Modelos y Aplicaciones

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Graciela Gonzalez FarıasVerano de Probabilidad y Estadıstica

CIMAT, Unidad Monterreyfarias@cimat.mx

Guanajuato, GTO, a 18 de julio de 2011

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Genesis

Epidemiologıa.Mapeo del riesgo de una enfermedad. Tasas de incidencia de SIDAen 2005

Fuente: Ministerio de Salud del Peru. Direccion General de Epidemiologıa

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Genesis

Epidemiologıa.Numero de casos dengue agrupados en clusters por marginacion yaltitud

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Genesis

Geoestadıstica. Acuıfero

Estrato o formacion geologica permeable que permite la circulacion y el almacenamiento del agua subterranea porsus poros o grietas. Acuıferos de aguas profundas un tema de relevancia nacional para nuestro paıs

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Genesis

Procesamiento de Imagenes: Texturas

Textura de piso quebrado

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Genesis

Texturas en Agronomıa

Food scientist William Windham analyzes texture data for rice

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Genesis

Agronomıa

Agave Tequilana WeberAgave Tequilana Weber

harvest method

ProductProduct

Fungus FusariumFungus Fusarium Level 3Level 3

Patron de enfermedad del agave azul

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Genesis

Agronomıa0

510

1520

25 time 0

05

1015

2025 time 1

05

1015

2025 time 2

0 20 40 60 80 100

05

1015

2025 time 3

( Patron de enfermedad del agave azul )

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Genesis

Temas solo por la superficie

Planteamiento del problema

Construccion de Modelos

para dar respuesta al problema

Inferencia estadıstica plausible a traves del modelo y con lacapacidad de

Interpretaciones en el contexto del problema: patron deenfermedad del agave

Conclusiones

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Genesis

Temas solo por la superficie

Planteamiento del problema

Construccion de Modelos para dar respuesta al problema

Inferencia estadıstica plausible a traves del modelo y con lacapacidad de

Interpretaciones en el contexto del problema: patron deenfermedad del agave

Conclusiones

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Genesis

Temas solo por la superficie

Planteamiento del problema

Construccion de Modelos para dar respuesta al problema

Inferencia estadıstica

plausible a traves del modelo y con lacapacidad de

Interpretaciones en el contexto del problema: patron deenfermedad del agave

Conclusiones

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Genesis

Temas solo por la superficie

Planteamiento del problema

Construccion de Modelos para dar respuesta al problema

Inferencia estadıstica plausible a traves del modelo y con lacapacidad de

Interpretaciones en el contexto del problema: patron deenfermedad del agave

Conclusiones

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Genesis

Temas solo por la superficie

Planteamiento del problema

Construccion de Modelos para dar respuesta al problema

Inferencia estadıstica plausible a traves del modelo y con lacapacidad de

Interpretaciones en el contexto del problema: patron deenfermedad del agave

Conclusiones

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Genesis

Temas solo por la superficie

Planteamiento del problema

Construccion de Modelos para dar respuesta al problema

Inferencia estadıstica plausible a traves del modelo y con lacapacidad de

Interpretaciones en el contexto del problema: patron deenfermedad del agave

Conclusiones

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Planteamiento del problema

Dependencias

Es claro de los ejemplos anteriores que datos con estructuras dedependencias espacio temporales son frecuentes en muchassituaciones asociadas a problemas tanto en agronomıa, medioambiente o la industria en general.

Pondremos como ejemplo especıfico el problema del agave porlas razones expuestas.

Como se construyen modelos que tomen en cuenta, porejemplo, dependencias espacio temporales y cuya variablerespuesta no es contınua, nos lleva a revisar nuestrosconceptos basicos de al menos, probabilidad y regresion.......

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Planteamiento del problema

Patrones del esparcimiento de la enfermedad

Dependencias

La evidencia empırica parece indicar que existe unaesparcimiento de la enfermedad con un patron espacial quecambia con el tiempo.

Lo que nos interesa es probar si tal afirmacion tiene sustento.

En otras palabras, quiseramos ver si podemos establecer almenos, la existencia de un proceso latente de tipo markoviano(uups, otro vocabulario) que determina el desarrollo de laenfermedad de acuerdo al estado de las plantas vecinas.

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Planteamiento del problema

Patrones del esparcimiento de la enfermedad

Dependencias

La evidencia empırica parece indicar que existe unaesparcimiento de la enfermedad con un patron espacial quecambia con el tiempo.

Lo que nos interesa es probar si tal afirmacion tiene sustento.

En otras palabras, quiseramos ver si podemos establecer almenos, la existencia de un proceso latente de tipo markoviano(uups, otro vocabulario) que determina el desarrollo de laenfermedad de acuerdo al estado de las plantas vecinas.

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Planteamiento del problema

Patrones del esparcimiento de la enfermedad

Dependencias

La evidencia empırica parece indicar que existe unaesparcimiento de la enfermedad con un patron espacial quecambia con el tiempo.

Lo que nos interesa es probar si tal afirmacion tiene sustento.

En otras palabras, quiseramos ver si podemos establecer almenos, la existencia de un proceso latente de tipo markoviano(uups, otro vocabulario) que determina el desarrollo de laenfermedad de acuerdo al estado de las plantas vecinas.

