mmmmmm departammjo apuntmmmmmillerato · mmmmmm plano definido por una recta r y un punto m...

IESMCalderónMdeMlaMBarcaM-MGijónDepartamentoMdeMdibujo

ApuntesMdeMdibujoMtécnicoM1ºMbachillerato

SistemaMdiédrico

MaterialMeducativoMfotocopiableEdición septiembre 2016

a''

b''

c''

P''

Q''

R''

a'c'

H''c

H'c

V''c

V'c

V''a

V'a

b' - H'b

H''b

Q' - R'

P'

IESmCalderónmdemlamBarcam'mGijónDpto(mdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicomqºmbachillerato Sistemamdiédrico

q

Planomvertical

Planomhorizontal

Líneamdemtierra

Primermdiedroomcuadrante

Cuartomdiedroomcuadrante

Tercermdiedroomcuadrante

Segundomdiedroomcuadrante

úOº úOº

Uºmbisector

qºmbisector

PV

PH

LT

Pmpuntomenmelespacio

Pgg

Pg

Proyección horizontaldel punto P

Proyección verticaldel punto P

PV

PHLT

Pgg

Pg4Pgg5

ProyecciónverticalmdemPabatidasobremelmPH

PV PHLT

PggPg

Pgg

Pg

cota

alejamiento

cota

alejamiento

Elmsistemamdiédricomantesmdemabatirmlosmplanos Planosmbisectores

PuntomenmelmqermcuadrantemproyectadomsobremPVmymPH SemabatemelmPVmhastamquemcoincidemconmelmPH

UnamvezmabatidomelmPVHmtenemosmunmplanomúnicoquempodemosmdibujarmenmUDm4papelHmpizarra(((5

PuntomPmrepresentadomenmelmsistema(m

Observamquemnomdibujamosmelmpuntomenmsi(Dibujamosmsusmproyeccionesm

cotaalejamiento

ObservamquemlamlíneamquemunemPgmymPgg4llamadamlíneamdemreferencia5esmperpendicularmamlamlíneamdemtierra(m

IESmCalderónmdemlamBarcam-mGijónDpto.mdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom1ºmbachillerato Sistemamdiédrico

2

PTT

PT

cota positiva

alejamiento negativo

PV

PHLT

PTT

PT(PTT)

Puntos del 2º cuadrante

PTT

PT

PV

PHLT

PTT

PT (PTT)


PTT

PT

PV

PHLT

PTT

PT (PTT)


P

P

cota negativa

alejamiento negativo

cota negativa

alejamiento positivo

P

Susm2mproyeccionesmsiemprempormencimamdemLT.

Susm2mproyeccionesmalmrevésmquemunmpuntomdelm1ermcte.

Susm2mproyeccionesmsiemprempormdebajomdemLT.

IESmCalderónmdemlamBarcam'mGijónDptoLmdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom(ºmbachillerato Sistemamdiédrico

q

Alfabeto del puntoPV

PH

(ºmb

isecto

rvºmbisector

(

v

q

)gf

:

á

,

(y

((

(v(q ()

(g

(f

(:

1er

cuadrante 2º cte 3º cte 4º cte

(55

v55

q55

)55g55 f55

:5':55

á55

,55

(y5

((5

(v5

(q5

()55

(g5m'(g55

(f5

(:5'(:55

g5

,5

(y55

((55(v55

(q55(5v5

q5

)5

á5

f5

()5 (f55

55mencimamdemLT5mdebajo

5mym55mencimamdemLT 5mencima55mdebajomdemLT6almrevésmquemlosdelm(ermcte7

5mym55mdebajomdemLT

Elmpuntomtienem(:mposicionesmsignificativasím

(LmPertenecemamPHmpormdelantemdelmPVLmCotamyL

vLmEnmelmprimermcuadrantempormdebajomdelmprimermbisectorLqLmEnmelmprimermcuadrantemympertenecemalmprimermbisectorL)LmEnmelmprimermcuadrantempormencimamdelmprimermbisectorL

gLmPertenecemalmPVmpormencimamdelmPHLmCotampositivaLmAlejamientomyL

fLmEnmelmvºmcuadranteLmPormdetrásmdelmPVmympormencimamdelmvºmbisectorL:LmEnmelmvºmcuadrante0mpertenecemalmvºmbisectorLáLmEnmelmvºmcuadrantempormdebajomdelmvºmbisectorL

,LmPertenecemalmPHmpormdetrásmdelmPVLmCotamyL

(yLmEnmelmqermctempormdebajomdelmPHmympormencimamdelmprimermbisectorL((LmEnmelmqermctemympertenecemalm(ermbisectorL(vLmEnmelmqermctempormdebajomdelm(ermbisectorL

(qLmPertenecemalmPVmpormdebajomdelmPHLmAlejamientomyL

()LmEnmelm)ºmctempormdebajomdelmvºmbisectorL(gLmEnmelm)ºmctemympertenecemalmvºmbisectorL(fLmEnmelm)ºmctempormencimamdelmvºmbisectorL

(:LmEnmlamlíneamdemtierraLmCotamymalejamientomyL

1er cuadrante:cota +

Alejamiento +

2º cuadrante:cota +

Alejamiento -

3er cuadrante:cota -

Alejamiento -

4º cuadrante:cota -

Alejamiento +

IESmCalderónmdemlamBarcamámGijónDptoLmdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom1ºmbachillerato Sistemamdiédrico

4

VJJ

VJ

La recta

PV

PH

V

r

H

rJJrJ

HJJ

HJ

=

=

IJJ

IJ

JJáJJJ

1ermcuadrante 2ºmcte4ºmcte

Estudio de la recta. Consta de:definición, proyecciones, trazas, partes vistas y ocultas, cuadrantes, intersección con los bisectores.

