modelos matematicos

Curso: Modelos matemáticos y funciones Sesión 1: Modelos matemáticos

Magister en enseñanza de las ciencias, mención matemática

Universidad de Talca Profesores: Juanita Contreras S.Instituto de Matemática y Física Claudio del Pino O.

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Modelos matemáticos

Año Población 1995 872 1996 881 1997 889,8 1998 898,4 1999 906,9 2000 915,2 2001 922,8 2002 930,3 2003 937,7

Población VII Región (Chile)

860870880890900910920930940950

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

añospo

blac

ión

Actividad: Leer los siguientes comentarios que diversos autores han expresado sobre la temática de la modelación en matemática. A continuación redactar un párrafo explicando, en sus propias palabras, lo que entiende por modelo matemático.

¿Cómo podemos explicar que las matemáticas, un producto de la mente humana independiente de la experiencia, encajen tan bien en los objetos y elementos de la realidad?. Albert Einstein, 1938.

La Modelación Matemática es un proceso de elegir características que describen adecuadamente un problema de origen no matemático, para llegar a colocarlo en un lenguaje matemático. La Modelación es un proceso iterativo en que una etapa de validación frecuentemente lleva a diferencias entre las predicciones basadas en el modelo y la realidad. Tim O’Shea, John Berry, 1982.

Un modelo matemático es una estructura matemática que describe aproximadamente las características de un fenómeno concreto. Frank Swetz, 1992.

A Modelación matemática es un proceso dinámico de busca de modelos adecuados, que sirvan de prototipos de alguna situación. Rodney Bassanezi, 1994.

Un conjunto de símbolos e relaciones matemáticas que traducen, de alguna forma, un fenómeno particular o un problema de la realidad Maria Salett Biembengut, 1998.

El modelaje es "el arte de aplicar las matemáticas a la vida real". Mogen Niss, 1991.




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Un primer ejemplo: Alumbrado Público

El consejo municipal ha decidido poner un reflector en un pequeño parque triangular de manera que éste ilumine todo el parque. ¿Dónde debería ubicarse el reflector? Este problema, de carácter social, se puede resolver siguiendo la estrategia general que aplican los matemáticos, es decir, a través de la matematización del problema. La matematización consta de cinco aspectos:

a) Se parte de un problema del mundo real: Establecer la ubicación óptima para un reflector en un

parque. b) Se formula el problema en términos de conceptos matemáticos: El parque se puede representar

como un triángulo, y la iluminación como un círculo con el reflector en el centro.

c) Gradualmente se abstrae de la realidad a través de procesos tales como hacer supuestos sobre cuáles aspectos del problema son importantes, la generalización del problema y su formalización (estos permiten transformar el problema real en un problema matemático que representa la situación en forma fehaciente). El problema se convierte en ubicar el centro de un círculo que circunscriba el triángulo.

d) Se resuelve el problema matemático: basándose en el hecho de que el centro de un círculo que

circunscribe un triángulo yace en el punto de intersección de los bisectores perpendiculares de los lados del triángulo, construir los bisectores perpendiculares de dos de los lados del triángulo. El punto de intersección de los bisectores es el centro del círculo.

e) Se hace conciencia de la solución matemática en términos de la situación real.

Relacionar este hallazgo con el parque real. Reflexionar sobre la solución y reconocer, por ejemplo, que si una de las tres esquinas del parque fuera un ángulo obtuso, está solución no funcionaría, pues el reflector quedaría por fuera del parque. Reconocer que la localización y tamaño de los árboles del parque son otros factores que afectan la utilidad de la solución matemática.




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Un ejemplo clásico: Ley de enfriamiento de Newton

La expresión general de la función que modela la “Ley de enfriamiento de Newton” es

( ) kteATAT −−+= 0 siendo:

T=T(t) temperatura (en grados) como función del tiempo t (en minutos). A= temperatura del medio ambiente T0= temperatura inicial del elemento que se enfría (agua en este caso).




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Esquema general del proceso de modelización

(1) Presentación de una situación simplificada del mundo real. (2) Traducción de la situación en terminología matemática y obtención del modelo.

(3) Trabajar sobre el modelo y resolución del problema.

(4) Presentación de la solución (en términos no matemáticos).

SITUACIÓN DEL MUNDO

MODELO DEL MUNDO REAL

MODELO MATEMÁTICO

CONCLUSIONES

(4) Solución

(1) Simplificación

(2) Traducción matemática

(3) Aplicación de métodos matemáticos

Problema simplificado

Ecuación, función, sistema, …

Resolver, graficar, …

Problema




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Ejemplos de modelos

a) Crecimiento de poblaciones

En el año 1980 la población de una ciudad era de 2500 y en 1990 de 3350. Suponiendo que la población crece a un ritmo constante proporcional a la población existente en cada momento, estimar la población para el año 2010.

