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7/29/2019 METODOLOGIA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA.pdf

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Elaborado por: Alejandro Mayorga Asesora del 2000 Ltd. 2013

METODOLOGIA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA (RSM)

1. IDENTIFICACION DE LOS FACTORES PRINCIPALESLa primera tarea por realizar en esta metodologa es encontrar los factores o variables de

entrada que estn ms correlacionados con la variable de respuesta, as como investigar efectos

de curvatura.

Dependiendo del nmero de variables por investigar, se puede utilizar un Full Factorial Design (k 4) o un Half-Factorial Design (k > 4).

Partiendo de los valores ms conocidos de los factores, construimos un modelo factorial al cual le

agregamos valores centrales con el fin de evaluar los efectos de curvatura (entre 5 y 7).

Nota: Debe tenerse presente que, cuando iniciamos la experimentacin, partimos de la condicin

mejor conocida, pero an no sabemos cun cerca o lejos nos hallamos del valor ptimo de la

variable de respuesta (mximo o mnimo deseado).

1.1 CONSTRUCCION DEL PRIMER MODELO FACTORIALSelecccione Stat DOE Factorial Create Factorial Design

Minitab despliega la siguiente ventana:

Seleccione el nmero de factores por investigar.

Presione . La siguiente ventana se despliega:


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Diseos Experimentales con Minitab 2

Elaborado por: Alejandro Mayorga Asesora del 2000 Ltd 2013.

Si k 4, seleccione Full factorial y seleccione 5 puntos centrales (para evaluar los efectos de

curvatura). En caso contrario, si k > 4, seleccione un diseo half factorial ( Fraction) y 6 o

ms puntos centrales.

Nota: Si los efectos de curvatura en el modelo no son significativos (p-value > ), esto implica que nos

hallamos lejos de la regin en donde se halla el mximo o el mnimo buscado.

Para fines de simplicidad, consideraremos un experimento con dos factores (tiempo y

temperatura) y una variable de respuesta (rendimiento o Yield).

Variable Valor mnimo Valor mximo Unidades

Temperatura 150 160 Fahrenheit

Tiempo 30 40 min

Variables codificadas -1 +1 -

Al presionar Factors se despliega la siguiente ventana de dilogo:

Introduzca el nombre de cada variable as como su valor mnimo y mximo por utilizar en

el estudio. Presione OKen cada ventana.

Se despliega la siguiente matriz con el diseo experimental:

Nota: Si se desea ver esta matriz con las variables codificadas, seleccione Stat DOE Display Design.



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Seleccione Coded units.

Agregamos una columna para registrar los valores de la variable de respuesta del

experimento (Yield)

Al realizar el experimento, obtenemos los valores de la variable respuesta (Yield), por lo

que la matriz del experimento es similar a la siguiente:

1.2 ANALISIS DEL PRIMER MODELO FACTORIALSeleccione Stat DOE Factorial Analyze Factorial Design.


Seleccione la variable de respuesta (Yield) por analizar.


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Presione . .

La siguiente ventana se despliega:

En el campo seleccione 2 (ya que deseamos

evaluar los efectos hasta el segundo grado: .Seleccione y presione OKen cada ventana de dilogo.

Presione el botn . Minitab despliega el ANOVA para el diseo experimental:

Un factor o variable de entrada es significativo si el p-value es menor que el valor de

utilizado (en la mayora de los casos es comn utilizar = 0.05). As, de la matriz ANOVA

tenemos que la temperatura y el tiempo son significativos, no as su interaccin (ya que el


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p-value = 0.821 > 0.05). Lo mismo sucede con los efectos de curvatura calculados a partir

de los cinco valores centrales utilizados en el modelo factorial (ya que el p-value = 0.814 >

0.05).

Nota: El hecho de que el efecto de la curvatura es no significativo es una indicacin de que la regin en laque nos encontramos es, para fines prcticos, plana y, por consiguiente, nos hallamos fuera de la

regin de la superficie en donde se encuentra el punto mximo o mnimo.

