Instituto Tecnolgico de La Paz

Ingeniera BioqumicaProgramacin y Mtodos numricos

Alumnos:-Higuera Brquez Carolina-Orozco Flores Ramn-Pia Espinoza Jennie

Docente: Ramn de Jess Armenta Machado

Mtodo de Integracin de Romberg

La Paz B.C.S., a 14 de noviembre de 2013Seael valor de la integral que aproxima a,mediante una particin de subintervalos de longitudy usando la regla del trapecio. Entonces,

dondees el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla.Elmtodo deextrapolacin de Richardsoncombina dos aproximaciones de integracin numrica, para obtener un tercer valor ms exacto.El algoritmo ms eficiente dentro de ste mtodo, se llamaIntegracin de Romberg,la cual es una frmula recursiva.Supongamos que tenemos dos aproximaciones:e

Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del trapecio paransubintervalos est dado por las siguientes frmulas:

dondees un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que pertenecen a cada uno de los subintervalos.Ahora bien, si suponemos que el valor dees constante, entonces:

Sustituyendo esto ltimo en nuestra primera igualdad, tenemos que:

Deaqu podemos despejar:

En el caso especial cuando(que es el algoritmo de Romberg), tenemos:Esta frmula es solo una parte del algoritmo de Romberg. Para entender el mtodo, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximacin. En un primer nivel, es cuando aplicamos la regla del Trapecio, y para poder usar la frmula anterior, debemos de duplicar cada vez el nmero de subintervalos: as, podemos comenzar con un subintervalos, luego con dos, cuatro, ocho, etc., hasta donde se desee.Posteriormente, pasamos al segundo nivel de aproximacin, que es donde se usa la frmula anterior, tomando las parejas contiguas de aproximacin del nivel anterior, y que corresponden cuando.Despus pasamos al nivel tres de aproximacin, pero aqu cambia la frmula de Romberg, y as sucesivamente hasta el ltimo nivel, que se alcanza cuando solo contamos con una pareja del nivel anterior. Desde luego, el nmero de niveles de aproximacin que se alcanzan, depende de las aproximaciones que se hicieron en el nivel 1. En general, si en el primer nivel, iniciamos connaproximaciones, entonces alcanzaremos a llegar hasta el nivel de aproximacinn.Esquema de integracin de Romberg

JR (J, 0) Regla del trapecioR (J, 1) Regla de SimpsonR (J, 2) Regla de BooleR (J, 3) Tercera mejoraR (J, 4) Cuarta mejora

0R (0,0)

1R (1,0)R (1,1)

2R (2,0)R (2,1)R (2,2)

3R (3,0)R (3,1)R (3,2)R (3,3)

4R (4,0)R (4,1)R (4,2)R (4,3)R (4,4)

Se define la sucesin {R (J, K): J K} j= 0 de formulas de cuadratura para aproximar la integral de f (x) en [a, b] de la siguiente manera

R (J, 0) = T (J) para J 0, que es la regla recursiva del trapecioR (J, 1) = S (J) para J 1, que es la regla recursiva de Simpson R (J, 2) = B (J) para J 2, que es la regla recursiva de Boole

Las formulas {R (J, 0)} de partida se usan para generar las primeras mejores {R (J, 1)} que, a su vez, se usan para generar las segundas mejoras {R (J, 2)};

R (J, 1) = para J 1

R (J, 2) = para J 2 La regla general para construir recursivamente las mejores esR (J, K) = para J K

Ejemplo:Calcule el rea bajo la curva de una funcin f (x) = xx en [1, 2] para n=10 aplicando el mtodo de Romberg.Se calcular el primer nivel en donde de realizar la regla del trapecio dependiendo de las particiones que indique cada seccin.RnhJ 1R TrapecioR Simpson

00.10.052.008553692

10.50.2510.04276846

20.250.1255.021384231

30.1250.06252.510692115

40.06250.031251.255346058

50.031250.0156250.627673028

60.0156250.00781250.313836514

70.00781250.003906250.156918257

80.003906250.0019531250.078459128

90.0019531250.00097656250.039229564

100.00097656250.000488281250.019614782

R Trapecio: = [(1e1) (2e2)] = 2.008553692

= [(1e1) (2e2)] = 0.313836514

= [(1e1) (2e2)] = 10.04276846

= [(1e1) (2e2)] = 0.156918257

= [(1e1) (2e2)] = 5.021384231

= [(1e1) (2e2)] = 0.078459128

= [(1e1) (2e2)] = 2.510692115

= [(1e1) (2e2)] = 0.039229564

= [(1e1) (2e2)] = 1.255346058

= [(1e1) (2e2)] = 0.019614782

= [(1e1) (2e2)] = 0.627673028

Esquema de integracin de RombergJR (J, 0) Regla del trapecioR (J, 1) Regla de SimpsonR (J, 2) Regla de BooleR (J, 3) Tercera mejoraR (J, 4) Cuarta mejora

02.008553692

110.0427684612.98750738

25.0213842313.280922656

32.5106921151.67379444

41.2553460581.250473524

50.6276730280.62705941

60.3138365140.313759875

70.1569182570.156908678

80.0784591280.07846793

90.0392295640.039229414

100.0196147820.019614763

R Simpson:R (J, K) =

A1 = = 12.98750738

A6 = = 0.313759875

A2 = = 3.280922656

A7 = = 0.156908678

A3 = = 1.67379444

A8 = = 0.07846793

A4 = = 1.250473524A9 = = 0.039229414

A5 = = 0.62705941

A10 = = 0.019614763

Para la tercera columna ser, la formula de Romberg quedar as:

A2n =

A21 = = A22 = = A23 = = A24 = = A25 = = A26 = = A27 = = A28 = = A29 = = A210 = =