MODELAMIENTO MATEMATICOMODELO DE LESLIE Y VERHULST.

INTRODUCCIÓN

Este informe nos dará a conocer técnicas con las cuales podemos ver el funcionamiento, analizar y poder ver el comportamiento de fenómenos de nuestra naturaleza para poder representarlos, mediante una modelación matemática definida.Podemos ver que mediante la modelación podemos estudiar de forma simple procesos empíricos, que son aplicables al sistema real de muchos fenómenos, ya sea modelar bacterias, crecimiento de población, etc.

Para entender un poco mejor, el modelo matemático, emplea formulismos para expresar relaciones, hechos, variables, parámetros, para estudiar sistemas complejos los cuales nos son difíciles de observar y representar en la realidad.

A continuación veremos 2 modelamientos matemáticos, el modelo de Leslie y el modelo de Verhulst, como trabajan los modelos, su descripción, comportamiento, formulismos, aplicación y ejemplos.

MODELO DE LESLIE.

La descripción del modelo de Leslie se basa básicamente en un modelo de crecimiento exponencial de la población, pero para esto se debe hacer un estudio de dinámica de población con el objetivo de determinar las variaciones que sufren estas, ya sea por su comportamiento y a la vez analizar sus consecuencias, cabe resaltar al autor del método, el fisiólogo Patrick Holt Leslie (1900 - 1974).Entonces se parte de la base en cual en nuestro modelo todos los individuos son idénticos en términos de mortalidad y fecundidad, pero como lo vimos en clases existen además procesos que afectan al cambio del tamaño de la población: los nacimientos y las migraciones, que aumentan su tamaño, y las defunciones y las emigraciones que la disminuyen.Obviamente tenemos que suponer que en modelos simples estos procesos no intervienen, es por esto que decimos que todos los individuos son iguales y además los recursos disponibles son limitados.Es por ello que los modelos que consideran estructura de edades han tenido un papel importante en la ecología matemática. En unidades de tiempo discretas, el modelo más clásico es el basado en la matriz de Leslie. Este modelo describe los siguientes procesos ecológicos:

- Desarrollo (progreso a través del ciclo de vida).- Mortalidad de la edad especifica. - Reproducción de la edad especifica.

Además:

- Parte de una población estructurada por edades consideradas en intervalos discretos.- Considera la supervivencia de los individuos y su capacidad reproductiva.- Permite calcular la variación de la población en el tiempo.- Se formula utilizando algebra lineal.

Este modelo además nos permite expresar el ciclo de vida en categorías, no necesariamente iguales.Las categorías también responden mejor a estadios en el ciclo de vida.Y nos permite aprovechar las ventajas de las matemáticas de las matrices.

Pero además hay que tener en cuenta que la tasa de mortalidad será mayor entre los individuos de mayor edad que entre los más jóvenes. Asimismo la tasa de fecundidad depende también de la edad (por ejemplo las hembras demasiado jóvenes no podrán tener hijos en los primeros estadios de su vida). Pero a la vez en una población la mujer adulta (50-60 años) tendrá menos hijos que la mujer joven (20-25 años). A fin de superar esta dificultad es necesario introducir un modelo que permita el agrupamiento por edades con diferentes tasas de fertilidad.

DESCRIPCION DEL MODELO

El modelo de Leslie describe el crecimiento de la parte femenina de una población clasificando a las hembras por edades en intervalos de igual número de años.

Supongamos que la edad máxima alcanzada por una hembra de una población sea “L” años y que esta población la dividimos en “n” clases de edades. Cada clase, es evidente tendrá L=n años de duración. Por lo tanto, podemos construir la sgte. Tabla:

Supongamos que en el momento inicial (t = 0) conocemos el número de hembras que hay en cada uno de los intervalos. si xi(0) es el número de hembras existentes en el intervalo i-ésimo en el momento inicial, se puede expresar en el siguiente vector:

x(0) = (x1(0); x2(0); . . . ; xn(0)) ;

Es el “vector de la distribución inicial de las edades”. Al pasar el tiempo, por causas biológicas (nacimientos, envejecimiento, muertes), el número de hembras que hay en cada clase se va modificando.

Al ver como evoluciona el vector x(0), estamos estudiando el proceso de envejecimiento, para lo cual se hacen observaciones de la población en tiempos

discretos t0; t1; . . . ; tk; . . . . el modelo de Leslie requiere que la duración entre dos tiempos consecutivos de observación sea igual a la duración de los intervalos de edad; esto es:

Bajo esta hipótesis todas las hembras de la clase (i+1) en el tiempo tk+1 estaban en la clase (i) en el tiempo tk (suponiendo que no existen muertes ni nacimientos).

