mecánica de fluidos

ENGINYERIAAEROESPACIAL

Mecnica de fluidos.Breve introduccin terica con problemas resueltos

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ny Josep M. Bergad Grany

www.upc.edu/idp

Mecnica de fluidos. Breve introduccin terica con problemas resueltos2 Edicin

Josep M Bergad, es Ingeniero Industrial (especialidad: Mecnica) desde 1990 y Doctor Ingeniero Industrial desde 1996. Ejerce como profesor en el Departamen-to de Mecnica de Fluidos de la Escola Tcnica Superior dEnginyeries Industrial y Aeronutica de Terrassa (ETSEIAT-UPC) desde hace mas de 25 aos, y es Profesor Titular de Universidad desde el 2009. Durante este perodo, ha impartido clases de las asignaturas de Mecnica de Fluidos, Maquinas Hidrulicas, Gasdinmica y Oleohidrulica, en la actualidad imparte la asignatura de Mecnica de Fluidos I y II. Su labor investigadora se ha orientado a la Oleohidrulica, campo en el que realizo su tesis doctoral. Ha formado parte de un grupo de investigacin del Instituto de Investigacin Textil, donde trabajo en diversos proyectos inter-nacionales y ha estado trabajando durante ms de 10 aos (2000-2010) con el departamento de Mechanical Engineering de la Universidad de Cardiff (Reyno Unido) en la optimizacin de maquinas volumtricas. A Partir del ao 2011, parte de su labor investigadora la desarrolla en la Technishe Universitt de Berln, (Ale-mania), centrndose en la actualidad en el desarrollo de modelos matemticos aplicables en el campo de la Mecnica de Fluidos. Es autor de diversos libros, publicados tanto por Ediciones UPC como por editoriales externas a la UPC, y de ms de ochenta artculos publicados en revistas y congresos nacionales e interna-cionales. En los ltimos 7 aos ha revisado alrededor de 160 artculos para unas 20 revistas internacionales catalogadas en el Citation Index.

El presente libro es fruto de la experiencia adquirida durante toda una carrera universitaria. Esta obra est diseada para presentar los principios bsicos de la Mecnica de Fluidos de una manera clara y muy sencilla. Muchos de los proble-mas que se exponen fueron, en su momento, problemas de examen de la asig-natura. Asimismo, pretende ser un libro de repaso para quienes, precisen fijar determinados conceptos sobre la materia. Finalmente, se desea que esta obra sirva de apoyo a todas las escuelas de los pases de habla hispana que imparten las diversas Ingenieras. Espero y deseo que este libro sea un instrumento til de repaso de la temtica presentada.


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Edicin2

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Mecnica de fluidos.Breve introduccin terica con problemas resueltos

Josep M. Bergad Grany


Edicin2

Primera edicin: noviembre de 2012Segunda edicin: mayo de 2015

Imagen de la cubierta extraida del artculo Global modes in a swirling jet undergoing vortex breakdown. C. Petz, H.-C. Hege, K. Oberleithner, M. Sieber, C. N. Nayeri, C. O. Paschereit, I. Wygnanski, and B. R. Noack.PHYSICS OF FLUIDS 23, 091102 (2011). Reproducida con permiso de los autores.

Josep M. Bergad Grany, 2012

Iniciativa Digital Politcnica, 2012 Oficina de Publicacions Acadmiques Digitals de la UPC Jordi Girona 31, Edifici Torre Girona, Planta 1, 08034 Barcelona Tel.: 934 015 885 www.upc.edu/idp E-mail: [email protected]

Depsito legal: B.10410-2015ISBN: 978-84-9880-526-0

Cualquier forma de reproduccin, distribucin, comunicacin pblica o transformacin de esta obra slo puede realizarse con la autorizacin de sus titulares, salvo excepcin prevista en la ley.

Prlogo

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Prlogo

La mecnica de fluidos tiene sus orgenes en la hidrulica, tanto en Mesopotamia como en Egipto alrededor del ao 4000 antes de nuestra era proliferaron las obras hidrulicas que aseguraban el regado de vastas zonas. Posteriormente, los imperios griego, chino y especialmente, el romano se caracterizan por una gran profusin de las construcciones hidrulicas.

A lo largo de la historia, aparecen inventos e investigadores que aportan mejoras sustanciales en el campo que hoy se denomina mecnica de fluidos, algunas de las cuales son las realizadas por:

Arqumedes (287-212 a.c.), crea el tornillo helicoidal y enuncia el principio de flotacin. Leonardo da Vinci (1452-1519), muestra la aparicin de vrtices en la zona de separacin de flujo; describe los principios de funcionamiento de mquinas voladoras.

Pascal (1623-1662), en el estudio de la esttica de fluidos define el principio que lleva su nombre. Newton (1642-1727), realiza el anlisis espectral de la luz; define la teora de gravitacin universal; establece los principios de clculo integral y diferencial, y promulga la ley de viscosidad que lleva su nombre. Henry de Pitot (1695-1771), crea, con el fin de medir la velocidad de un fluido, el tubo que lleva su nombre. Bernoulli (1700-1782), populariza la ley que define la energa asociada al fluido a lo largo de una lnea de corriente, estudia problemas sobre esttica y dinmica de fluidos. Euler (1707-1783), establece la base matemtica para el estudio del flujo ideal, sin viscosidad. Venturi (1746-1822), clarifica los principios bsicos del flujo a lo largo de un conducto convergente divergente (el tubo de Venturi), define los principios del resalto hidrulico.

Henri Navier (1785-1836), basndose en los estudios de Euler, deriva las ecuaciones de Navier, que posteriormente Stokes modifica hasta obtener las ecuaciones que se conocen actualmente. Ludwig Hagen (1797-1884), estudiando el flujo en conductos

Mecnica de Fluidos, breve introduccin terica con problemas resueltos

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cerrados, encuentra la zona de traspaso entre flujo laminar y turbulento, y observa que depende de la velocidad y la temperatura del fluido, as como del dimetro y la rugosidad del conducto. Poiseulle (1799-1869), estudia el movimiento de la sangre en venas y capilares, y determina experimentalmente la relacin entre presin y caudal en capilares.

William Froude (1810-1879), se dedic durante parte de su vida a construir barcos; sus investigaciones fueron continuadas por su hijo R.E. Froude (1846-1924), el cual defini el nmero adimensional que lleva su nombre y que relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas gravitacionales. G. Stokes (1819-1903), logr derivar la ecuacin de Navier-Stokes. Kirchhoff (1824-1887), define el coeficiente de contraccin, hallndolo para el caso de orificios bidimensionales. Ernst Mach (1838-1916), que en uno de sus ms conocidos estudios sobre los flujos a alta velocidad, deduce el nmero de Mach. Reynolds (1842-1912), clarifica el fenmeno de cavitacin; define los regmenes laminar y turbulento, y el nmero adimensional que los identifica. Su teora sobre la lubricacin hidrodinmica es asimismo muy relevante. Ludwig Prandtl (1875-1953), que observa la aparicin y define la teora de la capa lmite, se considera como uno de los creadores de la mecnica de fluidos moderna. Theodor Von Karman (1881-1963) estudia los vrtices detrs de un cilindro, define las fuerzas de arrastre y sustentacin de cuerpos en el seno de un fluido en rgimen turbulento.

Durante el siglo XX, los avances en la mecnica de fluidos han sido continuos, siendo la dinmica de gases, la aerodinmica y la aeronutica los campos que han experimentado y seguirn experimentado en el futuro una especial proliferacin. Asimismo, las tcnicas no intrusivas para la medicin del movimiento del fluido, han despegado, aplicndose en la actualidad en cualquier campo.

En el presente libro, se introducen de una manera muy elemental diversos conceptos bsicos de la mecnica de fluidos, el libro est pensado para que el lector adquiera rpidamente la informacin bsica de cada captulo y pueda seguidamente fijar sus conocimientos mediante los problemas resueltos que se presentan en cada uno de los captulos. En esta segunda edicin, he querido especialmente incrementar el nmero de problemas resueltos con el fin de clarificar los diversos conceptos.

Quisiera agradecer a los profesores C.N. Nayeri y C.O. Paschereit de TU Berln, el apoyo y cortesa que, durante los periodos que he estado en su instituto, han tenido conmigo.

Es mi deseo que este libro sea de utilidad, tanto para los futuros estudiantes como para los profesionales que necesiten repasar conceptos bsicos sobre la mecnica de fluidos.

