EJERCICIOS DE MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN

República Bolivariana de Venezuela

Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”

Optimización de Sistemas y Funciones

Profesor: Ing. Diógenes Rodríguez

Realizado por:Br. Ervin J. La Rosa

C.I. 21.323.331Porlamar, Junio 2014

EJERCICIO MÉTODO DE LAGRANGESe Necesita Optimizar la siguiente Función

Optimizar Z = 6x3-3y2

Sujeta a la siguiente restricción

s.a = 4x + 2y = 40

Según el método de LaGrange, se aplica la formula L = Z - λ(s.a)

L = 6x3-3y4– λ (4x + 2y = 40)

Salen las 3 ecuaciones

x = 18x2 - 4 λ = 0y = 12y3 - 2 λ = 04x + 2y – 40 = 0

EJERCICIO MÉTODO DE LAGRANGEDe manera que:

λ = 4.5x2 = 6y3

Se descubre el valor de x

4x + 4x – 40 = 0 x* = 5

Se descubre el valor de y

4(5) + 2y = 40y=(-20+40)/2y*=10λ = 22.5

Función Optimizada = F(x) = 450

EJERCICIO MATRIZ JACOBIANA

El determinante jacobiano de la función F : R3 → R3 definida como:

F (x, y, z) = (x2 + seny , 5y , 4z2)

Se Construye la matriz jacobiana derivando cada variable

J (x, y, z) = 2x cosy 0 0 5 0

0 0 8Z

SE CALCULA EL DETERMINANTE JACOBIANO ELIMINANDO LA MATRIZ CON MAYOR CANTIDAD DE CEROS (0)

= 5 . 2X 0 = 10X 0 8Z

{ }

| |

EJERCICIO CONDICIONES DE KUHN TUCKER

Minimizar la siguiente función

El problema puede ser graficado con software tal como “Geobra”

Las condiciones de tucker de primer orden vienen dadas por:

EJERCICIO CONDICIONES DE KUHN TUCKER

Como las condiciones aun no están restringidas se activa de forma simultanea:

Al calcular los gradientes respectivos se obtiene:

Lo cual da origen al siguiente sistema de ecuaciones:

Reemplazando x1=2 y x2=1 podemos despejar los valores de los multiplicadores los cuales cumplen con las condiciones de no negatividad:

EXTREMOS NO RESTRICTOS CON DOS VARIABLES

Dada la función Z = f(x,y) = 2x2 + 3y2 + 18x – 24y +25

Determinar que tipo de punto critico posee

Primero se derivan las variables y para encontrar los valores se iguala a 0

F(x)=4x + 18 = 0 F(y)= 3y – 24 = 0

Despejamos para ambas variables para conseguir los valores (x,y):

4x = -18 3y = 24X= -18/4 = -4,5 y = 24/3 = 8

EXTREMOS NO RESTRICTOS CON DOS VARIABLES

Ahora se sustituyen los valores encontrados en la función f(x,y)

F(-4.5 , 8) = 2(-4.5)2 + 3(8)2 + 18(-4.5) – 24(8) +25

F(-4.5 , 8) = 2(20.25) + 3(64) + (-81) – 192 + 25

F(-4.5 , 8) = 40.5 + 192 + (-81) – 192 + 25F(-4.5 , 8) = -15.5

Quiere decir que el punto critico se localiza en el punto (-4.5, 8, -15.5)

EXTREMOS NO RESTRICTOS CON DOS VARIABLES

Para determinar la naturaleza del punto se deriva nuevamente las variables

F(x)=4 F(y)= 3

Se evalúa el para determinar el criterio de punto critico

D (-4.2, 8) = (4)(2) – [0]2D (-4.2, 8) = 8 > 0Como se determina que es mayor a 0,

entonces el punto es un mínimo relativo