Módulo 4: Modelos exponenciales y logarítmicos

Autor: José Luis Gómez MuñozRevisó: Carlos Daniel Prado Pérez

El f b t iEl frasco con bacteriasEn un frasco a las cero horas hay 100 bacterias. Si la población de bacterias aumenta continuamente de tal

d li d 3 hmanera que se duplica cada 3 horas:a) Calcula cuantas bacterias hay a las 15 horas.b) E i b i h l 16 hb) Estima cuantas bacterias hay a las 16 horas.c) Escribe la población como una función potencia con b 2base 2.d) Vuelve a responder al inciso “b” usando la función potencia del inciso “c”potencia del inciso c .e) Escribe la población como una función potencia con base e

2base e.

Tabulando la cantidad deTabulando la cantidad de bacteriasEl enunciado nos dice que se duplica la población cada tres horas, a partir de una población inicial de 100. Es decir:

Con esta tabla es fácil responder el inciso “a”, ¿cuántas bacterias hay a las 15 Co esta tab a es ác espo de e c so a , ¿cuá tas bacte as ay a as 5horas? Pero, para el inciso “b”, ¿cuántas bacterias hay a las 16 horas? Escribe en tu cuaderno una respuesta aproximada.

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Obt i d l fó lObteniendo la fórmulaTratemos de convertir las operaciones que hicimos para construir la tabla en unaTratemos de convertir las operaciones que hicimos para construir la tabla en una fórmula:

Al construir la tabla, como la población se DUPLICA, utilizamos potencias de DOS. Así, para t=0 utilizamos dos a la cero, para t=3 utilizamos dos a la uno, para t=6 utilizamos dos a la dos, para t=9 utilizamos dos a la tres, es decir, el exponente del 2 lo obtenemos dividiendo el tiempo entre tres. Así nuestra fórmula es:

( ) 32100t

4( ) 32100tp ∗=

A li d l fó lAnalizando la fórmulaEntonces la fórmula explícita para la población como función del tiempo es:

( ) 32100t

tp ∗=( )Observa la relación de la fórmula con el enunciado del

bl El “100” d l bl ió i i i l El “2”problema: El “100” corresponde a la población inicial. El “2” corresponde al hecho de que la población se “duplica”, y el “3” corresponde a cada 3 horas3 corresponde a cada 3 horas.Así, para una población de bacterias que a partir de 150 individuos se triplica cada cinco horas: p(t)=150*3t /5.

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p p( )

i li d l blFinalizando el problemaYa que tenemos la fórmula, la evaluamos en t=16 para saber cuantas bacterias hay a las 16 horas:

16/3p(16) =100*216/3 = 4031 bacterias¿Que tan aproximada fue tu estimación para p(16)?

5000

6000( ) 32100t

tp ∗=

2000

3000

4000Con algebra y logaritmos se puede reescribir la misma función p(t) de la forma:

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

1000

( ) ( ) tetp 231049.0100∗=

función p(t) de la forma:

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é ili l ú ?¿Por qué utilizamos el número e?

De todas las funciones potencia y = a x la funciónDe todas las funciones potencia y a , la función y = e x es la única cuya derivada es ella misma.

La función y = e x es muy útil en ecuaciones dif i l É h idiferenciales. Éstas son una herramienta matemática muy poderosa para describir diversos ffenómenos.

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éInterés compuestoSi tienes 1000 pesos en el banco a un interés anual del 6%. Cada mes te pagarán intereses (compuesto mensualmente). Si todo lo vuelves a meter al banco durante cinco meses ¿cuánto dinero tienes al final?cinco meses, ¿cuánto dinero tienes al final?

