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I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
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SESIÓN Nº 18
I. ACTIVIDADES DE INICIO:
El teorema de Pitágoras
Henry Perigal (1801-1898) El británico Henry Perigal dedicó muchos años de su larga vida a la demostración de teoremas geométricos utilizando la técnica de disección.
Ofrecemos dos de sus demostraciones del “teorema de los tres cuadrados”, publicadas en The Messenger of Mathematics (1874).
Refiriéndose a la primera de ellas, Perigal se expresaba en los siguientes términos:
(...) fue descubierta en 1830 pero impresa en 1835, con una demostración euclidea de Mr. William Godward, para la distribución privada entre mis amigos. Hasta la fecha no había sido publicada, que yo sepa, excepto como un diagrama en mi tarjeta de visita.
La primera demostración “por traslación de las partes componentes”
Por el centro del cuadrado de la base [cateto mayor] se dibujan dos rectas: una de ellas paralela a la hipotenusa, y la otra perpendicular a la hipotenusa. Por los puntos medios de los cuatro lados del cuadrado de la hipotenusa se trazan cuatro líneas paralelas a los lados [catetos] del triángulo, tal como se muestra en la figura.
Como una de las líneas que corta al cuadrado de la base por su centro es paralela a la hipotenusa y está comprendida entre dos paralelas [los lados del cuadrado] y como la otra línea, que corta a la anterior perpendicularmente, también está comprendida entre dos paralelas [los lados del cuadrado], entonces cada uno de los cuatro segmentos es la mitad del lado del cuadrado de la hipotenusa, que queda dividido, por tanto, en cuatro cuartos simétricos [que encierran un cuadrilátero].
Los lados del cuadrilátero I son paralelos a los lados correspondientes del cuadrilátero i; además, dos de los lados de cada uno de dichos cuadriláteros son la mitad de la hipotenusa. Por tanto, los dos cuadriláteros (I e i) tienen el mismo perímetro y la misma área.
De forma similar se puede probar que P y L, E y A, R y G son iguales y semejantes. Además, todos tienen el mismo perímetro y la misma área.
El lado mayor de E es igual y paralelo al lado mayor de A, que es paralelo e igual a la perpendicular [cateto menor] más el lado menor de I. Quitando el lado menor de I del lado mayor de E queda el lado del cuadrilátero H. Dicho cuadrilátero, al ser rectangular y tener los cuatro lados iguales, es un cuadrado igual al cuadrado de la perpendicular [cateto menor] del triángulo rectángulo.
Por consiguiente, las cinco componentes del cuadrado de la hipotenusa son iguales y semejantes a las partes componentes del cuadrado de la base y al cuadrado de la perpendicular [cateto menor]. Lo que demuestra que el cuadrado sobre la hipotenusa es equivalente a las áreas de los cuadrados sobre los catetos.
CAPACIDAD:
Determina las relaciones métricas entre los elementos del
rectángulo.
Aplica el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas
geométricos
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La segunda demostración: dos cuadrados que se convierten en uno
Construcción.- Coloca los dos cuadrados, uno al lado del otro, con sus bases sobre una misma línea recta (o uno sobre otro con dos lados verticales sobre una misma recta, como en la figura).
Biseca la suma de sus bases y la diferencia de sus lados. Por estos dos puntos de división dibuja dos perpendiculares que pasen por el centro [del cuadrado mayor] y acaben en los lados del cuadrado mayor que, por tanto, queda dividido en cuatro partes iguales.
Prolonga estas dos líneas la mitad de su longitud más allá de la base y el lado del cuadrado próximo al cuadrado pequeño y dibuja [por lo extremos de las prolongaciones] dos líneas más de la misma longitud y perpendiculares a ellas. Así se forma otro cuadrado que contiene al cuadrado pequeño dentro de cuatro cuadriláteros iguales y semejantes a los cuatro cuartos del cuadrado mayor. Por tanto, el nuevo cuadrado es equivalente a los dos cuadrados dados.
II. CONCEPTOS PRELIMINARES
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO.-Es el pie de la
perpendicular trazada del punto a dicha recta.
. P
pie
L
P’
P’: es el punto proyectado
L : es la recta de proyección
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN SEGMENTO:
DE UN SEGMENTO PERPENDICULAR A LA RECTA
A
B
L
……: es la proyección ortogonal de AB
DE UN SEGMENTO PARALELO A LA RECTA
A B
L
…….: es la proyección ortogonal de AB
DE UN SEGMENTO OBLICUO A LA RECTA
A
C
B
L
D
….. : Es la proyección de AB
….. : Es la proyección de DC
ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Sea el rectángulo ABC, recto en C.
