mecanica

TRATADO DE FÍSICA GENERAL

REALIDAD - MATERIA Y FORMAReconocemos en el mundo que nos rodea dos aspectos de la realidad: lamateria y la forma. Por ejemplo, afirmamos que en el aula existe un piza-rrón de materia lisa y dura, de forma rectangular.

Conviene que el método de reconocimiento de la existencia de esa reali-dad incluya varios procedimientos, para garantizar de que no se trata deuna ilusión de nuestros sentidos, o una falsa indicación de los aparatossensores utilizados. Por ejemplo, para determinar la presencia de un cuer-po en el espacio podemos reconocerlo con la vista o la fotografía, para locual debemos iluminarlo convenientemente. Además, convendría a vecescomplementar su existencia y ubicación por su efecto gravitatorio sobre otroscuerpos (descubrimiento de planetas invisibles a simple vista), o por su ac-ción por choque con otros cuerpos de existencia y ubicación comprobada(detección indirecta de partículas por colisiones con proyectiles). Eventual-mente estaremos en condiciones de tocarlo, palparlo o interceptarlo conotros cuerpos (reconocimiento por interacción con materia de prueba). Elconjunto de los datos aportados por estas informaciones debe evaluarsepara saber si se trata efectivamente de una realidad “real”, un espejismo oincluso una realidad simulada o virtual (por ejemplo un holograma o un pro-ducto de un programa de computadora)

Sabemos hoy en día que toda la materia del universo está compuesta de ungran número de pequeñas partículas cuyos diferentes tipos o variedadesson limitados (electrones, protones, neutrones, neutrinos, mesones, muones,bosones, por citar los más importantes). Estas partículas tienden a agrupar-se en algo más de un centenar de arreglos o entidades organizadas llama-das átomos. Los átomos de esos diferentes arreglos (elementos químicos)a su vez se combinan entre sí en estructuras mayores (moléculas) deacuerdo a ciertas reglas energéticas y termodinámicas, para formar loscompuestos químicos que forman la materia de nuestro mundo.

A la materia se le asocian dos magnitudes fundamentales: la masa y lacarga eléctrica.

Masa es una magnitud escalar1 de la cual, según la concepción de Newton,

1 Recordemos que si se quiere representar una característica mensurable de algo,

podemos utilizar varios tipos de magnitudes. A veces basta un sólo número (la masa,la carga, el precio). Otras veces hacen falta dos (longitud y latitud) o tres (alto, ancho y

FÍSICA - MECÁNICA - CINEMÁTICA 2

depende la fuerza de gravitación y la fuerza de inercia (resistencia alcambio de velocidad) de un objeto material. De acuerdo a una concepciónmás moderna que es el resultado de introducir en la mecánica conceptos deelectricidad, la masa de un objeto depende también de su energía (o capa-cidad para realizar trabajo) dentro de un sistema de referencia. Así hoy endía se habla de masa/energía como la suma de ambas magnitudes. Por loque se sabe, la masa/energía no se crea ni se aniquila, aunque puede pasarde la forma masa a la forma energía y viceversa.

Carga eléctrica es una magnitud escalar con signo (puede ser positiva onegativa) relacionada con las fuerzas a distancia que existen entre algunoscuerpos, que se dicen “cargados o electrizados”. No toda la materia posee,pues, carga eléctrica de alguno de los dos signos. Así existen partículas sincarga, que no deben confundirse con agrupaciones de materia neutra, lascuáles tienen cargas de diferentes signos en igual proporción. Tambiénexisten partículas sin masa aunque, de acuerdo a la concepción electromag-nética, una carga pura posee una masa/energía asociada, llamada masaelectromagnética. Es decir que no hay partículas con carga sin ma-sa/energía asociada. Tampoco hay energía pura sin masa: la luz, el calor yla radiación electromagnética en general tienen masa, la cual se agrupa enpartículas discretas llamadas fotones. La carga eléctrica no se crea ni seaniquila.

Forma es la disposición que adopta la materia en el espacio y en el tiempo.La forma de un objeto material puede abstraerse de su soporte o sustratomaterial. Una esfera es una forma, que puede estar hecha de oro, barro uotro material. La mejor manera de idealizar una forma independientementede su sustrato (forma pura) es mediante la representación geométrica (di-bujo) o matemática (ecuación).

El sustrato de una forma puede no ser estrictamente material, especial-mente cuando se considera la coordenada “tiempo”. Así se puede pensar enuna tasa de interés creciente según una línea recta en el tiempo. El con-cepto “tasa de interés” no es material, sino que resume un concepto bastanteinmaterial: la avidez de dinero del mercado. También el sustrato de unaforma puede ser otra forma. Por ejemplo, la información de una lápida sonletras y signos (formas de un alfabeto) formados por surcos u ondulaciones(otra forma) en la piedra (material).

La extensión de un objeto se mide por las dimensiones que ocupa en elespacio y en el tiempo. Para caracterizar la extensión o tamaño se emplean

profundidad). A veces se requiere una tabla de números para representar de una solavez la situación de algo (tarifas de transporte en función de la distancia). Estos casosrequieren respectivamente una magnitud escalar (un número), un vector de dos, tres omás dimensiones, o una matriz de n filas y m columnas (matriz de n x m elementos)


números de referencia con respecto a extensiones conocidas que se tomancomo unidades. Para medir extensión se usa el procedimiento de compararlo que se quiere medir con otro objeto de dimensiones conocidas (patrón decomparación)

Estado de la materia es lo que está determinado por la manera de agrega-ción de las partículas materiales que forman los objetos materiales. Se re-conocen dos estados fundamentales de la materia: el sólido y el fluido.Dentro del estado fluido, podemos distinguir el estado líquido y el estadogaseoso. Dentro de los gases podemos distinguir entre el estado gaseoso

normal y el gaseoso conductor o plasma.

El estado sólido corresponde a materia deestructura más o menos rígida, que puedeclasificarse en materia cristalina o amor-fa. En estado cristalino los átomos opartículas están rígidamente unidos entresí en estructura reticular ordenada, quepresenta una considerable resistencia alesfuerzo de corte. Bajo un esfuerzo infe-rior a un cierto valor crítico que depende

del material, el cuerpo no se rompe y sólo se deforma, recuperando su formaoriginal cuando cesa el esfuerzo, si este fué moderado (límite de elasticidad).En estado amorfo la estructura es desordenada aunque también existe lafuerza de cohesión que resiste el corte. En estado fluido, si bien existenfuerzas de cohesión que tienden a unir a las partículas del cuerpo, no sontan fuertes como en el sólido. La deformación por esfuerzos de corte esnotable y permanente, y la transmisión de tales esfuerzos se hace sólomientras se deslice una parte del fluído sobre otra (efecto viscoso). Dentrode los fluidos podemos distinguir a los líquidos y a los gases. En el estadolíquido hay mayor cohesión entre moléculas que en los gases, y por efectosde la gravedad tienden a tomar la forma del recipiente que los contiene. Esútil reconocer un estado intermedio entre el sólido y el líquido: el estadopastoso, por el que atraviesan la mayoría de los sólidos antes de fundirsepor el calor. En el estado gaseoso, las partículas de la sustancia mantienenmuy poca fuerza de atracción entre sí e interaccionan en su movimiento librey caótico, produciendo así el efecto de presión sobre las paredes del reci-piente que las contiene. La materia pasa generalmente del estado sólido allíquido (fusión) y del líquido al gaseoso (evaporación) por aumento de latemperatura o disminución de presión a que son sometidos. En ambos ca-sos, esos cambios de estado se deben a que la energía cinética de lasmoléculas superan a la potencial de forma que las mantiene en el estadoanterior. Por ejemplo, durante el proceso de evaporación las moléculas ven-cen la fuerza que las mantiene en el seno del líquido y escapan fuera deéste, formando un gas. A altas temperaturas o con otros estímulo energéti-cos, los gases se ionizan parcialmente (se desdoblan un par de partículas

esfuerzo de corte o cizallamiento


neutras en dos cargadas, una positivamente y la otra negativamente). Losgases ionizados pueden ser asiento de corrientes eléctricas: es el plasma.El plasma se observó por primera vez en un tubo con gas a baja presiónatravesado por una descarga eléctrica: había una luminiscencia que se agi-taba en forma parecida a una sustancia gelatinosa: este aspecto similar alplasma sanguíneo le dió su nombre. El plasma, poco frecuente en nuestromundo, constituye en cambio el estado del 99% de la materia del universo:así, las estrellas son globos de plasma y los espacios interestelares estánllenos de plasma de baja densidad.

MACROMUNDO Y MICROMUNDOEl aspecto de la realidad cambia cuando lo examinamos bajos diferentesaumentos. Si estudiamos la forma de interacción y la dinámica de cuerposde dimensiones visibles a simple vista, lo haremos asignándole posición yforma bien determinadas que se puedan encuadrar en un modelo geométricoen el espacio y en el tiempo. Diremos por ejemplo que una bola de billar esmuy aproximadamente de forma esférica de 6 centímetros de diámetro,prácticamente indeformable, y que en este instante está a 1 metro del sueloy se traslada a una velocidad de 20 cm/s rodando sobre la mesa, que es a lavez es prácticamente un plano.

Si pretendemos describir una escena del micromundo atómico, aunque pudiéramosescudriñar la materia con grandes aumentos y luz apropiada, y pudiéramos percibirsus rapidísimos movimientos, tendríamos muchas dificultades en utilizar conceptoscomo posición, velocidad y tamaño de electrones, núcleos y otras partículas. En-contraríamos que formas y posiciones de partículas en movimiento son borrosas ymal definidas aunque usáramos los aparatos más sofisticados (principio de indeter-minación, de Heisenberg). No veríamos electrones girando en órbitas planetariascomo buenos chicos, sino capas nebulosas con carga distribuída en forma de ondaestacionaria alrededor de algo que podría asemejarse a un núcleo formado por partí-culas que vibran. Algunas partículas libres atravesarían la escena con enorme veloci-dad, colisionando con otras. Esas partículas pequeñas en movimiento, como electro-nes y protones, no podrán ubicarse en el espacio con precisión, apareciendo concontornos borrosos y ondulantes. De tanto en tanto veríamos que saldrían de losátomos destellos de luz de colores, que podrían parecer según cómo se los mire, obien puntos luminosos dotados de gran velocidad, o también trenes de ondas lumino-sas. Esta emisión espontánea e impredecible iría acompañada de una deshinchazónsúbita de algunas capas eléctricas. Veríamos también que algunos de esos destellosemitidos se perderían en el espacio y otros incidirían sobre átomos vecinos, los que seinflarán al absorberlos. Estas emisiones y absorciones de energía serían del todoimpredecibles sobre átomos individuales y solamente podríamos establecer para laocurrencia de estos fenómenos leyes estadísticas, aplicables como promedios a ungran número de átomos. Si sobre este conjunto de materia incidieran rayos calóricos,que algún imaginativo podría asemejar a partículas de luz invisible, desapareceríanabsorbidos por los núcleos que comenzarían a vibrar como resultado de ese choque.Estadísticamente podríamos asignar un valor a la energía de vibración promedio delconjunto. Ese valor sería lo que un observador macroscópico llamaría temperatura de


la materia en cuestión.

Observando esta materia aún con mayores aumentos, podríamos ver que las fuerzasde atracción y repulsión eléctricas están gobernadas por el intercambio de esaspartículas luminosas que describimos antes (fotones). También veríamos que losnúcleos atómicos son un conglomerado de partículas (protones y neutrones) que semantienen unidas por una fuerza mucho mayor que la de repulsión eléctrica. Estasfuerzas entre partículas atómicas no pueden explicarse con la teoría de campos queemplean la electricidad y gravitación clásicas, aplicables sólamente a fenómenoscontinuos macroscópicos. Requieren en cambio teorías que se hagan cargo de fenó-menos de interacción que ocurren de a saltos discretos (saltos cuánticos). Si nosesforzáramos mucho creeríamos ver algunas partículas subatómicas de cuyo inter-cambio surgen esas fuerzas. Así como la fuerza electromagnética surge del inter-cambio de fotones, la fuerza entre protones se puede atribuir al intercambio de unaspartículas especiales llamadas mesones. La fuerza gravitatoria entre partículas conmasa, que macroscópicamente da un resultado estadístico cuya expresión es la ley deNewton, a nivel atómico puede prácticamente despreciarse por lo débil. Sin embargo,si queremos considerarla podemos atribuirla al intercambio de partículas gravitatorias(gravitones). Todas esas partículas de intercambio, que se mueven a grandes veloci-dades, no tendrían tamaño y posición determinadas, sino más bien una distribuciónondulada distribuida en el espacio y en el tiempo, según nos enseña la mecánicacuántica y ondulatoria.

En resumen, lo que vemos en nuestro mundo, como ser cuerpos bien deli-mitados de materia continua, bañados en un fluído luminoso también conti-nuo, y sujetos a fuerzas que pueden variar en grados tan pequeños como sepueda imaginar, es el resultado estadístico del comportamiento de agrupa-ciones de pequeñas partículas de materia y energía en movimiento quetienen sus leyes, algunas iguales a las observadas en los objetos “grandes”,como las que rigen en mecánica a los choques entre cuerpos, pero otraspropias, como son las que gobiernan la ocurrencia de esas interacciones.

El estudio de la realidad debe hacerse con un enfoque apropiado a laescala u óptica con la que se observa el sistema a estudiar. A escala grande(mayor que 10-6 m) conviene un modelo continuo de formas definidas. Aescala muy pequeña se deben reconocer las propiedades corpusculares dela materia y la energía, sus formas borrosas y su carácter ondulatorio.


MECÁNICALa mecánica es una rama de la física que estudia el equilibrio y movimien-to de los cuerpos y sistemas de cuerpos. Por comodidad se la estudia dividi-da en tres partes. La parte que estudia el equilibrio sin movimiento se llamaestática. La parte que estudia exclusivamente el movimiento se llama cine-mática. El estudio de las causas del movimiento por acción de accionesexteriores e interacciones (fuerzas) se llama dinámica. La comprensión yresolución de problemas de mecánica exige generalmente la aplicación deconceptos de estas tres disciplinas, y no resulta conveniente su estudio porseparado, que tiene una supuesta ventaja metodológica pero un innegabledificultad conceptual.

CuerposComo ya vimos, son cuerpos las agrupaciones de materia en cualquiera desus estados posibles. Para simplificar, se categorizan los cuerpos materialesen partículas y cuerpos extensos, que a su vez pueden ser sólidos ofluidos. Los sólidos a su vez pueden ser rígidos, elásticos o plásticos. Losfluidos pueden ser compresibles o incompresibles. El concepto de partí-cula material corresponde a una idealización de un pequeño cuerpo mate-rial cuyas exiguas dimensiones hacen que se desprecien extensión y formafrente a su masa o eventualmente frente a su carga. En el caso de sistemasde partículas, también son despreciables sus dimensiones con respecto a ladistancia que las separa. Cuando interesan la forma y dimensiones de losobjetos, se los trata como cuerpos extensos, en los cuales la masa yeventualmente la carga están distribuidas en su volumen. Al cociente entremasa y volumen se le llama densidad del cuerpo y al cociente entre carga yvolumen se lo llama densidad volumétrica de carga. En una partícula mate-rial, ni la masa ni la carga están distribuidas, ya que la partícula no tieneextensión en el espacio y por lo tanto no ocupa volumen. Se dice que lamasa y eventualmente la carga de una partícula material está concentradaen el punto donde reside la partícula. No se puede aplicar el concepto dedensidad a una partícula, porque dividir por cero da infinito, y la densidad esesencialmente finita. Sin embargo, puede aproximarse en la práctica unapartícula material a un cuerpo muy pequeño de densidad muy elevada.

FuerzasLa materia interactúa entre sí produciendo cambios en el estado de reposo omovimiento que tenía inicialmente. Dos bolas de billar chocan entre sí, modi-ficando sendas trayectorias de la misma manera que lo hacen dos partículas


atómicas que interactúan. La luna gira en torno a la tierra debida a la atrac-ción que existe entre ambas, de la misma manera que puede entenderse lohace un electrón alrededor de un núcleo atómico. El choque y la trayectoriacircular son respectivamente resultado de las acciones entre la materia.Resulta apropiado atribuir estas acciones, la primera por contacto entrecuerpos y la segunda por atracción a distancia, a entes físicos llamado fuer-zas. Y así se habla de la fuerza del choque y la fuerza de atracción. Setiene un concepto claro de lo que es una fuerza a través de la sensación delesfuerzo muscular cuando, por ejemplo, empujamos un objeto pesado. Sinembargo la definición precisa de fuerza se debe a Isaac Newton, quién larelacionó con “la acción que altera el estado de movimiento de un cuerpo”

Una fuerza queda definida en general por cuatro características: la inten-sidad (por ejemplo, en el caso de un florero sobre la mesa, el peso de 1 Kg),el punto de aplicación (el centro de la mesa), la dirección (la vertical) y elsentido (hacia abajo). Una fuerza es una acción concentrada en un punto.Es una idealización de lo que ocurre en realidad, en la que la fuerza estádistribuida en una superficie (la de la base del florero). Se hablará así depresión, que es la razón entre fuerza aplicada y superficie de aplicación.Lógicamente, sobre una partícula material se pueden considerar aplicadasúnicamente fuerzas concentradas, y en cambio sobre un cuerpo extensopueden considerarse aplicadas tanto fuerzas concentradas como distribui-das.

Como se verá luego, a las fuerzas se las define matemáticamente comovectores, y su manejo cuantitativo se realiza conayuda del cálculo vectorial, del que se darán algu-nos lineamientos más adelante.

Principio de superposición de acciones (Galileo -1600)

Dice este célebre principio, utilizado metódicamentepor primera vez por Galileo en el estudio del movi-miento, que se puede tratar un fenómeno debido avarias causas que actúan simultáneamente, des-componiéndolo en procesos más simples debidos acada una de esas causas actuando por separado ysumando los resultados, como si las acciones sesucedieran una a continuación de la otra en cual-quier orden.

Veamos el clásico ejemplo del tiro horizontal de un proyectil. El principiode superposición nos permite estudiar el fenómeno descomponiéndolo enla acción de la pólvora y la acción de la gravedad. La primera impulsa labala a velocidad horizontal constante. La segunda hace caer la bala con

1 2 3

1

2

3

5

4

6

7

8

9


velocidad creciente hacia abajo. El resultado se puede estudiar superpo-niendo un trayecto horizontal durante un intervalo de tiempo, y luego unacaída acelerada durante el mismo intervalo, o al revés: primero la caída yluego el avance. Al cabo del intervalo de tiempo considerado, el cálculo nosda una posición más abajo y más lejos, que coincide con la posición quealcanza la bala en realidad siguiendo la trayectoria parabólica que será ob-jeto de estudio más adelante.

La aplicación del principio de superposición de efectos está justificada sólocuando:Los procesos simultáneos son independientes (la gravedad no depende dela posición horizontal ni del impulso inicial)Las acciones producen resultados proporcionales a sus intensidades (laposición horizontal y la velocidad vertical son proporcionales al tiempo).

En tal caso se dice que se trata de procesos linealmente independientes.

El principio de superposición aplicado a procesos no lineales da resultadoserróneos.

Son no lineales o “alineales” los procesos que no guardan proporcionali-dad entre causa y efecto. Por ejemplo, el caudal de agua que sale en elextremo de un caño no aumenta proporcionalmente con la presión aplicadaen el otro extremo, sino con la raíz cuadrada de esa presión. En rigor, lamayoría de los fenómenos físicos no son estrictamente lineales, aunquepueden considerarse aproximadamente lineales dentro de un intervalo máso menos estrecho de variación. Por ejemplo, el caudal de agua en un cañopuede considerarse que aumenta proporcionalmente con un pequeño au-mento de la presión y adoptar el aumento de caudal como una solución in-termedia. Luego, con una constante de proporcionalidad menor, correspon-diente al nuevo régimen, se calcula el nuevo aumento de caudal con unnuevo incremento de presión. Así sucesivamente se obtienen valores decaudal y presión que se acercarán a los verdaderos en la medida de que seelijan los incrementos sucesivos suficientemente pequeños. La justifica-ción matemática de este método se estudia bajo el nombre de “integraciónnumérica por diferencias finitas”, y no es otra cosa que una aplicación delprincipio de superposición sucesiva a un problema no lineal.


También hay fenómenos que siguen una ley lineal y pasan a otra ley, lineal ono, a partir de un cierto valor de la variable que los produce. Por ejemplo,superada una tensión de 37 Kg (límite de elasticidad), un alambre de acerode 1 mm2 de sección se estira más que proporcionalmente con la tensiónaplicada2. En tal caso, cuando se aplican conjuntamente dos tensiones cuyasuma supere dicho límite, no podremos calcular su estiramiento sumando losefectos de cada una de ellas por separado. Si una primera tensión de 20 Kglo estira 1 mm, una segunda, de 30 Kg, producirá un estiramiento proporcio-nal de 1,5 mm. Hasta allí se cumple la proporcionalidad y estaríamos tenta-dos a adelantar que la suma de ambas (50 Kg) lo estirará hasta1mm+1,2mm=2,5 mm . Sin embargo, la experiencia nos muestra que elestiramiento real supera este valor (3 mm) . Lo que ocurre es que con 50 Kgse supera la tensión del límite de proporcionalidad de 37 Kg/mm2 . El ace-ro que supera el límite de elasticidad, recuerda3 este proceso adoptandouna deformación permanente aún después de retirada la carga. La gráficamuestra así una ley que no es reversible, que va por un camino y vuelve porotro. Esta particularidad se llama histéresis (del griego hysterein : llegartarde)

Principio de acción y reacción (Newton - 1665)

Las fuerzas existen de a pares. Si podemos ejercer una fuerza sobre unobjeto, es porque éste reacciona sobre nosotros con una fuerza igual ycontraria. Cuando estudiamos algún caso en que un cuerpo tiene aplicadauna fuerza, debemos pensar en quién o en qué se la está aplicando: sobreéste se está ejerciendo una fuerza igual y contraria. Los nombres de acción 2 La ley de proporcionalidad entre esfuerzo y estiramiento se conoce como Ley de

Hooke, y es válida hasta un cierto valor que se llama “límite de proporcionalidad” otambién “límite elástico”, porque manteniéndose debajo de él, el material recobra susdimensiones originales al cesar la tensión.3 Se dice que el material tiene memoria de deformación.

20 Kg

30 Kg

50 Kg

1 mm

2 mm

3 mm

4 mm

Limitación para aplicar el principio de superposición

10 20 30 40 50

4 mm

3 mm

2 mm

1 mm

Alargamiento

Peso (Kg)

ida vuelta


y reacción que se emplean para nombrar este principio aluden a la aplica-ción de la fuerza sobre algo y durante un tiempo, como veremos luego.

Principio de inercia (Galileo - 1610)

La materia tiende a permanecer en el estado de reposo o de movimientouniforme que posee inicialmente. Esta propiedad llamada inercia explicaque para modificar el estado de reposo o movimiento uniforme de un cuerposea necesario aplicar una fuerza exterior. Teniendo en cuenta el principio deacción y reacción anteriormente enunciado, es evidente que cuando uncuerpo inicia su movimiento o modifica su trayectoria, hay algún otro sobre elque se ejerce la otra fuerza del par. Más adelante veremos que esta cuestiónestá ligada a otros dos principios accesorios: el de la permanencia del cen-tro de masa (o de gravedad) y a la constancia de la cantidad de movi-miento de un sistema de cuerpos que interactúan entre sí.

Conceptos de Cinemática y Dinámica de PartículasConviene estudiar el movimiento primeramente de partículas, para luegopasar al de cuerpos extensos. Las partículas materiales son, como ya diji-mos, una idealización de cuerpos de dimensiones muy pequeñas y masafinita, de manera que se pueden aproximar a puntos materiales de densi-dad muy elevada. Como el movimiento se refiere a entes materiales dota-dos de masa (o masa energía, para hablar con mayor generalidad) y quetales fenómenos se producen por efecto de una acción exterior, no convienedesvincular la causa del efecto y, contrariamente a lo que se viene haciendotradicionalmente en la enseñanza de la física, en esta obra se evitará ladivisión entre cinemática y dinámica.

Algo sobre vectoresComo se sabe, un vector es una magnitud que sirve para representar algoque tiene intensidad (también llamada módulo), dirección y sentido. Noalcanza un número para caracterizar tal cosa. A lo sumo ese número podríarepresentar una de sus características, como por ejemplo su intensidad, perono daría ninguna información sobre las otras dos (dirección y sentido)

Vector quiere decir “lo que transporta”. Y precisamente transporte, trasla-ción o desplazamiento son fenómenos que sugieren la necesidad de unvector para ser definidos en forma conceptual y completa. El resultado deuna traslación se visualiza mediante una flecha que va desde el punto ori-gen al punto destino (por ejemplo el vector ∆∆d visto antes) y puede serdefinida con dos o tres números, según se trate respectivamente de un des-


plazamiento en el plano o en el espacio4.

Esos números pueden ser los valores de sus componentes escalares (pro-yecciones sobre los respectivos ejes de referencia), o bien el valor de sumódulo (longitud) y argumento (ángulo que forma con un vector unitario dereferencia o “versor”), o alguna otra combinación de valores con las que sepueda representar la flecha en el espacio (por ejemplo módulo, acimut yaltura, o también módulo, declinación y ascensión recta)

La representación de un vector con dos o tres escalares (componentes se-gún los ejes) tiene el inconveniente de que esos valores dependen del tipo yorientación del sistema de referencia, a pesar de que lo que representa elvector (por ejemplo la susodicha traslación) tiene un significado intrínsecoindependiente de ese marco de referencia. Por eso, si bien el uso de vecto-res a través de sus componentes es en general un procedimiento cómodo, leresta concisión y generalidad a las operaciones entre este tipo de magni-tudes.

Resulta así más propio operar con los vectores como tales, como flechas oimaginando los desplazamientos que pueden llegar a representar. En estaobra se representan magnitudes escalares con letras normales o en negrita,pero sin inclinación. Las letras itálicas en negrita se reservan para repre-sentar magnitudes vectoriales.

Se definen las siguientesoperaciones con vectores:

Suma de dos vectorescomo la resultante de aplicarel efecto de traslación deuno y otro sucesivamente aun punto. La resta o dife-rencia entre dos vectoresse entiende como un casoparticular de la suma vecto-rial, en la que el sustraendotiene módulo negativo, esdecir que cambia su sentido.La suma vectorial goza de lapropiedad conmutativa, esdecir v1+v2=v2+v1

4 Aunque no tienen un significado físico concreto como los de dos o tres dimensiones,

listas de más de tres números relacionados entre sí pueden interpretarse como vecto-res de n dimensiones. Para referirlos a una realidad geométrica, se dice que sonvectores en un espacio n-dimensional.

v1 ∧∧

v2

v1

v2

v1

v2

v1+v2

v1

v2

αα

producto escalar v1·v2=v1.v2.cos αα

suma vectorial

producto vectorial

v

1 ∧∧v

2 =v

1.v2

.sen

αα

v1.cos αα

v1

- v2

v1+v2

resta o diferencia

v2

v1-v2

v2

v1-v2

αα

v2 ∧∧

v1


Producto escalar de dos vectores, es, como lo indica su nombre, un núme-ro (no un vector) . Se simboliza con el punto (·). Este número se define comoel producto de las intensidades de los vectores por el coseno del ángulo queforman sus rectas de acción. Nótese en la figura que v1.cos(αα) nos da elvalor de la proyección de v1 en la dirección de v2. Si dos vectores tienenproducto escalar nulo quiere decir que son perpendiculares entre sí. Elproducto escalar es conmutativo, o sea v1·v2=v2·v1 .Producto vectorial entre dos vectores, en cambio, se define como un vec-tor cuya intensidad es el producto de los módulos de los dos vectores facto-res multiplicado por el seno del ángulo que forman sus respectivas rectas deacción. La operación se indica con el signo ∧∧ . La dirección del vector resul-tante del producto vectorial es perpendicular al plano que determinan losvectores multiplicados. El sentido del vector producto depende del orden delos factores, es decir que el producto vectorial no es conmutativo. Así resulta

V1∧∧V2= - (V2∧∧V1) (ver figura)5. Un producto vectorial nulo indica que losvectores intervinientes son paralelos. El módulo del vector producto re-presenta el área del paralelogramo determinado por los vectores factores.Producto de un escalar por un vector: Un número multiplicado por unvector da un nuevo vector de igual dirección, pero cuyo módulo es el pro-ducto del número por el módulo del vector original. Es decir que el factornumérico es un modificador de la intensidad del vector original. Lo amplifi-ca o lo atenúa según sea mayor o menor que uno. Si el factor es negativo, lecambia el sentido.Ejemplo

El cálculo vectorialcontiene al álgebra, lageometría y trigono-metría implícitas. Poreso es tan potente yconciso. Por ejemplo,el teorema del co-seno (del cual el dePitágoras es un casoparticular) sale natu-

ralmente de la definición de diferencia entre vectores, aplicando a ambosmiembros de la igualdad el producto escalar por ellos mismos. Téngase paraello en cuenta que al multiplicar un vector escalarmente por sí mismo, seobtiene el cuadrado de su módulo.

5 El cálculo vectorial exige dar signo a los ángulos. Adoptaremos como positivo el

sentido antihorario: así en la figura el ángulo α es positivo pues está medido desde v1a v2. Su seno resulta también positivo, así como el módulo del producto vectorialv1∧V2= v1.v2.sen(α) . Por convención esto se interpreta como que el vector pro-ducto sale del plano del reloj usado para la medida de los ángulos.

a b

c=a-b

c·c = (a-b)·(a-b) = a2-2a·b+b2

2a·b=2.a.b.cos(C)

c·c =c2 =a2-2.a.b.cos(C)+b2

C

BA


Posición, Trayectoria, VelocidadLos fenómenos físicos ocurren el espacio y en el tiempo. Para ubicar algoen el espacio debemos primeramente caracterizar a éste con puntos y ejescon respecto a los cuales se darán distancias y ángulos para encontrar ellugar donde se encuentra. Este sistema de ejes y puntos se llama sistemade referencia. El valor de las distancias y ángulos son las coordenadas dellugar correspondiente. Por ejemplo son coordenadas de un lugar en el sis-tema de referencia geográfico su longitud con respecto al meridiano deGreenwich, latitud al plano del ecuador y elevación sobre el nivel del mar.Un astro se ubicará por su declinación y ascensión recta en un determina-do tiempo, en el sistema de referencia astronómico, o bien en un sistemalocal por otra pareja de coordenadas: el acimut y la altura, también en undeterminado momento (ya que el astro se mueve, cambiando su posicióncon el tiempo). Sobre el origen y orientación de referencia decimos queexisten sistemas fijos y móviles. Decimos que son fijos, siguiendo a Newton,los sistemas de referencia en los que se mantienen las coordenadas de lasestrellas fijas del firmamento 6. Los sistemas de referencia que se despla-zan con respecto a los sistemas fijos se llaman sistemas móviles. Dentro delos sistemas móviles, se llaman inerciales a los que mantienen su orienta-ción con respecto a los fijos, desplazándose con velocidad constante sinrotar.