Vase la superficie de esta regin:

As, este primer experimento factorial nos permite identificar los factores que estn

directamente asociados con la variable de respuesta, as como evaluar los efectos de

curvatura representados por las interacciones y los puntos centrales agregados al diseo

factorial.


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2. IDENTIFICACION DE LA DIRECCION DE BUSQUEDA DEL VALOR OPTIMOUna vez identificados los factores principales, es preciso identificar la direccin en la que

debemos buscar el valor ptimo deseado.

A partir del modelo para la variable de respuesta (Yield) como funcin de las variables de

entrada (tiempo, temperatura), podemos hallar en una manera secuencial la regin en que

posiblemente se halle el valor ptimo.

Este mtodo se conoce como Steepest Ascent/Descent Method y mediante su uso buscamos unpunto de inflexin o una regin donde la respuesta se mantenga constante.

De la matriz ANOVA del primer experimento se obtiene los coeficientes del modelo (en las

unidades codificadas de las variables):

40.425 0.325 0.775

Constante Temperatura Tiempo

Para las unidades naturales, Minitab presenta los siguientes valores:

8.7 0.19 0.22De donde:

para las variables codificadas


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paralas unidades naturales.En este caso estamos buscando un valor mximo para la variable de respuesta (Yield). Como y son positivos y x1 y x2 pueden tomar solo valores positivos, si seleccionamosincrementos positivos (+xi) para las variables de entrada, nos estaramos dirigiendo en la

direccin de aumento de la variable de respuesta (que es lo que buscamos).

Seleccionemos la variable que deseamos tomar como base de la tasa de ascenso e indiquemos

ese incremento como xi. Entonces, el incremento por utilizar de la otra variable viene dado por:

Nota: Asegrese de obtener primero la tasa de cambio para la variable codificada y luego transforme a las unidades

de las variables naturales.Estos incrementos se agregarn tomando como punto de partida el valor del punto

medio del rango para cada variable considerada.

Es decir, en nuestro caso:

Step x1 = y el valor central es

Step x2 = y el valor central es

y Variable Valor mnimo Valor Central Valor mximo Unidades

Temperatura 150 155 160 Fahrenheit

Tiempo 30 35 40 minVariables codificadas -1 0 +1 -

Supongamos en nuestro caso que el ingeniero decide investigar el efecto de incrementar en 5

minutos la variable tiempo a partir de su valor central (0tiempo = 35 min). Un aumento de 5 minutos

en la variable x1 (partiendo del valor medio de su rango de variacin) representa en variables

codificadas un aumento de:

As,

()


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Es decir, un aumento de 1 en la variable tiempo corresponde a un aumento de 0.42 en la variable

temperatura. Observe, adems, que la tasa de cambio en la ruta ascendente viene dada por x1 =

0.42(5) 2 Fahrenheit y x2 = 5 min.

Para hallar los n puntos que vamos a utilizar en el experimento secuencial, podemos utilizar la

macro de MinitabASCENT.MAC.

Nota: Asegrese de que esta macro est instalada en el directorio de macros de Minitab.

Presione el botn . Minitab despliega la ventana de la sesin. Desde el comando MTB> digite

las siguientes instrucciones (pulse [Intro] despus de digitar el punto y coma):

MTB > %ASCENT C7 C5-C6;

SUBC> STORE C9-C10;

SUBC> STEP 1;

SUBC> BASE C6;

SUBC> RUNS 13.

y presione la tecla [Intro].

Nota: Observe que C7 es la columna en que se halla la variable de respuesta (Yield), C5 es la columna donde sealmacenan los datos para la variable Temperature y C6 es la columna donde se almacenan los datos para la

variable Time. Las columnas C9 y C10 son las columnas donde se almacenarn los datos para el steepest

ascent. El subcomando STEP establece la magnitud de la tasa de cambio y el subcomando BASE indica que la

variable de referencia est en la columna C6 (es decir la variable Time). El subcomando RUNS indica que se

desea 13 valores para el experimento secuencial.