C
a h b
B m H n A
---------------------------- c ---------------------------
DONDE:
a y b : longitudes de los catetos BC y CA
c : longitud de la hipotenusa
h : altura relativa a la hipotenusa
m : ………………………………………….
n : …………………………………………
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c.ma2 2b
222 cba
n.mh2
c.hb.a
III. CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Los siguientes teoremas nos describen las principales relaciones que hay entre las longitudes de los lados, altura y las proyecciones
de los catetos sobre la hipotenusa, en un triángulo rectángulo.
TEOREMA 1.- En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de su proyección por la hipotenusa
Sea el rectángulo ABC, recto en C.
C
a h b
B m H n A
-------------------------- c ----------------------------
Se cumple:
DEMOSTRACIÓN
ABCBHC ABCCHA
TEOREMA 2 (TEOREMA DE PITÁGORAS).- En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de su hipotenusa
Sea el rectángulo ABC, recto en C.
C
a h b
B m H n A
------------------------ c ---------------------------
Se cumple:
DEMOSTRACIÓN
Partimos de las expresiones demostradas en el teorema
1(sumando miembro a miembro).
TEOREMA 3.- En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la misma.
Sea el rectángulo ABC, recto en C.
C
a h b
B m H n A
------------------------ c ---------------------------
Se cumple:
DEMOSTRACIÓN
CHABHC
TEOREMA 4.- En todo triángulo rectángulo, el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su
altura relativa.
Sea el rectángulo ABC, recto en C.
C
a h b
B m H n A
------------------------ c ---------------------------
Se cumple:
DEMOSTRACIÓN
Multiplicamos miembro a miembro las expresiones del T1
Reemplazamos el T3
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222 h
1
b
1
a
1
TEOREMA 5.- En todo triángulo rectángulo, la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos es igual a la inversa
del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa
Sea el rectángulo ABC, recto en C.
C
a h b
B m H n A
------------------------------- c ---------------------------------
Se cumple:
En una semicircunferencia:
m n
En circunferencias tangentes exteriores:
IV. APLICANDO LO APRENDIDO:
PROBLEMAS DE APLICACIÓN 01) Hallar “x”
Rpta.:
02) Hallar “x”
Rpta.:
03) Hallar “x”
Rpta.:
04) Hallar “x”
Rpta.:
05) Hallar “x”
Rpta.:
06) Hallar “x”
Rpta.:
07) Hallar “x”
Rpta.: 08) Hallar “x”
Rpta.:
B
x
4 12
A C
2
3 x13
x
5
34
x
1
4
4
x
3
4
2
x
5
2
5
10
x
x
54
6
h x = 2 rR.
h² = m.n
r
x
R
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O A D C
B
H
09) Hallar “x”
Rpta.: 10) Si (AB)
2 + (FG)
2 = 8; calcular BF (las dos figuras son cuadrados)
Rpta.: 11) Calcular “R” si AM = 3 y AB = 9
Rpta.: 12) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan la altura
BH y la bisectriz interior AQ , los cuales se cortan en “P”, calcular BP, si AP = 7 y PQ = 2
Rpta.:
13) Calcular MN ; si R = 3r; r = 1 y AB = 6
Rpta.:
14) En la figura, hallar DH , si AD = 3 y el diámetro DC = 4
Rpta.:
15) La figura muestra una rueda apoyada en un ladrillo de altura 9, calcular el radio de le rueda.
Rpta.:
16) Si ABCD es un cuadrado BE = 1 y FC = 9. calcular EF. F punto de tangencia.
Rpta.:
17) En la figura, se pide la proyección de AB sobre la recta “L”
Rpta.:
18) La hipotenusa de un triángulo rectángulo excede en 1 cm al cateto mayor; si el cateto menor mide 9cm, hallar el área de la región limitada por otro triángulo rectángulo. Rpta.:
19) Calcular “AP”, si AQ = 4
Rpta.:
20) En la figura BM = MC = 4 y BN es mediana, calcular AB.
