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Mecánica y fluidos

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©2007 Departamento de FísicaUniversidad de Sonora

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TemarioIII.- VECTORES.

1. Clasificación de cantidades físicas: Escalares y vectores.2. Representación de un vector:

Gráficamente.Analíticamente:

Mediante magnitud y dirección Mediante componentes y vectores unitarios

3. Operaciones con vectores:Suma y resta:

Método gráfico. Método analítico.

Producto de un escalar por un vector. Producto escalar o producto punto. Producto vectorial o producto cruz.

Cinemática en una dimensión.

Para describir un movimiento en una dimensión sólo se requiere especificar la posición x y la velocidad v al tiempo t, es decir x(t)y v(t), relaciones conocidas como ecuaciones de movimiento.

Introducción

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IntroducciónEn este caso, tanto la posición como la velocidad y el tiempo,

se representan por un numero real.Además, las operaciones entre ellos son las ordinarias de la

aritmética: suma, resta, multiplicación y división; es decir el algebra de los números reales

Por ejemplo, en la figura el auto cambia su posición del punto A B

Δx = 50m - 30m = 20m

IntroducciónEl estudio de la Física va de lo sencillo a lo complejo y de lo particular a lo general.

En este contexto, se vuelve necesario analizar el movimiento de un cuerpo que se mueve ya no en un eje (o recta), como lo hemos hecho hasta ahora con el estudio del movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), sino en dos ejes mutuamente perpendiculares que forman una superficie plana o, simplemente, plano.

Estos ejes serán ahora nuestro sistema de referencia, al cual también se le conoce como Sistema de coordenadas cartesianoo coordenadas rectangulares.

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Sistema de coordenadas cartesiano o coordenadas rectangulares

y + (unidades)eje vertical(variable dependiente)

x + (unidades)eje horizontal

(variable independiente)

0 1 2 3 4

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3-4l l l l l

l l l

l l l l l

l l ll

3

abscisas

ordenadas

Introducción

En dos dimensiones la posición queda determinada por un punto en el plano cartesiano.

Se especifica a partir del origen del sistema, ya sea:

Mediante la pareja de puntos coordenados: (x,y).Especificando la distancia y el ángulo (tomando en cuenta a partir de qué eje y hacia dónde se mide dicho ángulo).

θ

y + (m)

x + (m)0 1 2 3 4

1

2

-1-1-2-3-4

3 (4,3)

d

I cuadranteII cuadrante

III cuadrante IV cuadrante- 2

l l l l l l l l l l

Introducción

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1.- Clasificación de cantidades físicas: Escalares y vectores

Hasta esta parte del curso, hemos hecho uso de conceptos como posición o velocidad sobre un eje, en los que sólo ha sido necesario especificar la magnitud; pero en el momento en que hemos intentado estudiar el movimiento en dos dimensiones, nos hemos topado con la necesidad de especificar, por ejemplo, la posición como un par de puntos coordenados o como una distancia (magnitud) y una dirección.

En este punto es pertinente hacer notar la existencia de conceptos de mecánica en los que nos encontraremos con dos diferentes tipos de magnitudes: escalares y vectoriales.

1.- Clasificación de cantidades físicas: Escalares y vectores

Escalares.

Las magnitudes escalares son aquellas que quedan totalmente determinadas dando un sólo número real y una unidad de medida, es decir, es suficiente especificar el ”cuánto”.

Ejemplos de este tipo de magnitud son la cantidad de manzanas en un cesto, la longitud de un hilo, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos.

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1.- Clasificación de cantidades físicas: Escalares y vectores

Se las puede representar mediante segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al número real que indica su medida.

Otros ejemplos de magnitudes escalares son la densidad, el volumen, el trabajo mecánico, la potencia, la temperatura, etc.

1.- Clasificación de cantidades físicas: Escalares y vectores

Vectores.A las magnitudes vectoriales, a diferencia de las cantidades

escalares, no se les puede determinar completamente mediante un número real y una unidad de medida, en el caso de las cantidades vectoriales es necesario especificar el “cuánto” y el “para dónde”.