Josep M Bergad

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Cap. 1 Introduccin a la Mecnica de Fluidos. Propiedades de los fluidos 1.1 Introduccin. Fluido desde el punto de vista molecular ......................................... 19 1.2 Fluido desde el punto de vista termodinmico ....................................................... 20 1.3 Fluido desde el punto de vista mecnico ................................................................ 22 1.4 Aproximacin del continuo .................................................................................... 22 1.5 Equilibrio termodinmico local .............................................................................. 23 1.6 Propiedades de los fluidos ...................................................................................... 23

1.6.1 Mdulo de elasticidad .................................................................................... 24 1.6.2 Coeficiente de expansin trmica .................................................................. 25 1.6.3 Colofn sobre mdulo de elasticidad y coeficiente de expansin trmica ..... 25 1.6.4 Tensin superficial ......................................................................................... 26 1.6.5 Definicin de viscosidad ................................................................................ 28

Problemas 1. Balance de fuerzas en un conducto ........................................................................... 32 2. Viscosmetro cilndrico ............................................................................................ 33 3. Viscosmetro esfrico ............................................................................................... 35 4. Viscosmetro cnico ................................................................................................. 36 Cap. 2 Cinemtica de fluidos 2.1 Concepto de derivada sustancial, material o total ................................................... 41 2.2 Concepto de flujo convectivo a travs de una superficie ........................................ 42 2.3 Concepto de Circulacin ........................................................................................ 43 2.4 Lneas de corriente, trayectoria y traza ................................................................... 43

2.4.1 Lneas de Senda o Trayectoria ....................................................................... 44 2.4.2 Lneas de Traza .............................................................................................. 45 2.4.3 Lneas de Corriente ........................................................................................ 45 2.4.4 Concepto de lnea fluida ................................................................................ 47


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2.5 Concepto de vorticidad e irrotacionalidad .............................................................. 47 2.6 Estudio cinemtico del movimiento de una partcula ............................................. 50 Problemas 5. Variacin del volumen de fluido al variar parmetros termodinmicos .................. 53 6. Clculo de parmetros cinemticos, aceleracin, vorticidad .................................. . 54 7. Clculo de parmetros cinemticos, lneas de corriente, traza y trayectoria ............. 57 8. Clculo global de parmetros cinemticos ................................................................ 61 Cap. 3 Esttica de fluidos 3.1 Ecuacin diferencial de la esttica de fluidos ......................................................... 69 3.2 Ecuacin diferencial del movimiento del fluido como slido rgido ...................... 70 3.3 Ecuacin diferencial del movimiento del fluido como slido rgido, coordenadas

cilndricas .............................................................................................................. .73 3.4 Fuerzas sobre superficies planas ............................................................................. 74 3.5 Fuerzas sobre superficies curvas ............................................................................. 77 3.6 Fuerzas sobre volmenes sumergidos ..................................................................... 79

Problemas 9. Fuerzas sobre cuerpos sumergidos, esfera ................................................................ 82 10. Cuerpos sumergidos entre dos fluidos .................................................................... 85 11. Principio de Arqumedes extendido a multifluidos. .............................................. 89 12. Fuerzas sobre superficies ........................................................................................ 95 13. Fluido como slido rgido ..................................................................................... 100 Cap. 4 Ecuaciones fundamentales de la Mecnica de Fluidos. Ecuacin de continuidad. 4.1 Introduccin. Ecuacin de transporte de Reynolds ............................................... 107 4.2 Ecuacin de continuidad de la masa en forma integral ......................................... 112

4.2.1 Ecuacin de continuidad, en modo diferencial ............................................. 112

Problemas 14. Vaciado de un depsito troncocnico convergente ............................................... 114 15. Vaciado de un depsito troncocnico divergente ................................................. 116 16. Flujo que fluye por un conducto divergente ......................................................... 118 17. Vaciado de un depsito con mltiples agujeros .................................................... 120 18. Vaciado de un depsito cnico con 3 agujeros ..................................................... 123 19. Evolucin de un fluido de densidad variable por un conducto ............................. 129 20. Ecuacin de continuidad aplicada a cilindros cerrados ......................................... 131 21. Variacin temporal de la presin en un cilindro ................................................... 134 22. Evolucin del fluido compresible en una suspensin hidrulica .......................... 137 23. Estudio de un amortiguador simple ...................................................................... 142

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Cap. 5 Ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento 5.1 Forma integral ...................................................................................................... 159 5.2 Forma diferencial de la ecuacin de cantidad de movimiento .............................. 160 5.3 Ecuacin de cantidad de movimiento en forma integral y para sistemas no inerciales de coordenadas ..................................................................................... 165 5.4 Ecuacin de cantidad de movimiento en forma diferencial para sistemas no inerciales ............................................................................................................... 167 Problemas 24. Fuerza de un chorro sobre una superficie semiesfrica ........................................ 169 25. Cantidad de movimiento sobre una superficie cnica .......................................... 170 26. Fuerza del fluido sobre un azud ............................................................................ 173 27. Fuerza de un chorro sobre un labe ...................................................................... 174 28. Fuerza sobre labes mviles ................................................................................. 181 29. Fuerza de reaccin sobre un depsito mvil ......................................................... 194 30. Principio de funcionamiento de un helicptero .................................................... 198 31. Fuerza de reaccin de un motor de avin ............................................................. 200 32. Aceleracin de un cohete ...................................................................................... 201 33. Movimiento de un avin de pasajeros .................................................................. 204 34. Sistemas no inerciales de coordenadas I ............................................................... 209 35. Sistemas no inerciales de coordenadas II ............................................................. 212 36. Fuerzas actuantes en el interior de una servovlvula ............................................ 219 Cap. 6 Ecuacin del momento de la cantidad de movimiento, momento cintico 6.1 Ecuacin del momento cintico para sistemas inerciales de coordenadas ............ 227 6.2 Aplicacin de la ecuacin del momento cintico a turbomquinas ...................... 228 6.3 Ecuacin de momento cintico para sistemas no inerciales de coordenadas ........ 230 Problemas 37. Momento cintico aplicado a un sistema esttico ................................................. 232 38. Aplicacin a un aspersor giratorio ........................................................................ 235 39. Aspersor en forma de Y ........................................................................................ 239 40. Aspersor con tres brazos ....................................................................................... 253 41. Turbina Pelton ...................................................................................................... 271 42. Aspersor con labes .............................................................................................. 276 43. Helicptero ........................................................................................................... 280 44. Aspersor inclinado ................................................................................................ 284 45.Aspersor en forma de doble L ............................................................................... 285 46. Aspersor sometido a flujo transitorio ................................................................... 291 47 .Aspersor con 8 tramos .......................................................................................... 302


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Cap. 7 Ecuacin de conservacin de la energa 7.1 Introduccin .......................................................................................................... 317 7.2 Composicin del trmino trabajo .......................................................................... 318 7.3 Ecuacin de la energa para turbomquinas, caso mquinas trmicas e hidrulicas ... 320 7.4 Forma diferencial de la ecuacin de la energa ..................................................... 323 Problemas 48. Compresor ............................................................................................................. 326 49. Aplicacin de la ecuacin energa en rgimen transitorio .................................... 328 50 .Ecuacin de la energa en rgimen transitorio y conducto esfrico ...................... 331 51. Bombeo de combustible ........................................................................................ 340 52. Hovercraft ............................................................................................................. 344 53. Turbina axial ......................................................................................................... 348 Cap. 8 Flujo con viscosidad dominante 8.1 Flujo entre dos placas paralelas ............................................................................ 355 8.2 Flujos independientes del tiempo .......................................................................... 358

8.2.1 Flujo de Couette - Poiseulle plano ............................................................... 358 8.2.2 Flujo de Couette .......................................................................................... .359 8.2.3 Flujo de Hagen-Poiseulle o Poiseulle plano ................................................. 360

8.3 Flujo dependiente del tiempo ................................................................................ 360 8.3.1 Flujo de Rayleich ......................................................................................... 360

8.4 Flujo estacionario en conductos circulares ........................................................... 364 8.4.1 Flujo de Hagen-Poiseulle ............................................................................. 364

8.5 Concepto de pendiente motriz .............................................................................. 368 8.6 Flujo en un conducto anular .................................................................................. 369

8.6.1 Considrese ahora el caso en que ambos cilindros son estacionarios pero existe una diferencia de presin entre los extremos de los cilindros ............ 373 8.6.2 Caso genrico de flujo entre dos cilindros concntricos, en donde existe desplazamiento en direccin axial de ambos cilindros y gradiente de presiones entre extremos de los cilindros ..................................................... 376

8.7 Flujo entre cilindros concntricos giratorios ......................................................... 378 8.8 Flujos con aceleracin despreciable ...................................................................... 390

8.8.1 Introduccin ................................................................................................. 390 8.8.2 Teora de la lubricacin de Reynolds. Flujo unidireccional. ....................... 392

8.8.2.1 Cojinetes hidrostticos planos, patn de Michel. ................................. 392 8.8.2.2 Ecuacin de lubricacin de Reynolds para flujo bidimensional ............... unidireccional. Coordenadas cartesianas ............................................ 398 8.8.2.3 Ecuacin de lubricacin de Reynolds para flujo bidireccional, tridimensional. Coordenadas cartesianas ............................................ .398

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8.8.2.4 La ecuacin de lubricacin de Reynolds en rgimen transitorio, flujo bidimensional tridimensional. Coordenadas cartesianas ..................... 399 8.8.2.5 Ecuacin de lubricacin de Reynolds en coordenadas cilndricas ...... 401

8.8.3 Flujos con aceleracin despreciable. Cojinetes cilndricos cargados estticamente ................................................................................................ 406

Problemas 54. Flujo entre dos cilindros concntricos giratorios .................................................. 414 55. Flujo radial entre dos cilindros concntricos ........................................................ 418 56. Cojinete esfrico ................................................................................................... 421 57. Flujo radial entre dos placas planas ...................................................................... 427 58. Patn deslizante con ranura ................................................................................... 431 59. Patn deslizante inclinado ..................................................................................... 438 60. Flujo entre pistn y camisa ................................................................................... 449 61. Flujo transitorio en un conducto ........................................................................... 456 62. Cojinete hidrodinmico cilndrico I ...................................................................... 461 63. Cojinete hidrodinmico cilndrico II .................................................................... 465 64. Flujo entre cilindros concntricos con variacin de temperatura ......................... 490 65. Caudal de fugas en una mini turbina .................................................................... 515 66. Patn de Michel ..................................................................................................... 529 67. Flujo de prdidas en la placa de cierre de una bomba de pistones ........................ 531 68. Patn deslizante mixto ........................................................................................... 549 69. Flujo en una vlvula de asiento cnico ................................................................. 556 Cap. 9 Anlisis adimensional 9.1 Introduccin .......................................................................................................... 571 9.2 Fundamentos del anlisis adimensional................................................................ 572 9.3 Teorema de Buckingham ................................................................................ 573