Recta oblicua que pasa por 4º, 1º y 2º cuadrantes

rmrectamenmelmespacioL

rJmesmlamproyecciónmhorizontalmdemlamrectaLrJJmesmlamproyecciónmverticalmdemlamrectaL

HmesmlamtrazamhorizontalLVmesmlamtrazamverticalL

rJJ

rJ

PuntomI:mintersecciónmconm1ermctePuntomJ:muntersecciónmconm2ºmcteL

VJmymHJJmsiempremestánmenmLT


5

Rectas oblicuas

PV

PH

V

r

H

rJJ

rJ


PuntomI:mintersecciónmconm1ermctePuntomJ:mintersecciónmconm2ºmcte.

PV

PH

V

r Recta oblicua que pasa por 2º, 3º y 4º cuadrantes

VJJ

VJ

HJJ

HJ

=

=

IJJ

IJ

JJ-JJJ3ºmcte 2ºmcte4ºmcte

rJJ

rJ


PV

PH

Vr

H



VJJ

VJHJJ

JJ-JJJ

2ºmcte 1ermcte3ºmcte

rJJ

rJ

=

=

HJ

IJ

IJJ

H

VJJ

VJ HJJ

HJ

=

=

IJJ

IJ

JJ-JJJ

1ermcte3ºmcte 4ºmcte

rJJ

rJ


6

Rectas oblicuas paralelas a un bisector

Recta oblicua // 1º bis por encima de él

(pasa por 1º, 2º y 3º cuadrantes)

Recta oblicua // 2º bis por encima de él


V22

V2

H22

H2

==

I2

3ermcte 2ºmcte4ºmcte

r22

r2

PuntomI:mintersecciónmconm1ermbis

Recta oblicua // 1º bis por debajo de él


PuntomJ:mintersecciónmconm2ºmbis.

V22

V2 H22

H2

=

=

J2-J22

1ermcte3ermcte 4ºmcte

r22

r2

PuntomJ:mintersecciónmconm2ºmbis.

V22

V2H22

J2-J22

2ºmcte 1ermcte3ermcte

r22

r2

==

H2

Recta oblicua // 2º bis por debajo de él


I22

V22

V2

H22

H2

==

I2

1ermcte 2ºmcte4ºmcte

r22

r2

PuntomI:mintersecciónmconm1ermbis

I22

IESmCalderónmdemlamBarcam(mGijónDpto)mdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicomLºmbachillerato Sistemamdiédrico

7

Rectas horizontales

Recta horizontal (es decir, paralela al PH)

por encima del PH PuntomI:mintersecciónmconmLermbisector)PuntomJ:mintersecciónmconmTºmbisector)

V''

V'=

=

J'(J''

LermcteTºmcte

r''

r'

PV

PH

Vr

r''

r'

I''

I'

Recta horizontal por debajo del PH

PV

PH

V

rr''

r'

PuntomI:mintersecciónmconmLermbisector)PuntomJ:mintersecciónmconmTºmbisector)

V''

V'

=

=

J'(J''

4ºmcte3ermcte

r''

r'

I''

I'

Estemtipomdemrectasmsólomtienemunamtrazam=VH)Sumproyecciónmverticalmr''msiempremesmparalelamamLT)

IESmCalderónmdemlamBarcam)mGijónDptoymdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom3ºmbachillerato Sistemamdiédrico

8

Rectas frontales

Recta frontal (es decir, paralela al PV)

por delante del PV PuntomI:mintersecciónmconm3ermbisectoryPuntomJ:mintersecciónmconm2ºmbisectory

H'

H'' =

=

J')J''

3ermcte4ºmcte

r''

r'

PV

PH

rr''

r'

Estemtipomdemrectasmsólomtienemunamtrazam=H4ySumproyecciónmhorizontalmr'msiempremesmparalelamamLTy

I''

I'

Recta frontal por detrás del PVPuntomI:mintersecciónmconm3ermbisectoryPuntomJ:mintersecciónmconm2ºmbisectory

H'

H''

=

=

J')J''

2ºmcte3ermcte

r''

r'

I''

I'

H

PV

PH

rr''

r'

H

IESmCalderónmdemlamBarcam4mGijónDpto2mdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom=ºmbachillerato Sistemamdiédrico

9

Rectas que pasan por la línea de tierra

=ermcte3ermcte

rzz

rzPV

PH

r

rzz

rz

SusmdosmtrazasmHmymVmestánmconfundidasmenmlamLT2

Hr4Vrsszz

sz Hs4Vs

Vz4Vzz

Hz4Hzz

4ºmcte2ºmcte

szz

sz

Vz4Vzz

Hz4Hzz

Rectas que pasan por la línea de tierray están contenidas en un bisector

=ermcte3ermcte

rzz

rz

Hz4Hzz

4ºmcte2ºmcte

szm4mszz

Vz4Vzz

Hz4Hzz

Vz4Vzz

Lamrectamrmpertenecemalmprimermbisector2Susmproyeccionesmrzmymrzzmformanmelmmismoángulomconmlamlíneamdemtierra2

Lamrectamsmpertenecemalmsegundombisector2Susmproyeccionesmszmymszzmestánmconfundidas2

=

=

IESmCalderónmdemlamBarcamgmGijónDptoOmdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom1ºmbachillerato Sistemamdiédrico

10

PV

PH

Rectas de perfil

ráá

rá

SusmdosmproyeccionesmrámymráámestánmconfundidaszasímquemsemutilizamunamterceramproyecciónmrááámparatrabajarmconmellaOmEstamterceramproyecciónmseconsiguemproyectandomlamrectamsobremunmplanodemperfilmquemesmabatidomsobremelmPVmantesmdemabatirelmPVmsobremelmPHOm

PP

rrááá

ráá

rá

V

H

Váá

Vá

Háá

Há

rááá

ObservamquemenmlamterceramproyecciónmtenemosmángulosmymmedidasmenmverdaderammagnitudOEsmcomomvermlamrectamantesmdemabatirzmviendoelmsistemamconmsusmcuadrantesOEnmlamfiguramtenemosmdibujadamsólomlamporciónmdemrectamenmelmprimermcuadrante