Rpta.:
15 x
2x
C
A
B
E
D
F
G
N
M
A
B
15
10
18
17
B
A
L
A
B
C
M
N
B A
P
Q
O
B
A D
C E
F
B
R
A
M
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V. PARA REFORZAR EN CASA: PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO
NIVEL I 01) Hallar “x”
a) 1 b) 2 c) 10
13 d) 5 e)
13
60
02) Hallar “x”
a) 3 d) 6 c) 9 d) 11 c) 13
03) Hallar “x”
a) 11 d) 12 c) 12,8 d) 13 c) 14
04) Hallar “x”
a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 11
05) Hallar “x”
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9
06) Hallar “x”
a) 3 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35
07) Hallar “x”
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 25
08) Hallar “x”
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
09) Hallar “x”
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
10) Las diagonales de un rombo mide 12cm y 16cm el lado del rombo mide:
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 11) Hallar “H”, si AP = 4, PC = 9
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
12) Calcular la altura del trapecio ABCD (BC // AD) circunscrito a una circunferencia de centro “O”. Si OC = 15 y OD = 20
a) 22 b) 25 c) 23 d) 26 e) 24 13) Calcular la altura BH del triángulo rectángulo ABC. Si AB = 6 y
BC = 8
a) 8,4 b) 4,8 c) 2,8 d) 2,4 e) 4,7
14) Si el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 10. Hallar el perímetro del triángulo equilátero inscrito en la misma circunferencia.
a) 615 b) 612 c) 32 d) 35 e) 36
15) En la figura, 13PR y 6
ABRC . Calcular la medida del
perímetro del cuadrado ABCD
a) 12 b) 16 c) 18 d) 24 e) 36
x 5 12
3
6
5
x
x
12
20
x
x 3
109
x x + 7
x+6
x
3
6
x 11
x+5
x
20
x+8
x
20
7
x+9
B
A C
H
P
B
A CH
P
C
A B
D
R
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NIVEL II 1. Una circunferencia es tangente a dos lados adyacentes de
un cuadrado y divide a cada uno de los otros dos lados en dos segmentos cuyas longitudes son 2m y 23m, calcular la longitud en m del radio de la circunferencia. a) 12 b) 15 c) 10 d) 17 e) N.A.
2. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado tiene una longitud
“L”. Se traza una circunferencia que pasa por los vértices B y C, tangente al lado AD . Calcular la longitud del radio de la circunferencia. a) 3L/5 b) 6L/5 c) 5L/6 d) 3L/4 e) N.A.
3. Se tiene un triángulo ABC donde se traza la mediana CM y
la altura BH que se cortan en P. Si MP = 2PC = 2m y AC = 2PB, calcular el valor de .PB
a) m5 b) m6 c) m3
d) m2 e) N.A.
4. En la figura, OM = a; AO = OC = R y 222 163 mRa ,
calcular el valor de AM .
a) 6m b) 4m B c) 3m M d) 2m e) N.A. A O C
5. En la figura, el radio de la semicircunferencia mide 8m y
PB = 1m, calcular .AM
a) 10m P b) 9m c) 12m M d) 8m e) N.A.
A C
6. En la figura, OA = PQ =12m y OP = 4m, calcular la longitud
EF . a) 3m F b) 4m c) 2,5m E d) 5m P e) N. A. B A
7. En la figura, los radios de las circunferencias tangentes miden r =5m; R = 13m, calcular BC si AB = 8m y CD = 10m.
a) m139
b) m129 r R
c) m136
d) m138 A B C D
e) NA
I. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MATEMÁTICA CUARTO….ROJAS GASCO Gustavo MATEMÁTICA CUARTO….COVEÑAS NAQUICHE Manuel MATEMÁTICA CUARTO…. ROJAS PEÓMAPE Alfonso.
MATEMÁTICA CUARTO…. Editorial SANTILLANA
GEOMETERÍA…PROYECTO INGENIO – 2007 GEOMETERÍA …COLECCIÓN RACSO – 2005 GEOMETERÍA …ADUNI – 2005 GEOMETERÍA...EDITORIAL SAN MARCOS -2007
O
Q
O
EL CUERPO HUMANO NO ES MÁS QUE APARIENCIA Y ESCONDE NUESTRA REALIDAD, LA REALIDAD ES EL ALMA
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SESIÓN Nº 19
I. ACTIVIDADES DE INICIO:
Debido a la forma muy variada que presenta el relieve de un terreno en la corteza terrestre. Muchas veces es un
problema realizar la medición de dicho terreno, ya que se encuentran en lugares inaccesibles. Por lo cual con el
transcurrir del tiempo se ha ido encontrando diferentes tipos de soluciones, tal es asi dando muy buenos resultados
para el avance técnico y científico como la Topografía, la Ingeniería Civil, la Arquitectura, etc.
Por ejemplo: Los egipcios sabían como trazar figuras geométricas y perpendiculares en el terreno, usando solamente
una cuerda.
Trenzando la cuerda y haciendo centro en A. se traza un arco, luego cambiando de posición y haciendo centro en
B se traza otro arco hasta que se intersecten los dos arcos en P y P’ y al unir los extremos de las intersecciones se
habrá formado la perpendicular como se indica en la figura.