9.3.1 Caso del clculo de las prdidas de energa en una tubera ......................... 573 9.4 Extensin del ejemplo utilizando el mtodo matricial .......................................... 575 9.5 Mtodo de normalizacin de las ecuaciones o mtodo del anlisis inspeccional . 576 9.6 Algunos de los grupos adimensionales ms comunes en Mecnica de Fluidos son: ................................................................................ 579 9.7 Pruebas con modelos, extrapolacin de resultados ............................................... 581 Problemas 70. Grupos adimensionales que caracterizan el flujo incompresible en conductos 584 71. Grupos adimensionales que caracterizan el flujo compresible en conductos ..... ..587 72. Grupos adimensionales para una turbomquina que opera con fluido compresible ..589 73. Grupos adimensionales para un vertedero triangular ........................................... 591 74. Grupos adimensionales aplicables a barcos .......................................................... 594


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Cap. 10 Flujo interno 10.1 Introduccin ........................................................................................................ 599 10.2 Tipos de flujo ...................................................................................................... 599 10.3 Establecimiento de flujo en un conducto ............................................................ 600 10.4 Primera ley de la termodinmica aplicada al flujo en tuberas ............................ 601 10.5 El trmino de prdidas ........................................................................................ 603 10.6 Prdidas menores o singulares ............................................................................ 606 10.7 Casos posibles de problemas en sistemas de tuberas ......................................... 608 10.8 Conductos en serie y en paralelo, y conductos ramificados ................................ 611

10.8.1 Caractersticas de los sistemas en serie ...................................................... 611 10.8.2 Caractersticas de los sistemas en paralelo ................................................. 612

10.9 Concepto de longitud equivalente ....................................................................... 613 10.10 Conductos no circulares. Concepto de dimetro hidrulico .............................. 613 10.11 Sistemas de conductos ramificados ................................................................... 614 Problemas 75. Flujo en conductos ramificados ............................................................................ 616 76. Flujo entre dos depsitos ...................................................................................... 620 77. Central trmica ...................................................................................................... 624 78. Sistema de tres depsitos ...................................................................................... 630 79. Sistema con mltiples depsitos. Resolucin numrica ........................................ 646 80. Sistema con mltiples depsitos ........................................................................... 656 81. Prdidas de energa en un tnel de viento ............................................................. 676 Cap. 11 Capa lmite, flujo externo, flujo potencial 11.1 Capa lmite .......................................................................................................... 693

11.1.1 Introduccin ............................................................................................... 693 11.1.2 Efectos de la capa lmite sobre el flujo, concepto de espesor de desplazamiento de la capa lmite ............................................................................. 694 11.1.3 Concepto de espesor de cantidad de movimiento para la capa lmite ........ 695 11.1.4 Ecuacin diferencial de Prandtl para el anlisis de la capa lmite .............. 696 11.1.5 Efecto del gradiente de presin en la capa lmite ....................................... 700 11.1.6 Ecuacin integral de cantidad de movimiento para la capa lmite. Ecuacin de Von Karman .......................................................................... 704 11.1.7 Evaluacin de los parmetros de la capa lmite para el flujo sobre una placa plana .................................................................................................. 707

11.1.7.1 Caractersticas para la capa lmite en la regin laminar ............... 708 11.1.7.2 Capa lmite turbulenta .................................................................. 713

11.2 Flujo externo ....................................................................................................... 721 11.2.1 Introduccin ............................................................................................... 721 11.2.2 Fuerza sobre cuerpos, resistencia y sustentacin ........................................ 721 11.2.3 Conceptos de vrtice libre y vrtice forzado .............................................. 724

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11.2.4 El teorema de Kutta-Joukowsky (vlido para flujo subsnico) ................. 725 11.2.5 Sustentacin sobre cilindros y esferas giratorias, efecto Magnus .............. 728

11.3 Introduccin al Flujo Potencial ........................................................................... 729 11.3.1 Ecuaciones de Euler y Bernoulli ................................................................ 729 11.3.2Concepto de potencial de velocidades y funcin de corriente .................... 731

Problemas 82. Capa lmite en una embarcacin ........................................................................... 735 83. Capa lmite en una aeronave ................................................................................. 737 84. Capa lmite en conductos sumergidos .................................................................. 740 85. Efecto Magnus I ................................................................................................... 744 86. Distribucin de presin en un tornado .................................................................. 748 87. Efecto Magnus II .................................................................................................. 751 88. Vrtices bajo las alas de aeronaves ...................................................................... 756 Cap. 12 Golpe de ariete 12.1 Fenmeno fsico ................................................................................................ 777 12.2 Expresiones para obtener el valor de la presin mxima o sobrepresin en el conducto ............................................................................................................ 780 12.3 Estudio temporal de las perturbaciones de presin en un punto genrico del conducto ............................................................................................................ 783 12.4 Ecuaciones diferenciales que caracterizan el fenmeno del golpe de ariete ...... 785

12.4.1 Ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento ......................... 786 12.4.2 Ecuacin de continuidad ........................................................................... 788 12.4.3 Modificacin de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento para que puedan ser aplicadas a transitorios y conductos deformables ..... 789 12.4.4 Simplificacin de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento en rgimen transitorio ................................................................... 791

Problemas 89. Golpe de ariete I ............................................................................................. ..793 90. Golpe de ariete II ...................................................................................... 799 Cap. 13 Flujo compresible 13.1 Relaciones termodinmicas ................................................................................ 805 13.2 Concepto de propiedades de estancamiento ....................................................... 807 13.3 Estudio de la propagacin de una onda dbil en un fluido compresible. Concepto de velocidad del sonido y el nmero de Mach. Lmite de incompresibilidad ..... 808 13.4 Relacin entre el nmero de Mach y las propiedades de estancamiento del Fluido ................................................................................................................. 812 13.5 El cono de Mach ................................................................................................. 813


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13.6 Caractersticas de las ondas de choque ............................................................... 814 13.7 Estudio del flujo isentrpico y estacionario para un gas ideal ............................ 819 13.8 Condiciones crticas ............................................................................................ 821 13.9 Flujo unidimensional en un conducto de rea variable ....................................... 822

13.9.1 Concepto de caudal de bloqueo .................................................................. 826 13.9.2 Evolucin del flujo en una tobera convergente .......................................... 827 13.9.3 Evolucin del flujo en una tobera convergente divergente ........................ 828

13.10 Flujo compresible unidimensional estacionario en conductos de seccin constante ........................................................................................................... 832

13.10.1 Flujo adiabtico sin transferencia de calor y con friccin, flujo de Fanno ........................................................................................................ 833 13.10.2 Flujo compresible isotrmico con friccin en una conduccin larga de seccin constante ................................................................................................... 840

13.10.2.1 Concepto de condicin lmite en flujo isotrmico con friccin ....... 843 13.10.3 Flujo compresible estacionario con transferencia de calor y sin

friccin. Flujo de Rayleigh ...................................................................... 844 13.10.3.1 Ecuaciones gobernantes ................................................................... 845 13.10.3.2 Caractersticas del fluido para condiciones de mxima entalpa y mxima entropa ........................................................................... 848 13.10.3.3 Interseccin entre las lneas de Fanno y Rayleigh ........................... 849 13.10.3.4 Propiedades termodinmicas de flujo estacionario unidimensional con adicin de calor .............................................................. 850

Problemas 91. Conducto con diferentes longitudes ...................................................................... 854 92. Determinacin del dimetro optimo ..................................................................... 859 93. Descarga de un depsito ....................................................................................... 865 94. Flujo de vapor entre dos depsitos ........................................................................ 872 00. Tablas de Flujo isentrpico ................................................................................... 879 00. Tablas de Flujo de Fanno ...................................................................................... 889 95. Aplicacin del mtodo de Bergh-Tijdemann ....................................................... 894 96. Flujo de aire saliendo por conjunto conducto-tobera ............................................ 901 97. Flujo compresible en conductos de seccin constante I ........................................ 907 98. Flujo compresible en conductos de seccin constante II ...................................... 912 99. Evaluacin de diversos conductos que unen dos depsitos .................................. 918 100. Tobera supersnica convergente divergente ....................................................... 930 101. Descarga de un depsito a travs de una vlvula ................................................ 937 102. Tobera supersnica y conducto con onda de choque .......................................... 946 103. Ondas de choque oblicuas ................................................................................... 951 104. Tobera supersnica aplicada a cohetes ............................................................... 955 Nomenclatura .............................................................................................................. 965 Bibliografa ................................................................................................................. 971

Introduccin a la Mecnica de Fluidos. Propiedades de los fluidos

19


1.1 Introduccin. Fluido desde el punto de vista molecular

La Mecnica de Fluidos se puede definir como la parte de la fsica que se ocupa del estudio del equilibrio esttico y dinmico de la materia en estado fluido. Desde el punto de vista molecular, se puede establecer que, en fase gaseosa, el fluido se caracteriza por tener unas fuerzas intermoleculares dbiles. El entorno de una molcula es de rango largo para un slido, de rango corto para un lquido, alrededor de 30 (3 nm), y no tiene rango para un gas.

