módulo 1: funciones - cálculo...
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Módulo IFunciones
Autor: José Luis Gómez MuñozRevisó: Carlos Daniel Prado Pérez
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El fabricante de radios
Un fabricante puede producir radios a un costo de $100 pesos la unidad. Por experiencia sabe que si los vende a $800 pesos nadie le comprará, si los vende a $790 tendrá en promedio un venta al mes, si los vende a $780 tendrá dos ventas al mes, y asi sigue, aumentando el promedio mensual en una venta por cada $10 pesos que baja el precio de venta. Determine el precio al cual la utilidad del fabricante será mayor.
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Una posibilidad para resolver el problema es construir una tabla
representando que pasa para cada valor del precio de venta. Aquí se
muestran sólo cuatro renglones:
Observamos que la utilidad es muy pequeña si el precio es muy alto,
debido a que se venden pocos radios. Sin embargo, si el precio por radio
es demasiado bajo también la ganancia será pequeña aunque se vendan
muchos radios. Debe haber algún punto donde ambos efectos se
“equilibren” y se obtenga la máxima utilidad.
El fabricante de radios: Resolviendo mediante una tabla
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El fabricante de radios: Construyendo la función
Revisando con cuidado como se construyó la tabla, es posible construir la
expresión matemática para la utilidad como función del precio:
Precio: Llamémosle x al precio.
Radios: Cada vez que bajamos 10 pesos desde 800, se incrementa en uno
la cantidad de radios. Es decir (Radios)=(800-x)/10
Ingreso: (Cantidad de radios por precio) = x(800-x)/10
Costo: (Cantidad de rados por 100)= 100(800-x)/10
Utilidad: (Ingreso menos costo)=x(800-x)/10 - 100(800-x)/10
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El fabricante de radios: Graficando
Usando la fórmula que
obtuvimos, graficamos la
utilidad (eje Y) como función
del precio de venta (eje X). Si
usamos Mathematica, los
comandos para graficar es:
f[x_]:=(x-100)*(800-x)/10
Plot[f[x],{x,100,800}]
En la gráfica que obtenemos
se ve que el mejor precio es
de 450, lo cuál da la utilidad
mensual máxima de 12250.
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La ventana normanda
Una ventana normanda tiene forma de rectángulo rematado
por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30
pies, encuentra las dimensiones de la ventana de modo que
se admita la cantidad más grande de luz posible.
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La ventana normanda:Obteniendo la fórmula
Sea “x” la base del rectángulo y sea “y” su
altura. Entonces el radio del semicírculo es
“x/2”.
Para que se admita la mayor cantidad de
luz, necesitamos la ventana de mayor área
posible.
El área de la ventana es el área del
rectángulo más el área del semicírculo:
8
22
1
2
2
xxyA
xxyA
8
La ventana normanda:Usando la restricción
Dado que el perímetro tiene que ser 30
pies según el enunciado, “x” y “y” están
relacionadas por la siguiente ecuación:
podemos despejar “y” para obtener:
y reemplazamos en el área:
302
2x
yx
4215
xxy
8215
22 xxxA
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La ventana normanda:Tabulando y graficando
Utilizando la fórmula para el área como función sólo de x, podemos
tabular y graficar. Tanto de la tabla como de la gráfica observamos que
la ventana con mayor área debe tener una base aproximadamente x=8
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Fabricando latas
Una lata cilíndrica debe tener una capacidad de un cuarto de
litro. El costo del material en las tapas es de 3 pesos por
centímetro cuadrado, y en la parte lateral es de 2 pesos por
centímetro cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones de la lata
de menor costo?
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Fabricando latas: Obteniendo la fórmula
Sea “c” el costo de la lata
c=costo
c=(costo tapas)+(costo lateral)
como cada centímetro cuadrado
de las tapas cuesta $3 mientras
que cada centímetro cuadrado del
lado cuesta $2:
c=3(área tapas)+2(área lado)
es decir:
rhrc
rhrc
46
2223
2
2
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Fabricando latas:Usando la restricción
Dado que el volumen tiene que ser 250
centímetros cúbicos (un cuarto de
litro), entonces “r” y “h” están
relacionadas por la siguiente ecuación:
despejando “h”:
sustituyendo en el costo obtenemos:
2502hr
2
250
rh
rrc
10006 2
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Fabricando latas:Tabulando y graficando
Utilizando la fórmula para el costo como función sólo de r, podemos
tabular y graficar. Tanto de la tabla como de la gráfica observamos que
la lata con menor costo debe tener un radio aproximadamente r=3
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La caja de mayor volumen
Debe construirse una caja con su parte superior abierta a
partir de un trozo rectangular de cartón de 12 cm por 20 cm,
recortando cuadrados iguales de lado “x” en cada una de las
esquinas y doblando los lados resultantes. Obtenga el valor
de “x” para tener la caja de mayor volumen.
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La caja de mayor volumen:Obteniendo la fórmula
El volumen de una caja
de base rectangular es:
V= (largo)(ancho)(altura)
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La caja de mayor volumen:Usando la restricción
Debido a la forma en que
se va a cortar esta caja:
largo=(20-2x)
ancho=(12-2x)
altura=x
entonces el volumen queda:
V= (20-2x)(12-2x)(x)
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La caja de mayor volumen:Tabulando y graficando
Con la fórmula para el volumen como función sólo de x, podemos
tabular y graficar. Tanto de la tabla como de la gráfica observamos que
lacaja con mayor volumen debe tener un corte aproximadamente x=2.5
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Ejercicios
Si el largo de un rectángulo es el doble de su ancho, expresar el perímetro en función de su área. Solución:
Expresar el área de un triángulo equilátero como función de la longitud de uno de sus lados. Solución:
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AP
4
3 2LA
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Ejercicios
Un rectángulo tiene un perímetro de 20 metros. Exprese su área como función de la longitud de uno de sus lados.
Un rectángulo tiene un área de 16 metros cuadrados. Exprese su perímetro como función de uno de sus lados.
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Definición de función
Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento f(x) de un conjunto B.
Al conjunto A se le llama Dominio de la función, y al conjunto B Contradominio, rango o imagen.
En este curso tanto x como f(x) son números reales.
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x xf
Función como máquina
Podemos imaginar una función como una máquina. Si x está dentro del Dominio de f, es aceptada como entrada y se produce la salida que le corresponde, f(x).
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Cuatro maneras de representar una función
Verbalmente
Numéricamente (tabla de valores)
Gráficamente
Fórmula explícita
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2
12 tt
ttf
4 2 4)( uuh
94
1
2xxg
523 23 xxxxp
Encuentra el dominio de:
Ejercicios
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Dominio de funciones
Obtener dominio de:
29 ttg 29 ttf
42x
xxh
42x
xxy
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Creciendo y decreciendo
Función creciente: si a>b entonces f(a)>f(b)
Función decreciente: si a>b entonces f(a)<f(b).
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Resumen
Vimos definición de función, dominio e imagen.
Cuatro maneras de representar una función
Obtención del dominio de una función
Ejemplos de poner una cantidad en función de otra y optimizarla mediante tabulación y graficación