métodos fundamentales de calculo integral

Universidad de El Salvador. 21/04/2007

Facultad de Ciencias Económicas Escuela de Economía, Matemáticas III Elaborado por: Carlos Ademir Pérez Alas, Aux. de Cátedra de la Escuela de Economía

Métodos fundamentales de Cálculo Integral

Para estudiantes de Ciencias Económicas.ℵ

E

i

e

S

c

m

i

L

p

b

A

c

ℵ

e

“HAY DÍAS en que me levanto con una esperanza demencial, momentos en los que siento que las

posibilidades de una vida más humana están al alcance de nuestras manos…Les pido que nos detengamos a

pensar en la grandeza a la que todavía podemos aspirar si nos atrevemos a valorar la vida de otra manera”.

Ernesto Sabato, “La Resistencia” Edit. Seix Barral (2000)

Introducción.

n estas páginas se abordan algunos conceptos sobre la algoritmia para el cálculo de

ntegrales, se comienza con una breve introducción a las integrales inmediatas, y se discierne

ntre una solución general de una integral y sus soluciones particulares.

e presentan cada uno de los métodos, en la medida de lo posible, con la fundamentación de

ómo se dedujeron, se incluye teoría y ejercicios desarrollados por cada uno de los tres

étodos que se presentan: Integración por cambio de variable, Integración por partes e

ntegración por descomposición en fracciones parciales.

a cualidad de este material radica en la presentación del método de desarrollo en fracciones

arciales de Heavisiade, método que contribuye a realizar de una forma más rápida la

úsqueda de las constantes indeterminadas en las fracciones parciales.

l final se incluye una guía de ejercicios para que el estudiante se prepare en la algoritmia del

alculo de integrales indefinidos, y le sirva de base para evaluar integrales definidos.

Se usa el término “Estudiante de Ciencias Económicas” para incluir a todos los estudiantes de distintas carreras que cursan matemáticas n esta facultad.


Facultad de Ciencias Económicas Escuela de Economía, Matemáticas III Elaborado por: Carlos Ademir Pérez Alas, Aux. de Cátedra de la Escuela de Economía

Índice.

1. Definición y formulas básicas del Cálculo Integral. ........................................................................ 1

1.1. El Cálculo Integral ............................................................................................................... 1

1.2. Reglas (fórmulas) básicas de integración........................................................................... 2

1.2.1 Propiedades de operación de las integrales. ................................................................... 3

1.2.2 Reglas para el cálculo de integrales inmediatas. ........................................................... 3

I-Regla de la potencia:............................................................................................................ 3

II- Regla de la función logarítmica. ...................................................................................... 4

III-Regla de función exponencial.......................................................................................... 5

2- Métodos de Integración. ................................................................................................................ 6

2.1. Integración por Cambio de Variable .................................................................................. 6

2.2. Integración por Partes. ...................................................................................................... 12

2.3. Integración por Descomposición en Fracciones Parciales............................................... 20

Caso I: Factores lineales distintos....................................................................................... 21

Caso II: Factores lineales repetidos (iguales). .................................................................... 24

Caso III: Factores cuadráticos distintos. ............................................................................ 28

Caso IV: Factores cuadráticos repetidos (iguales). ............................................................ 33

Guía de ejercicios:........................................................................................................................... 35

Bibliografía. ................................................................................................................................... 37


Facultad de Ciencias Económicas Escuela de Economía, Matemáticas III Elaborado por: Carlos Ademir Pérez Alas, Aux. de Cátedra de la Escuela de Economía Página 1 de 39

1. Definición y formulas básicas del Cálculo Integral.

1.1. El Cálculo Integral

En matemáticas existe siempre una operación opuesta ó más rigurosamente una “operación

inversa”1, en el caso de la derivación, es decir la tasa de cambio instantánea en términos de

economía la función marginal, su función inversa no es mas que el proceso de integración, es

decir dada la función marginal encontrar la función total, ósea la función que al derivarla se

obtenga la misma función marginal dada; pero esto plantea un problema sencillo que se

ilustra a continuación:

1 Por ejemplo para la suma su operación inversa es la resta, para la multiplicación la división, para la potenciación los logaritmos, etc.



Si buscamos una función de costo total, cuya función de costo marginal (CM), XCM 2= , en

donde “X” es el volumen de producción, la función de costo total (CT) que la originó puede

haber sido , porque al derivarla da como resultado , pero también la

función , tiene como función de costo marginal , así también ,

donde K es una constante positiva, tiene la misma función de costo marginal . El

problema es que no se puede asignar una solución única al problema de hallar la función de

CT, ya que se necesita información adicional para calcular el valor de la constante K, pero en

general diremos que la función de Costo Marginal tiene una familia

2XCT = X2

22 += XCT X2 KXCT += 2

X2

2 de funciones de CT, el

nombre suena un romántico pero es exactamente eso muchas funciones de CT (padres)

tienen la misma función de CM.

Ahora para resolver el problema anterior, supongamos que la empresa tiene unos costos

totales de $1000 al producir 25 unidades de “X”, entonces decimos que existe una condición

inicial para la identificar la función de CT que buscamos, por lo que al sustituir en la

“Familia” la Condición inicial tenemos que: , y despejamos para K, y

obtenemos (en pasos para que se vean las operaciones):

K+= 2)25(1000

a) K+= 6251000

b) 1000-625=K

c) 375=K

Entonces, dado que el cuando se producen unidades de “X”, la función de

Costo Total buscada es

1000=CT 25

3752 += XCT , la cual coloquialmente se puede denominar, función

hija de la familiar ó más rigurosamente solución particular del problema.

Se ha visto una introducción un poco informal al cálculo integral, y una de sus aplicaciones

en economía. A continuación se presentan técnicas más formales para evaluar una integral.

1.2. Reglas (fórmulas) básicas de integración

2 Más rigurosamente se habla de la solución general del problema integral.



La mayoría de las reglas básicas se obtienen a través de su regla análoga de diferenciación,

quí se postularan sin demostración, ya que no es el objetivo del curso. El símbolo3a ∫ indica

an

.

