Instrucciones: Resuelve cada uno de los ejercicios que se presentan a continuacin.1. Escribe un ejemplo de sistema lineal homogneo y un ejemplo de sistema lineal no homogneo. Justifica tu respuesta.Solucin:Un sistema lineal homogneo sera:

Es homogneo pues sus valores constantes independientes son nulos, es decir, es de la forma pues lo podemos escribir como:

Por otra parte, un sistema lineal no homogneo sera de la forma donde los valores constantes independientes . Un ejemplo sera:

Donde que en forma matricial se escribe:

2. Muestra que las siguientes ecuaciones

son soluciones del sistema

y encuentra sus puntos crticos.Solucin:Tenemos que debe cumplirse:

En este caso , tenemos entonces:

Como:

Entonces:

Y tambin:

Por tanto y se muestra que las ecuaciones son soluciones del sitema.Para los puntos crticos tenemos que la matriz de coeficientes es:

Su determinante es:

Por tanto el nico punto crtico es el origen.

3. Para el siguiente sistema, escribe su matriz fundamental, calcula el Wronskiano para mostrar que las soluciones son linealmente independientes y resuelve el problema de valor inicial por medio del principio de linealidad.

Con valor inicial

Y soluciones y Solucin:El Wronskiano de las soluciones es:

Por tanto las soluciones son linealmente independientes.Por otra parte, evaluando las condiciones iniciales en las soluciones tenemos:

Luego, por el principio de linealidad, existen reales tales que:

Resolviendo:

Por tanto la solucin del problema con valor inicial sera:

4. Encuentra los valores y vectores propios del siguiente sistema y de acuerdo a ellos esboza cmo ser su plano fase.

Solucin:El polinomio caracterstico del sistema es:

Calculamos los valores propios:

El vector propio asociado lo obtenemos:

Como los valores propios son repetidos, procedemos escribiendo el determinante:

Por eliminacin Gauss-Jordan tenemos:

De aqu tenemos que por lo que eligiendo tenemos que con lo que obtenemos el vector pero de la segunda fila tenemos tambin que por lo que otro vector sera: Luego el plano fase corresponde a valores propios repetidos y positivos con lo que las trayectorias se alejan del punto crtico que es un nodo degenerado inestable. El plano fase es entonces:

5. Encuentra la solucin general del siguiente sistema homogneo y esboza el plano fase de acuerdo a los valores propios del sistema.+Solucin:Calculamos los valores y vectores propios del sistema homogneo:

Luego para los vectores propios:

De aqu que si entonces:

Por lo que un vector propio es:

Como y , la solucin general ser:

Luego como se trata de un sistema de valores propios complejos y conjugados cuya parte real es positiva, las trayectorias son cclicas y se alejan del origen por lo que el plano de fase es: