modelo de inventario (s 1,s) para refacciones con …
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEMONTERREY
CAMPUS ESTADO DE MEXICO
MODELO DE INVENTARIO (S − 1, S) PARA
REFACCIONES CON ORDENES DE EMERGENCIA
BAJO DOS POSIBILIDADES DE SUMINISTRO
TESIS QUE PARA OPTAR EL GRADO DEMAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERIA INDUSTRIAL
PRESENTA
MAURICIO FLORES CADENA
Asesor: Dr. Eduardo Dıaz Santillan
Comite de tesis: Dr. Humberto Vaquera HuertaDr. Jaime Mora VargasM. en C. Ivan Andres Arana Solares
Jurado: Dr. Humberto Vaquera Huerta (Presidente)Dr. Jaime Mora Vargas (Secretario)M. en C. Ivan Andres Arana Solares (Vocal)
Atizapan de Zaragoza, Edo. de Mexico, Octubre 2005
Agradecimientos
En gratitud infinita a mi famila:
Mauro, Guillermina
Rocio, Veronica, Erick
y Karina
y a la escuela:
ITESM Campus Estado de Mexico
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Resumen
En este estudio, se desarrolla un modelo de inventarios para refaccionesque solicita ordenes normales y de emergencia, esta ultima con un menortiempo de entrega que las normales. Para el analisis se realiza una analogıade la polıtica de inventarios (S − 1, S), considerando ahora un tiempo deentrega ponderado, lo cual permitira incluir en la evaluacion el efecto quetendrıa en los costos y en el nivel de servicio, la opcion de solicitar de emer-gencia una refaccion. El modelo asume una demanda Poisson, tiempos deentrega constantes y la posibilidad de que al quedarse vacıo el inventario, lademanda insatisfecha espere un determinado tiempo a que llegue su refaccion.El modelo se analiza numericamente, calculando los valores que optimizan lapolıtica de inventarios. Se realiza un analisis de sensibilidad de los paramet-ros: costos, tiempo de entrega y tasa de demanda. Para finalizar se presentanlas conclusiones e investigaciones futuras.
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Indice general
Resumen 5
Abreviaturas y Sımbolos 13
1 Introduccion 15
1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.2. Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Revision de Literatura 19
2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Modelo de inventarios con ordenes de emergencia . . . . . . . 20
3 Planteamiento del Problema 23
3.1. Modelo (S − 1, S) sin ordenes de emergencia . . . . . . . . . . 23
3.1.1. Analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2. Comportamiento del sistema . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3. Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2. Modelo (S − 1, S) con ordenes de emergencia bajo dos posi-bilidades de suministro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Desarrollo 33
4.1. Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Evaluacion Numerica 37
6 Analisis de Sensibilidad 41
6.1. Analisis de la demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8
6.2. Analisis del tiempo de entrega . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.3. Analisis de los costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.4. Resumen analisis de demanda, tiempo de entrega y costos . . 45
6.5. Analisis de sensibilidad vıa simulacion . . . . . . . . . . . . . 47
7 Conclusiones e Investigaciones Futuras 51
7.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2. Investigaciones Futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Bibliografıa 53
A. Resultados de la evaluacion numerica de §4.1 con ordenes nor-males 57
B. Resultados de la evaluacion numerica de §4.1 con ordenes nor-males y de emergencia 59
C. Parametros de la simulacion 61
D. Estadısticas simulacion de §6.5 (Costos: fdp Normal) 63
E. Estadısticas simulacion de §6.5 (Costos: fdp Uniforme) 65
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Indice de figuras
3.1. Comportamientos de las variables del modelo de inventarioscon una opcion de suministro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Comportamiento de B e I para diferentes valores de L . . . . 28
3.3. Comportamiento del tiempo de espera promedio en backordery en inventario disponible para diferentes valores de L . . . . . 29
3.4. Comportamiento del nivel de servicio para diferentes valoresde L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5. Comportamiento de C(s) para L = 1, λ = 2, h = 800 y b = 5000 31
3.6. Comportamiento del sistema de inventarios con emergencia . . 31
4.1. Comportamiento de las variables del modelo de inventarioscon dos opciones de suministro . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1. Comportamiento de la funcion de costos C(s) . . . . . . . . . 38
5.2. Comportamiento del nivel de backorder . . . . . . . . . . . . . 38
5.3. Comportamiento del nivel de inventario disponible . . . . . . . 38
5.4. Comportamiento del nivel de servicio . . . . . . . . . . . . . . 39
5.5. Comportamiento del tiempo de espera de las refacciones enbackorder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.6. Comportamiento del tiempo que permanecen las refaccionesen inventario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.7. Comportamiento de la tasa de demanda satisfecha y no satisfecha 40
6.1. Grafica de dependencia de la demanda en la solucion del in-ventario optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2. Grafica de dependencia de la demanda en el nivel de servicio . 42
6.3. Grafica de la dependencia del tiempo de entrega con emergen-cia sobre el costo optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.4. Grafica de la dependencia del tiempo de entrega en el nivel deservicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
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6.5. Grafica de la dependencia del costo de envıo en la solucionoptima de la polıtica de inventarios . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.6. Grafica de la dependencia del costo de mantener en la solucionoptima de la polıtica de inventarios . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.7. Grafica de dependencia del costo de escasez en la solucion dela polıtica del inventario optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.8. Resumen del analisis de sensibilidad en porcentaje . . . . . . . 48
6.9. Grafica de tornado de la primera corrida para el 5%, 10% y20% de desviacion estandar en orden de aparicion de arribahacia abajo respectivamente. (Costos con fdp Uniforme) . . . 49
6.10. Grafica de tornado de la primera corrida para el 5%, 10% y20% de desviacion estandar en orden de aparicion de arribahacia abajo respectivamente. (Costos con fdp Uniforme) . . . 50
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Indice de cuadros
5.1. Tabla de valores de analisis del sistema . . . . . . . . . . . . . 37
5.2. Comparacion de resultados con y sin ordenes de emergencia . 37
6.1. Dependencia de la demanda en la solucion del inventario optimo 41
6.2. Dependencia del tiempo de entrega en la solucion de la polıticadel inventario optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.3. Dependencia del tiempo de entrega, con costo de emergenciafijo, en la solucion de la polıtica del inventario optimo . . . . . 43
6.4. Dependencia del costo de envıo en la solucion de la polıticadel inventario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.5. Dependencia del costo de mantener el inventario en la solucionde la polıtica del inventario optimo . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.6. Dependencia del costo de escasez o backorder en la solucionde la polıtica del inventario optimo . . . . . . . . . . . . . . . 47
