Mtodo de la Viga Conjugada

INTRODUCCIN:Para la resolucin matemtica de la estructura, es decir, el estudio de las cargas y esfuerzos, existen varios mtodos de anlisis de deformaciones de vigas.La asignatura de Resistencia De Materiales es muy importante porque brinda al estudiante las herramientas necesarias para determinar deflexiones y giros en elementos estructurales es por eso que para resolver un problema de anlisis estructural es necesario hacer tanto un estudio matemtico, para determinar las cargas y esfuerzos que afectan a la estructura, como un estudio arquitectnico, para determinar el material a utilizar en la construccin de la estructura as como sus dimensiones.Para eso hay varios mtodos matemticos de anlisis de deformaciones de vigas entre ellos tenemos: Mtodo de rea de momento

Mtodo de viga conjugada,

Tres momentos

Mtodo de la doble integracin

Mtodo matricial.

OBJETIVO: Demostrar la importancia del uso de la viga conjugada

MARCO TERICO

Mtodo de la viga conjugada

El mtodo de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego, aplicando la esttica se hallan las cortantes y momentos en la viga ficticia. Donde el cortarte ser el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada ser el desplazamiento en la misma.

Este mtodo que nos permitir calcular giros y flechas de los elementos horizontales denominados vigas y para el caso de las columnas, nos permitir calcular giros y desplazamientos.

MTODO DE LA VIGA CONJUGADA Fundamentos Tericos.Derivando 4 veces la ecuacin de la elstica se obtiene. (ordenada de la elstica) = M

La relacin entre ordenadas, pendientes y momentos son las mismas que las que existen entre momento, fuerza cortante y carga. Esto sugiere que puede aplicarse el mtodo de rea de momentos para determinar el momento flector, partiendo del diagrama de cargas, de la misma manera que se ha empleado para determinar las ordenadas a partir del diagrama de momentos.La analoga entre las relaciones entre carga-fuerza, cortante-momento flector y entre momento-pendiente-ordenadas, sugiere que stas ltimas se puedan establecer con los mtodos de diagramas de fuerza cortante y momento flector para calcular la fuerza cortante y momento flector a partir de las cargas. Para ello hay que suponer que la viga est cargada, no con las cargas reales sino con el diagrama de M/EI correspondiente a dichas cargas.Considerando entonces este diagrama de M/EI como una carga ficticia, se calcula la fuerza cortante y momento flector ficticios, en un punto cualquiera, que se corresponden con la pendiente y la ordenada de la elstica en los mismos puntos de la viga inicial. A este mtodo se le denomina Mtodo de la Viga Conjugada: Aplicando a una viga cargada con el diagrama de M/EI los principios estudiados para hallar la fuerza cortante y momento flector se tiene:

1. Pendiente real = Fuerza Cortante Ficticia.2. Ordenada real = Momento Flector Ficticio.

Definicin De Viga Conjugada

Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado de la comprensin.La viga conjugada es siempre una viga estticamente determinada con eso llegamos a la cortante en cualquier seccin de la viga conjugada es el giro en la viga real en dicha seccin.El momento flector es una seccin de la viga conjugada es la flecha en la viga real en dicha seccin.

Relacin Entre La Viga Real Y La Viga Conjugada

(primera integracin)

(segunda integracin)

Un apoyo extremo en la viga principal (ordenada, o sea segunda integral, nula) ha de transformarse en un apoyo (M ficticio, o sea segunda integracin nula) en la viga conjugada. Un apoyo intermedio en la viga principal (ordenada, o sea segunda integral, nula y pendiente o primera integracin cualquiera. Pero igual a ambos lados) ha de transformarse en una articulacin de la viga conjugada (M ficticio, segunda integracin nula, nula V ficticio o sea primera integracin, cualquiera pero igual a ambos lados). Un extremo empotrado en la viga principal (pendiente y ordenada o sea primera y segunda integracin nulas) ha de transformarse en un extremo libre en la viga conjugada (V ficticia y M ficticio, o sea primera y segunda integracin nulas). Un extremo libre en la viga principal (pendiente y ordenada o sea primera y segunda integracin, lo que corresponda por las restantes condiciones de sujecin y momentos flectores) ha de transformarse en un extremo empotrado en la viga conjugada (V ficticia y M ficticio, o sea primera y segunda integracin, lo que corresponda por las restantes condiciones se sujecin y cargas ficticias).