Los procesos de nacimiento y muerte entre dos tiempos consecutivos de observación se pueden describir mediante los siguientes parámetros demográficos:

- El promedio del número de hijas que tiene una hembra durante el tiempo que permanece en la clase de orden i, lo llamaremos ai con i = 1; 2; . . . ; n. - La fracción de las hembras que están en la clase i y se espera que sobrevivan y pasen a la clase de orden i + 1 la llamaremos bi con i = 1; 2; . . . ; n - 1.

Nx,t = número de organismos en la edad x al tiempo t.Sx = sobrevivientes (por 1000) de organismos de la edad x que pasan a la siguiente categoría de edad al tiempo x+1.mX = promedio del número de hembras producidas por hembras de cada categoría de edad.

(1)

Representa el desarrollo y la mortalidad de la población.

(2)

La ecuación 1 representa el desarrollo y la mortalidad, mientras que la ecuación 2 representa la natalidad.La ecuación 2 representa los individuos en la primera categoría de edad y la ecuación 2 representa todas las otras categorías de edad.

En términos matriciales nos queda de la siguiente manera:

Quedando la ecuación matricial:

Para extrapolar a cualquier tiempo se aplica la siguiente ecuación:

EJEMPLO DE APLICACIÓN MODELO DE LESLIE.

Se considera una población de hembras dividida en tres clases de edad: un año de edad, dos años de edad y tres años de edad. Se sabe que las hembras de 1 año producen un promedio de 3 hembras, las de dos años de edad producen 7 hembras y las de 3 años de edad producen un promedio de 1.5 hembras. Además, se sabe que el 20 % de las hembras de edad 1 sobrevive hasta la edad 2 y el 40 % de las hembras de edad 2 sobreviven hasta la edad 3.

Solución:Para determinar la matriz de Leslie correspondiente tenemos:

At = número de hembras de 1 año de edad;Bt = número de hembras de 2 años de edad;Ct = número de hembras de 3 años de edad:

Las relaciones entre las tres poblaciones en un año y el siguiente se pueden expresar:

At+1 = 3At + 7Bt + 1.5Ct Bt+1 = 0.20At Ct+1 = 0.40Bt

Al escribirlo en forma matricial se obtiene la matriz de Leslie:

Ahora para determinar la evolución de esta población durante dos siguientes periodos reproductivos, comenzando con 1000 hembras de edad 1.Tenemos lo siguiente, comenzando con la población inicial Ao = 1000, Bo = 0, Co = 0, y calculando, mediante la relación anterior, los valores para t = 0; 1; 2 y 3, se obtiene:

MODELO DE VERHULST.

La ecuación Verhulst fue publicada por primera vez por Pierre François Verhulst en 1838 después de haber leído el "Ensayo sobre el principio de población" de Thomas Malthus.Verhulst derivó su ecuación logística para describir el crecimiento auto-limitado de una población biológica. En ocasiones, la ecuación es también llamada "ecuación Verhulst-Pearl" por su redescubrimiento en 1920. Alfred J. Lotka obtuvo de nuevo la ecuación en 1925, llamándola "ley del crecimiento poblacional".

El modelo de Verhulst nació por la necesidad de que otros modelos tenían limitaciones, por ejemplo el modelo de Malthus, en el cual predecía que una población crecía exponencialmente con el tiempo, pero eso no ocurría en la realidad, ya que esto sucedía si la especie contaba con todos los medios para vivir, ya sea alimento, aire, etc. Pero cuando estos recursos escaseaban se producía una competencia por la supervivencia y con esto la razón de crecimiento la razón de crecimiento ya no era la misma.El modelo de Verhulst se presenta como un modelo de crecimiento con restricciones.

Además el modelo de Malthus supone que los recursos del medio son inagotables, pero en la realidad los recursos están limitados y ninguna especie va a crecer indefinidamente.El modelo de Verhulst supone que la razón de crecimiento es proporcional conjuntamente tanto a la población misma como a la cantidad faltante para llegar a la máxima población sustentable.

