mecánica y fluidos - universidad de sonora

1

Mecánica y fluidos

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©2007 Departamento de FísicaUniversidad de Sonora

Contenido

3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES.

3.1 Posición y desplazamiento de una partícula en el plano.

3.2 Velocidad media y velocidad instantánea en el plano.

3.3 Aceleración media y aceleración instantánea en el plano.

2

Contenido

3.4 Ejemplos3.4.1 Movimiento de proyectiles: Características del

movimiento. Ecuaciones del movimiento para las dos direcciones Posición y velocidad en función del tiempo. Ecuación de la trayectoria.

Contenido3.4 Ejemplos

3.4.2 Movimiento circular uniforme: Sus características. Posición angular y desplazamiento angular. Definición de radian. Definición de período y frecuencia. Concepto de velocidad angular promedio e instantánea. Características del movimiento circular uniforme.Ecuaciones posición y velocidad angular contra tiempo. Relación entre velocidad lineal y angular. Aceleración centrípeta y sus expresiones en términos de la velocidad angular y la velocidad lineal.

3

3.1 Posici3.1 Posicióón y desplazamiento de una n y desplazamiento de una partpartíícula en el plano.cula en el plano.

X’

Z’

Y’

a=g

Trayectoria del cuerpo

Consideremos una partícula que al moverse describe una trayectoria curvilínea plana.

¿Cómo hacemos la descripción del movimiento de la partícula?.

4

X’

Z’

Y’

Para poder hacer la descripción del movimiento: Introducimos un sistema de referencia

Para una partPara una partíícula que cula que se mueve en un plano, se mueve en un plano, ssóólo dos direcciones lo dos direcciones son necesarias para son necesarias para

describir su describir su movimientomovimiento

X’

Z’

Y’

x

y

5

Trayectoriadel cuerpo

Tomaremos como sistema de referencia un par de ejes Tomaremos como sistema de referencia un par de ejes ortogonalesortogonales


Fijamos el origen y asignamos la direcciFijamos el origen y asignamos la direccióón con los vectores n con los vectores unitarios yunitarios yi

j(0,0) i

j

6

+y [L]

+x [L]


Elegimos las unidades y la escala de medida en cada eje.Elegimos las unidades y la escala de medida en cada eje.

j(0,0)

Finalmente, con cada punto de la Finalmente, con cada punto de la trayectoria asociamos un valor de la trayectoria asociamos un valor de la medida del tiempo t.medida del tiempo t.

i

Las cantidades físicas como el vector de posición

que ubica a la partícula en el instante de tiempo t1,

se miden respecto de este sistema de referencia

jir ˆyˆx 111 +=

+y [L ]

+x [L]

r 1

x1

y1

(0,0)1θ

7

Sea r2 el vector de posición que ubica a la partícula en el instante de tiempo t2 .

jir ˆyˆx 222 +=

+y [L ]

+x [L]

r 2

x2

y2

(0,0)2θ

Cuando la partícula se mueve de r1 a r2 en el intervalo de tiempo Δt = t2 - t1

+y [L]

+x [L]

r 1

r 2(x1 , y1) en t1

(x2 , y2) en t2

x2x1

y1

y2

θ

El vector de posición asociado con la posición de la partícula cambia.

(0,0)

8

El desplazamiento se define como el cambio en la posición de la partícula y se expresa como: Δr =r2-r1

θ

+y [L]

+x [L]

r 1

r 2

Δ y = y2 – y1

Δ x = x2 – x1

ΔΔrr

x2x1

y1

y2

(0,0)

( ) ( ) jir ˆyyˆxx 1212 −+−=Δ

El desplazamiento como cualquier otro vector tiene:

Magnitud,

dirección

Sentido: dado por la punta de la flecha del vector.

212

212

22 )()()()( yyxxyx −+−=Δ+Δ=Δr

xy

ΔΔ

= −1tanθ

9

Desplazamiento Δr

Tiene unidades de longitud

En el sistema MKS se mide en m, km etc

En el sistema Ingles en ft, mil, etc.

[ ] Lr =Δ

3.2 VELOCIDAD MEDIA EN EL PLANODefinimos la velocidad media durante el intervalo de tiempo Δt como la razón entre el desplazamiento ΔΔ rr y el intervalo de tiempo Δt:

La velocidad media es independiente de la La velocidad media es independiente de la trayectoria.trayectoria.La velocidad media tiene la misma direcciLa velocidad media tiene la misma direccióón y n y

sentido que el vectorsentido que el vector ΔΔ rr

v

trv

ΔΔ

=

10

La velocidad media es un vector cuyas dimensiones son:

En el sistema MKS se mide en m/s, Km/h etc.

En el sistema Ingles se mide en ft/s, Mill/h etc.

La magnitud de la velocidad se conoce como rapidez:

rt

ΔΔ

=1v

[ ]tLv =

Velocidad media.

Analicemos una vez mas el movimiento de un objeto que se mueve en un plano.

trayectoria

11

Velocidad media.

Para describir el movimiento, elegimos un sistema de referencia: asignamos el origen, el sentido, las unidades y la escala de cada eje.

x [L]

y [L]

trayectoria

(0,0)

Velocidad media.

Aproximamos al objeto por un punto.

Empezamos a medir el tiempo y lo denotamos como ti.

Al tiempo t1 asignamos el vector de posición r1 a ese punto

x [L]

y [L]

trayectoria

r1

(0,0)

12

Velocidad media en el plano.Como la partícula está en movimiento, en un tiempo posterior t2 cambia su posición y en consecuencia el vector de posición cambia.

x [L]

y [L]

trayectoria

r2

(0,0)

Velocidad media en el plano.La partícula continúa en movimiento y el vector de posición cambia en cada instante de tiempo.

x [L]

y [L]

trayectoria

r3

(0,0)

13

Velocidad media en el plano.