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Abreviaturas y Sımbolos
Sımbolo Descripcion
D(t) Demanda acumulada al tiempo t el cual es un procesoestocastico
λ Tasa de demandaλN Tasa de demanda normalλN Tasa de demanda con emergencia
LN y LE Tiempo de entrega normal y con emergenciarespectivamente
Lp Tiempo de entrega promediot Tiempo variable continuo, t ≥ 0q Tamano de lotes Nivel del stock-baseh Costo por mantener el inventario por unidad de producto
y unidad de tiempop Costo de escasez por una unidad en backorder por unidad
de tiempocN y cE Costo fijo por unidad de producto por ordenar
de forma normal y con emergencia respectivamenteI(t) Inventario disponibleB(t) Pedidos faltantes o backorderIN(t) Inventario neto = I(t)−B(t)A(t) Indicador de vaciarse el inventario = 1 {IN(t) ≤ 0}IT (t) Inventario en transitoPI(t) Posicion del inventario = IN(t) + IT (t)
I Promedio del inventario disponible
IE Tiempo promedio que esta en inventario disponibleuna refaccion
A Promedio de la frecuencia de vaciarse el inventario ofraccion de demanda en backorder
B Promedio en backorder
BE Tiempo promedio que esperan los clientes en backorder
FO Promedio de la frecuencia de las ordenes
FON Promedio de la frecuencia de las ordenes normales
FOE Promedio de la frecuencia de las ordenes con emergenciaC(s) Funcion del costo total promedio esperado
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1 Introduccion
De acuerdo con Kennedy et al (2002) [1], la funcion de un inventario derefacciones1 es poner estas a disposicion del personal de mantenimiento2, conla finalidad de tener al equipo en condiciones operativas3. Para cumplir coneste proposito, hay industrias (e.g. manufactura de autos, aviones, maquinar-ia, equipo de computo, telecomunicaciones, entre muchas otras) que admin-istran su inventario utilizando diferentes opciones de suministro. Por ejemplola empresa Caterpillar4 (Rao, Scheller-Wolf y Tayur (2000) [5]) diseno la redde suministro de su nueva lınea de productos P2000, considerando como unfactor importe, la opcion de solicitar una orden de emergencia cuando la de-manda sobrepase el nivel de inventarios. Esta orden tendrıa un tiempo deentrega menor que una orden normal, sin embargo a un mayor costo. Conesto, Caterpillar obtuvo mayor flexibilidad en su operacion e incremento susganancias esperadas en un 8% aproximadamente.
En esta tesis, se examina un modelo donde existen dos opciones bajocondiciones de emergencia. Entendiendose por emergencia, al hecho de notener disponible la refaccion en inventario para efectuar un mantenimiento.Esto permite al administrador disponer de una opcion de suministro que tieneun tiempo de entrega menor que un envıo normal, no obstante, a un mayorcosto. Ejemplo de esto ocurre cuando el administrador solicita normalmenteordenes enviadas por vıa marıtima o terrestre, y el tiene la posibilidad desolicitar una orden vıa aerea en caso de emergencia. Notese en el ejemplo,que la diferencia en tiempo de un envıo normal versus uno de emergencia,podrıa llegar a ser de varios dıas o inclusive semanas. De lo contrario notendrıa mucho sentido utilizar esta otra opcion.
Otro beneficio como consecuencia de disminuir el tiempo de entrega, es
1APICS (2002) [2] define a una refaccion como aquellos modulos, componentes y ele-mentos, para reemplazar una parte original.
2D. N. P. Murthy y N. Jack (2003) [3], definen mantenimiento como aquellas acciones (i)para controlar el proceso de deterioro del sistema que terminarıa en una falla y (ii) aquellasque restablecen el sistema a su estado operativo por medio de acciones correctivas despuesde la falla. El primero es llamado mantenimiento preventivo y el segundo mantenimientocorrectivo.
3Ray (2004) [4] menciona que no solo es importante tener la refaccion correcta en elmomento indicado para mantener el equipo en condiciones operativas, sino que se deben desincronizar otros recursos como: planeacion de tiempos no operativos, capacidad, tiemporequerido para una reparacion, disponibilidad de tecnicos, herramientas, prioridades de losclientes y obligaciones del contrato de servicio.
4Empresa lıder en la construccion de equipos para la construccion y minerıa
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reducir el costo ocasionado por interrumpir la continuidad en la operacion.Finalmente, se tienen otras ventajas menos tangibles como: lealtad del cliente,diferenciacion competitiva, etc.
En la literatura existen varias versiones que han estudiado este proble-ma (consultese la seccion 2.2). Estas se pueden clasificar en dos grupos: lasque se aproximan al optimo y las que optimizan una polıtica5 de inventarios.El primero supone una forma particular de la polıtica y crea metodos paraevaluarla, obteniendo una aproximacion al valor optimo, mientras que el se-gundo calcula la polıtica optima y resuelve la parte especıfica del problemaen consideracion. El presente trabajo pertenece a la literatura que evalua unaaproximacion.
En esta tesis se analiza una polıtica de inventarios (S-1,S)6 , para unarefaccion individual, con demanda Poisson, con dos opciones de suministro:normal y de emergencia, y permitiendo que las ordenes faltantes esperen aque llegue la refaccion7 . Esta polıtica tiene como objetivo mantener la posi-cion del inventario en un valor constante: s. En ella, cada vez que sucedauna demanda se generara una orden para reestablecer la posicion del inven-tario a s. Si el inventario no esta vacıo, entonces se solicita una orden contiempo de entrega normal, de lo contrario se solicita con tiempo de entregade emergencia. La razon por la cual se usa esta polıtica para administrarel inventario de refacciones, es que esta sirve para administrar artıculos endonde no se aprovechan las ventajas de utilizar las economıas de escala, co-mo puede suceder con muchas refacciones. Por ejemplo, cuando el costo fijode ordenar es insignificante en comparacion al costo de mantener y escasezde inventarios. Tambien se utiliza para artıculos que tengan una demandaesporadica y para aquellos en donde se solicita solo una unidad por limita-ciones en la capacidad de carga del transporte. Todo esto hace que tengasentido considerar un tamano de lote q=1. En la literatura solo Moinzadehy Schmidt (1991) [6] ha considerado en su estudio esta problematica. Su tra-bajo determina el valor de S para solicitar ordenes normales y el valor deS para ordenes de emergencia considerando que el tiempo de entrega conemergencia sea menor al tiempo que resta a que llegue el pedido que esta entransito. A diferencia de su trabajo, esta investigacion supone que el valor deS sera siempre cero, i.e. cuando el inventario neto es cero. Esto permite teneruna relajacion del problema. De acuerdo con lo anterior, la contribucion deeste trabajo es obtener con mayor facilidad de calculo los resultados. Para elanalisis se tomo como base la metodologıa presentada por Zipkin (2000) [7],de la polıtica (S-1,S) que considera solo una opcion de suministro.
Este trabajo permitira conocer el promedio de: (1) costo optimo aproxi-mado, (2) nivel de inventarios, (3) nivel de ordenes faltantes o backorder8, (4)
5Este termino se usa en la teorıa de inventarios para establecer las reglas bajo las cualesse efectuara el reordenamiento de las refacciones.
6Esta es un caso especial de la polıtica de inventarios de valor mınimo s y valor maximoS, denotada como (s,S), en donde s=S - q, solo que ahora el tamano de lote es q=1, porlo que queda s=S-1, de donde proviene dicha notacion.