P2. Suma y/o resta de funciones

la operación de integración y el diferencial dx indica la variable con respecto a la cual se

llevará el proceso integración, la forma general del proceso de integración se pl tea así:

∫ dxxf )( el cual se puede leerse de forma loquial de la siguiente manera: “integrar la

función f(x) con respecto a x”.

1.2.1 Propiedades de operación de las integrales

co

P1. Producto de la constante por una función

∫∫ ⋅=⋅ dxxfcdxxfc )()(

( ) ∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

1.2 eg a.2 R las para el cálculo de integrales inmediat s.

I-Regla de la potencia4:

Cnxdxxn

n ++

=+

∫ 1

1

Ejemplo: retomando la función de costo marginal, XCM 2=

la propie d P1 y la regla I se tiene:

Función de CT es entonces: ∫= XCT 2 , aplicando da

3 El símbolo proviene de la palabra summa, como verá en el curso un integral es el resultado de sumar los infinitos f(x)dx, dando origen al concepto de área bajo una curva. 4 Por tradición matemática la constante de integración se representa por la letra C, (abreviatura de constante), pero puede escribirse también

K, en algunas ocasiones solo aparece , lo cual indica la integral de 1, en ese caso es conveniente recordar que 1=X∫dx 0, por lo tanto, usando

la regla I, se tiene que: cxdx +=∫



∫ xdx2 ⇒

d P1) ⇒∫ dxx2 (propieda

⇒+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

Cx11

211

(Regla I, con n=1)

⇒+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛/

/ Cx2

22

CxCT += 2 , como se obtuvo con anterioridad.

cer si ?, porque en este caso el denominador de la regla I se vuelve cero, y la

¿Qué ha 1−=n

división por cero no esta definida. En este caso se tiene que hacer uso de la siguiente regla.

II- Regla de la función logarítmica5.

∫ += Cxdxx

)ln(1

En general se tiene que:

∫ += Cxfdxxfxf ))(ln()()('

Ejemplo: Evaluar

∫ + dxx

x 23 4

Solución:

∫ ∫ ⇒+ dxx

dxx 123 4 Usando las propiedades P1 y P2

⇒++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

Cxx )ln(214

314

6

Rigurosamente debería colocarse ln5 x +C, pero si se asume que el dominio de x son los reales positivos, se puede colocar de la forma

una constante ya que la suma de dos constantes es otra constante. presentada. 6 Se pone solo



Cxx++ )ln(2

53 5

II-Regla de función exponencial.

ponencial ( se le denomina la función Áurea7, debido a

ue es su propia derivada y su propia integral, propiedad que sólo esta función posee. Por lo

I

xe )Muy coloquialmente la función ex

q

tanto la regla III se enuncia así:

∫ += Cedxe xx

La cual no necesita mucha demostración, pero no esta de más un ejemplo:

Evaluar

Solución:

Usando P1, se tiene:

e iene:

∫ dxex5

∫ dxex5

Usando la regla III s t Cex +5

no es número e, por lo que de la regla III se obtiene la regla

IIa:

En muchas ocasiones la base el

I

∫ += Caaxdxaxln

Ejemplo: Evaluar

Solución:

egla IIIa se tiene:

∫ dxx3

Usando la r Cx

+3ln

3

Y en general la regla de la función exponencial puede expresarse así:

7 También conocida como la divina función: la que era, la que es y la que será, se usa la letra e en honor a Leonar Euler, he de ahí que algunos lo conocen como el número de Euler.



Cedxexf xfxf +=′∫ )()()(

La cual junto a la representación general de la regla del logaritmo expuesta con anterioridad,

ervirá en el siguiente epígrafe y a largo del curso. Exhortamos al lector a memorizar muy

tegración.

io de Variable8

premisa de que el integrando es la derivada de una

unción compuesta9, es decir el resultado de haber utilizado la regla de la cadena, por lo que se

El método se aplica usando los siguientes pasos:

será g(x), etiquetándolo como u=g(x), de

preferencia “u” debe ser la parte del integrando que se encuentre dentro de una

2) able la integral, es decir pasarla en términos de u,

haciendo el cambio de diferencial así:

s

bien las reglas ya presentadas.

2- Métodos de In

2.1. Integración por Camb

Este método de integración se basa en la

f

tiene que:

∫ +=′′ CxgFdxxgFxg ))(())(()(

1) Se elige la parte del integrando que

función como un radical, ó un exponente, aunque esta es sólo una sugerencia y no

debe aplicarse mecánicamente.

Se procede a cambiar de vari

⇒′=⇒= )()( xgdxduxgu dx

xgdu =′ )(

8 También conocido por integración por sustitución. 9 Larson, Roland, Robert P. Hosteler , “Cálculo y Geometría Analítica”, Edit. Mc Graw Hill, 3ra. Edición Pág. 279.



3) uego se evalúa la integral en términos de u, utilizando de ser posible las reglas básicas

de integración, u otro método de integración de los presentados más adelante en este

4) s de efectuada la integración, se procede a expresar la respuesta en términos de

la variable original, es decir “sustituir” u=g(x).

Ejemp

L

texto.

Despué

los: Evaluar las siguientes integrales.

( ) dxxx

4)∫ +62 34

1) ( )∫ +−+− dx

xxx

11

2) ( ) dx∫ 5) xx − 34

32 27 ( ) dxxx∫ −+ 21

3) ∫ − dxxx 12

Solución:

1) Sea I= ( ) dxxx

∫ +62 34

Eligiendo , se tiene que: 34 2 += xu dxxdux

dxdu

=⇒=8

8 , y expresando la integral en términos

ene: de “u” se ti I= ∫ ⇒/xu6 88 ∫ −/ duudux 61

Luego se procede a evaluar la integral usando reglas básicas:

CuCu

duuI

+−⇒+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⇒=

−+−

−∫

401681

8

1

516

6



Finalmente se ordena y se expresa la respuesta en términos de “x” sustituyendo

se tiene entonces:

I=

64 2 += xu ,

( )⇒+

+−

−

Cx40

34 52

R/ ( )C

xI +

+−= 52 3440

1

2) Sea I= ( ) dxxx∫ −2 27 34

3

Eligiendo e tiene que:327 xu −= dxxdux =⇒− 2

26, sdxdu

−=

6, y expresando la integral en

“u” se tiene: I= ∫ ∫−⇒/−

/ duuxduux 3

4

234

2

61

6 términos de

Luego se p aluar la integral urocede a ev sando reglas básicas:

