mirando a nuestro alrededor encontramos matemáticas en

Nos movemos por el Espacio: Caminando entre vectores

Mirando a nuestro alrededor encontramos matemáticas en todo aquello que nos rodea: nuestra altura, nuestro peso, la velocidad a la quecaminamos, el dinero que manejamos, la cantidad de agua que bebemos, etc.

Muchas de estas cantidades nos expresan con su valor todo lo que necesitamos conocer sobre ellas. Así, por ejemplo, si bebemos cada día2 litros de agua ya tendríamos toda la información necesaria y no nos quedaría ninguna duda respecto de esa cantidad. Sin embargo,existen otras medidas cuya cantidad numérica no representa toda la información que pretende representar a priori. Por ejemplo, si

Imagen del ITE

indicamos que la velocidad de un coche es 22km/h, nos falta más información que esavelocidad nos puede proporcionar como la dirección en la que va el vehículo o si vamarcha atrás o hacia adelante. Igual pasa por ejemplo cuando intentamos mover unacaja. Para moverla debemos aplicarle una fuerza evidentemente. Pero, si indicamos quela fuerza es de 12Kp, solamente nos informa de la cantidad de fuerza que se aplica.Nuevamente la información sobre la fuerza que aplicamos es más rica ya que podemosindicar en que dirección se la aplicamos al objeto y si es empujando o tirando del objeto.

En un caso práctico, supongamos que nos indican que un coche va a 100 km/h por lacarretera que observamos en la imagen de la izquierda. Ya ves, te quedarías igual que sino te hubieran dado la información. Sin embargo, si nos indicaran que va a 100 km/hpor la autovía A66 en sentido Gijón tendríamos toda la información que nos puede dar lavelocidad.

Otro caso práctico lo tendríamos si en la información sobre el tiempo nos informaran deque la velocidad del viento será 90 km/h. La verdad es que de poca ayuda nos sirve. Sinembargo, observamos que en la información nos indican que la velocidad del viento seráde 90 km/h en dirección sur, por ejemplo, que es la auténtica información que nos proporciona la velocidad.

Podríamos seguir poniendo ejemplos con otras cantidades que nos son más cercanas y no somos conscientes de toda la información quenos aportan, como puede ser el peso, que es una fuerza que ejercemos con nuestro cuerpo hacia abajo.

1.- ¿Dónde me encuentro?

¿Has pensado alguna vez en todos todos los movimientos a los que se ve sometido nuestro planeta? Unos movimientos que influyen ennuestra vida diaria ya que de estos movimientos se desprenden dos velocidades y aceleraciones. ¿Cómo demostrarlo?, te proponemos dosexperimentos:

1.- Para ver cómo influye el movimiento de rotación de la Tierra solamente debes abrir el grifo del agua. Observa que siempre que loabres, el agua del lavabo o del fregadero se vacía del mismo girando siempre en la misma dirección. ¿En qué dirección? pues depende delcasquete terráqueo en el que te encuentres. Tú observarás que el agua gira en un sentido y los que estén al otro lado del eje del Ecuadorla observarán en el contrario.

2.- Para demostrar que la Tierra se traslada te proponemos un experimento. Llena un recipiente de agua y coloca un corcho flotando en elmismo, pero pegado a las paredes del recipiente. Marca con un rotulador la posición del corcho en la pared del recipiente. Déjalo durantevarios días en un lugar aislado de todas posibles corrientes y movimientos. Después de varios días vuelve a observar la posición en la quese encuentra el corcho y observarás que se ha trasladado desde la posición inicial.

¿Cómo podemos explicar experiencias como las anteriores?... a través de los vectores.

Pero antes de utilizar estos entes debemos comprender su funcionamiento, cómo se opera con ellos, cómo se utilizan, sus propiedades, losespacios que generan, etc. a esto es a lo que te invitamos ahora.