Vááá

Hááá

Vááá

Hááá

Recta de perfil que pasa

por cuadrantes 1, 2 y 3







ráá

rá

Váá

Vá

Háá

Há

rááá

Hááá

Vááá

rámgmráá

Váá

Vá

Háá

Há

rááá

Hááá

Vááá

rámgmráá

Váá

Vá

Háá

Há

rááá

Hááá

Vááá

IESmCalderónmdemlamBarcam3mGijónDpto4mdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom)ºmbachillerato Sistemamdiédrico

))

Rectas de puntaSemllamanmasímporquemsonmcomomunampuntamclavadamenmlampared4mSonmperpendicularesmalmPVmymparalelasmalmPH4Pormtanto2msonmunmcasomparticularmdemrectasmhorizontalesmymtambiénmdemrectasmdemperfil4

RectamrmpormencimamdelmPH4mPasampormcuadrantesm)mymg4RectamsmpertenecemalmPH4mCotamnula4RectamtmpormdebajomdelmPH4mPasampormcuadrantesmúmymá4

PV

PH

rVr

s

t

Vs

Vt

rH

VHHm3mrHH

VH

sH

VH3VHH3sHH

tH

VHHm3mtHH

VH

Rectas perpendiculares al PH SonmverticalesmymparalelasmalmPV4mSeríanmunmcasomparticularmdemunamrectamfrontal4

PV

PH

r

Hr

st

Hs

Ht

rHH

HHH

sHH

HH3HHH3sH

tHH

HHm3mtH

HHH

HHm3mrH

Tercera proyección de una recta de punta y de una recta perpendicular al PHComomcasomparticularmdemunamrectamdemperfilm,pormellasmpodemosmhacermpasarmunmmplanomdemperfilz2mpodemosmtrazarsumterceramproyecciónmparamresolvermalgúnmproblema2mpormejemplomhallarmsumintersecciónmconmlosmbisectores4m

rHHHVHHHrHHH

HHHH

rH

VHHm3mrHH

VH

rHH

HHH

HHm3mrH

RectamrmpormdelantemdelmPV4mPasampormcuadrantesm)mymá4RectamsmpertenecemalmPV4mAlejamientomnulo4RectamtmpormdetrásmdelmPV4mPasampormcuadrantesmgmymú4


12

Rectas paralelas a LT

PV

PH

rs

t

Rectas contenidas en los planos de proyección

rUU

sUU

HU-HUU

rU

Recta contenida en la LT

PV

PHrVr

PV

PHr

u

rUU

rU

sUU

sUtU

tUU

uUU

uU

Tienenmtantasmposicionesmcomomelmpunto

s

Hs

VU-VUUsU

UnamdemsusmproyeccionesmsemconfundemconmLT.

rUm-mrUU

CasomparticularmdemrectamparalelamamLT,mcotamymalejamientomnulos.

IESmCalderónmdemlamBarcam0mGijónDpto(mdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom1ºmbachillerato Sistemamdiédrico

13

Pertenencia de punto a recta UnmpuntomPmpertenecemamunamrectamrmsimPVVmestámenmrVVmymPVmenmrV

Pmmmmmr Pmmmmmr

PVV

PV

rVV

rV

PVV

PV

rVV

rV

Ejercicios con puntos y rectas

VVV

VV

HVV

HV

=

=

IVV

IV

1ermcte

2ºmcte4ºmcte

rVV

rV

VVV

VV

HVV

HV

3ºmcte 2ºmcte4ºmcte

rVV

rV

SituarmenmlamrectamrmunmpuntomPmdelmprimermcuadranteymsituadompormencimamdelm1ermbisector

Situarmenmlamrectamrmunmpuntomdelm4ºmcuadrantemymquemestémsituadompormdebajomdelm2ºmbisectorymamunamdistanciamdem1)mmmmdelmPH(

SituarmenmlamrectamrmlosmpuntosmdemintersecciónconmlosmbisectoresmHpuntomIm1ermbismympuntomJm2ºmbis=m

SituarmenmlamrectamrmelmpuntomJmdemintersecciónmconelm2ºmbisectormymdosmpuntosmAmymBmdelm2ºmcuadrantequemdistanm2)mmmmdelmpuntomJ

Solución:ºElºpuntoºPºhaºdeºtener

másºcotaºqueºalejamiento.ºTieneº

queºestarºaºlaºderechaºdelºPuntoºI,

dentroºdelºtramoºdeºrºque

perteneceºalº1erºcte. PVV

PV

Solución:ºSiºestáºporºdebajoºdelº2ººbisector,

elºpuntoºPºtendráºmásºcotaºqueºalejamiento.

fSinºtenerºenºcuentaºelºsignov.

Acotamosºlaºcotaºpedidaºyº

obtenemosºPzz.

1)

PV

PVV

pormencimamdem1ermbis

Pordebajo

Esºnecesarioºutilizar

unaºterceraºproyección

rVm0mrVV

VVV

VV

HVV

HV

HVVV

VVVV

1erºb

isec

tor

2ººbisector

rVVV

IVVV

JVVV

IVV

IV

JV0JVV

HV

HVV

JV0JVV

2ºmcte3ermcte

rVV

rV

Alºtratarseºdeºunaºrectaºfrontalºsuº

proyeccionºverticalºrzzºestáºenºverdaderaºmagnitud.

LlevamosºlaºmedidaºpedidaºyºobtenemosºAzzºyºBzz.

2)

2)

AV

AVV

BVV

BV


14


V''

H'

V''

H'

V'' H'

Completarmlasmrectas.mEstudiomdemlamrecta.