CuCuCu

duuI

+−⇒+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⇒+

⎟⎠

⎜⎝

+13

⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛

−

⇒−=

+

∫

3/73/7

134

34

141

73

61

461

61

Finalmente se expresa la respuesta en términos de “x” sustituyendo , se tiene

entonces:

R/

327 xu −=

( ) CxI +−−=3/7327

141

∫ − dxxx 12 3) Sea I=

Eligiendo 12 −= xu se tiene que: dxdudxdu

=⇒=2

2 , y expresando la integral en términos de

“u” se tiene: ∫=duuxI 2

o la “x” no elimina entonces de la misma relación Pero com se 12 −= xu , se despeja “x” para

obtener 2

1+=ux , por lo que la integral queda:



( )∫∫ +⇒+

=duuuI22

1

siguiente transformación algebraica en el integrando, se tiene:

duuu 2/1141

Aplicando la

( ) ⇒+=+ + 2/112/12/11 uuuu 2/12/3 uu +

Colocand esultado en la integral se tieneo este r :

∫ += duuuI 2/12/3

41

Aplicando reglas básicas se tiene:

[ ] CuuCuuduuduuI +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

⇒+=++

∫ ∫ 2/32/512/112/3

2/12/3

32

52

41

12/112/341

41

en términos de “x” sustituyendo

12 −= xu , Finalmente se simplifica y se expresa la respuesta

se tiene entonces:

( ) ( ) CxxI =R/ +−+− 2/32/5 126112

101

4) Sea I=( )∫ +−+

− dxxx

x11

n este ejemplo no se aplica mecánicamente la elección de “u”, pero como aparece 2

nador, se Elige

1+xE

1+= xu , y se tiene que: dxdudxdu

veces en el denomi =⇒=1 , y expresando la

integral en términos de “u” se tiene: I= duuux

∫ −−

Pero como la “x” no se elimina entonces de la misma relación 1+= xu , se despeja “x” para

I=

obtener xu =−1 , por lo que la integral queda:

( )duuu

u∫ −

−−

1



Aplicando la siguiente transformación algebraica en el integrando, se tiene:

Aplicando l isión de polinomios: a div

( )1

1

11

2/1

2/1

2/1

2/1

−+/−

−−/⇒

−−

uuu

uuu

uuu

Recuerde el lector que toda división puede colocarse así: Cociente más (Residuo sobre

Divisor) es decir (Cte+Re/Div)

Entonces se tiene: ( )

2/1

2/1

2/1111

uuu

uuu

−−

+=−−

,

Y sacando factor común en el denominador se tiene: 2/1u

( )( )

2/12/11

2/1

2/1

2/1

1111111 −+⇒+⇒−

+⇒−

−+ u

uuu

uuu

Colocando este resultado en la integral se tiene:

2/12/ 1−u

∫ −+−= duuI 2/11


[ ] CuuCuuduuduI ++−⇒+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+−⇒+−=+−

−∫∫ 2/112/1

2/1 212/1

Finalmente se simplifica y se expresa la respuesta en términos de “x” sustituyendo 1+= xu ,

se tiene entonces10:

R/( ) ⇒++−+= CxxI )1(12 2/1 CxxI +−+= 12

10 Al desarrollar queda: ( ) CxxI ++−+= )1(12 2/1 ( ) CxxI +−−+= 112 2/1

, pero -1+C es una constante (simplemente C), esta propiedad “absorbente de la constante” simplifica la respuesta al resultado planteado



5) Sea I= ( ) dxxx∫ −+ 21

En este ejemplo no se aplica mecánicamente la elección de “u”, pero como aparece

dentro de un radical , se elige entonces

x−2

xu −= 2 , y se tiene que: dxdudxdu

=−⇒−= 1 , y

expresando la integral en términos de “u” se tiene:

( ) ( )∫ −+= duuxI 1

Pero como la “x” n es do se elimina entonc e la misma relación xu −= 2 , se despeja “x” para

btener , por lo que la integral queda: ux −= 2o

( )∫ +−−= duuuI 12

plicando la siguiente transformación se obtiene: A

( ) ⇒−=−⇒+− +12/1 2/32/13 uu − 2/12/1 3)3(12 uuuuuu

Sustituyendo este resultado en la integral se tiene:

∫ −−= duuuI 2/32/13


[ ] CuuCuuduuduuI ++−⇒+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎝⎜⎛

+−⇒−−=

++

∫ ∫ 2/52/312/312/1

2/32/1

522

12/312/133

Finalmente se simplifica y se expresa la respuesta en términos de “x” sustituyendo

xu −= 2 ,

se tiene entonces:

R/ ( ) ( ) CxxI +−+−−= 2/52/3 25222



2.2. Integración por Partes.

Hasta el momento con el método de integración por cambio de variable solo se han atacado

aic se presenta el mét

are e el p oduct ó el cociente de la

exponenciales y lo rítmicas para el caso de este

curso) con funciones algebraicas.

El método se basa en la regla de la derivada de un producto, la cual se ilustra a continuación:

algunas integrales, en su mayoría del tipo algebr as, en este epígrafe odo

de integración por partes, el cual se usa cuando ap c r o

combinación de funciones trascendentales ( ga

( )dxdvuv

dxduvu

dxd

+=⋅

Si se multiplica por dx queda entonces:

( ) dvuduvvud ⋅+⋅=⋅

i se integran ambos miembros se tiene11: S

( ) ∫∫ ⋅=⋅/ duvvud ∫ ⋅+ dvu

or lo que queda: P

∫∫ ⋅+⋅=⋅ dvuduvvu

l despejar queda: ∫ ⋅dvuY a

∫∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu

a cual es la fórmula de integración por partes.

L

11 recuerde que la integración es el proceso inverso de la derivación



A continuación se presentan los pasos para la utilización del método:

1) En primer lugar debe seleccionarse que parte del integrando se ha de tomar como “u”

“u”, en donde

y cual como “dv”, para ello los matemáticos han ideado una técnica nemotécnica que

se basa en las siglas del tipo de funciones que pueden tomarse como “u”, en este caso

se debe respetar la jerarquía, más no seguirla ciegamente, estas siglas son “ILATE12”

que proviene de Inversa, Logarítmica, Algebraica, Trigonométrica ó Exponencial, y en

ese orden deberá escogerse )(xgu = .