Sí, para el estudio de estos movimientos de la Tierra y su repercusión vamos a necesitar de los vectores, imagina en el caso del Universoo, sin ir tan lejos, en el caso de la Vía Láctea. Recuerda el trabajo de Darío y observa en el siguiente vídeo lo insignificante que podemosconsiderarnos:

Pero, retomando las palabras de Arquímedes "dadme un punto de apoyo y moveré el mundo". Quizás ahora conociendo los vectorespodamos controlar todos los movimientos del Universo. ¿No crees?

Si antes de empezar quieres tener alguna idea de qué es esta poderosa herramienta y en qué y cómo se utilizan puedes ver el trocito devídeo que te incluimos a continuación.

1.1 Este plano me suena

¿Recuerdas qué era un vector y cómo calcularlo? Bueno, vamos a refrescar un poco la memoria. Mira a tu alrededor y céntrate en unobjeto.

Si quisieras arrastrarlo aplicándole una fuerza, esa fuerza será de una determinada medida, se laaplicarás en una dirección concreta y se la aplicarás tirando o empujando. Si ese vector de fuerzaes el que va desde el punto del plano al punto , entonces ese vector es

. Este vector lo observamos en la imagen adjunta:

Este vector es el mismo que el que comienza en el punto y termina en el

ya que . Así, al igual que la Fuerza que hemos aplicado

anteriormente, que es una magnitud vectorial, es decir, que va a venir expresada por un vector, losvectores van a venir dado por tres características.

La primera es la dirección, que es la recta sobre la que se encuentra, la otra es el sentido que vienedeterminado por el sentido al que apunta la flecha del vector sobre la recta, en nuestro ejemploanterior podemos observar que no es lo mismo el vector que el vector . Por último, la

tercera característica de un vector es su longitud, su módulo (como es la longitud que mide espositiva).

En la imagen de la derecha hemos representado el vector . En este

caso, para calcular el módulo del vector que es la longitud del vector , vamos a aplicar el

teorema de Pitágoras. El módulo del vector se denota de la siguiente forma

De esta forma tenemos que

Observamos entonces que si tenemos un vector su módulo es:

¿Recuerdas ya qué es un vector? Bueno, pues ahora vamos a practicar con las operaciones que podíamos hacer con ellos.

La primera de estas operaciones es la suma de vectores. Si tenemos dos vectores y la suma de los dos seobtiene algebraicamente:

. De forma gráfica la puedes realizar en la escena de abajo. Suma allí los vectores

En la escena de la derecha puedes sumar dos vectores en el plano. Para ello pasa el ratón por la escena. Apareceráun vector que comienza en el origen de coordenadas. Pulsa sobre el punto donde desees que finalice el vector. Tenpresente que las coordenadas aparecen multiplicadas por 10. Seguidamente aparece otro vector que comienza enel origen de coordenadas. Pulsa sobre el punto donde termine este segundo vector. Entonces se dibujará el vectorque resulta de sumarlos. Para representar el vector diferencia pulsa sobre el botón A+B y aparecerá A-B

y .

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

Enviar

Ahora te proponemos que si tienes los vectores , y del espacio de dosdimensiones , calcules los vectores

Ahora que ya recuerdas cómo sumar vectores, vamos a recordar otra de las operaciones que podíamos hacer con ellos, multiplicarlos porun número. Si tenemos un vector y un número se tiene que que observamos que es otro vector.

Por ejemplo, si tenemos un vector , el vector es .

En la siguiente ventana interactiva vas a poder practicar. Arrastra los puntos A, B, C, y D hasta conseguir los vectores y quedesees. Seguidamente arrastra los puntos inferiores hasta conseguir los valores de los números y que quieras. De esta forma se

AV - Actividad de Espacios en Blanco

Please install Java 1.4 (or later) to use this page.

Ahora que ya sabes sumar los vectores gráficamente, ymultiplicar un número por un vector prueba a dibujar las sumasde vectores que se indican en la imagen de la izquierda. Para ellosolamente deberás arrastrar cada vector a la posicióncorrespondiente sin más que pulsar y arrastrar el punto queaparece en la parte inicial de cada vector. Una vez que lo hayashecho, pulsa sobre la flecha azul correspondiente a cadaoperación y podrás comprobar cuál es el vector resultante.