Si lo que se desea es dirigirse en la direccin de descenso de las variables de entrada, agregue el

subcomando DESCENT; despus del subcomando BASE. Por defecto, la macro asume la direccin de

ascenso.

Al presionar la tecla [Intro], Minitab agrega los siguientes datos a la hoja de trabajo:

Nota: Recuerde que estos son valores codificados.

Usted puede copiar estas columnas en otra hoja de trabajo de Minitab. Para ello seleccione File NewMinitab Worksheety presione OK. Copie las columnas C9 y C10 en la nueva hoja.


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Como sabemos, la tasa de cambio en la ruta ascendente viene dada por x1 = 0.42(5) 2 Fahrenheit y x2 =

5 min. As, podemos convertir estos valores a las unidades naturales de las variables, obteniendo:

Supongamos que al correr este experimento hallamos los siguientes valores para la variable de

respuesta (Yield):

Construyamos un grfico de dispersin para estos valores con Graph Scatterplot.

Minitab despliega la siguiente ventana de dilogo:

Seleccione la opcin With Connect Line y presione OK.

Minitab despliega una grfica similar a la siguiente:


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121086420

121086420

80

70

60

50

40

80

70

60

50

40

Step

RESPONSE

(175, 85)

RESPONSE vs Step

O, utilizando la opcin Graph 3D Scatterplot, seleccionando la opcin Simple y presionandoOK:

Obtenemos un grfico similar al siguiente:


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Observe que se da un punto de inflexin en el punto (175, 85), por lo que es conveniente

investigar el comportamiento de la variable de respuesta alrededor de este punto, digamos en la

regin delimitada por:

Variable

Valor

UnidadesMnimo Central Mximo


Tiempo 80 85 90 min

Variables codificadas -1 0 +1 -

3. SEGUNDO EXPERIMENTO FACTORIALUna vez identificada la regin donde es posible hallar el valor ptimo de la variable de

respuesta, procedemos a construir un segundo experimento factorial con puntos centrales para

evaluar si en esta regin los efectos de curvatura son significativos.

Para ello procedemos de manera similar a la Seccin 1.1, introduciendo los siguientes valores en

la ventana que se despliega al presionar el botn Factors:

Presione OKen cada ventana.

Se despliega la siguiente hoja de trabajo (en valores codificados) con 5 valores centrales:

Al correr el experimento se obtiene los siguientes resultados para la variable de respuesta:


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Lo cual, al proceder a su anlisis (similar a la Seccin 1.2), se obtiene:

Ntese que ahora los efectos de curvatura son significativos (p-value = 0.000), por lo que

podemos suponer que nos encontramos cerca de la regin en donde se halla el valor mximo del

Yield. Por el contrario, el efecto de la interaccin Temperatura Tiempo es no significativa (p-

value = 0.096 > 0.05).


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4. DISEO Y ANALISIS DEL MODELO DE SUPERFICIE DE RESPUESTAPara elaborar el modelo de superficie de respuesta (RSM) es necesario agregar los puntosaxiales al segundo modelo factorial.

Para ello,

4.1 Seleccione Stat DOE Modify DesignSe despliega la siguiente ventana de dilogo:

4.2 Seleccione Add axial points y presione el botn . Se despliega la siguienteventana de dilogo:

4.3 Seleccione la opcin Default (rotatable if posible) y presione OK.Los puntos axiales se agregan al modelo: (-1.414, 0), (1.414, 0), (0, -1.414) y (0, 1.414).

Al correr los experimentos para los puntos axiales obtenemos:


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4.4 Seleccione Stat DOE Response Surface Analyze Response Surface Design.La siguiente ventana de dilogo se desplegar:

4.5 Haga doble click para seleccionar la variable de respuesta por investigar (el modelo permiteanalizar varias respuestas para hallar la regin ptima para stas).