.

3) Calcular “du” así: , y calcular “v” así:

2) Una vez elegido “u” lo que “sobra en la integral” será entonces “dv”, incluyendo al dx

dxxgdu )(′= ∫= dx integral del restov

4) Introducir todos los datos en la fórmula de la integración por partes:

5) Resolver la sub integral que queda en la fórmula, esto se puede hacer por medio de

reglas inmediatas, o podría requerir usar un método de integración (por sustitución, de

rtes, u otro método).

luar la tes integrales.

1) 4

∫∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu

nuevo por pa

Ejemplos: Eva s siguien

dxex x∫ ) ( )∫ +

dxxxex

21

2) 5( )dttt∫ +1ln ) ∫ ++ dxxx 1)3(

3) 6∫ dxex x2 ) ∫ dxx)ln(

12 En este curso no se utilizarán ni funciones inversas ni trigonométricas, por lo que las siglas se reducen a “LAE”, es decir logarítmica, algebraica ó exponencial.



Solución:

dxex x∫ 1) Sea I=

Usa ond la palabra “LAE” se observa que la elección de “u” es: xu = , ya que es una función

xalgebraica. Entonces “dv” será lo que “sobra”: =

Luego se procede a calcular “du” y “v” así:

dxedv

( )

∫ =⇒=

=⇒=xev

dxdudxdu 1

Coloca

fines andragógicos y pedagógicos, no son necesarias las flechas):

xdxev

ndo esta información en la fórmula, se tiene (Véase la analogía, esto es tan solo para

∫∫ ⋅u ⋅−⋅= duvvudv

dxdu =

∫−= dxexeI xx

xu =

Eva uando la sub integral se tiene:

Que ya es respuesta, pero para que se vea mejor sacamos factor común y nos queda:

R/

xev =

l

CexeI xx +−=

xe

( ) CxeI x +−= 1

2) Sea I=

Usando la palabra “LAE” se obs

( )dttt∫ +1ln

erva que la elección de “u” es: ( )1ln += tu

función algebr

aica, esto se aprecia

, ya que es una

función logarítmica, nótese que este caso a pesar de existir una aica se elige la

función logarítmica porque tiene preeminencia sobre la algebr en la

palabra “LAE”. Entonces “dv” será lo que “sobra”: tdtdv =




2

11

1)1(

2t

vtdtv

dtt

dudtt

du

=⇒=

+=⇒

+=

∫olocando esta información en la fórmula, se tiene: C

( ) ∫ +⋅−+ dtt

t1

12

12

2

Solo queda por evaluar la sub integral

= ttI ln2

∫ +⋅= dtt

tI1

12

2

1

Aplicando una transformación algebraica en el integrando se obtiene:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

⋅12

11

12

22

tt

tt

Aplicando la división de polinomios:

1

11

1

1 /−⇒+ tt

2

2

2−

+/

−/−+/

t

t

tttt

t

Recuerde el lector que toda división pue arse así: Cociente más (Residuo sobre

ivisor) es decir (Cte+Re/Div)

Entonces se tiene:

de coloc

D

12t1

11 +

+−=+ t

tt

,

o este resul do en la sub- integral se tiene:

Colocand ta

∫ −+−= dtt

tI1

121 , la cual al evaluarla por medio de reglas básica

11s se llega a:

( ) ( )1ln21

241ln

221 22

1 ++−⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= ttttttI

Finalmente se sustituye esta respuesta en la integral original y se tiene:



( ) ( ) Ctttt ⎜⎛ 22

tI +⎟⎟⎠

⎞⎜⎝

++−−+= 1ln21

241ln

2

La cual ya es respuesta, pero para que se vea mejor sacamos factor común ( )1ln +t y

R/

simplificamos, por lo que se tiene:

( ) CttttI +⎟⎟⎠⎠⎝

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎛ −

=4

21ln2

1 22

3) Sea I=

Usando la palabra E” se observa que la elección de “u” es: , ya que es una función

lgebraica. Entonces “dv” será lo que “sobra”:


∫ dxex x2

2xu = “LA

dxedv x= a

( )

∫ =⇒=

=⇒=xx evdxev

xdxdudxxdu 22

Colocando esta información en la fórmula, se tiene:

Solo queda por evaluar la sub integral

( )∫−= dxxeexI xx 22

( ) ∫∫ ⇒= dxxedxxeI xx 221 , la cual también necesita

integración por partes, del ejemplo 1 de esta sección se tiene que ( )1−=∫ xedxex xx , por lo que

se remite al lector a lo que revise , luego se coloca este resultado en la integral original:

13

( ) CxeexI xx +−−= 122

13 Ver página 14 de este documento.



La cual ya es respuesta, pero para que se vea mejor sacamos factor común y simplificamos,

or lo que se tiene:

xe

p

R/ ( ) CxxeI = x ++− 222

4) Sea ( )∫ +

= dxxxeI

x

21

caso la palabra “LAE” no proporciona una elección inmediata de “u”, pero el

numerador posee una combinación de función algebraica con función exponencial, es decir

“AE” entonces se elige la cual, como se verá en el desarrollo de este problema,

permitirá integrar la función. Es por ello que se recomienda tener cuidado al usar el indicador

e la palabra “LAE”. Entonces

En este

xxeu = ,

( )dx

xdv 21

1+

= d


( )[ ] ( )

( ) ( )∫ +−=⇒

+=

+=⇒+=

11

11

11

2 xvdx

xv

dxxedudxxeedu xxx


( ) ( ) ( )+xx 1∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−= dxexx

xeI x

11

11

Simplificando se tiene:

( ) ∫++xxex

1−= dxeI x

valuando la sub integral se obtiene:

( ) CexxeI x

x

+++

−=1

E



La cual ya es respuesta, pero para que vea mejor simplificamos, uniendo las fracciones, así14:

( )( )( ) ( ) CxeexeCxexeC

xxeeI

xxxxxxx

+−+

⇒+−+

⇒++

−=1

11

xx ++ 11

Por lo la respuesta queda:

R/ ( ) CxeIx

++

=1

5) Sea ∫ ++= dxxxI 1)3(

En este caso como ambas son funciones algebraicas, esta integral puede resolverse a través del

método de sustitución, pe e reducirse el tiempo de computo, si se utiliza la integración

por partes, en este caso “u” será la función algebraica más simple, 3+= xu , por lo tanto

ro pued

dxxdv 1+=

uego se procede a calcular “du” y “v” así: L

( )

( ) ( )∫ +=⇒+=

=⇒= 1du2/32/1 1

321 xvdxxv

dxdudx

olocando esta información en la fórmula, se tiene: C

( ) ( ) ( )∫ +⎥⎦⎢⎣dxx 2/31

32

3

sub integral se tiene:

−⎤⎡ ++= xxI 2/3123

Al simplificar y evaluar la

( )( ) ( ) CxxxI +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

++= 2/5

2/3

152

32

3132

14 Recuerde que:

bcbcad

dc

ba ±

=±



La cual ya es respuesta, pero solo falta multiplicar las constantes en la sub integral y se tiene15:

R/( )( ) ( ) CxxxI ++−

++= 2/5

2/3

1154

3132

6) Sea

Por la palabra “LAE” se elige

∫= dxxI )ln(

( )xu = ln , por lo que dxdv =

e procede a calcula sí: Luego s r “du” y “v” a

∫ =⇒=

⎠⎝

xvdxv

xx

=⇒⎟⎞

⎜⎛=

dxdudxdu 1


( ) ∫−= xxxI lnxdx

Al simplificar y evaluar la sub integral se tiene:

( ) CxxxI +−= ln

Que ya es respuesta, pero para que se vea mejor sacamos factor común “x”, así:

R/ ( )( ) CxxI +−= 1ln

ficar más hasta obtener( ) ( ) CxxI +

++=

1513312 2/3

, se invita al lector a que lo compruebe. 15 Se puede simpli



2.3. Integración por Descomposición en Fracciones Parciales.

todo se apli a integrales que involucren el cociente de dos polinomios: )()()(xqxpxf = , Este mé ca

donde es de grado “m” y de grado “n”, si m¥n entonces se dice que el cociente es

a división de

( )xp ( )xq( )xp ( )xq y impropio y debe realizarse primero l , para poder utilizar el método.

que todo cociente de polinomios se puede

expresar como la suma de fracciones simples que involucran a los factores del denominador

de la función. En general el método lo que hace es ofrecer una transformación algebraica del

integrando para poder expresarlo de una manera en la que se apliquen las reglas de

tegración inmediatas, ó a lo sumo integración por cambio de variable en las fracciones

Pueden presentarse cuatro casos generales, los cuales en la práctica se combinan de acuerdo a

la naturaleza del integral que se esta evaluando. En general muchos libros de texto para

conómicas ofrecen métodos algebraicos para encontrar las constantes

mente validos, pero son

engorrosos, es por ello que se presenta en este texto el Método de Desarrollo de Fracciones

Parciales de Heavisiade, coloquialmente denominado en el mundo de las matemáticas como

l método de cubrimiento. Este método se aplica en todos los casos pero sólo se tratará su

es cuadráticos

se necesita, obligadamente, del uso de números complejos, por lo que para los casos III y IV

se presentará el método algeb co para resolver factores cuadráticos.

Este método se fundamenta en la premisa de

in

resultantes.

ciencias e

indeterminadas de las fracciones parciales, dichos métodos son total

e

aplicación en los casos de los factores lineales, casos I y II, ya que con los factor

rai



Caso I: Factores lineales distintos.

En este caso el denominador posee “n” factores lineales distintos, por lo que el cociente )(xq

original se puede representar por:

( )( ) ( )( )( ) ( ) nn

n

nn bbxA

b ++=

L 332211

1

332211

xaA

bxaA

bxaA

axabxabxabxaxp

xqxpxf ++

++

++

++++== L32)()(

Entonces las constantes se encuentran por la siguiente expresión:

( )( )i

iabxiii −=

xfbxaA += )(

Ejemplo: Evaluar las siguientes integrales

1) dxx∫

+22

123

2

2) xxx −−+

dxx∫ xx +

+52

2

1) Sea

Solución:

221)( 23 −−+

+=

xxf

Del cual se obtiene que ( ) , el cual se puede factorizar en

2

xxx

22 23 −−+= xxxxq 16

( ) ( )( )( )211 +−+= xxxxq , Por lo que se tiene que hay 3 factores lineales distintos, entonces la

función original puede representarse así:

( )( )( ) 2112111

221)( 321

2

23

2

++

−+

+=

+−++

=−−+

+=

xA

xA

xA

xxxx

xxxxxf

Es decir una constante indeterminada por cada factor lineal distinto.

16 Se ha utilizado división sintética.



s constantes usando la fórmula:

Para A se tiene:

Luego se obtienen la

1

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( )1

22

211111

2111

1

2

1

2

11

−=∴

−=

+−−−+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+⇒+=

−=−=

A

xxxxfxA

xx

Para 2A se tiene:

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( )3/1

62

211111

2111

2

2

1

2

12

=∴

=+++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+⇒−=

=−=

A

xxxxfxA

xx

Para 3A se tiene:

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( )3/5

35

12121212

3 112

3

2

22

=

=−−+−

+−

⎠⎝ −+⇒+=

−=−=

A

xxxfx

xx

anto:

=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ +xA

∴

Por lo t

( )( )( ) 21122)( 23 +

+−+

=−−+

=xxxxxx

xf

en la integral y se tiene:

3/53/11

121

11 22

++−

=+−

++xxx

xx

Finalmente se sustituye

dxxxx

x∫ −−+

+22

123

2

= dxxxx∫ +

+−

++−

23/5

13/1

11

= ( ) ( ) ( ) Cxxx +++−++− 2ln351ln

311ln R/



2) Sea xx

xxf 2)( += , En este caso xxxq 5)( 2 += , que puede factoriza ( )5)( += xxxq

52 +r en

Por lo que se tiene que hay 2 factores lineales distintos, entonces la función original puede

representarse así:

( ) 552

52)( 21

2 ++=

++

=++

=xA

xA

xxx

xxxxf

Es decir una constante indeterminada por cada factor lineal distinto.