Respuesta: Cómo el interés anual es de 6%=0.06, el interés cada mes es de 0.06/12.Con la siguiente tabla se obtieneCon la siguiente tabla se obtiene

Mes Capital Al final del mes tienes: Se puede escribir1 1000.00 1000.00(1+0.06/12)=1005.00 1000.00(1+0.06/12)( ) ( )2 1005.00 1005.00(1+0.06/12)=1010.02 1000.00(1+0.06/12)2

3 1010.02 1010.02(1+0.06/12)=1015.07 1000.00(1+0.06/12)3

4 1015.07 1015.07(1+0.06/12)=1020.15 1000.00(1+0.06/12)4

5 1020.15 1020.15(1+0.06/12)=1025.25 1000.00(1+0.06/12)5

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ó l d l i éFórmula del interés compuestoSi tienes “S0” pesos a un interés anual “r” compuesto “n” veces por año durante “t” años, al final tendrás:

ntr⎛ ⎞( ) 0 1 rS t Sn

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Así 1000 pesos durante 3 años con una tasa de interés del 6% anual te darán:compuesto anualmente: 1000(1+0.06)3 =1191.02compuesto semestralmente: 1000(1+0.06/2)6 =1194.05

12compuesto trimestralmente: 1000(1+0.06/4)12 =1195.62compuesto mensualmente: 1000(1+0.06/12)36 =1196.68compuesto diariamente: 1000(1+0.06/365)1095=1197.20

Mientras más corto el periodo de composición, más dinero se obtiene al final.¿cuánto será lo máximo que se puede obtener?

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é iInterés compuesto continuo

En el caso límite, cuando el interés es compuesto en forma continua la fórmula del interés compuesto se convierte encontinua, la fórmula del interés compuesto se convierte en un exponencial:

( ) r tS t S

E l j l i l id d á i d di

0( ) tS t S e=

En el ejemplo anterior, la cantidad máxima de dinero que se puede obtener es:

( ) ( )0 06 (3)( ) ( )0.06 (3)3 1000 1197.22S e= =

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C i i t i lCrecimiento exponencial2⎞⎛( ) xexfy ==1

xexfy 3

2

2 32

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

x2121 ⎞⎛ xexfy 3

3 21

32

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

6

8

y1

2

4y1

y2

y3

00 0.5 1 1.5 2

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M d l i lModelo exponencialCrecimiento Exponencial

( ) kxAexy = eY

eny=

A

( ) Aexy

Cruz

aal

eje

Decrecimiento Exponencial

0 0.5 1 1.5 2 2.5

( ) kxAexy −=

al e

je Y

en

y=A

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Cruz

a a

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M d l E i lModelos ExponencialesCurva de aprendizajecruza al eje Y en y =B-Apara x grande tiende a y = B

1.5

2

2.5

para x grande tiende a y = Bpara x negativa tiende a menos infinito

( ) kxAeBxy −−= 0 5

0

0.5

1

-1 0 1 2 3 4 5

Curva logística

( ) AeBxy

1.2

-0.51 0 1 2 3 4 5

cruza al eje Y en y = B/(1+A)para x grande tiende a y = Bpara x negativa tiende a cero 0.4

0.60.8

1

p g

( ) kxAeBxy −+

=1

00.2

-2.5 2.5 7.5

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Q é t i j fó il?¿Qué tan viejo es un fósil?En 1960, W.F. Libby ganó el premio Nobel por el descubrimiento de la datación mediante carbono 14, una técnica para determinar la edad de fósiles .El dióxido de carbono presente en el aire contiene el isótopo radiactivo C(14) (“carbono p p ( ) (catorce”) así como el isótopo estable C(12) (“carbono doce”). Las plantas vivas absorben dióxido de carbono del aire lo que implica que la razón de C(14) a C(12) en una planta viva (o en un animal que se alimenta de plantas) es la misma que se presenta

l i C d l t i l l b ió d dió id d ben el aire. Cuando una planta o animal muere, cesa la absorción de dióxido de carbono. El C(12) que ya está en la planta permanece igual que en el momento de la muerte, mientras que el C(14) se desintegra, y la razón de C(14) a C(12) decreceexponencialmente. Así, la razón de C(14) a C(12) en un fósil está dado por una función p , ( ) ( ) pde la forma:

donde Ro es la razón de C(14) a C(12) en la atmósfera.

( ) ktoeRtR −=

La vida media del C(14) es de 5730 años. Esto quiere decir que después de 5730 años queda sólo la mitad del C(14) original. Encuentre cuanto vale k en la función de R(t).

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P blProblema

Un arqueólogo encontró un fósil en el que la razón de C(14) a C(12) es un quinto de lala razón de C(14) a C(12) es un quinto de la razón encontrada en la atmósfera. A i d ál l d d d lAproximadamente, ¿cuál es la edad del fósil? (Usa el valor de k que encontraste dado que el carbono 14 tiene una vida media de 5730el carbono 14 tiene una vida media de 5730 años).