Hasta ahora, en nuestra descripción del movimiento, podemos conocer: el desplazamiento Δr de la partícula.

1

2

3

x [L]

y [L]

Δ r 21

Δ r 31 trayectoria

r 1

r 2 r 3

(0,0)

Podemos conocer la velocidad media.

La velocidad media entre es:

La velocidad media entre es:

Notamos que aun cuando consideremos el caso particular en que la rapidez sea constante, es

decir:

31

3131v

tr

ΔΔ

=

21

2121v

tr

ΔΔ

=12 tyt

13 tyt

constantevv 3121 ==

14

Los vectores con los que representamos a la velocidad media son diferentes.

1

2

3

x [L]

y [L]

trayectoria

r 1

r 2 r 3

21v

31v

(0,0)

Por que no tienen la misma dirección.

1

2

3

x [L]

y [L]

trayectoria

r 1

r 2 r 3

323121 vvv ≠≠

21v

31v

32v

(0,0)

15

Velocidad media …

Por este motivo, decimos que el vector velocidad media estácambiando de intervalo a intervalo de tiempo.

El concepto de velocidad media es insuficiente para describir el movimiento de la partícula en un plano cuando la trayectoria es curvilínea.

Para describir adecuadamente el movimiento de una partícula que se mueve en un plano describiendo una trayectoria curvilínea es necesario definir la velocidad en cada punto de la trayectoria.

Velocidad instantáneaAnalicemos nuevamente el movimiento de la partícula, con mayor detalle y siguiendo el procedimiento siguiente:

En el instante de tiempo t0, la partícula se encuentra en el punto de coordenadas (x0 , y0 ).

Posteriormente, en el instante de tiempo ti, la partícula se encuentra en el punto de coordenadas (x i , y i ).

Calcularemos la velocidad media entre esos dos puntos para conocer su dirección y sentido.

Repetiremos este procedimiento para intervalos de tiempo Δ t=(t i – t o) cada vez mas pequeños

16

Velocidad instantánea …

velocidad media en el intervalo de tiempo Δt.

trayectoria(x0 , y0)(x1 , y1)

x [L]

y [L]

r 0

r 1

Δ r10

01

1010v

ttr−

Δ=

(0,0)


velocidad media entre t 0 y t 2

(x0 , y0)

(x2 , y2)

x [L]

y [L]

trayectoria

r 0

r 2

Δ r 20

02

2020v

ttr−

Δ=

(0,0)

17


velocidad media entre t 0 y t 3

(x0 , y0)

(x3 , y3)

x [L]

y [L]

trayectoria

r 0

r3

Δ r 30

03

3030v

ttr−

Δ=

(0,0)


velocidad media entre t0 y tn

(x0 , y0)

(xn , yn)

x [L]

y [L]

trayectoria

r 0

rn

Δ r n0

0

0n0v

ttr

n

n

−Δ

=

(0,0)

18


Del procedimiento anterior, podemos decir que:

Al considerar intervalos de tiempo cada vez menores nos estamos acercando cada vez mas al punto de coordenadas ( x 0 , y 0 ) en el instante de tiempo t 0.

Si continuamos este proceso hasta que los dos puntos de estudio estén infinitesimalmente cercanos.

Obtenemos una cantidad física que se conoce como velocidad instantánea de la partícula.

Velocidad instantánea Definimos la velocidad instantánea como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Esta es la definición dederivada.

tdd

tt

t

t

t

t

rv

r-rlimv

rlimv

vlimv

0

0

0

0

0

=

−=

ΔΔ

=

=

→Δ

→Δ

→Δ

v

19


La velocidad instantánea esta dada por la derivada de la posición respecto del tiempo.

(x0 , y0)

x [L]

y [L]

trayec

toria

r 0 r

Δr Tangente a la curva en el punto (x0 , y0) en t0

(0,0)


La dirección del vector velocidad instantánea en cualquier punto en la trayectoria de la partícula está a lo largo de la línea que es tangente a la trayectoria en ese punto y en la dirección del movimiento.

Veámoslo gráficamente utilizando el ejemplo de una partícula que se mueve con rapidez constante en un plano y en una trayectoria curvilínea.

20


x [L]

y [L]

trayec

toriav4

v6

v5

v8v7

v3

v2

v1 v1 ≠ v2 ≠ v3 ≠ v4 ≠ v5 ≠ v6 ≠ v7

v1 = v8

v1 = v2 = v3 = v4 = v5 = v6 = v7 = v8

Vectores

Magnitudes

3.3 Aceleración mediaEn la gráfica anterior, el vector velocidad cambia de dirección (aunque su magnitud sea la misma).

Si dos vectores de velocidad instantánea no tienen la misma magnitud dirección y sentido en dos instantes de tiempo diferentes, decimos que la velocidad instantánea esta cambiando.

Dicho cambio se expresa como:

Δv = vf – vi

21

3.3 Aceleración media

Una partícula está acelerada si al moverse de un punto a otro, a lo largo de cierta trayectoria, cambia la dirección o la magnitud de la velocidad o ambas.

Aceleración media …

x [L]

y [L]v4

v6

v5

v8

v7

v3

v2

-v1

Δv12

-v2

-v3 -v4

-v5

-v6

-v7

Δv56

Δv78

Δ v = v f – v i v1

El vector velocidad cambia por que cambia la dirección en cada instante de tiempo

22

Aceleración media …Todos los cambios de velocidad son diferentes.

Cada cambio del vector velocidad tiene su propia

Magnitud,

Dirección y Sentido.

¿Que tan rápido está cambiando de velocidad el cuerpo?

Para responder esta pregunta introducimos el concepto de aceleración.