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Planteamiento del problema

Patrones del esparcimiento de la enfermedad

Dependencias

Descripcion preliminar del problema

Plantas de agave de cuatro anos de antiguedadUn total de 2731 plantasSe presume que el contagio es por el contacto de las raıces

ContactoPracticas de operacion

Se podrıa hablar de tratamientos, por ejemplo

Dos dosis de fungicidas comerciales(10× 1000 y 5× 1000): T1 y T2

Un lote de control: Tc

Para simplificar el planteamiento solo consideraremos un lotebajo practicas normales de operacion

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Planteamiento del problema

Patrones del esparcimiento de la enfermedad

Datos Espaciales {Zs : s ∈ D}

Datos Georeferenciados. Matheron (60’s). Modelacion de lavariabilidad. Correlacion espacial en terminos de distancias.

Gran escala (Tendencia espacial, Estructura para la media)Pequena escala (Correlacion espacial)

Patrones Puntuales. Ocurrencia espacial de eventos

Patrones: aleatorios, regulares, en clusters.

Datos en Latices. Modelacion espacial en terminos devecinos.

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Planteamiento del problema

Patrones del esparcimiento de la enfermedad

Datos Espaciales {Zs : s ∈ D}

Datos Georeferenciados. Matheron (60’s). Modelacion de lavariabilidad. Correlacion espacial en terminos de distancias.

Gran escala (Tendencia espacial, Estructura para la media)Pequena escala (Correlacion espacial)

Patrones Puntuales. Ocurrencia espacial de eventos

Patrones: aleatorios, regulares, en clusters.

Datos en Latices. Modelacion espacial en terminos devecinos.

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Planteamiento del problema

Patrones del esparcimiento de la enfermedad

Datos Espaciales {Zs : s ∈ D}

Datos Georeferenciados. Matheron (60’s). Modelacion de lavariabilidad. Correlacion espacial en terminos de distancias.

Gran escala (Tendencia espacial, Estructura para la media)Pequena escala (Correlacion espacial)

Patrones Puntuales. Ocurrencia espacial de eventos

Patrones: aleatorios, regulares, en clusters.

Datos en Latices. Modelacion espacial en terminos devecinos.

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Planteamiento del problema

Patrones del esparcimiento de la enfermedad

Datos Espaciales {Zs : s ∈ D}

Datos Georeferenciados. Matheron (60’s). Modelacion de lavariabilidad. Correlacion espacial en terminos de distancias.

Gran escala (Tendencia espacial, Estructura para la media)Pequena escala (Correlacion espacial)

Patrones Puntuales. Ocurrencia espacial de eventos

Patrones: aleatorios, regulares, en clusters.

Datos en Latices. Modelacion espacial en terminos devecinos.

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Planteamiento del problema

Patrones del esparcimiento de la enfermedad

Datos en Latices

( Patron de enfermedad del agave azul )

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Construccion del Modelo

Datos en Latices

Sea yijt sea una variable aleatoria definida por el estatus de laplanta en el i − esimo renglon, j − esima columna, al tiempot, (i = 1, · · · , I , j = 1, · · · , J, t = 0, 1, · · · ,T )

Tenemos plantas en un latice de dimension I × J el cual semantiene bajo observacion en los tiempos 0, 1, · · · ,TEl nivel del dano observado en cada planta representa unavariable ordinal con niveles 1, 2, · · · , S donde el nivel 1 serefiere a plantas sanas, y S al maximo nivel de dano.

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Construccion del Modelo

Datos en Latices

Sea yijt sea una variable aleatoria definida por el estatus de laplanta en el i − esimo renglon, j − esima columna, al tiempot, (i = 1, · · · , I , j = 1, · · · , J, t = 0, 1, · · · ,T )

Tenemos plantas en un latice de dimension I × J el cual semantiene bajo observacion en los tiempos 0, 1, · · · ,T

El nivel del dano observado en cada planta representa unavariable ordinal con niveles 1, 2, · · · , S donde el nivel 1 serefiere a plantas sanas, y S al maximo nivel de dano.

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Construccion del Modelo

Datos en Latices

Sea yijt sea una variable aleatoria definida por el estatus de laplanta en el i − esimo renglon, j − esima columna, al tiempot, (i = 1, · · · , I , j = 1, · · · , J, t = 0, 1, · · · ,T )

Tenemos plantas en un latice de dimension I × J el cual semantiene bajo observacion en los tiempos 0, 1, · · · ,TEl nivel del dano observado en cada planta representa unavariable ordinal con niveles 1, 2, · · · , S donde el nivel 1 serefiere a plantas sanas, y S al maximo nivel de dano.

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Construccion del Modelo

Propuesta

Podemos incluir covariables para tratar de explicar el nivel dedano tales como : el promedio del estatus de dano de lasplantas aledanas, el tiempo al que hacemos la observacion, elnivel del tratamiento si se considera alguno; esto es,

Podrıamos entonces considerar modelos para la distribuciondel dano condicionada a estas covariables, ası, modelar yijt

dado el conjunto de valores yi ′j ′t′ donde los ındices se refierena algunos vecinos de (i , j , t).

El concepto de vecino de un sitio se refiere a los otros sitiosque rodean a un punto dado y se le llama “vecino cercano”

Esto define un campo Markoviano aleatorio sobre lo que sedenomina un ensamble tiempo × localidad.

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Construccion del Modelo

Propuesta

Podemos incluir covariables para tratar de explicar el nivel dedano tales como : el promedio del estatus de dano de lasplantas aledanas, el tiempo al que hacemos la observacion, elnivel del tratamiento si se considera alguno; esto es,

Podrıamos entonces considerar modelos para la distribuciondel dano condicionada a estas covariables, ası, modelar yijt

dado el conjunto de valores yi ′j ′t′ donde los ındices se refierena algunos vecinos de (i , j , t).

El concepto de vecino de un sitio se refiere a los otros sitiosque rodean a un punto dado y se le llama “vecino cercano”

Esto define un campo Markoviano aleatorio sobre lo que sedenomina un ensamble tiempo × localidad.