Para se tiene: 1A

( )( ) ( ) ( )5/2

52

5020

52

1

001

=∴

=++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

A

xxxf

x

Para se tiene:

⇒==

xAx

2A

( ) ( )( ) ( ) ( )5/3=∴A

53

52525

2

552 −

−=

−+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⇒+=

−=−= x

xxfxx

x

Por lo tanto:

A

( ) 555)( 2 +

+=+

=+

=xxxxxx

xf 5/35/222 ++ xx

Finalmente se sustituye en la integral y se tiene:

dxxx

x∫ +

+52

2 = dxxx∫ +

+55/35/2

= ( ) ( ) Cxx +++ 5ln53ln

52

R/



Recurso de aprendizaje:

En lugar de aprender la fórmula, observe que en cada caso para hallar la constante que

orresponde a un factor lineal simplemente se “quita” ó se “cubre” de la función original el

emos el ejemplo 1, en este caso solo se plantea el calculo de , Se tenia que

c

ese factor lineal y el resultado se evalúa en el punto donde se hace cero el factor lineal. Para

ilustrar esto retom 1A

( )( )( ) 2112111)( 321

2

++

−+

+=

+−++

=xA

xA

xA

xxxxxf , El Factor lineal asociado a , es 1A 1+x , es

ecir que se hace cero en17 , si “quitamos” ese factor queda: ) 1−=x ( )( 2112

+−+xx

xd y al sustituir

Caso II: Factores lineales repetidos (iguales).

En este caso el denominador posee “n” factores lineales iguales, por lo que el cociente

al epresentar por:

1−=x , se tiene que 1 , como se dedujo con anterioridad. 1 −=A

)(xq

origin se puede r

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

nn bax

Abax

Abax

Abax

Abaxxp

xqxpxf

+++

++

++

+=

+== L3

32

21)()(

ntes se encuentran por la siguiente expresión18:

Entonces las consta

( ) ( )( )i

iabx

niiini fbxa

dxinA − +

−= (

!

in

xd

−=

−

)1

17

18 Cuando n=i queda la expresión de derivada así

101 −=⇒=+ xx

0

0

dxd

, lo cual indica que la expresión no se deriva, además

recuerde que el factorial de cero es uno (0!=1)



Ejemplo: Evaluar las siguientes integrales

1) ( )∫ +x 31 ( )( )

++ dxxx 2 1 2) ∫ +− xx 211

Solución:

dxx

1) Sea ( )32 1++

=xxxf1

)(+x

, por lo tanto ( )3

( )

1)( += xxq y “n” vale 3, por que habrá 3 factores de

, así: ( )1+x

31+x

2 1)( ++=

xxxf =( ) ( )32 11 ++ xx

321

1++

+A

xAA

Para A se tiene que19:

1

( ) ( ) ( )1

2!2!13

1

12131

=

211111 22

1

213

∴

⋅⇒++⇒++=−=

−

xxdxxdAx

Para se tiene que20:

−−=

−

A

dxdx x

2A

( ) ( )( ) ( )

1

112!1!23

2

11

23

−=

1111 22232

∴

+−− −=−=

−

A

dxdx xx

⇒++⇒++= − xxdxxdA

( ) ( ) 212122

2

=+=++ xdxdxx

dxd

19

12)1( 2 +=++ xxxdxd

20



Para 3A se tiene que21:

(( ) ) ( ) ( ) ( )

1

1111!0

11!33

1 2

1

2

1333

=

233

3∴

+−+−⇒++⇒++−

=−=−=

−

A

xxxdxd

xx

anto

−

xA

Por lo t

( )32

11)(

+++

=xxx

( ) ( )32 11

11

11

++

+−

++ xxx

xf =

Finalmente se sustituye en la integral y se tiene22:

( )+++ dx

xxx

3

2

11

=( ) ( )

dxxxx∫ +

++−

++ 32 1

111

11

= ( )( )

Cxx

x ++

−+

++ 2121

111ln∫ R/

2) Sea ( )( )( )211 +−

=xxxxf , en este caso se complica, muy levemente, la situación ya que

posee 1 factor lineal distinto (ósea el caso I) y dos factores lineales

istintos (Caso II), entonces se plantea de la siguiente forma:

( ) ( )( )211 +−= xxxq

d

( )( )( )211 +−

=xx ( ) ( ) ( )2

211

111 ++

++

− xB

xB

xA

xxf =

Donde es la constante indeterminada para el factor lineal distinto, y son las

constantes arbitrarias de los factores lineales repetidos.

1A 1B , 2B

21 0

0

dxd

indica que no se deriva la función.

22 Se han utilizado integrales inmediatas y el método de sustitución.



Para se tiene: 1A

( )( )( ) ( )

41

111

1)(1

1

21

211

=∴

+=

+=−=

==

A

xxxfxA

xx

ne23: Para B se tie1

((( ) ) ( ))( )

411

111

1!111

!121

211

212

12

1

−=∴

−−−

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⇒+

−=

−=−=−

−

B

xx

dxdxfx

dxdB

xx

Para se tiene: 2B

( ) ( ) ( )( ) ( )

21

111

1!011

!221

2

222

22

2

=∴

11 −−⎠⎝ − −=−=x xx

Por lo tanto:

−⇒⎟

⎞⎜⎛⇒+

−= −

−

B

xxfxdxdB

( )( )( )211 +−

=xxxxf = ( ) ( ) ( )21

2/114/1

14/1

++

+−

+− xxx

Finalmente se sustituye en la integral y se tiene24:

( ) ( ) ( )∫ ++

+−

+−

dxxxx 21

2/114/1

14/1

= ( ) ( ) ( ) Cx

xx ++

−+−−12

11ln411ln

41

( )( )∫ +−dx

xx 211=

xR/

( )( ) ( )( )23

( )211111 −−⎞

⎜⎝⎛ xxxx

dxd

, es decir se usado la regla de la derivada de un cociente. 2)1(1 −−=

−=⎟

⎠− xx24 Se han utilizado integrales inmediatas y el método de sustitución.