Modelo del problema: Si N=N(t) es la función que representa el tamaño de la población en el instante t, entonces la relación matemática que modela esta situación es:

kNdtdN

=.

Contenido matemático: ecuaciones diferenciales.

b) El Problema del Carpintero

Durante un par de sesiones de tormenta de ideas con un carpintero (nuestro cliente), éste nos comunica que sólo fabrica mesas y sillas y que vende todas las mesas y las sillas que fabrica en un mercado. Sin embargo, no tiene un ingreso estable y desea optimizar esta situación.

El objetivo es determinar cuántas mesas y sillas debería fabricar para maximizar sus ingresos netos. Comenzamos concentrándonos en un horizonte de tiempo, es decir, un plazo de planificación, para revisar nuestra solución semanalmente, si fuera necesario. Para saber más acerca de este problema, debemos ir al negocio del carpintero y observar lo que sucede y medir lo que necesitamos para formular (para crear un modelo de) su problema. Debemos confirmar que su objetivo es maximizar sus ingresos netos. Debemos comunicarnos con el cliente.

El problema del carpintero se trata de determinar cuántas mesas y sillas debe fabricar por semana; pero primero se debe establecer una función objetivo. La función objetivo es: 5X1 + 3 X2, donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas; y 5 y 3 representan los ingresos netos (por ejemplo, en pesos o cientos de pesos) de la venta de una mesa y una silla, respectivamente. Los factores limitantes, que normalmente provienen del exterior, son las limitaciones de la mano de obra (esta limitación proviene de la familia del carpintero) y los recursos de materia prima (esta limitación proviene de la entrega programada). Se miden los tiempos de producción requeridos para una mesa y una silla en distintos momentos del día y se calculan en 2 horas y 1 hora, respectivamente. Las horas laborales totales por semana son sólo 40. La materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades, respectivamente. El abastecimiento total de materia prima es de 50 unidades por semana. En consecuencia, esta situación viene modelada por:




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Maximizar

5 X1 + 3 X2

Sujeta a: 2 X1 + X2 ≤ 40 X1 + 2 X2 ≤ 50 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

Contenido matemático: programación lineal.

c) Un modelo para mezclas

Un farmacéutico debe preparar 15ml de gotas especiales para un paciente con glaucoma. La solución debe tener 2% de ingrediente activo, pero sólo tiene disponibles soluciones al 10% y al 1%. ¿Qué cantidad de cada solución debe usar para completar la receta?

Para ayudar a entender el problema, se traza un esquema, como el siguiente.

Sea x = cantidad de ml de la solución al 10%

A B C Cantidad de ml en cada caso x 15-x 15 Cantidad de ingrediente activo en cada caso

0.1x 0.01(15-x) 15020 ⋅.

Luego, la situación presentada queda modelada por:

( ) 150201510 ⋅=−+ .xx.

Contenido matemático: ecuaciones lineales.

d) Problema de los 7 puentes de Koenigsberg

"En la ciudad de Koenigsberg, en Prusia, hay una isla A, llamada Kneiphof, rodeada por los dos brazos del río Pregel. Hay siete puentes, a, b, c, d, e, f y g, que cruzan los dos brazos del río. La




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cuestión consiste en determinar si una persona puede realizar un paseo de tal forma que cruce cada uno de estos puentes una sola vez".

Contenido matemático: Teoría de grafos1.

e) Un problema de distribución Una compañía maderera tiene un contrato con una distribuidora local para proveerles de madera de tres variedades: A (lodgepole pine), B (spruce) y C (Douglas fir). Mensualmente debe entregar, de la primera variedad 1000m3, de la segunda 800m3 y de la última 600m3. La compañía maderera dispone de tres regiones plantadas con las variedades de maderas solicitadas. En la siguiente tabla se detalla, por región, los porcentajes disponibles de cada variedad (densidad), junto al volumen total de madera disponible por hectárea.

Región Vol/Há(en m3) A (en %) B (en %) C (en %) Oeste 330 70 20 10 Norte 390 10 60 30 Este 290 5 20 75

¿Cuántas hectáreas se deben cortar en cada región para entregar exactamente el volumen requerido de cada variedad de madera? Sean: x= Número de hectáreas aserradas en la región Oeste.

y= Número de hectáreas aserradas en la región Norte. z= Número de hectáreas aserradas en la región Este.

Luego el problema queda modelado por:

0.7x+0.1y+0.05z=1000 0.2x+0.6y+0.2z =800 0.1x+0.3y+0.75z=600

Contenido matemático: Sistema de ecuaciones lineales.

1 Este tema será desarrollado en el curso: Matemática discreta.

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