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Construccion del Modelo

Propuesta

Podemos incluir covariables para tratar de explicar el nivel dedano tales como : el promedio del estatus de dano de lasplantas aledanas, el tiempo al que hacemos la observacion, elnivel del tratamiento si se considera alguno; esto es,

Podrıamos entonces considerar modelos para la distribuciondel dano condicionada a estas covariables, ası, modelar yijt

dado el conjunto de valores yi ′j ′t′ donde los ındices se refierena algunos vecinos de (i , j , t).

El concepto de vecino de un sitio se refiere a los otros sitiosque rodean a un punto dado y se le llama “vecino cercano”

Esto define un campo Markoviano aleatorio sobre lo que sedenomina un ensamble tiempo × localidad.

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Construccion del Modelo

Propuesta

Podemos incluir covariables para tratar de explicar el nivel dedano tales como : el promedio del estatus de dano de lasplantas aledanas, el tiempo al que hacemos la observacion, elnivel del tratamiento si se considera alguno; esto es,

Podrıamos entonces considerar modelos para la distribuciondel dano condicionada a estas covariables, ası, modelar yijt

dado el conjunto de valores yi ′j ′t′ donde los ındices se refierena algunos vecinos de (i , j , t).

El concepto de vecino de un sitio se refiere a los otros sitiosque rodean a un punto dado y se le llama “vecino cercano”

Esto define un campo Markoviano aleatorio sobre lo que sedenomina un ensamble tiempo × localidad.

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Construccion del Modelo

Propuesta para el problema del agave

En una estructura de latice los vecinos cercanos de primerorden se definen como aquellos que estan formados por loscuatro puntos del cuadrante adjunto, dos en el mismo renglony dos en la misma columna ; los vecinos de segundo orden sedefinen como aquellos que incluye a los de primer orden y alos que corresponden a los puntos de la diagonal.

Vecindad  de  Primer  Orden   Vecindad  de  Segundo  Orden  

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Construccion del Modelo

Propuesta para el problema del agave

En una estructura de latice los vecinos cercanos de primerorden se definen como aquellos que estan formados por loscuatro puntos del cuadrante adjunto, dos en el mismo renglony dos en la misma columna ; los vecinos de segundo orden sedefinen como aquellos que incluye a los de primer orden y alos que corresponden a los puntos de la diagonal.

Vecindad  de  Primer  Orden   Vecindad  de  Segundo  Orden  

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Construccion del Modelo

Propuesta para el modelo de agave

Para un sitio dado (i , j , t) usaremos vecinos de primer ordenaumentados por un elemento mas definido como (i , j , t − 1).

Considerando  sistemas  alterna.vos  de  vecinos  

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Construccion del Modelo

Propuesta para el modelo de agave

Para un sitio dado (i , j , t) usaremos vecinos de primer ordenaumentados por un elemento mas definido como (i , j , t − 1).

Considerando  sistemas  alterna.vos  de  vecinos  

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Construccion del Modelo

Propuesta para el modelo de agave

Para un sitio dado (i , j , t) usaremos vecinos de primer ordenaumentados por un elemento mas definido como (i , j , t − 1).

Considerando  sistemas  alterna.vos  de  vecinos  

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Construccion del Modelo

Propuesta para el modelo de agave

Esto es, si y representa la respuesta en una planta, y siγd(x) = P(y ≤ d | x), d = 1, · · · , S − 1, es la probabilidadacumulada del dano hasta el nivel d , entonces el modelo demomios proporcional postula que

logit[γd(x)] = θd − xTβ, d = 1, · · · , S − 1

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Construccion del Modelo

Propuesta para el modelo de agave

Donde x es un vector de covariables asociado con la plantadada, los θ’s son llamados parametros de “puntos de corte”para los niveles de dano dados (θ1 ≤ θ2 ≤ · · · θS−1).

Entonces, la distribucion de probabilidad (condicional) de yesta dada por

πd(x) ≡ P(y = d | x) =

γ1(x) d = 1

γd(x)− γd−1(x) d = 2, · · · ,S − 1

1− γS−1(x) d = S

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Construccion del Modelo

Propuesta para el modelo de agave

Donde x es un vector de covariables asociado con la plantadada, los θ’s son llamados parametros de “puntos de corte”para los niveles de dano dados (θ1 ≤ θ2 ≤ · · · θS−1).

Entonces, la distribucion de probabilidad (condicional) de yesta dada por

πd(x) ≡ P(y = d | x) =

γ1(x) d = 1

γd(x)− γd−1(x) d = 2, · · · ,S − 1

1− γS−1(x) d = S

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Construccion del Modelo

Propuesta natural?

Surgen un par de problemas al especificar una conjuntamediante condicionales:

P(yi | y1, · · · , yi−1, yi+1, · · · , yn)

• Consistencia, existencia de la distribucion conjunta paratodas las localidades.

P(y) = P(z)n∏

i=1

P(yi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

P(zi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

• Calculo de la constante de normalizacion (tambien llamadaFuncion de Particion)

P(z) =

0@Xy1

· · ·Xyn

nYi=1

P(yi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

P(zi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

1A−1

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Construccion del Modelo

Propuesta natural?

Surgen un par de problemas al especificar una conjuntamediante condicionales:

P(yi | y1, · · · , yi−1, yi+1, · · · , yn)

• Consistencia, existencia de la distribucion conjunta paratodas las localidades.

