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MECÁNICA DE LOS FLUIDOS

IP-2012 Semejanza Página 1

TEMA NO. 4

SEMEJANZA

Análisis Dimensional

Significado Físico de los Parámetros Adimensionales más Comunes

Semejanza y Modelos



Análisis Dimensional

Introducción

Considérese un fluido de propiedades constantes ρ y μ, el cual fluye alrededor de una

esfera lisa de diámetro D, acercándose a la misma a una velocidad uniforme V∞.

Considerar solamente 10 valores de cada una de las variables independientes D, V∞, ρ y

μ significaría realizar 104 experimentos, cuyo procesamiento y análisis también exigiría

un gran esfuerzo.

= �(�, ��, �, �)

La fuerza de arrastre FD, a lo largo del flujo,

entre el fluido y la esfera viene dada por la

relación funcional



Análisis Dimensional (Cont.)

Introducción (Cont.)

El Análisis Adimensional de la mencionada relación funcional la transforma en

� = (��), donde � = �(�∞�/2)�� y �� = ��∞�/�⁄

Los parámetros CD y Re son adimensionales y se denominan Coeficiente de Arrastre y

Número de Reynolds, respectivamente. Por consiguiente, solo sería necesario un

número relativamente bajo de experimentos, que en todo caso se representarían en una

sola curva.

Airship hull: Casco de un dirigible

Disk normal to stream: Disco normal a la corriente

Ellipsoid: Elipsoide

Sphere: Esfera

Stokes’ law: Ley de Stokes




Introducción (Cont.)

∴ dos flujos diferentes, pero con Re1 = Re2, significaría CD1 = CD2 y dichos flujos se

calificarían de semejantes.

Si el material de la esfera posee rugosidad &, surge otro parámetro adimensional

dependiente &/D, denominado rugosidad relativa, i.e.

� = (��, &/�)




Teorema ππππ de Buckingham

Sean (i (i = 1, 2,.., n-1, n) n variables relacionadas por (1 = f((2, (3,.., (n-1, (n) y m el

número de dimensiones básicas incluidas en dichas n variables, entonces existen n – m

parámetros adimensionales π relacionados por π1 = f(π2, π3,.., πn-m).

Notas:

- el teorema está relacionado con el Principio de Homogeneidad Dimensional

- algunas veces m es menor que el número usual de variables básicas, i.e. 3.




Pasos en la Determinación de los Parámetros ππππ

1. Establecer la relación funcional dimensional e identificar las dimensiones de las

variables involucradas.

p.ej. = �(�, &, ��, �, �) → n = 6

Variable D є V∞ ρ μ FD Longitud [L] 1 1 1 -3 -1 1 Tiempo [T] 0 0 -1 0 -1 -2 Masa [M] 0 0 0 1 1 1

2. Seleccionar m variables repetitivas, las cuales deben incluir las dimensiones básicas,

pero no pueden formar un parámetro adimensional entre ellas.

p.ej. D, V∞ y ρ, las cuales son variables dependientes geométrica, cinemática y dinámica,

respectivamente.

→ m = 3 (rango de la matriz de la tabla)




Pasos en la Determinación de los Parámetros ππππ (Cont.)

3. Combinar las m variables repetitivas con cada una de las n – m variables restantes,

formando los parámetros adimensionales.

p.ej. 34 = �5��6�7& → 89:9;9 = 85(8<:=<)6(;<8=>)78

∴ surge un sistema de ecuaciones algebraicas lineales ? + A − 3C + 1 = 0

−A = 0

C = 0

Ya que la solución de este sistema es a = -1, b = 0 y c = 0, resulta entonces

34 = 4 ∶ rugosidad relativa





Alternativamente, los parámetros π pueden construirse por inspección:

