , calcular

la medida de AC

a) 26 b) 10 c) 12 d) 28 e) 29 14) Los lados de un triángulo miden 4, 5 y 6. calcular la longitud de la

mediana relativa al lado menor

a) 2

53 b) 4 c) 5 d)

2

57 e) 30

15) E n un triángulo PQR; PQ = 13, QR = 5, PR = 16. calcular la

longitud de la proyección de la mediana QM sobrePR

a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 6 e) 5,5

10

6

6

x

B

A C

5 13

h Mx

10

13

x x

x

11

12

16

x

13

7 8

13

3

x

12

6

7

x 4

LO QUE EN LA JUVENTUD SE APRENDE, TODA LA VIDA DURA


Página 10

rRd

rRd

rRd

rRd

SESIÓN Nº 20


TYCHO

Tycho (o Tyge) Brahe nació el 14 de diciembre de 1546 en Knudstrup,

Escania; hoy Suecia pero entonces perteneciente a Dinamarca. Hijo del

gobernador del castillo de Helsingborg, fue, apadrinado por su tío Joergen. El

tío Joergen era un gran terrateniente y vicealmirante que había pedido a su

hermano que cuando tuviera un hijo quería apadrinarlo y adoptarlo hasta el

punto de considerar como hijo suyo. El gobernador le prometió a su hermano

que así sería pero un incidente vino a postergar la promesa. La madre de

Brahe dio luz a gemelos, pero uno de ellos murió, de modo que como era de

esperar, la situación cambió, y no fue hasta que Brahe tuvo un hermano

cuando pasó a ser adoptado por su influyente y acaudalado tío.

En 1559 fue enviado a la Universidad de Copenhague para iniciar su

educación. Estudió primeramente Derecho y Filosofía como correspondía a su

condición nobiliaria y como procedía para acceder a sus futuros cargos

estatales. Todo iba bien hasta que un suceso vino a cambiarle su orientación.

El 21 de agosto de 1560 Tycho Brahe observó un eclipse de Sol que le dejó

completamente admirado. El muchacho, que no había cumplido los catorce años, acababa de sentir que los sucesos

astronómicos le habían despertado un tremendo interés. Adquirió libros sobre Astronomía y leyó apasionadamente a

Tolomeo. No obstante, los estudios había que continuarlos y dos años más tarde fue enviado por su tío a estudiar a la

Universidad de Leipzig.

II. CONCEPTOS PRELIMINARES

1). CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- Son aquellas en las cuales; cada punto de una es exterior de la otra.

R r

O ------------------------------O’

d

2). CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Son aquellas que tienen un punto común (punto de tangencia) y los demás puntos de una de ellas son exteriores de la otra.

R r

O ------------------------O’

d

3). CIRCUNFERECIAS TANGENTES INTERIORES.- Son aquellas que tienen un punto común (punto de tangencia) y los demás puntos de una de ellas son interiores de la otra.

R

O -----O’-------

d r

4). CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- Son aquellas cuando una

de ellas se encuentra en el interior de la otra.

d

O --- O’

r

R

CAPACIDAD:

Identifica las posiciones relativas de dos circunferencias

Aplica los teoremas sobre las relaciones métricas en la

circunferencia en la resolución de problemas geométricos.

Tycho Brahe


Página 11

)rR(d)rR(

0d

222 rRd

A

a d

c b

BC

D

P

A

P

Bb

a

c

dC D

5). CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Dos circunferencias son secantes cuando tienen dos puntos comunes.

R

O -------------------- O’

D r

6). CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS.- Son aquellas que

tiene el mismo centro.

R

O

r

7). CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- si dichas circunferencias se intersectan y sus tangentes también se intersectan en el mismo punto formando un ángulo recto. Las tangentres al intersectarse pasan por los centros de las

circunferencias.