P(y) = P(z)n∏

i=1

P(yi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

P(zi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

• Calculo de la constante de normalizacion (tambien llamadaFuncion de Particion)

P(z) =

0@Xy1

· · ·Xyn

nYi=1

P(yi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

P(zi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

1A−1

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Construccion del Modelo

Propuesta natural?

Surgen un par de problemas al especificar una conjuntamediante condicionales:

P(yi | y1, · · · , yi−1, yi+1, · · · , yn)

• Consistencia, existencia de la distribucion conjunta paratodas las localidades.

P(y) = P(z)n∏

i=1

P(yi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

P(zi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

• Calculo de la constante de normalizacion (tambien llamadaFuncion de Particion)

P(z) =

0@Xy1

· · ·Xyn

nYi=1

P(yi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

P(zi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

1A−1

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Construccion del Modelo

Propuesta natural?

Surgen un par de problemas al especificar una conjuntamediante condicionales:

P(yi | y1, · · · , yi−1, yi+1, · · · , yn)

• Consistencia, existencia de la distribucion conjunta paratodas las localidades.

P(y) = P(z)n∏

i=1

P(yi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

P(zi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

• Calculo de la constante de normalizacion (tambien llamadaFuncion de Particion)

P(z) =

0@Xy1

· · ·Xyn

nYi=1

P(yi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

P(zi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

1A−1

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Construccion del Modelo

Propuesta natural?

Surgen un par de problemas al especificar una conjuntamediante condicionales:

P(yi | y1, · · · , yi−1, yi+1, · · · , yn)

• Consistencia, existencia de la distribucion conjunta paratodas las localidades.

P(y) = P(z)n∏

i=1

P(yi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

P(zi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

• Calculo de la constante de normalizacion (tambien llamadaFuncion de Particion)

P(z) =

0@Xy1

· · ·Xyn

nYi=1

P(yi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

P(zi | y1, · · · , yi−1, zi+1, · · · zn)

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Construccion del Modelo

Para asegurar consistencia, la distribucion conjunta debe obedecerel Teorema de Hammersley–Clifford, el cual pide que lascondicionales completas sean de naturaleza local y entonces

P(y) =1

C(θ)exp

8<:Xi

yi Gi (·) +Xi<j

yi yjGij (·) +X

i<j<k

yi yj ykGijk (·) + · · · + y1 · · · ynG1···n(·)

9=;

donde las funciones G son tales que Gi1,··· ,is depende solamente de

yi1 , · · · , yis , y pueden ser no nulas solo si i1, · · · , is forman un clique.

Se dice que el sitio j es vecino del sitio i si:

P(yi | y1, · · · , yi−1, yi+1, · · · , yn)

depende de yj . Sea Ni el conjunto de vecinos de i , una distribucion es unCampo Aleatorio Markoviano si:

P(yi | y1, · · · , yi−1, yi+1, · · · , yn) = P(yi | Ni ), i = 1, · · · , n

Un clique es un conjunto de sitios en los que todos sus elementos son

vecinos entre sı.

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Construccion del Modelo

Para asegurar consistencia, la distribucion conjunta debe obedecerel Teorema de Hammersley–Clifford, el cual pide que lascondicionales completas sean de naturaleza local y entonces

P(y) =1

C(θ)exp

8<:Xi

yi Gi (·) +Xi<j

yi yjGij (·) +X

i<j<k

yi yj ykGijk (·) + · · · + y1 · · · ynG1···n(·)

9=;

donde las funciones G son tales que Gi1,··· ,is depende solamente de

yi1 , · · · , yis , y pueden ser no nulas solo si i1, · · · , is forman un clique.Se dice que el sitio j es vecino del sitio i si:

P(yi | y1, · · · , yi−1, yi+1, · · · , yn)

depende de yj . Sea Ni el conjunto de vecinos de i , una distribucion es unCampo Aleatorio Markoviano si:

P(yi | y1, · · · , yi−1, yi+1, · · · , yn) = P(yi | Ni ), i = 1, · · · , n

Un clique es un conjunto de sitios en los que todos sus elementos son

vecinos entre sı.

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Construccion del Modelo

Para asegurar consistencia, la distribucion conjunta debe obedecerel Teorema de Hammersley–Clifford, el cual pide que lascondicionales completas sean de naturaleza local y entonces

P(y) =1

C(θ)exp

8<:Xi

yi Gi (·) +Xi<j

yi yjGij (·) +X

i<j<k

yi yj ykGijk (·) + · · · + y1 · · · ynG1···n(·)

9=;

donde las funciones G son tales que Gi1,··· ,is depende solamente de

yi1 , · · · , yis , y pueden ser no nulas solo si i1, · · · , is forman un clique.Se dice que el sitio j es vecino del sitio i si:

P(yi | y1, · · · , yi−1, yi+1, · · · , yn)

depende de yj . Sea Ni el conjunto de vecinos de i , una distribucion es unCampo Aleatorio Markoviano si:

P(yi | y1, · · · , yi−1, yi+1, · · · , yn) = P(yi | Ni ), i = 1, · · · , n

Un clique es un conjunto de sitios en los que todos sus elementos son

vecinos entre sı.

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Construccion del Modelo

Para asegurar consistencia, la distribucion conjunta debe obedecerel Teorema de Hammersley–Clifford, el cual pide que lascondicionales completas sean de naturaleza local y entonces

P(y) =1

C(θ)exp

8<:Xi

yi Gi (·) +Xi<j

yi yjGij (·) +X

i<j<k

yi yj ykGijk (·) + · · · + y1 · · · ynG1···n(·)

9=;

donde las funciones G son tales que Gi1,··· ,is depende solamente de

yi1 , · · · , yis , y pueden ser no nulas solo si i1, · · · , is forman un clique.Se dice que el sitio j es vecino del sitio i si:

P(yi | y1, · · · , yi−1, yi+1, · · · , yn)

depende de yj . Sea Ni el conjunto de vecinos de i , una distribucion es unCampo Aleatorio Markoviano si:

P(yi | y1, · · · , yi−1, yi+1, · · · , yn) = P(yi | Ni ), i = 1, · · · , n

Un clique es un conjunto de sitios en los que todos sus elementos son

vecinos entre sı.