Es útil representar un espacio de tres dimensiones por un origen desde don-de parten tres ejes perpendiculares entre sí (ortogonales). Esto da una bue-na idea de la perspectiva del espacio y de los objetos, aunque no necesa-riamente se utilicen las coordenadas de éstos referidas a los ejes. Es prefe-rible en general definir la posición de una partícula en el espacio por unvector que parte del origen del sistema de referencia y con extremo opunta en el punto dónde se halla la partícula. Si la partícula se mueve, lapunta de ese vector describe una trayectoria (en general una curva en elespacio) a medida que transcurre el tiempo.

Nótese que para que todo lo anterior tenga sentido, debemos admitir que enel espacio real son aplicables conceptos de geometría plana tales comopuntos y rectas, y de geometría del espacio, tales como planos, curvas,superficies y distancia pitagórica. Asimismo se emplea el concepto intuitivode tiempo, como una magnitud que transcurre regularmente e independien-temente de otros fenómenos, y cuyo valor rige en todo el espacio (simulta-neidad).

6 SI bien la forma de las constelaciones cambia con el tiempo, lo hace tan lentamente

que se considera que su posición en el cielo es invariable. Hay métodos más avanza-dos para encontrar el sistema absoluto de coordenadas, por ejemplo en base a laradiación de temperatura del universo.


Se llama velocidad instantánea de la partícula en un momento dado, al co-ciente entre camino lineal recorrido y tiempo, suponiendo que la partícula esabandonada libremente a partir del instante considerado. Sabemos por expe-riencia, que la partícula libre de acciones exteriores persiste en el estado enque se encuentra: quieta o con movimiento uniforme en línea recta, en virtudde esa propiedad ligada a su masa que llamamos inercia. De lo dicho surgeque si se dejara libre a la partícula a partir del momento considerado, segui-ría una trayectoria rectilínea en la dirección que tiene en ese momento, cu-briendo distancias iguales en tiempos iguales, o sea a velocidad constante.Esa velocidad es la que tiene la partícula en el instante considerado aunqueno se la dejara libre, en cuyo caso un momento después tendría en generalotra velocidad tanto en valor como en dirección y sentido.

La velocidad, por ser dimensionalmente una longitud dividida por un tiempo,se mide en unidades de longitud dividido unidades de tiempo, por ejemplometros /segundo, o Km/hora

Ejemplo: Un automóvil entrapor un acceso a una autopis-ta. Sigue para ello una tra-yectoria curva en el espacio(va doblando y al mismo tiem-po ascendiendo hacia el nivelde la autopista). Su velocidadinstantánea en un momentodeterminado está dada portres parámetros:el valor que marca el velocí-metro en ese instante (por ejemplo 40 Km/h)la dirección (tangente al camino en ese punto)el sentido (hacia adelante).Si el auto se dejara libre en ese momento (para lo cual deberíamos anular lafuerza de gravedad, la adherencia de las ruedas al camino y en general todootro rozamiento) recorrería al cabo de una hora 40 Km siguiendo la direccióntangente al camino en la dirección del movimiento (supuestamente que noencontrara obstáculos en esa trayectoria recta).

Para poder aplicar al concepto de velocidad instantánea un tratamientomatemático riguroso, Newton inventó una serie de operaciones con las va-riables (posición y tiempo) cuyo conjunto se conoce como “cálculo infinite-simal”, y que consiste básicamente en estudiar el límite de cocientes cuandoel denominador se hace tan pequeño como uno quiera. Por ejemplo, en elcaso típico de la velocidad, definida como cociente entre distancia recorrida ytiempo empleado, el valor obtenido así tiene carácter de promedio cuandoel intervalo de tiempo considerado es extenso y no coincide con el conceptode velocidad instantánea dado antes. Para que el cociente nos dé el valor de

eje xej

e z

eje y

origen decoordenadas

xy

z

v


la velocidad instantánea (el espacio que recorrería el móvil al cabo de unaunidad de tiempo si cesaran todas las acciones sobre él), es necesario con-siderar un intervalo durante el cual la velocidad del móvil no varíe. Imagine-mos el peor caso, en que la velocidad instantánea varíe constantemente a lolargo del camino recorrido y del tiempo transcurrido. Es este el caso típico deun colectivo en servicio, que acelera y desacelera constantemente, yendotambién desde un lado al otro de la calzada en su afán de avanzar rápida-mente esquivando a otros vehículos. ¿Cómo medimos la velocidad instantá-nea aquí y ahora?.

Los términos aquí y ahora tomados en su significado estricto requieren in-tervalos de tiempo y espacio nulos. El presente no tiene duración, y el espa-cio recorrido en un instante nulo será también cero. No podemos calcularmatemáticamente un cociente entre cero y cero, y menos aún darle signifi-cado físico. Sin embargo es imaginable el caso de que por muy rápido quevaríe la velocidad en el tiempo (esta variación se llama aceleración), siem-pre que no haya saltos demasiado bruscos (puede no ser el caso de uncolectivo), podamos tomar un intervalo de tiempo suficientemente pequeñocomo para que al principio del intervalo y al final, la velocidad sea casi lamisma. Suficientemente pequeño puede ser, según los casos, una hora, undía o un segundo. A este valor se llega prácticamente haciendo sucesivasdeterminaciones de la velocidad con intervalos de tiempo cada vez menores,hasta que una disminución ulterior del intervalo no produzca cambios signi-ficativos en el resultado del cociente. Se dice que en tal caso llegamosprácticamente al valor del límite del cociente. Entonces el valor del espa-cio recorrido y la duración del intervalo considerado será la velocidad en elintervalo de tiempo que por lo pequeño se confundirá con el instante detiempo, es decir que coincidirá con el concepto de velocidad instantánea.No hay inconvenientes, al menos en teoría, de medir pequeños intervalos detiempo y los respectivos desplaza-mientos recorridos. Si se conoce laley matemática de variación delespacio con el tiempo puede calcu-larse la ley matemática del límite delcociente (velocidad) mediante unprocedimiento o “algoritmo” llamado“paso al límite” que se enseña enlos cursos de análisis matemático.Esta operación transforma a la fun-ción primitiva (espacio en funcióndel tiempo) en su función derivada7

(velocidad).

7 Newton empleaba el término “fluxión” para la función derivada, en alusión a un flujo,

o sea el cociente entre cantidad de la variable y tiempo

x1 y1

z1

ddd111 ddd222

∆∆∆∆dd

z2

y2 x2


Consideremos la figura, que representa una bolita cayendo por una rampaformada por dos rieles paralelos doblados en curva.

Los vectores d1 y d2 corresponden a las sucesivas posiciones de la bolita endos instantes t1 y t2 . ∆∆d es la diferencia vectorial entre d2 y d1 y se llamatraslación del objeto. Así es ∆∆∆∆dd==dd22--dd11 (letras en iittáálliiccaa representan vectores).El valor de la distancia entre los extremos de los vectores d2 y d1, de coorde-nadas respectivas x2, y2, z2 y x1, y1, z1 , viene dado por la aplicación delteorema de Pitágoras en el espacio, a saber:

∆d=[(x2-x1)2+(y2-y1)

2+(z2-z1)2]1/2

Si consideramos que la posición tiene carácter vectorial, la velocidad tam-bién lo tendrá, ya que se trata matemáticamente del cociente entre un vec-tor traslación ∆∆∆∆dd (diferencia entre posiciones sucesivas final d2 e inicial d1) yun escalar ∆∆t =t2-t1 (el tiempo transcurrido entre ambas), siempre y cuandoeste último intervalo de tiempo sea suficientemente pequeño, en el sentidoexplicado antes.

Así es v = límite ∆∆d/∆∆t para ∆t→0

Acción, Cantidad de movimiento, Fuerza e ImpulsoLa expresión matemática de fuerza de inercia como la definió Newton, re-quiere definir previamente el concepto de cantidad de movimiento de uncuerpo de masa m que se mueve a una velocidad vv.. Así decimos que lacantidad de movimiento vale p=m.v . Nótese que la cantidad de movimientose mide con un vector, ya que se trata del producto de un escalar (la masa)por un vector (la velocidad). La variación de la cantidad de movimiento∆∆p=∆∆(mv) durante un intervalo de tiempo ∆∆t se debe a la acción de unafuerza F (vector) cuyo valor es el cociente F=∆∆p/∆∆t. Se llama acción de lafuerza sobre la partícula o también impulso de la fuerza sobre la partícula alproducto F.∆∆t=∆∆p , cuyo valor (vectorial) coincide con la variación de lacantidad de movimiento.

La variación de la cantidad de movimiento de una partícula puede produ-cirse debido a un cambio de velocidad, pero también debido a un cambio demasa, o a ambas cosas a la vez. Por ejemplo, si consideramos una bola quese desliza por una mesa lisa, podemos admitir que la masa del objeto querueda se mantiene contante durante el movimiento, aunque si somos exqui-sitos y tenemos en cuenta que la bola se desgasta al rodar, habrá que teneren cuenta el minúsculo cambio de masa de la misma. En cierto casos, lavariación de la masa no es despreciable, como en el caso anterior. Aviones areacción y cohetes gastan enormes cantidades de combustible durante eldespegue. Si se considera al avión como un cuerpo que incluye al combusti-


ble, habrá que considerar que su masa disminuye durante el vuelo.8 Sobreestos temas volveremos más adelante.

AceleraciónVimos que el movimiento de una partícula material está definido por su tra-yectoria en el tiempo. Se nos ocurren así posibles dos tipos de movimiento:los de velocidad constante y los de velocidad variable con el tiempo.

El primero de ellos, como yavimos, está caracterizado poruna trayectoria recta, por laque se desplaza el móvil reco-rriendo espacios iguales entiempos iguales. Por ejemplo, unautomóvil que va desde ChoeleChoel a Río Colorado (dos loca-lidades de Argentina unidas poruna recta de 160 Km) guiado porun chófer que mantiene firmesus manos en el volante y su piéen el acelerador, de manera queel auto vaya derechito y la aguja

del velocímetro se mantenga en 100 Km/h, es un ejemplo aproximado de unmovimiento de velocidad constante. Bajo tales circunstancias el auto realizauna traslación uniforme, y llegará a destino en un tiempo t=160 Km / 100Km/h = 1,6 h = 96 minutos

Para caracterizar el movimiento de velocidad variable debemos estudiarcómo cambia la velocidad con el tiempo. Esta variación de la velocidad conel tiempo se mide a través de la aceleración, que es una función del tiempoque guarda con la velocidad la misma relación que ésta tiene con el espa-cio9. Es decir que la aceleración de un movimiento se define como la varia-ción de la velocidad que ocurre en un intervalo de tiempo, dividida el valorde este intervalo. Para calcular la aceleración instantánea en un momentodado, debe cumplirse también, al igual que con la velocidad, la condición deque el intervalo sea lo suficientemente pequeño cómo para que el cociente

8 Se puede también considerar al avión y al combustible como un sistema de cuerpos

cuyas respectivas masas se mantienen constantes, pero teniendo en cuenta que partedel combustible va quedando en el camino, en los gases de combustión. La cuestióndebe resolverse con la aplicación de los principios de la mecánica de sistemas decuerpos, para los cuales rige el principio de la constancia de la cantidad total de mo-vimiento, como se verá luego.9 Es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, o el fluxión de la velocidad.

∆∆∆∆vv11

V1

V2

trayectoria en el espacio V1

V2

aa11

V3

V4

aa22

aa33

V4V3

∆∆∆∆vv22∆∆∆∆vv33

dd11

dd22

dd33


no varíe sustancialmente con una disminución ulterior de su denominador(valor límite del cociente cuando el denominador tiende a cero).

Desde el punto de vista matemático, la aceleración se representa con unvector, que es resultado de dividir variación de velocidad ∆∆v (vector) eintervalo de tiempo ∆∆t (escalar) cuando éste tiende a cero, o como se decíaantes, cuando el intervalo es infinitamente pequeño.

De tal manera resulta a = límite ∆∆v/∆∆t para ∆t→0

Definida como la variación de un vector con el tiempo, la aceleración, lomismo que la velocidad, tiene dirección, intensidad y sentido. Su variaciónpuede referirse a algunos, todos o cualesquiera de esos atributos10

Estudio general del movimiento de una partículaVayamos al caso de la figura anterior, en la que la bolita recorre una trayec-toria en el espacio. Admitamos ahora que la bolita pesada tiene dimensionesdespreciables y por lo tanto puede considerarse como una partícula mate-rial11. En tal caso, la trayectoria demarcada por la rampa de dos rieles setransformará en una línea curva alabeada12, al acercar aquéllos adecuándo-los a las pequeñísimas dimensiones de la bolita, y ella misma pasará a ocu-par un punto en el espacio (sin extensión). Vemos en la figura a los vectoresv1 y v2 , que representan las sucesivas velocidades en los instantes t1 y t2 ,que a su vez corresponden a las respectivas posiciones d1 y d2 . La variaciónde velocidad ∆∆v1 resulta de la resta v2-v1. Esa variación de velocidad mide laaceleración a1 del movimiento en la posición d1 en la medida de que el inter-valo de tiempo ∆∆t1=(t2-t1) entre las dos posiciones tienda a un valor suficien-temente pequeño como para que el cociente ∆∆v1/∆∆t1 no varíe sensiblementeante una disminución ulterior de ∆∆t. De la misma manera, los vectores a2 y a3

representan las correspondientes aceleraciones en puntos sucesivos de sutrayectoria caracterizados por sus respectivos vectores posición d2 y d3 .Nótese que la dirección de la aceleración está dada por la tangente a lacurva que describen los vectores velocidad, de la misma manera que la 10

El sentido de un vector está incluido en el valor de sus componentes. Por ejemplo elvector plano de módulo +1 y ángulo +45º es opuesto al –1 , 45º y coincide con el 1 , -135º y el 1 +225º. Las componentes ortogonales de este último vector son -√2 , -√211

No tiene sentido decir que la partícula sin extensión rueda sobre la trayectoria,como antes hacía la bolita. Una partícula sólo puede desplazarse. Por el mismo moti-vo, una partícula tampoco puede poseer energía de rotación, al contrario de un cuerpoextenso.12

Alabeado viene de álabe (paleta curva). Se dice de la curva que no está contenidaen un plano (curva en el espacio), por ejemplo, una hélice, generada por un punto quedescribe una circunferencia y al mismo tiempo avanza perpendicularmente al plano dela misma.


dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria, descripta por lossucesivos vectores posición.

El valor intrínseco de la representación vectorial

Si bien se han trazado en la figura anterior tres ejes ortogonales para conferirperspectiva a la representación espacial de la trayectoria y su movimiento,vemos que los vectores velocidad y aceleración que lo caracterizan, puedendefinirse sin relacionarlos a las coordenadas absolutas del punto ni a la pro-yección de esos vectores sobre esos u otros sistemas de coordenadas. Enefecto, esto es así a pesar de que hemos usado inicialmente la noción devector posición d refiriéndolo a la terna ortogonal. Pero lo que define el mo-vimiento no es la posición d sino la variación vectorial ∆∆d de la misma . Cadauno de esos desplazamientos por separado, y el conjunto de todos ellos,definen la forma absoluta de la trayectoria, y no requieren relacionarse aterna alguna para tener significado. También poseen valor intrínseco los

vectores velocidad yaceleración, que soncocientes entre dife-rencias vectoriales yel tiempo, este últimode carácter absolutoen todo el espacio.

En la montaña rusa

En general convieneestudiar el movimiento

con notación vectorial intrínseca cuando el observador está en movimiento.Por ejemplo, a bordo de una vagoneta de montaña rusa que describe untirabuzón, poco le importa al divertido (o quizás desventurado) pasajeroconocer sus datos de posición y movimiento con relación al suelo, por ejem-plo saber que en ese momento sufre una aceleración horizontal hacia elnoroeste. Nuestro zarandeado amigo, que tiene serias dudas de lo que sig-nifica arriba o abajo, mucho menos sabrá dónde queda el norte. Más biensabe que si no se sujeta bien saldrá despedido hacia su derecha, porque elcentro de curvatura de la trayectoria está a su izquierda.En cambio, al director de juegos que está en tierra firme, le interesará saberque debe poner una red a cierta altura (coordenada z) por sobre el lugar(marcado con una cruz en el dibujo) donde cada tanto aterriza un pasajeroque no se pone el cinturón de seguridad.

Tangente 2

T

Tangente 1 Plano osculador

co

ord

enad

a ab

solu

ta z

coordenada absoluta y de la red coordenada absoluta x de la red

posicionessucesivas 1 y 2muy próximas

normal

binormal

N B

red

de

seg

uri

dad


Triedro intrínseco o triedro de Frenet

En la figura se ha dibujado una vía de dos rieles, que describe una curvaalabeada en el espacio. Por ella van las vagonetas con los intrépidos pasaje-ros.

Propongámonos encontrar algún sistema de referencia local, para que losocupantes puedan en todo momento definir el movimiento desde su puntode vista.Tendrá sentido elegir como origen de coordenadas al lugar donde se hallael observador en movimiento, por ejemplo el punto del asiento donde el ocu-pante trata de mantenerse.La dirección del vehículo también es un eje conveniente para el pasajero.Esta dirección, hacia donde mira, es claramente “hacia adelante” y coincidecon la dirección de la tangente al camino en el lugar donde está el móvil enel momento considerado. La tangente en una curva está determinada pordos puntos infinitamente próximos y coincide, como ya vimos, con la direc-ción instantánea del vector velocidad.Dos tangentes a la trayectoria correspondientes a dos puntos muy próxi-mos entre sí, que tiendan a confundirse en uno sólo, determinarán un planollamado “plano osculador a la trayectoria” en el punto considerado. Sunombre, derivado de ósculo (beso), alude a que dicho plano roza suave-mente a la curva en el punto considerado13. También puede considerarseque el plano osculador está determinado por la tangente en un punto y otropunto próximo, o bien por tres puntos infinitamente próximos de la curva.Las tres definiciones son equivalentes.Perteneciente al plano osculador y perpendicular a la tangente por el origenrelativo, definiremos el eje normal. El vector aceleración, del que ya habla-mos, siempre está en el plano osculador y a veces puede tener la direcciónnormal. Ya volveremos a hablar sobre la aceleración más adelante.Perpendicular a la tangente y la normal por el origen relativo, queda defini-do el eje binormal, que completa la terna.

En resumen, el sistema de referencia relativo al observador que se mue-ve según una trayectoria puede estar convenientemente definido por tresejes ortogonales, que parten del origen relativo (el propio observador), asaber :

La dirección tangente a la trayectoria (hacia adelante). Este eje se llamatangente. 13

En geometría diferencial (la rama geométrica del cálculo infinitesimal) se dice queuna curva o superficie es osculatriz con respecto a otra curva o superficie, cuandoambas tienen un contacto superficial en más de un punto sin llegar a cortarse , esdecir que son “algo más que tangentes”. El plano osculatriz en un punto de una curvaen el espacio está determinado por tres puntos sobre la curva, que al acercarse entresí determinan como límite el plano en cuestión en el punto de encuentro.


La dirección perpendicular a la tangente sobre el plano osculador. Este ejese llama normal.La dirección perpendicular a la tangente y a la normal. Este eje se llamabinormal.

A la tangente, normal y binormal se asignan respectivamente tres vectoresunitarios t, n y b (versores) que tienen sus respectivas direcciones, de ma-nera que t ∧∧n = b (recordar lo dicho sobre producto vectorial)

Para estudiar el movimiento de una partícula a partir del ejemplo bastaimaginar que vagoneta y ocupante se reducen tanto de tamaño con res-pecto a la longitud del camino, que pierde sentido darles una forma o volu-men determinados. También en esas condiciones los rieles de la vía tiendena confundirse en una sola línea. Vagoneta/ocupante y vía se transformanrespectivamente en partícula y trayectoria. En este proceso de reducciónde tamaño no pierden sentido las direcciones tangente, normal y binormaldefinidas como antes.

El sistema de ejes de coordenadas ortogonales basado en el triedro formadopor la tangente, la normal y la binormal en un punto de una curva en elespacio, se llama intrínseco porque permite referir propiedades absolutasde la curva en ese punto, tales como dirección y curvatura, concepto esteúltimo que explicaremos a continuación. Al triedro intrínseco también se lollama triedro de Frenet, en honor al geómetra francés que en siglo XVIII sepreocupó en estudiar estas cuestiones.

Curvatura

El concepto de curvatura de una curva planao en el espacio también pertenece al dominiode la geometría diferencial, que estudia logeométrico microscópicamente, para decirlollanamente. Tomando un punto de una curvaen el espacio, podemos definir la tangenteen ese punto como la recta que pasa pordicho punto y otro “infinitamente próximo”.Vimos que el plano osculador está determi-nado por esa tangente y un tercer punto de lacurva también muy próximo. Por esos trespuntos próximos de la curva (tan próximosque se confunden en uno sólo) pasa tambiénuna circunferencia (una sola), llamadacircunferencia osculatriz, que pertenece alplano osculador. La inversa del radio de curvatura de la circunferenciaosculatriz en un punto de una curva alabeada, define la curvatura de fle-xión de la curva en el punto considerado. (Cuánto mayor es la curvatura

CURVATURA POR FLEXIÓN

CURVATURA PORFLEXO-TORSIÓN

ρρ

b b

circunferencia osculatriz

n n

t t

t

t


menor es el radio, y viceversa).

Desde un punto de vista más intuitivo, podemos imaginar que una curvaplana (no alabeada), puede generarse a partir de una recta que se flexio-na. A causa de dicho proceso, la recta se curva en un plano, no en el espa-cio. La curvatura en el plano de flexión de la curva (plano que coincide conun único plano osculador para todos sus puntos), queda definida como elcambio de dirección por unidad de longitud, que como vimos está medidopor la inversa del radio ρρ de curvatura de la circunferencia osculatriz. Mate-máticamente, este concepto se expresa también como la variación del vectortangente t14 entre dos puntos infinitamente próximos dividida la distanciaentre esos dos puntos, o sea:1/ρ = lim ∆t/∆d para ∆d→0

Para que esta curva plana pase a ser una curva alabeada o curvada en elespacio, es decir que no esté contenida en un plano, deberíamos retorcerlaademás de flexionarla, como se indica en la figura. Aparece así además dela curvatura de flexión 1/ρρ, la curvatura de torsión 1/ττ, que se define comoel ángulo de torsión por unidad de longitud. La torsión está dada por el cam-bio de dirección del plano osculador o de la binormal, que como se recordaráes perpendicular a dicho plano. Es decir que matemáticamente resulta:1/τ = lim ∆b / ∆d para ∆d→0

Ejemplo de curvas en el espacio. Hélices y Cicloides

HéliceSe llama hélice a la curva espacial generada por un punto que se muevecon velocidad de giro constante alrededor del centro de una circunferencia 14

No confundir la “t” que representa al vector tangente con la t que representa a lavariable escalar tiempo.

HÉLICE

CICLOIDE

V

V

t

n b

plano osculador g

αα

ΠΠ

r

P

αα

V

v

vr


(movimiento circular uniforme) mientras el centro de la circunferencia sedesplaza con velocidad constante. Cuando la velocidad de desplazamientoes normal al plano de la circunferencia, la trayectoria describe una “hélicecilíndrica”, porque la curva está sobre una superficie cilíndrica. El cilindrocorrespondiente se llama “cilindro director” de la hélice.

La arista del filete de un tornillo común es una hélice cilíndrica, creada poruna punta o estilo que graba un surco en el material de una barra cilíndricaque gira sobre su eje mientras el estilo de desplaza paralelamente a éste, obien cuando la barra se desplaza a medida que gira y el estilo queda fijoapoyado en su superficie.

Se llama paso P de la hélice cilíndrica a la distancia que hay entre dos pun-tos cortados por una misma generatriz. Es lo que avanza el tornillo por vuel-

ta. El paso P tiene que ver con la velocidad instantánea (vectorial) v delpunto generador de la hélice, que se puede descomponer en una compo-nente rotacional vr y otra de avance V perpendiculares entre sí (ver figura).Se define como ángulo de avance αα al formado entre la dirección de la tan-gente y la perpendicular a la generatriz. La velocidad v tiene la dirección dela tangente mientras que la velocidad de traslación V tiene la dirección de lageneratriz. Resulta claramente de la figura que V/v = sen (αα) y además V/vr= tg(αα).

Llamando T al tiempo que tarda el móvil de velocidad tangencial v en reco-rrer una vuelta de hélice de longitud L será v = L/T .La componente rotacional hace dar al punto una vuelta de longitud 2πr en eltiempo T de dondevr = 2πr/T . De aquí resultan las siguientes expresiones:V=P /T , de donde V/v=P /L=sen(αα) y P=L.sen(αα)V/vr=P /2π r= tg(αα) de donde P=2πr tg(αα)

Igualando estas dos ultimas expresiones resulta la que vincula el radio decurvatura r , el ángulo de avance a y la longitud de una vuelta de hélice L:

L = 2π r / cos (α)

La longitud de una vuelta de hélice es igual a la de la circunferencia genera-triz dividida el coseno del ángulo de avance. Si cortamos por una generatrizel cilindro director y lo aplanamos, la hélice se transforma en la hipotenusade un triángulo rectángulo de catetos 2π r y P

CicloidesCuando la velocidad de desplazamiento V no es perpendicular al plano de lacircunferencia, la hélice queda semi-aplastada (como un resorte al que se


aplica una compresión no paralela a su eje), o totalmente aplastada en dichoplano cuando la velocidad V pertenece a él (un resorte colapsado). En esteúltimo caso, la curva se llama cicloide.

Nótese que la vista en perspectiva de una hélice, como se muestra en eldibujo, es precisamente una cicloide, ya que lo que se ve es la proyecciónde la curva aplastada sobre el plano del papel. Como caso particular, unahélice proyectada sobre un plano paralelo al eje del cilindro director da unasinusoide.

En la figura se ha dibujado el triedro intrínseco en un punto de la hélice.Nótese primeramente que el plano osculador corta al eje del cilindro direc-tor siempre bajo un mismo ángulo (ángulo αα de avance de la hélice). Ade-más se ve que la dirección de la normal siempre corta perpendicularmenteal eje del cilindro director. La tangente y la binormal determinan un planoΠΠ que en el punto considerado tiene una perpendicular coincidente con lanormal del triedro intrínseco , por lo tanto ΠΠ es un plano paralelo al eje delcilindro. Por ser paralelo al eje del cilindro y tener un punto en común con lasuperficie cilíndrica, el plano ΠΠ tiene también en común la generatriz g quepasa por dicho punto. Es decir que el plano Π determinado por la normal y labinormal, se apoya en una generatriz g del cilindro director.

Curvaturas de la hélicePara conformar un trozo de hélicecilíndrica con un trozo de alambrerecto, primero hay que flexionar a éstedándole la forma de una circunferenciaen un plano (curvatura de flexión) yluego retorcerlo para sacarlo del plano(estirar el arco perpendicularmente alplano).

De acuerdo a lo visto, la curvatura deflexión en un punto de la hélice es 1/ρ ρ = dt/dd , es decir la variación delvector tangente por unidad de longitud. El camino dd es el arco de hélice,cuya proyección según αα es el arco de circunferencia ds, de tal manerads=dd.cos(αα). También es dt/dd=dt/ds.cos(α), pero comodt/d s=1/r , resulta que la curvatura de flexión para la hélice es1/ρρ = dt/dd = 1/r.cos(αα)Cuando el ángulo de avance a es cero, la hélice es una circunferencia y deacuerdo a la fórmula anterior la curvatura coincide con la de la circunferenciade radio r, que es 1/r. Cuando el ángulo de avance tiende a π/2 , la hélicetiende a confundirse con una recta generatriz, de curvatura nula. Se dice quela hélice degenera en una generatriz cuando α=π/2 . Cuando α=π/4 (45º) es1/ρ=1/r/√2

αα

2α2α

P P/22

b

b

r

L/22


La curvatura de torsión de una curva se definió como db/dd, es decir lavariación de la binormal por unidad de longitud. En la hélice de la figura,representada por su proyección sinusoidal, se ve que la binormal b describeun ángulo de 2α por cada L/2 de longitud, y como L=P/sen(α) resulta que lacurvatura de torsión es 1/τ = 4α.sen(α) /P

Si αα=π/2 (90º) la hélice se trasforma (degenera) en una generatriz y la fór-mula de la curvatura da 1/ττ=2π .sen(2π)/P=0 (curvatura nula como corres-ponde a una recta). Si α α=0 la fórmula nos da también cero, lo cual está deacuerdo con el hecho de que para un ángulo de avance nulo la hélice dege-nera en una circunferencia, para la cual la curvatura de torsión vale tambiéncero, porque es una curva plana. Entre estos dos valores, la curvatura deflexión tiene valores no nulos. Por ejemplo para αα=π/4 (45º) resulta 1/τ τ =π/√2/P = 2,22/P . Se demuestra que éste es el máximo valor alcanzable.

La hélice cilíndrica posee curvaturas de flexión y torsión constantes entodos sus puntos, lo cual se traduce en la ausencia de puntos notables: esuna curva con propiedades intrínsecas iguales para todos sus puntos. Puedehaber hélices derechas o izquierdas, según que el tornillo que representan

avance o retroceda cuando se lo gira ensentido horario. Las hélices derechas eizquierda no pueden superponerse.

Componentes tangencial y normal de laaceleración

Ahora que entendemos mejor las propie-dades intrínsecas (desde el interior) deuna curva, retomaremos el tema de laaceleración. Ésta se definió como lavariación de la velocidad con respecto altiempo, cuando el intervalo tiende a cero.

También se dijo que la aceleración se representa por un vector que perte-nece al plano osculador en cada punto de la trayectoria. A ese plano tam-bién pertenecen la tangente y la normal, definidas por sus correspondientesversores t y n . Se vió también que la dirección del vector aceleración coinci-de con t sólo cuando la trayectoria es una recta. En el caso general de unmóvil que siga una trayectoria curva (plana o alabeada) el vector aceleracióntiene forzosamente una componente normal an a la dirección, y puedetener o no una componente tangencial at perpendicular a la primera.

La expresión vectorial intrínseca de la aceleración resulta asía = at·t + an·n = at + an

15

15 Nótese que at y an son escalares (en letra normal) que multiplicados res-

n

a

t

an

v at

trayectoria


La componente tangencial de la aceleración representa la variación delmódulo del vector velocidad con el tiempo (el módulo de la velocidad es,por ejemplo, lo que marca el velocímetro), y es la responsable de la fuerzade inercia que nos tira contra el respaldo del asiento en un vehículo quearranca, o nos echa sobre el parabrisas cuando frena. La componentenormal representa la variación de la dirección con respecto al tiempo yexiste siempre que el camino cambie de dirección, o sea en una curva. Esresponsable de la fuerza de inercia centrífuga hacia el lado contrario alcentro de curvatura del camino (el centro de la circunferencia osculatriz).

Un móvil que recorre una circunferencia con velocidad de módulo cons-tante, no posee componente tangencial de aceleración y sólamente tienecomponente normal. A este movimiento se lo llama circular uniforme.