Aceleración media

Definimos la aceleración media de una partícula que se encuentra en movimiento y cambia de la posición inicial ri al tiempo ti con velocidad instantánea vi a la posición final rf con velocidad instantánea vf como:

la tasa de cambio de la velocidad instantánea Δven el intervalo de tiempo transcurrido Δt.

a

tv,

ttvv

if

i

ΔΔ

=−−

= aa f

23

La aceleración media apunta en la dirección del cambio en la velocidad

x [L]

y [L]v4

v6

v5

v8

v7

v3

v2

-v1

Δv12

-v2

-v3 -v4

-v5

-v6

-v7

Δv56

Δv78

v1

if

attvv if

−−

=

Aceleración media

La aceleración media es un vector cuyas dimensiones son:

En el sistema MKS se mide en , etc.

En el sistema Ingles se mide en , etc.

[ ] 2tLa =

22 ,hkm

sm

22 ,h

millsft

24

3.3 Aceleración instantánea Definimos la aceleración instantánea como el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Esta es la definición dederivada.

tdda

tta

ta

aa

t

t

t

v

v-vlim

vlim

lim

0

0

0

0

0

=

−=

ΔΔ

=

=

→Δ

→Δ

→Δ

Aceleración instantánea …

La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto del tiempo.

Geométricamente, en una gráfica de velocidad contra tiempo es la tangente en el punto donde se quiere calcular.

)(vv oyy tsen ω=

t [t]

vy [L/t]

)cos(v0y tay ωω=

25

Aceleración constante …

Si la aceleración instantánea es constante.La tangente no cambia y en una gráfica de velocidad contra tiempo la gráfica es una recta.

t [t]

vy [L/t]

ay=cte

3.4 Ejemplos: Aceleración instantáneaEn el curso estudiaremos dos casos especiales en los que la aceleración es constante.

Tales casos son:

Movimiento de proyectiles o tiro parabólico y Movimiento circular uniforme.

ctea =

26

3.4.1 Movimiento de ProyectilesEl movimiento de proyectiles o tiro parabólico corresponde a aquellos cuerpos que al ser lanzados cerca de la superficie terrestre describen una trayectoria parabólica.

y +

x +Sin resistencia del aire

3.4.1 Movimiento de Proyectiles

El movimiento de un proyectil es un movimiento con aceleración constante g dirigida hacia el centro de la tierra.

Si en la descripción del movimiento de un proyectil elegimos un sistema de referencia con el eje y negativo hacia abajo, en este caso

ay =- g y ax = 0

27

Movimiento de Proyectiles

La trayectoria es parabólica bajo las siguientes tres condiciones:

1. Que se pueda despreciar la resistencia del aire al movimiento del proyectil.

y +

x +Con resistencia del aire

Movimiento de Proyectiles2. Que el lanzamiento no sea muy elevado, de

tal manera que la aceleración g pueda considerarse constante.

28


3. Que el lanzamiento no sea de alcance muy largo, de tal manera que la superficie de la tierra pueda considerarse plana.


Ejemplos de cuerpos que describen una trayectoria parabólica:

Una pelota de béisbol al ser golpeada por un bat.

Una pelota que rueda sobre una superficie horizontal alta y que cae al suelo.

La bala de un cañón al ser disparada con un ángulo de elevación.

29


De los experimentos de laboratorio se encuentra

que el movimiento de proyectiles o tiro parabólico es un

movimiento en un plano y bastan dos dimensiones

para estudiarlo:

X’

Z’

Y’

a=g


X+

Y+

X’

Z’

Y’

a=g

Elegimos los ejes coordenados X, Y como sistema de

referencia respecto al cual estudiaremos el

movimiento de la partícula en tiro

parabólico.

30


En una dirección el movimiento de los proyectiles es horizontal con velocidad constante :

Δ x t Δ

Δ x Δ x Δ x Δ x tΔ t Δ t Δ t Δ

Ver Simulación

Movimiento de ProyectilesEn la otra dirección el movimiento es vertical y uniformemente acelerado

Ver simulación

Δ y t Δ Δ y

Δ y

Δ y

Δ y

t Δ

t Δ

t Δ

t Δ

a=g

31

Lanzamiento de un proyectil desde una mesa

El tiro parabólico es una superposición de estos dos movimientos.

Ver simulación

Velocidad constante

Velocidad variable

a=g

Comparación de un movimiento con Vx=cte, uno de caida libre y un tiro parabólico con velocidad inicial Vx=cte.

Δ x t Δ

Δ x Δ x Δ x Δ x t Δ t Δ t Δ t Δ

Δ y t Δ

Δ y t Δ

Δ y t Δ

Δ y t Δ

Δ y t Δ

Ver simulación

32

Ecuaciones de movimiento de Proyectiles

Ya tenemos todos los elementos para escribir las ecuaciones de movimiento que describen al tiro

parabólico

v0y = │V0│Sen θ0

v0x = │V0│Cos θ0

V0

θ0

ho

R=?

a=gY

X

Ecuaciones de movimiento de ProyectilesEN EL EJE X EL MOVIMIENTO ES CON VELOCIDAD

CONSTANTES

x = x0 + v0x (t- t0) ……………………………………………….(1)

x denota a la posición final de la partícula en el eje x.

x0 es la posición inicial en el eje x.

t0 es el tiempo inicial.

t es el tiempo final o tiempo tanscurrido.

V0x es la componente de la velocidad inicial en el eje x

v0x = vx = constante …………………………………………(2)

V0

33


EN EL EJE Y EL MOVIMIENTO ES CON ACELERACIÓN CONSTANTE

y = y0 + v0y t – (½) g (t-t0)2 ……………………... (3)

y = y0 + (½) ( vy + v0y ) (t-t0) ……………………..(4)

vy = v0y – g (t-t0) …………………………………..(5)

vy2 = v0y

2 –2 g ( y – y0 ) …………………………..(6)


En las ecuaciones (3)-(6):

y0 : es la posición inicial en el eje Y de la partícula.y : es la posición final en el eje Y de la partícula.