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Concepto necesarios en la Construccion

?Que sabemos hacer en general?

Siempre trabajamos con regresiones en donde las variables Yson

independientes

continuas

tıpicamente se asumen normales

si hay covariables, no tiene dependencias, sino que se asumendadas ( no aleatorias)

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Concepto necesarios en la Construccion

¿Cual es el entorno del problema planteado?

En nuestro modelo natural, estamos modelando imponiendocondiciones para construir las condiconales que permitan

incluir las dependencias

la respuesta de tipo ordinal

no podemos asumir normalidad y esto tiene variasconsecuencias importantes

las covariables, son al menos los vecinos que tieneninformacion sobre el valor de Y

y no porque construyamos las condicionales, podemosnecesariamente reconstruir la distribucion conjunta, que nospermitira construir inferencias de manera natural....

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Concepto necesarios en la Construccion

Concepto de Regresion

La distribucion normal multivariada la cual tuvo suscomienzos con estudios de la distribucion normal bivariada, secree iniciaron a mediados del siglo XIX, y a partir de allı, huboun desarrollo dramatico, fundamentalmente cuando Galton(1888) publico su trabajo sobre los usos del analisis de lacorrelacion en genetica.

Como Pearson noto, en 1885 Galton habıa terminado la teorıade la correlacion normal bivariada pero, dada su personalidad,(era muy modesto y a traves de su vida subestimo sus propiascapacidades matematicas), no se percato en forma inmediatala importancia de la funcion de densidad normal bivariada ypor ende, todas las consecuencias que esto tendrıa en eldesarrollo de los modelos estadısticos.

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Concepto necesarios en la Construccion

Concepto de Regresion

La distribucion normal multivariada la cual tuvo suscomienzos con estudios de la distribucion normal bivariada, secree iniciaron a mediados del siglo XIX, y a partir de allı, huboun desarrollo dramatico, fundamentalmente cuando Galton(1888) publico su trabajo sobre los usos del analisis de lacorrelacion en genetica.

Como Pearson noto, en 1885 Galton habıa terminado la teorıade la correlacion normal bivariada pero, dada su personalidad,(era muy modesto y a traves de su vida subestimo sus propiascapacidades matematicas), no se percato en forma inmediatala importancia de la funcion de densidad normal bivariada ypor ende, todas las consecuencias que esto tendrıa en eldesarrollo de los modelos estadısticos.

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Concepto necesarios en la Construccion

Concepto de Regresion

Consecuentemente, fue Pearson (1896) quien dio la formulamatematica definitiva de la distribucion normal bivariada.

El desarrollo de la teorıa de la distribucion normal multivariadase origino principalmente de los estudios del analisis deregresion y del analisis de correlacion multiple y parcial.

Veamos con software moderno, cual fue el problema queestudio Galton.

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Concepto necesarios en la Construccion

Concepto de Regresion

Consecuentemente, fue Pearson (1896) quien dio la formulamatematica definitiva de la distribucion normal bivariada.

El desarrollo de la teorıa de la distribucion normal multivariadase origino principalmente de los estudios del analisis deregresion y del analisis de correlacion multiple y parcial.

Veamos con software moderno, cual fue el problema queestudio Galton.

CIMAT GGF_RRQ

Modelos y Aplicaciones

Concepto necesarios en la Construccion

Concepto de Regresion

Consecuentemente, fue Pearson (1896) quien dio la formulamatematica definitiva de la distribucion normal bivariada.

El desarrollo de la teorıa de la distribucion normal multivariadase origino principalmente de los estudios del analisis deregresion y del analisis de correlacion multiple y parcial.

Veamos con software moderno, cual fue el problema queestudio Galton.

CIMAT GGF_RRQ

child ht By parent ht

71.00

73.00

75.00

f(y|x)

65.00

67.00

69.00

f(y|x)

child ht By parent ht

74.00

75.00

61.00

63.00

63.00 65.00 67.00 69.00 71.00 73.00parent ht

.1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 Quantile Density Contours70 00

71.00

72.00

73.00

Nonparametr ic Biv ariate Density

Variableparent htchild ht

Kernel Std0.7222631.028281

Slider0.7222631.028281

Apply

Dens ity

f( )67.00

68.00

69.00

70.00

f(x,y)

63.00

64.00

65.00

66.00

child ht

61.00

62.00

63.00 64.00 65.00 66.00 67.00 68.00 69.00 70.00 71.00 72.00 73.00 74.00parent ht

Mean Fit

0parent ht

Linear Fit

CIMAT

GGF_RRQ

Modelos y Aplicaciones

Concepto necesarios en la Construccion

Distribucion bivariada

Sea (X ,Y ) una variable aleatoria continua, bidimensional quetoma todos los valores en el plano euclidiano esto es,−∞ ≤ x ≤ +∞,−∞ ≤ y ≤ +∞ Decimos que (X ,Y ) tieneuna distribucion normal bivariada si su fdp conjunta esta dadapor la siguiente expresion:

f (x , y) =1

2πσxσy

√1− ρ2

×

exp{− 1

2(1−ρ2)

[(x−µx

σx

)− 2ρ

(x−µx )(y−µy )σxσy

+(

y−µy

σy

)]}Notemos que se tienen las siguientes restricciones para losparametros: −∞ ≤ µx ≤ +∞, −∞ ≤ µy ≤ +∞; σx > 0;σy > 0; −1 ≤ ρ ≤ 1

CIMAT GGF_RRQ

Modelos y Aplicaciones

Concepto necesarios en la Construccion

Distribucion bivariada

El parametro ρ es el coeficiente de correlacion entre X y Y ;

Se puede observar que si ρ = 0, la fdp conjunta de (X ,Y )puede factorizarse y, por tanto, X y Y son independientes.

