MTODO DE LAGRANGE Y EULER PARA ANALISIS DE FLUJO DE FLUIDOSPara describir un campo de flujo, se puede adoptar cualquiera de los dos enfoques. El primer enfoque, conocido como descripcin lagrangiana (en honor del matemtico francs J. L. De Lagrange, 1736-1813), identifica cada partcula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo. Matemticamente la velocidad del fluido se escribe como:V = V (identidad de la partcula, t)Las variables independientes son la identidad de la partcula y el tiempo. El enfoque lagrangiano se usa ampliamente en el campo de la mecnica de los fluidos y en el estudio de la dinmica. Una descripcin lagrangiana es atractiva si se trata de un nmero de partculas pequeo. Si todas las partculas se mueven como un slido rgido o si todas las partculas se desplazan solamente un poco de su posicin inicial o su posicin de equilibrio. Sin embargo, en un fluido en movimiento, identificar y seguir el rastro de varias partculas es virtualmente imposible. Surgen complicaciones adicionales debido a que una partcula tpica de fluido con frecuencia experimenta un desplazamiento largo. Por estas razones, en la mecnica de fluidos la descripcin lagrangiana no es muy til.El segundo enfoque, denominado descripcin euleriana (en honor de matemtico suizo L. Euler, 1707-1783), fija su atencin sobre un punto particular (o regin) en el espacio y describe lo que sucede en ese punto (o dentro y en las fronteras de la regin) a lo largo del tiempo. Las propiedades de la partcula de fluido dependen de la localizacin de la partcula en el espacio y el tiempo, matemticamente, el campo de velocidad se expresa como:V = V (x, y, z, t)Las variables independientes son la posicin en el espacio, representada por las coordenadas cartesianas (x, y, z) y el tiempo. Se puede hablar acerca de la velocidad del fluido a la salida de la tubera, en 3 segundos despus de haberse iniciado el flujo, o de la presin del aire a 3 pulgadas adelante del toldo del automvil. Probablemente en cada instante una partcula diferente de fluido ocupa ests posiciones, pero esto no importa. Como la identificacin de puntos fijos en el espacio generalmente es ms fcil que identificar piezas individuales de fluido, la descripcin euleriana se emplea con mucha frecuencia en la mecnica de fluidos. Resolver un problema de flujo de fluidos requiere entonces la determinacin de la velocidad, la presin, etc., en funcin de coordenadas de espacio y tiempo. Se puede emplear entonces las funcionesV(x, y, z, t) o P (x, y, z, t)Para encontrar la velocidad o presin en cualquier lugar dentro del campo en cualquier instante, sustituyendo simplemente los valores para x, y, z y t.La descripcin euleriana resulta particularmente adecuada a los problemas de la mecnica de fluidos, ya que no establece lo que le sucede a cualquier partcula de fluido en especial. La aplicacin en ingeniera de un anlisis de flujo trata los efectos del movimiento de los fluidos sobre ciertos objetos, tales como los alabes de una bomba o las ventanas de un edificio. Para el diseador de un edificio, es importante la presin sobre la ventana y no el efecto de la ventana sobre una partcula de fluido en particular.Para describir el campo de velocidades de una regin de flujo se puede recurrir a dos enfoques: Dos posibles mtodos para llegar a la expresin del vector velocidadDescripcin segn EulerSe selecciona un punto en el espacio (xo, yo, zo) y se describe el movimiento de la partcula que lo ocupa en los diferentes instantes (t). As el campo se escribirV=V(xo, yo, zo, t) que es una funcin vectorial que indica cual es el valor de la velocidad en un punto fijo en el espacio (xo, yo, zo) a medida que las partculas pasan por all (t), por supuesto que esa funcin dar las componentes de la velocidad en ese punto en cada momento.- se estudia una regin del espacio- velocidad de las distintas partculas en funcin del tiempo- Asigna un campo de velocidades al espacio, independientemente de las partculas de fluido.

Descripcin segn LagrangeEn este caso se describe el comportamiento de una partcula fluida en particular. Como la partcula est en movimiento su posicin es una funcin del tiempo, y por consiguiente cada una de sus coordenadas es una funcin de posicin:x=x(t)y=y(t)z=z(t)Una vez posicionada la partcula en el espacio en un instante dado se puede indicar su velocidad en ese punto en ese instante, lo cual puede escribirse asV=V(x(t), y(t), z(t), t)

- Seguimiento de las partculas, (x, y , z) no son coordenadas fijas - flujos con lmites marcados: movimiento de gotas aislada- Describe el movimiento de cada partcula individual.

SMIL ANLISIS DE FLUIDOS: TRFICO EN UNA AUTOPISTA

DESCRIPCIN LAGRANGIANA: velocidad y trayectoria de determinados coches DESCRIPCIN EULERIANA: estudio de un tramo de autopista, los coches estn cambiando continuamente- medida de la velocidad de los coches en funcin del tiempo y del tramo- flujo o nmero de coches que pasan por un tramo de autopista

La Mecnica de Fluidos estudia la interaccin entre los fluidos y su entorno. Adems los fluidos estn constituidos por una sucesin continua de partculas que interaccionan entre si y entre los contornos. Como metodologa de estudio se dispone de dos alternativas:

-La identificacin de cada partcula fluida y su evolucin en el tiempo; es decir, se trata de determinar la posicin de la partcula en funcin del tiempo, adems de conocer las magnitudes asociadas a cada partcula. Este es el mtodo de LAGRANGE, que es el usado normalmente en Mecnica de Slidos.

