Modelo de Risco Perturbado com Dependencia entre Taxas dePremio e o valor das Indenizacoes

Anna Rafaella da Silva Marinho, Debora Borges FerreiraDepartamento de Matematica e Estatıstica, PPGMAE, UFRN,

59072-970, Natal, RNE-mail: fafa1110@yahoo.com.br, debora@ccet.ufrn.br.

Palavras-Chave: Equacoes de Renovacao, Probabilidade de Sobrevivencia e Probabilidade deRuına, Teorema de Rouche, Modelo de Risco Dependente, Transformada de Laplace

Resumo: Neste trabalho consideramos um modelo de risco dependente com a difusao do su-peravit de uma seguradora, no qual a taxa corrente do premio e ajustada apos o pagamentode uma indenizacao e o ajuste da taxa e determinado de acordo com o valor do pedido deindenizacao. Utilizando o Teorema de Rouche, apresentamos uma solucao fechada para a trans-formada de Laplace da probabilidade de sobrevivencia no modelo de risco dependente. Em se-guida, sera obtida uma equacao de renovacao fraca utilizando a transformada de Laplace daprobabilidade de sobrevivencia. Para as indenizacoes, que seguem o modelo exponencial, seraapresentada uma expressao de recorrencia e atraves dessa calcularemos a probabilidade de so-brevivencia. Mostraremos, tambem, por meio de alguns exemplos numericos que os parametrosutilizados no modelo de risco dependente influenciam na probabilidade de sobrevivencia.

1 Introducao

Inicialmente, consideremos o modelo classico de risco de Poisson composto, no qual o su-peravit de uma seguradora e descrito por

U(t) = u+ ct−N(t)∑i=1

Xi ,

onde u ≥ 0 e o capital inicial da seguradora; c > 0 e constante e representa a taxa de entradade premios por unidade de tempo; N(t), t ≥ 0 e um processo de Poisson com taxa de chegadaλ > 0 e {X1, X2, ...}, uma sequencia de variaveis aleatorias nao negativas independentes e iden-ticamente distribuıdas e independentes de N(t), cuja funcao densidade de probabilidade e f(x)e a funcao de distribuicao acumulada e F (X) = 1 − F (X) = Pr(X1 ≤ x) com F (0) = 0 emedia µ =

∫∞0 F (x)dx > 0; e Xn denota o valor do n-esimo pedido de indenizacao e teremos

tambem, τn denotando o tempo de ocorrencia da n-esima indenizacao, com τ0 = 0. Desse modo,temos que Tn = τn− τn−1; n = 1, 2, ... e o espaco de tempo entre os pedidos de indenizacao comdistribuicao exponencial comum e media comum 1

λ .O modelo classico de risco de Poisson composto e bem mais realista do que o modelo de risco

classico, que considera a taxa de premios c como sendo uma constante fixa positiva, a saber,c > λµ, alem do mais, essa taxa e aplicada sem levar em consideracao as indenizacoes pagasno perıodo anterior. Podemos ilustrar esse fato com um exemplo real. Basta considerar a taxade premios para seguros de automoveis, a qual geralmente e ajustada de acordo com os valoresdas indenizacoes pagas em um perıodo passado. Ou seja, a hipotese de que a taxa de premiopermanece constante e muito restritiva na pratica.

Atualmente, temos varios modelos de risco novos, nos quais os premios de uma seguradorasao incertos e dependem de varios componentes aleatorios de seu superavit. Desses modelos no-vos podemos citar o modelo apresentado por Dufresne e Gerber (1991) o qual exibe uma difusao(que descreve o grau de incerteza para um conjunto de premios ou uma incerteza adicional para

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um agregado de indenizacoes) para o superavit em um processo classico de Poisson composto;um modelo de risco no qual as taxas de premio sao ajustadas de forma contınua de acordocom o nıvel atualizado do superavit da seguradora, em Asmussen (2000); e um modelo de riscodependente no qual a taxa de chegada da indenizacao seguinte segue o modelo de Poisson e edeterminada de acordo com o valor da que a precedeu, considerado por Albrecher e Broxma(2005).

Esse trabalho baseia-se no modelo de risco dependente perturbado considerado por Cai eZhou (2009) no qual supoe-se que a taxa de premio e ajustada apos ocorrer um pedido deindenizacao e observar o seu valor. O coeficiente de difusao e modificado de modo analogo.Nesse modelo, assume-se, que a taxa de premios em um perıodo de tempo [τn, τn+1) e umavariavel aleatoria e e determinada por Xn que representa o montante de indenizacoes ocorrendono instante τn, n = 1, 2, ..., alem disso, a perturbacao do superavit da seguradora e descrita se-gundo um movimento browniano padrao {Wt , t ≥ 0} que e independente de {N(t) , t ≥ 0} e de{X1, X2, ...}. Nesse modelo, o coeficiente de difusao no intervalo de tempo [τn, τn+1) e denotadopor θ(Xn), o qual depende de Xn.