Entonces en el caso de la distribucion normal bivariada, sepuede ver que:

correlacion cero sı y solo sı son independientes

CIMAT GGF_RRQ

Modelos y Aplicaciones

Concepto necesarios en la Construccion

Distribucion bivariada

El parametro ρ es el coeficiente de correlacion entre X y Y ;

Se puede observar que si ρ = 0, la fdp conjunta de (X ,Y )puede factorizarse y, por tanto, X y Y son independientes.

Entonces en el caso de la distribucion normal bivariada, sepuede ver que:

correlacion cero sı y solo sı son independientes

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Concepto necesarios en la Construccion

Distribucion bivariada

El parametro ρ es el coeficiente de correlacion entre X y Y ;

Se puede observar que si ρ = 0, la fdp conjunta de (X ,Y )puede factorizarse y, por tanto, X y Y son independientes.

Entonces en el caso de la distribucion normal bivariada, sepuede ver que:

correlacion cero sı y solo sı son independientes

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Concepto necesarios en la Construccion

Distribucion bivariada

Si la variable aleatoria (X ,Y ) sigue una distribucion normalbivariada, los momentos de la funcion de distribucioncondicional de Y , dado X = x , son normal con media

µy + ρσy

σx(x − µx)

y varianzaσ2

y (1− ρ2)

Notemos que la media condicional puede escribirse comoβ0 + β1x

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Modelos y Aplicaciones

Concepto necesarios en la Construccion

Distribucion bivariada

Esto demuestra que las medias son funciones lineales en lavariable que condiciona

Tambien demuestra que la varianza de la distribucioncondicional se reduce en proporcion a (1− ρ2).

Esto es, si ρ esta proxima a cero, la varianza condicional esesencialmente la misma que la varianza incondicional,mientras que si ρ esta proximo a ±1, la varianza condicionalesta proxima a cero.

CIMAT GGF_RRQ

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Concepto necesarios en la Construccion

Distribucion bivariada

Esto demuestra que las medias son funciones lineales en lavariable que condiciona

Tambien demuestra que la varianza de la distribucioncondicional se reduce en proporcion a (1− ρ2)

.

Esto es, si ρ esta proxima a cero, la varianza condicional esesencialmente la misma que la varianza incondicional,mientras que si ρ esta proximo a ±1, la varianza condicionalesta proxima a cero.

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Concepto necesarios en la Construccion

Distribucion bivariada

Esto demuestra que las medias son funciones lineales en lavariable que condiciona

Tambien demuestra que la varianza de la distribucioncondicional se reduce en proporcion a (1− ρ2).

Esto es, si ρ esta proxima a cero, la varianza condicional esesencialmente la misma que la varianza incondicional,mientras que si ρ esta proximo a ±1, la varianza condicionalesta proxima a cero.

CIMAT GGF_RRQ

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Concepto necesarios en la Construccion

Distribucion bivariada

Esto demuestra que las medias son funciones lineales en lavariable que condiciona

Tambien demuestra que la varianza de la distribucioncondicional se reduce en proporcion a (1− ρ2).

Esto es, si ρ esta proxima a cero, la varianza condicional esesencialmente la misma que la varianza incondicional,mientras que si ρ esta proximo a ±1, la varianza condicionalesta proxima a cero.

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Concepto necesarios en la Construccion

Distribucion bivariada

LA UNICA FORMA DE DEPENDENCIA POSIBLE ESLINEAL

fy |x(y | x) =1√

2πσ2y (1− ρ2)

×

exp

{− 1

2σ2y (1− ρ2)

[y − µy −

ρσy

σx(x − µx)

]2}

Se inicia con la distribucion conjunta y se derivan estosresultados. Esto se puede generalizar para la normalmultivariada en forma directa.

CIMAT GGF_RRQ

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Concepto necesarios en la Construccion

Distribucion bivariada

LA UNICA FORMA DE DEPENDENCIA POSIBLE ESLINEAL

fy |x(y | x) =1√

2πσ2y (1− ρ2)

×

exp

{− 1

2σ2y (1− ρ2)

[y − µy −

ρσy

σx(x − µx)

]2}

Se inicia con la distribucion conjunta y se derivan estosresultados. Esto se puede generalizar para la normalmultivariada en forma directa.

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Concepto necesarios en la Construccion

Normal Multivariada

Para el caso general

Si Σ22 > 0, entonces la distribucion condicional de Y1 dadoY2 es

Y1|Y2 ∼ Nn(µ1 + Σ12Σ−122 (Y2 − µ2),Σ11 − Σ12Σ−1

22 Σ21)

Los objetos de estudio:

µ1 + Σ12Σ−122 (Y2 − µ2)

Σ11 − Σ12Σ−122 Σ21

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Modelos y Aplicaciones

Concepto necesarios en la Construccion

El caso general de Regresion

Como se planteo el problema general de regresion?

