3) MECÁNICA CUÁNTICA

F.CLASICA : Determinista

Y

X

y Vo

t=0 t=1 g

{1900} F.CUÁNTICA : Indeterminista

e-1

2{1925} , W Heisenberg

Mecánica Matricial : [ ] estados

{1926} E Schroedinger

Mecánica ondulatoria

{1929} CUÁNTICA - RELATIVIDAD , Dirac - Sommerfeld

),(

),(

),(

),(:

tr

trEE

txEE

txyyO

Ψ

===

3.1) Experimento de la doble rendija

e-

D

1

2

D’pantalla

La radiación de e-s sobre las rendijas 1 y 2 produce un patrón de interferencia

por difracción en la pantalla. Esta interferencia tiene que entenderse como producida por una “presencia” del electrón tanto en 1 como en 2.

Si el experimento se realiza anulando una de las rendijas se obtendrían patrones típicos para c/u de ellos. Es más, si se superpone el experimento por una y luego por la otra, el patrón final no mostraría interferencia.

e-

2

e-

2

1

1

α)

β)

X’

2

1Ψ

2

2Ψ

2

1Ψ 2

2Ψ+

Si los estados de los electrones son descritos por funciones Ψ, Ψ1:e-s por 1 y Ψ2:e-s por 2, entonces, las probabilidades de encontrar a los electrones en Y se determina con los , por lo tanto, las curvas de probabilidad correspondientes a α y β son solo función de los estados Ψ1 y Ψ2 correspondientes e inclusive cuando se superponen en el experimento.

2Ψ

X’

Y’

Y’

Sin embargo el resultado original muestra interferencia, esto es, los estados e-s deben de influirse en 1 y 2 para que el patrón se pueda explicar, por lo tanto , el estado del e- debe de especificarse así:

Ψe= Ψ1+ Ψ2

De esta forma, al determinar la probabilidad para un e- se justifica la interferencia,

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

1 2

2 cos

:e

desfasaje entre

φ

φ−Ψ = Ψ + Ψ = Ψ + Ψ + Ψ Ψ

Ψ ∧ Ψ

En este experimento el e- esta deslocalizado debido a que deberá estar presente en 1 y 2.

3.2) PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG

i) DE LA POSICIÓN Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (r y p)

x

p

2

≥∆∆ px

x∆

p∆

: incertidumbre de la posición

: incertidumbre de la cantidad de movimiento lineal

Esta relación describe una interacción con el sistema que no se puede controlar, es proceso del universo.

ii) DE LA ENERGÍA Y DEL TIEMPO

2E t∆ ∆ ≥

E∆

t∆

: incertidumbre de la energía

: incertidumbre del tiempo

3.3) FUNCIÓN DE ONDA ΨEs la función que describe el estado del sistema. Esto es, en ella está contenida toda la información del sistema.

r PT

2

2

( )

( )

2 : RES

r r t v a

r r t continua

d rda Ley F m r

dt

= → →

= →

= →rr r

2 2

2 2 2

" : "

( , ) ( , ) { }

1

M

c

OEM E B

E E x t E x t E sen kx wt

E deOEM

E Ev c

x v t

φ−

→ = − +

∂ ∂= → =∂ ∂

ur uur

e- e- Ψ

X

= =

{ }

( , ) ( , ) ( )

( )

x t x t x

x x

PSI v

CF

ψ ψ ψψ

= =→

M

Valores asociados

Probabilidad

H Ψ=E ΨEc. de Schroedinger

La Ψ no es cuantificable, NO OBSERVABLE, sin embargo las mediciones se efectuarán con |Ψ|2 ,el cual se interpreta como densidad de probabilidad.

|Ψ|2 : densidad de probabilidad …: densidad de probabilidad …

Indica la probabilidad de encontrar a la partícula Indica la probabilidad de encontrar a la partícula en cierto volumen y en cierto tiempo. en cierto volumen y en cierto tiempo.

|Ψ|2dv :… en el V=dv

|Ψ(x)|2dx : probabilidad de encontrar a la partícula en dx

a bx

Pv

[ ] ∫ Ψ=→

←b

a

xab dxPbax

Xx

2

)(,:""

Debido a que la partícula debe encontrarse en el eje X, se establece la

condición de normalidad de Ψ,

12 =∫

∞

∞−

dxψ ∃ de la partícula en X!