15

r''

r'

Dibujamlamterceramproyecciónmdemlasmrectasmdadasmymsitúamsusmpuntosmdemintersecciónmconmlosmbisectores.m

V''

V'

H''

H'

r'm-mr''

V''

V'

H''

H'

IESmCalderónmdemlamBarcamPmGijónDpto=mdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicomáºmbachillerato Sistemamdiédrico

á¿

RepresentarmlamrectamdemperfilmmmquempasapormlosmpuntosmAmymB=mdeterminarmsusmtrazasmHHPHHHmymVHPVHH=

ejercicios 2

AHH

AH

BH

BHH

DeterminarmlammedidamexactamABmsabiendomquemelmsegmentomABmpertenecemamlamrectamfmfrontalmqueformam¿3ºmconmelmPH=CotamdelmpuntomBm=mnulaCotamdelmpuntomAm=mg53mmmElmpuntomAmestámenmlamdirecciónmindicadampormlamflecha=

fHBH

CalcularmlasmproyeccionesmdemunmpuntomPdemcotam53mmmmquemdistamLTmmmmdemLT(tercera proyección)

¿QuémfiguramformanmenmelmespaciomlasmrectasmmquemunenmdosmamdosmlosmpuntosmA0mB0mCmymD?(tercera proyección)

AHHPBH

AHBHH

CHH DH

CHPDHH


17

Se cortan: tienen un punto en común

Rectas que se cortan y rectas que se cruzan

Completa las proyecciones de los puntos.

Completa las proyecciones de las rectas con sus trazas

Se cruzan: no tienen punto en común

r¿¿

r¿

s¿¿

s¿

P¿¿

P¿

r¿¿

r¿

s¿¿

s¿

P¿¿

P¿

PmmmmmrPmmmmmsPmmmmmr

Pmmmmms

r

s

r

s

a¿¿

b¿¿

c¿¿

rectama:m.........................................................

rectamb:m.........................................................

rectamc:m.........................................................

P¿¿

Q¿¿

R¿¿

¿Semcortanmomsemcruzan?

amymcm.........................................................

amymbm.........................................................

bmymcm.........................................................

¿QuémtienenmigualmlosmpuntosmQmymR?

...............................................................

¿Quémtipomdemrectamson?

Ejercicio

rmymsmsemcortan. rmymsmsemcruzan.

En el lenguaje normal estos dos verbos se usan indistintamente, pero en diédrico

significan dos cosas muy diferentes:

IESmCalderónmdemlamBarcamHmGijónDptoTmdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicomgºmbachillerato Sistemamdiédrico

g8

El plano 1

ElmplanomsemrepresentampormsusmtrazasTmLasmtrazasmsonmlasminterseccionesmdelmplanomconmlosmplanosmdemproyecciónT

Pertenencia de recta a plano Pertenencia de punto a plano

PlanomoblicuoTmLosmplanosmsonmilimitadosmymopacosTíAquímsemrepresentamconmlímitesmparampodermvisualizarlovT

N

PV

PHLT

Pqq

Trazamhorizontal

Traz

amve

rtic

al

N

EnmtodosmlosmplanosmoblicuosVmlasmtrazassemencuentranmenmunmpuntomdemlamlíneamdemtierraT

LosmplanosmsemdenotanmpormletrasmgriegasminúsculasVmconmunmsubíndiceT

N

SimunamrectampertenecemamunmplanoVmsusmtrazasmestánmenmlasmtrazasmhomónimasmdemdichomplanoT

ParamsituarmunmpuntomenmunmplanoVmprimeromhaymquemsituarlomenmunamrectampertenecienteamdichomplanoTmNomsempuedemdibujarmdirectamenteT

PV

PH

r

Vr

Hr

Lamrectamoblicuamrpertenecemalmplano

Pqq

Pq

ElmpuntomPmpertenecemalmplano

rqq

rq

rqq

rq

Hqq

Hq

Vqq

Vq

g

úEsto sigue

siendo g

Esto sigue

siendo ú

ú

g

ú

g

ú

gVqqmestámenmmmmmmmmmmmymHqmestámen

ú g

ú

g

IESmCalderónmdemlamBarcamñmGijónDpto9mdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom1ºmbachillerato Sistemamdiédrico

1891

El plano 1.1

LMP líneas de máxima pendienteSonmlasmrectasmdemunmplanomquemformanmelmmayormángulomconmelmplanomhorizontal

Frontales de plano

PV

PH

V

Vzz

Vz

Rectas particulares de un plano

LMI líneas de máxima inclinaciónSonmlasmrectasmdemunmplanomquemformanmelmmayormángulomconmelmplanomvertical9

Señalamosmlosm92ºmymponemosmdosmtracitosmenmrz Señalamosmlosm92ºmymponemosmdosmtracitosmenmszz

Horizontales de plano

rz

rzz szz

sz

2

1

2

1

hzz

hz

h

PV

PH

H

f

Hzz

Hz

fzz

fz

2

1

2

1

PertenecenmalmplanomymsonmparalelasmalmPH9 PertenecenmalmplanomymsonmparalelasmalmPV9

IESmCalderónmdemlamBarcam2mGijónDpto.mdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom1ºmbachillerato Sistemamdiédrico

19

El plano 2

Haymtresmformasmdemdefinirmunmplano

Plano definido por una recta r y un punto Mexterior a esta

Plano definido por dos rectas paralelas

Plano definido por tres puntos

Trazamosmdosmrectasmquempasanmpormlosmpuntosymestasmdosmrectasmdefinenmunmplano.

Estemcasomsemreducemalmanterior.

PV

rs rqqsqq

sqrq

PV

rs

P NM

PV

rs

M

Nqq

Nq

Mqq

Mq

Pqq

Pq

Mqq

Mq

Pqq

Pq

rqq

rq

sqq

rqq

sqq

rq

sq

2

1

2

1

22

2

2

11

1

1

IESmCalderónmdemlamBarcam/mGijónDptoLmdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom1ºmbachillerato Sistemamdiédrico

2H

El plano 3

Plano oblicuo

Tipos de planos

SemllamamoblicuomporquemnomesmnimparalelomnimperpendicularmamningúnmelementomdelmsistemaL

EnmtodosmlosmplanosmoblicuosfmlasmtrazassemencuentranmenmunmpuntomdemlamlíneamdemtierraL

PV

Recta horizontal en un plano oblicuo Recta frontal en un plano oblicuo

hzz

hz

fzz

fz

Recta horizontal ( por debajo del PH)en un plano oblicuo

Recta frontal ( por detrás del PV)en un plano oblicuo

hzz

hz

fzz

fz

2

1

1

11

1

2

22

2

2

1

VzzhmenhzmTThzzmTTmmLT

2HzfmmenfzmTTmLTfzzmTT

1

PH

1

2

Vzzh

Vzzh

VzzhmenhzmTThzzmTTmmLT

2

1

HzfmmenfzmTTmLTfzzmTT

1

2

Hzf

Hzf

IESmCalderónmdemlamBarcamLmGijónDptoTmdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicomVºmbachillerato Sistemamdiédrico

/V

El plano 4

Plano oblicuo y perpendicular al 1er bisector

Tipos de planos

Susmtrazasmformanmelmmismománguloconmlamlíneamdemtierra

SusmtrazasmestánmconfundidasmenmlammismamrectaT

Recta horizontal en un plano perpendicular al 2º bis Recta frontal en un plano perpendicular al 2º bis

h''

h'

Plano oblicuo y perpendicular al 2º bisector

f''

f'

Recta oblicua en un plano perpendicular al 2º bis Plano perpendicular a los dos bisectores = plano de perfil

r''

r'

UnmplanomdemperfilmesmperpendicularmamambosmbisectoresTObservamquemcumplemlasmdosmpropiedades:migualmánguloconmLTmymtrazasmconfundidasmenmunamsolamrectaT

/

V

/V

=

=

V''hmenm

h'myym V

/

/V/V

H'menf''myy /

V

/V

V''hmenm /

H'menm V /V

H'

V''


22

El plano 5

Plano paralelo al PH

Tipos de planos

Sólomtienemtrazamvertical. Sólomtienemtrazamhorizontal.

Recta horizontal en un plano paralelo al PH Recta frontal en un plano paralelo al PV

Plano paralelo al PV

Plano paralelo a LT Plano que pasa por LT

Paramquemquedemdefinidomsemdamunmpuntomdemélmymsemponenlasmmarcasmcomomenmlamfigura.

hy

-mhyyfmyy

-mfmy

Pyy

Py

2

1

2

1

2

1

1 2

hyymconfundidamconm2 fmymconfundidamcon 1


23

El plano 6

Plano proyectante horizontal

Tipos de planos

CoincidemconmlosmrayosmproyectantesmsobremelmPH.SumtrazamverticalmesmperpendicularmamLT.Todosmlosmelementosmcontenidosmenmélmseproyectanmhorizontalmentemenmsumtrazamhorizontal.

Recta horizontal en un plano proyectante horizontal Recta frontal en un plano proyectante vertical

Plano proyectante vertical

Recta oblicua en un plano proyectante horizontal Recta oblicua en un plano proyectante vertical

CoincidemconmlosmrayosmproyectantesmsobremelmPV.SumtrazamhorizontalmesmperpendicularmamLT.Todosmlosmelementosmcontenidosmenmélmseproyectanmverticalmentemenmsumtrazamvertical.

hvv

hvm-fv

fvvm-

rvv

rvm-

Vvv

VvHvv

Hv

mv

mvvm-

Hv

Hvv Vv

Vvv

22

2 2

22

HvmenVvvmen

2

HvmenVvvmen

2


24

El plano 7 Ejercicios con planos

Situarmenmelmplanomdadomunamrectamoblicuamquempasempormelm4ºmcuadrante.Indicarmtrazasmympartesmvistasmymocultas.

Situarmenmelmplanomdadomunamrectamoblicuamquempasempormelm4ºmcuadrante.Indicarmtrazasmympartesmvistasmymocultas.

SituarmenmelmplanomdadomunamrectamperpendicularmalmPHdemalejamientom20mmm

Situarmenmelmplanomdadomunamrectamoblicuamquemnompasempormelmprimermcuadrante

Situarmenmelmplanomdadomunamrectamoblicuamquemnompasempormelmprimermcuadrante

Situarmenmelmplanomdadomunamrectamhorizontaldemcotam-25mmm

-

DibujazelzplanozdefinidozporzlaszrectaszdadasG

Pqq

Pq

rqq

rq

sqq

sq

rq

rqq sqq

sq

Pqq

Pq

Pqq

rqq

rqBPq

sqq

sq

º h

R O

Estudiozdezlazrectazdada:zdesignaciónCztrazasCzparteszvistaszyzocultasCzcuadrantesCzintersecciónzconzloszbisectoresG

rq

rqq

Hq

Vqq

rqq

rq

DibujarzlaztercerazproyecciónzdezlazrectazdadazindicandosuszpuntoszdezintersecciónzconzloszbisectoresG

DibujazelzplanozdefinidozporzlaszrectaszdadasG DibujazelzplanozdefinidozporzlaszrectaszdadasG

DibujazunzpuntozdezcotazBzhézmmzsituadozenzelzplanozdadoCzquezeszperpendicularzalzprimerzbisector

5

6

IESzCalderónzdezlazBarcazBzGijónDptoGzdezdibujoApunteszdezdibujoztécnicozººzbachillerato Sistemazdiédrico

hOGºREPASO

IESmCalderónmdemlamBarcamñmGijónDptogmdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicomLºmbachillerato Sistemamdiédrico

')

Intersección de planos

NormalmentempodemosmsimplificarmestemprocedimientomutilizandomcomomauxiliaresmlosmplanosmdemproyecciónmPHmymPVm

Amveces,mnomesmposiblemutilizarmPHmomPVmcomomauxiliaresgmEnmesosmcasos,mañadimosmunomomdosmplanosauxiliaresmparampodermconstruirmelmprocedimientomgeneralgmNuestromobjetivomesmobtenermlosmpuntosmLmym'quemdeterminanmlamrectamintersecciónmbuscadag

PV=

PH=

Procedimiento generalLamintersecciónmdemdosmplanosmmmmmmmymmmmmmmesmunamrectagNecesitamosmconseguirmdosmpuntosmdemellamparamdefinirlag

Paramello,maunquemparezcamparadójico,utilizamosmdosmplanosmauxiliaresmmmmmmmymmmconmlosmquemobtenemosmlasmrectasmr,smymt,muquemnosmdanmlosmpuntosmLmym'gLosmpuntosmLmym'mdefinenmlamrectamintersecciónmbuscadag

rect

amin

ters

ecció

nmi

r

s

t

u

L

'

L

r

s

't

u

i

iyy

iy

Lyy

Ly'yy

'y

'

L

'

L

ryy syy

ty

uy

ryñsyñtyyñuyy

Nota: r', s', t'', u''

confundidas con LT

Lyy

Ly

'yy

'y

iyy

iy

' PlanomhorizontalmmmmmmutilizadomcomomsustitutomdelmPVmporquemelmpuntodemcortemdemlasmtrazasmverticalesdemmmmmmymmmmmmesminaccesibleg

ñryyñsyy

syry

'

L L

'

ElmusomdemunmplanomhorizontalmcomosimplificamelmtrazadomPporquemryymymsyymestánconfundidasmconmmmmmmmH,mperomsempodríamusarcomomauxiliarmcualquiermotromtipomdemplano,obteniendomunmpuntomdistintomLmpertenecienteamlammismamrectamig

'


25.1

Intersección de planos Determinarmlamintersecciónmdemlosmplanosmdados.m

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

21

2

1

2

2

1

2 2

1

1 2

2

1

2

1

2

1

1

2


26

Intersección de planos 2

Determinarmlamintersecciónmdemlosmplanosmdados.mUsarmcomomauxiliarmunmplanom//mPV

2

1

2

1

2

1

2

1

Determinarmlamintersecciónmdemlosmplanosmdados.mUsarmcomomauxiliarmunmplanomoblicuo.


27


Determinarmlamintersecciónmdemlosmplanosmdados.m

2

121

2

1

2

1

P''

P'

2

1

2

1

21-

2

1


28


Determinarmlamintersecciónmdemlosmplanosmdados.m

2

1

2

1

2

1

21

2

1

2

1

2121

-

- -


29

Intersección de recta y plano

Procedimiento general Para obtener el punto de intersección entre una recta y un plano,

se deben realizar las siguientes operaciones:

r

I

1

2

1

r,,

r,

r

I

r

I i

1

2

2r,,-

r,

Hacemosmpasarmunmplanoauxiliarmpormrmqesmdecirímquemrpertenecemamdichomplano).

Hallamosmlamintersecciónmdelmplanomauxiliarmmmmmmymelmplanomdadomqrectami).

Elmpuntomenmcomúnmdemlasmrectasmrmemimesmelmpuntombuscado.

1 1

2

2r,,-

r,

-mi,,

i,

I,,

I,

Simusamosmcomomauxiliarunmplanomproyectantenosmahorramoslíneas.

Datos

Paso 1

Paso 2

r

IESmCalderónmdemlamBarcam-mGijónDpto.mdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom1ºmbachillerato

Determinarmlamintersecciónmdemlamrectamymelmplanomdados.m

2

1 2

1

2

1

21

2

1

Repaso

r''

r'


s''

s'

Determinarmlamintersecciónmdemlosmtresmplanos.m

21


r''

r'

Nombremymapellidosm............................................

Fecham............................


29.1


2

1 2

1

2

1

2

1

2

1

Repaso

r''

r'


s''

s'


21


r''

r'


29.2


2

1 2

1

2

1

2

1

Repaso

r''

r'


s''

s'


2


r''

r'1 2


31

Paralelismo 2

Recta paralela a un plano

1

r //

2

Unamrectamymunmplanomsonmparalelosmcuandolamrectamesmparalela,malmmenos,mamunamrectacontenidamenmelmplano.

Por un punto P dado, hacer pasar una recta s paralela a un plano dado

Por un punto P dado, hacer pasar un planoparalelo a otro dado

1

2

1

2

P''

P'

h''

h'

Utilizamosmunamrectamhorizontalmomfrontalmhaciéndolampasarmpormelmpuntomdado.

r

s

r1'

r1''r''

r'

P''

P'

Pormunmpuntompasanminfinitasmrectasmparalelasmamunmplano

r

r1

P s

s1

t

t1

1

2

P''

P'

Datos:

1

2

P''

P'

Datos:

IESmCalderónmdemlamBarcamVmGijónDptoHmdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom:ºmbachillerato Sistemamdiédrico

Já

Paralelismo 3

:

r //

á

CuandomelmplanomesmparalelomamLTmompasampormestaPnomsempuedemusarmelmmétodomgeneralHUtilizaremosmunamterceramproyecciónHEnmestemcasomtrazamosmunamrectamdemperfilH

Recta paralela a un plano paralelo a PH Recta paralela a un plano definido por dos rectas

rUUU

PUU

PU

JPUUU

rUU

rU

:

r //

á rUUU

PUU

PU

JPUUU

rUU

rU

VUUU

HUUU

VUU

HU

VUUUVUU

HU

HUUUHUU VUVU

HUU

EnmestemcasomlamrectamrmesmoblicuaHmAunmasíPmpodemosmusarmlamterceramproyecciónmparamlocalizarmsusmtrazasHOjo:mVUUUmymHUUUmnomestánmamlammismamdistanciamdemnosotrosH

:

r //

PUU

PU

rUU

rU

HUU

HU

PUU

PU

rUU

rU

sUU

sU

tUU

tU

Lamrectamtmesmparalelamalmplanomdefinidopormlasmrectasmrmyms

JUU

JU

IESmCalderónmdemlamBarcamymGijónDpto)mdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom1ºmbachillerato Sistemamdiédrico

33

Perpendicularidad 1

Recta perpendicular a plano

1

r

2

Plano perpendicular a plano Por un punto P dado, hacer pasar un planoperpendicular a otro dado

rPHH

PH

Cualquiermplanomquempasempormunamrectaperpendicularmamotromplanomserámperpendicularmamél)

r

1

2

PHH

PH

2

1

rH

rHHmy

HacemosmpasarmpormPmunamrectamperpendicularmammmmm)mSimnomsempidemotramcondiciónzmcualquiermplanomquemcontengamamlamrectamrmserámsolución),Enmlamfigurazmpormsencillezzmhemosmtrazadomunmproyectanteg)

rHH

rH

Por un punto P dado, hacer pasar una recta perpendicular a un plano dado.