II. CONCEPTOS PRELIMINARES RECUERDO La clasificación de los triángulos por la medida de sus ángulos, son:
Si sus ángulos son agudos (grafícalo)
Si uno de sus ángulos es obtuso
(grafícalo)
Si uno de sus ángulos es recto
(grafícalo)
A los dos primeros triángulos se llaman triángulos oblicuángulos
A
B
A B
P’
P’
CAPACIDAD:
Aplica correctamente los teoremas fundamentales de las
relaciones métricas en los triángulos oblicuángulos.
Resuelve ejercicios y problemas sobre triángulos oblicuángulos,
aplicando las relaciones métricas
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COMO RECONOCER UN TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO:
En todo triángulo obtusángulo se cumplen las siguientes propiedades 1º PROPIEDAD
En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado que se
opone a un ángulo agudo, siempre es menor que la suma de los
cuadrados de los otros dos.
Si 222º90 cba
b
a
c
2º PROPIEDAD
En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado que se
opone a un ángulo obtuso, siempre es mayor que la suma de
los cuadrados de los otros dos.
Si 222º90 cba
b a
c
Determinar si los triángulos siguientes son acutángulos u obtusángulos
1). ABC; AB = 3; BC = 5; AC = 6
2). MNP; MN = 5;NP = 7; MP = 8
3). RST; RS = 6;ST = 8; RT = 10
PROYECCIÓN DE UN LADO SOBRE OTRO LADO
En el triángulo es importante conocer la proyección de
un lado sobre otro, para ello siempre se traza una
altura.
- En el triángulo acutángulo: En el triángulo acutángulo,
la proyección de un lado sobre otro esta contenido en
este último.
- En el triángulo obtusángulo: En el triángulo
obtusángulo, para encontrar la proyección de un lado
sobre uno de los lados adyacentes al ángulo obtuso, se
debe prolongar este último.
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AB
C
cx
P
a b
M
III. CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO:
TEOREMA DE EUCLIDES
TEOREMA 1
“En todo triángulo, el cuadrado de un lado que se opone a un
ángulo Agudo es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos, menos el doble producto de uno de ellos por la
proyección del otro sobre aquel”.
Si: α < 90º
TEOREMA 2 “En todo triángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel” Si α > 90º
Ejemplo de aplicación
Los lados de un triángulo ABC miden AB = 6; BC = 4; AC = 3
Calcular
a). La proyección de BC sobre AB b). La proyección de AC sobre AB c). La proyección de BC sobre AC
d). La proyección de AB sobre AC e). La proyección de AC sobre BC
TEOREMA DE LA MEDIANA (DE APOLONIO)
“En todo triángulo la suma de los cuadrados de los lados laterales a una mediana es igual al doble del cuadrado de la mediana más la mitad del cuadrado del lado donde cae la mediana”.
Así en la figura:
TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA
En todo triángulo, se cumple lo siguiente:
Si “x” es la proyección de la mediana CM , entonces
Dado el ABC :
BM mediana
22 2 2
22
bx a c
x
A M C
B
c a
b
2
b
2
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2
Dado el ABC:
BD bisectriz interior
x ac mn
;a c bc ab
m nn m a c a c
BD bisectriz exterior
OTROS TEOREMAS Teorema de la bisectriz interior
Teorema de la bisectriz exterior
Dado el ∆ABC:
Teorema de Herón: Si 2
cbap
b a
Teorema de Stewart
b x a
m n
c
Teorema de Euler
b
a c
d
IV. APLICANDO LO APRENDIDO PROBLEMAS DE APLICACIÓN
01) Hallar “x”
Rpta.: 02) Hallar “x”
Rpta.:
03) Hallar “x”
Rpta.:
04) Hallar “x”
Rpta.:
05) Hallar “x”
Rpta.:
06) Hallar “x”
Rpta.:
07) Hallar “x”
Rpta.:
B
A CD
x
m n
c a
b
A C D
B
a
b
x
n
c
m
2x mn ac
c m
a n
x
7 6
5
x 4
6
3
5x
4 2
6
x
12
10
x
2
3
5
x
6
6
10
x
10
7
5
h
c
c)b)(pa)(p-p(pc
2h --
x².c = a²m + b2n – c.m.n
m n x
m²+n² = a² + b² + c²+d² + 4x²
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08) Hallar “x”
Rpta.:
09) Hallar “x”
Rpta.:
10) Hallar “x”
Rpta.:
11) Hallar “x”
Rpta.:
12) En la figura AT = PB = BC = 6. Calcular “AC” (P y T son puntos de tangencia)
Rpta.:
13) Según el gráfico AB = 13, BC = 15 y AC = 14. Calcular “MN” (M, N, L son puntos de tangencia)
Rpta.:
14) Calcular MN. Si ABCD es un trapecio AB = 13, BC = 6, CD = 15, AD = 20, BM = MC; AN = ND.
Rpta.:
15) Calcular BD si, AB = 6, AC = 7, BC = 8; “BD” es bisectriz interior.
Rpta.:
16) Calcular BD, si AB = 6, AD = 3, DC = 9, BC = 10
Rpta.:
17) Calcular la medida del lado de un rombo ABCD si AM = 9, MD = 13, siendo “M” punto medio de BC. Rpta.:
18) Los lados de un triángulo miden 13, 14, 15 ¿Cuánto mide la altura relativa al lado medio? Rpta.:
19) En un triángulo ABC; AB = 3, BC = 5, AC = 6. Calcular la
longitud de la proyección de AB sobre AC Rpta.:
20) En un triángulo ABC, AB = 7, BC = 97 , C = 6. Se traza la
mediana BM . Calcular la longitud de la proyección de AM
sobre BM . Rpta.:
32
x
23
x
6
2 1
10
x
38
X 16
10 332
C
P
A
B
T
A
B
CL
M
N
M
N
B C
A D
B
A CD
B
A CD
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V. PARA REFORZAR EN CASA. PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO
01) Hallar “x”
a) 61 b) 80 c) 11
30 d) 5 e) 2
191
02) BM es mediana del triángulo ABC, hallar “x”
a) 1,2 b) 3,2 c) 4,6 d) 4,5 e) 4,8
03) Hallar “x”
a) 5 b) 21 c) 48 d) 27 e) 23
04) Hallar “x”
a) 2 b) 4 c) 6 d) 10 e) 8
05) Hallar “x”
a) 3,5 b) 2,5 c) 1,5 d) 4,5 e) 6,5
06) Los lados de un triángulo oblicuángulo miden 8; 9 y 5 metros respectivamente. Calcular la longitud de la proyección del lado medio sobre el lado menor. a) 1m b) 0,8m c) 1,2m d) 0,5m e) 2m
07) Hallar “x”
a) 3
8 b)
5
4 c)
4
5 d)
2
3 e)
2
1
08) Hallar “x”
a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 e) 9
09) En un triángulo ACD, AC = 7; CD = 3; AD = 5. Calcular la longitud
de la proyección de AD
a) 2,5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 6,5 10) Los lados de un triángulo oblicuángulo miden 7; 5 y 10
respectivamente. Calcular la longitud de la proyección del lado medio sobre el lado mayor. a) 3,8 b) 6,2 c) 4,5 d) 6 e) 5
11) En un triángulo ABC; AB = 7, BC = 5, AC = 3. Calcular la longitud de
la proyección de BC . Sobre AC .
a) 2,2 b) 3 c) 2 d) 1,5 e) 2,5 12) En un triángulo isósceles ABC. AB = 3, AC = 6. Calcular la
longitud de la proyección de AB sobre BC
a) 0,75 b) 0,6 c) 0,8 d) 1 e) 1,2
13) En un triángulo ABC, AB = 10, BC = 6, la proyección de AB sobre
AC es el triple que la proyección de BC sobre AC , calcular
la medida de AC
a) 26 b) 10 c) 12 d) 28 e) 29 14) Los lados de un triángulo miden 4, 5 y 6. calcular la longitud de la
mediana relativa al lado menor
a) 2
53 b) 4 c) 5 d)
2
57 e) 30
15) E n un triángulo PQR; PQ = 13, QR = 5, PR = 16. calcular la
longitud de la proyección de la mediana QM sobrePR
a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 6 e) 5,5
10
6
6
x
B
A C
5 13
h Mx
10
13
x x
x
11
12
16
x
13
7 8
13
3
x
12
6
7
x 4
LO QUE EN LA JUVENTUD SE APRENDE, TODA LA VIDA DURA
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rRd
rRd
rRd
rRd
SESIÓN Nº 20
I. ACTIVIDADES DE INICIO:
TYCHO
Tycho (o Tyge) Brahe nació el 14 de diciembre de 1546 en Knudstrup,
Escania; hoy Suecia pero entonces perteneciente a Dinamarca. Hijo del
gobernador del castillo de Helsingborg, fue, apadrinado por su tío Joergen. El
tío Joergen era un gran terrateniente y vicealmirante que había pedido a su
hermano que cuando tuviera un hijo quería apadrinarlo y adoptarlo hasta el
punto de considerar como hijo suyo. El gobernador le prometió a su hermano
que así sería pero un incidente vino a postergar la promesa. La madre de
Brahe dio luz a gemelos, pero uno de ellos murió, de modo que como era de
esperar, la situación cambió, y no fue hasta que Brahe tuvo un hermano
cuando pasó a ser adoptado por su influyente y acaudalado tío.