Esta unidad interactiva requiere la máquinavirtual de Java J2RE .

dibujarán el vector y el vector . También aparecerá dibujado el vector

¿Sabías que a la hora de desplazar un objeto arrastrándolo aparece una fuerza que se opone al movimiento? Estafuerza se llama fuerza de rozamiento. Aprende algo más sobre ella aquí:

Imagina que tenemos un objeto cuadrado sobre el que están empujando dos hombres por dos caras consecutivas. Si elprimero de los hombres está aplicando una fuerza y el segundo está aplicando una fuerza y

estas fuerzas son las justas para que el objeto no se mueva, calcula la fuerza de rozamiento del objeto con la superficiesobre la que está apoyado.

Sigue practicando...

Para saber más

que te ayudarán.

1.- VECTORES EN EL PLANO

Trabajo con vectores dados gráficamente

2.- PRACTICANDO CON VECTORES

Practica con vectores utilizando coordenadas

y componentes en cada una de las actividades

René Descartes, nacido el 31 de Marzo de 1596 en La Haye, Touraine, Francia y fallecido el 11 de Febrero de 1650 enEstocolmo, Suecia, usó las coordenadas para representar los puntos y a partir de entonces tenemos lasrepresentaciones gráficas y los ejes cartesianos. En realidad cabe destacar que el nombre de ejes cartesianos no sedebe a Descartes, sino a un matemático posterior llamado: Maurice René Fréchet (Maligny, 1878-París, 1973) quién lasllamó así en honor a Descartes. Conoce más de René Descartes en el siguiente vídeo.

Curiosidad

1.2 Saltando del plano a otros espacios

Al igual que has trabajado con los vectores en el plano, es decir, en dos dimensiones: componente "x" ycomponenete "y", de forma análoga puedes trabajar con los vectores en tres dimensiones, formados por trescoordenadas: x,y,z. En la imagen de la derecha puedes situar un punto en el espacio a través de sus trescoordenadas. Así dibujas el punto A. Escribe las coordenadas del punto y gira con el ratón la escena para verlo

Ya sabes que, dados dos puntos del plano, las coordenadas del vector que une el primer punto con el segundo se obtienen restándole a lascoordenadas del segundo punto las coordenadas del primero. En el espacio ocurre de la misma forma. Dados los puntos del espacio

y el vector que va del punto A al punto B es:

Que no es el mismo que el vector que va del punto B al punto A:

REPRESENTANDO VECTORES : Observa enla imagen que te proporcionamos en la que aparecedibujado sobre los ejes cartesianos el vector decoordenadas (1,2,2). Puedes girar la imagenpulsando y arrastrando. Si deseas puedes dibujarvarios vectores distintos sin más que arrastrar elpunto de finalización del vector a las coordenadasque desees. Dibuja los siguientes vectores que teindicamos:

1.- (3,1,-1)

2.- (1,1,1)

3.- (-2,-2,-2)

4.- (-2,0,0)

Instrucciones:

Arrastre el ratón para rotar la figura.

Arrastre la punta del vector. Puede también arrastrarlas coordenadas x, y, z del vector.

Para hacer zoom: Shift + arrastre vertical

SUMA DE VECTORES : En la imagen de laderecha podemos observar cómo se realizagráficamente la suma de dos vectores en el espaciode tres dimensiones. Al igual que en el de dosdimensiones, para sumar dos vectores decoordenadas (v1,v2,v3) y (w1,w2,w3) el vectorsuma es el que resulta de sumar sus coordenadascorrespondientes. En este caso:

(v1,v2,v3) + (w1,w2,w3) = (v1+w1,v2+w2,v3+w3)

Te proponemos ahora que realices gráficamente lassiguientes sumas de vectores y que escribas elresultado de cada apartado en los huecoscorrespondientes que aparecen más abajo:

1.- (2, -3,5) y (1,0,1)

Instrucciones:


Para mover los vectores v y w , arrastre lospuntos azules al final de los vectores, o los puntos rojoso verdes, que corresponden a sus coordenadas