-En Mecnica de Fluidos, es ms conveniente conocer el valor de las magnitudes en las diversas posiciones que ocupan las partculas fluidas, con independencia de la partcula que lo ocupa en un instante determinado. Este es el mtodo de EULER, en el que se estudia la evolucin temporal de las variables, en un determinado punto del espacio.

Al movimiento de un fluido se le denomina flujo, y en su anlisis es conveniente utilizar algn tipo de representacin. Cada mtodo de anlisis utiliza diferentes procedimientos de representacin:

-En el mtodo lagrangiano, se definen las trayectorias de las partculas como lugar geomtrico de las diferentes posiciones ocupadas por de las partculas. La ecuacin de una trayectoria se obtiene a partir de las siguientes expresiones:

-En el mtodo euleriano, se definen las lneas de corriente, que son las envolventes tangenciales de los vectores velocidad de todas las partculas en un instante determinado. Su ecuacin se obtiene a partir de la siguiente expresin:

En el estudio de flujos hay que analizar el estado de movimiento del fluido, definido por las ecuaciones de conservacin (leyes fundamentales en el movimiento de fluidos), por las ecuaciones de constitucin (leyes del comportamiento del fluido) y por las condiciones de contorno (impuestas por la geometra y el entorno).

Las ecuaciones de conservacin y de constitucin, junto con las condiciones de contorno, aplicadas a cada una de las partculas del fluido, dan sistemas de ecuaciones diferenciales, cuya resolucin lleva a definir el flujo, en cuanto al campo de velocidades (cinemtica) y al campo de fuerzas (dinmica). Este tipo de anlisis diferencial da lugar a sistemas de ecuaciones en derivadas parciales, que son de difcil resolucin; es posible encontrar soluciones analticascon hiptesis restrictivas, y tambin se pueden obtener soluciones aproximadas utilizando las tcnicas de simulacin numrica, que constituye la mecnica de fluidos computacional (CFD: computational fluid dynamics), en la que las derivadas se sustituyen por relaciones algebraicas en un nmero finito de puntos del flujo (mallado).

Si no se est interesado en el estado de movimiento del fluido, sino en sus efectos sobre una determinada regin del flujo, se puede establecer otro tipo de anlisis que evale las caractersticas globales del flujo: caudales, fuerzas, momentos, potencias,... A la regin de estudio en la que se consideran las interacciones entre entorno y fluido se le denomina volumen de control; las modificaciones sobre el entorno que introduce el flujo en su entrada- residencia salida del volumen de control, o que el entorno introduce en las propiedades del flujo, vienen determinadas por las ecuaciones integrales de conservacin aplicadas al sistema aislado entorno-volumen de control. Este mtodo de anlisis integral se fundamenta en las ecuaciones integrales que dan las velocidades de variacin de las propiedades del fluido a su paso por el volumen de control.

Cuando el flujo es complejo y el anlisis diferencial no aporta soluciones (por ser insuficientes las ecuaciones o porque la resolucin de los sistemas en derivadas parciales no es posible), y debido a que el anlisis integral da resultados globales, es necesario recurrir a un anlisis experimental, en el que los resultados se obtienen a partir de las magnitudes medidas en los experimentos. En este mtodo de anlisis aparecen dos problemas: el gran nmero de variables que intervienen en la descripcin del flujo y la imposibilidad, en ciertos casos, de ensayar en condiciones reales. Para abordar estos problemas, se dispone del anlisis dimensional que permite reducir el nmero de variables y la teora de modelos, con la que se correlacionan los resultados experimentales de un modelo con los que tendra su prototipo.

El anlisis diferencial puede ser utilizado para cualquier tipo de flujo, pero la dificultad de establecer y resolver sistemas de ecuaciones diferenciales limita el mtodo; tambin el anlisis experimental puede aplicarse a cualquier flujo, pero las dificultades inherentes a las tcnicas experimentales, presupuesto y universalidad, son las que limitan el mtodo; en cuanto al anlisis integral, aporta resultados en el estudio de flujos, pero siempre de magnitudes globales.

El anlisis diferencial comenz con EULER y LAGRANGE en el siglo XVIII, el anlisis dimensional tuvo sus primeros pasos con RAYLEIG a finales del siglo XIX, y el anlisis integral, aunque propuesto por EULER, se desarroll a mediados del siglo XX. En la actualidad las potentes tcnicas de clculo numrico, implementadas en ordenadores cada vez ms rpidos, han hecho posible el resurgimiento del anlisis diferencial, en cuanto a la posibilidad de resolucin de flujos cada vez ms complejos. En cuanto al anlisis experimental, el desarrollo de sensores especficos (piezoelctricos de presin, extensiomtricos de fuerza,...) y de tcnicas cada vez menos intrusivas(velocimetra lser-doppler, velocimetra de partculas, hilo caliente,...), est aportando medidas cada vez ms fiables.