modelización de sistemas...
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Modelizacioacuten de Sistemas BioloacutegicosModelizacioacuten de Sistemas Bioloacutegicos
FIUNER
Organizacioacuten
bull Parte I
ndash Introduccioacuten concepto de modelo
ndash Etapas de la modelizacioacuten
ndash Modelos Compartimentales
ndash Modelos Poblacionales
ndash Modelos por Analogiacuteas
Modelos por analogiacuteas
bull Repaso
bull Conceptos y definiciones
bull Etapas de la modelizacioacutenbull Etapas de la modelizacioacuten
bull Del modelo conceptual al fiacutesico
bull Del modelo fiacutesico al matemaacutetico
bull Ejemplo modelo de Hodgking-Huxley
Modelizacioacuten por analogiacuteas
bull Generalmente el conocimiento del
modelador en un campo o domino puede
ayudarlo en la construccioacuten de un modelo
para un campo anaacutelogopara un campo anaacutelogo
bull En la naturaleza se pueden encontrar sistemas
de distintos tipos con dinaacutemicas
similares
Dinaacutemicas similares
Sistema eleacutectrico
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Sistema mecaacutenico
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se
consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del
sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un
elemento del sistema las cuales se denominan
geneacutericamente e
∆P ∆V
∆C
QI
C J
∆T
Fick J flujo de un ionD Coef de difusioacuten
Cx
DAJ nabla
nablaminus=
Variables generalizadas
Naturaleza del sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectricai
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidadv FuerzaFMecaacutenico Velocidadv FuerzaF
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Potencia generalizada
bull Otra relacioacuten importante es el producto de
ambas variables denominada Potencia
Generalizada
P = ef
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea bull Elementos que almacenan energiacutea
potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea
cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
bull Se oponen al paso de la variable que fluye
Resistencia eleacutectrica
Rozamiento mecaacutenico
Resistencia al flujo
Resistencia TeacutermicaResistencia a la difusioacuten
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Ley que la gobierna
Ohm
fRe sdot= R Resistencia Generalizada
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Newton
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ nabla
nablaminus=
CCC nabla=minus 21
C2C1
Potencia disipada
Elementos almacenan EP
bull Un elemento almacena energiacutea potencial
cuando su nivel de esfuerzo generalizado
aumenta como resultado de la entrada de la
variable que fluyevariable que fluye
La fuerza en un resorte aumentaproporcionalmente a su desplazamiento
La diferencia de potencial en un capacitor aumenta proporcionalmente a la cantidadde electrones que han llegado
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h
como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan
energiacutea potencial
int=t
fdtC
e0
1
C Capacidad Generalizada
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Organizacioacuten
bull Parte I
ndash Introduccioacuten concepto de modelo
ndash Etapas de la modelizacioacuten
ndash Modelos Compartimentales
ndash Modelos Poblacionales
ndash Modelos por Analogiacuteas
Modelos por analogiacuteas
bull Repaso
bull Conceptos y definiciones
bull Etapas de la modelizacioacutenbull Etapas de la modelizacioacuten
bull Del modelo conceptual al fiacutesico
bull Del modelo fiacutesico al matemaacutetico
bull Ejemplo modelo de Hodgking-Huxley
Modelizacioacuten por analogiacuteas
bull Generalmente el conocimiento del
modelador en un campo o domino puede
ayudarlo en la construccioacuten de un modelo
para un campo anaacutelogopara un campo anaacutelogo
bull En la naturaleza se pueden encontrar sistemas
de distintos tipos con dinaacutemicas
similares
Dinaacutemicas similares
Sistema eleacutectrico
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Sistema mecaacutenico
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se
consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del
sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un
elemento del sistema las cuales se denominan
geneacutericamente e
∆P ∆V
∆C
QI
C J
∆T
Fick J flujo de un ionD Coef de difusioacuten
Cx
DAJ nabla
nablaminus=
Variables generalizadas
Naturaleza del sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectricai
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidadv FuerzaFMecaacutenico Velocidadv FuerzaF
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Potencia generalizada
bull Otra relacioacuten importante es el producto de
ambas variables denominada Potencia
Generalizada
P = ef
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea bull Elementos que almacenan energiacutea
potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea
cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
bull Se oponen al paso de la variable que fluye
Resistencia eleacutectrica
Rozamiento mecaacutenico
Resistencia al flujo
Resistencia TeacutermicaResistencia a la difusioacuten
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Ley que la gobierna
Ohm
fRe sdot= R Resistencia Generalizada
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Newton
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ nabla
nablaminus=
CCC nabla=minus 21
C2C1
Potencia disipada
Elementos almacenan EP
bull Un elemento almacena energiacutea potencial
cuando su nivel de esfuerzo generalizado