Para hacer zoom: Shift + arrastre vertical

2.- (-2,4,6) y (3,1,0)

3.- (1,0,0) y (0,1,0)

4.- (2,1,4) y (-2, 1, -2)

RESTA DE VECTORES : En la imagen de laderecha podemos observar cómo se realizagráficamente la resta de dos vectores en el espaciode tres dimensiones. Al igual que en el de dosdimensiones, para restar dos vectores decoordenadas (v1,v2,v3) y (w1,w2,w3) el vectorresta es el que resulta de restar sus coordenadascorrespondientes. En este caso:

(v1,v2,v3) - (w1,w2,w3) = (v1-w1,v2-w2,v3-w3)

Instrucciones:


Para mover los vectores v y w , arrastre lospuntos azules al final de los vectores, o los puntos rojoso verdes, que corresponden a sus coordenadas

Para el zoom= Shift + arrastre vertical

1.- ( , , ) 2.- ( , , )

3.- ( , , ) 4.- ( , , )

Enviar

El resultado de cada uno de los apartados que te hemos propuesto es:


1.- Al vector (2,3,4) restarle el vector (2,1,0).

2.- Al vector (-2,0,1) restarle el vector (0,2,0).



PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNVECTOR : Multiplicar un número por un vector eslo mismo que sumar el vector tantas veces como nosindique el número. Por este motivo, si tenemos unnúmero k y un vector de coordenadas (v1,v2,v3) el

Instrucciones:


Para mover el vector k v , arrastre el punto azulal final del vector

Zoom = Shift + arrastre vertical

1.- El resultado de la primera resta es ( , , ).

2.- El resultado de la segunda resta es ( , , ).

3.- El resultado de la tercera resta es ( , , ).

4.- El resultado de la cuarta resta es ( , , ).

Enviar

Indica el resultado de cada uno de los apartados anteriores:


resultado de multiplicarlos es:

k(v1,v2,v3) = (kv1,kv2,kv3)

En la imagen de la izquierda puedes observar elresultado de multiplicar un número por un vector.

Te proponemos que en los siguientes apartadosmultipliques el número que aparece por el vector quese acompaña.

1.- Multiplicar el nº 2 por el vector (-1,2,0)

2.- Multiplicar 4 por el vector (-1,1,-1)

3.- Multiplicar 3 por el vector (2,-2,3)

4.- Multiplicar -2 por el vector (-1,1,3)

1.- El vector que resulta del producto es ( , , )




Responde ahora a los apartados anteriores:


1.- ( , , ) 2.- ( , , )

3.- ( , , ) 4.- ( , , )

5.- ( , , ) 6.- ( , , )

Enviar

Ahora que ya conoces las operaciones que podemos hacer con los vectores, te proponemos que si y

, calcules las coordenadas de los siguientes vectores:

¿Crees que los porteros no marcan goles?, puesobserva el siguiente vídeo. De todas formas,muchas son las cosas que hay que tener encuenta a la hora de marcar goles desde tupropia portería. Nosotros nos vamos a centrarsolamente en el saque del portero y en el


llega el balón a los jugadores, los dos rematan a la vez de cabeza cuando el balón llegaba parado. Uno lo hace con unaaceleración y el otro con una aceleración . Si la masa del balón es 2:

1.- Calcula la fuerza con la que el balón salióimpulsado desde la portería.

2.- Calcula la fuerza con la que el balón salióimpulsado tras el cabeceo de los dos jugadores.

Debes tener en cuenta que la aceleración de lagravedad es un vector vertical de coordenadas

. Ojo, son las

unidades de aceleración (metros entre segundos alcuadrado). La tercera coordenada es negativa debidoa que la aceleración de la gravedad es hacia abajo,hacia la parte negativa del eje Z.

También debes tener en cuenta que si conocemos la masa de un cuerpo y la aceleración con la que lo impulsamos, la fuerza se calcula como el producto de la masa por la aceleración.

Bueno, ya estás preparado/a para enfrentarte a un mundo en tres dimensiones. ¿o lo estabas antes?... Puedes seguirprofundizando sobre este espacio en los siguiente enlace .