V0y : es la componente en el eje Y de la velocidad inicialVy : es la componente en el eje Y de la velocidad final

t0 : es el tiempo inicial.t : es el tiempo final ó transcurrido.

g=9.80665 m/s2 : es el valor de la aceleración debido a la fuerza de gravedad.

V0

V

34

Casos especiales de movimiento de proyectiles

Lanzamiento horizontal con velocidad constante vx desde una altura h

a=g

Metodología

Para hacer la descripción, elegimos un sistema de referencia:

a=g

y

x

35

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:

Enunciamos las condiciones iniciales en t0=0 :La posición inicial X0 es cero,

La posición inicial Y0 es cero.

El ángulo inicial de salida es de cero grados.

θ0 = 0

La partícula solo tiene velocidad inicial horizontal.

v0x = │ V0│cos θ0 = │ V0│, v0y = │ V0│sen θ0 = 0

La aceleración en todo momento es constante y dirigida hacia el centro de la tierra;

29.80665ymas

= −


Ecuaciones para Tiro HorizontalCon las condiciones anteriores, las ecuaciones de movimiento (1)-(6) se reducen a:

x = v0 t

y = - ½ g t2

y = ½ ( vy ) t

vy = – g t

vy2 = –2 g y

Donde la posición final y =-h se conoce.

│ V0 │ = v0x ; v0y = 0

y < 0

x +

y -

36

La descripción del movimiento no depende del sistema de referencia que se elija.

En el lanzamiento horizontal con velocidad constante vx desde una altura h.

a=g

Metodología

Qué pasa si elegimos un sistema de referencia fijo a la tierra:

a=g

y

x

37


Enunciamos las condiciones iniciales en t0=0 :La posición inicial X0 es cero,

La posición inicial Y0=h.

El ángulo inicial de salida es de cero grados.

θ0 = 0

La partícula solo tiene velocidad inicial horizontal.

v0x = │V0│cos θ0 = │V0│, v0y = │V0│sen θ0 = 0

La aceleración en todo momento es constante y dirigida hacia el centro de la tierra;

29.80665ymas

= −


Con las condiciones anteriores, las ecuaciones de movimiento (1)-(6) se reducen a:

x = v0 t

y = h- ½ g t2

y =h+ ½ ( vy ) t

vy = – g t

vy2 = 2 g h

donde la posición final y =0 se conoce.

│ V0 │ = v0x ; v0y = 0

y > 0

x +y -

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Consideremos ahora un proyectil que sale disparado con un ángulo de inclinación no nulo desde una altura predeterminada.

¿Cuál es el alcance o distancia horizontal recorrida por el proyectil cuando éste regresa a la misma altura de la que fue lanzado?.

ymax

Xmax = R

V0

θ0


Metodología

Primero elegimos un sistema de referencia desde el cual describimos el movimiento.

ymax

Xmax = R

V0

(vx = v0x, vy = 0)

θ0

y

x

39


Enunciamos las condiciones iniciales en t0 = 0 :

x0 =0 , y0 = 0

v0x =│V0│cos θ0, v0y =│V0│sen θ0 ,

ax = 0, ay = -9.80665m/s2


Enunciamos las condiciones conocidas en tiempos distintos al tiempo inicial t0.En el punto mas alto de la trayectoria de vuelo, la componente vy de la velocidad es nula.

vy = 0En el momento en que el proyectil regresa a la altura de la que fue lanzado su velocidad tiene la misma magnitud pero con dirección contraria

vx = v0x , vy =- v0y ,

La posición final en el instante de tiempo en que el proyectil regresa a la altura de la que fue lanzado es

x0 =0 , y0 = 0

40


Dadas estas condiciones y las ecuaciones de tiro parabólico podemos conocer:

Tiempo total de vuelo: tT

Alcance horizontal máximo del proyectil: R

Altura máxima del proyectil en su recorrido: ymax


TIEMPO TOTAL DE VUELO ( t T )Se encuentra de la ecuación general (3) para el

movimiento vertical: y = y0 + v0y t - ½ g t2

Sustituyendo la condición inicial y0 = 0 y final y = 0 0 = 0 + v0y t - ½ g t2

Despejando el tiempo

t = 2 v0y ⁄ g

O bien

t T = (2 │V0│sen θ0 ) ⁄ g

41


ALCANCE HORIZONTAL ( x = xmax. = R )

R: es la distancia horizontal recorrida en el tiempo total de vuelo.

Usamos la ecuación (1) para el movimiento horizontal

x = x0 +v0x t

Sustituimos la condición inicial x0= 0 y evaluamos en el tiempo total tT :

x = v0x tT


Usamos el valor del tiempo total

t T = (2 │V0│sen θ0 ) ⁄ g

calculado anteriormente y obtenemos

x = v0x (2 │V0│sen θ0 ) ⁄ g

42


Sustituyendo las componentes rectangulares de la velocidad inicial v0x ;

x = V0 cos θ0 (2 v0 sen θ0 ⁄ g)

Usamos la identidad trigonométrica

2 cos θ0 sen θ0 = sen 2 θ0

Obtenemos que el alcance máximo viene dado por:

x = (V02 sen 2 θ0 ) ⁄ g

El alcance de un proyectil que se lanza con rapidez inicial constante es función del ángulo inicial:

0g

)2cos(2v 020

0

==θ

θddx

y +

x +

850

El alcance máximo se obtiene si

Esto se cumple a los 450

650450

250

50

g)2(v 0

20 θsenx =

43


ALTURA MÁXIMA ( y = ymax. )Se obtiene evaluando las ecuaciones del movimiento en el tiempo en el cual la componente vertical de la velocidad se anula. v y = 0Sustituyendo la condición anterior y la condición inicial y0=0 en

la ecuación siguiente:vy

2 = v0y2 –2 g ( y – y0 )

Obtenemosv0y

2 = 2 g ( y )Si despejamos la posición final y sustituimos el valor de la

velocidad inicial obtenemos finalmente la altura máxima del proyectil:

y m a x = (v0 cos θ0)2 ⁄ 2 g

Ecuación de la trayectoria:

Combinando las ecuaciones del movimiento con velocidad constante con las ecuaciones del movimiento con aceleración constante podemos obtener la ecuación de la trayectoria del tiro parabólico.