Por ejemplo, para dar la velocidad de un móvil en un punto del espacio, además de su intensidad se debe indicar la dirección del movimiento (dada por la recta tangente a la trayectoria en cada punto) y el sentido de movimiento en esa dirección (dado por las dos posibles orientaciones de la recta). Al igual que con la velocidad ocurre con las fuerzas: sus efectos dependen no sólo de la intensidad, sino también de las direcciones y sentidos en que actúan.

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1.- Clasificación de cantidades físicas: Escalares y vectores

Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son la aceleración, el momentum o cantidad de movimiento, el momentum angular, etc.

Para representarlas hay que tomar segmentos orientados, o sea, segmentos de recta cada uno de ellos determinado entre dos puntos extremos dados en un cierto orden.

campo magnéticocorrientedensidad de corrientevoltaje

campo eléctricocargamomentotemperaturafuerzatrabajo

aceleraciónvolumenvelocidadmasa

desplazamientodistanciaposicióntiempo

VectoresEscalares

Escalares y vectores en física

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Considere que un cuerpo inicialmente se encuentra en el origen, a partir de allí recorre 4m en dirección horizontal en el sentido del eje de las x positivas.

Posteriormente se mueve 3m en dirección vertical en sentido del eje y positivo.

Representación gráfica del vector cambio de posición en el plano

y + (m)

x + (m)0 1 2 3 4

1

2

-1-1-2-3-4

3 (4,3)

- 2

A

B

Posición inicial

Posición final

2.- Representación de un vector.

En este caso, el desplazamiento o cambio de posición se representa mediante la flecha C que va desde la posición inicial hasta la posición final.

2.- Representación de un vector.Representación gráfica del vector cambio de posición en el plano

y + (m)

x + (m)0 1 2 3 4

1

2

-1-1-2-3-4

3 (4,3)

- 2

A

B

Posición inicial

Posición final

Tiene las siguientes características:

Magnitud (o longitud): 5 mDirección: 36.870

Sentido: al Norte del Este

C

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Gráficamente, un vector es representado por una flecha. La magnitud o módulo del vector es proporcional a la longitud de la flecha.

La magnitud o módulo del vector se indica por |A|o simplemente A.

A

A

Un vector se acostumbra a denotar por una letra con una flecha sobre ella.

2.- Representación de un vector.

Analíticamente, un vector se puede representar:mediante el uso de coordenadas cartesianas. En este caso, se requieren 2 números ordenados (x,y) si se trata de un vector en dos dimensiones (plano) o 3 números ordenados (x,y,z) si el vector se ubica en un espacio tridimensional. En el ejemplo anterior, el vector desplazamiento se representa como C = (4,3).

mediante la magnitud y la dirección. En este caso, la dirección se puede especificar mediante un ángulo (polar) medido respecto a un eje (generalmente, un eje horizontal dirigido a la derecha que, en el plano cartesiano, corresponde al eje +x), cuando se trate de un vector en el plano (2D); en el caso en que tengamos un vector en 3 dimensiones hará falta un segundo ángulo, generalmente llamado azimutal. En el ejemplo anterior, el vector desplazamiento se representa como C = 5m a 36.87 al Norte del Este.

2.- Representación de un vector.

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Igualdad de vectores: Sean A y B dos vectores, se establece que son iguales, es decir A = B si y solo tienen igual magnitud y dirección.

Vector nulo. Un vector nulo se define como aquel cuya magnitud es cero, es decir si

entonces es un vector nulo.

B

0A A≡ =

AA B=

AB

Algunas propiedades de los vectores.

A

Vector opuesto: Se llama vector opuesto de A , al vector que tiene la misma magnitud y dirección, pero con sentido opuesto a A , el cual se representa por –A.

A continuación se representan, tanto el vector original, como su opuesto.

A

A

A−

AA−

Algunas propiedades de los vectores.

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Sean A y B dos vectores cualquiera, para obtener la suma de ambos vectores se procede de la siguiente forma:

Suma gráfica de vectores: método del paralelogramo

Se forma un tercer vector de tal forma que se construya un triángulo con ambos vectores formando dos lados del triángulo.

El vector que va desde el origen de A hasta el extremo de B es definido como el vector suma A + B .

Este procedimiento se conoce como método del paralelogramoy es muy útil cuando trabajamos con dos vectores.

BA

A B+A B

A B+

Suma de vectores.