7En ingles se dice backorder.8Por facilidad de uso, en lo sucesivo se utilizara el termino en ingles backorder, para
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nivel de servicio, (5) tiempo que el equipo espera a la llegada de la refaccion,y (6) tiempo que dicha refaccion permanece almacenada.
Los resultados encontrados en esta investigacion muestran una mejorıadel 10.6% en el nivel de servicio, al considerar otra opcion con menor tiempode entrega, elevando los costos en un 2.17%. El analisis de sensibilidad delmodelo muestra la importancia de tener una buena estimacion de la tasa dedemanda, ya que este es el parametro que en mayor medida afecta el costooptimo. La incertidumbre en los costos de envıo y de mantener el inventario,muestra que estos son los parametros que mas afectan dicho costo.
En el capıtulo 2 se establece la literatura relacionada con los orıgenes delos modelos de inventario, ası como los estudios relacionados con modelos deinventario bajo dos opciones de suministro con ordenes de emergencia. Enel capıtulo 3 se plantea el problema, y en 4 se desarrolla su analisis. En elcapıtulo 5 se realiza una evaluacion numerica del modelo. En el capıtulo 6 sehace un analisis de sensibilidad de los parametros implicados en el modeloy finalmente en el capıtulo 7 se concluyen los resultados obtenidos y se hacemencion sobre investigaciones futuras.
1.1. Objetivos
1.1.1. Objetivo General
Optimizar la polıtica de inventarios (S-1,S), para una refaccion indi-vidual, con demanda Poisson y tiempos de entrega constantes.
1.1.2. Objetivos Especıficos
Estimar bajo el modelo (S-1,S) la funcion de probabilidad del nivel deservicio.
Obtener la funcion que determine el tiempo que una refaccion per-manece almacenada en inventario y el tiempo que una orden permaneceen backorder.
denotar a los pedidos faltantes.
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2 Revision de Literatura
Esta parte de la tesis muestra los trabajos de investigacion desde losorıgenes de la teorıa de inventarios hasta nuestros dıas, y en particular aque-llos que se refieren en particular a la problematica presentada como tema dela tesis.
2.1. Introduccion
A pesar de que los problemas de inventarios han existido siempre en lahistoria del hombre, no ha sido sino hasta el siglo pasado que se comenzo aestudiar el problema con el empleo de tecnicas analıticas. Este ımpetu parecehaber crecido simultaneamente en las industrias manufactureras y el desarrol-lo principalmente de la ingenierıa industrial. La primera formulacion de lo quese conoce como el modelo EOQ fue obtenido por Harris (1913)[8]. En las sigu-ientes decadas fueron elaboradas numerosas variaciones al modelo, muchas delas cuales fueron impresas en revistas populares, escritas por administradores.El primer libro en la administracion de inventarios que recolectaba muchosde estos resultados fue escrito por Raymond (1931)[9].
No fue sino hasta despues de la Segunda Guerra Mundial, cuando nacio lainvestigacion de operaciones, que se tomo una atencion mas detallada enla naturaleza de este tipo de problemas. Los trabajos de Arrow, Harris yMarschak (1951)[10] y Dvoretzky, Kiefer y Wolfowitz (1952) [11] mostraronun riguroso analisis matematico del modelo de inventarios. Otro trabajo im-portante posterior a estos, fue el libro escrito por Arrow, Karlin y Scarf(1958) [12] y mas adelante un libro monumental, escrito por Hadley y Whitin(1963) [13]. Este libro engloba todos los avances que se tenıan en los modelosde inventarios hasta esa epoca, mismo que represento de alguna manera laculminacion de ese periodo, y en un mayor sentido ha provocado un efectoprofundo en todo el desarrollo que ha tenido esta rama de la investigacionde operaciones hasta nuestras fechas. Ahora existe una gran cantidad de es-critos y avances en lo que respecta a la administracion de inventarios. En eltexto de Porteus (1990) [15], de Graves et al (1993)[16] y de Zipkin (2000)[7],se puede encontrar un gran compendio de estos conocimientos hasta nue-stros dıas. Para ver mas especıficamente la literatura que se ha presentadosobre inventario de refacciones en general puede consultarse a Kennedy et al(2001)[1].
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2.2. Modelo de inventarios con ordenes de
emergencia
Un sistema de inventario en la que se tienen dos opciones de suministro,dada una emergencia por quedarse sin inventario, ha sido ya analizado enla literatura. Como se comento en §1, estas investigaciones se pueden englo-bar en dos grupos. Entre los trabajos que optimizan la polıtica de inventar-ios se tiene: Barankin (1961) [17] desarrolla un modelo para un periodo deplaneacion simple en donde se tienen dos posibilidades de ordenes de emer-gencia. Whittmore y Saunders (1977) [18] muestra que para el caso de re-vision periodica con costos de mantener el inventario y de vaciarse el mismo,la solucion optima es una funcion compleja del vector de nivel de inventariode las ordenes en espera. Esto se resuelve con un programa dinamico de multi-ples periodos, permitiendo que la longitud del tiempo de entrega normal yde emergencia sea arbitraria. Dohi et al (1995) [19] determina la cantidadoptima y el tiempo de pedido optimo con dos tipos de tiempo de entrega,uno mayor que el otro, bajo un esquema de ordenes de emergencia, el cualminimiza el costo promedio esperado en un estado de equilibrio y tambienlos costos descontados totales esperados. Su analisis utiliza un proceso dedemanda Poisson y movimiento Browniano. Para el desarrollo de su anali-sis utiliza tecnicas matematicas similares a aquellas que se usan en la teorıade confiabilidad. Similarmente Dohi et al. y Shibuya et al. (1997-1998) [20][21] utilizan el mismo modelo anterior pero ahora con tiempos de entregaestocasticos, y ademas incluye en su trabajo un modelo de inventarios conrevision periodica (i.e. que el nivel de inventario se conoce solo en puntosdiscretos en el tiempo). Chiang y J. Gutierrez (1998) [22] y Chiang (2003)[23] analizan el problema de ordenes de emergencia bajo dos posibilidadesde suministro para una polıtica de inventarios periodica y para su solucionutiliza programacion dinamica. Dohi, et al. (2003) [24] presentan un analisisde ordenes de emergencia con dos posibilidades de suministro con un modelode tiempo continuo y discreto. Ademas muestra el analisis de este mismoesquema, en donde se efectua una reparacion mınima a la refaccion con lafinalidad de que esta sea remplazada, a la llegada de una nueva.