44

Ecuación de la trayectoria

Sustituimos el tiempo t en la ecuación para la posición en y,

tvxx 0x0 +=

20y 2

1-tvy gt=

0x

0

vx-x

=t

Despejamos el tiempo de la ecuación para velocidad constante


2

0x

0

0x

00y v

x-x21-

vx-xvy ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= g

2bx'-cx'y =

Obtenemos

Esta ecuación corresponde a una parábola desplazada en el eje x.

45


Si hacemos:0x-xx' =

0x

0y

vv

=b 20x2v

gc=y

3.4.2 Movimiento circular uniforme:Sus características.

Posición angular y desplazamiento angular. Definición de radian.

Definición de período y frecuencia. Concepto de velocidad angular promedio e instantánea. Características del movimiento circular uniforme.

Ecuaciones posición y velocidad angular contra tiempo. Relación entre velocidad lineal y angular. Aceleración centrípeta y sus expresiones en términos de la velocidad angular y la velocidad lineal.

46

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Decimos que una partícula tiene un movimiento circular uniforme si:

1. Se mueve describiendo una trayectoria circular de radio r constante, y

2. la magnitud de la velocidad es constante en todo momento.


Para iniciar nuestro estudio del movimiento circular uniforme consideremos una partícula que se mueve uniformemente describiendo un círculo de radio r.

r=constante

47


Para describir el movimiento de la partícula, introducimos un sistema de referencia.

(0,0)

y

x


Al tiempo t0 la partícula se encuentra en la posición r0 y debido a su movimiento de rotación, en el tiempo posterior t=t0+Δt se encuentra en la posición final r .

(0,0)

y

xr0

r

48


La velocidad en r0 es v0 y la velocidad en r es v .

(0,0)

y

xr0

rv

v0


Al pasar de la posición inicial r0 a la posición final ren el intervalo de tiempo Δt, la partícula gira un ángulo θ.

(0,0)

y

xr0

r

θ

49

Movimiento circular

El vector de posición en este sistema de referencia esta dado como:

Sujeto a la restricción

jsenrirrjir

ˆˆcos

ˆyˆxθθ +=

+=

cteyxr =+= 22

Movimiento circular

Nos interesa conocer la posición la velocidad y la aceleración de la partícula como función del tiempo.De las ecuaciones anteriores notamos que en el caso en el que el radio es constante, basta con conocer el ángulo de rotación en cada instante de tiempo.¿ Como cambia en el tiempo, el ángulo barrido por la partícula ?

Antes de contestar a esta y otras preguntas veremos algunos conceptos necesarios.

50

Se denomina ángulo en el plano a la porción de plano comprendida entre dos semi-rectas que se unen en un punto común llamado vértice.

Un ángulo determina una superficie abierta al estar definido por dos semirrectas.

Ángulo

V vértice o eje de rotación vSemi-recta

Semi-recta

Medir el ángulo es medir la abertura de estas dos semi-rectas

Para representar simbólicamente a los ángulos, generalmente se utilizan las letras del alfabeto griego:

α (alfa); β (beta); γ (gama); θ (teta); φ (fi), etc.Las unidades utilizadas para medir los ángulos del

plano son: el gradián, el grado y el radian.

Ángulo

51

Ángulo: gradián

1.- El grado centesimal o gradián se define como el valor que resulta de dividir un ángulo recto en cien unidades.

0

100

ÁnguloEn estas unidades la circunferencia tiene 400 grados

centesimales.

El gradián se representa con la letra g como un superíndice después de la cifra.

En las calculadoras suele utilizarse la abreviatura grad.

g30=θ

g0

g300

g100

g400

g200

52

Ángulo: grados

2.- El grado sexagesimal resulta de dividir un ángulo recto en noventa unidades.

La unidad de medida del ángulo en el sistema sexagesimal es el grado sexagesimal. Un ángulo recto tiene 90 grados sexagesimales 90

1 ángulo recto = 90 grados sexagesimales

1 grado sexagesimal= 60’ minutos sexagesimales

1 minuto sexagesimal= 60’’ segundos sexagesimales 0

Ángulo

En estas unidades la circunferencia tiene 360 grados

El grado sexagesimal se representa con el símbolo como un superíndice después de la cifra, ejemplo:

360

270

180

90

0

53

Angulo: Notación decimal

Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de la decimal con el punto decimal ejemplo:

228.30235.123

122.0

−

Angulo: Notación sexagesimal

Los ángulos se pueden expresar en grados , minutos y segundos

''11'12308''4.123'1110

''2.23'52−

La norma de escritura establece que no se debe dejar espacio entre las cifras.

54

3.- El radian, se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio del arco.

Ángulo: radián

La forma común de medir ángulos es en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Medir el ángulo es medir la abertura de las dos semi-rectas

Ángulo

R radio de la circunferencia

v vértice o eje de rotaciónθ

S

R

R

vrecta

recta

S arco de circunferencia

θ ángulo

θ = S ⁄ R

55

Ángulo

En el Sistema Internacional de Unidades, un radian es una unidad de ángulo plano y se define como el ángulo que subtiende un arco S de circunferencia cuya longitud es igual al radio R del arco.