La 2da. Ley de Newton permite generar un producto de las variables repetitivas con

dimensiones de fuerza,

3 = OPQ5 = OP

RS5 = OPRT(SU V)⁄ = OP

RTSU (W SU⁄ )⁄ = OPRSUX X = YZ[\]7][^_[ `[ abb5c_b[ YP

�

La Ley de la Viscosidad de Newton y la Ecuación de Bernoulli permiten generar un

producto de las variables repetitivas con dimensiones de viscosidad,

3d = �e (fg fh⁄ )⁄ = �

i (�� ⁄ )⁄ = �(��)� ��⁄ = �

�� = 1júl�mn f� ��ohnpfq ��





4. Establecer la relación funcional adimensional, considerando que elevar un parámetro

π a una potencia y/o multiplicarlo por un número u otro parámetro π no cambiaría su

carácter adimensional.

p.ej.

OP

RSUX X = r dRSU , 4

s ⇒ OPRuSUX �⁄ vX = r4

, RSUd s w. �. � = (��, & �⁄ )



Significado Físico de los Parámetros Adimensionales más Comunes

Número de Símbolo Definición

Euler Eu ∆i ��⁄

Reynolds Re ��ℓ �⁄

Froude Fr � (ℓz)</�⁄

Mach M � C⁄

Weber We ��ℓ {⁄

Strouhal St ℓ| �⁄

Variables Significados

ℓ y V longitud y velocidad características del flujo

ρ, μ y ϒ densidad, viscosidad y tensión superficial del fluido

c velocidad del sonido del fluido

g aceleración de gravedad

Ω velocidad angular, frecuencia o inverso del período

Δp diferencia de presión



Significado Físico de los Parámetros Adimensionales más Comunes (Cont.)

Los parámetros adimensionales representan ya sea relaciones geométricas (i.e. de

aspecto), cinemáticas o dinámicas.

p.ej.

�� = RSℓd = uRℓXSvS

d(S ℓ⁄ )ℓX ∼ �� SO��

∼ O��O��

∴ �� ↑ ⇒ �]c7Zc5c ↓

� = OPR(SX �⁄ )ℓX = OP

(RℓXS)S �⁄ ~ OPO��

En Flujo Compresible se demuestra que M↑ ⇒ Compresibilidad ↑



Semejanza y Modelos

Los ensayos en un flujo Modelo m pueden usarse para la predicción de un flujo

Prototipo p. Para ello es necesario establecer semejanzas de distinta naturaleza y

niveles. Obviamente, no puede existir semejanza plena entre dos flujos sin semejanza

geométrica: para todo par de longitudes o distancias homólogas ℓ�ℓ�

= C��.



Semejanza y Modelos (Cont.)

La semejanza de mayor envergadura es la dinámica: para todo par de puntos homólogos

y tipo de fuerza t (viscosa, gravitacional, etc.) se cumple

O�,�O�,�

= O�,�O�,�

= C��. ∴ rO�O�

s�

= rO�O�

s�

w. �. 3_,� = 3_,�


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Semejanza y Modelos

Pero O�,�O�,�

� C��.t �5�� 5��

� uR

∴ si el flujo es incompresible

�� C��.⁄ , y resultaría la semejanza cinemática

�� ⁄ .


Semejanza


uRℓTSX ℓ⁄ v� RℓTSX ℓ⁄ ��

� uRSXv�(RSX)�

= C��.

si el flujo es incompresible, entonces ocurre una especie de semejanza “másica”

semejanza cinemática: para todo par de puntos

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semejanza “másica”:

para todo par de puntos homólogos




En conclusión, la existencia de semejanza dinámica significa semejanza tanto

geométrica, como cinemática y “másica”, concurrentemente.

Algebraicamente, esto se traduce en: si los parámetros π independientes de los flujos

modelo m y prototipo p son iguales entre sí, el parámetro π dependiente también lo es,

i.e.

3],� = 3],�, w = 2, 3, . . , h − l ⇒ 3<,� = 3<,�

p. ej.

r4s

�= r4

s�

o (��)� = (��)� ⇒ (�)� = (�)�

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