En 1559 fue enviado a la Universidad de Copenhague para iniciar su
educación. Estudió primeramente Derecho y Filosofía como correspondía a su
condición nobiliaria y como procedía para acceder a sus futuros cargos
estatales. Todo iba bien hasta que un suceso vino a cambiarle su orientación.
El 21 de agosto de 1560 Tycho Brahe observó un eclipse de Sol que le dejó
completamente admirado. El muchacho, que no había cumplido los catorce años, acababa de sentir que los sucesos
astronómicos le habían despertado un tremendo interés. Adquirió libros sobre Astronomía y leyó apasionadamente a
Tolomeo. No obstante, los estudios había que continuarlos y dos años más tarde fue enviado por su tío a estudiar a la
Universidad de Leipzig.
II. CONCEPTOS PRELIMINARES
1). CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- Son aquellas en las cuales; cada punto de una es exterior de la otra.
R r
O ------------------------------O’
d
2). CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Son aquellas que tienen un punto común (punto de tangencia) y los demás puntos de una de ellas son exteriores de la otra.
R r
O ------------------------O’
d
3). CIRCUNFERECIAS TANGENTES INTERIORES.- Son aquellas que tienen un punto común (punto de tangencia) y los demás puntos de una de ellas son interiores de la otra.
R
O -----O’-------
d r
4). CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- Son aquellas cuando una
de ellas se encuentra en el interior de la otra.
d
O --- O’
r
R
CAPACIDAD:
Identifica las posiciones relativas de dos circunferencias
Aplica los teoremas sobre las relaciones métricas en la
circunferencia en la resolución de problemas geométricos.
Tycho Brahe
I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
Página 11
)rR(d)rR(
0d
222 rRd
A
a d
c b
BC
D
P
A
P
Bb
a
c
dC D
5). CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Dos circunferencias son secantes cuando tienen dos puntos comunes.
R
O -------------------- O’
D r
6). CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS.- Son aquellas que
tiene el mismo centro.
R
O
r
7). CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- si dichas circunferencias se intersectan y sus tangentes también se intersectan en el mismo punto formando un ángulo recto. Las tangentres al intersectarse pasan por los centros de las
circunferencias.
R r
O ---------------------------- O’
d
III. CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO
1. TEOREMA DE LAS CUERDAS.
En una misma circunferencia, si dos cuerdas se cortan se cumple que:
el producto de las partes de la primera cuerda es igual al producto de
las partes de la segunda.
Si AB y CD se cortan en P determinan los segmentos:
En AB : AP = a; PB = b
En CD : CP = c; PD = d
Luego a.b = c.d .
2. TEOREMA DE LOS SECANTES
Si desde un punto exterior se trazan dos secantes a una misma
circunferencia se cumple que: “la primera secante por su parte
externa es igual a la segunda, también por su parte externa”.
En la figura se trazan:
Se han trazado desde P, las secantes PA y PC
PA = a ; PB = b
PC = d ; PD = c.
Luego a.b = c.d .
3. TEOREMA DE LA TANGENTE Y LA SECANTE
Si desde un punto exterior se trazan una tangente y una secante
a una misma circunferencia, se cumple que: “la tangente al
cuadrado es igual a la secante por su parte externa”.
En la figura PA es la tangente y PC la secante
Si: PA = T; PC = a; PB = b
Luego
T2 = a.b .
A
Bb
aC
T
P
I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
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IV. APLICANDO LO APRENDIDO PROBLEMAS DE APLICACIÓN
01) AP = 6, PB = 4, CD = 11, hallar “CP”
Rpta.:
02) EF = 6, AB = 4, hallar AE
Rpta.:
03) Calcular “OD”si (AD)(DB) = 200 “O” es centro.