Para la fase lquida, con el fin de estudiar el comportamiento del fluido a nivel molecu-lar, se utiliza el concepto de funcin de distribucin radial g (r), la cual se define como un cociente de densidades: densidad media del nmero de molculas que hay en el interior de un volumen esfrico de lquido de radio r a partir del centro de una de ellas (r) , dividido por la densidad media del nmero de molculas que hay en una masa de lquido donde se encuentran millones de molculas (0) . Obsrvese que la funcin de distribucin radial puede ser superior, inferior o igual a la unidad.

1(r)g(r) 1(0)

1

La representacin de la funcin de distribucin radial en funcin del radio de la esfera se esquematiza en la figura T 1.1. Vase que, para radios de la esfera pequeos, es decir, cuando hay pocas molculas en el interior de la esfera, la funcin de distribucin radial tiende a cero; a medida que el nmero de molculas en el interior de la esfera de radio genrico aumenta, el valor de la funcin de distribucin radial oscila alrededor del valor unidad.


20

El comportamiento de estas variaciones de densidad a nivel molecular se explica gra-cias a las fuerzas de atraccin y repulsin molecular. La figura T 1.2 representa dichas fuerzas en funcin de la distancia de alejamiento respecto el centro de una molcula. Vase que, a distancias muy pequeas, las fuerzas de repulsin son mayores que las de atraccin molecular y que, a partir de una distancia r0 aparece un cierto equilibrio de fuerzas, a partir de dicho punto, las fuerzas de atraccin son ligeramente mayores que las de repulsin.

La energa necesaria para desplazar un tomo a una distancia dr contra una fuerza F(r) se da como: du - F(r) dr= , el signo (-) es debido a que la fuerza aumenta al disminuir el radio. La energa requerida para traer un tomo desde el infinito a una distancia r se define como:

ru - F(r)dr

= Esta ecuacin se conoce como el potencial de Lennard-Jones.

1.2 Fluido desde el punto de vista termodinmico

Desde el punto de vista termodinmico, la materia se define en tres estados posibles: lquido, slido y gaseoso. As, cuando se habla de fluido, es necesario considerar el estado termodinmico del mismo. A priori, en un primer curso de Mecnica de Fluidos, se considera que el fluido objeto de estudio, no experimenta ningn cambio de fase.

Fig. T 1.1 Funcin de distribucin

radial

Fig. T 1.2 Fuerzas de atraccin y repulsin a

nivel molecular


21

A modo de recordatorio, se presenta en la figura T 1.3 el diagrama P-T para el agua, donde se observan los tres estados de la materia, as como los puntos triple y crtico.

En el punto crtico, se definen los parmetros crticos Pc, Tc, Vc, hc, etc. En dicho punto, en un instante todo el lquido puede transformarse en vapor y viceversa, sin aportacin ni cesin de calor alguna, (el calor de vaporizacin es igual a cero).

De manara homloga, en el punto triple el calor de sublimacin es tambin cero.

Las dos figuras siguientes T 1.4, T 1.5, muestran el diagrama P-V (presin-volumen) y T-S (temperatura-entropa) para el agua, donde de nuevo se observan claramente los tres estados de la materia, as como los puntos crtico y triple.

Desde el punto de vista termodinmico, se concluye que no se puede hablar de un flui-do, sino de un fluido bajo un estado termodinmico concreto, siendo las propiedades del fluido altamente dependientes del estado termodinmico en el que se encuentra.

Fig. T 1.3. Diagrama presin temperatura para el agua

Fig. T 1.4 Diagrama presin volumen para el agua

Fig. T 1.5 Diagrama temperatura entropa para el agua


22

1.3 Fluido desde el punto de vista mecnico

Una sustancia se encuentra en estado fluido si experimenta una deformacin continua durante el tiempo en que est sometida a una tensin tangencial. Los lquidos y los gases no pueden soportar tensiones tangenciales sin que en su interior aparezca un gradiente de velocidad. Un slido requiere la aplicacin de una tensin finita antes de que se produzca alguna deformacin.

Existe un nmero adimensional, denominado nmero de Deborah (De) que, desde el punto de vista mecnico y basado en mediciones experimentales, permite determinar si el cuerpo objeto de estudio es un fluido o bien un slido. Su definicin es:

e0

Tiempo de relajacin Tiempo durante el que se aplica una tensinD ; ;t Tiempo de observacin Tiempo que se toma para evaluar la

velocidad de deformacin

=

El nmero de Deborah es el cociente entre el tiempo transcurrido , durante el cual se aplica una tensin tangencial a un fluido, y el tiempo necesario para evaluar la veloci-dad de deformacin de la sustancia sometida a tensin.

Si observamos un material dado durante un tiempo ms largo que , puede parecer que fluye como un lquido viscoso, mientras que su comportamiento puede considerarse como el de un slido rgido en escalas de tiempo menores.

Para:

De la sustancia es un fluido>

1.4 Aproximacin del continuo

En teora, sera posible describir el comportamiento de una sustancia en cualquier esta-do en trminos de la dinmica de las molculas que la componen. En la prctica, esto es imposible, debido al nmero elevadsimo de molculas. Prcticamente siempre es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponer que es continua. Es decir, los fenmenos fsicos y qumicos que se estudiarn estn a una escala (macros-cpica), la estructura molecular de cualquier sustancia tiene una escala (microscpica) que puede ser ignorada, el fluido se considerar como un medio istropo.

En consecuencia, las propiedades que definen una sustancia son las que representan las caractersticas medias de la estructura molecular. Estas propiedades se describen para funciones continuas de la posicin y el tiempo.

En la mecnica de medios continuos, basta estudiar la densidad, la velocidad y la ener-ga interna como funciones de la posicin y el tiempo.


23

1.5 Equilibrio termodinmico local

A la hora de estudiar un fluido, se va a considerar que cada elemento diferencial de materia est en equilibrio mecnico y trmico con los elementos que le rodean.

La termodinmica muestra que puede especificarse el estado macroscpico de los flui-dos en equilibrio mediante los valores de algunas variables de estado: presin, densi-dad, temperatura, energa interna, entropa, etc. Ensea tambin que, si el fluido es homogneo en composicin, basta con conocer los valores de dos variables cualesquie-ra para poder determinar, en funcin de ellas, todas las dems. Las ecuaciones de esta-do son las funciones que ligan dichas variables.

La mecnica de fluidos se caracteriza por la existencia de no uniformidades en las propiedades mecnicas y trmicas del fluido. Sin embargo (al menos para los gases), la teora cintica muestra que, siempre que el camino libre medio sea pequeo frente a la longitud caracterstica de las no uniformidades macroscpicas (y que el tiempo entre colisiones moleculares sea pequeo con respecto al tiempo necesario para que las va-riables macroscpicas experimenten cambios locales apreciables), existe equilibrio termodinmico local.

Esta hiptesis se justifica por el hecho de que un tomo o molcula sufre un gran n-mero de colisiones con sus vecinos antes de alcanzar regiones donde las magnitudes macroscpicas cambien; de modo que gradualmente adapta su movimiento y energa a los que existen localmente, y va perdiendo memoria de su situacin primitiva en las sucesivas colisiones.

El nmero de Knudsen mide la relacin entre el camino libre medio molecular y la longitud caracterstica macroscpica L de variacin de las propiedades fluidas. Kn L

= . Siempre que Kn


24

1.6.1 Mdulo de elasticidad

El mdulo de elasticidad es la propiedad de los fluidos que indica su grado de com-presibilidad al ser sometidos a una variacin de presin. Se define como:

dP dP dPd d d

= = =

El mdulo de elasticidad es equivalente al mdulo de Young en la mecnica de los slidos.

Para un gas, se cumple que P P ( ,T)=

Con lo que se puede definir: T

P PdP d dTT

= +

Si el proceso es a temperatura constante, el mdulo isotrmico de elasticidad ser:

Tv,t

T

P ddP Pd d

= = =

Si el gas fuese ideal, se ha de cumplir que P = RT

( )v,t

T

RTRT P

= = = El mdulo isotrmico de un gas es igual a la presin

de dicho gas.

En general, para cualquier fluido, de la ecuacin genrica del mdulo de elasticidad se

tiene d dP = . Esta ecuacin puede ser utilizada para definir matemticamente el

concepto de fluido incompresible. As, si se acepta un cambio de densidad del 1 % como insignificante, se puede definir un fluido como incompresible si cumple:

dP 0,01


25

1.6.2 Coeficiente de expansin trmica

Una propiedad equivalente al mdulo de elasticidad , pero desde el punto de vista trmico, es el coeficiente de expansin trmica T. Dicho coeficiente mide el efecto de expansin del fluido al variar la temperatura del mismo. Se define como:

T1 d 1 d 1 d

dT dT dT

= = =

Para todo fluido, existe una relacin entre su densidad, su presin y su temperatura (P,T), = con lo que la variacin de densidad en funcin de estos dos parmetros se

define:

P Td dT dP

T P = +

Para un proceso de expansin trmica a presin constante:

Pd dT

T = de donde P

ddT T

=

Sustituyendo en la expresin del coeficiente de expansin trmica, se tiene:

T,PP

1T

= , ecuacin que caracteriza el coeficiente de expansin trmica para un proceso a presin constante.