Como el arco S de la circunferencia tiene unidades de longitud lo mismo que el radio R, el ángulo es una cantidad adimensional.

[ ] dimensionsin ==LLθ

θ

El radian

El ángulo completo, dado en radianes para una circunferencia de radio r es:

θ

ππθ

θ

22==

=

rr

rPerímetro

56

El radianEl símbolo del radian es: radComo el ángulo que forma un círculo completo mide 360 grados sexagesimales.Definimos la unidad de radian como

''45'17571

3.571801

23601

≈

==

=

rad

rad

rad

π

π

El radian

En estas unidades la circunferencia tiene rad.

radπ2

rad2π

radπ

rad2

3π

+

rad0

π2

57

Ángulo, radianes y revolución

En movimiento circular definimos una revolución como un giro por un ángulo de 360 grados o .

3600=1 revolución, 2π rad = 1 revolución

π2

+

esrevolucion0revolución1


Si la partícula que está girando realiza un giro de 720 grados

+esrevolucion

revolución2720

127203602720

=

×=

×=

58


Si la partícula que está girando realiza n giros completos decimos que ha realizado n revoluciones.

esrevolucionnn =360

……….

Frecuencia

Las revoluciones por unidad de tiempo es una cantidad física que se conoce como frecuencia.Usualmente se denota a la frecuencia con la letra f.

tiempoesrevolucionf =

59

FrecuenciaLa frecuencia tiene dimensiones del inverso del tiempo.

En el Sistema Internacional, la unidad de la frecuencia es el Hertz y se denota como Hz ejemplo:

[ ]t

f 1=

HzfHzf

10010

2

1

==

Frecuencia

El Hertz es la unidad de frecuencia.Definimos un Hertz como una revolución cada segundo.

sradHz

srevoluciónHz

121

111

π=

=

60

Frecuencia

Una partícula que gira, cuya frecuencia es de n Hz realiza n revoluciones cada segundo.

srevHz

nejemplosradnHzn

srevoluciónnHzn

1010

101

21

=

=

=

=

π

Período

Definimos el período como el tiempo que tarda una partícula que gira en completar una revolución.El período se denota con la letra mayúscula ΤEl período tiene unidades de tiempo.

[ ] tT =

61


Consideremos cinco partículas, cada una moviéndose en una circunferencia concéntrica de radio ri con i=1,2,3,4,5. Al tiempo inicial cero todas se encuentran en la configuración siguiente

r5

r4

r3

r2

r1

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEAl tiempo posterior t+Δt todas se encuentran en la configuración:

62

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEEl desplazamiento de cada partícula en el intervalo Δtes Δri.

Δr5

Δr4

Δr3Δr1

Δr2

Movimiento circular

Notamos que para el mismo intervalo de tiempo:Los vectores de desplazamiento apuntan todos en la misma dirección pero tienen magnitudes diferentes.

ΔΔrr55 > > ΔΔrr44 > > ΔΔrr33 > > ΔΔrr22 > > ΔΔrr11

La velocidad media de cada partícula es diferente:

12345i vvvvv,v >>>>ΔΔ

=tri

63

El concepto de velocidad media no es suficiente para describir el movimiento circular.

Una propiedad que comparten las partículas del ejemplo que analizamos es que para tiempos iguales barren ángulos iguales.

Movimiento circular

Velocidad Angular Media

Analicemos el movimiento de solo dos partículas que se mueven en trayectorias circulares de radio r y R respectivamente.

rr =1

r1 R1

RR =1

64


En el tiempo t=t0+Δt las dos partículas se encuentran en la configuración siguiente .

rr =2r2

R2

Δ θ

RR =2

En el intervalo de tiempo Δt las partículas recorren el diferencial de arco ΔSr y ΔSR respectivamente.


r1

r2

R1

R2

Δ θΔsr

ΔsR

65

En el mismo intervalo de tiempo Δt el desplazamiento de cada partícula es Δr y ΔR respectivamente.


r1

r2

R1

R2

Δr

ΔR

Si comparamos cada elemento de arco ΔSr y ΔSR con los desplazamientos respectivo Δr y ΔR:


r1

r2

R1

R2

Δ θΔsr

ΔsR

66

En el límite en que Δt tiende a cero, Δθ tiende a cero y podemos aproximar el elemento de arco por el desplazamiento. .


r1

r2

R1

R2

Δ θΔr

ΔR

Movimiento circular

El desplazamiento para ángulos pequeños es:

Para ángulos pequeños jsenrirr

jirrjir

ˆˆcos

ˆ0ˆˆyˆx

2

1

θθ Δ+Δ=

+=

Δ+Δ=Δ

Srr Δ=Δ≈Δ θ

θθθθ Δ≈Δ≈Δ≈Δ seny0cos,0

67

Con la aproximación del desplazamiento para ángulos pequeños

Δr = ΔS = r Δ θ

Reescribimos la velocidad media en función del ángulo

vm= Δr ⁄Δt = r (Δθ ⁄ Δt)



Definimos la Velocidad Angular media ωm como el cambio del ángulo en el intervalo de tiempo Δt

ωm = Δθ⁄Δtsus unidades son:

rad ⁄ srev ⁄ s

grados ⁄ s

68


Definimos la velocidad angular instantánea ω, como el limite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero de la

velocidad angular media:

0

0

0lim

0lim

0lim

ttθθ

tΔΔtΔθ

tΔ

ωtΔ

ω

−−

→=

→=

→=

ω


La relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular es:

v = ω r

La velocidad es directamente proporcional a la velocidad angular ω y a la distancia r al eje de rotación.

