UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

FUNCIONES DE CORRIENTE

CURSO:MECNICA DE FLUIDOS

DOCENTE:VSQUEZ RAMIREZ LUIS

INTEGRANTES: COTRINA MENDOZA, Alex GAMERO VALENCIA, Aron MOSQUERA HUARIPATA, Liliana SAAVEDRA MURRUGARRA, Mirna SOTO RAICO, Edelmira

Cajamarca, junio del 2015

INDICE

I.INTRODUCCIN3II.OBJETIVOS3OBJETIVO GENERAL3OBJETIVOS ESPECIFICOS3III.MARCO TEORICO3FUNCIONES DE CORRIENTE3Funcin de corriente en un flujo incompresible4INTERPRETACIN GEOMTRICA4INTERPRETACIN FISICA5Funcin de corriente en un flujo compresible7IV.CASOS PRACTICOS8V.EJEMPLOS DE APLICACIN8EJERCICIO 18EJERCICIO 210VI.CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES11VII.BIBLIOGRAFA11

I. INTRODUCCINEl presente trabajo tiene como objetivo principal el analizar los conceptos y aplicaciones de las funciones de corriente, pues es de suma importancia en la ingeniera. II. OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL Analizar los conceptos y las aplicaciones de las funciones de corriente, en el tema de la cinemtica de fluidos OBJETIVOS ESPECIFICOS

Analizar el concepto de funcin de corriente Analizar las interpretaciones geomtricas y fsicas de las funciones de corriente Desarrollar ejercicios aplicando las funciones de corriente

III. MARCO TEORICO

FUNCIONES DE CORRIENTELa funcin de corriente y la correspondiente funcin de potencial de velocidad las introdujo por primera vez el matemtico italiano Joseph Louis Lagrange (1739-1813). (CENGEL & CIMBALA, 2006)

La funcin de corriente es una idea muy ingeniosa que nos permite eliminar la ecuacin de la continuidad y resolver la ecuacin de la cantidad de movimiento directamente para una nica variable . (M. WHITE, 2004)

Considere el caso simple de flujo bidimensional incompresible en el plano xy. La ecuacin de continuidad en coordenadas cartesianas se reduce a: (CENGEL & CIMBALA, 2006)

.. (1)

Una inteligente transformacin de variables permite reescribir la ecuacin anterior en trminos de una variable dependiente () en vez de dos variables dependientes (u y v). La funcin de corriente (x,y) se define como: (CENGEL & CIMBALA, 2006)

Funcin de corriente en un flujo incompresible

y .. (2)

Remplazando (2) en (1) se obtiene

INTERPRETACIN GEOMTRICA

La idea matemtica anterior podra servir por s misma para hacer la funcin de corriente inmortal y muy til para los ingenieros. Por si fuera poco, tiene una bella interpretacin geomtrica: las lneas constante son lneas de corriente del flujo. (M. WHITE, 2004)

IMAGEN 1: Las curvas de funcin de corriente constantes representan lneas de corriente de flujo FUENTE: (CENGEL & CIMBALA, 2006)

Consideremos una lnea de corriente en el plano , a lo largo de la lnea de corriente:A lo largo de una lnea de corriente: (3)

IMAGEN 2: FUENTE: (CENGEL & CIMBALA, 2006)

Introduciendo la funcin de corriente, a la ecuacin (3) se tiene:

A lo largo de una lnea de corriente: (4)

Cambio total de : . (5)

Al comparar la ecuacin 4 con la ecuacin 5 se ve que a lo largo de una lnea de corriente; comprobndose as el enunciado de que es constante a lo largo de las lneas de corriente.

INTERPRETACIN FISICA

Hay tambin una interpretacin fsica que relaciona con el flujo volumtrico. Determinando el flujo volumtrico dV a travs de un elemento de superficie de control de profundidad unitaria (M. WHITE, 2004)

Si consideramos un volumen de control acotado por las dos lneas de corriente de la ecuacin (4) la seccin transversal A y la seccin transversal B. Con una longitud infinitesimal a lo largo de la seccin B, junto con su vector normal unitario . Las dos componentes de son por lo tanto, el vector normal unitario es: (CENGEL & CIMBALA, 2006)

IMAGEN 3: FUENTE: (CENGEL & CIMBALA, 2006)

IMAGEN 3: Interpretacin geomtrica de la funcin de corriente.FUENTE: (M. WHITE, 2004)

La razn de flujo volumtrico por unidad de ancho a travs del segmento de la superficie de control es:

. (6)=

Donde , donde el 1 indica un ancho unitario perpendicular al plano de la pgina, sin importar el sistema de unidades. Cuando se expande el producto punto de la ecuacin (6) y se aplica la (2), se obtiene:

(7)La razn de flujo volumtrico total a travs de la seccin transversal B se encuentra cuando se integra la ecuacin (7) desde la lnea de corriente 1 hasta la lnea de corriente 2:

.. (8)

Por lo tanto, la razn de flujo volumtrico por unidad de ancho a travs de la seccin B es igual a la diferencia entre los dos valores de la funcin de corriente que acotan la seccin B. Puesto que se sabe que ningn flujo cruza las lneas de corriente, la conservacin de masa demanda que la razn de flujo volumtrico hacia dentro del volumen de control a travs de la seccin A sea idntico a la razn de flujo volumtrico hacia fuera del volumen de control a travs de la seccin B, es decir el flujo volumtrico entre dos lneas de corriente cualesquiera del flujo es igual a la diferencia de valores de la funcin de corriente entre dichas lneas de corriente.