Los trabajos en esta area que realizan una aproximacion al optimo son:Allen y D’Esopo (1968) [25] presentan un modelo de inventarios simple conordenes de emergencia, en la que el tiempo de entrega de dicha orden esmenor al tiempo normal. Rosenshine y Obee (1976) [26] evaluan un sistemade inventarios con ordenes de emergencia, en donde muestra el efecto nega-tivo que tiene el tiempo de entrega en la evaluacion economica del sistema.Moinzadeh y Nahmias (1988) [27] crean un heurıstico para aproximar el opti-mo de (Q1, Q2, R1, R2) en un sistema de inventarios continuo, el cual tienedos posibilidades de suministro, uno de los cuales tiene un tiempo de entregamas corto que el otro. Este trabajo es una extension natural de la polıtica deinventarios (Q,R), y compara el modelo con y sin ordenes de emergencia. Elmodelo es el siguiente: se coloca una orden de compra normal Q1 cuando elinventario disponible alcanza R1, y una orden de emergencia Q2 si el inven-
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tario disponible llega al nivel R2. Moinzadeh y Schmidt (1991) [6] desarrollanun modelo aproximado para un sistema de control de inventarios (S − 1, S),en donde existen dos opciones de suministro, en la cual una tiene un tiempode entrega menor. El modelo no solo toma en cuenta la posicion del inven-tario, sino que considera la informacion correspondiente el tiempo de arribode las ordenes con la finalidad de evitar la solicitud de ordenes de emergenciainnecesarias.. Moinzadeh y Aggarwal (1997) [28] adoptan el mismo analisisdel trabajo presentado por Moinzadeh y Schmidt (1991) pero ahora para elcaso de multiples sitios de almacenamiento. Glud y Thorstenson (1998) [29]desarrollan un algoritmo para minimizar el costo del inventario cuando setienen ordenes de emergencia.
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3 Planteamiento del Problema
De acuerdo con §1.1 el objetivo general de esta tesis es optimizar lapolıtica de inventarios (S-1,S), para una refaccion individual, con demandaPoisson y tiempos de entrega constantes. ası como estimar bajo este modelola funcion de probabilidad del nivel de servicio y la funcion que determine eltiempo que una refaccion permanece almacenada en inventario y en backo-rder.
Para analizar este modelo, primero se mostrara como base de analisis,la metodologıa utilizada por Zipkin (2000) [7], donde se considera solo unaopcion de suministro. Posteriormente se mostrara la propuesta del modelocon ordenes de emergencia bajo dos opciones de suministro.
3.1. Modelo (S−1, S) sin ordenes de emergen-
cia
Denotemos
λ = tasa de demandaL = tiempo de entregaq = tamano de loter = punto de reordens = nivel de stock-base=r + 1t = variable del tiempo continuo, t ≥ 0D(t)= demanda acumulada hasta el tiempo t
De acuerdo con la literatura (vease [7][30]), el comportamiento de la de-manda acumulada de artıculos con una demanda irregular, (en este caso lasrefacciones para mantenimiento), {D(t), t ≥ 0|D(0) = 0} es un proceso Pois-son con ındice λ(> 0). En Cox y Miller (1972)[31] se establece la siguientepropiedad de un proceso Poisson.
Propiedad : Si D(t, t + ∆t) es la cantidad de demanda en el intervalo(t, t + ∆t], se supone que cuando ∆t → 0 ,
P{D(t, t + ∆t) = 0} = 1− λ∆t + o(∆t),
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P{D(t, t + ∆t) = 1} = λ∆t + o(∆t),
por lo tanto
P{D(t, t + ∆t) > 1} = o(∆t),
donde o(∆t) denota una funcion que tiende a cero mas rapido que ∆t, porlo tanto, la probabilidad de que se tenga demanda en el intervalo de tiempo∆t es aproximadamente λ(∆t), y la probabilidad de que exista mas de unademanda es insignificante, independientemente de lo que suceda en otrosintervalos, esto implica que D(t) tenga una distribucion Poisson con mediaλt,
P{D(t) = d} =(λt)de−λt
d!, d ≥ 0 (3.1)
Esto significa que D(t, u] tenga una distribucion Poisson con media λ(u−t), lo cual depende unicamente de la longitud del intervalo (t, u] , y no decuando suceda. En este caso, lo que interesa conocer es la demanda queocurre durante el intervalo de tiempo que transcurre desde que se solicitauna orden hasta que esta se entrega. Por lo tanto el valor esperado de lademanda durante el tiempo de entrega es E[D(t)] = λL cuando t = L.
Las variables que describen la evolucion del sistema de inventarios en eltiempo, para t ≥ 0 son:
I(t) = inventario disponibleB(t) = pedidos faltantes o backorderIN(t) = inventario neto = I(t)−B(t)A(t) = indicador de que el inventario quede vacıo = 1{IN(t) ≤ 0}IT (t) = inventario en transitoIP (t) = posicion del inventario= IN(t) + IT (t)
aquı, la variable indicadora A(t) toma el valor de 1 cuando IN(t) ≤ 0, y 0 de otra manera. Tambien se puede observar que IN(t) determina elinventario disponible y el backorder, esto es,
I(t) = [IN(t)]+ B(t) = [IN(t)]−
Una mejor manera de visualizar el comportamiento de las variables delmodelo en el tiempo se muestra en la figura 3.1.
Ahora bien, lo que interesa conocer es el valor esperado de estas variablesa traves del tiempo,
I = promedio de inventario disponible
I = limT→∞
{(1T
) ∫ T
0I(t)dt
}
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Figura 3.1: Comportamientos de las variables del modelo de inventarios conuna opcion de suministro
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A = fraccion de demanda en backorder
A = limT→∞
{(1T
) ∫ T
0A(t)dt
}B = promedio de backorder
B = limT→∞
{(1T
) ∫ T
0B(t)dt
}FO = promedio de la frecuencia de ordenarω = nivel de servicio = 1− A
De acuerdo a las propiedades ergodicas de las variables aleatorias (veaseZipkin [7] y Grimmett y Stirzaker [32]), estos criterios se pueden calcularcomo I = E [I],A = E [A], B = E [B] y FO = λ, para un proceso estocasticoestacionario (i.e. en equilibrio). Para describir el comportamiento del inven-tario neto i.e. IN en equilibrio, se requiere conocer la posicion del inventarioen equilibrio i.e. PI y la demanda durante el tiempo de entrega D.
El objetivo es mantener la posicion del inventario PI a un valor constantes: Si el sistema comienza con PI(0−) ≤ s, entonces se ordena inmediatamentela diferencia, de tal manera que PI(0) = s. Si PI(0−) ≥ s, no se ordena nadahasta que la demanda reduzca PI(t) hasta s. Una vez que PI(t) alcanza elvalor de s, este se mantiene ahı hasta que este vuelva a disminuir.