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ió iFunción inversaSea f una función uno a uno, con dominio A y con imagen B. Entonces su función inversa f- - 1 tiene dominio B e imagen Ay la define la siguiente relación:

( ) ( ) yxfxyf =⇔=−1( ) ( ) yxfxyf =⇔=

Por ejemplo, si f (3)=16, quiere decir que si a la función entra un 3 se produce como resultado un 16. Su función inversa produce el efecto inverso, si entra un 16 a la función inversa entonces produce un 3, esto es: f – 1 (16)=3.

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Función inversa algebráica yFunción inversa algebráica y gráfica

1

2

3

( ) 3 2f x x= +-3 -2 -1 1 2 3

2

-1

( )fLa función inversa se obtiene:a) Escribiendo “y” en lugar de “f (x)”

-3

-2

3

) y g f ( )b) Despejando “x”c) Intercambiando los nombre de “x”, “y”

-3 -2 -1 1 2 3

1

2Verifica que este procedimiento da en este ejemplo la siguiente fórmula:

( )-3

-2

-1( ) 31 2−=− xxf

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No siempre existe la funciónNo siempre existe la función inversa

¿Por qué decimos que la función g(x) no tiene función inversa? 1

2

3

( ) 12xxg

g(x) no tiene función inversa?-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

( ) 1−= xxg

N t l dib j d b j

-3

-2

3

Nota que el dibujo de abajo no es una función porque cada entrada (x) tiene más de una salida (y) -3 -2 -1 1 2 3

1

2

(x) tiene más de una salida (y)

-3

-2

-1

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“C l d ” f i“Cancelando” funcionesLa idea esencial del concepto de función inversa es que ésta “cancela” (vía composición) el efecto de la función

( )directa. En efecto, esto es:

( )( ) xxff =−1

( )( )1 ( )( ) xxff =−1

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L itLogaritmosEl logaritmo base “a” es la función inversa de la función y = a x.

NOTA: Usualmente la palabra “log” sola significa logaritmo base 10, pero en Mathematica “Log” sola significa logaritmo base natural.

111 log1 xyay ax =⇔= In[1] x1=Log[a,y1]

222 log10 2 xyy x =⇔= In[2] x2=Log[10,y2]

333 ln3 xyey x =⇔= In[3] x3=Log[y3]

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P i d d d l itPropiedades de logaritmos

( )log log loga a au v u v= +( )g g ga a a

u⎛ ⎞log log loga a au u vv

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

log logv

vu v u⎝ ⎠

=log loga au v u=

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G áfi d l l itGráfica del logaritmo

Log(x)

1 2

)(log)( xxf a=

0 60.8

11.2

Dominio:Reales positivos (no se

00.20.40.6p (

incluye al cero)Imagen:Reales

0 6-0.4-0.2

00 2 4 6 8 10

RealesEl logaritmo siempre es creciente aunque su crecimiento es muy

-0.8-0.6crecimiento es muy

moderado aún para valores grandes de x.

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D ib lDecibelesUn decibel, denominado así por Alexander Graham Bell, es el incremento mínimo de volumen de un sonido detectable por el oído humano. Cuando ocurren dos sonidos de intensidades Ia, Ib (en watts/cm^2), con Ib>Ia, la diferencia de volumen es D decibeles, donde:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= b

IID 10log10

Tomando Ia como el umbral de audición humana, Ia = 10^(-12) , el volumen de una conversación normal es D1=60 decibeles, mientras que un concierto de rock tiene un

i l d D2 110 d ib l

⎠⎝ aI

nivel de D2=110 decibeles.¿Cuánto más intenso es el sonido de un concierto de rock que el de una conversación?El umbral de dolor se alcanza cuando el nivel de un sonido es más o menos 10 veces más alto que el de un concierto de rock ¿Cuál es el nivel de decibeles del umbral demás alto que el de un concierto de rock. ¿Cuál es el nivel de decibeles del umbral de dolor con respecto a Ia?

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Resumen

Revisamos los modelos exponenciales.

Definimos los logaritmos.Definimos los logaritmos.

Realizamos problemas de aplicación tanto de exponenciales como de logaritmos.p g

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