BA

En ocasiones es necesario realizar la suma de más de dos vectores, en tal caso el procedimiento recibe el nombre de método del polígono. En este caso se procede de la siguiente forma:

Se coloca el primer vector en el origen de coordenadas, A partir del extremo de este primer vector se coloca el inicio del segundo vector, Al final de este segundo vector se coloca el inicio del tercero, y así sucesivamente; La resultante (o suma) es el vector que inicia en el punto inicial del primer vector y termina en el punto final del último vector involucrado en la suma.

Suma gráfica de vectores: método del polígono

Suma de vectores.

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Método del paralelogramo. Una persona caminando 3.0m al este y

luego 4.0m al norte se ubica 5.0m a 530 al Norte del Este.

Suma gráfica de vectores: un par de ejemplos

Suma de vectores.

Método del polígono. La resultante (o suma) R es el vector que empieza al inicio del primer vector y termina al

final de cuarto vector.

Suma de vectores.Sustracción o resta gráfica de vectores

La diferencia de 2 vectores A y B , representada por A – B , es el vector -B sumado al vector A , es decir

A B−

( )A B A B− = + − B− B

A B−A

BAB− A

A continuación se muestra el método del paralelogramo,

aplicado a este caso.

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Propiedad conmutativa de la suma

B

A B+

A A

B

B

S

+A

Suma de vectores.

Esta propiedad establece que la suma de dos vectores es la misma, independientemente del orden de los sumandos.

En el esquema adjunto se representa esta

propiedad de la adición de vectores.

A

B

B

DD

A B−

Propiedad conmutativa de la resta

Suma de vectores.

Esta propiedad establece que la resta de dos vectores es la misma, independientemente del orden en que se realicen las operaciones.

En el esquema adjunto se representa esta propiedad de la

sustracción de vectores.

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Producto de un vector por un escalar

El producto de un vector A por un escalar m es un vector mA con magnitud |m| veces la magnitud de A y con la misma dirección de A , pero el sentido puede ser opuesto al de A , según si m es positivo o negativo.

A

3A

2A−

Am A⋅

A

AA

Es importante mencionar que m puede ser mayor o menor que 1.

Vector unitarioEs un vector que expresado en las unidades

correspondientes tiene magnitud uno, de allí su nombre.

Se acostumbra a representar por una letra con acento circunflejo:

n Vector unitarioCualquier vector puede ser representado como el

producto de un vector unitario a en la dirección de A, y la magnitud de A.

O seaˆA Aa=

aA A

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A cualquier conjunto de vectores que al sumarse den como resultante el vector A se les llama los componentes de A .

Componentes de un vectorCualquier vector A puede

considerarse siempre como la suma de dos o mas vectores

A

A

A

Aunque el método gráfico puede ser muy útil para entender fácilmente las operaciones con vectores, no se pueden calcular las variables con precisión.

Para cálculos generalmente se trabaja usando las llamadas “componentes” del vector. Las componentes facilitan el cálculo de la operaciones con vectores, tales como la suma, resta y multiplicación de vectores.

La definición detallada se desprende de la figura. Para el caso de desplazamientos, las componentes corresponden a las coordenadas del punto final respecto al sistema, siempre y cuando el origen del vector coincida con el sistema coordenado.

Componentes de un vector

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z

x

y

zA

xA

yAik j

Si se considera un sistema cartesiano XYZ, cualquier vector en el espacio podrá ser considerado como la suma de 3 vectores en las direcciones X, Y y Z que se llamaran respectivamente.

A

, ,x y zA A A

Componentes 3D de un vector

Si se llaman a los tres vectores unitarios en las direcciones X, Y, Z respectivamente, tenemos que

x y zA A A A= + +ˆˆ ˆ, , i j k

kAA

jAAiAA

zz

yy

xx

ˆ

ˆˆ

=

=

=

Entonces podemos escribir

Componentes 3D de un vector

z

x

y

zA

xA

yAik j

A

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El modulo de estaría dado por:

Por lo tanto un vector en el espacio, podrá escribirse siempre en la forma:

A

A

kAjAiAA zyxˆˆˆ ++=

222zyx AAAA ++=

z

x

y

zA

xA

yAik j

A

Componentes 3D de un vector

Representación polar y rectangular.