aumenta como resultado de la entrada de la
variable que fluyevariable que fluye
La fuerza en un resorte aumentaproporcionalmente a su desplazamiento
La diferencia de potencial en un capacitor aumenta proporcionalmente a la cantidadde electrones que han llegado
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h
como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan
energiacutea potencial
int=t
fdtC
e0
1
C Capacidad Generalizada
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Modelos por analogiacuteas
bull Repaso
bull Conceptos y definiciones
bull Etapas de la modelizacioacutenbull Etapas de la modelizacioacuten
bull Del modelo conceptual al fiacutesico
bull Del modelo fiacutesico al matemaacutetico
bull Ejemplo modelo de Hodgking-Huxley
Modelizacioacuten por analogiacuteas
bull Generalmente el conocimiento del
modelador en un campo o domino puede
ayudarlo en la construccioacuten de un modelo
para un campo anaacutelogopara un campo anaacutelogo
bull En la naturaleza se pueden encontrar sistemas
de distintos tipos con dinaacutemicas
similares
Dinaacutemicas similares
Sistema eleacutectrico
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Sistema mecaacutenico
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se
consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del
sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un
elemento del sistema las cuales se denominan
geneacutericamente e
∆P ∆V
∆C
QI
C J
∆T
Fick J flujo de un ionD Coef de difusioacuten
Cx
DAJ nabla
nablaminus=
Variables generalizadas
Naturaleza del sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectricai
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidadv FuerzaFMecaacutenico Velocidadv FuerzaF
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Potencia generalizada
bull Otra relacioacuten importante es el producto de
ambas variables denominada Potencia
Generalizada
P = ef
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea bull Elementos que almacenan energiacutea
potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea
cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
bull Se oponen al paso de la variable que fluye
Resistencia eleacutectrica
Rozamiento mecaacutenico
Resistencia al flujo
Resistencia TeacutermicaResistencia a la difusioacuten
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Ley que la gobierna
Ohm
fRe sdot= R Resistencia Generalizada
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Newton
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ nabla
nablaminus=
CCC nabla=minus 21
C2C1
Potencia disipada
Elementos almacenan EP
bull Un elemento almacena energiacutea potencial
cuando su nivel de esfuerzo generalizado
aumenta como resultado de la entrada de la
variable que fluyevariable que fluye
La fuerza en un resorte aumentaproporcionalmente a su desplazamiento
La diferencia de potencial en un capacitor aumenta proporcionalmente a la cantidadde electrones que han llegado
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h
como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan
energiacutea potencial
int=t
fdtC
e0
1
C Capacidad Generalizada
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Modelizacioacuten por analogiacuteas
bull Generalmente el conocimiento del
modelador en un campo o domino puede
ayudarlo en la construccioacuten de un modelo
para un campo anaacutelogopara un campo anaacutelogo
bull En la naturaleza se pueden encontrar sistemas
de distintos tipos con dinaacutemicas
similares
Dinaacutemicas similares
Sistema eleacutectrico
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Sistema mecaacutenico
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se
consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del
sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un
elemento del sistema las cuales se denominan
geneacutericamente e
∆P ∆V
∆C
QI
C J
∆T
Fick J flujo de un ionD Coef de difusioacuten
Cx
DAJ nabla
nablaminus=
Variables generalizadas
Naturaleza del sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectricai
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidadv FuerzaFMecaacutenico Velocidadv FuerzaF
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Potencia generalizada
bull Otra relacioacuten importante es el producto de
ambas variables denominada Potencia
Generalizada
P = ef
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea bull Elementos que almacenan energiacutea
potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea
cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
bull Se oponen al paso de la variable que fluye
Resistencia eleacutectrica
Rozamiento mecaacutenico
Resistencia al flujo
Resistencia TeacutermicaResistencia a la difusioacuten
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Ley que la gobierna
Ohm
fRe sdot= R Resistencia Generalizada
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Newton
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ nabla
nablaminus=
CCC nabla=minus 21
C2C1
Potencia disipada
Elementos almacenan EP
bull Un elemento almacena energiacutea potencial
cuando su nivel de esfuerzo generalizado
aumenta como resultado de la entrada de la
variable que fluyevariable que fluye
La fuerza en un resorte aumentaproporcionalmente a su desplazamiento
La diferencia de potencial en un capacitor aumenta proporcionalmente a la cantidadde electrones que han llegado
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h
como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan
energiacutea potencial
int=t
fdtC
e0
1
C Capacidad Generalizada
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Dinaacutemicas similares
Sistema eleacutectrico
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Sistema mecaacutenico
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se
consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del
sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un
elemento del sistema las cuales se denominan
geneacutericamente e
∆P ∆V
∆C
QI
C J
∆T
Fick J flujo de un ionD Coef de difusioacuten
Cx
DAJ nabla
nablaminus=
Variables generalizadas
Naturaleza del sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectricai
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidadv FuerzaFMecaacutenico Velocidadv FuerzaF
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Potencia generalizada
bull Otra relacioacuten importante es el producto de
ambas variables denominada Potencia
Generalizada
P = ef
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea bull Elementos que almacenan energiacutea
potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea
cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
bull Se oponen al paso de la variable que fluye
Resistencia eleacutectrica
Rozamiento mecaacutenico
Resistencia al flujo
Resistencia TeacutermicaResistencia a la difusioacuten
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Ley que la gobierna
Ohm
fRe sdot= R Resistencia Generalizada
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Newton
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ nabla
nablaminus=
CCC nabla=minus 21
C2C1
Potencia disipada
Elementos almacenan EP
bull Un elemento almacena energiacutea potencial
cuando su nivel de esfuerzo generalizado
aumenta como resultado de la entrada de la
variable que fluyevariable que fluye
La fuerza en un resorte aumentaproporcionalmente a su desplazamiento
La diferencia de potencial en un capacitor aumenta proporcionalmente a la cantidadde electrones que han llegado
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h
como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan
energiacutea potencial
int=t
fdtC
e0
1
C Capacidad Generalizada
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se
consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del
sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un
elemento del sistema las cuales se denominan
geneacutericamente e
∆P ∆V
∆C
QI
C J
∆T
Fick J flujo de un ionD Coef de difusioacuten
Cx
DAJ nabla
nablaminus=
Variables generalizadas
Naturaleza del sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectricai
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidadv FuerzaFMecaacutenico Velocidadv FuerzaF
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Potencia generalizada
bull Otra relacioacuten importante es el producto de
ambas variables denominada Potencia
Generalizada
P = ef
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea bull Elementos que almacenan energiacutea
potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea
cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
bull Se oponen al paso de la variable que fluye
Resistencia eleacutectrica
Rozamiento mecaacutenico
Resistencia al flujo
Resistencia TeacutermicaResistencia a la difusioacuten
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Ley que la gobierna
Ohm
fRe sdot= R Resistencia Generalizada
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Newton
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ nabla
nablaminus=
CCC nabla=minus 21
C2C1
Potencia disipada
Elementos almacenan EP
bull Un elemento almacena energiacutea potencial
cuando su nivel de esfuerzo generalizado
aumenta como resultado de la entrada de la
variable que fluyevariable que fluye
La fuerza en un resorte aumentaproporcionalmente a su desplazamiento
La diferencia de potencial en un capacitor aumenta proporcionalmente a la cantidadde electrones que han llegado
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h
como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan
energiacutea potencial
int=t
fdtC
e0
1
C Capacidad Generalizada
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Variables generalizadas
Naturaleza del sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectricai
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidadv FuerzaFMecaacutenico Velocidadv FuerzaF
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Potencia generalizada
bull Otra relacioacuten importante es el producto de
ambas variables denominada Potencia
Generalizada
P = ef
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea bull Elementos que almacenan energiacutea
potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea
cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
bull Se oponen al paso de la variable que fluye
Resistencia eleacutectrica
Rozamiento mecaacutenico
Resistencia al flujo
Resistencia TeacutermicaResistencia a la difusioacuten
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Ley que la gobierna
Ohm
fRe sdot= R Resistencia Generalizada
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Newton
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ nabla
nablaminus=
CCC nabla=minus 21
C2C1
Potencia disipada
Elementos almacenan EP
bull Un elemento almacena energiacutea potencial
cuando su nivel de esfuerzo generalizado
aumenta como resultado de la entrada de la
variable que fluyevariable que fluye
La fuerza en un resorte aumentaproporcionalmente a su desplazamiento
La diferencia de potencial en un capacitor aumenta proporcionalmente a la cantidadde electrones que han llegado
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h
como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan
energiacutea potencial
int=t
fdtC
e0
1
C Capacidad Generalizada
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Potencia generalizada
bull Otra relacioacuten importante es el producto de
ambas variables denominada Potencia
Generalizada
P = ef
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea bull Elementos que almacenan energiacutea
potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea
cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
bull Se oponen al paso de la variable que fluye
Resistencia eleacutectrica
Rozamiento mecaacutenico
Resistencia al flujo
Resistencia TeacutermicaResistencia a la difusioacuten
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Ley que la gobierna
Ohm
fRe sdot= R Resistencia Generalizada
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Newton
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ nabla
nablaminus=
CCC nabla=minus 21
C2C1
Potencia disipada
Elementos almacenan EP
bull Un elemento almacena energiacutea potencial
cuando su nivel de esfuerzo generalizado
aumenta como resultado de la entrada de la
variable que fluyevariable que fluye
La fuerza en un resorte aumentaproporcionalmente a su desplazamiento
La diferencia de potencial en un capacitor aumenta proporcionalmente a la cantidadde electrones que han llegado
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h
como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan
energiacutea potencial
int=t
fdtC
e0
1
C Capacidad Generalizada
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Potencia generalizada
bull Otra relacioacuten importante es el producto de
ambas variables denominada Potencia
Generalizada
P = ef
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea bull Elementos que almacenan energiacutea
potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea
cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
bull Se oponen al paso de la variable que fluye
Resistencia eleacutectrica
Rozamiento mecaacutenico
Resistencia al flujo
Resistencia TeacutermicaResistencia a la difusioacuten
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Ley que la gobierna
Ohm
fRe sdot= R Resistencia Generalizada
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Newton
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ nabla
nablaminus=
CCC nabla=minus 21
C2C1
Potencia disipada
Elementos almacenan EP
bull Un elemento almacena energiacutea potencial
cuando su nivel de esfuerzo generalizado
aumenta como resultado de la entrada de la
variable que fluyevariable que fluye
La fuerza en un resorte aumentaproporcionalmente a su desplazamiento
La diferencia de potencial en un capacitor aumenta proporcionalmente a la cantidadde electrones que han llegado
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h
como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan
energiacutea potencial
int=t
fdtC
e0
1
C Capacidad Generalizada
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea bull Elementos que almacenan energiacutea
potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea
cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
bull Se oponen al paso de la variable que fluye
Resistencia eleacutectrica
Rozamiento mecaacutenico
Resistencia al flujo
Resistencia TeacutermicaResistencia a la difusioacuten
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Ley que la gobierna
Ohm
fRe sdot= R Resistencia Generalizada
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Newton
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ nabla
nablaminus=
CCC nabla=minus 21
C2C1
Potencia disipada
Elementos almacenan EP
bull Un elemento almacena energiacutea potencial
cuando su nivel de esfuerzo generalizado
aumenta como resultado de la entrada de la
variable que fluyevariable que fluye
La fuerza en un resorte aumentaproporcionalmente a su desplazamiento
La diferencia de potencial en un capacitor aumenta proporcionalmente a la cantidadde electrones que han llegado
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h
como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan
energiacutea potencial
int=t
fdtC
e0
1
C Capacidad Generalizada
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Elementos disipadores
bull Se oponen al paso de la variable que fluye
Resistencia eleacutectrica
Rozamiento mecaacutenico
Resistencia al flujo
Resistencia TeacutermicaResistencia a la difusioacuten
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Ley que la gobierna
Ohm
fRe sdot= R Resistencia Generalizada
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Newton
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ nabla
nablaminus=
CCC nabla=minus 21
C2C1
Potencia disipada
Elementos almacenan EP
bull Un elemento almacena energiacutea potencial
cuando su nivel de esfuerzo generalizado
aumenta como resultado de la entrada de la
variable que fluyevariable que fluye
La fuerza en un resorte aumentaproporcionalmente a su desplazamiento
La diferencia de potencial en un capacitor aumenta proporcionalmente a la cantidadde electrones que han llegado
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h
como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan
energiacutea potencial
int=t
fdtC
e0
1
C Capacidad Generalizada
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Ley que la gobierna
Ohm
fRe sdot= R Resistencia Generalizada
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Newton
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ nabla
nablaminus=
CCC nabla=minus 21
C2C1
Potencia disipada
Elementos almacenan EP
bull Un elemento almacena energiacutea potencial
cuando su nivel de esfuerzo generalizado
aumenta como resultado de la entrada de la
variable que fluyevariable que fluye
La fuerza en un resorte aumentaproporcionalmente a su desplazamiento
La diferencia de potencial en un capacitor aumenta proporcionalmente a la cantidadde electrones que han llegado
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h
como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan
energiacutea potencial
int=t
fdtC
e0
1
C Capacidad Generalizada
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Elementos almacenan EP
bull Un elemento almacena energiacutea potencial
cuando su nivel de esfuerzo generalizado
aumenta como resultado de la entrada de la
variable que fluyevariable que fluye
La fuerza en un resorte aumentaproporcionalmente a su desplazamiento
La diferencia de potencial en un capacitor aumenta proporcionalmente a la cantidadde electrones que han llegado
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h
como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan
energiacutea potencial
int=t
fdtC
e0
1
C Capacidad Generalizada
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Elementos almacenan EP
bull Se define el desplazamiento generalizado h
como la integral de la variable que fluye
bull Ley lineal de los elementos que almacenan
energiacutea potencial
int=t
fdtC
e0
1
C Capacidad Generalizada
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int=t
fdtC
e0
1
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia defluidos
Teacutermico Masa teacutermica
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1θ
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m nablasdot=int
∆P∆V
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Elementos almacenan EC
bull Son los que aumentan su nivel de variable
esfuerzo proporcionalmente al ritmo de
crecimiento de la variable que fluye
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Elementos almacenan EC
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
dt
dfLe = L Inductancia Generalizada
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
En los sistemas quiacutemicos y teacutermicos no existen elementos que almacenen energiacutea cineacutetica
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Kirchov
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0 E3
0)0()0()( =minus+minus+minus abba eeee
0)()( 321 =minus+minus+ fff
En un Lazo cerrado
En un nodo
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 1
Modelo eleacutectrico de un sistema hidraacuteulicoReferencia Presioacuten Atmosfeacuterica
Referencia Masa eleacutectrica
Presion P Tension VCaudal Q Corriente i
La compliancia esta representada por la inversa de la capacitanciaLa resistencia hidraacuteulica del tubo representado por la resistencia eleacutectrica
Aplicando la ecuacioacuten generalizada
Referencia Masa eleacutectrica
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
bull Elementos que disipan energiacutea
Rosamiento mecaacutenico Resistencia Eleacutectrica
bull Elementos que almacenan energiacutea potencialbull Elementos que almacenan energiacutea potencial
Resorte Capacitor
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Masa Inductor
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 2 Modelo eleacutectrico de un
sistema mecaacutenico
int =++ )( tFdtvkhvMdv
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
Dinaacutemicas Similares
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Consideraciones
bull Circuito compuesto solamente por el ventriacuteculo izquierdo
bull Aorta
bull Circuito sisteacutemico
bull Vaacutelvulasbull Vaacutelvulas
bull Volumen inicial constante
bull Variacioacuten de la elastaacutencia del ventriacuteculo como entrada al
sistema
bull Salidas Presioacuten volumen y flujo sanguineo
bull Paraacutemetros concentrados espacialmente e invariantes en el
tiempo
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 3
Modelo del Sist CardioVascular
Presioacuten TensioacutenFlujo Corriente eleacutectricaResistencia hidraacuteulica Resistencia eleacutectricaElastancia Capacitancia
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 4
El Modelo de Hodgkin-Huxley
La membrana celular separa cargas eleacutectricas Capacitor (1uFcm2)
pasaje de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito
equivalente de
la Membrana en
Reposo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
El Modelo de Hodgkin-Huxley de
membrana de Axoacutenmembrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la
concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una
diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
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)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
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Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
XK+
Cl- Cl-
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
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minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
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bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
El potencial de membrana
bull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++++minus= minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que
la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial
eleacutectrico
[ ] [ ] [ ] ++ iLeKeNa ClPKPNaPF
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=
Pn permeab de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacuten
b coeficiente de particioacuten aceiteagua
a espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Modelo del
circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0=+ ionm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
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minusminus=
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)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
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Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Circuito Equivalente de la Membrana
en Reposo
[ ][ ]
=
i
en N
N
zF
RTV ln
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
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)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Membrana en reposo
In IL Em
La caida de potencial a travez de la membrana tiene dos componentes1_ Diferencia de concentracioacuten (Ecuacion de Nernst)2_ Debido a la corriente transmembrana del ion
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
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mbmadt
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hh
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minusminus=
minusminus=
minusminus=
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)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
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bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
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bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealizabull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
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1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
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ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
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bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
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salida de K+
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Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
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Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
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)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
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Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
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ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
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hbhadt
dh
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minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
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bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
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)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Hodgkin-Huxley
bull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de
20 a 120 mseg) 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
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salida de K+
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Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
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ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Potencial de accioacuten
ReposoPort Act cerrado
Inactivacioacuten
ActivacioacutenPeriacuteodo Refrac
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
entrada de Na+
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salida de K+
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Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
Modelo Matemaacutetico
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ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Hodgkin-Huxley
(1957 premio Nobel 1963)bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de
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Corriente lenta de ndash Corriente lenta de
salida de K+
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Potencial de Accioacuten
Modelo matemaacutetico
Aplicando las leyes de kirchoff
Modelo Matemaacutetico
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Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
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Potencial de Accioacuten
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
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Modelo matemaacutetico
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Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
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ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
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Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
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)1( am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Benderbull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
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Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
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bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
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