El movimiento cuya aceleraciónestá dirigida siempre hacia elmismo punto se llama movimien-to central. El movimiento circularuniforme es un caso particular demovimiento central. El movimientoplanetario, que se realiza a lolargo de un camino elíptico ohiperbólico también es central, ya

que la aceleración apunta hacia uno de los focos de la elipse o hipérbola,donde está el sol. Es fácil entender que las partículas que se mueven conmovimiento central están sujetas a fuerzas que se dirigen a un punto fijo.

Una de las características del movimiento central es que el vector posiciónde la partícula con respecto al punto fijo barre áreas iguales en tiempoiguales. En efecto, en la figura, el área barrida por p en la unidad de tiempo

(velocidad areolar) vale VA= ½ |p∧∧v| (recuérdese que el módulo del pro-ducto vectorial mide el doble del área sombreada). La variación de un pro-ducto se puede calcular en base al principio de superposición, conside-rando que primero varía uno de los factores y después el otro. Así será que

la variación de la velocidad areolar es ∆∆VA=½∆∆|p∧∧v|=½|p∧∧∆∆v|+½|v∧∧∆∆p| .Como el movimiento es central, la aceleración a tendrá la dirección de p , demanera que p∧∧a = 0 . Como la aceleración es por definición a=∆∆v/∆∆t , dedonde ∆∆v=a.∆∆t, resulta que el primer término vale cero ya que p y ∆∆v sonparalelos. También son paralelos v y ∆∆p (son ambos tangentes a la trayec-toria). Así es ∆∆VA=0, es decir que VA es constante (su variación es nula ).

pectivamente por los versores t y n dan las componentes vectoriales at y an

(en negrita itálica) del vector aceleración.

v

p

velocidad areolar = ½ p∧∧v

∆∆p

∆∆v


Un móvil que recorre una hélice cilíndrica con velocidad tangencial cons-tante no posee componente tangencial de la velocidad y por lo tanto sóloposee una aceleración que está dirigida según la normal, esto es en direc-ción perpendicular al eje del cilindro director. La proyección de su movi-miento en un plano perpendicular a dicho eje es un movimiento circularuniforme. La proyección de su movimiento en un plano paralelo al eje delcilindro director es sinusoidal, como la que describe el extremo de una vari-lla que vibra y se desplaza a velocidad constante.

Ecuaciones del movimiento de unapartícula

Vimos que en el movimiento de unapartícula se definen las siguientes rela-ciones entre posición p , velocidad v yaceleración a :v=dp/dt , a=dv/dt , donde hemos cam-biado la ∆ por la d , significando conello que trabajamos con el límite delcociente cuando el denominador tiendea cero, o sea con el fluxión o derivadade ρρ y v.Nos abocaremos al problema de re-construir la posición p(t) de un móvil enfunción del tiempo, conociendo el lugarp(0) de donde parte (posición inicial),

su velocidad v(t) y aceleración a(t) en todo momento.Para ello aplicaremos el principio de superposición, considerando que laposición p(t) en el instante t será la suma vectorial de• la posición inicial (en el instante t=0), que llamamos p(0)• el desplazamiento al tiempo t por efecto de la velocidad inicial v(0). Este

vale ∆∆pv(t)=v(0).t• el desplazamiento adicional que le impone la aceleración, o sea la varia-

ción de la velocidad, desde el instante inicial hasta el instante t . Llama-remos a este tercer término ∆∆pa(t) .

La variación ∆∆pa(t) depende del curso de la aceleración con el tiempo, y si elmovimiento no es acelerado (o sea es de traslación uniforme) su valor espor consiguiente nulo.

En tal caso resulta p(t)=p(0)+v(0).t . Esta ecuación vectorial da para cadavalor de t un punto de la recta que pasa por p(0) y tiene la dirección de v(0)(línea punteada)

p(0)

v(0).t p(t)

Posición en un movimiento sinaceleración


Agreguemos ahora el efecto de una acele-ración constante. ¿Cuánto vale el término∆∆pa(t) cuando a(t)=a(0), es decir cuando laaceleración mantiene siempre su valor ini-cial?

Si la aceleración es constante, al cabo de untiempo t la velocidad habrá variado desde elvalor inicial v(0) al valor final v(t)=v(0)+a.t ,de manera que v(t)-v(0) = a.t Con esa va-riación progresiva de la velocidad, al cabode un tiempo t se recorre el mismo caminoque andando todo el tiempo al valor pro-medio de los valores extremos ∆vp = ½[v(t)-v(0)] = ½ a.t, con lo cual es:∆∆pa(t) = ∆vp .t = ½ a.t2

Entonces, como se muestra en la figura, la posición instantánea p(t) de unmóvil que parte de una posición inicial p(0) con velocidad inicial v(0) y acele-ración constante a , está dada por la ecuación vectorial:p(t) = p(0) + v(0).t + ½ a.t2 ,que da para cada valor de t un punto de una parábola cuyo eje está en ladirección de la aceleración a, pasa por p(0) y en ese punto tiene tangentev(0) en el plano determinado por v(0) y a16

Movimiento de un cuerpo rígido

Dijimos ya que una partícula ma-terial es una entelequia a la quese aproxima un cuerpo real demasa apreciable cuando susdimensiones tienden a cero. Secomprende que la densidad deuna partícula deba considerarseinfinita, lo que también se da aentender diciendo que la partícula

tiene “una masa concentrada en un punto”. Las partículas materiales pue-den ejecutar solamente desplazamientos o traslaciones, ya que las rotacio-nes de un punto no son imaginables.

16

En el dibujo se muestra el caso frecuente de aceleración vertical, como la creadapor la fuerza de gravedad sobre la partícula libre.

p(0)

v(0).t

p(t)

½ a t2

a

Posición en un movimiento conaceleración constante

ROTACIÓN TRASLACIÓN TRASLACIÓN YROTACIÓN


Un cuerpo extenso representa en cambio una porción de materia que ocu-pa un determinado volumen en el espacio. Pueden ser cuerpos sólidos ofluídos, como vimos antes. Comenzaremos a estudiar el movimiento de sóli-dos de densidad finita y prácticamente indeformables17, a los que llamare-mos “cuerpos rígidos”. El movimiento general de un cuerpo rígido en elespacio incluye giros o rotaciones además de traslaciones, por lo que estu-diaremos aquéllas a continuación.

RotacionesEn una rotación, los puntos de un cuerpo rígidodescriben arcos de circunferencia de longitudproporcional a sus respectivas distancias a unarecta llamada eje de giro o rotación, que es ellugar geométrico de los centros de esas circunfe-rencias.

Entre el ángulo αα, el radio ρρ y el arco s existe,como es sabido, la relación αα=s/ρρ

El eje de rotación puede pasar por el cuerpo o fuera del mismo. Para defi-nir una rotación en el espacio hace falta pues especificar el ángulo girado yla dirección del eje de giro. Ello puede hacerse convenientemente con unvector αα de módulo igual al ángulo α girado y con la dirección del eje degiro.

Así también se puede considerar que el vector radio de curvatura ρρ multi-plicado vectorialmente por el vector rotación αα genera un vector despla-zamiento s de módulo igual al arco s. Así es s =ρ ρ ∧∧αα

El vector αα es perpendicular al plano del dibujo, y de acuerdo a la conven-ción adoptada, sale del mismo hacia el lector cuando la rotación es antihora-ria .

La expresión anterior es válida en la medida de que el arco s pueda asimilar-se a una traslación, o sea que el arco pueda aproximarse a su correspon-diente cuerda. Para ello el ángulo girado debe ser pequeño, de lo que re-sulta que ∆s = ρ ρ ∧∧∆αα .

Dividiendo ambos miembros por el intervalo de tiempo ∆t en que se realiza larotación ∆s , resulta que ∆s/∆t = ρρ ∧∆αα/∆t

17

En un cuerpo indeformable, la distancia entre sus puntos permanece siempre inva-riable ante acciones externas o internas (fuerzas, presiones) y corresponde a unarigidez infinita: es una simplificación aplicable a cuerpos muy rígidos.

ρ ρ

ρ ρ

s α = α = s /ρ/ρ

Rotación con eje degiro fuera del cuerpo

eje

de

gir

o


En el primer miembro figura ∆s/∆t , que no es otra cosa que la velocidadtangencial v del punto del cuerpo rígido considerado. El cociente del segun-do miembro ∆αα/∆t , es un vector, ya que es el resultado de dividir un vectorpor un escalar. Representa la rotación producida en la unidad de tiempo,por lo que se denomina “velocidad de rotación o velocidad angular”. Se losimboliza con la letra griega omega minúscula ωω =∆αα/∆t , De tal manera esv = ρρ ∧∧ ω ω

Movimiento general del cuerpo rígido

En base al principio desuperposición, se puedeconsiderar que un cuerporígido puede pasar de unaposición inicial en el espacioa otra final cualquiera através de una traslación s yuna rotación α, α, aplicadassucesivamente en cualquierorden, y también simultá-neamente.

En la figura, una pieza de una estación orbital que se está ensamblando enel espacio, debe llevarse desde la posición 1 a la posición 2.

El director del montaje ordenó efectuar primeramente una traslación s atodo el sólido haciendo que el vértice P llegue a la posición final P’. Al cabode este movimiento, los otros vértices, como el Q’ y el R’ se llevaron a coin-cidir con sus respectivas posiciones finales Q’’ y R’’ a través de una rotaciónα α apropiada (en este caso particular es de 90º), cuyo eje pasa por el punto P’, tiene módulo α y dirección normal al plano determinado por los puntos P’R’’ Q’’

Efectuado estas dos operaciones en orden inverso, o sea primero la rota-ción αα sobre P y luego la traslación s al punto P’, se hubiera obtenido idénti-co resultado final.

Si se aplicaran las transformaciones αα y s en forma simultánea, haciendorotar el aparato sobre el vértice P, manteniendo la dirección del eje derotación mientras se traslada sobre la recta PP’, sus puntos se trasladaríansiguiendo trayectorias curvas en el espacio18 (línea azul punteada), llegandoa sus mismos destinos finales.

18

Estas curvas pertenecen a la familia de las hélices, como ya se vió.

P P’

Q Q’

R

R’’ A

A’

s

s’

s’’

αα

αα’’

1

2 Q’’ αα’

αα


Así como el director de la misióneligió el punto P perteneciente a unvértice de la pieza como origen de latraslación, su ayudante, que siemprele lleva la contra, hubiera elegido elQ, al que se debe aplicar una trasla-ción diferente s’ para llevarlo al Q’’ yuna rotación αα’ sobre ese punto parahacer coincidir a los restantes. Estarotación αα’ tiene el mismo valor quela anterior αα y es paralela a ella, yaque en ambos casos hay que girar unmismo ángulo α (90º en la figura) y

los vectores αα y αα’ son perpendiculares al mismo plano P’ R’’ Q’’ .

Al ingeniero en comunicaciones le conviene que el punto de referencia sea elA , exterior a la pieza, donde cae el extremo de una antena que él debemontar. Al punto A se le debería aplicar una traslación s’’ hasta el punto A’ yla misma rotación αα que en los dos casos anteriores. A propósito o no, elingeniero eligió un punto muy especial. Para él la traslación s’’ y la rotación ααestán representadas por vectores de direcciones coincidentes.

Siempre es posible descomponer un movimiento general de un cuerporígido en una traslación y rotación de la misma dirección (coaxial) eli-giendo el punto apropiado. En tal caso, de aplicarse ambas simultánea-mente, los demás puntos del sólido describen arcos de hélice, ya que rotan yavanzan en la misma dirección.

En resumen: Para estudiar un movimiento general del cuerpo rígido hay quetener en cuenta que:

• Existen infinitos puntos del espacio vinculados al cuerpo, pertene-cientes (interiores) o exteriores a él, cada uno de los cuáles requiere unadeterminada traslación para ubicarlo en el respectivo punto de destino.

• Para acomodar el resto de los puntos debe aplicarse en el punto destinode la traslación, diferente para cada punto, una misma rotación en to-dos los casos.

• El principio de superposición explica que el orden de estas transforma-ciones sea permutable, e incluso que se puedan realizar simultánea-mente a través de un movimiento gradual de rotación-traslación, en am-bos casos con el mismo resultado final.

• Hay un punto especial, que puede pertenecer o no al cuerpo, para elcual traslación y rotación necesarias para ubicarlo en la posición finaltienen la misma dirección o eje (coaxiales). Aplicadas simultánea-

T’

A A’

s’

s’’

αα’’

1

2 Q’’

TMovimiento helicoidal


mente producen entonces un movimiento helicoidal sobre este eje co-mún.

Movimiento variado general de un cuerpo rígidoSe lo puede estudiar como sucesión de pequeños movimientos discretos,formados a su vez por una pequeña traslación y una pequeña rotación. Con-siderando que éstas se operen simultáneamente y eligiendo el punto detraslación como para que la rotación sea coaxial, se puede representarcualquier movimiento general del cuerpo rígido como una sucesión de movi-mientos helicoidales elementales.

Movimiento relativoEl movimiento de un cuerpo debe refe-rirse muchas veces a dos sistemas dereferencia a la vez, uno local y otrogeneral, que tienen un movimientorelativo entre sí.

Por ejemplo la posición y en general elmovimiento de un pasajero dentro de unbarco puede interesarle al capitán referido aun sistema de coordenadas relativo al barco(local), y también a un observador en tierraque se maneja con un sistema fijo a la costa(general).

El caso ya estudiado en que a unapartícula en movimiento se le asignaun sistema local intrínseco, concentro en ella misma y formado porla tangente, la normal y la binormal,es un caso particular del problemacompletamente general, en el que elsistema local no tiene que ver con latrayectoria de la partícula. Refirién-donos a la figura, veamos como estárelacionada la posición de la partí-cula con respecto a dos sistemas dereferencia que se mueven entre sí yen general NO son inerciales, esdecir que el movimiento es acelera-do. El sistema principal, que supon-dremos fijo, tiene origen en O y elmóvil tiene su origen en O’ . Este último desplaza su origen con velocidad vo

y rotan sus ejes con velocidad angular instantánea ωω

P

O’

O

vo

ωωP’

O’’

arr

rel

O

P

P’ O’

O’’

P’’ αα

ωω

Varr

Vo’ V

Vrel

Vr


Teorema de adición de velocidadesLa figura representa una situación en el plano (para simplificar el estudio) enla que se ve que en un instante cualquiera la posición de la partícula PO esigual a la suma vectorial de las posiciones de la partícula en los dos sistemasde ejes de referencia cuyos orígenes son O y O’ respectivamente. Se tieneasí que O’O+PO’

Un instante más tarde el punto estará en la posición P’ , el origen del sistemamóvil en O’’, los ejes se habrán desplazado y rotado (pasando del azul alceleste)Así es ∆∆(PO)=P’P , ∆∆(O’O)=O’’O ,Ya que OP=O’O+PO’ la velocidad absoluta de la partícula, que es v =d((PO)/dt , resulta evidentemente igual a la suma de las diferencias v =d(O’O)/dt + d(PO’)/dt

Los términos de la suma representan respectivamente la velocidad vo’ dedesplazamiento del centro del sistema local o móvil y la velocidad relativa dela partícula vr con respecto a ese punto.

Así entonces es v = vo’+vr

La ecuación anterior resume el “teo-rema de adición de velocidades”(Galileo), que es una consecuenciadirecta de la aplicabilidad del principiode superposición a los movimientossimultáneos en dos sistemas.

Ejemplo: Un barco avanza a una veloci-dad constante de 3 m/s mientras un tornillodesprendido del palo mayor cae desde 15m de altura. ¿Cuál será la velocidad ab-soluta del tornillo (con respecto a unaboya fija en O) al cabo de 0,4 s?Sabemos que en su caída el tornillo des-cribe una parábola de eje horizontal(marcada en punteado rojo) que parte delorigen del sistema móvil O’ en el instante inicial . Avanza horizontalmente a razón devo’=3m/s y cae verticalmente con aceleración constante g=10 m/s2 y velocidad propor-cional al tiempo tal que vr =g.t =10.tAl cabo de 0,4 s la velocidad del tornillo relativa al barco será vr=10.0,4 = 4 m/s , condirección vertical , la que sumada vectorialmente con la horizontal vo’ da una velocidadabsoluta v = 5 m/s . Esta velocidad absoluta está dirigida según un ángulo γ con lavertical. Se verifica que tg(γ)= ¾ , de donde γ=36,87º . El tornillo tarda en llegar al pisodel velero un tiempo t tal que d= ½ a.t2 de donde t=(2d/g)1/2 =√3=1,73s . En ese tiempoel barco recorre una distancia L = 2x1,73 = 3,46m . El tripulante ve caer el tornillo entrayectoria recta hacia sus pies, mientras que el bañista quieto junto a la boya B

O

O’

3 m/s 4 m/s 5 m/s

γγ d=1

5 m

L B


observa la nave que avanza y el tornillo que cae según la parábola punteada.

Velocidad de arrastreAplicando el principio de superposición, podemos descomponer el despla-zamiento real PP’ del móvil que ocurre en un tiempo ∆∆t en dos partes: unmovimiento de arrastre arr que es el arco PP’’ que describiría si estuvieraadherido o fijo al sistema local durante el intervalo de tiempo, y el movimien-to relativo rel que es la trayectoria P’’P’ que debería seguir a continuaciónpara llegar al destino P’. Se pueden definir así velocidades de arrastre varr =PP’’/∆∆t y relativa vrel = P’’P’/∆∆t dirigidas según las tangentes a dichas tra-yectorias . Si el sistema móvil se desplaza y no rota, coinciden vo’ con varr yvr con vrel. Cuando existe rotación o roto-traslación como en el caso de lafigura, la velocidad instantánea del origen no coincide con la de arrastre ytampoco vr con vrel. Sin embargo siempre se cumple que v = vo’+vr = varr+vrel,como se ve en la figura. Se puede elegir un origen de coordenadas del sis-tema móvil O’ sobre el objeto móvil, en cuyo caso también es vo’=varr yvr=vrel

Si el sistema móvil posee un movimiento de rotación ωω y el punto considera-do está a una distancia r del origen de la rotación, resulta que la velocidadde arrastre vale varr=ωω∧∧r y la del origen vo’=ωω∧∧ro’ , o sea que la diferenciaentre velocidad de arrastre y velocidad del origen valevarr-vo’=ωω∧(r –ro’) , de donde vo’=varr+ωω(r-ro’)

En la calesita

María del Carmen decide ir desde uncaballito en A hasta un autito en B de unacalesita en marcha. Para ello gatea avelocidad relativa constante desde Ahacia B por el camino más directo, esdecir por una recta que podemos imagi-nar trazada en el piso de la calesita. Co-mo la calesita gira con velocidad angularconstante ωω, la verdadera trayectoria quesigue Carmiña no es una recta, sino queresulta de la composición de las trayecto-

rias de arrastre y relativa. La primera es un arco de circunferencia y la se-gunda es una recta radial. La posición inicial es A y la final es B’. En estecaso no se puede aplicar el principio de superposición de movimientos por-que el efecto de la rotación depende de la distancia al centro O del movi-miento. Según el orden de las transformaciones se deberán aplicar distintosvalores a las mismas. Si se considera primero la traslación recta relativa AB,debemos a continuación aplicar un arrastre según el arco BB’; en cambio siprimero aplicamos el arrastre, este será según un arco menor AA’ y luego le

A

B

A’

B’

Oωω


ρρα=ω.α=ω.t

vr

v

va

dr

dαα

dvr

dva

dαα

dρρ

seguirá una traslación relativa A’B’ de la mima longitud que la AB. La tra-yectoria real de nuestra niña (arco negro AB’) se puede encontrar descom-poniendo el movimiento en elementos suficientemente chicos como para quelos pequeños desplazamientos radiales y pequeños arrastres configuren una“escalerita” que llegue lo más cerca posible del punto final B’

Aceleración en el movimiento relativoTeniendo en cuenta que v = vo+vr, y considerando que la aceleración se define por lavariación de la velocidad en el tiempo, se puede poner :a = dv/dt = dvo/dt + dvr/dt = ao + ar

El primer término es la aceleración del origen del sistema de referencia móvil, al quellamaremos siguiendo una nomenclatura coherente con lo anterior “aceleración dearrastre”. El segundo término es la aceleración del punto con respecto al sistemamóvil, que llamaremos “aceleración relativa”

Si consideramos que el movimiento del sistema móvil es uniforme, será ao=0 y enton-ces resulta que a=ar, lo que debe interpretarse como que la aceleración de un mólvilno cambia referida a un sistema fijo o a otro que se mueve uniformemente con res-pecto a él (sistema inercial). Se dice que la aceleración de un movimiento es un inva-riante en sistemas inerciales.

En cambio si el sistema no es inercial, o sea que se mueve con cierta aceleración, lasfórmulas dicen que la aceleración total es la suma de la de arrastre más la relativa.

Por ejemplo, mientras un ascensor sube o baja a velocidad constante (pongamos 1m/s), los pasajeros experimentan la misma aceleración que cuando está quieto (laaceleración de la gravedad, que vale aproximadamente 10 m/s2). En cambio, mientrasel ascensor se pone en marcha hacia arriba y alcanza la velocidad final, proceso quetarda medio segundo, existe una aceleración relativa hacia abajo de 1 m/s / 0,5 s = 2m/s2, que se suma a la aceleración de la gravedad. En consecuencia, durante elarranque los pasajeros experimentanuna aceleración de 12 m/s2, o sea quese sienten 20% más gordos.

Aceleración de Coriolis

En el caso particular de que el sistemamóvil no sólo se desplace sino quetambién rote a la velocidad angular ωω,aparece un efecto que fué descripto en1835 por el Ing. G. Coriolis19.

Para entender esta cuestión debemossubirnos a la calesita con María delCarmen, y mirar la figura adjunta.

19

Gustavo Gaspar Coriolis, ingeniero y matemático francés, quién detectó los térmi-nos complementarios de la aceleración en un sistema en rotación.


La posición de la niña en un momento t viene dada por un vector ρρ de longitud variablecon el tiempo r(t) y argumento αα=ωω.t , es decir que gira con velocidad angular cons-tante ωω = dαα/dt

La velocidad absoluta es la variación del vector ρρ con el tiempo, que puede conside-rarse que se realiza en dos etapas: un aumento radial dr y un aumento perpendiculardebido al incremento angular dα que vale r.dα .Así entonces es v = dρ ρ / dt = dr/dt + r.dαα/dt = vr + r ∧ ωω

La fórmula anterior da cuenta que la velocidad absoluta v tiene una componenteradial vectorial cuyo módulo coincide con la velocidad relativa vr y una componenteperpendicular a la anterior cuyo módulo coincide con la velocidad de arrastre va=ωω.r (de acuerdo a la definición de producto vectorial va = ωω ∧r es perpendicular a r)

Para estudiar la aceleración a de María del Carmen mientras gatea sobre la platafor-ma giratoria, debemos considerar la variación de su velocidad vectorial v, que nosólo se realiza en módulo sino también en dirección (medida por el argumento o elángulo α=ω.α=ω.t) . Nótese que v es un vector tangente a la trayectoria de Carmiña, unespiral para un observador fijo que mirara desde arriba a la calesita.

Así resultaa = dv/dt = dvr/dt + d(r ∧ ωω)/dt

La variación en módulo (o longitud)de la componente radial vr en eltiempo nos da la aceleración relativa,que en nuestro caso particular es nulaya que Carmiña se desliza siempre almismo ritmo. En cambio existe siem-pre una variación en la dirección de vr

producida por la rotación del sistemade valor dvr tal que es dvr/vr = dα α =ωω.dt , de donde dvr/dt = ω ω ∧vr Estacomponente de la aceleración se lallama aceleración complementariarelativa.

La componente de la velocidad de arrastre varía en dirección y también en módulo,ya que este último aumenta con el radio.La variación de la dirección de la componente de arrastre es también dαα=dva/va=ωω.dt.de donde dva/dt= va ∧ ω .ω . Esta componente de la aceleración es la responsable de queMaría del Carmen sienta una fuerza centrífuga (que tiende a llevarla hacia afuera): esla aceleración centrípeta o de arrastre.

La velocidad de arrastre vale va=ω ω ∧∧r y su variación en módulo debido al aumento deradio dr es dva=ω ω ∧∧dr . Dividiendo ambos miembros por el intervalo infinitesimal detiempo dt nos queda dva/dt=ω ω ∧dr/dt , pero como dr/dt=vr resulta por fin quedva/dt=ω ω ∧ vr , que es otro término complementario llamado de aceleración comple-mentaria de arrastre .

Va

acVr

ωω

dVr

dVa

dαα

dαα

dVa dr

dαα


En resumen: además de los términos de aceleración de arrastre y relativa, el movi-miento de rotación de un sistema obliga a considerar dos términos complementarioscada uno de ellos igual a ω ω ∧∧vr

Así pués a = ar + aa + 2 ω ω ∧ vr

La suma 2ω ω ∧vr de los dos términos iguales es la aceleración complementaria oaceleración de Coriolis, que tiene dirección perpendicular a la velocidad relativa ypor lo tanto coincide con la de la velocidad de arrastre. El efecto de la aceleración deCoriolis es una fuerza que experimenta María al moverse hacia su meta, que la em-puja hacia la cola del autito, y que ella deberá equilibrar afirmándose al piso parapoder alcanzar la puerta.

Solución de un problema numérico:Pongamos por ejemplo:ω = 10 vueltas/minuto = 2.π.10/60 = 1 rad/svr = 0,5 m/s constante, dirigida radialmente hacia afuerar = 3mVelocidad de arrastre va = ω.r = 3 m/sAceleración centrípeta aa = ω.va =1.3 = 3 m/s2 (poco menos de la tercera parte de lagravedad, dirigida hacia el centro O)Aceleración relativa ar = 0 m/s2 (la niña gatea a ritmo constante)Aceleración de Coriolis ac = 2.ω.vr = 1 m/s2 (un décimo de la aceleración de la grave-dad, dirigida en el sentido de la velocidad de arrastre)

Efectos de las fuerzas de Coriolis – Deri-va de proyectiles – Vientos y corrientesmarinas.

Consideremos un satélite circunpolar debaja altura que rodea a la tierra en órbitaperfectamente circular. El movimiento sedesarrolla en un plano invariable, que en unmomento dado coincide con el del meridia-no del lugar. Sin embargo, debido a la rota-ción de la tierra, el plano del meridianogirará con ésta y para un observador te-rrestre parecerá que el satélite se desvíahacia el oeste con una aceleración que

precisamente será opuesta a la de Coriolis ac, que es la que debería poseerel móvil para que siguiera sobre un meridiano en rotación. Lo mismo ocurrirácon un proyectil que se pretenda enviar hacia el sur por un meridiano: unobservador en tierra verá una trayectoria curvada hacia el oeste. Cuandollegue sobre el ecuador, vr y ωω serán paralelas y su producto vectorial seránulo, lo que corresponderá a una aceleración de Coriolis igualmente nula: enese momento el móvil tendrá para el observador una trayectoria sin curvatu-ra en la dirección de la velocidad de arrastre.

La dinámica de vientos y corrientes marinas están dominadas por fuerzas de Coriolis,

ωω

va

vrar

ac

ecuador

paralelo

meridianoPOLO NORTE

aA


que se generan debido a la influencia de la rotación de la tierra sobre los desplaza-mientos de masas fluídas. Por ejemplo, el ecuador cálido genera centros de bajapresión hacia donde va el aire más frío desde los polos. Estas corrientes tienen com-ponentes de aceleración de Coriolis con un mecanismo idéntico al explicado para unmóvil que se desplaza en un sistema en rotación. Se producen así dos grandes movi-mientos rotatorios, en sentido horario en el hemisferio norte y antihorario en el sur.

Aplicación de números complejos al cálculo del movimiento planoLa posición de un punto en el plano está definidapor un par de valores que pueden asimilarse a lasdos componentes de un vector. Un número com-plejo es formalmente lo mismo que un vector en elplano, ya que posee dos componentes que definenla posición de un punto en el plano complejo. Seexpresa un complejo r en forma cartesiana r = x+iy(con i=÷-1) y también en forma polar (módulo r yargumento φ) con la fórmula exponencial de DeMoivre según la cual se define eiφ = cosφ+i.senφ,con lo cual queda r = r.eiφ = r.cosφ + i.r.senφ ,resultando así que la parte real vale x=r.cosφ y la

parte imaginaria y=r.senφ

La derivación de funciones complejas tiene el mismo significado y se realiza con lasmismas reglas que la derivación de funciones reales, así para r=r.e.iφ resulta que:dr/dt = dr/dt.eiφ+i.φ.r.eiφ = dr/dt eiφ + i.φ.rYa que eiπ/2 = i.sen(π/2) = i, se puede considerar que i es un operador que rota 90º eltérmino al que es aplicado, así i.φ.r. está representado por un vector de módulo (φ.r)rotado 90º en sentido horario con respecto a φ (argumento de r)

De tal manera, representando la posición de un móvil en el espacio con el complejor = r.eiωt , que es un vector giratorio de velocidad angular ω, resulta la expresión com-pleja de la velocidad: v = dr/dt = dr/dt eiωt + i. ω.rDerivando nuevamente a la anterior se obtiene la aceleracióna = dv/dt: = d2r/dt2 = d2r/dt2 eiωt + i.ωt dr/dt eiωt + i.ω.dr/dt =a = d2r/dt2 eiωt + i.ωt dr/dt eiωt + i.ω. dr/dt eiωt - ω2.r

En esta expresión compleja de la aceleración se reconoce:• en el primer término a la aceleración relativa ar = d2r/dt2 eiωt, como un vector

giratorio de la misma dirección que r• en el segundo y tercer término a las aceleraciones complementarias, que suman

ac = 2 i.ω. dr/dt eiωt , representado la aceleración de Coriolis, un vector giratoriorotado 90º con respecto a r

• en el cuarto término se reconoce a la aceleración centrípeta o de arrastre, quevale aa=-ω2.r, con signo negativo ya que está dirigida en sentido contrario a r

Como se ve el cálculo complejo permite resolver problemas en los que intervienenvectores en forma natural y elegante.