Existen dos maneras de especificar un vector en 2D: la representación polar y la representación cartesiana o rectangular. En ambas se usan dos números reales.

• Representación polar (r,θ). Esta es más intuitiva ya que usa la magnitud del vector (un número positivo) y el ángulo que define la dirección (el cual se mide a partir del eje +x en dirección contrarreloj).

• Representación cartesiana o rectangular (Ax, Ay). Esta usa las componentes del vector en dirección de los ejes cartesianos x y y.

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x

y y

Relaciones entre las dos descripcionesPara establecer la relación existente entre ambas

representaciones es conveniente recurrir al siguiente esquema.

Representación polar y rectangular.

Usando la trigonometría, encontramos que

Al usar la calculadora para encontrar θ, siempre dará un valor entre –π/2 y +π/2. Si x<0 se le debe sumar π al resultado de la

calculadora, y si x>0 pero y<0, habrá que sumar 2π.

2 2 1

Polar a rectangular:

Rectangular a polar:

tan

x rCos y rSen

yr x yx

θ θ

θ −

= =

⎛ ⎞= + = ⎜ ⎟⎝ ⎠

En el esquema adjunto, podemos ver que lo anterior nos lleva a que

y

Suma algebraica de vectores.En el caso de la suma (o resta) analítica de vectores, las cosas

son muy sencillas debido a que para obtener la resultante basta simplemente con sumar (o restar) por separado las componentes de los vectores involucrados en la operación.

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Producto escalar o producto “punto”.

El producto escalar de dos vectores, representado por el símbolo A . B , se define como el producto de las magnitudes de A y B , por el coseno del ángulo entre los dos vectores.

AB

BA ⋅θ

A

B

El producto punto (o producto interior) también es llamado producto escalar debido a que el resultado, por definición, es una magnitud escalar.

Producto escalar o producto “punto”.

De donde se hace evidente que

Es decir, el producto punto es conmutativo.

cosA B AB θ⋅ ≡

ABBA ⋅=⋅

θ

B

A

La definición de producto punto, matemáticamente, se escribe como

También se puede ver que los vectores unitarios satisfacen que

1ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ kkjjii 0ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ ikkjji

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Producto escalar o producto “punto”.Si consideramos dos vectores A y B, dados por

yˆˆ ˆx y zA A i A j A k= + +

Entonces, el producto punto se puede escribir como

zzyyxx BABABABA ++=⋅

Notese que el producto escalar de un vector consigo mismo, es su magnitud al cuadrado

2222 AAAAAA zyx =++=⋅

ˆˆ ˆx y zB B i B j B k= + +

Producto vectorial o producto “cruz”El producto vectorial de dos

vectores , representado por el símbolo , se define como un vector cuyo módulo es el producto de las magnitudes de ambos vectores por el seno del ángulo entre ellos.

BA y BA×

La dirección del vector es perpendicular al plano formado por de tal manera que y

forman un sistema dextrógiro (regla de la mano derecha).

BA×BA y BA ,

BA×

θ

BA×

A

Bn

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Con lo anterior

En donde es un vector unitario que indica la dirección perpendicular a A y B acorde a la regla de la mano derecha. θ

BA×

A

Bn

nABsenBA ˆ( )=× θ

n

Producto vectorial o producto “cruz”

ABBA ×−=×

Producto vectorial o producto “cruz”De la definición, y acorde a la

regla de la mano derecha, es importante evidenciar la NO conmutatividad del producto vectorial, en esta operación “el orden de los factores SI altera el producto.

De la figura adjunta podemos ver que

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0ˆˆˆˆˆˆ =×=×=× kkjjii

kji ˆˆˆ =×

ikj ˆˆˆ =×

jik ˆˆˆ =×

i

k

j

Producto vectorial o producto “cruz”A partir de la definición de producto vectorial, se puede ver que los vectores unitarios satisfacen que

Si consideramos dos vectores A y B, dados porykAjAiAA zyx

ˆˆˆ ++= kBjBiBB zyxˆˆˆ ++=

zyx

zyx

BBBAAAkji

BA

ˆˆˆ=×

Producto vectorial o producto “cruz”

Entonces, el producto cruz se puede escribir como

por lo que será necesario desarrollar el determinante anterior para encontrar las componentes del vector AxB.