IESmCalderónmdemlamBarcam0mGijónDpto2mdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicomzºmbachillerato Sistemamdiédrico

Lg

Perpendicularidad 2

Recta perpendicular a recta

r

r

s

Unamrectamsmquemcortemymseamperpendicularmamunamrectamdadamrpertenecerámamunmplanomperpendicularmamlamrectamr2ObservamcómompormunmpuntomenmconcretomdemlamrectamrmmvpormejemplomelmpuntomI(mpasanminfinitasmrectasmperpendicularesmamrmymtodasmellasmpertenecenmamunmplanomquemesmperpendicularmamlamrectamr2 s9'º

z

,

POO

PO

hO

rO

rOOm0mmmmmm0miOO

hOO

iO

,

z

IOO

sOO

sOIO

Por un punto P dado, hacer pasar una recta perpendicular a otra recta r dada.

PormelmpuntomPmtrazamosmunmplanommmmmmperpendicularamlamrectamdadamrmvconmlamayudamdemlamrectamh9mvermrectamperpendicularmamplano(2Luegomobtenemosmelmpuntomdemintersecciónmdemlamrectamrmymelmplano9mpuntomImvverminterseccióndemrectamymplano(2mLamrectamsmquempasampormPmemImeslamsolucción2

r

s9'º

P

I

I


35

Repaso paralelismo y perpendicularidad

Dibujar las proyecciones de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta dada r

r s

1 2

r

s90º

P

I

Figura de análisis

El plano dado es perpendicular al 2º bisector.Por tanto, cualquier recta r perpendicular a necesariamente será paralela al mismo bisector. Comprobarlo trazando tres rectas perpendiculares al plano dado, dibujando sus proyecciones y sus trazas, indicando partes vistas y ocultas.

r

2ºmbisector

Figura de análisis

P''

P'r'

r''

IESmCalderónmdemlamBarcamMmGijónDptoNmdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom:ºmbachillerato Sistemamdiédrico

fv

Distancias 1

Distancia entre dos puntos

Páá

Pá

YamenmelmsistemaVmconstruimosmelmtriángulomrectánguloymobtenemosmDm=mdistanciamentremPmymQmenmVMN

Distancia entre dos puntos que están en distinto cuadrante

dá

P

Q

Qá

Pá

D

P:

dá

PH

Qáá

Qáh

h dáá

dá

D

N

h

LosmpuntosmPmymQmsemproyectanmenmPámymQáNLamdistanciamDmsemproyectamcomomdáNQueremosmsabermlamdistanciamDmenmverdadera magnitudNSimpormelmpuntomQmtrazamosmunamparalelamamdámtendremosunmtriángulomrectángulomenmelmcual:

Unmcatetomesmhm=mdiferenciamdemcotasNOtromcatetomesmdámLamhipotenusamesmDm=mdistanciamenmVMmgverdaderammagnitudy

Páá

Pá

Qáá

Qá

hdáá

dá D

N

h

gTambiénmsempuedemtomarmcomomcatetomlamproyecciónverticalmdáámymcomomotromcatetomlamdiferenciamdealejamientosmdemlosmpuntosyN

TenemosmenmcuentamlosmsignosmdemlasmcotasNEnmlamfiguraVmlamcotamdemPmesmpositivamymlamdemQesmnegativaVmpormlomquemlamdiferenciamdemcotassemtransformamenmunamsumaN

IESmCalderónmdemlamBarcam2mGijónDpto=mdemdibujoApuntesmdemdibujomtécnicom1ºmbachillerato Sistemamdiédrico

37

Distancias 2

Distancia de un punto a un plano

PTT

Distancia de un punto a una recta

r

90º P

DI

TrazamosmunmplanomperpendicularmamlamrectamrymquemcontengamalmpuntomP=Obtenemosmelmpuntomdemintersecciónmdemrmymelmplano=ElmsegmentomPImesmlamdistanciambuscada=

r

P

D

I

PormelmpuntomPmtrazamosmunamrectamperpendicularalmplanomdado=mObtenemosmelmpuntomdemintersecciónmrecta2plano=ElmsegmentomPImesmlamdistanciambuscada=

2

1

IT

h

h

PT

2

1

2mrTTm2miTT

D

iTrT

dT

dTT

ITTPTT

2

1

ITam=

mdi

f=mal

ej= PT

2

1

rTTm2mmmmm2miTT

D

iTrT

dT

dTThTT

hT

ITT

a


38

Distancias 3

Distancia entre dos rectas paralelas Distancia entre dos planos paralelos

r

I

Trazamosmunamrectamperpendicularmamambosmplanos.Obtenemosmlosmpuntosmdemintersecciónmrecta-planos.ElmsegmentomIJmesmlamdistanciambuscada.

r

D

I

Trazamosmunmplanomperpendicularmamambasmrectas.mObtenemosmlosmpuntosmdemintersecciónmrectas-plano.ElmsegmentomIJmesmlamdistanciambuscada.

