1. Demostración por medio del razonamiento deductivo

A. El razonamiento deductivo es una forma de demostración

El razonamiento deductivo nos pone en capacidad de obtener conclusiones verdaderas, o aceptables como tales, supuesto que las proposiciones de las cuales se deducen son verdaderas o se aceptan como verdaderas. Tiene las tres etapas siguientes:

1. Se elabora una proposición universal o general, que abarque la totalidad de un conjunto o clase de objetos, por ejemplo, la clase de los perros:

Todos los perros son cuadrúpedos (tienen cuatro patas).

2. Se enuncia una proposición particular sobre uno o algunos de los elementos del con- junto o de la clase a que se refiere la proposición universal:

Todos los galgos son perros.

3. Se llega a una deducción, que no es sino una proposición que se infiere lógicamente al aplicar la proposición universal a la particular:

Todos los galgos son cuadrúpedos.

El razonamiento deductivo se denomina también razonamiento silogístico porque los tres tipos de proposiciones aludidas constituyen un silogismo. En un silogismo, la proposición universal se llama premisa mayor, la proposición particular se denomina premisa menor, y la deducción se llama conclusión. De esta suerte, en el silogismo anterior:

1. La premisa mayor es: Todos los perros son cuadrúpedos. 2. La premisa menor es: Todos los galgos son perros. 3. La conclusión es: Todos los galgos son cuadrúpedos.

El empleo de círculos, para representar los conjuntos

o clases, como se muestra en el dibujo adjunto, ayudará

a comprender mejor las relaciones implícitas en

el razona-

miento deductivo o silogístico.

1.

Como quiera que la premisa mayor enuncia que todos los perros son cuadrúpedos, el círculo que representa los perros debe ser interior al que representa los cuadrúpedos.

2. Como quiera que la premisa menor o proposición particular enuncia que todos los galgos son perros, el círculo que representa los galgos debe ser interior al que representa los perros.

3. La conclusión es inmediata. Puesto que el círculo que representa los galgos debe ser interior al que representa los cuadrúpedos, la única conclusión posible es que los galgos son cuadrúpedos.

MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

La observación, la medición y la experimentación no constituyen una

demostración

1. La observación no puede servir como una demostración o prueba lógica. Las

apariencias suelen ser engañosas. Así, en el caso de una persona ciega para algunos colores, la vista puede ser un recurso defectuoso. Por ejemplo, en las figuras siguientes, no parece que AB sea igual a CD, cuando en realidad lo es.

2. La medición no puede servir de prueba matemática. La medición sólo se aplica en un limitado número de casos en que tiene cabida. Las conclusiones que de ella se derivan no son exactas sino simplemente aproximadas; esta aproximación depende de la precisión del instrumento y del esmero del observador. Al hacer una medición, se suele aceptar errores que equivalgan a la mitad de la menor unidad de medida que se emplee. Por ejemplo, si un ángulo se mide con relación al grado más cercano, se pueden aceptar errores de medio grado.

3. La experimentación no puede servir de prueba matemática. Las conclusiones que se deducen de la experimentación son apenas probables. El grado de esa probabilidad depende de las situaciones o casos particulares que se examinen durante el proceso del experimento. Por ejemplo, en el juego de dado es probable que éstos estén cargados si durante diez veces consecutivas salen 7 puntos con los dos dados; la probabilidad es mucho mayor si salen 7 puntos en veinte tiros consecutivos; pero, ninguna de esas dos probabilidades constituye la plena certeza.

4. 1.1 EMPLEO DE CÍRCULOS PARA DETERMINAR RELACIONES ENTRE GRUPOS En los casos siguientes, del (a) al (e), cada letra, como A, B y R, representa un conjunto o grupo de entes. Complétese cada uno de los enunciados o proposiciones. Muéstrese en qué forma se pueden utilizar los círculos para representar cada conjunto o grupo.

(a ) Si A es B y B es C, entonces (?) ( b ) Si A es B y B es E y E es R, entonces (?) ( c ) Si X es Y'y (?), entonces X es M.

( d ) Si C es D y E es C. entonces (?) ( e ) Si todos los cuadrados ( S ) son rectángulos ( R ) y todos los rectángulos son parale-

logramos (P), entonces (?).

2. Los supuestos: Axiomas y postulados

La estructura global de la demostración debe descansar sobre (o comenzar por) algunas, proposiciones de tipo general que se aceptan sin demostración y se denominan los supuestos. Se trata de proposiciones que voluntariamente debemos suponer o aceptar como verdadera".? a fin de poder deducir de ellas otras proposiciones.

Los supuestos son o axiomas o postulados.

1. Un axioma es un supuesto que se puede aplicar en matemática en forma genera!. Por ejemplo, la proposición: en toda expresión o en toda ecuación, una cantidad cualquiera se puede remplazar por su igual, es utilizable tanto en álgebra como en geo metría.

2. Un postulado es un supuesto que se puede aplicar en una rama particular de la matemática, digamos en geometría. Por ejemplo, la proposición: Dos rectas se pueder cortar sólo en un punto, se aplica específicamente a las figuras geométricas.

Es menester aprenderse íntegramente los axiomas y postulados de la siguiente lista.

AXIOMAS

As. 1 Cosas iguales a una tercera o a cosas iguales, son iguales entre sí.

Por ejemplo: el valor de una moneda de 10 centavos es igual al

de dos monedas de 5, puesto que el valor común es de 10 4.