φφ y=r

.sen

φφ

x=r.cosφφ

r = r.eiφφ

i.φφ.r π/2π/2

FÍSICA - MECÁNICA - CINEMÁTICA a

FÍSICA GENERALÍNDICE TEMÁTICO DE LA PRIMERA PARTE

MECÁNICA – CINEMÁTICATRATADO DE FÍSICA GENERAL ...............................................................1

REALIDAD - MATERIA Y FORMA ...........................................................1MACROMUNDO Y MICROMUNDO.........................................................4

MECÁNICA ................................................................................................6Cuerpos...............................................................................................6Fuerzas ...............................................................................................6

Principio de superposición de acciones (Galileo - 1600).....................7Principio de acción y reacción (Newton - 1665)..................................9Principio de inercia (Galileo - 1610).................................................10

Conceptos de Cinemática y Dinámica de Partículas ...............................10Algo sobre vectores ...........................................................................10

Ejemplo ......................................................................................12Posición, Trayectoria, Velocidad ............................................................13

Acción, Cantidad de movimiento, Fuerza e Impulso ............................16Aceleración ...........................................................................................17

Estudio general del movimiento de una partícula.................................18El valor intrínseco de la representación vectorial..............................19En la montaña rusa.........................................................................19Triedro intrínseco o triedro de Frenet...............................................20Curvatura .......................................................................................21Ejemplo de curvas en el espacio. Hélices y Cicloides.......................22

Hélice .........................................................................................22Cicloides .....................................................................................23Curvaturas de la hélice................................................................24

Componentes tangencial y normal de la aceleración........................25Ecuaciones del movimiento de una partícula ...................................27

Movimiento de un cuerpo rígido .............................................................28Rotaciones.........................................................................................29

Movimiento general del cuerpo rígido...........................................30Movimiento variado general de un cuerpo rígido...........................32

Movimiento relativo................................................................................32Teorema de adición de velocidades....................................................33

Velocidad de arrastre ..................................................................34En la calesita..................................................................................34

Aceleración en el movimiento relativo .................................................35Aceleración de Coriolis ...................................................................35

Solución de un problema numérico: .............................................37Efectos de las fuerzas de Coriolis – Deriva de proyectiles –Vientos y corrientes marinas. ..........................................................37

Aplicación de números complejosal cálculo del movimiento plano ...................................................38

FÍSICA - MECÁNICA - CINEMÁTICA b

ÍNDICE ALFABÉTICO DE LA PRIMERA PARTE MECÁNICA - CINEMÁTICAacción, 16aceleración, 17aceleración centrípeta, 36aceleración compleja, 38aceleración complementaria, 36aceleración de arrastre, 35, 36aceleración de Coriolis, 37aceleración relativa, 35aceleraciones normal y tangencial, 25adición de velocidades, 33agregación, 3ángulo de avance (hélice), 23argumento (de un vector), 11arreglos, 1átomos, 1atracción (fuerza de), 7binormal, 20bola de billar, 4cálculo infinitesimal, 14cálculo vectorial, 7calesita, 34, 35cambios de estado, 3cantidad de movimiento, 10, 16carga distribuída, 4carga eléctrica, 1centro de masa, 10Choele Choel, 17choque, 7cicloides, 23cilindro director, 23cinemática, 6cinemática y dinámica de Partículas,

10circunferencia osculatriz, 21colectivo en servicio, 15componente radial (velocidad), 36componentes escalares (de un

vector), 11concentrada (masa o carga), 6coordenadas, 13Coriolis (aceleración), 35cuerda, 29cuerpo rígido, 29cuerpo rígido (movimiento general),

30, 32cuerpos, 6cuerpos extensos, 6, 10curva plana, 22

curvatura, 21curvatura de flexión, 21curvatura de torsión, 22curvaturas de la hélice, 24densidad, 6desplazamiento de cuerpos, 10diferencias finitas, 8dinámica, 6dirección, 21dirección (fuerza), 7distribuidas (masa o carga), 6efecto viscoso, 3eje de giro o rotación, 29ejes ortogonales, 13elásticos (cuerpos), 6electrones, 1energía, 2escalar por vector, 12esfuerzo muscular, 7estado, 3estado amorfo, 3estado cristalino, 3estado de reposo, 10estado pastoso, 3estática, 6estudio general del movimiento, 18evaporación, 3extensión, 2filete, 23fluido, 3fluidos, 6fluxión (derivada), 27forma, 1, 2fotografía, 1fotones, 2fuerza, 16fuerza centrífuga, 26fuerza de cohesión, 3fuerza de gravitación, 2fuerza de inercia, 2fuerzas, 7fuerzas de a pares, 9fuerzas de Coriolis, 37fusión, 3gases, 3geometría del espacio, 13geometría diferencial, 21geometría plana, 13

FÍSICA - MECÁNICA - CINEMÁTICA c

gravitones, 5hélice, 22hélice cilíndrica, 23histéresis, 9impulso, 16inercia, 10, 14información, 2intensidad, 7interacción entre cuerpos, 10intercambio de partículas, 5invariante (aceleración), 35límite de elasticidad, 9límite de proporcionalidad, 9linealidad y no linealidad, 8líquidos, 3macromundo y micromundo, 4masa, 1masa electromagnética, 2masa/energía, 2materia, 1mecánica, 6mesones, 1, 5módulo (de un vector), 11moléculas, 1montaña rusa, 19movimiento central, 26movimiento circular uniforme, 26movimiento de partículas, 10movimiento de un cuerpo rígido, 28movimiento de una partícula, 27movimiento planetario, 26movimiento relativo, 32movimiento relativo (aceleración), 35movimiento uniforme, 10neutrinos, 1neutrones, 1normal a la trayectoria, 20parábola, 28partícula material, 6, 18partículas, 1, 6paso al límite, 15paso de la hélice, 23patrón de comparación, 3plano osculador, 20, 21plasma, 3, 4plásticos (cuerpos), 6posición, 4posición, trayectoria, velocidad, 13potencial de forma, 3presión, 7presión de un gas, 3

principio de acción y reacción, 9principio de indeterminación, 4principio de inercia, 10principio de superposición, 7, 27procesos no lineales, 8producto escalar, 12producto vectorial, 12proporcionalidad, 8protones, 1proyectil (deriva), 37punto de aplicación, 7puntos materiales, 10realidad, 1representación vectorial (valor

intrínseco), 19rígidos (cuerpos), 6Río Colorado, 17rotación, 29roto-traslación, 34satélite circunpolar, 37sentido (fuerza), 7simultaneidad, 13sinusoide, 24sistema de referencia, 13sistema inercial, 35sistemas de referencia local y

general, 32sistemas inerciales, 13sistemas no inerciales, 32sólido, 3sólidos (cuerpos), 6suma vectorial, 11tangente, 21tangente (al camino), 20teorema del coseno, 12tiempo (concepto intuitivo), 13tornillo, 23traslación, 29triedro de Frenet, 21triedro intrínseco o de Frenet, 20unidades, 3valor del límite del cociente, 15variación de la cantidad de

movimiento, 16vector aceleración, 20vector desplazamiento, 29vector rotación, 29vector velocidad, 20vectores, 10velocidad, 4velocidad angular, 30

FÍSICA - MECÁNICA - CINEMÁTICA d

velocidad areolar, 26velocidad compleja, 38velocidad constante, 17velocidad de arrastre, 34, 36velocidad de rotación, 30velocidad instantánea, 14, 15

velocidad relativa, 36velocidad tangencial, 30velocidad variable, 17versor, 11vientos y corrientes marinas, 37vista, 1

FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 39

DINÁMICA (movimiento bajo la acción de fuerzas)

Fuerza

Vimos que para explicar los cambios en el estado de reposo o movimientouniforme de la materia se utiliza en física el concepto de fuerza, del que nosda una medida intuitiva el esfuerzo muscular que hacemos para moveralgo, o la sensación de presión cuando sostenemos algo pesado. Tambiénse dijo que las fuerzas siempre actúan de a pares, es decir que ante unaacción (fuerza x tiempo) existe siempre la correspondiente reacción equili-brante.

Masa

Recordemos que masa es una propiedad de la materia representada poruna cantidad escalar m cuya unidad es el Kg. Esta unidad corresponde muyaproximadamente a la masa de un litro de agua en condiciones normales detemperatura y presión . Cuando un cuerpo de masa unitaria invariable en eltiempo (1 Kg) sufre una aceleración unitaria (1 m/s2) es porque actúa en elsentido de ésta una fuerza unitaria igual al producto entre ambas, o sea 1Kg.m/s2 = 1 N (se lee “un Newton”)

Cantidad de movimiento

Se llama cantidad de movimiento de un cuerpo material de masa m que semueve a la velocidad v al vector resultante del producto m·v. Si la masa delcuerpo no varía en el tiempo, como ocurre en la mayoría de los casos, lavariación de la cantidad de movimiento ∆(mv) en un lapso ∆∆t es igual a m·∆vy coincide siempre con la acción de una fuerza f durante el mismo lapso ∆∆ttal que m ∆v=f.∆t .

Interacción de la materia

Ley de conservación de la can-tidad de movimientoCuando un conjunto de varios cuerposinteraccionan a través de acciones directas(choque) o fuerzas a distancia, la experien-cia demuestra que a lo largo del tiempo seconserva siempre la cantidad de movi-miento total, expresada como la suma

m2

m1

m1.v1i v1i

v2i

m2.v2i m2.v2f

m1.v1f

P

Q

-x1

x2 m2

m1 O

INTERACCIÓNPOR CHOQUE


vectorial de la cantidad de movimiento individual de cada uno de los cuerposdel sistema. Este principio de conservación de la cantidad de movimiento esabsolutamente general y no conoce excepciones.

Interacción entre cuerposLa experiencia demuestra que cuando dos o más cuerpos chocan entre sí, lacantidad de movimiento total del sistema antes y después del choque seconserva, de acuerdo a lo dicho recién. De tal manera, si dos cuerpos demasa m1 y m2 que tienen velocidades iniciales v1i y v2i y al cabo de un lapsodurante el cual interactúan1 quedan con velocidades finales v1f y v2f, pode-mos plantear la igualdad vectorial siguiente:m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f de donde m1.(v1i-v1f) = m2.(v2i-v2f)En el dibujo se representan las posiciones sucesivas y el diagrama vectorialcon la ecuación de cantidades de movimiento.

Centro de gravedad de un sistema de masasSe ve en la figura que es nula la proyección de la resultante de los vectorescantidad de movimiento sobre una perpendicular PQ a su dirección, lo queresponde a la ecuación m1.(-x1)/t = m2.x2/t , tomando las distancias x con susigno de acuerdo al sentido del vector trazado desde el origen O

De la anterior se deduce que para cualquier instante t es m1.x1+m2.x2=0 ,igualdad que es útil interpretar reconociendo que en un sistema de masasexiste en todo momento un punto O que se llama centro de masas, centrode gravedad o baricentro del sistema de masas, para el cual es nulo lasuma del producto de las masas por las respectivas distancias a dicho punto.Esa suma de productos se llama “momento de primer orden” de la distribu-ción de masas con respecto al punto de referencia. En el caso de que esepunto sea el centro de gravedad, el momento de primer orden es nulo.

El movimiento del centro de masas de un sistema sobre el que no actúenacciones exteriores no se altera a lo largo del tiempo, cualquiera sea el tipode interacción entre las masas del sistema. Se ve en la figura que O se des-plaza con velocidad uniforme V correspondiente a un cuerpo de masaM=m1+m2 con cantidad de movimiento MV = m1.v1 + m2.v2 tal queV= (m1.v1 + m2.v2) / (m1+m2)

1 La interacción puede ser choque o fuerzas a distancia, como la gravitación o la

acción electrostática. Las teorías modernas tienden a reducir estas últimas a efectosestadísticos de infinidad de choques de partículas elementales, que se intercambiaríanentre sí los cuerpos que se atraen o repelen a la distancia.


Acciones de las fuerzas

Fuerzas exteriores e interiores a un sistema de masasPodemos dividir a las fuerzas que actúan sobre un sistema de cuerpos enfuerzas exteriores e interiores. Las fuerzas exteriores son las responsa-bles de la aceleración del centro de gravedad del sistema o conjunto demasas, y tienen su origen en interacciones con otros cuerpos no pertene-cientes al sistema. Las interiores se generan por interacciones entre loselementos del sistema y tienen resultante nula, debido al principio de ac-ción y reacción.

Jugando al billar – Primera parte

Entremos al salón “Bar-Billares” del barrio, donde encontramos una mesa debillar con 2 bolas iguales de masa mb =1 Kg colocadas a 0,5 m de distancia,quietas sobre el tapete. Consecuentemente su centro de gravedad, en elpunto medio de la recta que une los centros de ambas bolas, a 0,25 m decada una, también está inmóvil.

Tomemos el taco (sistema exterior)y aplicamos un tacazo sobre la bolaNº1 de masa mb=1Kg , que adquie-re una velocidad de traslación vb =0,25 m/s dirigida hacia la bola Nº2

Esa primera bola (roja) avanza conaceleración negativa a (en sentidocontrario a la velocidad), ya que elpaño ejerce sobre ella una fuerzade rozamiento constante en contradel movimiento fr = 0,05N. Al cabode recorrer 0,25 m choca contra lasegunda bola (azul).

¿A qué velocidad v hace impacto?

Si fr=0,05 N es a = fr/mb = 0,05/1= 0,05 m/s2

y entonces vbfinal=vbinicial-a.t , recorriendo una distancia d= ½ a.t2 de dondet=(2d/a)½ con lo cualv=vbi-(2d.a)½ = 0,25-(2x0,25x0,05)½ = 0,092 m/s

Supongamos ahora que esa primera bola a velocidad de 0,092 m/s impactasobre la segunda bola. Como consecuencia del choque la segunda bolatomará una velocidad v2 y la primera pasará a v1.

vbi

v1

v

v2

Trayectoria del centro de gravedad del sistema

a

v2

v1 v

o

o

vo

vo=velocidad delcentro de gravedad


La reacción en el choque siempre se lleva a cabo en la dirección entre cen-tros de esferas, donde está el centro O de gravedad del sistema.

Si dicha dirección coincide con la de la velocidad inicial v de la bola, lasreacciónes m1.v1 y m2.v2 están también sobre ese eje. Este fenómeno uni-dimensional se llama “choque recto”

Si la dirección del eje que une centros de esferas no coincide con la veloci-dad, el fenómeno es un “choque oblicuo”, como el que se ha representadoen los dibujos adjuntos. En él las velocidades v1 y v2 tienen diferentes direc-ciones

La cantidad de movimiento del sistema antes del choque es mb.v , y es iguala la cantidad de movimiento del sistema después del choque mb.v1+mb.v2 .Cuando las dos bolas tienen la misma masa, resulta v =v1+v2

Hay infinitas maneras de equilibrar el vector velocidad v con v1 y v2. En eldibujo se ha elegido tentativamente un par de valores que satisfacen lasleyes de la conservación del impulso, que no son necesariamente los que sedan experimentalmente. Para determinar las velocidades reales hace faltaconocer lo que se explicará a continuación sobre trabajo y energía.

Efectos de las fuerzasLa acción de una fuerza sobre un cuerpo material se traduce en varios efec-tos, que pueden coexistir:a) Variación de la cantidad de movimientob) Presión acompañada generalmente de contracciónc) Tensión acompañada generalmente de dilatación

Si el cuerpo no se mueve, o se mueve con aceleración menor que la queresulta del cociente fuerza/masa, es porque la acción está equilibrada total oparcialmente por una interacción con otro cuerpo o sistema. Si ese segundocuerpo tiene una masa comparativamente mucho mayor que el estudiado, yla interacción se hace a través de un medio rígido (un tercer cuerpo o agenteindeformable), no habrá movimiento del conjunto y se dice que el sistemaestá en equilibrio estático. Si el medio por el que se efectúa la interacción noes rígido, por ejemplo fluido, permitirá que la acción de la fuerza se mani-fieste en una variación de la cantidad de movimiento

Por ejemplo, si aplicamos una fuerza F = 1 N a un carrito de masa m = 2 Kg apoyadosobre el suelo, éste se moverá con una aceleración a’ menor que la que correspondea una masa libre a = F/m = 0,5 m/s2 , por ejemplo a’ = 0,45 m/s2 . La diferencia deaceleraciones se debe a una fuerza que vale f = m. (a-a’) = 2x0,05 = 0,1 N


Estudiaremos luego que en los vehículos que ruedan , f tiene tres orígenes:• el rozamiento en ruedas y cojinetes, del que hablaremos más adelante.• la inercia a la aceleración angular de las ruedas• la resistencia del aire.

Trabajo de una fuerzaCuando una fuerza se aplica a lo largo de una trayectoria se ejecuta un

trabajo2

El trabajo de una fuerza que sedesplaza por una trayectoria semide por el producto escalar entreel vector representativo de la fuer-za y el vector representativo de ladistancia recorrida. Si el camino esrecto de longitud AB y la fuerza f esconstante en intensidad y direc-ción, el trabajo entre los puntos A yB está representado por el pro-

ducto escalar T = f·AB = f.AB.cos(αα), siendo αα el ángulo formado por ladirección de f y la de AB

Si la trayectoria tiene forma cualquiera, para una fuerza constante o variablea lo largo de ella, el trabajo total entre sus extremos se calcula dividiendo elcamino en pequeños trozos i numerados de 1 hasta n , de longitud elemen-tal dsi suficientemente pequeños como para que se puedan considerar rec-tos y con una fuerza respectiva fi aplicada a lo largo de cada uno de ellos ,de manera que el trabajo total sea la suma de n trabajos elementales. Enese caso es T = ΣΣ (fi·dsi) para i=1,2...n

Energía de un sistemaEl trabajo se mide en unidades de energía, función que representa la capa-cidad de ejecutar trabajo de un sistema. La unidad de energía está repre-sentada por el trabajo de una fuerza unitaria a lo largo de un camino recto desu misma dirección y de longitud también unitaria. En el sistema MKS launidad es el Joule, en honor al físico inglés J.P.Joule (1818-1889). Así unafuerza unitaria de 1N a lo largo de una distancia de 1m ejecuta un trabajo de1Nm=1J (se lee un Newton por un metro es igual a un Joule)

2 El concepto de trabajo recién enunciado, difiere del que se le da en lenguaje co-

rriente, en el que está ligado a esfuerzo y dificultad antes que a un desplazamiento deuna fuerza. Sostener un peso “da trabajo”. Sin embargo desde el punto de vista físico,no hay trabajo si no subimos o bajamos ese peso.

f1f2

f3

fi

fn

dsi

A

B

Trabajo de una fuerza variable fa lo largo de una trayectoria AB

T = Σ Σ fi · dsi


Tipos de energíaDe lo visto se entiende que trabajo y energía son conceptos asociados asistemas materiales. No se puede pensar en energía y trabajo ejecutado sinun soporte material desde dónde salga y otro soporte de destino hacia dondevaya. El soporte material aludido comprende materia y espacio que la rodea.

Las propiedades del espacio, por ejemplo la de transmitir fuerzas a distancia,son producto de la materia próxima, como se verá al tratar la gravitación.

Un sistema material puede poseer capacidad de ejecutar trabajo de variasformas, pero éste se manifestará siempre a través de una fuerza que semueve a lo largo de un camino. El trabajo ejecutado por un sistema siemprese efectúa sobre otro u otros sistemas. El primero perderá energía y lossegundos la recibirán, y desde ese punto de vista el trabajo puede conside-rarse como flujo de energía o energía en tránsito. El trabajo no es la únicaforma de energía en tránsito. Existe otra: el calor, que puede considerarsemacroscópicamente como un fluído, o microscópicamente como una funciónestadística asociada a la energía de movimiento de las moléculas o partícu-las que componen la materia.

Energía cinética - Teorema de la fuerza viva

Vimos que una de las manifestaciones de una fuerza es la variación en elmovimiento de la materia en la que se aplica. La fuerza aplicada desde otrosistema sobre una partícula material de masa m es igual a la variación de lacantidad de movimiento:

f = d(mv)/dt , y si la masa m no varía con el tiempo será f = m.dv/dt = m.aTambién es m.dv=f.dt (acción o impulso)

Si la acción se desarrolla a lo largo de un camino de longitud dx , el trabajoejecutado por la fuerza sobre la masa m será f.dx=m.dv/dt.dx .Pero como v=dx/dt , la anterior queda en la forma f.dx=m.v.dv

Eso nos dice que el en un pequeño recorrido dx la fuerza f sobre un sistemade masa m efectuará un trabajo f.dx que será igual al aumento de energíadel sistema m.v.dv , siendo dv el aumento de velocidad en un pequeño in-tervalo de tiempo dt.

En un mayor intervalo de tiempo ∆t = t2-t1 la fuer-za f recorrerá un camino ∆x = x2-x1 a una veloci-dad promedio igual a vm = (v2+v1)/2 para ∆v = v2-v1 , y el trabajo de la fuerza f (que supondremosconstante a lo largo del camino ∆x) será:T = f.(x2-x1)= m.vm.∆v = ½ m (v2

2-v12) =

= [½ m.v22 – ½ m v1

2]

∆x

v1

v2

m

m


Es decir que el trabajo de la fuerza exterior aplicada a la partícula de masam es una diferencia de términos iguales a la mitad del producto de la masapor la velocidad al cuadrado Ec = ½ m v2 . Esa cantidad Ec debe conside-rarse como la energía asociada a la velocidad v. Se llama a Ec energíacinética o fuerza viva de una partícula de masa m en movimiento3.

Lo anterior nos dice el trabajo de una fuerza exterior sobre una partículamaterial es igual a la variación de su fuerza viva . Este enunciado se conocecomo “Teorema de la fuerza viva”

Cuando se habla de fuerzas exteriores, se entiende que son exteriores alsistema de referencia, y que provienen de otro u otros sistemas, que puedeser el resto del universo o una porción limitada de éste.

Energía potencial

Definida como la capacidad de un sistema de desarrollar trabajo, la energíapuede estar almacenada en la forma o configuración del sistema. Un resortecomprimido y un sistema de dos masas alejadas son dos ejemplos de siste-mas que poseen energía de forma que puede ser transformada en fuerzaviva u otro tipo de energía, y que pueden ejercer trabajo sobre otro sistema.

El resorte puede dar fuerza viva al percutor de un arma. Una pesa elevada auna altura conveniente mueve en su descenso a un molinete sumergido,elevando la temperatura de una masa de agua (experiencia de Joule en1843 para encontrar el equivalente mecánico del calor).

Sistemas de fuerzas conservativasPodemos imaginar que la energía de configuración de los sistemas descrip-tos proviene del almacenamiento del trabajo de una fuerza exterior que llevóel sistema desde una cierta configuración inicial a la configuración final. Lafuerza o fuerzas exteriores pudieron haber hecho el trabajo de compresióndel resorte o la subida del peso por varios caminos y en diversos tiempos.Sin embargo, la energía almacenada sólo depende del trabajo de una fuerzaa la que es posible asignar un valor a cada posición posible del sistema, porejemplo a la altura del peso, o a la longitud del resorte.

En tales casos el sistema tiene asociado un conjunto de fuerzas dependientede la posición o configuración, y la energía de configuración sólo es funciónde la posición inicial y final.

Se designa a tal conjunto de fuerzas y su distribución en el espacio como“campo de fuerzas conservativo”, justificándose el adjetivo “conservativo” por

3 Nótese que el cuadrado del vector v es un escalar v2


las razones que explicaremos luego.

Un campo de fuerzas conservativo admite un modelo de relieve topográficoque se desarrollará con todo detalle al estudiar la gravedad y el campo gra-vitatorio, y que ahora sólo esbozaremos. En este modelo las líneas de fuerza(envolventes de las direcciones de las fuerzas en el espacio) equivalen enun mapa de relieve a las líneas de máxima pendiente que nacen en las cum-bres bajando perpendicularmente a las líneas de nivel o altura sobre el niveldel mar. El equivalente energético de esa altura es el potencial, cuyo gra-diente o máxima pendiente en cada lugar es precisamente el valor del cam-po en ese punto, que representa a la fuerza de deformación en el caso delresorte o la de la gravedad en el caso del peso que se eleva.

La diferencia de potencial entre dos puntos es el trabajo mínimo necesariopara deformar o configurar el sistema yendo desde la primera posición a lasegunda en una evolución en equilibrio.

El valor de ese potencial (escalar) está en relación directa con la densidadde líneas de campo. Líneas divergentes corresponden a un campo que se vadebilitando, y un campo de líneas convergentes indica que la fuerza crecehasta tener un valor infinito en el punto de convergencia. En ambos casos elpotencial correspondiente recuerda a un monte con el pico en el punto deconvergencia. Un campo de fuerzas de líneas paralelas corresponde a unafuerza constante en todo el espacio. El campo paralelo admite un potencialen forma de rampa rectilínea (caso de la fuerza de gravedad en un modeloque desprecia la curvatura de la tierra).

Las líneas de fuerza brotan en las fuentes de campo y se sumen en los su-mideros de campo. En el campo eléctrico las fuentes y sumideros son lascargas positivas y negativas respectivamente. El campo gravitatorio tienesus sumideros de campo en las masa materiales , metidas en un mar infinitoque no requiere fuentes. Fuera de las fuentes o sumideros, o sea en el es-pacio vacío, se conserva el número de líneas de campo4. De allí que a estoscampos se los designe como conservativos y a las fuerzas correspondientes“fuerzas conservativas”.

Sistemas de fuerzas NO conservativasVimos que las fuerzas conservativas son desde el punto de vista matemáticoel gradiente vectorial de una función que asigna a cada punto del sistema unpotencial escalar. Hay sistemas que no tienen una respuesta tal que lasfuerzas puedan derivarse de un potencial con valor fijo para cada punto delespacio. 4 En una superficie cerrada que no contenga fuentes ni sumideros en su interior entran

y salen el mismo número de líneas de campo. Matemáticamente hablando, es nulo elflujo de campo en una superficie cerrada (Véase luego “Ley de Gauss”)


Si en vez de un resorte elástico que recupera su forma al soltarlo, comprimimos unabola se goma cruda (masa semiplástica), la deformación no estará acompañada de unesfuerzo proporcional a la misma y según el sentido y la velocidad de la deformaciónimpuesta, variará la fuerza en cada punto de la trayectoria de deformación. Por lotanto tampoco se recuperará todo el trabajo de deformación. Se dice que estos mate-riales poseen memoria de forma, ya que conservan más o menos en su forma actualla deformación impuesta en el pasado.

Otros ejemplos típicos de fuerzas no conservativas son las resistencias aldeslizamiento y la rodadura entre sólidos, la resistencia viscosa que presen-tan los fluídos al movimiento de sólidos en su seno y las fricciones internas anivel molecular en el interior de los sólidos.

El rozamiento o fricción es un fenómeno que se explica a nivel microscópi-co por la interferencia de las rugosidades superficiales de cuerpos en con-tacto con movimiento relativo. En gran medida la fuerza tangencial resistenteque produce este efecto depende de la presión entre superficies y el estadode éstas. Este fenómeno será estudiado con más detalle al tratar el temade la estabilidad de sistemas.

La resistencia viscosa es proporcional a la velocidad relativa entre sólido ylíquido está ligada a la propiedad de los fluídos de trasmitir fuerza tangencialcon el movimiento de sus partículas, y que será estudiada al tratar la estruc-tura y propiedades mecánicas de los fluídos.

Sistemas que evolucionan con desarrollo de fuerzas resistentes no conser-vativas transforman el trabajo de dichas fuerzas en energía térmica, que semanifiesta por el aumento de la temperatura de la materia de los sistemasinvolucrados. En los títulos siguientes ampliaremos este tema.

Principio de conservación de la energía - Calor y Termo-dinámicaLa transferencia de energía entre sistemas se realiza mediante evoluciones(cambios sucesivos) que afectan a los sistemas dador y receptor.

Por ejemplo, al comprimir un resorte con nuestra fuerza muscular, ejercemos unaacción sobre el objeto, entregando energía. Ella se transfiere en parte a través deltrabajo de la fuerza aplicada al resorte, que se deforma.

El fenómeno descripto se realiza en el tiempo y en el espacio, afectando no sólo laforma sino también el estado de los sistemas: nuestros músculos que se mueven acosta de quemar reservas de glucosa, grasas, etc, Estas oxidaciones producen ener-gía muscular que se transfiere y energía térmica que termina disipándose en el am-biente. Mientras tanto el resorte cambia de forma cuando la fuerza ejercida por nuestrobrazo lo comprime, reteniendo así energía de configuración. Dependiendo de la mayoro menor velocidad en esta compresión y de la estructura del material, una mayor o


menor parte de el trabajo entregado se transformará también en calor dentro del re-sorte, elevando su temperatura. Esa energía térmica generada por fricción molecularen el acero, no contribuye a la deformación y no estará dentro de la energía que elresorte está en condiciones de devolver al distenderse a posiciones anteriores, cuandola fuerza de compresión disminuya.

Es un hecho ampliamente comprobado que la energía total al principio du-rante y al final de la evolución entre dos o más sistemas que intercambianenergía se mantiene sin pérdida, aunque puede cambiar de tipo dentro decada sistema durante la transformación.

Consideremos por ejemplo un sistema formado por una gran cantidad departículas que interactúan entre sí. Si bien en teoría podríamos considerar acada partícula como un cuerpo independiente, y estudiar su evolución apartir de sus posiciones y velocidades a partir de un cierto instante, en lapráctica es ventajoso estudiar al conjunto asignándole propiedades globalesy reemplazar las propiedades particulares de cada elemento por promediosestadísticos. Así entonces:

La energía potencial V del sistema está dada por el trabajo para llevar elsistema de masa total M a la altura h de su centro de gravedad sobre elplano de referencia (el nivel del mar, por ejemplo, al que se asigna alturacero) V=M.g.h

La energía cinética Ec será igual al trabajo de las fuerzas exteriores sobreel conjunto del sistema, que lo acelera desde el reposo hasta la velocidad v(es la velocidad del centro de gravedad) Ec = ½M.v2

La energía interna U de un sistema formado por i partículas de masa mi avelocidades relativas al centro de gravedad vi es la suma de la energía ciné-tica de todos ellos U = ½ΣΣmi.vi

2 , y es diferente de Ec = ½M.v2 que es laenergía cinética o fuerza viva del conjunto de masa M = Σ Σ mi cuyo centro degravedad se mueve con velocidad v

Se puede plantear entonces así la siguiente ecuación:Energía potencial + Energía cinética + Energía interna = constante

V + Ec + U = cte

Este principio, de conservación de la energía, junto con el de conservación de lamasa se han fusionado en el principio único de conservación de la masa-energía,en virtud de la incorporación de conceptos de electromagnetismo a la mecánica clási-ca ocurridos a fines del siglo pasado. De este tema ya se ha hablado en este libro y selo trata extensamente en el libro de óptica. La diferencia entre aplicar el principio inte-grado de conservación de masa-energía o aplicar los principios de conservación de lamasa y de la energía separadamente por el otro, tiene sólamente importancia cuandoestán en juego grandes velocidades, que no es el caso de los ejemplos de esta sec-ción de la obra.


Cuando se aplica a un sistema que intercambia energía con otro u otros, sepuede plantear que la energía perdida por el primero es ganada por el o losotros a través de una transferencia de energía en forma de trabajo L y enforma de flujo calórico o sencillamente calor ∆Q:

∆∆V + ∆∆Ec + ∆∆U = L + ∆∆Q

Queda así definido el calor por exclusión, como una forma de energía entránsito que NO es trabajo.

Esta conclusión del principio de conservación de la energía es el punto dearranque o “primer principio” de la Termodinámica, ciencia que incorpora enlas ecuaciones y balances energéticos esta nueva forma de energía en trán-sito, el calor.

Calor y trabajo tienen unidades de energía. Se puede transformar trabajo en calor,entregando el primero a un sistema no conservativo.

El estudio del aprovechamiento del flujo de calor para obtener trabajo llevó al ingenieromilitar francés Sadi Carnot en 1820 a plantear por primera vez y cuantificar esta leyinexorable de la Naturaleza: la transformación de calor en trabajo requiere dos siste-mas de diferente temperatura o “nivel térmico”: una fuente caliente y una fuente fría.Esa diferencia de nivel junto con el valor absoluto de la temperatura

5 más baja limita el

rendimiento de dicha transformación.