Para saber más

1.3 Caminando en el espacio vectorial

Como te ha indicado Descartes, ya conoces dos espacios vectoriales sobre los que has estadotrabajando, el plano y el espacio . Pero ¿Qué es un espacio vectorial?, pues más omenos algo parecido a lo que has visto hasta ahora, un conjunto de objetos, sobre los quehay definida una operación suma (+) y sobre el que definimos el producto de unnúmero cualquiera por uno de los objetos del conjunto (·). Si tenemos un conjunto V,decimos que V con las operaciones suma (+) y producto por un escalar (·) es un

Importante

1.- Si x e y son dos elementos del conjunto V , entonces x+y=y+x .

2.- Si x , z e y son tres elementos del conjunto V , entonces (x+y)+z=x+(y+z) .

3.- Existe un elemento del conjunto V que representaremos por 0 de forma que 0+x=x paratodos los elemntos x del conjunto V . Lo llamaremos elemento neutro.

4.- Si x es un elemento del conjunto V existe otro elemento que representaremos por -x deforma que x+(-x)=0 para todos los elementos x del conjunto V .

5.- Si k es un número y x e y son elementos del conjunto V , entonces k·(x+y)=k·x+k·y .

6.- Si k y p son números, entonces k·(p·x)=p·(k·x) para todos los elementos x delconjunto V .

7.- Si k y p son números, entonces (k+p)·x=(k·x)+(p·x) para todos los elementos x delconjunto V .

8.- 1·x = x para todos los elementos x del conjunto V .

Así, en el conjunto de todos los vectores del plano, observamos que se cumplen todas estas

propiedades ya que si consideramos los vectores , y y losnúmeros y , entonces:

1.- .

2.-

3.-El elemento neutro es , ya que

4.- Dado tenemos que ya que

que es un vector de .

6.-

7.-

8.-

Esto mismo sucede en el espacio de tres dimensiones .

Es una definición demasiado teórica, por lo que vemos a verla con algunos ejemplos:

Si consideramos el conjunto de todos los vectores del espacio que tienen la forma , es decir, que lasdos primeras coordenadas son cero, vamos a ver si este conjunto con la operación suma de vectores y la operación delproducto de un número por un vector, que ya conocemos es un espacio vectorial.

Si consideramos el conjunto de todos los vectores del espacio y definimos el producto de un número por un vectorcomo

vamos a ver si este conjunto con la operación suma de vectores y la operación del producto de un número por unvector definida, es un espacio vectorial.

De los siguientes espacios que te proponemos marca los que sean espacios vectoriales:

El conjunto de los vectores de cuya primera y tercera coordenadas son cero, con las operaciones sumade vectores y producto de un escalar por un vector que ya conoces

El conjunto de los vectores de cuya segunda coordenada es cero, con las operaciones suma de vectoresy producto de un escalar por un vector que ya conoces

El conjunto de los vectores de cuya segunda coordenada es el doble que la primera, con lasoperaciones suma de vectores y producto de un escalar por un vector que ya conoces

El conjunto de los vectores de cuya segunda coordenada es 5, con las operaciones suma de vectores yproducto de un escalar por un vector que ya conoces

AV - Pregunta de Selección Múltiple

El concepto de espacio vectorial se puede aplicar a múltiples conjuntos en matemáticas. Te proponemos quecompruebes los dos siguientes puntos:

1.- El conjunto formado por el espacio cuyos vectores tienen la forma con la operaciónsuma de vectores que conoces y te recordamos abajo, y el producto de un número por un vector que te recordamos, esun espacio vectorial:

1.1 Suma de vectores

1.2 Producto de un número por un vector

2.- El conjunto formado por las matrices de orden 3x3 con la operación suma de matrices y producto de un número porun matriz es un espacio vectorial

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o elespacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la

Curiosidad

Pierre de Fermat , imagen tomada deWikimedia Commons.

operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de AugustFerdinand Möbius de 1827. El origen de la definición de los vectores es ladefinición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno decuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraroncon la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creaciónde los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó elnombre de vector). Son elementos de y ; el tratamiento mediantecombinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió lossistemas de ecuaciones lineales.