Si se considera el caso de un gas ideal, se tiene:

PRT

=

con lo que, para un proceso a presin constante se tiene:

T,P 2P PP

1 P 1 1 P 1 1 P 1 1PT RT RT T T RT R TT

= = + = =

Se concluye que, el coeficiente de expansin trmica de un gas ideal es igual a la inver-sa de la temperatura del mismo.

1.6.3 Colofn sobre mdulo de elasticidad y coeficiente de expansin trmica

Considrese un volumen determinado de fluido . Si se quiere estudiar la variacin de dicho volumen, en funcin de las variaciones de presin y de temperatura, se puede establecer:


26

p Td dT dP

T P = +

p T

d 1 1dT dPT P

= +

T,PV,T

d 1dT dP =

ecuacin que caracteriza la variacin del volumen de un fluido en funcin de la varia-cin de presin y temperatura al que esta sometido, donde:

T,Pp

1T

= es el coeficiente de expansin trmica

V,TT

P = es el mdulo de elasticidad volumtrica

La variacin del volumen con respecto al volumen inicial se puede expresar como:

0

0 0 0 0 0

0 0

1 1d m m

1m

= = = = = =

As, la ecuacin que relaciona la variacin de densidad del fluido, en funcin de la variacin de presin y temperatura, se puede dar como:

( ) ( )0 0 T,P 00 V,T

1 P P T T

=

A modo de ejemplo, para el agua a unas condiciones termodinmicas de P = 105 Pa y T

= 277 K, se tiene que 9V,T 2N1,96.10

m = ; 4 1T,P 1,53.10 K = , siendo las condicio-

nes iniciales 30 3Kg10m

= y T0 = 0 K.

1.6.4 Tensin superficial

La tensin superficial , Nm

= , describe las fuerzas en la interfaz entre un gas y un

lquido, o entre dos lquidos, o entre un gas y un slido.


27

La tensin superficial juega un papel importante en problemas que implican la forma-cin de burbujas en lquidos, la ruptura de chorros de lquidos en gotas y la determina-cin de las formas de masas de lquidos en condiciones ingrvidas.

Con el fin de mostrar el carcter dbil de las fuerzas debidas a la tensin superficial, se va a realizar el experimento que se muestra en la figura T 1.6, consistente en un alam-bre en forma de U y otro alambre que se desliza a lo largo de las dos ramas del alambre anteriormente mencionado. La superficie formada por los dos alambres se cubre con una pelcula de jabn cuyo espesor es de pocas molculas.

Dicha pelcula de jabn crea una fuerza sobre el alambre deslizante, la cual tiende a disminuir la seccin de pelcula existente. La fuerza necesaria para mantener el alambre deslizante en una posicin estable ha de ser igual y de sentido contrario a la creada por la pelcula de jabn y vale F = 2 l. El 2 tiene en cuenta las dos superficies de jabn en contacto con el aire. Si el alambre se desplaza una distancia x, el trabajo requerido ser: W = F(x) = 2 l (x) = 2 S, donde S es el elemento diferencial de superfi-cie barrido.

Sea una gota infinitesimal de fluido con una forma casi esfrica y situada en el seno de otro fluido, sea el punto 0 de la superficie tangente al plano xy. Para esta superficie infinitesimal, se puede demostrar que la fuerza vertical dFz resultante de la tensin superficial a lo largo del borde de la superficie viene dada por:

Fig. T 1.6 Experimento para estudiar la tensin superficial

Fig. T 1.7 Esquema de una gota casi esfrica


28

2 2

z 2 20 0

W WdF dAx y

= +

donde W es la curvatura de la superficie con respecto a los ejes coordenados.

Las derivadas pueden remplazarse por 1 2

1 1yR R

, siendo estos los radios de curva-

tura en el centro de coordenadas y con respecto a los dos planos zx y zy que cortan a la gota casi esfrica esquematizada, (ver figuras T 1.7 y T 1.8).

Dividiendo por dA, se obtiene el aumento de presin entre la parte interior y exterior de la gota de fluido.

1 2

1 1PR R

= +

Esta ecuacin recibe el nombre de ecuacin de Laplace-Young.

Para el caso de que la gota sea perfectamente esfrica R1 = R2, la ecuacin que caracte-riza la diferencia de presin entre la parte interior y exterior de la misma, toma la forma

2PR = .

1.6.5 Definicin de viscosidad

Tal vez la propiedad ms conocida y utilizada de los fluidos sea la viscosidad, entre otras cosas porque la ecuacin reolgica de los fluidos es funcin de la misma. La viscosidad fue definida inicialmente por Isaac Newton al relacionar los esfuerzos cor-tantes aplicados a una capa de fluido con la velocidad de deformacin de dicho fluido.

Sea un elemento diferencial bidimensional de un slido inicialmente en reposo y al cual se le aplican sendos esfuerzos cortantes en las caras superior e inferior del mismo. El slido, al ser sometido a tensin, se deformar un ngulo , el cual no depender del tiempo durante el cual se aplique el esfuerzo cortante. Al dejar de aplicarse el esfuerzo (siempre y cuando no se haya sobrepasado el lmite elstico), el elemento diferencial

Fig. T 1.8 Radios de curvatura

respecto a los dos planos

coordenados


29

volver a su estado inicial. Si se realiza el mismo experimento sobre un elemento dife-rencial de fluido, se observa que, mientras le sea aplicada la tensin , el fluido seguir deformndose, es decir, el ngulo es para un fluido dependiente del tiempo. Para un slido:

Para un lquido:

Supngase ahora que, en el seno de un fluido en movimiento, se extrae una muestra diferencial, sobre la cual actan, en lados paralelos, velocidades distintas, figura T 1.10.

La diferencia de la velocidad entre la parte superior y la inferior del elemento diferen-

cial es du ydy

.

Fig. T 1.9 Deformacin de elementos diferenciales de slido y fluido

Fig. T 1.10 Elemento diferencial de un fluido en movimiento


30

La distancia e es la distancia de desplazamiento de la parte superior con respecto a la inferior, debido a la diferencia de velocidades entre estas dos caras.

due y tdy

=

Para un diferencial de tiempo pequeo, el ngulo girado ser tambin pequeo, de donde:

( ) e dutan ty dy

= =

La velocidad de deformacin angular debida al esfuerzo cortante, es la velocidad de cambio de ; as:

dut dy

=

En realidad, si existe un gradiente de velocidades entre la parte superior y la inferior del elemento diferencial, es equivalente a decir que existe un esfuerzo cortante entre estas dos capas de fluido. Considerando que el esfuerzo cortante es proporcional a la

velocidad de deformacin angular, se obtiene t

, donde el parmetro es la

constante de proporcionalidad.

Dicha constante de proporcionalidad, es en realidad, un parmetro caracterstico del fluido, que se denomina viscosidad absoluta o dinmica del fluido, obteniendo la relacin:

dudy

=

Esta ecuacin es la ley de Newton de la viscosidad, denominada tambin ecuacin reolgica de un fluido newtoniano, la cual puede expresarse como:

n. = ; siendo uy

=

.

El exponente n puede tomar los valores siguientes:

Para n 1 fluido newtonianoPara n 1 o bien 1 el fluido es no newtoniano

=

< >

Se denominan fluidos newtonianos, los que tienen una relacin lineal entre el esfuerzo cortante y la velocidad de deformacin. La grafica siguiente muestra diferentes tipos de fluidos convencionales.


31

Un fluido dilatante aumenta la resistencia a la deformacin al aumentar el esfuerzo cortante.

Un fluido pseudoplstico disminuye su resistencia al aumentar el esfuerzo. Si este efec-to es muy importante (lnea a trazos), el fluido se denomina plstico.

Todo fluido que necesite un esfuerzo cortante mnimo para empezar a fluir se denomi-na plstico de Bingham y puede ser lineal o no; su ecuacin genrica sera:

n0 . 1 n 1 = +

Los fluidos que necesitan un aumento gradual en el esfuerzo cortante para mantener constante la velocidad de deformacin se denominan reopcticos. Los que necesitan esfuerzos decrecientes para mantener constante la velocidad de deformacin reciben el nombre de tixotrpicos.

Fig. T 1.11 Ecuaciones reolgicas de fluidos convencionales


32

Problema 1

Enunciado

Entre los extremos de un tubo de 0,006 m de dimetro y 1 m de longitud, se aplica una diferencia de presin relativa de 50.000 Pa. Si el caudal que fluye es de

-6 3Q = 3,5 10 m s , halle la viscosidad del fluido circulante (considerando rgimen laminar). Compruebe la veracidad de esta hiptesis.

Resolucin

La velocidad media de paso del fluido por el conducto ser: -6

2Q 3,510 mU = = = 0,1237S s 0,006

4

Dado que no se puede determinar el nmero de Reynolds, se considerar que el rgi-men de flujo es laminar; al final de proceso se comprobar esta hiptesis.