La incorporación de los principios de termodinámica en todos los capítulos de la físicaes una necesidad de la que esta obra se hace cargo, para comprender mejor una grancantidad de temas, especialmente los que se refieren a transferencia de energía einformación.

Se estará en condiciones de entender mejor el significado del segundo principio des-pués de estudiar sistemas gaseosos y sus leyes.

Jugando al billar – Segunda parteEstamos nuevamente en nuestro “Bar–Billares” del barrio, resueltos a estu-diar a fondo las leyes físicas del juego. Recordemos que con la igualdadvectorial que se deduce del principio de conservación del impulso mb.v =mb.v1+mb.v2 , no es posible determinar el par de valores que realmente seda en la realidad, entre las infinitas combinaciones de velocidades v1 y v2

cuya suma vale v , .

En ese cometido, apliquemos el principio de conservación de la energía

5 La temperatura absoluta es una medida de la energía interna de un cuerpo. Su

significado preciso se dará al estudiar sistemas gaseosos.


además del de la conservación del impulso al sistema material que sufre elchoque.

Choque elástico y plástico

Según reconoció Newton en el siglo XVII al estudiar el choque de cuerpos, éstos sedeforman durante el impacto.

Depende de la elasticidad de los cuerpos involucrados que la energía potencial dedeformación sea devuelta totalmente, parcialmente o no se devuelva en absoluto alsistema .

Estas tres posibilidades distinguen tres tipos de choque: el elástico, el semi-elásticoy el plástico.

Coeficiente de restituciónLa energía que puede obtenerse desde adentro de un sistema de dos masas m1 y m2

a velocidades diferentes v1 y v2 es en general menor que la suma de las energíascinéticas de cada una de las masas, que es la que presenta el sistema para un obser-vador en reposo exterior al mismo. Esto es así ya que acciones desde el interior delsistema no pueden afectar el movimiento del centro de gravedad, que como vimossiempre se mantiene a velocidad constante v0= (m1.v1 + m2.v2) / (m1+m2) (antes,durante y después de la interacción) mientras no actúen fuerzas exteriores.

De tal manera, colocándonos en el centro de gravedad del sistema formado por lasmasas m1 y m2 , cuyas velocidades relativas con respecto a ese punto son (v1-v0) y(v2-v0) respectivamente, podremos extraer una energía interna Ei tal que

Ei = ½ m1(v1-v0)2 + ½ m2(v2-v0)

2 = ½ m1.v12 + ½ m2.v2

2 - ½ (m1+m2) v02

Se ve que la energía aprovechable desde el interior del propio sistema es la suma delas energías cinéticas individuales de cada una de las masas, menos un término (eltercero) que corresponde a la energía retenida por el sistema de masa totalM=m1+m2 , que se mueve a la velocidad v0 que posee el centro de gravedad en todomomento.

La energía interna Ei puede transformarse en deformación elástica, semi-elástica oplástica. La relación entre Ei después y antes del choque es un número llamado “coe-ficiente de restitución, que toma valores entre cero y uno:

cr= Ei’/Ei para 0<=cr<=1

El coeficiente de restitución cr es nulo cuando Ei’ también lo es, o seacuando el sistema retiene toda la energía de deformación en su interior6.

6 Generalmente en este caso los cuerpos se deforman permanentemente, aumentan-

do su temperatura: se transforma así energía mecánica en calor, que es un tipo deenergía interna que no puede volverse totalmente a la mecánica, de acuerdo a lo queenseña en Segundo principio de la Termodinámica.


En este caso el choque es plástico o inelástico. Es el caso de una bola demasilla que queda aplastada al estrellarse contra el suelo.

Un coeficiente de restitución unitario corresponde al caso en que la ener-gía Ei’ restituída después del choque sea igual a la inicial Ei. Es el caso delchoque elástico. Moléculas gaseosas y otras micropartículas que por sutamaño y naturaleza no pueden retener energía calórica, de rotación o devibración, interaccionan con choque elástico.

Entre estos casos límites, se encuentran los choques en los que la energía restituídaes parcial, llamados “semi-elásticos” o “semi-plásticos” , según se ubiquen hacia unou otro extremo del intervalo.

EjemploAbandonemos por un tiempo el billar y dediquémonos a otro noble juego: las bolitas.Tomemos una bolita de vidrio de masa m=10 g y soltémosla desde una altura h1=1 m, Veremos que después del rebote en el piso de baldosas no recupera más que unaaltura h2=80 cm .

Explicación: Una energía correspondiente a m.g.(h1-h2) = 0,20 m x 0,010 Kg x 9,8m/s2 = 0,02 J queda atrapada en el sistema bolita/piso en forma de calor

7.

Podemos hacer el siguiente análisis dinámico y energético del fenómeno:La energía del sistema bolita/suelo antes del choque corresponde al trabajo quehicimos para elevar la bolita desde el suelo a un metro de altura, esto es su pesomultiplicado por la altura de elevación. Esa energía vale Ei = 0,01 Kg x 1 m x 9,8 m/s2

= 0,1 J (es energía potencial, o sea de configuración).La bolita llega al suelo con una fuerza viva igual a la energía potencial, o seaEi = ½ m v2 = , de donde v = (2.Ei/m) ½ = (2.x0,1/0,01) ½ = 4,47 m/sEl tiempo t que tarda en llegar al suelo cumple la relación h1= ½ g . t2 , de dondet = (2.h1/g) ½ = (2/9,8) ½ = 0,45 sEnergía retenida después del choque Er= 0,02JEnergía del sistema después del choque Ei’ = Ei-Er = 0,08 JVelocidad inmediatamente después del choque v’ tal que E’i = ½ m v’2 , de tal manerav’ = (2. E’i / m) ½ = (2 x 0,08 / 0,01) ½ = 4 m/sCoeficiente de restitución cr= (Ei-Er)/Ei = Ei’/Ei = 0,8 (80%)

Choque elásticoDe la bolita pasamos otravez al billar. Para simplifi-car el estudio desprecie-mos la pérdida de energíaen el choque, consideran-do uno elástico, de acuer-do a lo cual la energíacinética de la bola roja enel momento del choque 7 Una delicada medición acusará un pequeño aumento de temperatura en la bolita y

en la zona del piso dónde cayó.

v1

v2 v

v m2/m1.v2

v1

m1=m2 m1>m2

(m

2/m

1)½

.v2


debe ser igual a la suma de las energías cinéticas del conjunto rojo y azul inmediata-mente

8 después del choque, es decir que ½ mb v2 = ½ mb v1

2 + ½ mb v22 , o sea que

debe serv2 = v1

2 + v22 .

Esto significa que el vector v es la hipotenusa de un triángulo rectángulo decatetos v1 y v2 . En este caso, esos catetos no están determinados, pues suvértice común puede ser cualquiera de los puntos de una circunferencia dediámetro igual a dicha hipotenusa y con centro en su punto medio (ver figura)

Si las bolas tuvieran masa diferente m1 y m2, (que no es el caso del billar),la ley de conservación del impulso nos daría:m1.v=m1.v1+ m2.v2 [1]que puede escribirsev=v1+ (m2/m1).v2 [2]En el dibujo de la derecha se toma en cuenta este caso, con m1>m2

La ley de conservación de la energía aplicada al caso de masas desigualesresulta:

½ m1.v2 = ½ m1.v1

2 + ½ m2.v22 [3]

que puede ponerse en la forma v2 = v12 + [(m2/m1)

½v2]2 [4]

según está representado por la figura de la derecha.

Choque oblicuoAhora bien, teniendo en cuenta el principio de conservación del centro degravedad, equivalente al de conservación de la cantidad de movimiento,Newton redujo el problema del choque oblicuo al del choque recto, to-mando como origen de coordenadas el centro de gravedad del sistema, engeneral en movimiento uniforme, o en particular en reposo. El choque rectose puede referir al eje que une los centros de las masas (que pasa por elcentro de gravedad de ambas), transformando el fenómeno plano en unidi-mensional. Así, las ecuaciones vectoriales se transforman en ecuacionesescalares, reemplazando las velocidades por sus respectivas proyeccionessobre dicho eje.

El fenómeno del choque oblicuo para dos masas m1 y m2 que tienen lasproyecciones de sus velocidades iniciales v1 y v2 y toman velocidadesdespués del choque de v’1 y v’2 (también tomando sus proyecciones sobre eleje que une las masas) está contenido en las siguientes ecuaciones escala-res:9

8 La igualdad se cumple inmediatamente después del choque, antes de que tenga

lugar la acción de las fuerzas de rozamiento de las bolas contra el paño del tapete, delo contrario deberá agregarse en el segundo miembro la energía correspondiente altrabajo de dichas fuerzas.9 Nótese que en las fórmulas siguientes no se usa la cursiva para representar las


m1.v1 + m2.v2 = m1.v’1 + m2.v’2 , que también puede escribirse

m1.(v1 - v’1 ) + m2.(v2-v’2 ) = 0 [5]m1 = m2.(v’2-v2 ) /(v1 - v’1 )y además, para choque elástico es(m1.v1

2+m2.v22) = m1.v’1

2 + m2.v’22

La anterior se puede poner en la forma:m1.(v1

2 - v’1

2 ) + m2.(v2

2-v’22

) =m1.(v1 - v’1 )(v1 + v’1 ) + m2.(v2-v’2 )(v2+v’2 ) = 0 [6]

De [5] y [6], resulta que debe ser(v1 + v’1 ) = (v’2+v2 ) y por lo tanto v1-v2=-(v’1-v’2) [7]

La [3] significa que las velocidades relativas entre las masas mantienen suvalor absoluto y cambian de signo en un choque elástico.

Choque plásticoDespués de un choque perfectamente plástico, es nula la energía residualinterna E’i del sistema, o sea:Ei’ = ½ m1(v’1-v0)

2 + ½ m2(v’2-v0)2 = 0

Como las masas y las velocidades al cuadrado son cantidades positivas, que la sumade los dos términos anteriores sea nula implica:(v’1-v0) = 0 y también (v’2-v0) = 0

Estas dos fórmulas requieren que sea v’1 = v’2 = v0 , lo que significa quedespués de un choque plástico, las masas siguen “pegadas” o fusionadas enuna sola con igual velocidad v0 que la del centro de gravedad del sistema.

Mecánica de los cuerpos rígidos

Concepto de cuerpo rígidoLos cuerpos extensos, a diferencia de las masas concentradas en partí-culas sin dimensión, ocupan un volumen en el espacio y por lo tanto po-seen masa distribuída caracterizada por su densidad, o sea por el cocienteentre masa y volumen ocupado.

Los cuerpos sólidos extensos son en la práctica más o menos deforma-bles por acciones externas. Se entiende por cuerpo rígido a un sólido inde-

velocidades, ya que éstas son proyecciones escalares de los vectores respectivossobre el eje que une los centros de las dos masas


formable, caracterizado por su forma y por la distribución de su densidad,que puede no ser constante (cuerpo de masa no homogénea) .

El cuerpo rígido es una concepción ideal a la que pueden asimilarse conmucha aproximación cuerpos sólidos reales muy poco deformables.

El cuerpo rígido puede considerarse formado por una aglomeración degran cantidad de partículas materiales cuyas distancias relativas perma-necen invariables ante cualquier acción exterior o interior. Esta concepción“granular” responde en cierta manera a la estructura molecular de la materia.También puede imaginarse un cuerpo rígido como formado por gran canti-dad de volúmenes elementales de materia continua de densidad homo-génea o no.

Llamando mi a las masas elementales y vi a los pequeños volúmenes ele-mentales de densidad δi de los que puede considerarse formado un cuerpo,resulta que la masa total M del cuerpo es la suma de todas las masas ele-mentales mi , de tal manera que :M = ΣΣι= ι= 01...n mi, o también M = ΣΣ vi.δδi.

Centro de masa de los cuerposrígidos.En ciertas condiciones, un cuerpo rígidopuede reemplazarse por una masa de igualvalor que la su masa total, concentrada enun punto llamado centro de masa o degravedad del cuerpo10.

Como ya dijimos, el centro de gravedad es un punto de posición O tal que lasuma de las distancias (vectores) Pi-O de todos los i=1,2,3...n elementos delcuerpo de masa mi y posición Pi cumplen la igualdad vectorial:Σ mi.(Pi-O) = m1.(P1-O) + m2.(P2-O) + m3.(P3-O) +...+ mi.(Pi-O) +...+ mn.(Pn-O) = 0

De tal manera es, desarrollando lo anterior sale,m1.P1 + m2.P2 + m3.P3 +...+ mi.Pi +...+ mn.Pn= O. (m1+m2+...+mn) = O . M ,

de donde O = ΣΣ mi.Pi / M

El vector posición O del centro de masas o baricentro de un cuerpo rígidocon respecto a un origen de referencia es igual al momento total de primer 10

Por ejemplo cuando se lo considera formando parte de un sistema con otros cuer-pos separados entre sí por distancias mucho mayores que las dimensiones respecti-vas. Así los planetas del sistema solar podrían en ciertos análisis considerarse comomasas concentradas en sus respectivos centros de gravedad.

O

Pi Pi-O

Centro de gravedad

M = Σ Σ mi

mi

Origen de referencia


orden ΣΣmi.Pi del cuerpo con respecto a ese origen, dividido por la masatotal M.

Lo anterior justifica que el baricentro pueda considerarse en una primeraaproximación como el lugar representativo de la posición de un cuerpo ex-tenso, ya que si concentráramos toda la masa allí, obtendríamos un sistemade momento de primer orden equivalente al del cuerpo en cuestión.

Fuerza viva de los cuerpos rígidosConsideremos un cuerpo rígido animado de un movimiento general cualquie-ra, que, como vimos oportunamente, puede descomponerse en una trasla-ción y una rotación sucesivas. En base a ello, la velocidad, tomada comocociente entre movimiento y tiempo, podrá también considerarse descom-puesta en una velocidad v de traslación y otra de rotación ωω alrededor de uneje.

Se demuestra fácilmente que la fuerza viva de traslación del cuerpo rígidode masa M como suma de las energías cinéticas individuales de mi masas ala misma velocidad v, es equivalente a la de la masa M concentrada en su

centro de gravedad a la velocidad v , o sea ΣΣ ½ mi v2 = ½ M v2

La fuerza viva de rotación es la suma de la fuerza viva de cada uno de loselementos en los que podemos considerar dividido al cuerpo, de masas mi yque están a distancias di al eje de rotación . Cada uno de ellos posee unavelocidad tangencial vti=ωω∧∧di y fuerza viva ei = ½ mi .vti

2 = ½ mi.(ωω∧∧di)2 = ½

ωω2. mi.di2

Momento de inercia

La fuerza viva total del cuerpo en rotación a la velocidad angular ωω resultapués:ΣΣ ei = ΣΣ ½ ωω2. mi.di

2 = ½ ωω2 [ΣΣ mi.di2]

La sumatoria entre corchetes representa el momento de un momento, esdecir un momento de segundo orden: Como está vinculado a la energíaalmacenada en cuerpos en rotación alrededor de un eje, se lo llama “mo-mento de inercia axial”

Momento de inercia con respecto al eje X Jx = ΣΣ mi.di2

Para calcular el momento de inercia es necesario hacer una suma de grancantidad de términos a través de una operación llamada Integración, enalguna medida contraria o inversa a la diferenciación. A continuación damosun ejemplo, para los que conocen algo de cálculo. Los que todavía no ma-


nejan las operaciones de diferenciación e integración, deben creer en elresultado, o mejor ponerse a estudiar cálculo diferencial para juzgar por símismos.

Cálculo del momento de inercia de un cilindrode radio R y altura L con respecto a su eje

Lo consideraremos formado por capas cilíndricasde igual pequeño espesor dri , cada una de ellas demasa mi =δ δ vi = δδ.2ππ L ri dr Cada una de estascapas elementales está a una distancia ri del ejedel cilindro, siendo entonces

J = Σ mi.ri2 = 2πδL ∫r=0

r=R ri

3 dr = 2.π.δ.L.R4/4 =

½ π.δ.L.R4 , pero π.δ.L.R2 = M , de donde J = ½ M.R2

Las unidades en que se mide el momento de inercia son Kg/m3.m.m4 =Kg.m2

Crónicas del CNBACorre una tarde de junio del año 1952. El célebre profesor Adolfo Cattáneoprende su infaltable cigarrillo negro y lanzando bocanadas de humo, proponea sus alumnos de tercer año nacional el siguiente....

ProblemaSupongamos que el alumno Rey se larga con un carrito de 4 ruedas por la barrancade la calle Urquiza, en Vicente López, que tiene h=15 m de altura. El carrito pesa 20Kg sin las ruedas, que son unos discos macizos de acero de R=10 cm de diámetro yL=5 cm de espesor montados sobre cojinetes a bolilla.El vehículo fué construido en los talleres del padre de vuestro condiscípulo Manhard(Carlos Manhard se revuelve incómodo en su asiento, pensando en que puede serllamado al frente para resolver el problema)

La pregunta es: ¿A qué velocidad cruzan la bocacalle 15 m más abajo?

Despreciar pérdidas de energía por rozamiento en cojinetes, pérdidas por resistencia ala rodadura y resistencia del aire.

Datos adicionales:Masa del alumno Carlos Rey = 52 KgDensidad del acero δδ=7900 Kg/m3

Momento de inercia del cilindro de radio R y altura L respecto a su eje J = ½ π.δπ.δ.L.R4

Solución- A ver Usted, mi estimado alumno Fernández, que fué el que animó a Rey a empren-der este arriesgado viaje, pase y resuelva el problema – dijo A.C.

ri

dri

R

L


Roberto Fernández Prini, desarrolla el problema diciendo:

La energía potencial del sistema carrito/ocupante de masa M se transforma al bajaruna altura h en energía cinética de traslación a velocidad v más energía de rotación delas 4 ruedas de momento de inercia total JT = 4J que girarán a una velocidad angularω ω = v/R (suponiendo que se adhieren perfectamente al pavimento, es decir que nopatinan)Así podemos poner M.g.h = ½ M v2 + ½ JT v2/R2 de donde

v2 ( ½ M + ½ JT / R2) = M.g.h , o también v = √√2.g.h / ( 1 + JT / M / R2 )

Masa de cada rueda: volumen por densidad : ππ.R2.L.δδ = 3,14 x (0,1)2 x 0,05 x 7900 =12 KgMasa total del vehículo más ocupante M = 4x12 + 20 + 52 = 120 KgMomento de inercia de una rueda de acero (δδ=7900 Kg/m3), de radio R=0,1 m y espe-sor L=0,05 m, con respecto a su eje de rotación.J = ππ x 7900/2 x 0,05 x (0,1)4 = 0,062 Kg.m2 Momento de inercia de las cuatro ruedas (¿Se pueden sumar los momentos de iner-cia? – La respuesta es SI, pero dejamos a los alumnos el porque)JT = 4.J = 0,248 Kg.m2

Reemplazando en la fórmula anterior resulta v = (2.g.h) ½ / (1+JT/M/R2) ½ == √√300 / √√(1+0,25/120/0,01) = 17,32 /1,1 = 15,76 m/s = 56,7 Km/h

Aquí el profesor A.C. hace notar:- Si Rey se asusta y bloquea las ruedas con el freno, podría ocurrir que el carritopatinara en vez de rodar. Como el tiempo está helado, puede que las ruedas se desli-cen sobre la escarcha de la calle sin rodar y sin rozamiento apreciable, como en elcaso de un patín de hielo. Así no hay energía almacenada en el giro de las ruedas...En vez de terminar a la velocidad recién calculada por Fernández,... terminará másligero, a la velocidad de caída libre v = √√(2.g.h) = 62,3 Km/h

-¿Qué haría para ganarle a Rey, alumno Buntinx?- Preguntó A.C.Carlos Buntinx, contesta de inmediato:- Fabricaría un carrito diseñado para minimizar JT/M/R2 = 2 π.δπ.δ.L.R2 / M , es decir conruedas más livianas (de aluminio, con δ = 2500δ = 2500), de pequeño radio y menor espesor.-Ajá – dijo A.C. - ¿Y no le conviene aumentar M?- ¡Seguro!- dijo Buntinx - Lo pongo al Sr. Silvetti de piloto. (El querido “Gordo” Silvetti,profesor de geografía, pesaba por entonces bastante más de 100 Kg)

Cuerpos rígidos sometidos a fuerzasVimos que un cuerpo extenso (de masa distribuida en un volumen) puedeconsiderarse como de estructura granular o discreta, formado por un grannúmero de partículas. Este modelo coincide con la hipótesis molecular. Elgrado de cohesión entre partículas determinará su estado (gaseoso, líquidoo sólido, de menor a mayor)

También puede considerarse un cuerpo extenso como de estructura conti-


nua, con masa distribuída y densidad constante o variable punto a punto.

Un cuerpo extenso en el que la distancia entre puntos, elementos o partícu-las que lo forman permanece invariable frente a cualquier acción es un cuer-po rígido, aproximación aplicable a cuerpos reales poco compresibles y degran cohesión interna.

A diferencia de lo que ocurre con las partículas materiales, sobre las quesólamente tiene sentido imaginar fuerzas aplicadas en su punto de ubica-ción, sobre un cuerpo extenso pueden imaginarse fuerzas ya sea concentra-das en cualquier punto de su masa, ya sea distribuídas en una línea o su-perficie perteneciente al volumen del cuerpo.

Interesa siempre definir el lugar de aplicación de las fuerzas que puedenactuar sobre cuerpos extensos en general y sobre cuerpos rígidos en parti-cular, porque los efectos dependen del lugar en cuestión.

Resultante de un conjunto de fuerzas aplicadas a un cuerpo rígido

Para poder resolver los problemas en los que existen diversas fuerzas apli-cadas a un cuerpo extenso, se debe tener presente que dichas fuerzas sonmagnitudes vectoriales definidas por su intensidad, dirección y sentido, yademás por el punto de aplicación.

Como el cuerpo rígido es indeformable por esfuerzos internos, cualquierfuerza aplicada puede trasladarse a lo largo de su recta de acción sin quesu efecto varíe, ya que la eventual compresión o tracción derivada del des-plazamiento no se traduce en ninguna deformación11. En cambio, aún encuerpos rígidos, no se puede trasladar paralelamente la recta de acción deuna fuerza sin alterar el sistema, el cual rotaría por efectos de esa traslaciónlateral a menos que se compensara el efecto mediante un par de fuerzas, ocupla, como luego se verá.

Problema general en el espacio

El estudio de cuerpos sometidos a fuerzasen el espacio de tres dimensiones puedereducirse en general problemas en dosdimensiones, proyectando el sistema decuerpo y fuerzas sobre planos representa-tivos. Por ejemplo, de una estructura es-pacial como una torre, pueden hacerse tresestudios a través de sendas proyecciones,

11

Si el cuerpo es “duro” (un automóvil) da lo mismo tirar que empujar, en cambio si es“blando” (un colchón) la tracción lo estira y la compresión lo aplasta.

Fuerzasen elespacio


dos en planos verticales (ancho y profundidad) y una tercera en planta. Losresultados se integran luego a tres dimensiones.

Problema en el planoPor ahora consideremos un cuerpo sometido a un conjunto de fuerzas co-planares (que están todas en el mismo plano), que pueden tener cualquierdirección y sentido, tal cual se representa en la figura. La intensidad y ladirección de la resultante R de las cuatro fuerzas F1, F2, F3 y F4 se obtienesumando sus vectores representativos colocándolos uno a continuación delotro. Sin embargo, la recta de acción sobre la que debe estar esa resultantepara que su acción sea equivalente a la de las cuatro fuerzas en conjunto, noqueda determinada con este procedimiento de suma vectorial.

Método del paralelogramoIsaac Newton dió la pauta de cómo ubicar la resultante de dos fuerzas con-currentes en un punto a través de la regla del paralelogramo, que dice: “La

resultante es la diagonaldel paralelogramo cuyoslados son las fuerzasrespectivas”. Esta reglaes consecuencia deimaginar las acciones decada fuerza repartidas enpequeños efectos que seadicionan alternativa-mente uno después deotro, según el principiode superposición.

En la figura se ven lasresultantes parciales deF1 y F2 en R12 , y la de F3

y F4 en R34 . Nótese quepara aplicar la regla del paralelogramo es necesario llevar a concurrencia enun punto cada fuerza del par mediante sendas traslaciones de sus puntos deaplicación sobre las respectivas rectas de acción.

Sumadas a su vez las resultantes parciales R12 y R34 aplicando la regla delparalelogramo, se obtiene la resultante total R aplicada en el punto P. Elhecho de que P esté fuera del cuerpo no tiene importancia por tratarse de uncuerpo rígido, en el que es equivalente aplicar la fuerza en cualquier puntode su recta de acción PQ (por ejemplo en S)

Método del polígono funicularEn la figura se ve además otro procedimiento para obtener la resultante deun sistema de fuerzas coplanares que pueden ser concurrentes o no, es

F1

F2 F3

F1

F2

F3

F4

Polígono Funicular

f1

f2 f3

f4

f0

F4

R

R

R12

R34

Q

P

S

O


decir que algunas o todas pueden ser paralelas entre sí. No es éste el casodel método del paralelogramo, sólo aplicable al caso de fuerzas no paralelasen el plano, esto es concurrentes en un punto.

El método, llamado del “polígono funicular” por lo que explicaremos luego,consiste en trabajar sobre el polígono de fuerzas, eligiendo un punto O (lla-mado polo) desde el que se trazan rectas hasta los extremos de los vectoresrepresentativos de las fuerzas aplicadas al cuerpo rígido. Quedan así forma-dos una serie de triángulos cuyos lados con vértice en O representan doscomponentes cuya suma es el vector representado por el tercer lado. Porejemplo F1 queda descompuesta en las componentes f0 y f1. La fuerza F2

queda descompuesta en –f1 (ojo al signo) y f2. De tal manera F2=f2-f1. Y asísucesivamente hasta llegar a la última fuerza, en este caso F4, descom-puesta en –f3 y f4. Resulta claro que f0 + f4 es la resultante R del sistemaConociendo su dirección y la de las cinco fuerzas auxiliares f0, f1, f2, f3 y f4

por medio de la construcción anterior, se hace corresponder al polígono defuerzas una línea quebrada (poligonal) cuyos lados son respectivamenteparalelos a las fuerzas auxiliares. Esta poligonal se traza sobre las rectas deacción de las fuerzas en el plano. La prolongación del primero y último ladode la misma se cortan en un punto Q de la recta de acción de la resultante.

Justificación del método del polí-gono funicularDinamómetroUn resorte alojado en un tubo, con un

estilo solidario que pueda marcar su alargamiento sobre un escala lineal esun instrumento apto para medir fuerzas. Es un dinamómetro de resorte. Se logradúa en Newton o en Kg, colgándole pesos conocidos.

Experiencia:Con varios de estos instrumentos y un hilo resistente se puede armar unconjunto como el de la figura.Allí se ve que el hilo adoptala forma del polígono funicu-lar. Precisamente, funicularderiva del latín funiculum:cuerda o cable. Es que uncable o cuerda se tensa porla fuerza a la que está some-tido, indicando por lo tanto sudirección.

Si los dinamómetros estánbien calibrados, marcaránfuerzas proporcionales a losvectores dibujados en el

10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 Newton

ESQUEMA DE UN DINAMÓMETRO DE RESORTE

F F

O

A

B

F1

F2

F3

F4

F1

F2 F3

F4

f0

f4 f4

f0 R

R

f3

f2

f1

f2

f1

f3


polígono de fuerzas. Moviendo los puntos A y B de amarre del hilo al cuerpo,cambiarán las direcciones de f0 y f4 y el polígono funicular se corresponderácon un dibujo con el polo O en otro lugar.

Momento de una fuerza con respecto a un punto

Se llama momento de una fuerza F con respecto a un punto O del espacio,al producto vectorial MM = F∧∧d entre el vector representativo de la fuerza yel de la distancia entre el punto de aplicación de la misma y el punto de refe-rencia d = OF-O , punto que no tiene necesariamente que pertenecer alcuerpo sobre el que la fuerza está aplicada. El momento de una fuerza esuna entidad creada y usada para representar el efecto de la fuerza sobre unpunto del cuerpo. En el párrafo siguiente se verá su importancia al conside-rar la traslación de la recta de acción de una fuerza. El momento de unafuerza depende, de acuerdo a su definición, de la fuerza y la distancia alpunto de referencia. Averiguar el momento de una fuerza con respecto a unpunto (tomar momentos, como se dice en la jerga de los especialistas) supo-ne considerar el efecto de esa fuerza sobre el cuerpo en la que está aplicadacomo si éste tuviera libertad de movimiento alrededor de aquél.

Casos en que el momento de una fuerza con respecto a un punto esnuloEs importante tener en cuenta cuándo es nuloel momento, porque indica alguna de las con-diciones siguientes:• El momento de una fuerza con respecto a

cualquiera de los puntos de su recta deacción es nulo. Esta propiedad es evi-dente, ya que en ese caso el factor dis-tancia d es nulo.

• También es nulo el momento cuando laresultante es nula (o sea el otro factor delproducto vectorial). No tiene sentido estudiar el caso de que ambos se-an nulos, ya que si no hay resultante, no puede plantearse la distanciade su recta de acción

• De acuerdo a lo que sabemos de producto vectorial, podría ser nulocuando los vectores son paralelos. Se ve en la figura que los vectores dy F están “enganchados” uno a continuación del otro. Así que la únicamanera de que sean paralelos es que coincidan sus rectas de acción, loque reduce este caso al primero.

Momento y TrabajoEl momento es una magnitud vectorial, cuya unidad es fuerza por distancia.Por definición de producto vectorial su módulo resulta

|MM| = | F ∧ d | = F.d sen (F^d) = F.d’ , para d’ = d.sen (F

^d) , que es la dis-

tancia de la recta de acción de la fuerza al punto O, con respecto al cual se

MM d

F

||M|M|=F.d. sen (F^d) (F^d)..

O

MOMENTO DE UNA FUERZA F CON RESPECTOAL PUNTO O.

d’ = d. sen(F^d)


considera el momento

El momento de una fuerza no debe confundirse con trabajo T de una fuerza,

que como ya viéramos es un escalar definido por T = F.d = F.d cos (F^d)

Trabajo tiene unidades de energía, y es sólo parecido desde el punto devista dimensional al momento. La distancia en aquél es el camino recorridopor la fuerza, mientras que en el caso del momento es la distancia fija alpunto de referencia.

Momento de un sistema de fuerzasPor ser el momento una cantidad vectorial, el momento total de un sistemade fuerzas es la suma de los momentos de cada una de las fuerzas conrespecto al punto considerado. Si tenemos en cuenta que la resultante R deun sistema debe ser equivalente a todas las fuerzas, su momento MMR conrespecto a cualquier punto debe ser igual a la suma de momentos de cadauna, o sea al momento total. Es decir:

Momento de una fuerza Fi MMi = Fi ∧∧di

Momento de todas las fuerzas MMT= ΣΣ MMi = Σ Σ Fi ∧∧di

Momento de la resultante MMR = MMT = Σ Σ Fi ∧∧di = R.∧dR

La distancia vectorial dR representa la posición o punto de aplicación de la

resultante R, y como ésta es la suma de las fuerzas R = Σ Σ Fi , de la terceraecuación sale:

Σ Σ Fi ∧∧di = (Σ Σ Fi ) ∧ dR

La igualdad anterior puede escribirse tomando módulos de los vectores enambos miembros. Se debe recordar que los momentos de fuerzas coplana-res son paralelos, ya que todos son perpendiculares al plano, por lo que elmódulo de su resultante es la suma de los módulos de cada uno de los mo-mentos.Además téngase presente que la distancia de la recta de acción de la fuerza

al punto considerado vale d’=d.sen(F^d) (ver figura de la página anterior)

Así resulta que

|Σ Σ Fi ∧∧di | = |(Σ Σ Fi ) ∧ dR | y también

Σ Σ Fi .d’i = d’R . Σ Σ Fi

de donde d’R = Σ Σ Fi .d’i / | Σ Σ Fi |

Es decir que la distancia de la recta de acción de la resultante al punto con-


siderado es igual al momento de primer orden de todas las fuerzas divididola resultante de todas ellas. Por supuesto que si el punto desde el cual setoman momentos pertenece a la recta de acción de la resultante es d’R =

Σ Σ Fi .d’i =0

Traslación de la recta de acción de una fuerza - CuplaVimos que el punto de aplicación de una fuerza sobre un cuerpo rígido pue-de trasladarse a lo largo de su recta de acción sin que su efecto varíe. Encambio el desplazamiento paralelo d de una fuerza F fuera de su recta deacción cuando está aplicada sobre un cuerpo cualquiera, aunque sea rígido,no puede hacerse sin que cambie el efecto que inicialmente tenía sobre éste.

Para entender el efecto de esa traslación, pueden considerarse aplicadas enel punto donde se quiere trasladar, dos fuerzas iguales y contrarias cada unadel mismo valor a la considerada, que lógicamente tienen resultante nula.Este cambio, que no afecta alsistema siempre que se trate deun cuerpo rígido, nos permite verque la traslación de una fuerzarequiere la aplicación adicional deun par de fuerzas de igual mag-nitud y sentido contrario cuyasrectas de acción están precisa-mente a una distancia igual aldesplazamiento d considerado.

Momento de una cuplaUn par de fuerzas o cupla puedecaracterizarse por una magnitudigual al producto vectorial de lafuerza por la distancia, es decir MM = F∧∧d . Esta magnitud coincide con lasuma de los momentos de primer orden de las dos fuerzas del par, tomadascon respecto a cualquier punto O del espacio, perteneciente o no al cuerpo.

En la figura adjunta no se ha representa-do el vector momento MM, que de acuer-do a la convención usada en esta obrapara el producto vectorial, debería seruno perpendicular al plano del dibujo. Encambio se ha indicado mediante unaflecha curva el efecto de rotación que elpar de fuerzas produciría en el cuerpo sise dejara librado a su acción. La fórmulaescalar anotada en la figura |MM| =F.d esválida además de la expresión vectorial,

d

F

-F

d1

d2

MM=F.d1-F.d2=F(d1-d2)=F.d

O

d2

d1

MM=F∧∧d

A

B

A

B

F

-F

F

F

d

Un cuerpo rígido con una fuerza F aplicada en el punto Aes equivalente al mismo cuerpo con esa fuerza Ftrasladada al punto B más un par de fuerzas o cupla detraslación F –F cuyo momento vale MM = F∧∧d


al ser en este caso particular los factores perpendiculares entre si.

De lo anterior surge claramente que el momento de una cupla es igual entodos los puntos del plano. En cambio el momento de una fuerza varía conrespecto al punto desde el cual se toma.

Cuando un conjunto de fuerzas coplanares presenta un momento MM invaria-ble con respecto a cualquier punto, es porque no es reducible a una solafuerza resultante. En cambio es equivalente a un par de ellas opuestas,iguales y paralelas, es decir una cupla, cuyo momento vale MM

Desde el punto de vista práctico, una fuerza muy pequeña (despreciable)con respecto a un punto muy alejado representa aproximadamente una cu-pla, ya que su resultante es aproximadamente nula mientras que su mo-mento no lo es.12

Composición de fuerzas paralelas aplicadas al cuerpo rígido

Con el método del polígono funicular, visto antes, se puede hallar la resul-tante cualquiera sea la disposición de las fuerzas en el plano y por lo tantotambién para fuerzas paralelas.

En este caso particular, como la resultante es equivalente a todas las fuerzasaplicadas una a continuación de la otra a lo largo de la recta de acción, sitrasladamos paralelamente cada una de las fuerzas sobre dicha recta (pun-tos gruesos en la figura), deben anularse todos los momentos correspon-dientes a cada traslación. Esta condición es necesaria para obtener un sis-tema equivalente al primitivo,sin momento MM. Refiriéndonosa la figura, lo anterior se resu-me en la siguiente ecuaciónvectorial:

ΣΣ Fi ∧∧di= 0 [1]Donde los vectores d son lasdistancias correspondientes decada fuerza al punto de aplica-ción de la resultante. Dado quelas fuerzas son paralelas, laanterior se puede reemplazar por la ecuación escalar:

12

El producto de una cantidad infinitamente pequeña por otra infinitamente grande noes nulo ni infinito: toma un valor que depende de cómo tienden a cero e infinito res-pectivamente sus factores.

Composición de fuerzas paralelas

R

F1

F2F3

F4 F5

R

d1

d2d3

d4

d5


ΣΣFi.di= 0 [1 bis]en la que los signos de las distancias escalares d entre recta de acción de lafuerza y la resultante, son positivos o negativos según se midan hacia laderecha o hacia la izquierda de la fuerza. También puede considerarse queFi.di es positivo o negativo según tienda a hacer girar el sistema en contra oa favor del reloj. Así, en la figura F5.d5 es positivo, mientras que F1.d1 esnegativo

Por otra parte, el valor de la resultante R debe ser igual a la suma vectorialde todas las fuerzas, es decir:

ΣΣ Fi = F1+F2+F3+F4+F5 = R [2]Por ser fuerzas paralelas, la anterior se reduce a la igualdad escalar:

ΣΣ Fi = F1+F2+F3+F4+F5 = R [2 bis]

La [1 bis] y la [2 bis] significan que se puede reemplazar un conjunto defuerzas paralelas que actúen sobre un cuerpo rígido, con una resultante cuyaintensidad sea igual a la suma aritmética de las intensidades de todas lasfuerzas, colocada sobre una recta paralela con respecto a la cual será nuloel momento de primer orden Σ Fl .dl

Fuerzas concentradas y distribuídasHasta ahora hemos considerado fuerzas aplicadasen un punto de un cuerpo rígido, pensando en unafuerza concentrada sobre una partícula material.Por más que las acciones sobre cuerpos extensosse pueden pensar como fuerzas concentradassobre ciertas partículas constitutivas del mismo,también es útil considerar a veces otro modelo enel que las acciones se representan por fuerzasdistribuídas en una zona extensa (línea o superfi-cie) del cuerpo. Por ejemplo, en primera aproxima-ción el peso del programador sobre el asiento pue-de considerarse que se ejerce a través de unafuerza concentrada en el medio de la tabla delbanco. Es más ajustado pensar en dos fuerzas paralelas en cada glúteo, omejor aún una presión distribuída sobre la superficie de contacto del cuerposobre el asiento y los pies en el suelo. En el dibujo, las zonas más oscurascorresponden a mayor presión.

La presión del viento sobre un cartel publicitario, la fuerza de la explosión enun cilindro de un motor sobre el pistón y aún el peso de el cuerpo sobre unpatín de hielo se representan mejor con fuerzas distribuídas sobre las super-ficies o líneas en las que actúan.

PRESIÓN DEL PROGRAMADOR SOBREEL ASIENTO Y SOBRE EL PISO


Esta mejor aproximación, no indispensable en cuerpos rígidos, es de rigorcuando se consideran los efectos de las acciones sobre cuerpos deforma-bles, ya que en éstos la presión produce una deformación local proporcionala la misma, como veremos al tratar la mecánica de los cuerpos sólidos elás-ticos.

El concepto de fuerza, masa o en general cualquier magnitud distribuída enun cuerpo, se entiende pensando primeramente en la magnitud concentradaen un punto representativo de todo el cuerpo, y luego considerando al cuer-po formado por un conglomerado de pequeñas partículas a las que se aplicael mismo criterio. Llevando al límite ese proceso mental, se puede llegar apensar que la magnitud concentrada es tan chica que lo que interesa es elcociente entre el valor pequeñísimo de esa magnitud y el valor también mi-núsculo de la región del cuerpo a la que pertenece. Por ejemplo, la densidaden un punto de un cuerpo es el límite del cociente entre la masa y el volumencuando consideramos a éste infinitamente pequeño en una región que con-tiene al punto considerado.

Una presión resulta igualmente de considerar el cociente entre fuerza y su-perficie, cuando ésta tiende a cero. La fuerza por unidad de longitud queejerce el filo de un patín sobre el hielo es igual al peso del patinador divido lalongitud de la arista del patín.

Densidad, presión y peso por unidad de longitud son magnitudes distribuídasaplicables cuando se considera a la materia formada por una sustancia con-tinua, sin granos o discontinuidades. Cuando se adopta el modelo de cuerpocontinuo, la fuerza concentrada es una aproximación para representar unagran presión ejercida en una superficie muy pequeña, como la que ejercenlas finas patas del banco donde está sentado el programador.

La adopción de modelos distribuídos o concentra-dos está en general aconsejada por la escala ogrado de detalle que pretendemos dar a la descrip-ción y estudio de los fenómenos. Por ejemplo. unacadena colgada de los extremos puede estudiarsecomo tal, con eslabones independientes sobre los

que actúa un peso concentrado, o como una cuerda o cable de masa distri-buída en una línea: la elección depende de la cantidad de eslabones13.

13

Una cuerda o hilo puede considerarse a su vez como una cadena de infinidad depequeños eslabones de fibras entrelazadas.


GravedadHemos visto que la variación de la cantidad de movimiento de los cuerpos seasigna a la acción de fuerzas, aplicadas por contacto con otro cuerpo, comoen el caso del choque, o por empuje o tracción desde otro sistema a travésde un vínculo (la mano que empuja un objeto, el cable que tira del ascensor,etc.). Sin embargo, la fuerza más común que es el peso que experimentanlos cuerpos, esa fuerza que los impulsa a caer contra la tierra, se ejerce sinla intervención de un vínculo o medio material intermedio entre objeto y tie-rra. Es una acción a distancia, aparentemente ejercida desde la tierra sobretoda la materia. Se la llama fuerza de gravedad.

La gravedad o atracción gravitatoria se puede estudiar en escala terrestrecomo la fuerza que aparece sobre todos los objetos, dirigida verticalmentehacia abajo y que es proporcional a la masa a través de una constante quetiene lógicamente dimensiones de aceleración. Es la “aceleración de la gra-vedad”, representada por la letra g. La experiencia demuestra que g varíacon la altura y con la posición en el planeta: no vale lo mismo en BuenosAires que en Sucre. No vale lo mismo en los polos que en el ecuador, ni enla cima del Aconcagua que a nivel del mar. Pronto veremos por qué.

Sin embargo, esas variaciones son prácticamente muy pequeñas a escalaterrestre, y en todas las aplicaciones será una aproximación suficiente tomara g = 9,8 m/s2 e incluso a veces redondear g = 10 m/s2

PesoAsí, sobre un cuerpo de masa m está aplicada una fuerza, llamada peso,igual a P = m.g

Si esa fuerza no se equilibra con una reacción contraria de algún objeto ovínculo unido a tierra (columna, soporte, viga, etc.) el cuerpo cae con unaaceleración igual a P/m = g , llamada por eso “aceleración de la gravedad”

Por efectos del peso, los cuerpos caen con movimiento acelerado exclusi-vamente de traslación, verticalmente hacia abajo. El peso puede ser consi-derado como resultante de fuerzas paralelas elementales proporcionales asu densidad aplicadas en cada porción o partícula constitutiva del cuerpo, olo que es equivalente en el caso de cuerpos rígidos, una única fuerza pro-porcional a la masa total del cuerpo aplicada en un punto de la resultante deesas fuerzas paralelas, llamado “centro de masas, centro de gravedad obaricentro”


Centro de gravedadLlamado también centro de masas o baricentro, el centro de gravedad esel punto donde puede considerarse aplicado el peso de un cuerpo rígidopara obtener una acción equivalente a la de la gravedad, o la masa paraobtener una acción equivalente a la fuerza de inercia.14

Se determina fácilmente el centro de gravedad de un cuerpo rígido suspen-diéndolo de dos puntos diferentes: Las verticales trazadas desde los puntosde suspensión se cortan en el centro de gravedad.

En efecto, cuando se suspende un cuerpo con libertadde rotación alrededor de un punto, la fuerza necesariapara sostenerlo forma con el peso una cupla hasta quelas dos rectas de acción coinciden en la vertical. Repi-tiendo el procedimiento desde otro punto, la nuevavertical corta a la primera en el centro de masas o bari-centro. En el dibujo se ve un cuerpo de dos dimensio-nes (una chapa) cuyo centro de masas está afuera delpropio cuerpo.

La determinación del centro de gravedad se puede resolver geométrica-mente si el cuerpo en cuestión tiene densidad constante en todo su volumen.En tal caso, cada volumen elemental en que puede ser descompuesto tendráun peso proporcional a su extensión. Por ejemplo, el centro de gravedad deun arco de alambre homogéneo, se pue-de encontrar dividiéndolo en pequeñosarcos iguales. Considerando que dos deellos tienen un centro de gravedad situa-do en el punto medio de la recta que losune, se reemplaza el cuerpo por otroformado por la mitad de los elementosoriginales colocados en los centros degravedad de cada par. Así sucesivamente, se tiende a un único punto, quees el centro buscado.

Ley de la gravedadSe dice que Sir Isaac Newton se inspiró en la caída de una manzana paraplantear su famosa ley de gravitación. Es bien probable que así sea. Newtonfué capaz de intuir que la caída de una manzana con el fondo de la lunallena que se pone en el horizonte matutino, representan dos efectos de una

14

Un cuerpo deformable tiene un centro de masas que cambia de posición en cuantose lo somete a esfuerzos.

O

DETERMINACIÓN DELCENTRO DE GRAVEDAD

O BARICENTRO

CENTROS DE MASAS DE ALAMBRES HOMOGÉNEOS


misma causa. Manzana y luna caen atraídas por la tierra con velocidadesparalelas. La primera choca con el suelo y la segunda no lo hace pués sutrayectoria no corta a la superficie terrestre. Si pudiéramos lanzar la manza-na con fuerza prodigiosa “afuera” de la tierra, caería como la luna, más alládel horizonte.

La trayectoria cerrada u órbita de la lunaalrededor de la tierra indica que existe unmovimiento central (ver página 22), conaceleración dirigida hacia la tierra. La mag-nitud de esa aceleración se deduce de latrayectoria aproximadamente circular quedescribe nuestro satélite, de velocidadangular ω ω = 2ππ/T conT = 27,3 días = 2,36x106 s15 , de dondeω ω = 2,66x10-6 rad/s

El hecho de que la órbita sea estable, osea que la luna no escape o se precipitesobre nosotros, indica que existe una fuer-za de atracción igual a la masa de la lunamultiplicada por la aceleración centrífuga del movimiento. Por lo ya estudia-do sabemos que la aceleración centrífuga vale ac = ωω2.R , con R = 384x106

m (radio de la órbita de la luna), de donde ac = 2,72 x 10–3 m/s2

Este valor es la aceleración de la gravedad a la distancia que se encuentra laluna, o sea a 384000 Km. Es evidente que la aceleración disminuye con ladistancia a la tierra, ya que aquí vale 9,8 y allá vale g/ac = 3596 veces me-nos.

Para averiguar la relación entre gravedad y distancia, Newton comparóeste número con la relación entre distancias respectivas. La aceleración g =9,8 m/s2 se experimenta sobre la tierra, a una distancia igual al radio denuestro planeta (6400 Km), tomada desde el origen del movimiento central, osea desde el centro de gravedad de la tierra. En la luna, a 384000 Km dedistancia (60 veces más) la gravedad es 3600 veces menor. La relaciónentre 60 y 3600 es clara: el segundo es el cuadrado del primero. Por lotanto, la fuerza de gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia.

En general, a la distancia d del centro de la tierra (de radio R), la gravedadvale g.R2/d2

15

Como se sabe, la luna completa su ciclo en aproximadamente cuatro semanas,tiempo en el que da una vuelta completa a la tierra.

Isaac Newton en laquinta de Lincolnshire,observando la caída dela manzana


La fuerza sobre un cuerpo de masa m situado allí, valdrá F = m.g.R2/d2

Por el principio de acción y reacción, la fuerza que ejerce el cuerpo demasa m sobre la tierra valdrá igualmente F , igual al producto de la masa dela tierra M por la aceleración creada por el cuerpo de masa m, gravedadsuperficial g’ y radio r , de manera que F = M.g’.r2/d2

Comparando ambas fórmulas resulta que M g’ r2 = m.g.R2 , de dondeg.R2/M = g’.r2/m

Esta relación entre gravedad superficial multiplicada por radio del cuerpo alcuadrado16 y dividido su masa es una constante independiente del cuerpo,llamada constante de gravitación universal kG. Reemplazando los valorespara la tierra, de masa

M = 5,98 10 24 Kg y radio R = 6400000 m resultakG = 9,81 m/s2 . 64000002 m2/ 5,98.10 24 Kg = 6,72.10-11 m3/Kg/s2

Multiplicando y dividiendo por m la fórmula F = M.g’.r2/d quedaF = M m. (g’.r2/m) / d2 = kG M.m/d2

En base a la fórmula anterior Newton enunció la ley de gravitación afirmandoque “todo pasa como si los cuerpos se atrajeran con una fuerza proporcionalal producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia que los separa”

Gravedad en la superficie de un cuerpo

Para cuerpos esféricos de radio r y densidad constante δδ resulta que sumasa valem = 4/3 ππ r3 δ δ , de donde kG = g’ r2/m = g’/(4/3 ππ r δδ) = g’ 3/4/ππ/(r.δδ) = 0,2387g’/(r δδ)

Se deduce de la anterior que la gravedad superficial g’ es proporcional a ladensidad y al radio del cuerpo.

Si la tierra fuera una esfera de radio R = 6378 Km y densidad constante17

igual a su masa dividida el volumen, resultaría:δ = M/(4/3 π R3) = 5.98.1024 kg / 1,09.1021 m3 = 5502 Kg/m3

16

Se supone un cuerpo esférico. Para una forma cualquiera habrá que usar el radiode la esfera de igual material e igual peso.17

La tierra no es una esfera perfecta: es ligeramente achatada en los polos. Tampocotiene densidad constante ni es homogénea: su núcleo es más denso que la corteza ysuperficialmente mares y continentes tienen diferente densidad.


y para iguales dimensiones y peso, debería tener una gravedad superficialdeg = 4.π/3.kG.R.d = 9,808 m/s2

Alcance de la ley de gravitaciónVimos que en base a consideraciones astronómicas, Newton dedujo hacetrescientos años la ley F = M m. (g’.r2/m) / d2 = kG M.m/d2, que expresa lafuerza de atracción que existe entre dos cuerpos de masa M y m separadospor la distancia d

¿A qué distancia se refiere la fórmula?. En su deducción se tuvieron encuenta masas muy alejadas (tierra y luna) comparadas con sus dimensiones.Esa relación pequeña entre tamaño y distancia (R/d=6400/384=1/60) hacepoco relevante la forma de tomarla (entre centros de gravedad o entre zonasmás próximas de los cuerpos). La idea es que la ley es aplicable a masasconcentradas en pequeñas dimensiones comparadas con las distancias quelas separan. Se demuestra que si las masas no son esféricas y homogé-neas, y tienen una extensión importante respecto a la distancia que las sepa-ra, el efecto gravitatorio existe, pero la fórmula no es aplicable en formaestricta.

En teoría se puede plantear el problema dividiendo a los cuerpos en peque-ñas porciones y considerando la suma de las interacciones gravitatoriasentre estas pequeñas masas elementales separadas por distancias compa-rativamente grandes. Este método fué desarrollado por Isaac Newton pormedio de un procedimiento que dió origen al moderno cálculo infinitesimal.

Fuerzas a distancia – Campo y potencial gravitatorioLas acciones gravitatorias se estudian con ventajas a partir de la teoría delcampo y potencial, ya esbozada en la parte de esta obra que trata de laenergía potencial, y que ahora ampliaremos.

La gravedad, las fuerzas entre cuerpos electrizados y las atracciones y re-pulsiones magnéticas son las manifestaciones más comunes de fuerzas adistancia, es decir esas acciones que se manifiestan sin la intervención deun medio material que sirva para “empujar” o “tirar” de los cuerpos.

Sin la intención de explicar el porqué de estos efectos a distancia, sino másbien con la idea de describir el “cómo” de la ocurrencia de estos fenómenos,es que se imagina a las masas en el caso de la gravitación, a los cuerposcargados o recorridos por corrientes eléctricas en el caso de las fuerzaselectrostáticas y magnéticas, como fuentes o sumideros de un fluído incorpó-


reo llamado “campo”.

Campo gravitatorioMientras el campo eléctrico parece salir de las cargas positivas y sumirse enlas negativas y el campo magnético se parece a un fluído arremolinado enun vórtice, donde circula la corriente eléctrica que lo produce, el campo gra-vitatorio funciona como un fluído que entra en las masas y cuya fuente es elpropio universo que las rodea.

Esta concepción o modelo está autorizado por la ley de la inversa del cua-drado de la distancia, que es la misma que gobierna el flujo de agua queentra18 en un desagüe colocado en el interior de una pileta muy grande.

Supongamos en un punto dentro de una masa deagua se instala la boca de un caño que absorbeun flujo o “gasto” G Kg/s . Admitamos que la bocaestá construida para que el agua entre por igualen todas direcciones. Una esfera imaginaria deradio r con centro en la boca de salida, será atra-vesada en toda su superficie por el flujo constanteG, de manera que la cantidad de agua por unidadde superficie y por unidad de tiempo a través de laesfera de radio r y superficie S = 4π r2 valdrá:G/S = G/(4.π.r2) [Kg/s/m2]. A esta cantidad G/S la llamaremos flujo específicoo gasto específico. Como se ve en la fórmula, el flujo específico G/S es in-versamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente (la boca desalida del caño).

La relación entre flujo específico, densidad δ yvelocidad v del fluído en un punto es :G/(4.π.r2) = δ [Κg/m3].v [m/s]Los vectores v en la masa fluída se distribuyenmarcando direcciones de “líneas de corriente”,que son las trayectorias que siguen las partícu-

las del fluído. Las líneas de corriente entran radialmente si los sumideros sonpuntuales y siempre perpendicularmente a las superficies cuando los sumi-deros son extensos. Si el caño de salida tiene una hendidura en vez de unaboca distribuidora esférica, entrarán las líneas de corriente a lo largo de esahendidura. Si es un plano permeable, entrarán líneas perpendicularmente aese plano, como se muestra en la figura.

18

También es válido para un fluído que sale. Lo único que cambia es la dirección dela velocidad. El modelo para electrostática considera como fuente a las cargas positi-vas y sumideros a las negativas.

SUMIDERO PLANO

G (m3/s)

rv


La analogía fluída nos permite afirmar que en una masa M entra un fluídogravitatorio con una intensidad J = kG..M/r2 tal que produce sobre otra masam una fuerza F=J.m cuya dirección es el de las líneas de corriente.Llamaremos a J “campo gravitatorio”. J tiene dimensiones de aceleración, ycoincide con g cuando M =masa de la tierra y r = radio de la tierra.

Teorema de Gauss

Aplicado a la gravitación, el teorema dice que la cantidad de fluído gravitato-rio que pasa hacia adentro por una superficie cerrada (por ejemplo una esfe-ra) que contiene a las masas donde se sume, es proporcional a las mismas yvale J.4.ππ.r2 = 4.ππ. kG..m , de donde J.r2 =kG..m .

Significa lo anterior que el flujo de gravedad que pasa por una superficiecerrada es proporcional a la masa total encerrada por esa superficie.

Reconociendo estos principios de analogía podemos afirmar que no haycampo gravitatorio dentro de una cáscara material cerrada19, ya que adentrono hay fuentes que puedan proveer el fluído necesario para sumirse en lacáscara material. En cambio, afuera de la misma existe un mar de fluídoilimitado que puede proveerlo para que entre en la cáscara perpendicular-mente a la superficie, como si las líneas de corriente se dirigieran al centrode la esfera.

Representándose una esfera homogénea como formada por una sucesiónde capas finas superpuestas (como en una cebolla), apoyándose en la con-sideración anteriormente expuesta es válido reemplazar cada capa por unamasa equivalente en el centro. Repitiendo el proceso para todas ellas, quedareemplazada una esfera homogénea por una suma de masas puntualesigual a la masa total concentrada en su centro.

Queda así perfectamente justificada la suposición de Newton de que la fuer-za gravitatoria de la tierra sobre la manzana era equivalente a la acción deuna masa M en el centro de la tierra, es decir a la distancia R (radio de latierra) de la manzana.

Gravedad en acciónLa gravedad tiene dos acciones principales que se observan per-manentemente: la caída de los cuerpos y el peso de los objetos.

19

Newton demostró mediante el cálculus, que cada porción de la cáscara provoca unaacción gravitatoria en su interior que está compensada por otra zona opuesta, demanera que la resultante es nula.


Caída de los cuerpos – Masa inercial y gravitatoria

Galileo y Newton observaron que los cuerpos pesados caen todos con lamisma aceleración si evitamos la resistencia del aire. En un tubo sin airemonedas y plumas caen juntos, con aceleración constante igual a 9,8 m/s2.Esa constante vale, de acuerdo a la ley de gravitación universal g=kGMT/R

2

(MT = masa de la tierra; R = radio de la tierra). Multiplicada g por la masa deun objeto m nos da la fuerza de gravitación sobre la superficie terrestre, a ladistancia R del centro de la tierra. Esa fuerza se llama peso del cuerpo, pro-porcional a su masa.

El principio de inercia dice que toda acción que tienda a modificar el estadode reposo o de movimiento uniforme de un cuerpo, produce una reacciónigual y contraria proporcional a su masa y a esa acción perturbadora.

La masa gobierna, pués, tanto la atracción gravitatoria como la fuerza deinercia. Tiene sentido pensar que ambos efectos deban tener un origen co-mún, o visto desde otro ángulo, que la igualdad entre la masa de un objetodeducida de su inercia o de su peso sugiere una conexión entre la acelera-ción a y el campo gravitatorio g

Ernst Mach, notable físico y filósofo alemán del siglo pasado, aventuró laidea de que la inercia era efecto de la masa de todo el universo, que se re-sistía a que un objeto se acelerara con respecto a todo ese resto de la mate-ria. Desde este punto de vista, un objeto solitario en todo el universo nopresentaría inercia, como que no tendría sentido hablar de su posición, velo-cidad y aceleración, que requieren algún punto de referencia. Tampoco esta-ría sujeto a fuerzas de gravitación de otros cuerpos, por otra parte inexis-tentes.

Saliendo de estas disquisiciones metafísicas, nos encontramos en realidadcon el hecho de que la masa es una propiedad de la materia que gobierna lagravitación y la dinámica, y puede manifestarse ya sea como acción gravita-toria recíproca con otro cuerpo o como resistencia al cambio con respecto aun sistema de referencia inercial.

Péndulo

Cualquier objeto rígido de masa m y peso P=m.g , suspendido en un puntoO por encima de su centro de masa G y sometido a la gravedad g es unpéndulo físico. En su posición de equilibrio un péndulo se mantiene demanera que el punto de suspensión O y su centro de gravedad G pertenecena la recta de acción de la fuerza a que está sometido. Si ésta es la gravedad,la fuerza es el peso P = m.g y ese eje será vertical.

Apartado de su posición de equilibrio en un ángulo ααmáx y abandonado, unpéndulo oscila, esto es, se mueve alrededor del punto de suspensión O


rotando hacia un lado y hacia el otro de su posición de equilibrio, realizandouna ida y vuelta completa en un tiempo siempre igual T, llamado período deoscilación. La causa de esas oscilaciones es la transferencia de energíapotencial máxima cuando está quieto en los puntos extremos, a cinéticamáxima cuando su eje es vertical.

La amplitud de esa oscilación, medidapor el ángulo ααmáx, va disminuyendo pocoa poco debido a fuerzas de rozamiento ensu punto de suspensión O y a la resisten-cia del aire sobre la superficie del cuerpo.

A la distancia entre el punto de suspen-sión O y el centro de masa G se la llamalongitud ll del péndulo físico

Para girar un péndulo de la posición deequilibrio II un pequeño ángulo dαα es

necesario aplicar un momento MM = P.ll.sen(αα) (ver figura). Para ángulospequeños en los que el seno y el arco son equivalentes, resulta que sen(αα)≈≈αα y entonces MM =P.ll.αα

El trabajo exterior que debemos efectuar contra el sistema para que el pén-dulo ejecute una pequeña rotación dα es dL= MM.dαα = P.ll.αα.dαα , de maneraque la energía necesaria para llevar al péndulo a su posición de máximoángulo ααmáx resulta :E =o∫∫ααdL = ½ P.l.l.ααmáx

2

Si despreciamos el rozamiento, la energía E suministrada al péndulo semantendrá de aquí en más, transformándose de potencial en cinética y vice-versa. Cuando el péndulo cae, va transformando parte de esa energía po-tencial en fuerza viva hasta llegar a su punto inferior, (α=0) en el que laenergía total es toda cinética. Luego se remonta hacia el otro lado, ganandoaltura y perdiendo velocidad hasta llegar al ángulo –αmáx, situación en la quetoda la energía es potencial.

En una posición cualquiera medida por el ángulo α α ≤≤ ααmáx , el péndulo ten-drá una fuerza viva o energía cinética dada por la fórmula ya vista Ec = ½ Jωω2 , donde J es el momento de inercia del sólido con respecto al eje de rota-ción y ωω = dαα/dt es la velocidad angular instantánea, o sea el ángulo barri-do en la unidad de tiempo por el eje del péndulo en el momento considerado.

La energía potencial para esa posición genérica medida por el ángulo ααresulta:

PÉNDULO FÍSICO

O

G

P

−α−α+α+α

- P - P - P

OO

G G

P P

III

III

EJE

del

pén

du

lo

ll

ll.sen(αα)


U = ½ P ll αα22

El principio de conservación de la energía exige que la fuerza viva más laenergía potencial sea en cualquier momento igual a la energía total delsistema, o seaE = U+Ec , de donde E = ½ P ll αα2 + ½ J ωω2

Tomando variaciones con respecto al tiempo en todos los miembros, nosqueda:P.ll.αα.ωω + J ωω dωω/dt = 0 y dividiendo ambos miembros por J ωω y teniendo encuenta que ωω=dαα/dt y que dωω/dt = d2αα/dt2 resulta finalmente:

P.ll/J αα + d2αα/dt2 = 0

La ecuación anterior en la que la derivada segunda del ángulo con respectoal tiempo, o sea la aceleración angular del movimiento, es proporcional y designo contrario a dicho ángulo, se satisface con una solución oscilatoriaperiódica. Este hecho, por otra parte, está de acuerdo con la experiencia quemuestra que un péndulo oscila.

Entonces, ensayando como solución αα = A sen (k.t) resultadαα/dt = k. A. cos (k.t)d2αα/dt2 = -k2.A..sen (k.t)

y además P.ll/J.A sen (k.t) - k2.A..sen (k.t) = 0

Esto implica que sea P.l.l/J - k2 = 0 y por lo tanto k=√√( P.ll/J)

Además, como el péndulo tiene velocidad cero para αα = ααmáx y para el tiem-

po t = T/4 (es decir después de ejecutar un cuarto de período), resulta queA. cos (k.t) = 0 cuando k.t=ππ/2 , de donde k.T/4 = ππ/2 o sea que el períodode oscilación de un péndulo físico vale

T = 2ππ/k = 2.ππ.√√(J / P/ ll)Reemplazando el momento de inercia J = m.i2 (i = radio de inercia) y P=m.g, la anterior queda:T = 2.ππ √√i2/ ll / g

La constante A se deduce de la condición ααmáx = A sen (k.T/4) = A..sen(ππ/2)de donde A=αα máx


Péndulo matemáticoSe llama así al formado por una masa puntual m suspendida por una varillao hilo de longitud ll sin peso. Para él es J = m.ll2 y entonces su período vale T= 2ππ.√√(J/m/g/ll) o sea T = 2ππ√√ .ll/gSe aproxima a un péndulo matemático una esfera muy densa suspendida deun hilo largo.

EjemploAveriguar el período de oscilación de un pénduloformado por una varilla de madera de ancho a=2cm por un espesor ev = 1cm y de longitud lm=1m,en cuyo extremo va un disco de cobre de radioR=10 cm y espesor e=1 cm. La densidad de lamadera es 1000 Kg/m3 y la del cobre vale 8000Kg/m3. El sistema se suspende desde un punto Osituado a lO=10 cm del extremo libre de la varilla.

Solución: Aplicamos lo deducido para el péndulo

físico, a saber: T= 2.ππ.√√(J / P/ ll) donde:M = Masa total ; M = Vdisco.δcu + Vvarilla.δmadera = πR2 e.δcu + a.ev.lv.δmadera=2,51Kg + 0,2 Kg ; P=2,71 Kg. 9,8 m/s2 = 26,56 Nl = distancia entre el centro de gravedad G del sistema y el punto de suspensión OEn la figura se ha representado el polígono funicular para encontrar el punto de aplica-ción G de la resultante P , en caso de desear una resolución gráfica.

Tomando momentos con respecto al punto de suspensión O podemos ponerP.l = Pd.ld + Pv.lvDe la figura resulta ld = lm-lo+r = 1-0,1+0,1=1m ;

lv = lm/2-lo = 0,5-0,1 = 0,4 mDe la expresión anterior sale quel = (Pd.ld + Pv.lv)/P = [2,52 Kg.x1m + 0,2 Kgx 0,4m].9,8 / 2,72 Kg/9,8 = 0,956 m

J = Momento de inercia con respecto al punto de suspensión: es la suma de los mo-mentos de inercia del disco y de la varilla. J = Jdisco + Jvarilla cada uno con respecto alpunto de suspensión.

Estudiemos ahora dos posiblesmomentos de inercia baricéntri-cos del disco:

La ecuación del círculo esx2+y2=R2

de donde x=(R2-y2) ½

Momento de inercia de un cuartode disco con respecto a un ejeradial (que pasa por el centro de

lo

ll

Gv

Gd

G

Pv

Pd

P

Pv Pd

P

ld

lvO

lml

R

x

y dy

eje x

eje

y

α

e


gravedad), de acuerdo a la figura de la derecha

Jdxx/δCu/e/4 = y=0∫y=R x.y2.dyReemplazando y=R sen α , x= R.cos αresulta dy = R cos α dα , y entonces

Jdxx/δCu/e = a=0∫a=π/2 R2 cos α .R2 sen2 α cos α da =

a=0∫a=π/2 R2 (1-sen2α) .R2 sen2 α dα =

= R4 a=0∫a=π/2 (sen2α –sen4α) dα = R4.[π/4 - 3π/16] = πR2.R2.(1/16)

Entonces Jdxx = (.δCu.e πR2).R2.4(1/16) = M R2/4 , que es el momento de inercia delcírculo con respecto a un eje baricéntrico radial.

Ya habíamos visto antes (cuando nos daba clases el Ing. Cattáneo) que el momentode inercia de un disco con respecto a un eje baricéntrico perpendicular al anterior, osea el eje z, era Jzz = ½ M.R2 (figura de la izquierda). Resulta así Jzz = 2 Jxx

Teorema de SteinerPero lo que necesitamos es el momento de inercia con respecto al eje de suspensióndel péndulo paralelo al eje zz. A partir del momento de inercia baricéntrico (que pasapor el centro de masas o baricentro), se puede encontrar el momento de inercia quepasa por cualquier otro eje paralelo al primero, en base a la siguiente deducción debi-da a Jacobo Steiner, geómetra suizo que vivió en la primera mitad del siglo XIX:

El momento de inercia de un sistema con respecto a un eje que dista d del baricentropuede ponerse como: J = Σ mi.(di+d)2 = Σ mi (di

2+2di.d+d2) = Σ mi di2 + 2 d Σ mi.di + d2 Σ mi

El primer término Σ mi di2 es el momento de inercia baricéntrico, que llamaremos Jg

En el segundo término, es nulo Σ mi.di , ya que es el momento de primer orden conrespecto al baricentro. Además es Σ mi = M (masa total del cuerpo), así queJ = Jg + M d2 , lo que significa que el momento de inercia de un cuerpo con respecto acualquier eje se puede obtener sumando al correspondiente momento de inercia bari-céntrico un término igual a la masa por el cuadrado de la distancia entre ejes.

Aplicando el teorema de Steiner resulta que elmomento de inercia del disco con respecto a uneje paralelo al zz que pase por O esJd=Jzz+Md.ld2 = Md ( ½ R2+ ld2 )Reemplazando valores, se tiene Jd=2,52 Kg ( ½0,12 + 12) = 2,533 Kg m2

Momento de inercia de un prisma de base rec-tangular de dimensiones axe y altura l (unavarilla) con respecto un eje baricéntrico. Segúnla figura, el valor de la integral doble es Jo = (1/12)

δ.e.a.l.[a2.+l2.] =1/12 Mv [a2.+l2.]

Se puede considerar a la varilla formada por dosprismas de igual base y diferente altura: uno de

dxdy

x

y

(x2+y2)

Jo=δe ∫ ∫[(x2+y2)½]2dx.dy

a/2

l/2

-l/2

-a/2

x=-a/2

a/2

y=-l/2

l/2

e

O


altura lo por sobre el eje de suspensión, y otro de altura (lm-lo) por debajo de éste. Elmomento de inercia total de la varilla con respecto al eje que pasa por el punto desuspensión O será de acuerdo al teorema de Steiner la suma de los respectivos mo-mentos baricéntricos Jo1 y Jo2 más las sendas correcciones debidas al que el eje deinercia se corre desde los centros de masa hasta la base de los prismas, que valenrespectivamente M1 lo

2 y M2.(lm-lo)2:

Entonces Jv =.M1.[1/12.(a2.+lo2) + lo 2] + M2.[1/12. (a2+(lm-lo)2) + (lm-lo)2] para

M1 = δm.a.e.lo = 1000 Kg/m3. 0,02m. 0,01m; 0,1 m = 0,02 Kg

M2 = δm.a.e.(lm-lo) = 1000 Kg/m3. 0,02m. 0,01m; 0,9 m = 0,18 KgResulta entonces:Jv = 0,02.[1/12 (0,022+0,12)+0,12] + 0,18 [1/12 (0,022+0,92) + 0,92] == 0,000217 + 0,157956 = 0,158173 Kg m2

El momento de inercia total del sistema disco-varilla con respecto al punto de suspen-sión es entonces: J = Jd+Jv = 2,533+0,158 = 2,691 Kg.m2

El período del péndulo para g=9,8 m/s2 resulta T= 2.ππ.√√(J / P/ ll) = 2,0454 s

La longitud equivalente de un péndulo matemático sería l = (T/2/π)2.g = 1,0397 m, esdecir que si consideramos una masa concentrada cualquiera colgada de un hilo inex-tensible y sin peso de longitud 1,035 m tendría el mismo período que nuestro pénduloreal de longitud total lT = ld + lo + rd = 1,2 m

Fenómenos GiroscópicosUn cuerpo rígido con simetría axial presentafenómenos inerciales muy interesantes cuan-do gira sobre su eje. Todos experimentamosalguna vez con un trompo al que hacíamosgirar rápidamente sobre su eje, y que nosdeleitaba al mantenerse parado sobre el lapunta de su eje mientras duraba la rotación.Cuando la velocidad menguaba, el trompocomenzaba a inclinarse y bailotear de manera muy característica. Al finalcaía y rodaba sobre el piso (generalmente a un sitio inaccesible, por ejemplobajo el sofá).Un trompo más elaborado es el giróscopo: una rueda pesada con un ejesostenido por sus extremos en un bastidor. Un tirón al hilo arrollado sobre sueje le da rápido giro. Parado sobre su eje, se comporta como un trompo. Elarmazón permite que siga girando con el eje horizontal, sin que la ruedatoque el piso.

El conjunto se opone al cambio de dirección del eje, ejerciendo una reacciónen sentido perpendicular a la acción. Lo mismo que el péndulo, el giróscopomantiene el plano de rotación invariable con respecto a las estrellas fijas.Esta propiedad lo hace un buen sucedáneo de la brújula, que no es afectado


por campos magnéticos.Por qué tiende a mantener su eje vertical el trom-po en rotación o el giróscopo tiende a oponerse alcambio de dirección con una insospechada reac-ción, son cuestiones que matemáticamente seresuelven y explican sin dificultad, pero que con-trarían nuestra intuición mecánica. A continuacióndaremos una explicación más intuíble, atribuída aPoggendorff20. Para ello consideremos que elgiróscopo en rotación de la figura tiende a servolcado en el sentido de las flechas verdes (ensentido horario). Las porciones de la rueda queestán en el plano del papel (R y S) experimentan traslaciones paralelas a suvelocidad, no obrando sobre ellas fuerza de inercia alguna. En cambio laspartes de la rueda que están adelante y atrás del plano de la rotación (P y Q)cambian por efecto de ésta la dirección de su velocidad tangencial (flechablanca a flecha verde) y están sujetas a una aceleración que se ha repre-sentado por una flecha roja. Proporcionalmente a ella aparecerá una reac-ción sobre el conjunto que tiende a volcar el trompo hacia nosotros (flechasanaranjadas). Si el momento volcante está creado por el peso del aparatoinclinado sobre su soporte, como se ve en la figura anterior, la reacción queaparece en un plano perpendi-cular se compone con aquéldando como resultante un movi-miento llamado de precesión, enla que el eje del trompo describeun cono. Si el aparato recibe unmomento volcante con acelera-ción, la reacción también seráacelerada y el sistema oscilaráalrededor de la curva de prece-sión, dando como resultado unasuperficie festoneada cuyo contorno es una cicloide. Este movimiento sellama de “nutación”.

La explicación matemática de la reacción giroscópica se basa en el principio deinercia aplicado a cuerpos rotantes, equivalente al principio de Newton: así como lafuerza F es igual a la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo, elmomento (fuerza Ÿ distancia) es la derivada de el momento de la cantidad de movi-miento D = m.vŸr y entonces resulta:F=d(m.v)/dt y MM =FŸr de donde MM=d(m.vŸr)/dt = dD/dtEn un cuerpo rígido como el giróscopo, formado por masas elementales mi a distan-cias ri del eje de giro que gira a velocidad angular ωω=vi/ri es D=ΣΣmi.viŸri = ΣΣωω.mi.ri

2

20

J.G.Poggendorff, físico, químico, filósofo y médico alemán (1793-1877), quiénestudió diversas cuestiones de magnetismo, mecánica y química.

PRECESIÓN Y NUTACIÓN


=ωω.J, para J=ΣΣmi.ri2 (momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de giro).

Entonces MM = dD/dt = J.dωω/dt , lo que indica que la variación del vector velocidad

angular dω debe tener la misma dirección que el momento aplicado M . Si el momento

aplicado M es perpendicular a ω, ésta tenderá acolocarse paralela a la primera, explicándose asímatemáticamente el origen del movimiento deprecesión

Asimismo el momento de la cantidad de movimientoD es un vector de la dirección de la velocidad an-gular ωω , la que por otra parte coincide con la direc-ción del eje de giro, así que el ángulo infinitesimaldD/D es el que gira en un tiempo dt el vector ωω, osea que es la velocidad angular del movimiento deprecesión del aparato. De tal manera dicha veloci-dad es dD/dt/D =dωω/ωω/dt = MM/J/ωω , lo que nos diceque la velocidad de precesión de un giróscopo esproporcional al momento aplicado e inversamenteproporcional al momento de inercia y la velocidad de rotación del aparato.

ωω

MM

dωω

ω+

ω+d

ωω


Balanza

Se construye una balanza de precisiónsuspendiendo una estructura rígida(tipo viga reticulada) exactamente ensu punto medio, un poco por encimade su centro de masa. En sus extre-mos cuelgan sendos platillos iguales.En uno de ellos va el objeto a pesar yen el otro van las pesas calibradas.Los puntos de apoyo central de la vigay los de los extremos de los platillosson, en las balanzas de calidad, afila-das cuñas de acero duro que descansan casi sin rozamiento sobre cunas en“v” de cuarzo. El tipo de suspensión de los platillos mediante cuñas y cunastransmite a la viga solamente esfuerzos que pasan por esos apoyos, sin losmomentos que podrían crear cargas descentradas sobre los platillos. Todoesto garantiza que cuando la balanza está en equilibrio las masas de loscuerpos en ambos platillos son iguales.

El aparato tiene normalmente unaaguja solidaria a la viga (fiel), paraindicar desviaciones del equilibriosobre una escala. Esta indicacióncalibrada convenientemente sesuma o resta de la masa de laspesas para ajustar a un peso másexacto.

En la balanza de brazos iguales delongitud L, centro de suspensión en O ,centro de masas de la cruz en G y masa

M, con una pequeña sobrecarga DP en el platillo derecho, la posición de equilibrio selogra a costa de una inclinación del fiel un ángulo α de tal manera que los momentosde las fuerzas con respecto a O se equilibren:(P+∆P).L.cos(α) = P.L.cos (α) + M.g.GO.sen (α) , de donde ∆P.L = M.g.GO.tg (α)

La razón tg (αα) / ∆∆p mide la desviación por unidad de peso de la balanza (sensibili-dad) es directamente proporcional a la longitud de los brazos e inversamente propor-cional a la masa de la cruz y a la distancia entre el centro de gravedad de la misma yel punto de suspensión.

Una balanza equilibrada es un péndulo físico de gran momento de inercia y aunquetiene poca distancia entre centro de gravedad y punto de suspensión (para presentarbuena sensibilidad) presenta un período relativamente elevado. Como tiene escasísi-mo rozamiento, sus oscilaciones se amortiguan lentamente. Para no esperar un tiem-po demasiado largo a que el sistema se detenga y así conocer la posición de equilibrio

BALANZA DE PRECISIÓN

α

G

O

P+∆

P

P

L.cos α L.cos α


de la aguja sobre la escala, se obtiene ésta indirectamente promediando varias lectu-ras extremas sucesivas.

Se distinguen en la balanza, como en cualquier instrumento de medida, lassiguientes características:

Exactitud, medida por la inversa del error absoluto de la medida, es decir ladiferencia entre valor medido y valor verdadero. Depende de la bondad en lacalibración de las pesas y de la igualdad y simetría entre brazos y platillos.Precisión, medida por la cantidad de cifras exactas con las que se puedeexpresar la medida. Depende de las dos siguientes cualidades.Umbral, que es la magnitud necesaria para que el instrumento acuse unamedición no nula. Es proporcional al rozamiento en las articulaciones.Sensibilidad, que es la razón entre lectura (en divisiones) y magnitud corres-pondiente (masa). Ya vimos que es función de la geometría y peso de loselementos. La rigidez del sistema es condición para que la sensibilidad semantenga con la carga.

Con una balanza de laboratorio se puedencomparar masas con una precisión de 10-7 Kg(una décima de miligramo), que equivale adetectar sobre uno de los platillos una gota deagua de tan sólo 0,6 mm de diámetro (como elpunto de esta “i”)

Existen balanzas de brazos desiguales,llamadas “romanas”. El brazo más largotiene una escala y sobre él se desliza unpeso, que debe estar sobre el cero de laescala con la balanza en equilibrio cuan-do no hay carga sobre el platillo. Parapesar la merluza, se la coloca en el plati-llo y se desliza la pesa hacia la derechahasta que el brazo esté horizontal. En talcaso el sistema de fuerzas paralelasformado por los pesos del pescado másel platillo, el brazo izquierdo, el brazoderecho y la pesa deslizable tiene resul-tante que pasa por el gancho de suspensión. La brazo del pescador quesostiene la balanza realiza una fuerza vertical igual a la resultante, llamada“equilibrante” del sistema.

Experiencia para determinar kG

Debajo de una balanza de platillos equilibrada con una masa de 1 Kg encada platillo, se coloca una gran esfera de plomo de 2 m de diámetro. Ladistancia entre platillos es de 1 m y la bola está a 5 cm debajo del platilloizquierdo. ¿Cuánto acusará de desequilibrio la balanza?

BALANZA ROMANAEN EQUILIBRIO


En la figura se ve que a los pesos en equilibrio P que actúan debido a lagravedad de la tierra se le suman lasacciones atractivas de la bola deplomo sobre los platillos cargadosizquierdo y derecho, que son respec-tivamente F1 y F2

Resulta entonces:MPb = VPb.δPb = 4,189 m3 . 11300 Kg/m3 =47333 Kg , por lo tanto:F1 = kG.MPb.1/d2 == 6,72.10-11. 47333/1,052 = 2,88.10-6 NF2 = kG.MPb / 1,452. == 6,72.10-11. 47333/1,452 = 1,51.10-6 N

Se ha exagerado la pequeña inclinacióndel platillo derecho, que forma un ánguloγγ con la vertical, siendo tg ββ = 1/1,05 dedonde ββ=43,6º

Entonces:tg γ = F2.cos β / (P+ F2.sen β) = 1,51.10-6.cos(43,6º)/(9,8+1,51.10-6.sen(43,6º)tg γ = 1,093.10-6/(9,8) , de donde γ γ = (6,39.10-6 ) grados

De acuerdo al teorema del coseno es:(P+F2)

2 = P2+F22+2.P.F2.cos (β) =

= 9,82+ [1,51.10-6]2+2.9,8.1,51.10-6.cos(43,6º)= 96,040021 Nde donde P+F2 = 9,800001094 NComo P y F1 están en la mismadirección es:|P+F1|= P+F1 = 9,8+2,88.10-6 =9,80000288 N

En la figura se esquematiza laposición de equilibrio, cuando lasfuerzas en los platillos y el pesode la balanza M.g aplicado en elcentro de gravedad G dan unaresultante R que pasa por el ejede giro de la balanza O

La balanza indicará aproximadamente la diferencia entre las dos fuerzas, yaque ellas están prácticamente en el misma dirección vertical, o sea:9,80000288 - 9,800000151 = 1,79.10-6 N = 1,82.10-7 KgEsta diferencia de casi dos décimas de miligramo es bastante superior alumbral de la balanza y por lo tanto perfectamente apreciable.

F1

F2

1,05

m1 m

1,45 m

4,189 m3

PP

+F2P

γγ

ββ

γ

δ

δ

lo G

P+

F1

P+

F2

l l

O

M.g R R


La experiencia se realiza en forma práctica equilibrando los dos platillos conmasas iguales sin la presencia de la bola y observando la deflexión del fiel aldeslizar aquélla debajo de uno de los platillos. Se comprende así que dichadeflexión sea causada por la diferencia entreF1= 2,88.10-6N y la proyección vertical de F2, que valeF2.cos (β) = 1,093.10-6 N , o sea ∆F = 1,79.10-6NLa componente horizontal de F2 crea un momento que produce la impercep-tible inclinación del platillo derecho en un ángulo γ con respecto a la verticalya calculado antes.

Este experimento fué realizado como seacaba de explicar, con una balanza co-mún, por el físico inglés Poynting en1913. De la medida de ∆F se deduce elvalor de la constante kG

Anteriormente otros dos ingleses, Caven-dish a fines del siglo XVIII y Boys a finesdel XIX habían medido la atracción gra-

vitatoria de dos grandes masas fijas sobre un par de masas más pequeñascolocando éstas sobre una varilla horizontal sostenida por un hilo de cuarzo,que resiste levemente a la torsión producida por el par de atracciones. Laspequeñas deflexiones del sistema se detectan con un rayo de luz reflejadoen un espejito solidario a la varilla. El haz de luz reflejada gira el doble delángulo barrido por la varilla con las dos masas y se proyecta sobre unapantalla alejada, amplificando así la desviación del sistema móvil.

El problema del tiro

Tiro en el vacíoYa se vió que la trayectoria de un proyectil en el vacío bajo un campo gravitatorioparalelo es una parábola. El estudio del problema puede encararse adecuadamenteaplicando las leyes de la dinámica de Newton independientemente para la coordenadahorizontal (x) y la coordenada vertical (y), y superponer los efectos en virtud del princi-pio de superposición. Así resulta que para una partícula de masa m y aceleracionesvertical y horizontal respectivamente iguales a d2x/dt2 y d2y/dt2 se pueden plantear lassiguientes ecuaciones:

fx = m.d2x/dt2= 0 , ya que es nula la fuerzahorizontal aplicada sobre la partícula en movi-miento.

De aquí se deduce que la velocidad horizontales constante, o sea, fi vx = dx/dt = constante =vox (velocidad horizontal inicial) = vo.cos (α).Integrando sale que:x-xo = vo.cos(αα).t [1]

EXPERIENCIA DE CAVENDISH

2α 2α α α

α α

y

x αo

vo

v vy

vx


De la misma manera, igualando la masa por la aceleración vertical al peso de la partí-cula (única fuerza actuante) resulta:fy = m.d2y/dt2=-m.g, fi dy/dt = - g.t+CLa constante de integración C resulta de considerar que v=v0 cuando t=0, e y=y0

C = dyo/dt = voy (velocidad vertical inicial)= vo.sen(αο)y-yo = - ½ g.t2 + vo.sen(ααοο).t [2]

Como se ve, [1] y [2] son las ecuaciones paramétricas de una parábola de eje verticalque pasa por el punto de disparo del proyectil, de coordenadas (x0, y0)

Tiro en el seno de un fluídoCuando el proyectil se mueve en el seno de un fluído quieto, por ejemplo elaire calmo, el medio produce una resistencia o fuerza contraria a la velocidadde la partícula, como se explica luego en esta obra al tratar la mecánica defluídos. La dependencia entre resistencia y velocidad es una combinación dedos efectos: el de rozamiento viscoso y el efecto inercial del desplazamientodel fluído creado por el paso del móvil. El primero es preponderante a veloci-dades bajas (régimen laminar) y el segundo es más importante a velocida-des altas (régimen turbulento). Estudiaremos ambos por separado.

Resistencia viscosa proporcional a la velocidad (modelo de Stokes)En este caso la fuerza de sentido contrario a la velocidad, viene dada por la fórmula deStokes, tratada in extenso en este libro más adelante.fv = [4.π.ηπ.η.r].v = b.v , donde:η=viscosidad

21; r=radio del proyectil que se supone de forma esférica. Este modelo

tiene sólamente en cuenta la resistencia viscosa y no la inercial.

Para la componente horizontal vale el siguiente desarrollo:fx = m.d2x/dt2 + b.vx = 0 ; d2x/dt2 = dvx/dt=-(b/m).vx, fi ln(vx) = -(b/m).t + ln(vox)vx = v.cos(α) = vox.e

[-(b/m).t] (que indica que la velocidad decrece exponencialmente conel tiempo)vox.e

[-(b/m).t] = dx/dt fi x = Ú vo.cos(αο).e[-(b/m).t] dt + C =

= vo.cos(αο).(-m/b).e[-(b/m).t] + C1 fi C1 = xo + vo.cos(αο).m/bx-xo = vo.cos(ααοο).(m/b).(1- e -(b/m).t)

Considerando la acción vertical de la gravedad resulta:fy = m.d2y/dt2 + b.vy = - m.g ; d2y/dt2= dvy/dt = -(b/m).vy – gSea u = (b/m).vy+ g fi du=-(b/m).dvy fi dvy/dt = (-m/b).du/dt = u fi du/u = (-b/m).dtIntegrando se obtiene ln(u)= (-b/m).t + ln(uo) fi u=uo.e

(-b/m).t

(b/m).vy+ g = [(b/m).voy+ g]. e(-b/m).t ; vy = (m/b).[(b/m).voy+ g]. e(-b/m).t - (m/b).g = dy/dtIntegrando nuevamente resulta:y=(-m/b).(vo.sen(α).b/m+g).(m/b).e(-b/m).t – g.m/b.t + C2

C2 = yo + m/b.vo.sen(αo) + g.m2/b2

y-yo = (vo.sen(ααo).m/b + g m2/b2)(1-e-b/m.t)-g.m/b.t

21

Como se explica al estudiar los fenómenos de movimiento interno en un fluído, laviscosidad mide la resistencia al deslizamiento entre capas próximas del mismo, y esproporcional a la velocidad relativa entre ellas.


Resistencia inercial proporcional al cuadrado de la velocidad(modelo de Newton)Como se explica en esta obra al tratar sobre la resistencia de objetos en movimientodentro de un fluído, se emplea la fórmula de Newton para la fuerza de resistenciacuando predomine el efecto inercial, que depende del peso específico y no de la vis-cosidad del fluído:fv = [k.ρρ/2/g.S].v2 = b’.v2 (fórmula de Newton)k = coeficiente de forma (por ejemplo, para una esfera es k = 0,4)ρ = peso específico del fluídoS = superficie de carena, o sea la proyección del cuerpo sobre un plano perpendiculara la velocidad.

Horizontalmente sólo actúa la fuerza de resistencia:fx = m.d2x/dt2 + b’.vx

2 = 0 ; d2x/dt2 = dvx/dt=-(b/m).vx2, fi -1/vx = C3 –b’/m.t ; C3=-1/vox

vx = 1/(b’/m.t+1/vox) =dx/dt = dx/dt ; dx = dt/(b’/m.t+1/vox) = (m/b’) d(b’/m.t+1/vox)/(b’/m.t-1/vox)dx = (m/b’) d ln (b’/m.t+1/vox) fi x = (m/b’) . ln (b’/m.t+1/vox) + C4

C4 = xo - (m/b’).ln (1/vox)x-xo = (m/b’) .[ln (b’/m.t+1/vox) - ln (1/vox)]

Para la dirección vertical, interviene además la fuerza de gravedad m.g :fy = m.d2y/dt2 + b’.vy

2 = -m,g ; d2y/dt2 = dvy/dt=-(b/m).vy2-g

dt= -dvy/(g+vy2.b’/m)= -dvy/[g(1+vy

2.b’/m/g)]= -(m/g/b’)½.d[vy.(b’/m/g)½]/(1+[vy2.(b’/m/g)½]2)

Integrando resulta– (g.b’/m)½.t = arc tg [vy.(b’/m/g)½] -C5 fi C5=arc tg [vo.sen(ααo).(b’/m/g)½]Sacando la tangente en ambos miembros queda:[vy.(b’/m/g)½] = tg {arc tg [vyo.(b’/m/g)½] – (g.b’/m)½.t)} = tg [C5-(g.b’/m)½.t)]vy = dy/dt = (m.g/b’)½ .tg [C5-(g.b’/m)½.t)]y = (m.g/b’)½ Útg [C5-(g.b’/m)½.t)].dt + C6 = (m.g/b’)½ I + C6

I =Útg [C5-(g.b’/m)½.t)].dt = -(m/g/b’)½Útg [C5-(g.b’/m)½.t)].d [C5-(g.b’/m)½.t)] =

= -(m/g/b’)½{-ln cos [C5-(g.b’/m)½.t)]}y = (m/b’).ln cos [C5-(g.b’/m)½.t)] + C6

C6 = yo - (m/b’).ln cos [C5]

Se puede observar en la figura lastrayectorias de tiro que surgen derepresentar gráficamente las ecuacio-nes según los modelos de Stokes y deNewton para una bolita de hierro de 1cm de diámetro en un medio aceitoso,lanzada a una velocidad inicial de 3m/s y con un ángulo de 45º. La tra-yectoria real se acerca más a la deStokes, en este caso, por tratarse deun medio de alta viscosidad.

Tiro en medios fluídos

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Stokes Newton vacío


En torno a la gravedadLas ecuaciones del movimiento de un pro-yectil en el vacío con campo gravitatorioconstante dan una parábola. Sin embargoesto es sólo una aproximación aceptablepara el caso de proyectiles de corto alcan-ce, para los que la tierra es prácticamenteplana. Como vimos cuando tratamos elmodelo fluído, la gravedad creada por unplano material es de líneas de campo per-pendiculares a la superficie y paralelasentre sí22. En cambio, en el caso que semuestra en la figura que acompaña debetenerse en cuenta que la curvatura de latierra impone al campo gravitatorio líneas radiales que se sumen en el centrode la esfera. La densidad de líneas de campo gravitatorio en una zona es

proporcional a su intensidad23. Cuando los proyec-tiles son de largo alcance, su trayectoria se aleja losuficiente como para que las líneas de campo seansensiblemente menos densas. El campo gravitatorioradial hace que la parábola, que es una curvaabierta, se transforme en elipse, que es una curvacerrada. Uno de los focos de esa trayectoria elípticaes el centro de la tierra, como se vió al tratar movi-miento central.

En el dibujo adjunto se ve que a un campo paralelo (líneas verdes) producidopor un cuerpo de superficie plana ilimitada (verde), le corresponde una tra-yectoria parabólica (roja). En cambio, a un cuerpo esférico (gris), con líneasde campo convergentes en el centro (negras) le corresponde una trayectoriaelíptica (verde), que parte de A con la misma inclinación.

Si la tierra fuera más chica con igual masa y manteniendo su centro, y pasa-ra de la esfera gris a la interior rojo oscuro, se estaría ante una tierra másdensa. En tal caso la trayectoria elíptica verde del proyectil se mantendría yno cortaría a la esfera reducida. Para que ello ocurriera y el proyectil setransformara en un satélite artificial, se lo debería lanzar con idéntica veloci-dad que antes desde el mismo punto A, que ahora quedaría fuera del pla-neta, a gran altura.

22

Un campo de líneas paralelas es constante en todos sus puntos23

La densidad de líneas en el caso de campo radial es inversamente proporcional alcuadrado de la distancia, lo cual autoriza precisamente a adoptar el modelo del “fluídogravitatorio” con sumidero en las masas.