Rpta.:
04) La distancia mínima entre dos circunferencias exteriores es 8 y la máxima es 20. calcular la distancia entre sus centros. Rpta.:
05) AQ = 2; PQ = 4; calcular “r”
Rpta.:
06) Hallar “x”
Rpta.:
07) Hallar “x”, AB = 2, BC = 8, DC = 16
Rpta.:
08) Hallar “x”
Rpta.:
09) Hallar “x”
Rpta.:
10) En la figura, calcular “CT”, si AD = 4; CB = 9, “O” es centro y “T” es punto de tangencia
Rpta.:
11) En la figura RS es una tangente, RU y RZ , son secantes, hallar “RU”
Rpta.:
12) Del gráfico AM = MC. Calcular “BQ” siendo AP = 4, PB = 5 y QC = 3
Rpta.:
13) En la figura, hallar “x”
Rpta.:
D
C
B
AP
F
B
A
E
B
A
D
15
O
x
M
N8
2
C
A
B
D E
x
x
5
4
12
7
x
B
TD
C
A O
6S
R
5
Z
U
B
A C
P Q
M
16
x 6
8 5
B A
P
Q r
I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
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14) En la figura mostrada BC = 2, CD = 1, DE = 3. Hallar AB
Rpta.:
15) Calcular ”AB” si: BC = 5, CD = 15
Rpta.:
16) En la figura mostrada, calcular “EB”, si AM = ME = ED = 3 y CM = 2
Rpta.:
17) Si “Q” es punto de tangencia MN = 9, MH = 16, 5EP = PH , calcular “PQ”
Rpta.:
18) Calcular “r”, si PQ = 1, QR = 4 y OR = 6
Rpta.:
19) Calcular “r”
Rpta.:
20) Calcular “AB”, si BC = 3, CD = 5, DE = 4
Rpta.:
V. PROBLEMAS PARA LA CASA PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO
01) Calcular “AB”, si AP = x, PB = x + 4, CP = x + 2, PD = x + 1
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
02) En la figura mostrada hallar el radio “r” si: DC = 7, PC = 12, PA = 2
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
03) En la figura PB = 5, BC = 3PB , hallar “PA”
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
04) Si P, Q, S; son puntos de tangencia. Calcular “PS”
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
BC
D
E
A
DCBA
A B
C
D
M
E
M
E
Q
P
N
H
O
P Q R
r
10
r
4
CA B
D
E
DA
BC
P
P
C
AB
D
O
r
A
P
C
B
P
16
4
6
Q S
I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
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05) De la figura el radio “R”
a) 4,5 b) 6,5 c) 5,5 d) 7,5 e) 9,5
06) En la figura AB2PB ; si BQ = 3, hallar “BC”
a) 6 b) 5 c) 4 d) 7 e) 8
07) Una cuerda de 24 de longitud se encuentra a 5 del centro de una circunferencia. Calcular el diámetro de dicha circunferencia.
a) 17 b) 40 c) 32 d) 26 e) 24
08) Calcular “CD”, si AD = 9, DB = 4
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
09) Una cuerda mide 6 y su flecha correspondiente mide 1. ¿Cuántos mide el radio de la circunferencia?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
10) En la figura PM = 12, PA = 8. Hallar AB
a) 14 b) 12 c) 8 d) 9 e) 10
11) En la figura calcular “PT”, si BC = 2 y AB = 1
a) 5 b) 2 c) 4 d) 3 e) 1
12) En la figura mostrada, hallar “BC”, si CE = 4, ED = 2, al triángulo ACD es equilátero y “A” es punto de tangencia.
a) 6 b) 9 c) 8 d) 12 e) 5
13) Si AT = 4 y BR = 2. calcular “TB” (T punto de tangencia)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14) En una circunferencia de centro “O” y de radio 6. dos cuerdas AB y CD se cortan en I, si AI = 5 y OI = 4. Hallar IB
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15) Se tiene una circunferencia de centro “O” cuyo radio mide
15. se traza la cuerda AB y sobre ella se elige un punto “M” tal que AM x MB = 200. Calcular “OM” a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 10
MISELANEA SOBRE RELACIONES MÉTRICAS NIVEL I
1. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos
sobre la hipotenusa están en la relación 2:1. El cateto
mayor mide 64 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
a) 10 cm b) 12 cm c) 9 cm d) 11 cm e) 13 cm
2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10cm y
uno de los catetos mide 8 cm. ¿Cuánto mide la
proyección del cateto menor sobre la hipotenusa?
a) 6,4 b) 2,8 c) 3 d) 3,6 e) 5
3. En un rectángulo ABCD: AB = 6 cm BC = 8 cm, calcular la longitud
de la proyección del lado BC sobre la diagonal AC .
a) 5,4 b) 6,4 c) 5 d) 6 e) 3,6
4. Sobre el lado BC de un rectángulo ABCD se toma un
punto P tal que el ángulo APD es recto. SI BP = 3, PC = 12.
Hallar el perímetro de dicho rectángulo.
a) 40 b) 44 c) 42 d) 46 e) 38
3
6
C
Q A
P
B
B
C
A DO
A
P
B
M
B
A
C
P T
C
A D
E
B
T
B Q
P
A
R
I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
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A
B C
4x
7
D
A
B C
H
x
D
A
B C
P R
Q
D
R A
B C
P
4
H
Q
D
A
B
C
EP
N
M
A B
CDE
0
A
B C
RQ
D
A T
B
C
P Q
5. Los catetos de un triángulo rectángulo miden a y b, si:
144
1
b
1
a
122
Calcular la altura relativa a la hipotenusa.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
6. En la figura ABCD es un cuadrado. Hallar “x”.
a) 9 b) 8 c) 7 d) 5 e) 6
7. SI ABCD es un cuadrado, hallar RH.
a) 3,6 b) 4 c) 4,8 d) 5,2 e) NA
8. En la figura AB = 3, BC = 4, AD = 7, hallar “x”.
a) 1 b) 2
2 c) 3
3 d) 2
1 e) 3
2
9. En la figura PQR es un triángulo equilátero y ABCD es un
cuadrado si PC = 10. Hallar el área del cuadrado.
a) 22 b) 17 c) 7
3400 d) 327
300 e) 1
10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, AB = 8, BC = 6; se
traza la mediana CM ; calcular la longitud de la
proyección de CM sobre AC .
a) 1,2 b) 3,4 c) 5 d) 6,8 e) 7,9
11. Las bases de un trapecio isósceles miden 2 y 8 m
respectivamente, y cada lado no paralelo mide 6 m.
Hallar la longitud de una de las diagonales.
a) 26 b) 8 c) 7 d) 132 e) 6
12. En el interior de un cuadrado ABCD se toma un punto P,
tal que la mediana del ángulo APD = 90, AP = 4, PD = 3.
Calcular la longitud de la proyección de BP sobre AP .
a) 1 b) 2 c) 3 d) 0,5 e) 2
13. Los lados de un triángulo miden 7,6 y 97 . Calcular la
longitud de la mediana relativa al menor lado.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
14. Se tiene un cuadrado abad sobre CD y AD se toman
los puntos P y Q respectivamente tal que AP = 8, PQ = 4,
AQ = 6. Una de las diagonales del cuadrado mide:
a) 27 b) 9 c) 8,5 d) 28 e) 29
15. Las bases de un trapecio miden 2 y 12 metros
respectivamente. Hallar la altura del trapecio.
a) 5 b) 4 c) 4,8 d) 5,2 e) 5,6
NIVEL II 01. En el triángulo ABC hallar BC sabiendo que: BE = 3, AE = 4,
BP = 2 y ME = PN.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
02. Calcular el radio R de la circunferencia de centro “O”
AD = DO ED = 4 y CD = 8
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
03. Si ABCD es un cuadrado y AB = 4. Calcular QC.
a) 5
52 b) 5
5 c) 5 d) 52 e) 53
04. En la figura mostrada BP = 7, BQ = 13 y QC = 2, hallar PA.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
I. E. P. “Señor de la Vida” MATEMÁTICA 4ºSEC. 2010
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EDCB
FA
TC
D
A 0 B
D
A
B
C
A P
D
B
A
B C
D
F
E
A
B
C
DG
FE
S
Q
RUR
P
D
ER
AR
B0 CR
A
B0
PT
05. Siendo que AB y EF son tangentes tales que BC = ED siendo
AB = 7. Hallar EF.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
06. Si AD = 4 y CB = 9 calcular CT (T punto de tangencia)
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
07. Calcular BC si AB = 3 y CD = 4
a) 1,5 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 4
08. Si PB = 18, AB = 12, PC = 9 Calcular PD
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16
9. Calcular BC si BF = 3, EF = 9 y ED = 16.
a) 19 b) 25 c) 26 d) 28 e) 34
10. Una circunferencia tiene 10 cm de radio. Se traza una
cuerda AB sobre la cual se ubica un punto “M” de modo que
los segmentos determinados sobre dicha cuerda miden 5 y
12 cm.
Calcular la distancia del punto “M” al centro de la
circunferencia.
a) 10 b) 102 c) 5 d) 52 e) 54
11. Si AB = 3, BC = EF = 9 y AD = 2. Calcular FG
a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20
12. En un cuadrado ABCD cuyo lado mide 52 , la
circunferencia inscrita determina en el lado AD el punto “P”.
Si BP interseca a la circunferencia en el punto “R”.
Calcular BR.
a) 0,25 b) 0,5 c) 1 d) 1,5 e) 2
13. PQ = QR, SR = 1, hallar US
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. Si AB y AC son diámetros DE = 3 BC = 4 AO = OC = R. Hallar
“R”.
a) 3 b) 2 c) 4,5 d) 5,5 e) 6
15. Si “O” es centro OB = diámetro y OB = 6. Calcula PT.
a)2 b)1 c)2,5 d)4,5 e)NA
SI ERES JOVEN Y TIENES DE SOBRA AMIGOS Y DE TUS RIQUEZAS NO TE MUESTRAS AVARO,
NO CUENTES CUANTOS AMIGOS TIENES; ESPERA A SER VIEJO Y POBRE