3.1.1. Analisis
Supongase por ahora que s ≥ 0, y que IN(0) = I(0) = PI(0−) = s. En-tonces, las ordenes coinciden con la demanda, y cada orden permanecera pen-diente por el tiempo L. Por lo tanto IO(t), no depende de la eleccion de s, ylas ordenes incluidas en IT (t) son aquellas que se solicitaron en el intervalo(t− L, t], y estas ordenes corresponden a la demanda en el mismo intervalo,lo cual se puede observar en la figura 3.1, por lo que
IT (t) = D(t− L, t] (3.2)
y por lo tanto este tiene una distribucion Poisson con media λL. Pordefinicion PI(t) es
PI(t) = IN(t) + IT (t) (3.3)
pero PI(t) es la constante s y IT (t) es la demanda, por lo que
IN(t + L) = s−D(t, t + L] (3.4)
Ahora se calculara las medidas del desempeno del sistema. Sea g la funcionde probabilidad de masa de D durante el tiempo de entrega L i.e. P{D = s},G la distribucion acumulada i.e. P{D ≤ s}, G0 su distribucion acumulada
27
complementaria i.e. P{D > s} y G1 la funcion de perdida i.e. E[[D− s]+] setiene lo siguiente:
A = P{IN ≤ 0} = P{D ≥ 0} = G0(s− 1) (3.5)
B = E[[IN ]−] = E[[D − s]+] = G1(s) (3.6)
I = E[[IN ]+] = E[IN + [IN ]−] = s− λL + B (3.7)
De acuerdo con Tijms [33], g(s) se puede calcular recursivamente como:
g(0) = e−λL
g(s) =
(λL
s
)g(s− 1) (3.8)
Para calcular G no existe una forma cerrada, por lo que se debe de calcularde forma directa. (Esta forma de calculo no se debe de utilizar para valoresde s muy largos, vease [34]). De acuerdo con Zipkin [7], se tiene,
A = = G0(s− 1) = 1−∑j<s
g(j) (3.9)
B = = G1(s) = λL−∑j<s
G0(j) (3.10)
La ecuacion (3.10) es una funcion no incremental y convexa1 en s, paravalores de D no negativos (vease [7]).
3.1.2. Comportamiento del sistema
El desempeno del sistema depende solo de los parametros λ y L a travesdel producto λL, que es la media de la demanda que se genera durante eltiempo de entrega L. Ahora bien B es decreciente y convexo conforme a s,I aumenta y es convexo2 conforme a s, y A es decreciente conforme a s, sinembargo este no es convexo. En la figura 3.2 se muestra el comportamientode I y de B para λ = 2 y L igual a 1, 2, 3 y 4.
Esta grafica da a conocer como se mueven las curvas hacia la derechaconforme L incrementa, por lo que tambien se incrementa el valor de s,para seguir manteniendo aproximadamente el mismo nivel de servicio. Otramanera de evaluar el impacto de L en el desempeno del sistema es utilizandola formula de Little [35] y medir el tiempo promedio que esperan los clientes
1La convexidad de la funcion B = G1(s) definida en el intervalo S = (a, b), se cumplecon la siguiente desigualdad G1(αs1 + (1 − α)s2) ≤ αG1(s1) + (1 − α)G1(s2) para s1 ys2 ∈ S para toda α ∈ (0, 1) (vease [7])
2Para la funcion I, tambien aplica la misma formula de la nota anterior.
28
Figura 3.2: Comportamiento de B e I para diferentes valores de L
en backorder BE, y el tiempo promedio que esta en inventario una refaccionIE, esto es,
BE =B
λ(3.11)
IE =I
λ(3.12)
Nuevamente la figura 3.3 ensena como debe de aumentarse s al aumentarel valor de L, para seguir manteniendo una aproximacion del valor de BE eIE.
El comportamiento del nivel de servicio tambien se ve afectado por elincremento de L, como se puede ver en la figura 3.4.
3.1.3. Optimizacion
En esta seccion se establece una estructura de costos sobre el problema yse muestra como calcularlo. De acuerdo con Zipkin (2000) [7], los costos queafectan el modelo son los siguientes:
h = costo por mantener el inventario3=[
Unidad−MonetariaUnidad−Cantidad·Unidad−Tiempo
]p = costo por escaez de inventario 4=
[Unidad−Monetaria
Unidad−Cantidad·Unidad−Tiempo
]c = costo por envıo de una refaccion 5=
[Unidad−MonetariaUnidad−Cantidad
]
29
Figura 3.3: Comportamiento del tiempo de espera promedio en backorder yen inventario disponible para diferentes valores de L
Figura 3.4: Comportamiento del nivel de servicio para diferentes valores deL
30
Por lo que el costo total esperado6 es:
C(s) = hI + pB + cFO (3.13)
El analisis dimensional de la ecuacion (3.13) serıa,
[C(s)] =
[U.−Monetaria
U.− Cantidad · U.− Tiempo
][U.− Cantidad] +[
U.−Monetaria
U.− Cantidad · U.− Tiempo
][U.− Cantidad] +[
U.−Monetaria
U.− Cantidad
] [U.− Cantidad
U.− Tiempo
]=
[U.−Monetaria
U.− Tiempo
]
Dado que el costo que se multiplica por FO(s) = λ , es constante, por elmomento no se tomara en cuenta en la evaluacion de la funcion. El objetivoes determinar el valor de s que minimice la funcion de costos. Dado que Be I son convexos (vease §3.1.2), entonces por definicion la suma de estasfunciones, i.e C(s), es tambien una funcion convexa (vease Apendice A dellibro de Zipkin [7]), como se muestra en la siguiente figura 3.5,
Una manera de encontrar la solucion es considerando a s continua, yresolviendo la ecuacion C ′(s) = 0 o por metodos numericos.
3.2. Modelo (S − 1, S) con ordenes de emer-
gencia bajo dos posibilidades de sumin-
istro
Bajo una polıtica de inventarios (S − 1, S) supongase que el sistemacomienza a operar en el tiempo 0, y que IN(0) = I(0) = IP (0) = s, si
5Este es la suma de todos los costos proporcionales a la cantidad de inventario disponiblefısicamente en cualquier punto en el tiempo. Entre sus componentes se encuentra: (1)el costo de suministrar el espacio fısico para almacenar las refacciones, (2) impuestos yseguros, (3) roturas, estropicios, deterioros y obsolescencia y (4) costo de oportunidadde una inversion alternativa. Este ultimo tiene gran relevancia en el calculo del costode mantener el inventario, ya que en cierto sentido, inventario y dinero en efectivo sonequivalentes.
5Dado que en esta tesis se considera el caso de que la demanda quede en backorder, elcosto de escasez se puede calcular, como el costo de mantener la maquinaria sin trabajaren espera de la refaccion.
5Este costo incluye el transporte, impuestos, gastos administrativos, etc.6El uso del operador de valor esperado E[·] se justifica gracias a la teorıa de grandes
numeros: mientras mas crezca el numero de periodos de planeacion, el promedio aritmeticodel costo al que se incurre actualmente, sera mas cercano al costo esperado. Y gracias aque el control de los inventarios esta siempre en movimiento, tiene sentido el que se utiliceesta teorıa como herramienta de analisis del modelo de inventarios.