R r

O ---------------------------- O’

d

III. CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO

1. TEOREMA DE LAS CUERDAS.

En una misma circunferencia, si dos cuerdas se cortan se cumple que:

el producto de las partes de la primera cuerda es igual al producto de

las partes de la segunda.

Si AB y CD se cortan en P determinan los segmentos:

En AB : AP = a; PB = b

En CD : CP = c; PD = d

Luego a.b = c.d .

2. TEOREMA DE LOS SECANTES

Si desde un punto exterior se trazan dos secantes a una misma

circunferencia se cumple que: “la primera secante por su parte

externa es igual a la segunda, también por su parte externa”.

En la figura se trazan:

Se han trazado desde P, las secantes PA y PC

PA = a ; PB = b

PC = d ; PD = c.

Luego a.b = c.d .

3. TEOREMA DE LA TANGENTE Y LA SECANTE

Si desde un punto exterior se trazan una tangente y una secante

a una misma circunferencia, se cumple que: “la tangente al

cuadrado es igual a la secante por su parte externa”.

En la figura PA es la tangente y PC la secante

Si: PA = T; PC = a; PB = b

Luego

T2 = a.b .

A

Bb

aC

T

P


Página 12

IV. APLICANDO LO APRENDIDO PROBLEMAS DE APLICACIÓN

01) AP = 6, PB = 4, CD = 11, hallar “CP”

Rpta.:

02) EF = 6, AB = 4, hallar AE

Rpta.:

03) Calcular “OD”si (AD)(DB) = 200 “O” es centro.

Rpta.:

04) La distancia mínima entre dos circunferencias exteriores es 8 y la máxima es 20. calcular la distancia entre sus centros. Rpta.:

05) AQ = 2; PQ = 4; calcular “r”

Rpta.:

06) Hallar “x”

Rpta.:

07) Hallar “x”, AB = 2, BC = 8, DC = 16

Rpta.:

08) Hallar “x”

Rpta.:

09) Hallar “x”

Rpta.:

10) En la figura, calcular “CT”, si AD = 4; CB = 9, “O” es centro y “T” es punto de tangencia

Rpta.:

11) En la figura RS es una tangente, RU y RZ , son secantes, hallar “RU”

Rpta.:

12) Del gráfico AM = MC. Calcular “BQ” siendo AP = 4, PB = 5 y QC = 3

Rpta.:

13) En la figura, hallar “x”

Rpta.:

D

C

B

AP

F

B

A

E

B

A

D

15

O

x

M

N8

2

C

A

B

D E

x

x

5

4

12

7

x

B

TD

C

A O

6S

R

5

Z

U

B

A C

P Q

M

16

x 6

8 5

B A

P

Q r


Página 13

14) En la figura mostrada BC = 2, CD = 1, DE = 3. Hallar AB

Rpta.:

15) Calcular ”AB” si: BC = 5, CD = 15

Rpta.:

16) En la figura mostrada, calcular “EB”, si AM = ME = ED = 3 y CM = 2

Rpta.:

17) Si “Q” es punto de tangencia MN = 9, MH = 16, 5EP = PH , calcular “PQ”

Rpta.:

18) Calcular “r”, si PQ = 1, QR = 4 y OR = 6

Rpta.:

19) Calcular “r”

Rpta.:

20) Calcular “AB”, si BC = 3, CD = 5, DE = 4

Rpta.:

V. PROBLEMAS PARA LA CASA PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO

01) Calcular “AB”, si AP = x, PB = x + 4, CP = x + 2, PD = x + 1

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

02) En la figura mostrada hallar el radio “r” si: DC = 7, PC = 12, PA = 2

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

03) En la figura PB = 5, BC = 3PB , hallar “PA”

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

04) Si P, Q, S; son puntos de tangencia. Calcular “PS”