69


La ecuación de movimiento en cantidades angulares para una partícula que se mueve en una trayectoria circular, se encuentra despejando θ de la definición de velocidad angular:

Despejando obtenemos θ como función del tiempoθ = θ0 + ω ( t – t0 )

0

0

ttθθ

−−

=ω

En el movimiento circular las velocidades lineal y angular se miden en unidades de frecuencia por desplazamiento.

v = Δs/ Δt = 2πr/tPara una vuelta completa, el tiempo t es

simplemente el período τ.

v = 2πr/τ

Velocidad lineal y angular

70

Como la frecuencia es el inverso del período obtenemos:

v = 2πrνComparando las relaciones anteriores con la

expresión:v = ω r

tenemos que:ω = 2πν = 2π/τ

Velocidad lineal y angular

Analicemos nuevamente el movimiento de una partícula que se mueve en una trayectoria circular de radio r.

Como ya se vio en el movimiento en el plano, la velocidad de la partícula serásiempre tangente a la trayectoria que ésta siga (de ahí que reciba el nombre de velocidad lineal o tangencial)

Empezaremos por el caso mas sencillo en el cual la magnitud de la velocidad es constante.

Aceleración Centrípeta o Radial

R v1

v2

v3

v4

v5

v6 v7

v8

│v1│= │ v2 │=│v3│= …… =│v7│=│v8│

Pero: v1 ≠ v2 ≠ v3 ≠ …… ≠ v7 ≠ v8

Porque tienen diferente dirección y sentido

71

Puesto que los vectores velocidad son diferentes, la velocidad cambia y el cambio esta dado por:

Δv = v2 – v1

Δv = v3 – v2

Δv = v4 – v3

Δv = v5 – v4etc.


Todos los cambios de velocidad son diferentes, tienen la misma magnitud y están dirigidos hacia adentro del círculo.


Δv12 v1

v2

v3

v4

v5

v6 v7

v8

-v1-v2

-v3

-v8

Δv81

Δv23

Δv34

R-v4

Δv45

72

Dado que los cambios de velocidad son diferentes, decimos que el movimiento es acelerado:

a = Δv / Δt

Para precisar correctamente la dirección, el sentido y su magnitud.

Analicemos la figura manteniendo constante la magnitud de la velocidad pero considerando un intervalo de tiempo Δt mas pequeño.


El cambio en la velocidad Δv (por ej. v2 – v1) apunta en a lo largo del radio y hacia el centro del círculo independientemente del lugar donde se mida.

La dirección y el sentido de la aceleración es el mismo que el del cambio de velocidad: la aceleración es radial y dirigida hacia el centro de rotación, de ahí que reciba el nombre de aceleración radial o centrípeta.

Δv cuando Δt → 0


Δ v

v1-v1v3

v2

v4

-v3

Δ v

73

Cualitativamente, también se aprecia que la diferencia de vectores tienen la misma magnitud. Para determinarla cuantitativamente, debemos tomar un Δt próximo a cero, de tal manera que los puntos a y b se encuentren tan cercanos uno del otro que la parte curva del circulo entre dichos puntos pueda considerarse como una recta.


Δ v

v1-v1

v2

a

b

c

d

eR

R

ΔS

De ésta forma, tendremos que ΔS será una línea recta entre el punto ay el punto b, formándose los triángulos aeb y bcd, que tienen las siguientes características:

triángulo aeb triángulo bcdDos lados iguales R vUno desigual ΔS Δv


Δ v

v1-v1

v2

a

b

c

d

eR

R

ΔS

74

De la semejanza de triángulos tenemos que:dos o más triángulos son semejantessi tienen dos lados iguales y uno desigual. Esto es, el lado desigual (ΔS) del triángulo aeblo es al lado igual (R) como el lado desigual (Δv) del triángulo bcd lo es al lado igual (v).


Δ v

v1-v1

v2

a

b

c

d

eR

R

ΔS

Magnitud de la Aceleración Centrípeta

Esto se expresa de la manera siguiente:

despejando Δv y dividiendo entre el intervalo de tiempo Δt que tarda el cuerpo en ir del punto a al punto b:

donde: y

sustituyendo lo anterior

RS

vv Δ

=Δ

tRSv

tv

ΔΔ

=ΔΔ

vtS

=ΔΔ

atv

=ΔΔ

Rv

a2

=

75


EN ESTAS ECUACIONES a = │a│ la magnitud de la aceleración del cuerpo,v = │v│ la magnitud de la velocidad del cuerpo yR el radio de la trayectoria circular

Como la aceleración es radial y dirigida hacia el centro de rotación, se le agrega el subíndice r para diferenciarla de la aceleración lineal o tangencial.

De ésta forma:

Rv

ar

2

=


Definimos el vector unitario como el vector unitarioque apunta a lo largo del radio y su sentido es saliendo del centro y dirigiéndose hacia la posición de la partícula. Este vector cambia constantemente su dirección (con respecto al sistema de coordenadas x, y), ya que sigue a la partícula en toda su trayectoria circular.

r

76


Además, como la aceleración apunta en sentido contrario al vector unitario es decir, en dirección entonces:

La magnitud de la aceleración, expresada en función de la velocidad angular, la frecuencia y el período es:

rRv

a r ˆ2

=

r−

2

2222

2 44τπυπω rrr

rvar ====

Todos los movimientos analizados hasta el momento, tales como el rectilíneo uniforme, el uniformemente acelerado, el parabólico y el circular uniforme, son de los movimientos mas sencillos que se producen en la naturaleza y se han tratado de una forma aislada.

Sin embargo, en la vida cotidiana lo que se observa en realidad es una combinación de ellos como por ejemplo:

Un automóvil que se desplaza con velocidad constante sobre una carretera horizontal y que tiene una curva en el camino. El conductor, al observar la curva disminuye su velocidad pasando de un movimiento rectilíneo uniforme a uno uniformemente acelerado (desacelerado), ya que empieza a frenar para poder entrar a la curva con menor velocidad y no derrapar en el pavimento.