El crecimiento logístico está relacionado con el crecimiento exponencial, de hecho para pequeños valores de la magnitud que presenta crecimiento logístico, el crecimiento logístico se asemeja mucho al crecimiento exponencial. Sin embargo, a partir de un cierto punto el crecimiento se ralentiza, eso hace que la curva pueda representar adecuadamente la propagación de rumores, la extensión de una innovación tecnológica o una epidemia: al principio estas se propagan rápidamente, cada "infectado" o "afectado" por la innovación es susceptible de traspasar el "contagio" a otro individuo que tenga contacto con él, pero a cuando el número de "infectados" crece es más difícil encontrar una persona que previamente no haya estado en contacto con la enfermedad o innovación.Esta típica aplicación de la ecuación logística es un modelo común del crecimiento poblacional según el cual:

- La tasa de reproducción es proporcional a la población existente.- La tasa de reproducción es proporcional a la cantidad de recursos disponibles.

El segundo término modela, por tanto, la competición por los recursos disponibles, que tiende a limitar el crecimiento poblacional.

Si P representa el tamaño de la población y t representa el tiempo, este modelo queda formalizado por la ecuación diferencial:

(1)

Donde la constante define la tasa de crecimiento y es la capacidad de persistencia. La solución general a esta ecuación es una función logística. Con una población inicial :

Donde:

En este modelo el número r se conoce como la razón de crecimiento intrínseco, y K es la capacidad sustentable que es el máximo valor que puede tener P. El valor de r depende sólo de la especie considerada, mientras que K depende tanto de la especie como del ambiente en donde se desarrolla ésta y es el máximo valor posible en ese ambiente.Advierta que, si el valor de P es muy pequeño comparado con K, entonces

y la ecuación (1) es semejante a la de Malthus. Por otro lado, si P se aproxima a K entonces

y esto haría que

Resolviendo la ecuación (1), observamos que es separable:

La integral del primer miembro se resuelve mediante fracciones parciales:

Luego,

Ahora, si se toma en consideración que P < K, se tiene que IK – PI = K - P, por lo cual:

Antes de despejar P, usemos la condición inicial P(0) = P0, para determinar C:

Ahora despejamos P, denotando por comodidad:

Tenemos que:

Para simplificar esta fórmula, dividimos numerador y denominador entre Ce rt para obtener finalmente:

(2)

CURVA LOGISTICA MODELO DE VERHULST.

La forma típica de la curva solución, llamada curva logística, es la de una letra S alargada, como se ilustra en la figura de abajo.

EJEMPLO DE APLICACIÓN MODELO DE VERHULST.

Las reservas pesqueras del halibut (especie de gran tamaño, parecida al lenguado) en el Pacífico se modelan con la ED logística con capacidad sustentable de 80,5 X 10¨6 , medida en kg (biomasa), y razón de crecimiento intrínseco de 0,71 por año. Si la biomasa inicial es la cuarta parte de la capacidad sustentable, encontrar la biomasa después de un año y el tiempo que debe pasar para que la biomasa inicial se duplique, es decir, que llegue a la mitad de la capacidad sustentable

o sea, 1 año, 6 meses y 17 días aproximadamente.

CONCLUSIÓN.

De este trabajo podemos concluir que los modelos utilizados tienen distintas características de aplicación, ya que:El modelo de Leslie describe el crecimiento de la parte femenina de una población clasificando a las hembras por edades en intervalos de igual número de años, además este crecimiento poblacional es de forma exponencial, pero una de las características del modelo es, que todos los individuos son iguales y además los recursos que intervienen en el sistema son limitados.Lo que hay que tener en cuenta son los procesos ecológicos que intervienen en el modelo de Leslie, además nos permite expresar el ciclo de vida en categorías, no necesariamente iguales, y nos permite aprovechar las ventajas de las matemáticas de las matrices.

Por otro lado el modelo de Verhulst a diferencia de otros modelos que tenían limitaciones, este se asemejaba mas a la realidad, ya que las especies tenían que contar con medios para vivir, y al faltar estos medios se producía una lucha por la supervivencia afectando en el crecimiento de la población.Este modelo es de crecimiento logístico pero con restricciones.

El aporte de los modelos estos modelos matemáticos nos ayudan a entender y poder representar sistemas complejos de nuestra naturaleza.

BIBLIOGRAFÍA.

http://fobos.inf.um.es/palazon/ecologia/dinpobIII.pdf

http://www4.ujaen.es/~ajlopez/asignat/fm_ambientales/practi/leslie.pdf

http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/3.AplicacionesPrimerOrden/ImpPoblacionL.pdf