*Demostracin Analtica De La Relacin Entre Fuerza Cortante Ficticia Y Pendiente Real Y Momento Flector Ficicio Y Ordenada Real

,

En la viga conjugada calculamos el valor de rA: MB= 0

De 1 y 2 concluimos que A = rAEl giro en el apoyo es igual a la flecha cortante en el apoyo correspondiente de la viga conjugada segn la ecuacin de Breese c=A AC

Calculando en la viga conjugada la fuerza cortante en C

De 3 y 4 concluimos que:

Por lo tanto podemos concluir:EL GIRO ES UNA SECCION CUALESQUIERA DE LA VIGA REAL ES IGUAL A LA FUERZA CORTANTE EN LA SECCION CORRESPONDIENTE DE LA VIGA CONJUGADA.

En la viga real vemos que la flecha del punto C es:

En la viga conjugada:

Donde Mfc es el momento flector de c en la viga conjugada.

De la ecuacin (5) y (6) concluimos que:

Es decir:LA FLECHA O DEFLECCION VERTICAL ES UNA SECCION CUALESQUIERA DE LA VIGA REAL ES IGUAL AL MOMENTO FLECTOR EN LA SECCIN CORRESPONDIENTE DE LA VIGA CONJUGADA.Convencin de signos: Si la FUERZA CORTANTE sale con signo POSITIVO el GIRO es HORARIO Si el MOMENTO FLECTOR sale con signo NEGATIVO la FLECHA es HACIA ABAJO.

En la figura se muestran los tipos de apoyo en las vigas reales y su equivalente en la viga conjugada.

VIGA REAL VIGA CONJUGADA

Tipo de apoyo CondicinCondicin equivalente Tipo de apoyo

Simple

Simple

Empotramiento

Libre

Libre

Empotramiento

Apoyo interior

Articulacin

Articulacin interior

Apoyo interior

Tercer Teorema De Mohr, Teorema De La Viga Conjugada.Definimos como viga conjugada de otra dada a la misma viga con idnticas condiciones geomtricas y de sustentacin, pero con un sistema de cargas que coincide con el diagrama de momentos flectores de la primera. As, por ejemplo, si tenemos una viga en mnsula con una carga puntual en el extremo, la viga conjugada se obtendra de la siguiente manera:

Una vez que tenemos calculado el diagrama de momentos flectores, la viga conjugada de sta, sera otra mnsula idntica, pero con el esquema de cargas coincidente con el diagrama de momentos flectores obtenido. Y como ste es negativo, para seguir con el convenio de signos adoptado, las cargas seran hacia abajo.

Si se quiere calcular el giro en cualquier seccin de la viga primera, pero utilizando el mtodo de la conjugada, ste sera igual al valor del cortante dividido por EI en la conjugada.

Si lo que queremos calcular es la flecha en una seccin cualquiera de la viga primera, sta sera igual al valor del Momento flector dividido por EI en la conjugada.

Postulados:

El giro en cualquier seccin de la viga real, es igual al cortante en la seccin correspondiente de la viga conjugada.La flecha en cualquier seccin de la viga real, es igual al momentoflectoren la viga conjugada en la seccin correspondiente. Los apoyos de la viga real, para la viga conjugada se transforman a las indicadas en la figura. Estas transformaciones se han hecho teniendo en cuenta que la viga conjugada debe ser estticamente determinada. Convencin de signos:

Si el cortante es (+): el giro es (-)Si el cortante es (-): el giro es (+)Si el momento es (+): el desplazamiento es hacia abajo.Si el momento es negativo: el desplazamiento es hacia arriba.