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

BC

D

E

A

DCBA

A B

C

D

M

E

M

E

Q

P

N

H

O

P Q R

r

10

r

4

CA B

D

E

DA

BC

P

P

C

AB

D

O

r

A

P

C

B

P

16

4

6

Q S


Página 14

05) De la figura el radio “R”

a) 4,5 b) 6,5 c) 5,5 d) 7,5 e) 9,5

06) En la figura AB2PB ; si BQ = 3, hallar “BC”

a) 6 b) 5 c) 4 d) 7 e) 8

07) Una cuerda de 24 de longitud se encuentra a 5 del centro de una circunferencia. Calcular el diámetro de dicha circunferencia.

a) 17 b) 40 c) 32 d) 26 e) 24

08) Calcular “CD”, si AD = 9, DB = 4

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

09) Una cuerda mide 6 y su flecha correspondiente mide 1. ¿Cuántos mide el radio de la circunferencia?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

10) En la figura PM = 12, PA = 8. Hallar AB

a) 14 b) 12 c) 8 d) 9 e) 10

11) En la figura calcular “PT”, si BC = 2 y AB = 1

a) 5 b) 2 c) 4 d) 3 e) 1

12) En la figura mostrada, hallar “BC”, si CE = 4, ED = 2, al triángulo ACD es equilátero y “A” es punto de tangencia.

a) 6 b) 9 c) 8 d) 12 e) 5

13) Si AT = 4 y BR = 2. calcular “TB” (T punto de tangencia)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14) En una circunferencia de centro “O” y de radio 6. dos cuerdas AB y CD se cortan en I, si AI = 5 y OI = 4. Hallar IB

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15) Se tiene una circunferencia de centro “O” cuyo radio mide

15. se traza la cuerda AB y sobre ella se elige un punto “M” tal que AM x MB = 200. Calcular “OM” a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 10

MISELANEA SOBRE RELACIONES MÉTRICAS NIVEL I

1. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos

sobre la hipotenusa están en la relación 2:1. El cateto

mayor mide 64 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

a) 10 cm b) 12 cm c) 9 cm d) 11 cm e) 13 cm

2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10cm y

uno de los catetos mide 8 cm. ¿Cuánto mide la

proyección del cateto menor sobre la hipotenusa?

a) 6,4 b) 2,8 c) 3 d) 3,6 e) 5

3. En un rectángulo ABCD: AB = 6 cm BC = 8 cm, calcular la longitud

de la proyección del lado BC sobre la diagonal AC .

a) 5,4 b) 6,4 c) 5 d) 6 e) 3,6

4. Sobre el lado BC de un rectángulo ABCD se toma un

punto P tal que el ángulo APD es recto. SI BP = 3, PC = 12.

Hallar el perímetro de dicho rectángulo.

a) 40 b) 44 c) 42 d) 46 e) 38

3

6

C

Q A

P

B

B

C

A DO

A

P

B

M

B

A

C

P T

C

A D

E

B

T

B Q

P

A

R


Página 15

A

B C

4x

7

D

A

B C

H

x

D

A

B C

P R

Q

D

R A

B C

P

4

H

Q

D

A

B

C

EP

N

M

A B

CDE

0

A

B C

RQ

D

A T

B

C

P Q

5. Los catetos de un triángulo rectángulo miden a y b, si:

144

1

b

1

a

122

Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

6. En la figura ABCD es un cuadrado. Hallar “x”.

a) 9 b) 8 c) 7 d) 5 e) 6

7. SI ABCD es un cuadrado, hallar RH.

a) 3,6 b) 4 c) 4,8 d) 5,2 e) NA

8. En la figura AB = 3, BC = 4, AD = 7, hallar “x”.

a) 1 b) 2

2 c) 3

3 d) 2

1 e) 3

2

9. En la figura PQR es un triángulo equilátero y ABCD es un

cuadrado si PC = 10. Hallar el área del cuadrado.

a) 22 b) 17 c) 7

3400 d) 327

300 e) 1

10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, AB = 8, BC = 6; se

traza la mediana CM ; calcular la longitud de la

proyección de CM sobre AC .

a) 1,2 b) 3,4 c) 5 d) 6,8 e) 7,9

11. Las bases de un trapecio isósceles miden 2 y 8 m

respectivamente, y cada lado no paralelo mide 6 m.