La cuestion era:

Encontrar una funcion de las Y2 que fuese el mejor predictorde Y1, sin imponer la restriccion de normalidad multivariada,pero (Y1,Y2) si deben tener una distribucion conjunta.

Cuando se dice mejor, es siempre bajo algun criterio deoptimalidad, en nuestro caso siempre se refiere a minimizar elerror cuadratico medio

minf (y2)

E ( y1 − f (y2) )2

CIMAT GGF_RRQ

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Concepto necesarios en la Construccion

El caso general de Regresion

Como se planteo el problema general de regresion?

La cuestion era:

Encontrar una funcion de las Y2 que fuese el mejor predictorde Y1, sin imponer la restriccion de normalidad multivariada,pero (Y1,Y2) si deben tener una distribucion conjunta.Cuando se dice mejor, es siempre bajo algun criterio deoptimalidad, en nuestro caso siempre se refiere a minimizar elerror cuadratico medio

minf (y2)

E ( y1 − f (y2) )2

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Concepto necesarios en la Construccion

El caso general de Regresion

Como se planteo el problema general de regresion?

La cuestion era:

Encontrar una funcion de las Y2 que fuese el mejor predictorde Y1, sin imponer la restriccion de normalidad multivariada,pero (Y1,Y2) si deben tener una distribucion conjunta.Cuando se dice mejor, es siempre bajo algun criterio deoptimalidad, en nuestro caso siempre se refiere a minimizar elerror cuadratico medio

minf (y2)

E ( y1 − f (y2) )2

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Concepto necesarios en la Construccion

Regresion

La respuesta a este problema fue :El mejor predictor es la esperanza condicional de Y1 dadoY2

Este predictor puede ser lineal o no.

Solo si sabemos que las variables tienen una distribucionnormal multivariada, podemos asegurar que es lineal.

El problema entonces es conocer estas distribucionesconjuntas, cosa que en la practica resulta bastante difıcil

CIMAT GGF_RRQ

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Concepto necesarios en la Construccion

Regresion

La respuesta a este problema fue :El mejor predictor es la esperanza condicional de Y1 dadoY2

Este predictor puede ser lineal o no.

Solo si sabemos que las variables tienen una distribucionnormal multivariada, podemos asegurar que es lineal.

El problema entonces es conocer estas distribucionesconjuntas, cosa que en la practica resulta bastante difıcil

CIMAT GGF_RRQ

Modelos y Aplicaciones

Concepto necesarios en la Construccion

Regresion

La respuesta a este problema fue :El mejor predictor es la esperanza condicional de Y1 dadoY2

Este predictor puede ser lineal o no.

Solo si sabemos que las variables tienen una distribucionnormal multivariada, podemos asegurar que es lineal.

El problema entonces es conocer estas distribucionesconjuntas, cosa que en la practica resulta bastante difıcil

CIMAT GGF_RRQ

Modelos y Aplicaciones

Concepto necesarios en la Construccion

Regresion

La respuesta a este problema fue :El mejor predictor es la esperanza condicional de Y1 dadoY2

Este predictor puede ser lineal o no.

Solo si sabemos que las variables tienen una distribucionnormal multivariada, podemos asegurar que es lineal.

El problema entonces es conocer estas distribucionesconjuntas, cosa que en la practica resulta bastante difıcil

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Modelos y Aplicaciones

Concepto necesarios en la Construccion

Regresion

El problema se replanto de la siguiente forma:

Encontrar una funcion lineal de las Y2 que fuese el mejorpredictor de Y1, sin imponer la restriccon de normalidadmultivariada, pero (Y1,Y2) deben tener una distribucionconjunta.

minf (y2)lineal

E ( y1 − f (y2) )2

La respuesta bajo esta restriccion de buscar solo entre lasfunciones lineales, sorprendentemente nos da la mismasolucion que en el caso normal multivariado, esto es:

µ1 + Σ12Σ−122 (Y2 − µ2)

La media es lineal

Σ11 − Σ12Σ−122 Σ21

La misma estructura del error de prediccion

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Concepto necesarios en la Construccion

Regresion

El problema se replanto de la siguiente forma:

Encontrar una funcion lineal de las Y2 que fuese el mejorpredictor de Y1, sin imponer la restriccon de normalidadmultivariada, pero (Y1,Y2) deben tener una distribucionconjunta.

minf (y2)lineal

E ( y1 − f (y2) )2

La respuesta bajo esta restriccion de buscar solo entre lasfunciones lineales, sorprendentemente nos da la mismasolucion que en el caso normal multivariado, esto es:

µ1 + Σ12Σ−122 (Y2 − µ2)

La media es lineal

Σ11 − Σ12Σ−122 Σ21

La misma estructura del error de prediccion

CIMAT GGF_RRQ

Modelos y Aplicaciones

Concepto necesarios en la Construccion

Regresion

El problema se replanto de la siguiente forma:

Encontrar una funcion lineal de las Y2 que fuese el mejorpredictor de Y1, sin imponer la restriccon de normalidadmultivariada, pero (Y1,Y2) deben tener una distribucionconjunta.

minf (y2)lineal

E ( y1 − f (y2) )2

La respuesta bajo esta restriccion de buscar solo entre lasfunciones lineales, sorprendentemente nos da la mismasolucion que en el caso normal multivariado, esto es:

µ1 + Σ12Σ−122 (Y2 − µ2)

La media es lineal

Σ11 − Σ12Σ−122 Σ21

La misma estructura del error de prediccion

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Modelos y Aplicaciones

Inferencia

Pero nuestro modelo...es otro

Nuestro modelo para agaves y sus infecciones recordemos, nose ajusta a un modelo lineal bajo distribuciones gaussianas.