Considerando que el fluido fluye segn la ley de Poiseulle, y sabiendo que la distribucin de velocidades en direccin radial segn Poiseulle es:

( ) 2* 2 2P 1 1 r U = r - R = Umx 1-x 4 R

donde *

2P 1Umx = - Rx 4

La relacin velocidad mxima-velocidad media UmaxU =2

donde * 2P RU = - x 8

La diferencia de presin entre extremos del conducto ha de ser contrarrestada por los esfuerzos cortantes en la pared del mismo, as:

2 2*

totalD 0,006Fp = P = 50.000 = 1, 4137 N4 4

El esfuerzo cortante se define como:

2

mxU r= = U 1-r r R


33

mx 22 r= - UR

El esfuerzo cortante de la pared valdr:

r = R

mx

2= - UR

como mxUU =

2

U= - 4R

El esfuerzo debido a los esfuerzos cortantes a lo largo de todo el tubo ser:

UF = S = 2 R L = - 4 2 R LR

como -F = Fp

1, 4137 = 8 U L = 8 0,1237

2NS = 0, 4547m

Para que el flujo sea laminar se debe cumplir:

UD 0,12370,006 Re = = < 2.4000,4547

Para cumplir la igualdad, se tiene que debera valer 3 = 1.470.331Kg m ; como esto es imposible, se concluye que la hiptesis es acertada. En concreto, para una densidad de 3800 Kg m , se obtiene Re = 1,3.

Problema 2

Enunciado

Halle la potencia necesaria para mantener una velocidad angular constante de 10 rad/s en el viscosmetro cilndrico de la figura. (Considrense los esfuerzos cortantes, en la superficie lateral y en la base.)


34

Datos:

H = 10 cm

R1 = 3 cm

h = 0,1 cm

= 710-3 Ns/m2

Resolucin

En la cara lateral se tiene:

du= dy

1 1v 0 R du = =dy h h

Los valores de la fuerza y el par laterales, FL y ML, se obtienen:

21L 1 1

R F = dS = 2 R H = 2 HR

h h

31L 1 1 1 1

R M = FR = 2 R H R = 2 H Rh h

El valor de la potencia necesaria para vencer los esfuerzos cortantes laterales ser:

23

L 1 N = M = 2 H Rh

En la base del cilindro, se tiene:

i iV rdu = =dy h h

Los valores de la fuerza y el par en la base, FB y MB, sern:

R3Ri i

B i i0

0S

r r2F = dS = 2 r dr = h h 3

Fig. 2.1


35

3

B RF = 2 h 3

R43 i

B B i i i0

R 2 2M = dF R = r dr = h h 4

4

B 2 RM =

h 4

La potencia debida a los esfuerzos cortantes en la base, NB, ser:

NB = M = 2 4 2 Rh 4

con lo que la potencia total necesaria para hacer girar el cilindro ser:

NT = NL + NB = 42

3 11

R 2 H R +h 4

= 710-3

2 4310 0,032 0,10,03 +

0,001 4

NT = 0,0127 [W]

Problema 3

Enunciado

Halle la expresin del par necesario para mover la esfera de la figura adjunta.

Resolucin

Las tensiones cortantes existentes se pueden definir como:

Fig. 3.1


36

V R r cos = = =n e e

;

Estudiando la esfera, se observa que la fuerza que se opone al movimiento se da como:

32

r cos r cosdF = dS = 2 R da = 2 r cos r d =e e

r= 2 cos de

As mismo, el momento resistente resultante valdr:

idM = dF R = dF r cos 3

2 rdM = 2 cos d r cose

o

o

90 43

-90

rM = 2 cos de

con lo cual, la potencia necesaria para hacer girar la esfera sera: o

o

9042 3

-90

rN = M = 2 cos de

y quedara:

o

o

909042 2

90 -90

r 1 2N = M = 2 cos sin cos de 3 3

+

90 9042 2

90 90

r 1 2N = 2 cos sin sine 3 3

+

42 r 8N =

e 3

Problema 4

Enunciado

Se hace rotar un cuerpo cnico con una velocidad constante de 10 rad/s; la base del cono tiene un dimetro de 5 cm, y el espesor de la pelcula de aceite es de 0,1 mm. Si la


37

viscosidad del aceite es de 710-3 [NS/m2], halle el par necesario para mantener el movimiento.

Resolucin

Se divide la superficie del cono en dos partes: por un lado, la superficie lateral y, por otro lado, la base.

En la superficie lateral, el esfuerzo cortante en un punto genrico vale:

i = id dn = iR e

= ih tge

;

En la base:

i = id dn = iR e

;

Fig. 4.1 Esquema del cuerpo cnico

Fig. 4.2

Fig. 4.3


38

La fuerza que se opone al movimiento en la superficie lateral:

idF = dS = 2 R dZ cos = dhdz ;

i idh dhdF 2 R 2 h tg

cos cos= =

2 2i

dhdF = h tg 2e cos

h 32 22 i

i0

h tg tg F = 2h dh = 2e cos e cos 3

La fuerza en la base ser:

idF = dS = 2R dR

2i

dF = R 2dRe

R 32i

0

RF = 2 R dR = 2e e 3

El par necesario en la superficie lateral:

i

i

M = FRdM = dF R

22

i itg dM = 2h dhRcos e i iR = h tg

h 3 3 43

L i0

tg tg hM = 2 h dh = 2cos e cos e 4

El par en la base:

2i i i

dM = dF R = 2 R dR Re

R 43

b i0

RM = 2 R dR = 2e e 4

El par total necesario para mantener el movimiento ser:

TM = L bM + M


39

4 43 34 4

Th Rtg 2 tg M = 2 + 2 = h + R

cos e 4 e 4 e 4 cos

Sustituyendo el radio por su equivalente:

4 3T

1M = h tg + tge 2 cos

La potencia necesaria para mantener el sistema en movimiento ser:

24 3

T 1N = M = h tg + tge 2 cos

Cinemtica de fluidos

41


2.1 Concepto de derivada sustancial, material o total

Sea una propiedad intensiva cualquiera (densidad, temperatura, etc.). Si se sigue a una partcula de fluido en su movimiento, la magnitud asociada a la partcula fluida varia no solo porque el tiempo t cambia, sino tambin porque la posicin x de la partcula es asimismo modificada. Si se calcula su variacin con el tiempo respecto a un observador que se mueva con el fluido, se obtiene la denominada derivada sustancial. Desarrollando en serie la variacin de la propiedad genrica, se tiene:

(x x; t t) (x; t) x . t .......t

= + + + +

Dividiendo por el diferencial de tiempo y despreciando los trminos asociados a las derivadas de orden superior, se tiene:

xt t t

= +

en el lmite, se establece:

d D vdt Dt t

= = +

siendo DDt

la derivada sustancial de la propiedad asociada a la partcula de fluido.

El trmino t

recibe el nombre de derivada local, y el trmino v es la derivada convectiva.


42

En Mecnica de Fluidos, la aceleracin que experimenta una partcula se define como la derivada material de la velocidad de la partcula, y se define:

Dv va (v )v v vDt t t

= = + = +

Que es la suma de una aceleracin local y una convectiva.

En coordenadas cartesianas y notacin de subndices, se puede representar como.

i ii j

j

v va v

t x

= +

Para extender su validez a otros sistemas coordenados rectangulares, se ha de sustituir

el trmino (v. )v por su equivalente ( )2v v v

2

.

Si el sistema de referencia no es inicial, para obtener la aceleracin absoluta se ha de aadir, a la aceleracin relativa, la aceleracin debida al movimiento del sistema de referencia:

r 0da a r ( r) 2 vdt

1 2 3 4

= + + +

1. Aceleracin de arrastre 2. Aceleracin tangencial 3. Aceleracin centrpeta 4. Aceleracin de Coriolis

0a =

Aceleracin lineal con que se mueve el origen del sistema de coordenadas mvil con respecto al fijo.

= Velocidad angular con que gira el sistema de coordenadas mvil.

2.2 Concepto de flujo convectivo a travs de una superficie

Considrese una superficie fija a un sistema de referencia y un pequeo elemento de superficie sobre ella de rea ds. Las partculas fluidas capaces de alcanzar la superficie ds en un tiempo dt son aquellas que se encuentran a una distancia igual o inferior a v dt . De entre todas ellas, solo alcanzan ds las que tengan la orientacin apropiada v ds dt . La cantidad de magnitud que atraviesa con el fluido dicha superficie en la unidad de tiempo ser v n ds .

El flujo total a travs de toda la superficie fija ser sup

v n ds , de donde v n es el flujo que atraviesa la unidad de superficie de orientacin n .


43

Si es un escalar, v es un vector denominado vector flujo de la propiedad (si es, por ejemplo, la densidad , la cantidad v es el vector flujo msico).

Si es un vector, v es un tensor denominado tensor flujo de la magnitud (si es la cantidad de movimiento v , la cantidad v v ser el flujo de cantidad demovimiento).

Si la superficie es cerrada y el trmino v es una funcin continua tanto en el interiorcomo en la superficie (no existen fuentes, ni sumideros), el teorema de Gauss-Ostrogradsky permite escribir el flujo como una integral de volumen.

Sv n ds .( v) d

= , donde ( v) es el flujo de la magnitud por unidad de

volumen.

El concepto de flujo volumtrico sera S

Q vds vd div vd

= = = Siendo el flujo msico, ( )

Sm vds v d

= =

2.3 Concepto de Circulacin

La circulacin a lo largo de una lnea de corriente L se define como el valor de la integral

Lvdl = , que equivale al trabajo desarrollado por el vector velocidad v a lo

largo de la lnea L. Si la lnea L es cerrada, el teorema de Stokes afirma que lacirculacin es igual al flujo del vector vorticidad v a travs de la superficiedelimitada por la lnea L.