Hallar la longitud de una de las diagonales.

a) 26 b) 8 c) 7 d) 132 e) 6

12. En el interior de un cuadrado ABCD se toma un punto P,

tal que la mediana del ángulo APD = 90, AP = 4, PD = 3.

Calcular la longitud de la proyección de BP sobre AP .

a) 1 b) 2 c) 3 d) 0,5 e) 2

13. Los lados de un triángulo miden 7,6 y 97 . Calcular la

longitud de la mediana relativa al menor lado.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

14. Se tiene un cuadrado abad sobre CD y AD se toman

los puntos P y Q respectivamente tal que AP = 8, PQ = 4,

AQ = 6. Una de las diagonales del cuadrado mide:

a) 27 b) 9 c) 8,5 d) 28 e) 29

15. Las bases de un trapecio miden 2 y 12 metros

respectivamente. Hallar la altura del trapecio.

a) 5 b) 4 c) 4,8 d) 5,2 e) 5,6

NIVEL II 01. En el triángulo ABC hallar BC sabiendo que: BE = 3, AE = 4,

BP = 2 y ME = PN.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

02. Calcular el radio R de la circunferencia de centro “O”

AD = DO ED = 4 y CD = 8

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

03. Si ABCD es un cuadrado y AB = 4. Calcular QC.

a) 5

52 b) 5

5 c) 5 d) 52 e) 53

04. En la figura mostrada BP = 7, BQ = 13 y QC = 2, hallar PA.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


Página 16

EDCB

FA

TC

D

A 0 B

D

A

B

C

A P

D

B

A

B C

D

F

E

A

B

C

DG

FE

S

Q

RUR

P

D

ER

AR

B0 CR

A

B0

PT

05. Siendo que AB y EF son tangentes tales que BC = ED siendo

AB = 7. Hallar EF.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

06. Si AD = 4 y CB = 9 calcular CT (T punto de tangencia)

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

07. Calcular BC si AB = 3 y CD = 4

a) 1,5 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 4

08. Si PB = 18, AB = 12, PC = 9 Calcular PD

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

9. Calcular BC si BF = 3, EF = 9 y ED = 16.

a) 19 b) 25 c) 26 d) 28 e) 34

10. Una circunferencia tiene 10 cm de radio. Se traza una

cuerda AB sobre la cual se ubica un punto “M” de modo que

los segmentos determinados sobre dicha cuerda miden 5 y

12 cm.

Calcular la distancia del punto “M” al centro de la

circunferencia.

a) 10 b) 102 c) 5 d) 52 e) 54

11. Si AB = 3, BC = EF = 9 y AD = 2. Calcular FG

a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20

12. En un cuadrado ABCD cuyo lado mide 52 , la

circunferencia inscrita determina en el lado AD el punto “P”.

Si BP interseca a la circunferencia en el punto “R”.

Calcular BR.

a) 0,25 b) 0,5 c) 1 d) 1,5 e) 2

13. PQ = QR, SR = 1, hallar US

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. Si AB y AC son diámetros DE = 3 BC = 4 AO = OC = R. Hallar

“R”.

a) 3 b) 2 c) 4,5 d) 5,5 e) 6

15. Si “O” es centro OB = diámetro y OB = 6. Calcula PT.

a)2 b)1 c)2,5 d)4,5 e)NA

SI ERES JOVEN Y TIENES DE SOBRA AMIGOS Y DE TUS RIQUEZAS NO TE MUESTRAS AVARO,

NO CUENTES CUANTOS AMIGOS TIENES; ESPERA A SER VIEJO Y POBRE

módulo 4ºsecundaria vunidad

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