Nuestro modelo tiene que ver con procesos markovianos almenos de primer orden y la relacion de estos con covariables(dependencias espacio temporales) y una respuesta de tipoordinal.

Se han desarrollado diversos modelos, dependiendo de lossupuestos que sea factible asumir, y no se tiene unamodelacion unica.

Dependiendo del grado de flexibilidad que se requiera paratener respuestas que manifiesten las dinamicas y evolucionesde la enfermedad, nos sentiremos satisfechos, esto es,respuestas claras en el contexto del problema y validadasmediante un modelo correctamente establecido no solomatematica o estadısticamente.

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Modelos y Aplicaciones

Inferencia

Pero nuestro modelo...es otro

Nuestro modelo para agaves y sus infecciones recordemos, nose ajusta a un modelo lineal bajo distribuciones gaussianas.

Nuestro modelo tiene que ver con procesos markovianos almenos de primer orden y la relacion de estos con covariables(dependencias espacio temporales) y una respuesta de tipoordinal.

Se han desarrollado diversos modelos, dependiendo de lossupuestos que sea factible asumir, y no se tiene unamodelacion unica.

Dependiendo del grado de flexibilidad que se requiera paratener respuestas que manifiesten las dinamicas y evolucionesde la enfermedad, nos sentiremos satisfechos, esto es,respuestas claras en el contexto del problema y validadasmediante un modelo correctamente establecido no solomatematica o estadısticamente.

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Inferencia

Pero nuestro modelo...es otro

Nuestro modelo para agaves y sus infecciones recordemos, nose ajusta a un modelo lineal bajo distribuciones gaussianas.

Nuestro modelo tiene que ver con procesos markovianos almenos de primer orden y la relacion de estos con covariables(dependencias espacio temporales) y una respuesta de tipoordinal.

Se han desarrollado diversos modelos, dependiendo de lossupuestos que sea factible asumir, y no se tiene unamodelacion unica.

Dependiendo del grado de flexibilidad que se requiera paratener respuestas que manifiesten las dinamicas y evolucionesde la enfermedad, nos sentiremos satisfechos, esto es,respuestas claras en el contexto del problema y validadasmediante un modelo correctamente establecido no solomatematica o estadısticamente.

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Modelos y Aplicaciones

Inferencia

Pero nuestro modelo...es otro

Nuestro modelo para agaves y sus infecciones recordemos, nose ajusta a un modelo lineal bajo distribuciones gaussianas.

Nuestro modelo tiene que ver con procesos markovianos almenos de primer orden y la relacion de estos con covariables(dependencias espacio temporales) y una respuesta de tipoordinal.

Se han desarrollado diversos modelos, dependiendo de lossupuestos que sea factible asumir, y no se tiene unamodelacion unica.

Dependiendo del grado de flexibilidad que se requiera paratener respuestas que manifiesten las dinamicas y evolucionesde la enfermedad, nos sentiremos satisfechos, esto es,respuestas claras en el contexto del problema y validadasmediante un modelo correctamente establecido no solomatematica o estadısticamente.

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Inferencia

Maxima Pseudoverosimilitud

Inferencia basada en la verosimilitud para

P(y) =1

C (θ)exp

∑i

yiG (yi ) +∑i<j

yiyjG (yi , yj)

implica el calculo de la constante normalizadora C (θ), lo cual, paraun problema pequeno con un latice 10× 10 con 3 posibles estadosen cada localidad, requerirıa la suma de 3100 .

= 5× 1047 terminos.

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Modelos y Aplicaciones

Inferencia

Maxima Pseudoverosimilitud

Besag (1974) introdujo los metodos de estimacion basados en lapseudoverosimilitud, los cuales maximizan la pseudoverosimilitud(evitando con ello calcular C (θ))

PL(θ) =n∑

i=1

log P(yi | Ni )

(Nota: Besag se ha pronunciado activamente por el uso de metodos de estimacion mas modernos.)Resultados sobre consistencia y normalidad asintotica para elEMPV pueden encontrarse en Guyon (1995).

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Modelos y Aplicaciones

Inferencia

Maxima Pseudoverosimilitud

Data

MPL

Estimaciones MPV bα1 = −5,36bα2 = 6,03bα3 = −11,7bβ11 = 9,33bβ12 = 0,60bβ21 = −0,39bβ22 = −0,60

Distribuciones marginales0 1 2

Datos 0,702 0,293 0,005MPV 0,740 0,256 0,004

CIMAT GGF_RRQ

Modelos y Aplicaciones

Conclusiones

Una aplicacion de los procesos de inferencia y prediccion

0 20 40 60 80 100

05

1015

2025

Observed at t=4

0 20 40 60 80 100

05

1015

2025

Predicted at t=4

Al tiempo 4 donde aun es comparable se ve una prediccionbastante razonable a ojo y cuantificable.

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Modelos y Aplicaciones

Conclusiones

Una aplicacion de los procesos de inferencia y prediccion

ü Se  puede  mostrar  que  los  tratamientos  no  dieron  el  resultado  esperado  

ü Se  manifiesta  un  patrón  de  daño  espacial    ü Se  pueden  determinar  dis5ntos  modelos,  y  formas  de  es5mación  correspondientes    ü A  cada  uno  de  estos  modelos  se  le  puede  complementar  con  una  metodología  de  Predicción  adecuada  

0 20 40 60 80 100

05

10

15

20

25 Cambio  en  %  total  

Al  5empo  t  =  4    el  daño  observado  es  de  un   33.3   %   .   Al   5empo   t=5   el   daño  predicho  fue  de  un  36  %  

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