Al entrar a la curva, dependiendo de la velocidad que lleve en ese momento, puede agarrarla con esa misma velocidad, pasando a un movimiento circular uniforme.

Aproximadamente después de la mitad de la curva, el conductor vuelve a acelerar, pasando a un movimiento circular no uniforme, continuando acelerando al salir de la curva hasta alcanzar nuevamente la velocidad de crucero (velocidad de viaje). Esto lo ilustramos en la siguiente figura:

Movimiento Circular no Uniforme

77

Movimiento Circular no Uniformerectilíneo uniforme

rectilíneo uniformementeacelerado

circular no

uniforme

rectilíneo uniformementeacelerado

rectilíneo uniforme

R

circular uniforme


Analicemos el movimiento circular no uniforme en el cual tanto la magnitud de la velocidad así como la dirección y sentido están variando.

Δ v

v1

-v1

v2

Δ vv1

-v1v2

a

b

c

d

eR

R

ΔS

r

78


Δ v

v1

-v1v2

a

b

c

d

eR

R

ΔS

r

Δ vr

Δ vt Eje radial

Eje tangente


Nuevamente, al hacer la diferencia de vectores, encontramos un cambio en la velocidad, pero a diferencia del movimiento anterior, éste ya no apunta en dirección radial. Pero como es un vector, la podemos descomponer en dos componentes rectangulares, una radial y otra tangencial.

Δv = Δvr + Δvt

y la aceleración del cuerpo será:

donde el término:

es la aceleración radial o centrípeta que encontramos en la sección anterior, y

es la aceleración lineal del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la cual viene expresada por:

tv

tv

tva tr

ΔΔ

+ΔΔ

=ΔΔ

=

rr atv

=ΔΔ

tt atv

=ΔΔ

79


Como es un movimiento circular, la velocidad lineal se expresa en cantidades angulares como:

v = ωrsustituyendo tenemos que:

además:

que es conocida con el nombre de aceleración angular media ( αm )

0

0

ttvv

tva t

t −−

=ΔΔ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−−

=−−

=0

0

0

0

0

0

ttr

ttrr

ttvvat

ωωωω

ttt ΔΔ

=−− ωωω

0

0

0

0

ttt −−

=ΔΔ

==ωωωαmmediaangularnaceleració


Tomando el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero:

y cuando la aceleración angular media es una constante, ésta serátambién igual a la aceleración en cualquier instante de tiempo, es decir:

de donde:

Por lo tanto, la aceleración del cuerpo que se mueve en una trayectoria circular con velocidad variable y aceleración angular constante es:

dtd

ttt ttmt

ωωωωαα =−−=

ΔΔ===

→Δ→Δ→Δ0

0000

limlimlimainstantáneangularnaceleració

0

0

tttm −−

=ΔΔ

==ωωωαα

)( 00 tt −+= αωω

raa r α+=

80

Aunque ya tenemos la relación entre ambas cantidades, éstas se obtuvieron suponiendo que la rueda se encontraba girando en la misma posición, ahora combinaremos dos movimientos simultáneos: el lineal y el rotacional.

Un ejemplo de ello es cuando un carrete desenrolla una cuerda o una rueda se desliza por el suelo, lo cual se ilustra en la siguiente figura:

Cantidades Tangenciales y Angulares

r

A

B

θ

θ

r

A

B

s

s = r

θr

A

B

sθ

En dado caso de que el carrete rotara en la misma posición, para que el punto B ocupe la posición del punto A, debe de girar un ángulo θ el cual por definición viene expresado como:

θ = s/ren donde por definición de ángulo, θ debe de medirse en radianes. Al arco de circunferencia también se le llama distancia tangencial por ser

medido tangencialmente al borde del carrete, y viene expresado por:s = r θ

Como tenemos dos movimientos simultáneos, el rotacional al girar y el lineal al avanzar el carrete, al observar la figura anterior, se tiene que la distancia lineal que recorre la rueda al girar un arco de circunferencia s = r θ, es igual a la distancia tangencial que recorre el borde. Lo anterior nos permite relacionar el movimiento lineal con el rotacional.


81

Más aún, si se observa la siguiente ilustración en que una rueda gira con su eje de rotación en la misma posición levantando un cuerpo, se ve que existe una relación similar en la forma en que la cuerda se enrolla en su borde.

A medida que un punto del borde recorre una distancia tangencial s al girar, en el borde se enrolla una longitud s de la cuerda.


s

rrθ

s

s = r θ

Más aún, si se observa la siguiente ilustración en que una rueda gira con su eje de rotación en la misma posición levantando un cuerpo, se ve que existe una relación similar en la forma en que la cuerda se enrolla en su borde.

A medida que un punto del borde recorre una distancia tangencial s al girar, en el borde se enrolla una longitud s de la cuerda.


s

rrθ

s

s = r θ

82

Cantidades Lineales y Angulares

Nota: Para convertir cantidades angulares a lineales, las primeras deben de estar expresadas en radianes

θ = θ 0 + ω0 t + ½ α (t - t0 )2s = s0 + v0 t + ½ a (t - t0 )2

ω2 - ω02 =2 α (θ – θ0 )v2 - v0

2 = 2 a (s – s0 )

ωm = ½ (ω+ ω0 )vm = ½ (v + v0 )

ω = ω0 + α (t – t0 )v = v0 + a (t – t0 )

θ = θ0 + ωm (t – t0 )s = s0 + vm (t – t0 )

AngularesLineales

Comparación entre las ecuaciones de movimiento

mecánica y fluidos - universidad de sonora

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