2

1

IJ

h

h

2

1

rJJm-mmmmmm-mIJJm

D

iJ

rJ

dJ

dJJ

2

1

IJ

2

1

rJJm-mmmmm-miJJm-mjJJ

D

iJrJ

dJ

dJJ

s

J

D

J

sJJm-mmmmmm-mjJJm2

1

jJ

JJJ

JJ

sJ

IJJ

h

JJJ

IJJ

jJ

h

2

JJ

1

1ÁCPorClaCrectaCrChacerCpasarCunCplanoCparaleloCCCCCaClaCrectaCs

rAA

rA

sAA

sA

2ÁCPorClaCrectaCrChacerCpasarCunCplanoCCCCCperpendicularCalCplanoC

rAA

rA

3ÁCDistanciaCenCverdaderaCmagnitudCentreCelCpuntoCPyCelCplanoCdado

P''

P'

4ÁCHallarClaCverdaderaCmagnitudCdelCsegmentoCCCCCdeClaCrectaCrCcomprendidoCentreClosCplanosCCCCCCCyC

rAA

rA

2

1

2

1

2

1

2

1

IESCCalderónCdeClaCBarcaCOCGijónDptoÁCdeCdibujoApuntesCdeCdibujoCtécnicoC1ºCbachillerato SistemaCdiédrico

39

PreparaciónCparaCelC2ºCexamenCREPASOCBÁSICOC7

0OGTrazarGlaGrectaGqueGpasaGporGlosGpuntosGdadosGGGGGGGGG(Notación: DAC en cm)

GGGGEstudioGdeGlaGrecta:GdenominaciónPGtrazasPGpartesGvistasGyGocultasPGGGGGcuadrantesPGintersecciónGconGbisectoresOG

IESGCalderónGAGGijónDptoOGdeGdibujo0ºGbachilleratoGAGdibujoGtécnicoGINombreGyGapellidosG__________________________________________GcursoG______GfechaG___________

(OGHallarGlaGintersecciónGdeGlosGplanosGdados

0

(

(

0

REPASOGBÁSICO

Á Á

AGfÁPG(PGÁ2GyGBGf4PGÁPG(2 AGfA(PG(PGA02GyGBGf)PGA(PG(2

Á Á

AGfÁPG(PG(2GyGBGf4PGA(PGA(2 AGfÁPGA(PG(2GyGBGf6PG)PGA02

0

(

(0

DDDDV'EstudioDdeDlaDrecta:DdenominaciónÁDtrazasÁDpartesDvistasDyDocultasÁDcuadrantesÁDintersecciónDconDbisectores'D

IESDCalderónD3DGijónDpto'DdeDdibujoVºDbachilleratoD3DdibujoDtécnicoDINombreDyDapellidosD__________________________________________DcursoD______DfechaD___________

REPASODBÁSICOD3

rRR

rR

rR

rRR

H'DObtenerDlaD3ªDproyecciónDyDlaDintersecciónDdeDlasDrectasDdadasDconDlosDbisectores

rRR

rR

VRR

VR

HRR

HR

rRD3DrRR

VRR

VR

HR

HRR

bbbbM4Trazarbelbplanobdefinidobporblosbtresbpuntosbdados4bbbbbbbTrazarbunablíneabdebmáximabpendientebdelbplano4

IESbCalderónbÁbGijónDpto4bdebdibujoMºbbachilleratobÁbdibujobtécnicobINombrebybapellidosb__________________________________________bcursob______bfechab___________

REPASObBÁSICOb4

24bObtenerblabintersecciónbdeblosbplanosbdados4

N__

N_

M__

M_

P__

P_ r_

2

M

2

M

2M2MÁ

Á

Hacer pasar un plano por una recta

IESsCalderónsLsGijónDptoTsdesdibujo1ºsbachilleratosLsdibujostécnicosINombresysapellidoss__________________________________________scursos______sfechas___________

REPASOsBÁSICOs5

Porslasrectasdadazshacerspasarunsplanosoblicuo

Porslasrectasdadazshacerspasarunsplanosproyectantesvertical

Porslasrectasdadazshacerspasarunsplanosproyectanteshorizontal

PorslasrectasdadazshacerspasarunsplanosparalelosaslasLT

Porslasrectasdadazshacerspasarunsplanosperpendicularsals1ersbisector

Porslasrectasdadazshacerspasarsunplanosperpendicularsals2ºsbisector

rBB

rB

rBB

rB

rBB

rB

rBB

rB

rBB

rB

rBB

rB

Intersección de recta y plano

rBB

rB

2

1

rBB

rB

1 2

g3NPorNelNpuntoNPNhacerNpasarNunNplanoNqueNseaparaleloNalNplanoNdado3

IESNCalderónN'NGijónDpto3NdeNdibujogºNbachilleratoN'NdibujoNtécnicoNINombreNyNapellidosN__________________________________________NcursoN______NfechaN___________

REPASONBÁSICON6

43NPorNelNpuntoNPNhacerNpasarNunaNrectaNperpendicularNaNlaNrectaNdada3

2g'

Paralelismo, perpendicularidad y distancias

2

g

2g

23NPorNelNpuntoNPNhacerNpasarNunaNrectaNqueNseaparalelaNalNplanoNdado3

2

g

POO

PO

POO

PO

33NPorNelNpuntoNANhacerNpasarNunaNrectaNqueNseaNparalelaNalNplanoNdado3

POO

PO

AOO

AO

rOO

rO

53NObtenerNenNverdaderaNmagnitudNlaNdistanciadelNpuntoNPNalNplanoNdado

POO

PO

POO

PO

1.éTrazaréeléplanoédefinidoéporélasédosérectasédadas

IESéCalderónéMéGijónDpto.édeédibujo1ºébachilleratoéMédibujoétécnicoéINombreéyéapellidosé__________________________________________écursoé______éfechaé___________

REPASOéBÁSICOé2

PAA

PA

rAA

rA

sAA

2.éTrazaréeléplanoédefinidoéporéelépuntoéMéyélaérectaér

MAA

MA

rAA

rA

mmmmmm departammjo apuntmmmmmillerato · mmmmmm plano definido por una recta r y un punto m...

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