4.6 Presione el botn . Minitab despliega el ANOVA para el diseo experimental:


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Observe que existe un buen ajuste del modelo cuadrtico (el p-value para el Lack of Fites

0.981):

4.7 Seleccione Stat DOE Response Surface Countour/Surface plots

4.8 SeleccioneContour ploty Surface ploty presione el botn .


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4.9 SeleccioneUncoded units y presione OKen cada ventana de dilogo.4.10 Se despliegan dos grficos similares a los siguientes:

Grfico de superficie Grfico de contorno

Coeficientes para las variables codificadas 79.7525 0.5152 0.995 -0.9075 -1.2825 0.25

Constante


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5. CALCULO DE LA SOLUCION OPTIMARegin ptima: De la grfica de contornos se puede observar que la regin donde la

variable de respuesta es mxima est delimitada aproximadamente por

los siguientes intervalos para la temperatura 175.5, 178 y para el

tiempo 86, 88.

Mtodo Analtico

El valor esperado para el ptimo del Yieldes aquel punto de la superficie de respuesta que

satisface las condiciones: , . () , y ()

y

( )


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Nota: El punto (0.3419, 0.4212) representa un mximo, pues y .Nota: En variables naturales este punto equivale a:

Variable Valor UnidadesMnimo Central Mximo


Tiempo 80 85 90 min

Variables codificadas -1 0 +1 - () ()

De donde,

() () () () ()() Mtodo Matricial

Podemos expresar el modelo de segundo orden en notacin matricial como:

en donde

La solucin estacionaria para esta ecuacin viene dada por:

Al sustituir esta expresin en , obtenemos: Para hallar la solucin es preciso obtener primero la inversa de la matriz B. Para ello debemosobtener la matriz de cofactores de B, dada por


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Donde

()

||

con || igual al determinante que resulta al eliminar la i-sima fila y la j-sima columna en lamatriz B. Por ejemplo, () , ()

Ahora,

y .Aplicando lo anterior al caso que nos ocupa, tenemos:

79.7525 0.5152 0.995 -0.9075 -1.2825 0.25

()() ()()

De donde,

()() ()()

()() ()()

()() ()()


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()

Mtodo de la Funcin de Deseabilidad

Utilicemos ahora la funcin de deseabilidad(Desirablity Function) de Minitab para hallar el

punto ptimo. Para ello, seleccioneStat DOE Response Surface Response Optimizer.

Se despliega la siguiente ventana de dilogo:

Presione el botn . MInitab despliega la siguiente ventana:

Ya sabemos, a partir del grfico de contornos, que la solucin ptima es superior a 80.

En Goal seleccione Maximize. Introduzca los valores para el lmite inferior, el valor objetivo y el

lmite superior. Asigne un peso a la respuesta (Weight) de 1 y una importancia (Importance) de 1 y

presione OK.


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CurHigh

Low0.04991D

Optimal

d = 0.04991

MaximumResponse

y = 80.0499

0.04991Desirability

Composite

-1.4142

1.4142

-1.4142

1.4142TimeTemperat

[0.3286] [0.4143]

O en trminos de las variables naturales:

CurHigh

Low0.04991

DOptimal

d = 0.04991

Maximum

Response

y = 80.0499

0.04991

Desirability

Composite

77.9289

92.0711

167.9289

182.0711TimeTemperat

[176.6428] [87.0713]

La solucin ptima se obtiene para temperatura 176.6 Fahrenheit y tiempo 87 min,

obtenindose un yield de aproximadamente 80.05.

Nota: Observe que estos valores son muy cercanos a los obtenidos mediante el mtodo analtico y matricial.

6. VALIDACION DE LA SOLUCION OPTIMATomando como base los valores de las variables de entrada que optimizan la variable de

respuesta (177 Fahrenheit y 87 min), proceda a correr varios experimentos con el fin de

verificar los resultados.

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