( )L S S

vdl v ds rot v ds = = = Si la circulacin a lo largo de cualquier lnea cerrada es nula, el vector vorticidad

v es cero en todo el campo fluido, 0 v 0 = = ; estos movimientos sedenominan irrotacionales o potenciales, puesto que v 0 = , lo cual implica que lavelocidad deriva de un potencial v = .El recproco, en general, no es cierto, aunque v 0 = en todo el campo fluido, puedeque existan lneas cerradas en las que 0 . Este sera el caso correspondiente a un campo fluido que no fuese simplemente conexo.

2.4 Lneas de corriente, trayectoria y traza

Dado un campo vectorial de velocidades que caracteriza un fluido en movimiento, se puede definir la evolucin espacial de las partculas de fluido sabiendo que en el instante inicial se encuentran en una posicin dada. Para ello, se utilizaran los conceptos de lneas de corriente, trayectorias o sendas, y lneas de traza.


44

La lnea de senda o trayectoria se define como el camino seguido realmente por una partcula fluida, conocida la posicin de la partcula para un tiempo inicial.

La lnea de traza seria el lugar geomtrico de las partculas que en instantes sucesivos pasaron por un punto dado. Sera la obtenida si se inyectase colorante en un punto dado del fluido.

La lnea de corriente, es aquella que en un instante dado es tangente a los vectores velocidad en todo punto. La lnea de corriente tiene un profundo sustrato matemtico, mientras que las otras dos son ms esencialmente experimentales. No obstante, estas tres lneas estn caracterizadas por sendas ecuaciones diferenciales y, como se ver seguidamente, cada una de las ecuaciones diferenciales puede ser definida para los diferentes sistemas de coordenadas existentes.

Se define como lnea fluida, al conjunto de partculas fluidas que en un instante dado forman una lnea. La lnea fluida no dispone de ecuacin diferencial caracterstica.

La lnea de corriente y la fluida estn definidas para un instante dado, mientras que la senda y la lnea de traza se forman con el transcurso del tiempo.

Si el campo vectorial de velocidades, que define el fluido en movimiento, caracteriza un fluido en rgimen permanente, entonces las lneas de corriente trayectoria y traza, coinciden.

Las ecuaciones diferenciales que caracterizan cada una de estas tres lneas principales son:

2.4.1 Lneas de Senda o Trayectoria

Las Sendas o trayectorias, vienen dadas en funcin del campo de velocidades mediante el sistema de ecuaciones diferenciales.

dx v(x, t)dt

=

Donde se cumple que, para 0 0t 0; x(t ) x= = , es decir, para el tiempo inicial se co-

noce la posicin de la partcula.

Desglosando la ecuacin anterior para los diversos sistemas coordenados, se obtiene la ecuacin diferencial de la trayectoria, donde para un sistema de referencia cartesiano.

X Y Zx (x, y, z); v (v , v , v )= =

X Y Zdx dy dzv (x, t); v (x, t); v (x, t)dt dt dt

= = =

En coordenadas cilndricas se obtiene:

r Zx (r, , z); v (v , v , v )= =

r Zdr d dzv (x, t); r v (x, t); v (x, t)dt dt dt

= = =


45

En coordenadas esfricas:

rx (r, , ); v (v , v , v ) = =

rdr d dv (x, t); r sen v (x, t); r v (x, t)dt dt dt

= = =

Las condiciones de contorno para la resolucin de las ecuaciones diferenciales se resumen en que en el estado inicial la posicin de la partcula es conocida:

Coordenadas cartesianas: 0 0 0t 0; x x ; y y ; z z= = = =

Coordenadas cilndricas: 0 0 0t 0; r r ; ; z z= = = =

Coordenadas esfricas: 0 0 0t 0; r r ; ;= = = =

Estas expresiones representan en forma paramtrica, la senda o curva descrita por una partcula en su movimiento alrededor de su posicin inicial.

2.4.2 Lneas de Traza

Mediante las lneas de traza, se estudia el colectivo de partculas que pasan por un punto dado en tiempos sucesivos, 0 0x x(x , t , t)=

. Las ecuaciones diferenciales definitorias de las lneas de traza son las mismas que las que caracterizan las sendas o trayectorias; la diferencia reside en las condiciones de contorno, que ahora, para los diferentes sistemas coordenados, tomaran la forma:

Coordenadas cartesianas: 0 0 0t ; x x ; y y ; z z= = = =

Coordenadas cilndricas: 0 0 0t ; r r ; ; z z= = = =

Coordenadas esfricas: 0 0 0t ; r r ; ;= = = =

Obsrvese que las condiciones de contorno utilizadas para el clculo de las lneas de traza indican que es necesario calcular la ecuacin de todas las trayectorias que pasan por el punto de referencia (x0, y0, z0) en diferentes instantes t0= y eliminar t0 de las ecuaciones resultantes.

2.4.3 Lneas de Corriente

Para la determinacin de las lneas de corriente, se estudia el colectivo de partculas que en un instante dado son tangentes en cada punto al vector velocidad. Para determinar la ecuacin diferencial de las lneas de corriente en coordenadas cartesianas, se utiliza la siguiente relacin geomtrica, ver figura T 2.1.


46

El sistema de ecuaciones que las definen se obtienen estableciendo la proporcionalidad entre el vector tangente y el vector velocidad. Para los diversos sistemas coordenados, se tiene:

Coordenadas cartesianas:

X Y Zx (x, y, z); v (v , v , v )= =

X Y Z

dx dy dzv (x, t) v (x, t) v (x, t)

= =

Coordenadas cilndricas:

r Zx (r, , z); v (v , v , v )= =

r Z

dr r d dzv (x, t) v (x, t) v (x, t)

= =

Coordenadas esfricas:

rx (r, , ); v (v , v , v ) = =

r

dr r sen d r dv (x, t) v (x, t) v (x, t)

= =

Las condiciones de contorno necesarias para la resolucin de las ecuaciones dife-renciales son las mismas que las utilizadas para determinar las trayectorias, es decir:

Coordenadas cartesianas: 0 0 0t 0; x x ; y y ; z z= = = =

Coordenadas cilndricas: 0 0 0t 0; r r ; ; z z= = = =

Coordenadas esfricas: 0 0 0t 0; r r ; ;= = = =

Con el fin de facilitar la integracin en algunos casos complejos, es conveniente utilizar las ecuaciones diferenciales de las lneas de corriente en forma paramtrica. Sea S el parmetro elegido. Recurdese que la ecuacin resultante no puede depender del parmetro S, con lo que ha de ser extrado.

Fig. T 2.1 Relacin

geomtrica utilizada para la

determinacin de la ecuacin diferencial de las lneas de

corriente


47

En coordenadas cartesianas, la ecuacin de las lneas de corriente en forma paramtrica se establece:

Xdx v (x, t);dS

=

Ydy v (x, t);dS =

Zdz v (x, t)dS

=

En coordenadas cilndricas:

rdr v (x, t);dS

=

r d v (x, t);dS

=

Z

dz v (x, t)dS

=

En coordenadas esfricas:

rdr v (x, t);dS

=

r sen d v (x, t);dS

=

r d v (x, t)dS

=

Las condiciones de contorno para la resolucin de este segundo grupo de ecuaciones diferenciales para las lneas de corriente son:

0 0 0t 0; x x ; y y ; z z ; S 0= = = = =

0 0 0t 0; r r ; ; z z ; S 0= = = = =

0 0 0t 0; r r ; ; ; S 0= = = = =

En movimientos estacionarios, las lneas de corriente coinciden con las sendas y las trazas.

Si se toma una lnea en el espacio, las lneas de corriente que se apoyan en ella forman una superficie de corriente; si la lnea de partculas es cerrada la superficie de corriente se denomina tubo de corriente.

2.4.4 Concepto de lnea fluida

Si una serie de partculas forman inicialmente una lnea, este conjunto de partculas seguir formando, por continuidad, una lnea que se denomina lnea fluida. Si la lnea primitiva es cerrada, se mantiene posteriormente cerrada.

Si se denomina 0 0x x ( )= a la ecuacin paramtrica de una lnea fluida en el instante

inicial, la ecuacin de dicha lnea en el instante t ser T 0x x (x ( ), t)= .

2.5 Concepto de vorticidad e irrotacionalidad

Un flujo se denomina irrotacional, cuando la velocidad angular con respecto a todo eje coordenado es nula. La figura siguiente muestra dos lneas fluidas de longitudes infinitesimales, las cuales, para un tiempo dado t, forman un ngulo de 90 grados; al cabo de un diferencial de tiempo, se observa que las dos lneas fluidas, han girado un


48

diferencial de ngulo con respecto a su posicin inicial, con lo que se pueden obtener las relaciones diferenciales que se muestran en la figura T 2.2 para la deformacin de un elemento de fluido.

Partiendo de las relaciones establecidas en la figura, se quiere estudiar la velocidad angular y la velocidad de deformacin de dos lneas fluidas que se deforman en el plano XY. Se observa que las dos lneas fluidas AB y BC perpendiculares en el instante t se mueven y deforman de modo que, en el instante t dt+ , tienen diferentes longitudes A 'B ' y B 'C ' y el ngulo que forman difiere de 90 en los ngulos d y d ; esta deformacin aparece de un modo cinemtico, puesto que los puntos A, B, C tienen velocidades diferentes cuando el campo de velocidades V

no es espacialmente

uniforme.