31
Figura 3.5: Comportamiento de C(s) para L = 1, λ = 2, h = 800 y b = 5000
el valor de PI(t) ≤ s y el inventario neto es positivo IN(t) > 0 entoncesse ordena una refaccion con tiempo de entrega normal LN y costo de envıocN . Pero si el inventario neto llegara a ser IN(t) ≤ 0 entonces se ordenauna refaccion con tiempo de entrega de emergencia LE y costo de envıo cE.Una vez que PI(t) alcanza el valor de s, este se mantiene ahı hasta que estevuelva a disminuir. En este modelo se espera que LN > LE y cE > cN (veasefig. 3.6). El objetivo es encontrar el valor optimo de s∗ que minimice el costototal esperado, realizando una analogıa al modelo presentado en §3.1
Figura 3.6: Comportamiento del sistema de inventarios con emergencia
32
33
4 Desarrollo
De acuerdo con §3.1.1 ecuacion (3.2), el inventario en transito es igual ala demanda i.e. IT (t) = D(t−L, t]. Cuando se tienen tiempos de entrega condiferente duracion, en este caso LN y LE, la ecuacion (3.2) ya no se cumple,sin embargo como se aprecia en la figura 4.1, el inventario en transito oscilarıade acuerdo a,
D(t− LE, t] ≤ IT (t) ≤ D(t− LN , t] (4.1)
oλLE ≤ IT (t) ≤ λLN (4.2)
de acuerdo con la ecuacion (3.4) esto serıa
λLE ≤ s− IN(t) ≤ λLN (4.3)
Ahora definamos a la holgura que existe entre los dos tiempos de entre-ga como H = LN − LE. Para conocer el valor del inventario en transito,analicemos las dos siguientes propiedades del comportamiento del sistema.
Propiedad 1) Comencemos analizando que pasarıa si LE = LN , estoimplicarıa que H = 0 y por lo tanto,
λLE = λLN = s− IN(t) (4.4)
Propiedad 2) Si H > 0, la ecuacion (4.4) ya no se cumple. Sin embargoveamos como se comporta IN(t). Por difinicion IN(t) = I(t)− B(t), por loque la ecuacion (4.3) serıa,
λLE ≤ s− I(t) + B(t) ≤ λLN (4.5)
si en esta ecuacion sustituimos progresivamente el valor de s, el valor deI incrementarıa conforme incrementa s, i.e. que la sucesion de los valoresde I formarıan una sucesion monotona creciente. De manera contrarıa elvalor de B formarıa una sucesion monotona decreciente. Esta observacionpermite asegurar que siempre y cuando H > 0, los valores que tomarıan Be I respetarıan este comportamiento. Esto se vera mejor graficamente en laseccion 4.1, cuando se realice la evaluacion numerica. Considerando estas dospropiedades, en esta tesis su propone utilizar un tiempo de entrega promediopara el analisis de todo el sistema, el cual cumpla con estas propiedades. Estoes,
Lp =LN + LE
2(4.6)
34
Figura 4.1: Comportamiento de las variables del modelo de inventarios condos opciones de suministro
35
De manera igual que la seccion 3.1.1 se designa a g como la funcion deprobabilidad de masa de IT durante el tiempo de entrega Lp i.e. P (IT = s),G la distribucion acumulada i.e. P (IT ≤ s), G0 su distribucion acumuladacomplementaria i.e. P (IT > s) y G1 la funcion de perdida i.e. E [[IT − s]+].Entonces se tiene que,
A = P{IN ≤ 0} = P{IT ≥ 0} = G0(s− 1) (4.7)
B = E[[IN ]−] = E[[IT − s]+] = G1(s) (4.8)
I = E[[IN ]+] = E[IN + [IN ]−] = s− λLp + B (4.9)
Para el calculo de g(s) se utiliza la ecuacion (3.8) y para A y B las ecuaciones(3.10) y (3.10) respectivamente.
4.1. Optimizacion
Los costos involucrados en el problema son (vease literatura de §2.2):
cN = costo por envıo con tiempo de entrega normal =[
Unidad−MonetariaUnidad−Cantidad
]cE = costo por envıo con tiempo de entrega de emergencia =
[Unidad−MonetariaUnidad−Cantidad
]h = costo por mantener el inventario =
[Unidad−Monetaria
Unidad−Cantidad·Unidad−Tiempo
]p = costo por escasez de inventario =
[Unidad−Monetaria
Unidad−Cantidad·Unidad−Tiempo
]
Similar a la ecuacion (3.13) de la seccion 3.1.3, la funcion de costos serıa,
C(s) = hI(s) + pB(s) + cNFON(s) + cEFOE(s) (4.10)
Para el calculo de FON(s) y de FOE(s) se tiene,
FON(s) = λ(1− A(s)) (4.11)
FOE(s) = λA(s) (4.12)
36
37
5 Evaluacion Numerica
Por las cualidades de calculo del modelo, este se implanto en la hojade calculo de Microsoft Excel c©. Para probar numericamente dicho modelo,se consideran los datos del cuadro 5.1. Estos valores respetan los supuestosdel modelo de que cE > cN y LN > LE. Se comparara el resultado usandoordenes normales y de emergencia contra la consideracion de que todo sesolicite con ordenes normales.
Parametro Valor Unidades
λN 1.0 Piezas/semanalescN 300 PesoscE 700 Pesosh 100 Pesos semanalesp 500 Pesos semanales
LN 4 SemanasLE 1 Semanas
Cuadro 5.1: Tabla de valores de analisis del sistema
Realizando los calculos se obtiene lo siguiente (vease Apendice A y B paradesglose de los calculos):
Parametro Modelo solo con ordenes Modelo con ordenes normalesnormales y de emergencia
s∗ 6 5C(s∗) $ 617.26 $ 630.70
Lp 4 semanas 2.5 semanas
B 0.1954 piezas/semana 0.0619 piezas/semana
I 2.1954 piezas/semana 2.5619 piezas/semanaω 78.51% 89.11%
BE 0.1954 semanas 0.0619 semanas
IE 2.1954 semanas 2.5619 semanas
Cuadro 5.2: Comparacion de resultados con y sin ordenes de emergencia
Las graficas del comportamiento son,
38
Figura 5.1: Comportamiento de la funcion de costos C(s)
Figura 5.2: Comportamiento del nivel de backorder
Figura 5.3: Comportamiento del nivel de inventario disponible
39
Figura 5.4: Comportamiento del nivel de servicio
Figura 5.5: Comportamiento del tiempo de espera de las refacciones en back-order
Figura 5.6: Comportamiento del tiempo que permanecen las refacciones eninventario
40
Figura 5.7: Comportamiento de la tasa de demanda satisfecha y no satisfecha
41
6 Analisis de Sensibilidad
De acuerdo a los resultados de §5, se observa que el mayor beneficio deconsiderar dos opciones de suministro versus una, es el aumentar el nivel deservicio a un menor costo para los primeros valores de s. Aquı el nivel deservicio ascendio de 78.51% a 89.11%, para el valor optimo, pero el costoincremento 2.17%, lo cual no desmerita mucho el resultado. El tiempo deespera de las ordenes en backorder disminuyo de 0.1954 semanas a 0.0619semanas. Tambien se observa que a medida que aumenta s, no se mejora enmucho el resultado en el nivel de servicio, sin embargo aquı si se incrementaen mayor medida el valor del inventario disponible. Ahora procederemos arealizar algunos cambios en los parametros del sistema y determinar comoafectan estos el desempeo del mismo.