En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización ysimplificación de las aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmannestudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetosabstractos dotados de operaciones. En su trabajo, los conceptos de independencialineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad eltrabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya queteniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día sellaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna deespacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción delos espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado porBanach en su tesis doctoral de 1920 y por Hilbert. En este momento, el álgebra yel nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como losespacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, se realizaron los primerosestudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones.

2.- La legislación vectorial

En muchos campos de construcción en los que nos movemos nos encontramos con piezas básicas de cuya combinación se obtiene todo elresto del campo. Un ejemplo lo encontramos en el juego Tangram en el que a partir de unas pocas piezas se pueden generar todo unmundo de imágenes. En la siguiente ventana te dejamos uno de uso fácil para que puedas practicar esto que te decimos. En ella, cada vezque pulses sobre la palabra "Figuras", aparecerá un figura distinta que podrás construir con las piezas que aparecen en la zona inferiorderecha de la ventana. Estas piezas las puedes arrastrar con el ratón y girarlas sin más que pulsar sobre el punto que tiene cada pieza.Además, te facilitamos que puedas imprimirlas:

Otra de estas construcciones que nos pueden servir de referencia para lo que te indicamos son las piezas del juego Tente o el conocidojuego de LEGO, en el que a partir de piezas básicas se pueden obtener figuras más complejas a partir de combinaciones de esas piezasbásicas. En la siguiente ventana te ofrecemos la posibilidad de construir distintas figuras humanoides a partir de componentes básicos,

piezas básicas. Como combinación de esas piezas básicas se pueden obtener múltiples figuritas distintas. Practica con ellas y observa sufuncionamiento.

Construcción de figuras a partir de partes básicas. Animación obtenida de Reasonablyclever

Esto mismo lo vamos a poder hacer en los espacios vectoriales, en los que a partir de elementos significativos de un espacio vectorialvamos a poder obtener todos los elementos del mismo como combinación de estos elementos significativos.

2.1 Ayudado por los vectores

Dados varios vectores de un espacio vectorial y

dados varios números se denominacombinación lineal al vector que resulta de hacer las

siguientes operaciones: .

Por ejemplo, si en el espacio vectorial consideramos losvectores y , una combinación lineal

podría ser

Brújula. Imagen obtenida del Bancode imágenes del ITE

En la escena siguiente vamos a dibujar los vectores , y

Se dice entonces que los vectores y son combinación lineal de e . Que es lo mismo que decir que lo podemos

poner como combinación lineal de y y lo mismo con

Veamos cómo:

1.- Cambia el valor de n a n=4. Así se obtiene el vector

2.- Cambia el valor de m a m=2. Así se obtiene el vector

3.- Arrastra el punto B, trazando una paralela al vector

4.- Arrastra el punto C, trazando una paralela al vector

5.- Prolongando estas paralelas suficientemente obtienes un paralelogramo cuyos lados son los vectores y . Arrastra el punto A

Importante

para dibujar la diagonal que representa al vector

6.- Ahora le das a n = -2 para dibujar el vector y a m=1 para dibujar el vector

7.- Arrastra el punto D, trazando una paralela al vector

8.- Arrastra el punto E, trazando una paralela al vector

9.- Prolongando estas paralelas suficientemente obtienes una paralelogramo cuyos lados son los vectores e . Arrastra el punto

A, de nuevo, para dibujar la diagonal que representa al vector

Probemos ahora en . Dado los vectores , y indica el vector que seobtiene como combinación lineal en cada uno de los siguientes casos. Para ello te proporcionamos el...

Centro de operaciones con vectores en el espacio de tres dimensiones

Escalar K1 :

Borrar K1

Escalar K2 :

Borrar K2

Escalar K3 :

Borrar K3

Vector U1 : Vector U2 : Vector U3 : Vector U7 :


1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Practica con otras combinaciones lineales que desees seleccionando otros vectores.