Las CF se describen usando sus valores esperados , CF <CF>

{ }∫∞

∞−

= dxCFCF2ψ

Ψ: Describe al sistema

Ψ Interpretar

Ejemplo: Problema de la partícula en una caja

x

m v

L

La partícula de masa m se mueve en una caja de lado L con velocidad v.

Estado Cinemático: v

Sistema restringido: x

Discretizar

< 0,L>

Este confinamiento de m es lo que producirá, en la versión cuántica del problema, los estados discretos,

Ψ Ψn En ; n =1,2,3,…

Debido a que la v = cte y al confinamiento, entendiendo a este último como que m no podría estar en X=0 o L , la función de onda que describe los estados de m es,

{ }( )x Asen kxψ ≡

Donde se escogerá de tal manera que describa la probabilidad cero de encontrar a m en x=0 o L,λ

π2=k

, 0,

; 1, 2,3 ,...

2,

2

2

n n

nn

kx n x L

kL n n

nk

L

L nv

n L

π

λ ν

ππ π

λ

= ==

→ ≡

=

=

=

=

2( ) ; 1, 2,3,...n

n

x Asen x nπψ

λ

≡ =

Estos n estados de m tienen asociadas energías, Ek,n dadas por

{ } 22 22

2

,

2

2

2

2

,

2

2

8

1

2 2 2 2

2

2 8

( ) ,

nnkn n

n

k n

kn n

n

hp h

E mvm m m

hL

n h

hE n

nE E

m L m

x ASen nxL mL

λλ

πψ

= = = =

=

= = = =

=

Principio de incertidumbre

ΨΨ

0 L

Ψn Ψn2=| Ψn |2

0 0L LL/2 L/2

L/3L/3

2L/32L/3

En (E1)

9

4

1

n

3

2

1

v=cte

3.4) LA ECUACION DE SCHROEDINGER

Es la ecuación que debe satisfacer las funciones de onda Ψ y puede ser tan compleja como uno desee en el contexto de acercarse mejor a la descripción del problema físico. Por ejemplo,

1. HΨ=E Ψ Estados estacionarios

H: Hamiltoneano operador de energía.

E: energía del estado estacionario.

2. Ec de SchroedingerF. clásica Física Cuántica

{ }

{ } { } { }{ }

2 2

2 2 2

22

2 2

2 2 2

2 2 2

( , ) ( ) .......................( )

( , ) 1 ( , )..........................( )

( , ) 1( , )

( , ), ( , ) ( , )

x t A x Cos wt

x t x t

x v t

x tA Cos wt A x t w Cos wt

x v

x t w px t x t

x v

ψ ψ α

ψ ψ β

ψ ψ

ψ ψ ψ

=

∂ ∂=∂ ∂

∂ = − ∂ ∂ −= − =

∂

2

2 22

2

22v

w p

v v v

ππ υ λ = = =

…..... Ec de Schrodinger

( )

{ }

22

2

2 2

22

2( ) ( )

k p

k p p

p

E E E cte

pE E E p m E E

m

mx E E x

xψ ψ

= + =

= = − → = −

∂ = − −∂

ψψ

ψψψ

ψψψ

Evm

tihv

m

EEpxm

=

+−

∂∂=+∇−

=+∂∂−

2

2

2

2

22

2

2

3. Caso general

),(),(),(2

),( 22

trtrVtrm

trt

i ψψψ +∇−=∂∂

ψψψ2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂

Resolviendo el ejercicio…

∞ ∞

v

Ep

0 L

2

2 2

..

2

22

2

2 2 2

0

20 :

0 ( ) { }

2( )

............

8

: 1 ( )

2

n

L

mL E

x

x x x t ASen wt

mEx ASen x

ASen nxL

hE n

mh

A Normalización dx A Sen cx dx

AL

ψ ψ

α

ψ

π

ψ∞

−∞

∂− = −∂

+ = → =

=

→ =

=

→ = =

=

∫ ∫

%

x