Caso III: Factores cuadráticos distintos.

En este caso el denominador posee “n” factores cuadráticos, irreducibles, distintos, por lo

que el cociente original se puede representar por:

)(xq

( )( )

nnn

nn

nnn

cxbxaBxA

cxbxaBxA

cxbxaBxA

cxbxaBxA

cxbxacxbxacxbxacxbxaxqxf = 2()( xpxp

+++

++++

++

+++

+++

+=

++++++++=

233

23

33

222

2

22

112

1

11

233

2322

22111 )())()(

)(

L

L

Al igual que en los casos I y II, existen fórmulas generales para calcular las y las , pero

plican el uso de números complejos, por lo que no se tratarán aquí, pero nos permitiremos

ar o algebraico que reduce el trabajo de calcular dichas constantes.

El método se desarrolla de la siguiente manera:

1) Del dominio del integrando se usa cualquier valor de “x” para sustituirlo en la

identidad planteada en este epígrafe.

2) Se repite el paso 1 para cada factor cuadrático presente en la identidad, es decir si

existen “n factores”, se harán n sustituciones de “x”.

3) Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales para las y las

iA iB

im

explic un métod

iA iB

Ejemplos:

∫ ++dx

xxx

)4)(1( 22 2) ∫ −+−−−++ dx

xxxxxxx1

1223

234

1)

Solución:

1) Sea ( ))4)(1( 22 ++

=xxxxf por lo tanto ( )( )41)( 22 ++= xxxq , entonces habrá dos factores

adráticos distintos, por lo tanto habrá 4 eal. cu constantes indeterminadas, 2 por cada factor lin



Así el integrando se puede expresar de la siguiente manera:

)4)(1( 22 ++ xxx

=)()1( 2 + xx

422211

++

++ BxABxA

l dominio del integrando admite cualquier valor de “x”, y se tienen 4 constantes adas en los factores cuadráticos, así se tendrán 4 sustituciones de “x”.

Elijamos , así se tiene:

Eindetermin

1=x

)4)1)((1)1(()1(

22 ++=

)4)1(()1(

)1)1(()1(

222

211

++

+++ BABA

⇒5210

1 2211 BABA ++

+= ⇒

2121 25251 BBAA +++= ecuación 1

mos , así se tiene:

1−=xElija

⇒5210

1 2211 BABA +−+

+−= ⇒

)4)1)((1)1(()1(−

=)4)1((

)1()1( 2211

)1)1(( 22 +−+−

++− BABA

22 +−+− +−

2121 2525 BBAA ++−−=1− ecuación 2

Elijamos 0=x , así se tiene:

)4)0)((1)0(()0(

2 =2 ++ )4)0(()0()0(2

222

11

)1)0(( ++

++ BABA

⇒+ 4

0 21BB += ⇒

2140 BB += ecuación 3



Elijamos 2=x , así se tiene:

⇒8455

2201 2111 BABA

+++= ⇒ )4)2)((1)2((

)2(22 ++

=)4)22((

)2()1)2((

)2( 222

11

++

+++ BABA

2211 5108162 BABA +++= ecuación 4

a través de

liminación, se hará a continuación por el método de

eliminación:

Se reproduce el sistema para mayor comodidad:

Ahora solo basta con simultanear las cuatro ecuaciones, esto se puede hacer

matrices, ó por el método de e

2121 25251 BBAA +++= 1)

) 2121 25251 BBAA ++−−=− 2

3) 2140 BB +=

4) 2211 5108162 BABA +++=

Al sumar la ecuación 1 con la 2 se tiene:

21

2121 2551 BBA ++−=− 2121

4100002

25251

BBA

BBAA

+++=

−+++=

Es decir: que será la ecuación 5, la cual se puede simultanear con la número 3

así:

21 4100 BB += ,

( )

0604100

404

1

21

21

+−=

+=+=

BBBBB−

⇒ 01 =B

Se sustituye este resultado en la ecuación 3 y se tiene:

( ) ⇒+= 2040 B 02 =B



Con estos ltados se sustit resu uyen en la ecuación 1 y 4

1) 5251 21 +++= AA ( )0 ( )02 ⇒ 21 251 AA += ecuación 6

4) ( ) ( )051008162 21 +++= AA ⇒ 21 10162 AA += ecuación 7

se procede a simultanear 6 y 7: Y

( )

09310162

2515

1

21

+−=−

⇒+=+=−

AAAAA 21

31

1 =A

Sustituyendo en 6 se tiene:

⇒+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 22

3151 A

31

2 −=A

Con lo cual se han obtenido todas las constantes, ahora se tiene que:

⇒+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

)4(31

)1(31

22 x

x

x

x

)4(3)1(3 22 +−

+ xx

xx

)4)(1(

)( 22 ++=

xxxxf =

)4()1( 22211

2 ++

++ xABxA+ x

Bx

=

Y entonces la integral original es ahora25:

∫x

2 ++dx

xx )4)(1( 2 = dxxx− 22 =

xx∫ ++ )4(3)1(3( ) ( ) Cxx ++−+ 4ln11ln1 22

66R/

2) ∫ −+−−−++ dx

xxxxxxx1

1223

234

Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, se procede entonces a

fectuar la división de los polinomios, del cual se obtiene:

e

25 Se usado integración por sustitución.



1123212 2234 +−

++=−−++ xxxxxxx

1 2323 −+−−+− xxxxxx

este caso se obtiene una sub función: ( )1

12323

+− xxEn

2

1 −+−=

xxxxf , donde , al

factorizarlo se tiene que:

1)( 23 −+−= xxxxq

( )( )11)( 2 +−= xxxq , por lo que hay un factor lineal y un factor

cuadrático, entonces la expresión queda:

11 2 ++

+− x

CBxxA( )

1123

23

2

1 −+−+−

=xxxxxxf =

)1)(1(123

2

2

+−+−

xxxx

=

Para A se tiene:

( ) ( )( ) ( ) 11

12311

2

2

11 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−=−=

==

xx x

xxxfxA

∴ 1=A

1=A , y se elige 0=x Para C, se sustituye

( ) ( ) ( )( ))1)0)((10( 2 +−

1020 2 +−=

31010 2 +−

01 ++

CB⇒+−=−⇒ C11 0=C

1=A , 0=C y y se tiene: 2=xSe sustituye

)1)2)((12(1)2(2)2(3

2

2

+−+−

=( )( ) 12

0212

12 ++

+−

B ⇒+=⇒5

2159 B 2=B

Con lo cual se han obtenido todas las constantes por lo que

( )1231 −+−

=xxx

xf =123 2 +− xx

)1)(1( 2 +− xx=

123 2 +− xx11 2 +

+− xx

Y la integral original es:

21 x

dxxx

xxdx

xxxxxxx

12

112

112

223

234

++

−++=

−+−−−++

∫∫ = ( ) ( ) Cxxxx+++−++ 1ln1ln2

22

2

R/



Caso IV: Factores cuadráticos repetidos (iguales)26.

n” factores cuadrático bles, iguales, por lo

r por:

En este caso el denominador )(xq posee “ s, irreduci que

el cociente original se puede representa

( )( ) n

nnn cbxaxcbxaxcbxbxbx )()() 2322 ++

BxABxAax

BxAcax

BxAcax

xpxqxpxf

()()()()( 33

222

211

2+

++++

++

+++

+++

+=

++== L

ste caso utiliza los mismos métodos del caso III, por lo que no se redundará en el desarrollo

Ejemplos: Evaluar las siguientes integrales

1)

E

de algunos pasos.

( )∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+ dxx

xx22

3

282

2) ( )∫ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+ dxxxx

22

2

34

Solución:

1) Este caso: por lo habrán dos factores cuadráticos, iguales:

Por lo que el integrando se puede expresar así:

( )22 1)( += xxq ,

( )22 2+x=

3 82 + xx2222

211

2+x )(2+

+++

xBxABxA

Utilizando el método descrito en el caso III, se obtiene:

y

Entonces el cociente se convierte en:

21 =A , 42 =A , 01 =B 02 =B

= 222 )2(4

22

++

+ xx

xx

( )22

3

282

+

+

xxx

= 2222

211

)2(2 ++

+++

xBx

xBxA A

26 Este caso es raramente usado en las aplicaciones en la economía, ya que involucra, para muchas soluciones el

so de la fórmula del arco secante (secante inversa), función trigonométrica que no se enseña en la facultad. u



Por lo que la integral original queda:

( )∫ ⎟⎟⎠⎝ +x2 2

⎞⎜⎜⎛ + dxxx

2

3 82= = ( ) C

xx +

+−+

222ln 2

2dxxx + (2xx

∫ ++ 222 )2

42R/

) En este caso se tiene que el denominador tiene un factor lineal y dos factores cuadraticos

repetidos, ya que , por lo que el integrando es equivalente a:

2

( )22 3)( += xxxq

( )22

2

34

+

+

xxx

= 2222

2110

)3(3 ++

+++

+x

BxAx

BxAxA

Usando la fórmula del caso I, y los métodos planteados en el caso III se tiene que:

94

=oA , 94

1 −=A , 31

2 =A , 01 =B y 02 =B

Y se tiene entonces que:

( )22 3+xx

2 4+x= 222 )3(

)3/1(3)9/4(9/4

++

+−

xx

xx

x

Por lo que la integr al queda: al origin

( )∫ ⎟⎟⎠

⎞⎛ +x2 4= C

xxx +

+++−

)3(61)3ln(

92)ln(

94

22

⎜⎜⎝ +

dxxx 22

= dxx

xx )3/1()9/4(9/4xx∫ +

++

− 222 )3(33 R/



Guía de ejercicios:

I-Parte resuelva por cambio de variable las siguientes integrales:

1. 8.

2. 9.

10. 3.

4. 11.

12. 5.

13. 6.

∫ +

+

dxxe x

1

1

14. ∫ dxxx

7. )ln(

1

II-Parte Resuelva las siguientes integrales, usando integración por partes (puede ser necesario

plicar primero cambio de variable):

2

a

∫ − dxxe x2 1. ( )∫ dxx3ln 15.

16. 2∫ dxex x3 2. ∫ +dx

xxe x

2

2

)12(

( )∫+

dxxex x

22

3

1

2

23. dxx 2))((ln∫ 17.

18. 2( )∫ dxxx ln2 4. ∫ + dxxx )1ln(2

∫ dxxx2

)ln( 25. ∫ dxe x 19.

∫ − dxxx 1 26. dxx∫ + )1ln( 20.



III- Resuelva los siguientes integrales usando integración por el método de fracciones

parciales, (puede ser necesario aplicar primero cambio de variable):

7.

2 dxx∫ −1

12 33. ∫ +−−

dxxxx

x4423

28. ∫ −+dx

xx 23

2 34. ( )∫x−

dxx 4

3

1

29. ∫ +− dxxx

x3

2 1 35. ∫ −−+

+ dxxxx

x122

223

2

∫ −dx

xx

116 430. 36. ∫ +−+−+ dx

xxxxx

12222234

2

31. ∫ x2

7.−− dxx

2)1(3

3 ∫ −+dx

xxx

1242

2

32. ∫ dx+−− xxx

x4423 38. ∫ +ex

dx1

1

IV- Miscelánea: Evalué las siguientes integrales (Pueden ser necesarios uno o dos métodos de

inte ción):

39.

gra

( )( )∫1

48.dxxx

3ln ∫eu

++dx

ee uu 342

40. ( )∫ + dxxex 2 49. ∫ +

+ ex x)1( dxx 2)2(

∫ −+ dxxx

11

50. ∫ +− dx

xx

5)1(1

41.

42. 32 1 51. ∫− dttt

)ln(12 ( )∫ + dxxx 5

∫ −dx

eee

xx

x

2 52. ∫ dxex x5 45.

∫ dxe x3

53. ∫ +dx

xx

2)1(2

46.

47. ∫ −+−dx

xxx )3)(2)(1(1



V-En los siguientes ejercicios encuentre la solución particular que se le pide:

54. 12 += xdxdy

, con 5)0( =y 57. 12 2 += qdCT, con 100)0( =CT

dq

55. xdxdy

+= 3 ieid

= 1)0(idE

−3 , con =x , con 2)1( =y 58. E

( )xdxdy ln= ,56. co

iografía.

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