Enviar

Cambios:

U7 --> U1

U7 --> U2

U7 --> U3

Operaciones:

U1 + U2 = U7

K1*U1+K2*U2+K3*U3=U7

los vectores y , el vector lo podemos poner como combinación lineal de losdos anteriores dos. Inténtalo a ver cómo lo harías.

Te proponemos ahora una actividad parecida a la anterior pero en el espacio de tres dimensiones . Dados los

vectores , y escribe el vector como combinación linealde los tres anteriores. Realiza los cálculos y asegúrate de los mismos utilizando la siguiente ventana.

Combinación lineal de vectores en el espaciovectorial de tres dimensiones. Escribe en la primeracolumna el primer vector, en la segunda el segundo yen la tercera el tercer vector. Escribe en la cuartacolumna el vector que desees poner como combinaciónlineal de los dos anteriores. Los valores A, B y C queaparecen al pulsar en resolver son la combinaciónlineal pedida


De esta forma sabemos que

Enviar

A= B= C=

Dados varios vectores , , ... de un espacio vectorial, decimos que son linealmente independientes sial resolver la ecuación:

donde es el vector nulo, tenemos como única solución

Tratemos de simplificar esta definición a través de algunos ejemplos

Dados los vectores y , comprueba si son linealmente independientes

Marca en cada uno de los apartados siguientes los que correspondan a vectores linealmente independientes:

, y

y

y

y

, y

, y

AV - Pregunta de Selección Múltiple

2.2¿Me puede decir dónde estoy?

Imagina la siguiente situación: Vas en el asiento de atrás de un coche que circula a una

velocidad y lanzas un papel hacia adelante a una velocidad . ¿A qué velocidad

observas que se mueve el papel?.... Evidentemente, a la velocidad .

Si una persona que está parada en la carretera observa toda la escena, dirá que el papel

va a una velocidad . Con este ejemplo parece claro que necesitamos unareferencia, una base respecto a la que calcular los vectores que manejamos. El sistemade referencia que utilizas cuando estás dentro del coche es distinto del sistema dereferencia que utiliza la persona que está parada en la carretera.

Podemos complicar un poco más la situación. Imagina que un astronauta que está en unsatélite que siempre se mantiene a la misma distancia de la Tierra observa ellanzamiento del papel. En este caso, este astronauta observa que la velocidad a la quese mueve el papel es la suma de las dos anteriores más la de rotación de la Tierra.

Si alguien estuviera en el Sol y observara el lanzamiento del papel, observaría que lavelocidad a la que se mueve es la suma de las tres anteriores más la de traslación de laTierra.

¿No te da vértigo pensar la velocidad a la que viajamos cuando estamos parados?

Así, para trabajar con vectores lo primero que debemos tener determinado es un sistemade referencia. En el caso del plano, ya conoces el sistema de referencia que apareceen la imagen de la derecha. En este sistema observamos dos vectores que vamos adestacar:

.- El primero es el que une el punto (0,0) con el punto (1,0): .

.- El segundo es el que une el punto (0,0) con el punto (0,1): .

Estos dos vectores son linealmente independientes y cualquier vector del plano lo vamosa poder poner como combinación lineal de estos dos. Por ejemplo, si consideramos el

vector tenemos que

Así decimos que los vectores y son una base de

En el caso de ya hemos trabajado con el sistema de referencia que aparece en laimagen de la izquierda. Ahí podemos ver representado el punto . en este

sistema de referencia observamos tres vectores que vamos a destacar:

.- El primero es el que une el punto (0,0,0) con el punto (1,0,0):

Hito topográfico de las tres fronteras. Imagen obtenida delbanco de imágenes del ITE

.

.- El segundo es el que une el punto (0,0,0) con el punto (0,1,0):

.

.- El tercero es el que une el punto (0,0,0) con el punto (0,0,1):

.

Estos tres vectores son linealmente independientes y cualquier vector del espacio lovamos a poder poner como combinación lineal de estos tres.