6.1. Analisis de la demanda
Como se menciono en §3.1.1 el inventario en transito IT (t) es un procesoPoisson, con media y varianza λLp, y es de esperarse que al aumentar odisminuir el valor de λ, esto influya en los costos, como puede observarse enel cuadro 6.1. Para este analisis solo varıa la tasa de demanda y el resto delos parametros permanecen fijos de acuerdo al cuadro 5.1
% Incremento λ s∗ C(s∗) ω
0% 1 5 630.70 89%20% 1.2 5 729.45 82%40% 1.4 6 813.71 86%60% 1.6 7 901.69 89%80% 1.8 8 992.89 91%100% 2.0 8 1079.96 87%
Cuadro 6.1: Dependencia de la demanda en la solucion del inventario optimo
De acuerdo a los datos del cuadro 6.1 y figuras 6.1, el costo optimo C(s∗)aumenta conforme incrementa la tasa de demanda. Sin embargo en la figura6.2, el nivel de servicio no es mejor para todos los casos. A pesar de esto, esteno varıa mas alla del rango 82-91%.
42
Figura 6.1: Grafica de dependencia de la demanda en la solucion del inven-tario optimo
Figura 6.2: Grafica de dependencia de la demanda en el nivel de servicio
43
6.2. Analisis del tiempo de entrega
Como se menciono en §6.1, la media y la varianza del inventario en ordenIT (t) dependen tambien del tiempo de entrega. En este analisis el costo deenvıo con emergencia se reduce conforme el tiempo de entrega es mas largoy viceversa. Para el analisis se quedan fijos los demas parametros de acuerdoal cuadro 5.1.
LN = 4 LN = 6% Incremento LE cE s∗ C(s∗) ω s∗ C(s∗) ω
0% 1 700 5 630.70 89% 6 670.93 86%20% 1.2 650 5 627.01 88% 6 667.48 84%40% 1.4 600 5 623.02 87% 6 663.66 83%60% 1.6 550 5 618.65 85% 6 659.43 82%80% 1.8 500 5 613.83 83% 6 654.72 80%100% 2.0 450 5 625.11 82% 6 668.83 79%
Cuadro 6.2: Dependencia del tiempo de entrega en la solucion de la polıticadel inventario optimo
Otro analisis, serıa que se mantuviera el mismo costo de envıo de emer-gencia cE = $700,00, y se estudiaran diferentes tiempos de entrega.
LN = 4 LN = 6% Incremento LE s∗ C(s∗) ω s∗ C(s∗) ω
0% 1 5 630.70 89% 6 670.93 86%20% 1.2 5 633.14 88% 6 675.27 84%40% 1.4 5 636.73 86% 6 680.66 83%60% 1.6 5 641.50 85% 6 687.10 82%80% 1.8 5 647.48 83% 6 694.61 80%100% 2.0 5 654.67 82% 7 695.13 89%
Cuadro 6.3: Dependencia del tiempo de entrega, con costo de emergencia fijo,en la solucion de la polıtica del inventario optimo
Las siguientes figuras 6.3 y 6.4 muestran los resultados de los cuadrosanteriores,
De estos resultados se observa que el costo optimo crece conforme seincrementa el tiempo de entrega, siendo menor cuando el costo de envıo conemergencia es variable. En general se puede decir que el nivel de servicio sereduce si se incrementan los tiempos de entrega.
6.3. Analisis de los costos
Finalmente se analiza el desempeo del sistema al variar los parametros decosto involucrados en la polıtica de inventarios: costo de envıo, de mantener
44
Figura 6.3: Grafica de la dependencia del tiempo de entrega con emergenciasobre el costo optimo
Figura 6.4: Grafica de la dependencia del tiempo de entrega en el nivel deservicio
45
el inventario y de backorder. Se estudiara cada uno por separado dejando elresto de los parametros fijos de acuerdo al cuadro 5.1.
cN = 300 cN = 500% Incremento cE s∗ C(s∗) ω s∗ C(s∗) ω
0% 700 5 630.70 89% 4 800.95 76%20% 840 5 645.93 89% 5 824.17 89%40% 980 5 661.17 89% 5 839.40 89%60% 1120 5 676.40 89% 5 854.64 89%80% 1260 5 691.64 89% 5 869.87 89%100% 1400 5 706.87 89% 5 885.11 89%
Cuadro 6.4: Dependencia del costo de envıo en la solucion de la polıtica delinventario
Figura 6.5: Grafica de la dependencia del costo de envıo en la solucion optimade la polıtica de inventarios
El cuadro 6.4 y figura 6.5 muestran que la funcion de costos optima C(s∗)tiene una tendencia hacia la alza, conforme se incrementan los costos de envıo.Sin embargo, el nivel de servicio se mantiene casi constante.
De acuerdo a los cuadros 6.5 y 6.6, al incrementar el costo de mantener yvaciarse el inventario, estos aumentan el costo total optimo de acuerdo a lafuncion de costos de la ecuacion (4.10). El nivel de servicio se mantiene casiconstante en todos los casos.
6.4. Resumen analisis de demanda, tiempo
de entrega y costos
Enj la figura 6.8 se muestra los mismos resultados de §6.1, 6.2 y 6.3 enfuncion del porcentaje de variacion.
46
Figura 6.6: Grafica de la dependencia del costo de mantener en la solucionoptima de la polıtica de inventarios
Figura 6.7: Grafica de dependencia del costo de escasez en la solucion de lapolıtica del inventario optimo
47
% Incremento h s∗ C(s∗) ω
0% 100 5 630.70 89%20% 120 5 681.94 89%40% 140 4 716.26 76%60% 160 4 749.68 76%80% 180 4 783.09 76%100% 200 4 816.51 76 $
Cuadro 6.5: Dependencia del costo de mantener el inventario en la solucionde la polıtica del inventario optimo
% Incremento p s∗ C(s∗) ω
0% 500 5 630.70 89%20% 600 5 636.89 89%40% 700 5 643.09 89%60% 800 5 649.28 89%80% 900 5 655.48 89%100% 1000 5 661.67 89 $
Cuadro 6.6: Dependencia del costo de escasez o backorder en la solucion dela polıtica del inventario optimo
De estos resultados se observa que la tasa de demanda es el parametroque en mayor medida afectan el costo optimo de operacion del inventario, ensegundo lugar se encuentra el costo de mantener los inventarios, seguido delcosto de envıo. El tiempo de entrega y el costo de penalizacion estan dentrode un rango del 4-5%. Finalmente si el costo de envıo disminuye conforme seincrementa el tiempo de entrega de emergencia el costo optimo disminuye.En §6.5 se evaluara que sucede con los mismos parametros si estos fueran unavariable aleatoria. Para finalizar es importante notar que el nivel de serviciopara todos los analisis varia aproximadamente entre un rango del 76% hasta91%.