Ax. 2 En toda expresión o ecuación, una cantidad cualquiera se puede remplazar por

su

igual. (Axioma de sustitución).

Por ejemplo: Si i = 5 y y = i + 3, entonces, al sustituir x por su

valor 5, se tiene: y = 5 + 3 = 8.

Premisa mayor (Proposición

universal)

Premisa menor (Proposición

particular)

Conclusión (Proposición deducida)

( a ) Un gato es un animal doméstico.

( b ) Todoslos hombres son mortales.

( c ) Los ángulos opuestos por el

vértice son iguales,

(á) (?) ( e ) Un triángulo obtusángulo tiene sólo

un ángulo obtuso.

Micifuz es un gato (?)

el ¿ c y e¡ L d son opuestos por el vértice.

Un cuadrado es un rectángulo, (?)

(?)

Juan es mortal. (?)

Un cuadrado tiene las diagonales iguales,

A ABC tiene sólo un ángulo obtuso.

1.2 COMPLETAR SILOGISMOS

Escríbase la proposición necesaria para completar cada silogismo.

A. 3 El todo es igual a la suma de sus partes.

Así, por ejemplo, el total de una moneda de 10 4, una de 5 4 y

una de 1 í es 16 4.

. 4 Cualquier cantidad es igual a sí misma. (Identidad) Por ejemplo: x = x, ¿A = L A, AB = AB, etc.

5 Si a cantidades iguales se suman cantidades iguales, los totales son iguales.

(Axioma de adición) ( i )

7 monedas de diez = 70 4 (2)

x + y=l2 Sumando: 2 monedas de diez = 20 4 Sumando: x—y = 8

9 monedas de diez = 90 4 2x = 20

. 6 Si de cantidades iguales se sustraen cantidades iguales, las diferencias son iguales. (Axioma de sustracción)

(1) 7 monedas de diez = 70 4 (2) x + y = 12 Sustrayendo: 2 monedas de diez = 20 4

Sustrayendo: x — y = 8 5 monedas de diez = 50 4 2y = 4

. 7 Sí cantidades iguales se multiplican por cantidades iguales, los productos son

iguales. (Axioma de multiplicación)

Por ejemplo: Si el precio de u n libro es $40.oo, el de tres será

$120.oo.

Caso especial del axioma de multiplicación: Si dos cantidades

son iguales, sus duplos también lo son.

Ax. 8 Si cantidades iguales se dividen por cantidades iguales, los cocientes

son iguales. (Axioma de división)

Ejemplo: Si el precio de un kilogramo de mantequilla es $16.oo, entonces, el

precio de un cuarto de kilogramo de la misma es $4.oo.

Caso especial del axioma de división: Mitades de cantidades iguales son

iguales.

As. 9 Las potencias, de igual exponente, de cantidades iguales son iguales. De esta suerte, si x = 5, entonces jc

2 = 5

2, o sea, x

1 — 25. Ax. 10

Las mices, de igual índice, de cantidades iguales son iguales. De esta suerte, si y

3 = 27, entonces y = v^ZT = 3.

POSTULADOS

Pose. 1 Por dos puntos pasa una recta y sólo una.

De esta suerte, dados los puntos A y B, la recta AB es la única que se

puede _ ________________________________________________ dibujar entre ellos.

A

s

Post. 2 Dos rectas sólo tienen un punto común. (Ese punto se

llama de intersección de las dos rectas. También se dice que

las dos rectas se cortan en él.)

Por ejemplo: Las rectas AB y CD tienen un único punto

de intersección, que es el punto P.

Post. 3 La recta es la línea de menor longitud que se puede trazar

entre dos puntos.

Así, por ejemplo, el segmento de recta AB tiene menor

longitud que la curva o que la línea quebrada que une los

puntos A y B.

Post. 4 Con un punto dado, como centro, y un segmento dado, como radio, f \

sólo se puede trazar una circunferencia (o un círculo). ( A -

— j B

Así, por ejemplo, con centro en A y radio AB sólo se puede dibujar la circun- V J

ferencia (círculo) A, que es única.

Post. 5 Cualquier figura geométrica puede moverse sin que cambien su forma y

tamaño. De esta suerte, el A l se puede desplazar a una nueva posición sin que

cambie su forma ni su tamaño.

Post. 6 El punto medio de un segmento de recta es único.

Así, por ejemplo, el segmento AB sólo tiene un punto medio, que

es M.

Post. 7 La bisectriz de un ángulo es única.

Así, por ejemplo, el ¿A tiene una sola bisectriz, que es AD.

Post. 8 Por un punto de una recta se puede trazar una perpendicular a ella, y sólo una.

Por ejemplo: Por el punto P de AB sólo existe una PC tal que PC -LAB.

Post. 9 Por un punto exterior a una recta, existe una (y sólo una) perpen- jP

dicular a ella. Por ejemplo: PC es la única recta perpendicular a AB que puede dibujarse ---- 1 fl

desde el punto P, exterior a AB.

Solución: (a) Puesto que tanto a, b y c son iguales a 10, entonces a = b = c. (t>) Puesto que tanto c como 25 son iguales a a, entonces c = 25. ( c ) Puesto que tanto a como c son iguales a b, entonces a = c. ( d ) Puesto que tanto Z l como / 2 y / 3 son iguales a 40°, entonces ¿1 = Z2 — Z3.

( e ) Puesto que tanto Z2 como Z3 son iguales a Zl, entonces Z2 = Z3. ( / ) Puesto que tanto Z l como Z2 son ¡guales a Z3, entonces Z l = Z2.