Se define la velocidad angular z alrededor del eje z perpendicular al plano del papel como el valor medio del giro, en la unidad de tiempo, de las dos lneas fluidas; el sentido contrario a las agujas del reloj se tomar como positivo.

z1 d d2 dt dt

=

Como d y d estn directamente relacionados (para dt pequeos) con las derivadas de la velocidad, se puede establecer:

dt 0

v dxdt vxd lim arctg dtu xdx dxdtx

= = +

dt 0

u dydtuyd lim arctg dt

v ydy dydty

= = +

Fig. T 2.2 Evolucin de

dos lneas fluidas a lo

largo del tiempo


49

Combinando las tres ecuaciones anteriores, se obtiene:

z1 v u2 x y

=

Operando de forma anloga, para los planos YZ y XZ, se obtendr la velocidad angular promedio con respecto a los ejes X e Y, siendo su valor:

x y1 w v 1 u w;2 y z 2 z x

= =

El vector x y zi j k = + + se define como la mitad del rotacional de la velocidad, de donde:

i j k1 1rotv2 2 x y z

u v w

= =

Con el fin de obviar el 12

; se trabaja a menudo con el vector doble, denominado vorti-

cidad. 2 rot v v = = = Se denominan flujos irrotacionales los que tienen vorticidad nula: rot v 0 ; 0 = La velocidad de deformacin del elemento formado por las dos lneas fluidas se define como el ritmo al cual se separan las lneas del ngulo inicialmente recto, y se expresa como:

xyd d u vdt dt y x

= + = +

La velocidad de deformacin angular promedio se define como xy xy12

= , con lo que

xy1 d d 1 u v2 dt dt 2 y x

= + = +

Para el caso genrico de flujo tridimensional, aparecern nueve velocidades de deformacin promedio, que son:

XX XY XZ1 u u u 1 u v 1 u w; ; ;2 x x x 2 y x 2 z x

= + = = + = +

YX YY YZ1 v u 1 v v v 1 v w; ; ;2 x y 2 y y y 2 z y = + = + = = +


50

ZX ZY ZZ1 w u 1 w v 1 w w w; ; ;2 x z 2 y z 2 z z z

= + = + = + =

Los esfuerzos viscosos en una direccin genrica ij se obtendrn al multiplicar por la viscosidad las velocidades de deformacin en la direccin ij ij ij ij2 = =

2.6 Estudio cinemtico del movimiento de una partcula

Para realizar el estudio cinemtico del movimiento de una partcula de fluido, se ha de considerar la superposicin de cuatro movimientos independientes.

Los cuatro movimientos independientes estn definidos por los siguientes parmetros:

-Traslacin. Dado por el vector velocidad o aceleracin. V; a ; ( )Dv va v v

Dt t

= = +

-Rotacin. Definido por la velocidad angular ( )1 1rotv v2 2

= =

-Estiramiento (deformacin lineal). Definido por ( )d1 u v wvdt x y z

= = + +

-Deformacin angular. Definido por la velocidad de deformacin angular promedio. ij ;

XY1 u v2 y x = +

Fig. T 2.3 Los cuatro

movimientos independientes para el estudio cinemtico de una partcula

de fluido


51

Puesto que los conceptos de aceleracin, velocidad angular y velocidad de deformacin angular han sido ya definidos, a continuacin se aclarara el concepto de deformacin lineal.

Sea un volumen de fluido genrico , sea ds un elemento diferencial de superficie sobre este volumen, el elemento diferencial de superficie es atravesado por un fluido a una velocidad V. Al cabo de un diferencial de tiempo dt el cambio de volumen del volumen de control debido al flujo que atraviesa el diferencial de superficie ser:

( ) ( )V dt ds = , por otro lado, el cambio de volumen en todo el volumen elemental, ser la suma de todos los volmenes elementales asociados a cada diferencial de superficie. Dividiendo por el diferencial de tiempo se obtendr la variacin temporal del cambio de volumen:

S

d V dsdt

= Suponiendo que el volumen elemental se reduce a un punto, es decir, es un diferencial de volumen, y aplicando el teorema de la divergencia, se obtiene:

( ) ( ) ( )S

dV ds V d div V d

dt

= = = Asumiendo un volumen de fluido infinitesimal en el que la divergencia de la velocidad se mantiene constante a lo largo de todo el volumen elemental, se tiene:

( ) ( )d div V d div Vdt

= = de donde se obtiene:

( )d1div Vdt

=

Como conclusin, se observa que el estiramiento producido en una partcula o volumen elemental se define como la divergencia de la velocidad.

Fig. T 2.4 Volumen de fluido elemental


52

El estudio cinemtico del movimiento de una partcula est definido por el tensor gra-diente de velocidad VG , que se descompone en un tensor simtrico denominado tensor de deformacin y un tensor antisimtrico o tensor de vorticidad.

v ij ijG = +

ij = Tensor de deformacin. Tensor de velocidades de deformacin.

ij =Tensor de vorticidad.

v ij ji ij ji ij ij1 1G (T T ) (T T )2 2

= + + = +

j ji i iv ij ij

j j i j i

v vv v v1 1Gr 2 r r 2 r r

= = + + = +

De forma explcita, el tensor gradiente de velocidad y los tensores de deformacin y vorticidad para coordenadas cartesianas se establecen.

iv

j

u 1 u v 1 u wu u ux 2 y x 2 z xx y z

V v v v 1 v u v 1 v wGr x y z 2 x y y 2 z y

w w w 1 w u 1 w v wx y z 2 x z 2 y z z

1 u v 1 u w02 y x 2 z x

12

+ +

= = = + + +

+ +

ij ijv u 1 v w0x y 2 z y

1 w u 1 w v 02 x z 2 y z

= +

Obsrvese que la diagonal principal del tensor de deformacin define el estiramiento de la partcula dado por la divergencia del vector velocidad.

As, por ejemplo, ux

representa la velocidad con que se dilata proporcionalmente a su

longitud un elemento de lnea fluida (en este caso en la direccin x).

Los elementos fuera de la diagonal principal del tensor de deformacin representan la mitad de la velocidad con que disminuye el ngulo recto que inicialmente forman las dos lneas fluidas.


53

Problema 5

Enunciado

Sea un volumen de agua de 1 m3, sometido inicialmente a una presin de 105 Pa y a una temperatura de 280 K. Si el proceso evoluciona de forma que al cabo de un tiempo T la temperatura y la presin del fluido son de 300 K y 3 105 Pa, determine el volumen que ocupar el lquido en estas condiciones.

Datos: 4 1

T 1,5310 K = (coeficiente de expansin trmica)

9

2

N1,96 10m

= (mdulo de compresibilidad volumtrica)

2BResolucin

La definicin del mdulo de compresibilidad y del coeficiente de expansin trmica es:

dpd

=

T1 d

dT

=

La variacin de volumen con la presin y la temperatura se define:

d dp dTp T

= +

de donde:

d dp dT = + Integrando:

final final final

inicial inicial inicial

P T

P T

d dp dT

= +

( ) ( )final final inicial final inicial

inicial

1ln p p T T

= +

( ) ( )final inicial final inicial final inicial1ln ln p p T T = +


54

( ) ( )final inicial final inicial1 p p T T

final inicial e e

=

Sustituyendo valores, se obtiene:

final inicial 1,002961 =

El volumen del fluido al final ser ligeramente mayor que el inicial.

Problema 6

3BEnunciado

Dados un fluido de densidad constante que fluye en un canal convergente con una

altura media de 0Y

Y =x1+L

y una velocidad en direccin x de

2

0x yu = u 1+ 1-L Y

, siendo u0 =1 m/s

Calcule: La velocidad transversal, v(x, y). La aceleracin lineal, la velocidad angular, la vorticidad, la velocidad de deformacin volumtrica y la velocidad de deformacin angular para dicho fluido.

4BResolucin

Para un fluido incompresible y flujo bidimensional, la ecuacin de continuidad puede expresarse:

v u= -y x

;

En funcin de los datos del enunciado, la velocidad en direccin x se puede dar: 2 32 2

0 02 20 0

x y x x y xu = u 1+ 1- 1+ = u 1+ - 1+L L L LY Y

Fig. 6.1


55

derivando respecto a x se obtiene:

220

20

uu 3y x- = - 1- 1+x L LY

;

con lo cual la velocidad en direccin y ser:

2 2220 0 0

2 20 0

u u u 3y3y x xv = - 1- 1+ dy = - dy + 1+ dyL L L LY LY

230 0

20

u y u y xv = - + 1+ + C(x)L LLY

;

Condiciones de contorno: v = 0; cuando y = Y; y para cualquier x;

2

30 0 0 0

2 30

x1+u Y u Y L0 = - + + C(x)

x LY xL 1+ 1+L L

Para cualquier valor de x comprendido entre 0 < x < L se cumple que C(x) = 0;

Por lo tanto:

2 20

0

u y y xv = - 1- 1+L Y L

Eligiendo el sistema cartesiano de coordenadas, la aceleracin en direccin x e y ser:

xDu u u ua = = + u + vDt t x y

yDv v v va = = + u + vDt t x y

Puesto que se est en rgimen permanente: u v= = 0t t

Derivando las velocidades u y v respecto las direcciones x e y se tiene:

22

0 20

u 1 3y x 1= u - 1+x L L LY

;

3

0 20

u 2y x= u - 1+y LY

;


56

3

0 20

v y x 1= u 2 1+x L LLY

;

22

0 20

v 3y x 1= u 1+ -y L LLY

;

Sustituy

mecánica de fluidos

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