6.5. Analisis de sensibilidad vıa simulacion
Esta parte de la investigacion buscara observar el comportamiento del cos-to optimo C(s∗) bajo incertidumbre i.e. considerando a los parametros comovariables aleatorias. Para ello se simulara el modelo tomando en cuenta unafuncion de densidad de probabilidad para los parametros: tasa de demanda,tiempos de entrega y costos. La tasa de demanda ya estaba definida comouna funcion de probabilidad de masa Poisson(λ), a los tiempos de entrega seles asigna una funcion de probabilidad Gamma(α, β) (vease [7]), y para loscostos se evaluara el modelo con las funciones de probabilidad: Normal(µ)y Uniforme(a, b) (consultese el Apendice C para conocer el valor numericode cada parametro). La media de cada funcion estara determinada por losvalores del cuadro 5.1, y se correra la simulacion para diferentes porcentajes
48
Figura 6.8: Resumen del analisis de sensibilidad en porcentaje
de desviacion estandar: 5%, 10% y 20%.
Se simularan 3 replicas de 10,000 iteraciones cada una (vease [36]), lasimulacion se corre en el software @RISK1 utilizando Latin Hypercube comotecnica de muestreo y diferentes numeros semilla para cada replica. A con-tinuacion se muestran las graficas de tornado de las simulaciones. El resto delas estadısticas se muestran en el Apendice D y E.
De acuerdo con las graficas de las figuras 6.9 y 6.10, la incertidumbreen el costo de envıo normal y de mantener el inventario, afecta en mayormedida el costo optimo. A estos le siguen el costo de envıo con emergencia,tiempo de entrega normal, el costo de penalizacion y el tiempo de entrega conemergencia. Por otra parte se obtienen resultados similares si se considerana los costos con una distribucion de probabilidad Normal o Uniforme.
1Una de las ventajas de utilizar este software para la simulacion es que este utilizacomo base operativa a Microsoft Excel c©, que es en donde se configuro el modelo presen-tado. Para consultar las caracterısticas de este software, ası como las diferencias con otrospaquetes para hacer simulacion vease [37].
49
Figura 6.9: Grafica de tornado de la primera corrida para el 5%, 10% y20% de desviacion estandar en orden de aparicion de arriba hacia abajorespectivamente. (Costos con fdp Uniforme)
50
Figura 6.10: Grafica de tornado de la primera corrida para el 5%, 10% y20% de desviacion estandar en orden de aparicion de arriba hacia abajorespectivamente. (Costos con fdp Uniforme)
51
7 Conclusiones eInvestigaciones Futuras
7.1. Conclusiones
El presente trabajo integra la metodologıa para una polıtica de inventar-ios (S − 1, S) con dos opciones de suministro: una para la demanda normalcon tiempo de entrega LN y costo de envıo cN y otra para la demanda solic-itada con emergencia con tiempo de entrega LE y costo de envıo cE, dondecE > cN y LN > LE. La solucion radica en encontrar un valor aproximado deltiempo de entrega Lp que sirva como base de calculo, en la determinacion delvalor optimo de s. Para la evaluacion numerica se asignaron ciertos valoresa cada parametro y en este contexto, los resultados fueron los siguientes: (1)Se hizo una comparacion del modelo propuesto vs el modelo de inventarios(S− 1, S) estandar, dando como resultado una mejorıa del 10.6% en el nivelde servicio de todo el sistema si se utiliza el modelo con dos opciones de sum-inistro, aquı hay que hacer notar que el modelo propuesto disminuye el costoe incrementa el nivel de servicio para los valores de s bajos; (2) el analisisde sensibilidad de cada parametro muestra que la tasa de demanda es quienafecta en mayor proporcion el valor del costo optimo del modelo; (3) Al con-siderar a los parametros como variables aleatorias, el costo de envıo normaly de mantener el inventario fueron quienes en mayor proporcion afectaron elcosto optimo (entre el 50 al 70%). De estos resultados se puede concluir que,en donde se debe de tomar mayor atencion es en la estimacion del parametrode la tasa de demanda, y en disminuir la incertidumbre en los costos deenvıo y de mantener el inventario, ya que de esto dependera en mucho el quese puedan reducir costos para administrar los inventarios. Los resultados deeste trabajo, son una alternativa para administrar los inventarios de refac-ciones con ordenes de emergencia ası como un apoyo al administrador de losinventarios en la toma de decisiones.
7.2. Investigaciones Futuras
Un trabajo interesante serıa integrar la misma metodologıa presentadapara un sistema multi-artıculos. Muckstadt y Thomas (1980) [38] encon-tro que se pueden generar mayores ahorros en costos, si se considera al sistema
52
de inventario como multi-artıculos, especialmente para aquellos artıculos quetienen una tasa de demanda muy baja. Otro factor importante para analizar,es considerar el que la demanda no espere a que la refaccion llegue i.e. per-manezca en backorder, sino que el almacen pierda la venta, en caso de nodisponer de inventario. Finalmente en este trabajo se considero al tiempo deentrega como constante, sin embargo, esto no es muy comun en la practica,por lo que se recomienda realizar el mismo analisis considerando al tiempo deentrega como una variable aleatoria. Esto permitira observar directamentecomo afecta la incertidumbre del tiempo de entrega, en lugar de realizar unasimulacion.
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56
57
Apendice A
Resultados de la evaluacion numerica de §4.1 con ordenes normales
58
59
Apendice B
Resultados de la evaluacion numerica de §4.1 con ordenes normales yde emergencia
60
61
Apendice C
Parametros de la simulacion
Parametro fdp σ = 5 % σ = 10 % σ = 20 %
λ Poisson 1,05 1,1 1,2LN Gamma α = 400 α = 100 α = 25
β = 0,01 β = 0,04 β = 0,16LE Gamma α = 400 α = 100 α = 25
β = 0,0025 β = 0,01 β = 0,04h Uniforme a = 91,33 a = 8267 a = 65,35
b = 108,66 b = 117,32 b = 134,64p Uniforme a = 456,69 a = 413,39 a = 326,79
b = 543,30 b = 586,60 b = 673,20cN Uniforme a = 274,01 a = 248,03 a = 196,07
b = 325,98 b = 351,96 b = 403,92cE Uniforme a = 639,37 a = 578,75 a = 457,51
b = 760,62 b = 821,24 b = 942,48h Normal µ = 100 µ = 100 µ = 100
σ = 5 σ = 10 σ = 20p Normal µ = 500 µ = 500 µ = 500
σ = 25 σ = 50 σ = 100cN Normal µ = 300 µ = 300 µ = 300
σ = 15 σ = 30 σ = 60cE Normal µ = 700 µ = 700 µ = 700
σ = 35 σ = 70 σ = 140
62
63
Apendice D
Estadısticas simulacion de §6.5 (Costos: fdp Normal)
64
65
Apendice E
Estadısticas simulacion de §6.5 (Costos: fdp Uniforme)