2 Metodos e Procedimentos

Apresentaremos um modelo mais maleavel utilizando as tecnicas empregadas por Dufresne eGerber (1991), Albrecher e broxma (2005) e seguindo passo-a-passo Cai e Zhou (2009) assumi-remos que existe um limite comum denotado b > 0 para os valores das indenizacoes. QuandoXn > b a taxa de premio c(Xn) sera dita c1.

Considerando R(t) o superavit da seguradora no tempo t com taxa de premio aleatoria c(Xn)e coeficiente de difusao aleatorio θ(Xn) , n = 1, 2.... Seja n ≥ 1 e t ∈ [τn, τn+1), entao, o processoR(t) do superavit satisfaz:

R(t) = R(τn) + c(Xn)(t− τn) + θ(Xn)(Wt −Wτn),

e

R(τn+1) = R(τn) + c(Xn)Tn+1 −Xn+1 + θ(Xn)(Wτn+1 −Wτn).

Esse modelo e interpretado do seguinte modo: suponha que a taxa base da carteira e c1. Se umpedido de indenizacao com valor alto ocorre, isto e, o maior valor de b, a taxa de premio ”au-mentara de nıvel”, denotaremos c2. Se ocorre um pedido de indenizacao baixo, ou seja, de valorinferior a b, valera a taxa base c1. Por isso, torna-se razoavel assumir c2 ≥ c1 > 0, isso significaque quanto maior for o pedido de indenizacao maior sera a taxa base de premio. Note que nessainterpretacao a taxa de premio c1 pode ser vista como uma taxa de rendimento aceitavel. Ja ataxa c2 pode ser vista como uma multa alta para um pedido de indenizacao. Nesse modelo, naoe necessario supor que c2 ≥ c1. Os resultados no decorrer do trabalho serao obtidos para algumc1 > 0 e c2 > 0. Assumindo-se o seguinte:

c(x) =

{c1 se x ≤ b ,c2 se x > b .

Do mesmo modo,

θ(x) =

{θ1 se x ≤ b ,θ2 se x > b .

Quando θ1 > 0 e θ2 > 0 sao constantes, descrevem as alteracoes dos coeficientes de difusaodecorrentes das mudancas das taxas de premio. Alem disso, nos ateremos as condicoes abaixo.

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c1 > λE [Xn|Xn ≤ b] e c2 > λE [Xn|Xn > b] (1)

O que implica em

c1F (b) + c2 e c2F (b) > λµ (2)

e

c1 > λE [XnI {Xn ≤ b}] e c2 > λE [XnI {Xn > b}] (3)

Nos denotamos a taxa de premio inicial do processo de superavit de ci, o coeficiente dedifusao θi sobre o primeiro perıodo [0, τ1) entre os pedidos de indenizacoes e a probabilidade desobrevivencia do processo de superavit {Ri(t), t ≥ 0}, i = 1, 2 e definida por

φi(u) = Pr {Ri(t) ≥ 0∀t ≥ 0|Ri(0) = u} , i = 1, 2.

3 Resultados obtidos e comparacoes com resultados de outros au-tores

Quando c1 = c2 e θ1 = θ2 o modelo de risco dependente estudado nesse trabalho se reduzao modelo de risco de Poisson composto perturbado apresentado em Dufresne e Gerber. Alemdisso, iremos ver ao longo do trabalho que quando θ1 → 0+ e θ2 → 0+, as equacoes diferenciaisintegrais satisfeitas por φ1(u) e φ2(u), no modelo estudado por nos, sao equivalentes aos domodelo dependente proposto por Albrecher e Broxma (2004).

O restante do trabalho esta composto do modo seguinte: em um primeiro momento, traba-lharemos com as derivadas de equacoes diferenciais integrais diferenciais para a probabilidade desobrevivencia φ1(u), i = 1, 2.; em seguida, utilizando o teorema de Rouche, apresentaremos assolucoes de forma fechada para a transformada de Laplace da probabilidade de sobrevivencia nomodelo de risco de dependencia; usando a transformada de Laplace, apresentaremos as equacoesde renovacao fraca para a probabilidade de sobrevivencia e estudaremos as aproximacoes deLundberg para a Probabilidade de Ruına; Para as indenizacoes, que seguem o modelo exponen-cial, apresentaremos as solucoes de recursao explıcitas da probabilidade de sobrevivencia.

4 Conclusoes

Para concluir, apresentaremos exemplos numericos que ilustram a influencia que os parametrosexercem sobre o modelo de risco dependente da probabilidade de sobrevivencia.

5 Referencias

[1] Albrecher, H., Boxma, M. A ruin model with dependence between claim sizes and claimintervals. Insurance: Mathematics and Economics, 35 (2004) 245-254.

[2] Cai, J., Zhou, M. A perturbed risk model with dependence between premium rates and claimsizes. Insurance: Mathematics and Economics, 45 (2009) 382-392.

[3] Dufresne, F., Gerber, H. U. Risk theory for the compound Poisson process that is pertubedby difusion. Insurance: Mathematics and Economics, 10 (1991) 51-59.

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