Por ejemplo, si consideramos el vector .Tenemos que

Así decimos que los vectores , y son una base de

A nivel de la Tierra también nos encontramos con problemas similares a los que vimosen el ejemplo del lanzamiento del papel en el coche, pero no te preocupes que ya hansido solucionados. El problema es encontrar un sistema de referencia para resolver losproblemas vectoriales que tengamos y poder tomar medidas reales. Así, en el espacio

no siempre vamos a poder encontrar una base tan sencilla como la anterior ya quevamos a tener que basarla en puntos que conozcamos. Un ejemplo claro de este caso lotenemos en los puntos de referencia que utilizan los topógrafos. Los hitos como el quepodemos observar en la imagen de la derecha. Con tres de estos hitos: A, B y C tenemos

una base vectorial formada por los tres vectores , y , pero lacombinación lineal no va a resultar tan fácil como la que hemos observado

anteriormente con el vector . A partir de este tipo de bases generan losdistintos mapas topográficos que después sirven para la realización de carreteras,explotaciones mineras, movimientos de tierras, etc. Estos mismos mapas son losutilizados por el ejército. En el Instituto Geográfico Nacional aparecen recopilados.

Otros sistemas de referencia son los que utilizan los GPS pero estos están basados encoordenadas establecidas desde satélites.

En un espacio vectorial, una base va a venir determinada por el mayor número de vectores linealmenteindependientes. Este número de vectores será la dimensión del espacio vectorial .

Así, en el espacio vectorial una base vendrá dada por dos vectores linealmente independientes ya que este

espacio es de dos dimensiones. Una base de ya la conocemos, es la compuesta por los vectores y

.

Comprueba que los vectores y forman una base de y escribe el vector comocombinación lineal de los dos primeros

En el espacio vectorial una base vendrá dada por vectores linealmente independientes ya que este

espacio es de dimensiones. Una base de ya la conocemos, es la compuesta por los vectores

, y .


Escribe una X en el que corresponda y una N en el que no corresponda

Los tres primeros vectores forman una base para el espacio .

Los tres primeros vectores no forman una base para el espacio

Y tenemos la combinación lineal (6,6,7)= + +

Enviar

Sistema Solar. Imagen obtenida del Banco de imágenes del ITE

¿Recuerdas a Darío? ¿Que siembre debía estar atento a los asteroidesy los movimientos que se producían en el Universo?. Pues para hacersu trabajo hoy, ha establecido una base del espacio vectorial para elSistema Solar basándose en las posiciones del Sol, Saturno y Urano,

obteniendo respectivamente los vectores (vector

Tierra-Sol), (Vector Tierra-Saturno)y (vector Tierra-Urano). Comprueba si son una base para el espacio detres dimensiones.

También sabe que el vector que determina la posición de Plutón(vector Tierra-plutón) es (6,6,7), pero quiere ponerlo comocombinación lineal de la base anterior:

Te aconsejamos que lo resuelvas en papel primero, y después puedescomprobar si está bien utilizando el calculador azul que utilizamos enel apartado anterior.


Para saber más sobre las bases en espacios vectoriales te proponemos la siguiente dirección sobre bases .

Para saber más

3.- Especial Selectividad

3.1 Ejercicios

¿Son , y una base de ?

Si son linealmente independientes, ¿forman los vectores , y una base de ?

Sean los vectores (1,0,0) y (1,1,0).

Probar que son linealmente independientes.

Encontrar un vector que sea combinación lineal de los anteriores y perpendicular a (1,0,0)

y

a)¿Para qué valores de m son linealmente dependientes?

b)Determinar en tal caso y de modo que

Demuestra que si es una base de entonces también es una base.

a) Determinar un valor de p para que los vectores , y sean linealmentedependientes.

b) Para el valor de obtenido, hallar una relación de dependencia lineal entre esos vectores.

Determina un vector de sabiendo que cumple las tres siguientes condiciones:

1.- La suma de sus tres coordenadas es 3.

2.- es combinación lineal de y

3.- Los vectores (1,0,1), (0,1,0) y son linealmente dependientes

mirando a nuestro alrededor encontramos matemáticas en

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