Por otra parte, se puede determinar la direccin del flujo observando si crece o decrece. As el flujo es hacia la derecha si 2 es mayor que 1; en caso contrario, el flujo es hacia la izquierda.

IMAGEN 4: Direccin del flujo de acuerdo a la variacin de la funcin de corriente FUENTE: (M. WHITE, 2004)

Funcin de corriente en un flujo compresibleSuponga ahora que la densidad es variable, pero que w = 0, de modo que el flujo tiene lugar en el plano xy. En este caso, la ecuacin de la continuidad es: (M. WHITE, 2004)

La funcin de corriente de un flujo compresible puede definirse de la siguiente forma:

y

De nuevo, las lneas constante son lneas de corriente, pero ahora la diferencia de valores de es igual al flujo msico y no al volumtrico:

IV. CASOS PRACTICOS

V. EJEMPLOS DE APLICACIN

EJERCICIO 11. Un campo de flujo bidimensional incompresible estacionario en el plano xy tiene una funcin de corriente dada por = ax3 + by + cx, donde a, b y c son constantes a = 0.50 (m .s)-1, b= -2.0 m/s, y c = -1.5 m/s. a) Obtenga expresiones para las componentes de velocidad u y v. b) Verifique que el campo de flujo satisface la ecuacin de continuidad para el flujo incompresible. c) Grafique varias lneas de corriente del flujo en el cuadrante superior derecho.SOLUCIN

Hiptesis 1: El flujo es estacionario. 2 El flujo es incompresible (se tiene que verificar esta suposicin). 3 El flujo es bidimensional en el plano xy, lo que implica que w=0 y ni u ni v dependen de z.Anlisis: a) Use la ecuacin (2) para obtener expresiones para u y v al diferenciar la funcin de corriente:

b) Dado que u no es funcin de x, y que v no es funcin de y, se ve inmediatamente que se satisface la ecuacin de continuidad bidimensional para el flujo incompresible. De hecho, dado que , es suave en x y y, la ecuacin de continuidad bidimensional para el flujo incompresible en el plano xy se satisface automticamente por la definicin misma de . Se llega a la conclusin de que el flujo es, de hecho, incompresible.

0+0=0c) Para graficar lneas de corriente, se resuelve la ecuacin dada o para y como funcin de x y , o para x como funcin de y y . En este caso, la primera opcin es ms sencilla, y se tiene:Ecuacin para una lnea de corriente:

Esta ecuacin se grafica en la siguiente figura para diversos valores de y para los valores proporcionados de a, b y c. El flujo es casi recto hacia abajo a grandes valores de x, pero se curva hacia arriba para x < 1 m.

EJERCICIO 22. Existe una funcin de corriente para el campo de velocidades? u = a(x2 y2) v = 2axy w = 0 Si es as, determnela

Consideraciones. Flujo incompresible y bidimensional. Procedimiento. Utilizaremos la definicin de las derivadas de la funcin de corriente, Ecuaciones (4.85), para determinar(x, y).

Paso 1. Determinamos si existe o no la funcin de corriente

Por tanto, existe la funcin de corriente.

Paso 2. Para determinar , escribimos las Ecuaciones e integramos:

(1).(2)Podemos empezar a operar con cualquiera de ellas. Integrando parcialmente (1). (3)

Derivando (3) con respecto de x y comparndola con (2),

. (4)

As pues, (x) = 0, o = constante. La funcin de corriente es, por tanto:

Para representarla elegimos C = 0 por conveniencia y representamos la funcin

VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Se logr analizar el concepto de las funciones de corriente quedando demostrado a travs del desarrollo de ejercicios. Se analizaron las interpretaciones geomtricas y fsicas de las funciones de corriente Se reconocieron los campos de aplicacin de las funciones de corriente en la ingeniera

VII. BIBLIOGRAFA

CENGEL , Y., & CIMBALA, J. (2006). MECNICA DE FLUIDOS FUNDAMENTOS Y APLICACIONES. MEXICO: McGRAW- HILL/ INTERAMERICANA.M. WHITE, F. (2004). MECANICA DE FLUIDOS . MADRID: McGRAW - HILL /INTERAMERICANA.SOTELO AVILA, G. (2002). HIDRAULICA GENERAL . MEXICO: LIMUSA.