TRAYECTORIAS DE PROYECTILES BALÍSTICOS

A

B


Precisamente, para poner en órbita un artefacto se lo eleva casi vertical-mente con un cohete a altura conveniente. Desde allí, con otro cohete, se leimparte velocidad horizontal suficiente como para que siga libremente des-cribiendo una trayectoria que no intercepte a la tierra, siguiendo una órbitade magnitud y excentricidad adecuadas al servicio que prestará el ingenio(comunicaciones, imágenes, espionaje, etc.) . En la jerga de cohetería espa-cial, se llama a esta velocidad “de inserción” en la órbita.

En el caso de una órbita circular de radio R, el artefacto describe un movi-miento circular uniforme de velocidad tangencial v tal que la fuerza centrífu-ga Fc = m.v2/R equilibre a la atracción gravitatoria Fg = kG.MT.m / R2 , es decirv = (kG.MT/R) ½ , o bien, considerando que g=kG.MT/RT

2 , la anterior puedeponerse bajo la forma v = [(kG.MT/RT

2).RT2/R] ½ = RT .g ½ / R ½

La velocidad angular será ω = v/R = RT .g ½ / R 3/2

Por ejemplo: Se desea poner en órbita un satélite ecuatorial que se mantenga fijo enel cielo. A qué velocidad horizontal y a qué altura debe lanzarse?.La condición de que se mantenga fijo en el cielo determina su velocidad angular, quedebe ser igual a la de la tierra, es decirω = 2.π/24/3600 = 7,27.10-5 rad/s

Además es R = (RT g ½/ ω) 2/3 = (6378000 m . 3,13 m ½.s-1 / 7,27.10-5 s-1) 2/3 == 42238 Km , o sea que orbitará a una altura de 35860 Km

La velocidad de inserción horizontal que debe impartirle el segundo cohete valev = ω.R= 7,27.10-5. 42238 Km = 3,1 Km/s = 11054 Km/h

Transitando por la gravedadPara mover una masa a través de un camino en un campo como el gravitato-rio, donde las líneas sólo mueren sumiéndose en la materia, hay que eje-cutar un trabajo que es el resultado de sumar trabajos elementales (producto

escalar de fuerza por elemento de camino o longitud ∆l): T= Σ F.∆∆ll , cuyovalor no depende más que del punto de partida y el punto de llegada, sinimportar por dónde pasa el camino que recorre la fuerza. Esto es así, debidoa que el campo (o aceleración gravitatoria) es la pendiente de una funcióndel espacio llamada potencial, análoga al nivel de un terreno en el que lamateria es una depresión. Así como el terreno alrededor de un hoyo tienelíneas de nivel y líneas de máxima pendiente, el espacio alrededor de unamasa tiene superficies de igual potencial y líneas de campo. Éstas son lastrayectorias que seguirían masas exploratorias abandonadas en diferentespuntos del espacio.


Se puede construir fácilmente un símil topográfico de un sistema gravitatoriocolocando una esfera pesada sobre un tejido elástico o membrana tirante. Ladepresión que provoca su peso sobre el tejido se propaga en el espaciocomo un campo gravitatorio.

Si se lanza convenientementeuna bolita alrededor de la masa,girará alrededor de ella en formamuy parecida a un satélite alre-dedor del cuerpo que ejerce unaatracción gravitatoria24, o even-tualmente pasará de largo conuna trayectoria hiperbólica si elimpulso inicial es suficiente.

Como dijimos, el trabajo necesario para llevar un masa m desde un punto Aa otro B dentro de un campo gravitatorio creado por una masa M está medi-

do por la energía EAB = A∫BF.dll (integral de un producto vectorial)25 paraF=kG.M.m/r2 y siendo dll el desplazamiento elemental .

Nótese que el campo se sume paralela-mente a la superficie de la materia (en estecaso de forma irregular) que lo produce.Sin embargo a una distancia grande com-parada con las dimensiones del cuerpo, laslíneas son sensiblemente radiales como sifueran a parar al centro de masas deaquél. Por supuesto que si el cuerpoatractor es esférico y homogéneo, el cam-po es siempre radial, a cualquier distanciade su centro de masas.

En el dibujo, las líneas azules son las decampo (líneas de fuerza) y las anaranjadas son las líneas de igual potencial,que en realidad son las intersecciones con el plano del dibujo de las superfi-

24

La órbita de la bolita es una curva alabeada (no plana) a diferencia de la órbitagravitatoria y es comparable con ésta sólo su proyección vertical, que sería una elipsesi no hubiera rozamiento. A causa de éste, es un espiral elíptica que termina al preci-pitarse en el hoyo, junto a la esfera mayor.25

Esa integral de línea (a lo largo de un camino) de un vector se llama circulaciónentre los límites A y B. Cuando el vector es una fuerza, la circulación se llama trabajo.Cuando es un campo conservativo (sin fuentes ni sumideros a lo largo del camino), sellama diferencia de potencial. El gradiente del potencial es el campo en el punto consi-derado. La circulación en un camino cerrado es nula si el campo es conservativo.

SÍMIL TOPOGRÁFICO DE LA GRAVEDAD

líneas de máxima pendiente = líneas de campo

líneas de nivel = líneas equipotenciales

A

B

B’

A’

-1

-2

-3

-4

-5

-6

rB

rA


cies cerradas que rodean a la materia para las cuales el potencial es igual entodos sus puntos (superficies equipotenciales).

El trabajo necesario para alejar una masa m entre A y B es el mismo reco-rriendo cualquier camino que una esos puntos, de la misma forma que parallevar un peso por la ladera de una montaña: lo que cuenta es la diferenciade nivel entre puntos inicial y final.

Por ejemplo, por el camino directo (en negro) la integral vale lo mismo quepor el rojo o por el verde. En estos últimos hay una parte en la que el trabajoes nulo, de A a A’ y de B’ a B. En estos tramos el producto vectorial seanula por ser F perpendicular a la trayectoria. Queda como trabajo el reali-zado entre A y B’ o lo que es igual, el realizado entre A’ y A, trayectoriasambas en las que la fuerza tiene la misma dirección de la trayectoria, y por lotanto el producto escalar de los vectores fuerza y distancia se transforma enproducto de los módulos de ambos vectores, es decir

EAB = A∫B’F.dll = kG.M.m A∫B’ dr/r2 = kG.M.m [1/rA - 1/rB] = m.(UA – UB) siendo U elpotencial del punto respectivo

El potencial varía inversamente a la distancia siempre que r sea grandecomparada con las dimensiones de la masa, es decir que el campo puedaconsiderarse radial. Así es Ur = kG.M/r

Como rA < rB el trabajo es positivo, es decir que hay que entregar trabajopara alejarse de la masa atractora.

Se ve también que el potencial es nulo a gran distancia de la masa, o seapara r→ ∞ . El significado físico de esta consecuencia matemática es unafuente de gravedad muy lejos de las masas, desde donde provienen laslíneas que se sumen en ellas. El símil topográfico de esta configuración delíneas y potenciales sería una planicie al nivel del mar afectada por un hun-dimiento localizado, o en el modelo hidráulico, una pileta enorme que nuncase vacía a pesar del agua que sale por un sumidero colocado en un nivelmás bajo que la superficie.

Escapando de la gravedadNo todo lo que sube tiene que bajar forzosamente. Se puede impartir a unproyectil la energía necesaria para que venza la atracción gravitatoria, y aúnla supere, yéndose definitivamente de nuestro lado para nunca más volver.Analicemos esta proposición con reminiscencias de tango desde el punto devista físico:


La energía necesaria paraescapar con un cuerpo demasa m de la gravedadgenerada por un cuerpode masa M es:

EA∞ = A∫∞F.dll =

= kG.M.m A∫∞ dr/r2 =

= kG.M.m [1/rA] = m.UA

Si quisiéramos escaparcon un artefacto de masam de la gravedad de latierra, de masa M y radiorT, deberíamos suminis-trarle un trabajo que esigual a la variación defuerza viva:Ec = ½ m ve

2 = kG.M.m [1/rT] de donde ve = (2.kG.M/rT) ½ ,

y dado que g=kGM.m/rT2 es entonces

ve=(2.g.rT)½=(2.9,8.6378000)½= =11181 m/s

A esta velocidad se la llama “velocidad de escape”, y es la que debe poseercomo mínimo un proyectil en la superficie de la tierra para escapar a la gra-vedad26. Sale así de la trayectoria elíptica (cerrada) para pasar a una tra-yectoria abierta, que puede ser parabólica cuando la velocidad del proyectiles igual a la de escape e hiperbólica cuando es mayor que ésta. Se de-muestra que en todos los casos las trayectorias cónicas citadas tienen susfocos en el centro de la tierra.

El astrónomo alemán Karl Schwarzschild predijo en 1916 la existencia de cuerposcelestes que provenían de la evolución de estrellas que se comprimían bajo el efectogravitatorio de su propia materia. Si el campo gravitatorio propio de estos cuerposcelestes es tan intenso que la velocidad de escape iguala a la de la luz, ésta, que tieneuna masa asociada y por lo tanto es afectada por la gravedad como cualquier cuerpo,no podrá escapar fuera de la influencia del astro, y éste será invisible para los de otrosmundos. Esto se cumple cuando ve = (2.kG.M/rT)

½ = c (velocidad de la luz = 3.108 m/s)La relación masa/radio necesaria para que un cuerpo no pueda emitir luz por

efecto gravitatorio es M/RSch = c2/2/kG = 9.1016/2/(6.72.10-11) = 6,7.1026

El radio correspondiente para un cuerpo esférico de masa M cuya velocidad de esca-pe sea la de la luz se llama “radio de Schwarzschild”. Para el caso de al tierra vale:RSch = 5,98 10 24 Kg / 6,7 1026 = 8,9 mm (dimensiones de una bolita como la que se usapara jugar al “hoyo”)

26

La velocidad de escape es la que tendría un cuerpo en caída libre desde una alturaigual al radio terrestre si su aceleración g se mantuviera constante, es decir si el cam-po fuera paralelo (cosa que en realidad no se cumple).

TIRO DE ARTILLERÍA Y VELOCIDAD DE ESCAPE

v<vc : ELIPSE

v=vc : PARÁBOLA

v>vc : HIPÉRBOLA

asíntotas de la hipérbola


Energía asociada a la gravedadUn sistema de dos masas posee energía de forma (potencial) intrínseca, queproviene del trabajo realizado para colocarlas a cierta distancia. Si conside-ramos que “formamos” el sistema trayendo los cuerpos desde el infinito (osea desde potencial cero) hasta la distancia r, habrá que ir aguantando laatracción gravitatoria durante el acercamiento, obteniendo así energía en vezde suministrarla. Es decir que la energía de configuración de dos masas acierta distancia es negativa.

Desde ese punto de vista, una masa concentrada en un volumen de dimen-sión R supone una energía negativa de formación, si consideramos que estáformada por acreción (agregado) de partículas de masa elemental dm quedescienden a un hoyo de potencial cada vez más profundo, proporcional a lamasa acumulada y a la inversa del radio de acreción. Se puede entendereste proceso gradual de formación comparándolo don el de la construcciónde un pozo de profundidad R del que se extrae una cantidad total de tierra Mcon baldecitos que contienen una cantidad dm. Extraer el primero requiereun trabajo mínimo. A medida que el pozo se profundiza, cada balde se debesubir desde más abajo. Se demuestra que el trabajo total es la mitad del quesupone subir toda la tierra desde el fondo M.g.R, es decir M.g.R/2. Del mis-mo modo, la energía para “armar” una masa M con elementos dm sobre unaesfera de radio R es la mitad de la que se requiere para traer esa masa des-de potencial cero hasta el potencial kG.M/R , es decir -½.kG.M2/R (con signonegativo).27

Para los que prefieren el cálculo infinitesimal a los razonamientos analógi-cos, el resultado anterior sale de integrar dos veces la fuerza elemental desegundo orden d2F = kG/r2.dm2 por la distancia dr , entre los límites m=0 am=M , y entre r=∞∞ a r=R , es decir EG = kG ∫∫ ∫∫ ∫∫1/r2dm.dm.dr

La energía de configuración asociada a una masa m es por lo tanto negativa,y se puede considerar que está distribuida en el campo gravitatorio cuyovalor en función de la distancia vale g(r)=kG.M/r2.

Una esfera hueca de masa m y radio r produce un campo sobre su superfi-cie que vale g(r)= kG.m/r2 (igual que una masa m concentrada en el centro).Si su radio se contrae en dr dejará libre un volumen dV = 4.π.r2.dr , ocupadocon el campo gravitatorio, a costa de un trabajo negativodE = m.g(r).dr = -kG.m2/r2.drLa energía por unidad de volumen de campo gravitatorio vale

dE/dV = -kG/4/ππ.m2/r4 = - 1/(4ππkG)g(r)2

27

Se demuestra que para acumular esa masa dentro de un volumen esférico en vezde una cáscara de espesor infinitesimal, el trabajo es algo mayor que ½ kG.M2/R


Es decir que la densidad volumétrica de energía contenida en el espacioafectado por un campo gravitatorio es negativa y proporcional al cuadradodel valor de dicho campo.

Vemos así que el campo gravitatorio, imaginado inicialmente como meraconstrucción físicomatemática para modelizar el mecanismo de la transmi-sión de fuerzas a distancia, adquiere ahora una nueva jerarquía, cercana a lade la materia que le da origen, con la propiedad de tener energía negativaasociada28.

28

El Ing. Rodríguez de Bello y otros han desarrollado una teoría que contempla losefectos gravitatorios al asignar un equivalente de masa negativa a la correspondienteenergía negativa del campo gravitatorio.

FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD a

-o-o-o-

FÍSICA GENERALÍNDICE TEMÁTICO DE LA SEGUNDA PARTE

DINÁMICA Y GRAVEDAD

DINÁMICA (movimiento bajo la acción de fuerzas)..............................39Fuerza............................................................................................39Masa..............................................................................................39Cantidad de movimiento .................................................................39

Interacción de la materia........................................................................39Ley de conservación de la cantidad de movimiento.............................39Interacción entre cuerpos ...................................................................40

Centro de gravedad de un sistema de masas...............................40Acciones de las fuerzas .........................................................................41

Fuerzas exteriores e interiores a un sistema de masas........................41Jugando al billar – Primera parte.....................................................41

Efectos de las fuerzas ........................................................................42Trabajo de una fuerza............................................................................43Energía de un sistema...........................................................................43

Tipos de energía................................................................................44Energía cinética - Teorema de la fuerza viva ...................................44Energía potencial............................................................................45

Sistemas de fuerzas conservativas ..............................................45Sistemas de fuerzas NO conservativas ........................................46

Principio de conservación de la energía - Calor y Termodinámica........47Jugando al billar – Segunda parte.......................................................49

Choque elástico y plástico ..............................................................50Coeficiente de restitución ............................................................50Choque elástico ..........................................................................51Choque oblicuo ...........................................................................52Choque plástico ..........................................................................53

Mecánica de los cuerpos rígidos ............................................................53Concepto de cuerpo rígido .................................................................53Centro de masa de los cuerpos rígidos. ..............................................54Fuerza viva de los cuerpos rígidos......................................................55

Momento de inercia ........................................................................55Cálculo del momento de inercia de un cilindro de radio R y altura Lcon respecto a su eje ..................................................................56

Crónicas del CNBA..................................................................56Cuerpos rígidos sometidos a fuerzas ..................................................57

Resultante de un conjunto de fuerzas aplicadas a un cuerpo rígido..58Problema general en el espacio...................................................58

Problema en el plano ...............................................................59Método del polígono funicular...................................................59

FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD b

Justificación del método del polígono funicular .........................60Momento de una fuerza con respecto a un punto ............................61

Casos en que el momento de una fuerzacon respecto a un punto es nulo ..............................................61Momento y Trabajo..................................................................61Momento de un sistema de fuerzas..........................................62

Momento de una cupla................................................................63Composición de fuerzas paralelas aplicadas al cuerpo rígido...........64

Fuerzas concentradas y distribuídas...................................................65Gravedad .................................................................................................67

Peso..................................................................................................67Centro de gravedad ...........................................................................68Ley de la gravedad ............................................................................68

Gravedad en la superficie de un cuerpo ..........................................70Alcance de la ley de gravitación .........................................................71

Fuerzas a distancia – Campo y potencial gravitatorio .............................71Campo gravitatorio ............................................................................72

Teorema de Gauss.........................................................................73Gravedad en acción...........................................................................73

Caída de los cuerpos – Masa inercial y gravitatoria .........................74Péndulo .........................................................................................74

Péndulo matemático ...................................................................77Fenómenos Giroscópicos...................................................................79

Balanza..........................................................................................82Experiencia para determinar kG ...................................................83

El problema del tiro ........................................................................85Tiro en el vacío ...........................................................................85Tiro en el seno de un fluído .........................................................86

En torno a la gravedad.......................................................................88Transitando por la gravedad...............................................................89Escapando de la gravedad.................................................................91Energía asociada a la gravedad .........................................................93

FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD c

ÍNDICE ALFABÉTICO DE LA SEGUNDA PARTE

acción a distancia, 67aceleración centrífuga del

movimiento, 69aceleración de la gravedad, 67Aconcagua, 67acreción, 93analogía fluída (gravitación), 73arco de alambre, 68atracción gravitatoria. Véase

gravedadatracciones y repulsiones

magnéticas, 71balanza, 82baricentro, 40, 55, 67billar (jugando), 41, 49bolitas (juego), 51Boys (determinaciónde kG), 85Buenos Aires, 67caída de los cuerpos, 73calor, 44, 47, 49campo de fuerzas conservativo,

46campo eléctrico, 72campo gravitatorio, 72, 73campo magnético, 72cantidad de movimiento, 39cantidad de movimiento

(conservación), 39carena (superficie de carena), 87Carnot, 49carrito, 42Cavendish (determinación de kG),

85centro de gravedad, 40, 67centro de masa, 54centro de masas, 40, 67chapa, 68choque elástico, 51choque elástico y plástico, 50choque oblicuo, 42, 52choque plástico, 53choque recto, 42coeficiente de restitución, 50cohete (satélite), 89

composición de fuerzas paralelas,64

configuración del sistema(energía), 45

conservación de la energía, 47crónicas del CNBA, 56cuerpo rígido, 53cupla, 63densidad, 66desagüe (flujo de agua), 72determinación de kG, 83diferencia de potencial, 46dinámica, 39dinamómetro, 60ecuación del péndulo, 76elipse, 88energía (tipos), 44energía cinética, 44, 45, 48energía de configuración, 47energía de un péndulo, 75energía de un sistema, 43energía interna, 48energía muscular, 47energía negativa (campo

gravitatorio), 93energía potencial, 45, 48energía térmica, 47esfuerzo muscular, 39evoluciones, 47exactitud (balanza), 83experiencia de Joule, 45fenómenos giroscópicos, 79fuentes del campo, 46fuentes y sumideros (gravedad),

71fuerza, 39fuerza de gravedad, 67fuerza viva. Véase energía

cinéticafuerza viva (cuerpo rígido), 55fuerza viva de rotación, 55fuerza viva de traslación, 55fuerzas (efectos), 42fuerzas a distancia, 71

FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD d

fuerzas concentradas, 58fuerzas concentradas y

distribuídas, 65fuerzas conservativas, 45fuerzas coplanares, 59fuerzas distribuídas, 58fuerzas en el espacio, 58fuerzas entre cuerpos

electrizados, 71fuerzas exteriores e interiores, 41fuerzas no conservativas, 47función potencial, 89gasto, 72Gauss (teorema), 73giróscopo, 79gravedad, 46, 67gravedad (en torno a la), 88gravedad (energía asociada a la),

93gravedad (escapando de la), 91gravedad (transitando por la), 89gravedad en acción, 73gravedad y distancia, 69gravitación universal

(constante de), 70inercia, 43interacción (materia), 39Joule (unidad), 43ley de gravitación, 68ley de gravitación (alcance), 71líneas de corriente, 72líneas de fuerza (campo), 46lugar de aplicación (fuerza), 58luna, 68manzana (Newton), 68masa, 39masa concentrada, 53masa distribuída, 53masa inercial y gravitatoria, 74memoria de forma, 47modelo topográfico (campo), 46momento de inercia, 55momento de inercia (péndulo),

76, 77, 79momento de inercia de un

cilindro, 56

momento de inercia de un disco,78

momento de inercia de un prismade base rectangular, 78

momento de inercia del círculo,78

momento de la cantidad demovimiento, 80

momento de primer orden, 65momento de segundo orden.

Véase momento de inerciamomento de un sistema de

fuerzas, 62momento de una cupla, 63momento de una fuerza, 61momento y trabajo, 61movimiento central, 69, 88Newton, 68, 80Newton (resistencia inercial), 87Newton (unidad de fuerza), 39nutación, 80órbita (satélite), 89órbita de la luna, 69parábola, 88parábola de tiro, 85paralelogramo de fuerzas, 59partículas materiales, 58péndulo, 74péndulo físico, 74péndulo físico y balanza, 82péndulo matemático, 77período del péndulo, 75peso, 67peso de los objetos, 73plomo, 83Poggendorff (giróscopo), 80polígono funicular, 59, 64potencial, 46potencial nulo, 91Poynting (determinación de kG),

85precesión, 80precisión (balanza), 83presión, 39, 66presión del viento, 65primer principio de la

FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD e

Termodinámica, 49principio de conservación de la

masa-energía, 48principio de inercia, 74propiedades del espacio, 44proyectil (movimiento), 88punto de aplicación, 58reacción giroscópica, 80recta de acción, 58resistencia del aire, 43resistencia viscosa, 47resorte, 45resorte (trabajo), 47restitución (coeficiente), 50resultante, 58Rodríguez de Bello (gravitación),

94romanas (balanza), 83rozamiento, 43, 47satélite artificial, 88Schwarzschild (radio de), 92sensibilidad (balanza), 83

símil topográfico de la gravedad,90

Steiner (teorema de), 78Stokes (resistencia viscosa), 86Sucre, 67sumideros del campo, 46tango, 91termodinámica, 47tierra, 69tierra (curvatura), 88tiro en el seno de un fluído, 86tiro en el vacío, 85trabajo de una fuerza, 43trayectorias de tiro, 87trompo, 79umbral (balanza), 83vector momento, 63velocidad angular (péndulo), 75velocidad de escape, 92velocidad de inserción (satélite),

89velocidad de precesión, 81

FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES 95

95

PRINCIPIOS DE ESTÁTICA Y RESISTENCIADE MATERIALES

Equilibrio del cuerpo rígido sometido a fuerzasSe ha visto hasta ahora que un sistema de fuerzas que actúan sobre uncuerpo rígido es equivalente a una resultante cuyo módulo es el de lasuma vectorial de las componentes. La recta de acción de esa resultantedebe pasar por el punto para el cual se anula la suma de los momentos deprimer orden de todas las componentes.

Si ese punto no puede hallarse es porque además de las fuerzas, actúasobre el cuerpo rígido un par de fuerzas paralelas de igual intensidad ysentido contrario, que no es reducible a una sola fuerza: se trata de unacupla, caracterizada por su momento.

Para que haya equilibrio estático de fuerzas (sin movimiento) sobre uncuerpo rígido, deben ser nulos la resultante y el momento de todas lasfuerzas con respecto a cualquier punto del plano en el caso de fuerzas queresiden en un plano (coplanares).

Otra condición de equilibrio equivalente a la anterior es que sean nulos losmomentos resultantes de todas las acciones con respecto a tres puntos noalineados pertenecientes al plano. Se comprende que esta última condicióngarantiza que la resultante sea nula. En efecto, si no lo fuera y dos de lospuntos cayeran sobre su recta de acción, darían momento nulo, dando lasensación de equilibrio; sin embargo, el tercero no alineado acusaría unmomento no nulo, poniendo de manifiesto así una resultante distinta de cero.

Un sistema en el espacio sometido a fuerzas no coplanares, se puede re-solver proyectando las fuerzas sobre tres planos no paralelos (por ejemplouno (X,Z) vertical, otro (X,Y) horizontal y un tercero (X,Z) perpendicular a losotros dos, correspondientes a una vista en elevación de frente, otra en plantay una tercera en profundidad) y buscando la resultante en cada proyec-ción, que serán componentes de la resultante en el espacio.

El equilibrio en este caso exige resultante nula (las tres proyecciones nulas)y momento nulo. Con respecto al momento, recordemos que es un vector,resultado del producto de la fuerza por la distancia. Ese vector es libre, esdecir no tiene punto de aplicación ni recta de acción. Sólo dirección. En unsistema de fuerzas en el plano es perpendicular al mismo. En el caso defuerzas en el espacio el momento es un vector espacial, es decir que tienetres componentes o proyecciones una en cada uno de los ejes coordenados.


96

En la figura se ven dosvectores en el espacio:el rojo A y el azul B.Son alabeados, esdecir que no se cortan.Por lo tanto no puedentener como resultantesólamente una fuerza,sino además un mo-

mento, resultado de trasladar la recta de acción de una cualquiera de lasfuerzas (en el dibujo la B) sobre la de la otra. El momento de traslación MMserá perpendicular al plano de traslación (sombreado en celeste).

Estabilidad de sistemas cargados

Estática

La estática es la parte de la mecánica que plantea y resuelve las condicio-nes de equilibrio en reposo de sistemas de cuerpos en base a las accio-nes que obran sobre ellos (fuerzas y momentos). Los cuerpos que integranlos sistemas en estudio no están libres en general, sino vinculados entre síy con la tierra a través de diversos órganos de unión llamados vínculos.

Por ejemplo, para construir un edificio se trabaja con un modelo gráfico a escala delmismo y se fijan los diversos vínculos al terreno y eventualmente a otras estructuras.Luego se supone uno o varios estados de carga: peso propio, peso de personas yobjetos fijos y en movimiento, empuje del viento, posible acción sísimica, etc., Secalculan luego las reacciones de vínculo y los esfuerzos en los elementos de la es-tructura necesarios para que todo el sistema esté en equilibrio. Con estos esfuerzos sedimensionan o verifican las vigas, columnas , losas, cimientos y en general elementosestructurales del edificio, de acuerdo a la resistencia característica de los materialesque se van a emplear.

VínculosUn vínculo es un órgano de unión entre cuerpos de un sistema, que imponeuna limitación característica a la posibilidad de movimiento relativo entre loscuerpos a los que se aplica.

Por ejemplo:

• Articulación o apoyo fijo, materializada por un perno fijo a un cuerpodentro de un gorrón o cojinete solidario al otro o a la base del sistema.Cuerpos vinculados con articulaciones pueden girar uno con respecto alotro pero no pueden alterar la posición relativa del eje de giro. En el

MM

R

Composición de dos fuerzasalabeadas A + B = R ; MM

A

A

B B

x

z

y

z

y

x


97

cuerpo humano, los codos, las rodillas y los tobillos son articulaciones.• Rótula: cuando la articulación permite giros fuera del plano, es decir en

tres dimensiones, se llama rótula (el fémur está articulado a la caderapor una rótula). En vez de un eje cilíndrico rodeado de una pista tambiéncilíndrica, una rótula está materializada por una terminación esféricaalojada en una cavidad también esférica)

• Apoyo móvil o deslizante, que puede ser un patín fijo a un cuerpo, quese desliza por una pista plana solidaria a otro cuerpo o a la base. Estetipo de vínculo no permite giro ni desplazamiento fuera de la direcciónespecificada.

• Apoyo articulado: es una combinación de los dos anteriores, por ejem-plo el tobillo sobre un pié con un patín.

• Empotramiento, que es cualquier vínculo que impida la rotación y eldesplazamiento. Por ejemplo, una varilla hundida en la tierra está em-potrada en ella. Dos apoyos móviles con pistas no paralelas aplicadasen el mismo punto también son un empotramiento. Un empotramientopuede considerarse como una fusión en uno sólo de los dos cuerpos alos que está aplicado.

Grados de libertadAl restringir los movimientos de los puntos del cuerpo donde están aplicados,los vínculos limitan los “grados de libertad” del sistema, que son los pará-metros independientes necesarios para definir unívocamente la posición delsólido en el espacio. Un cuerpo rígido en el plano (una placa indeformable)tiene tres grados de libertad: dos coordenadas para un punto cualquiera y ladirección de una recta trazada sobre su superficie (medida por el ángulo queforma con alguno de los dos ejes). En el espacio, un cuerpo rígido tiene seisgrados de libertad: tres coordenadas que definen la posición de uno de suspuntos, dos ángulos que definen la orientación de un eje de referencia en elespacio y un tercer ángulo para definir la posible rotación alrededor de eseeje1. Al aplicar un vínculo, por ejemplo una articulación en un punto del cuer-po, fijamos su posición y restamos dos grados de libertad al sistema en elplano o tres en el espacio.

Los vínculos producen reacciones que equilibran la acciones aplicadas alsistema de fuerzas, de tal manera que la resultante entre acciones exterioresy reacciones de vínculo es nula cuando el sistema está en equilibrio. Lasreacciones tienen características impuestas por el tipo de vínculo: por ejem-plo, un apoyo móvil sólo puede generar una reacción perpendicular al planode apoyo, y un empotramiento en cambio puede producir fuerzas en cual-quier dirección y además absorber momentos.

1 Para fijar la posición de un sólido en el espacio hay que definir la posición de tres

puntos, lo cual da nueve coordenadas. Sin embargo, por ser indeformable, las tresdistancias entre puntos son fijas, lo que reduce el número de variables a seis. Pienseel lector cómo demostrar que este razonamiento es equivalente al expuesto en el texto


98

Sistemas isostáticos e hiperestáticosSi la cantidad y calidad de vínculos impuestos al sistema restringe menosde los grados de libertad que éste posee, el sistema no tendrá aseguradosu equilibrio, aunque pueda eventualmente presentar ese aspecto a travésde un estado de equilibrio indiferente o inestable. Estado indiferente es elde una viga horizontal (tres grados de libertad) apoyada en sus extremos ensendos apoyos móviles sin rozamiento (dos grados de libertad), que puedeestar en equilibrio sólamente si se carga con fuerzas verticales.

En cambio, se moverá ante fuerzas queden una resultante inclinada, ya queninguno de los dos apoyos podrá equili-brar la componente horizontal de dicharesultante. Una rueda libre (tres gradosde libertad) sobre un plano horizontal,que le restringe la coordenada vertical desu centro y la posición del punto de con-tacto con el plano sobre el que puederodar, queda con un grado de libertad ytambién presenta equilibrio indiferente.

En cambio, esa rueda en la cima de una loma está en equilibrio inestable,ya que una mínima acción la colocará sobre un plano inclinado, que no pue-de absorber su peso vertical.

Cuando la cantidad y calidad de los vínculos impuestos a un sistema restrin-ge exactamente su número de grados de libertad, sus reacciones equilibranlas acciones imperantes en forma unívoca. Se dice que el sistema está está-ticamente determinado o es isostático. Una viga con un apoyo móvil y otrofijo puede equilibrar la resultante de las cargas impuestas de una sola forma:con una reacción perpendicular al apoyo móvil y otra en cualquier direcciónque pasa por el apoyo fijo.

Cuando un sistema está vinculado de ma-nera sobreabundante, es decir con másrestricciones que grados de libertad, sellama hiperestático. El caso de la viga dela figura, vinculada con dos apoyos fijos, esun sistema hiperestático cuya soluciónrequiere que las reacciones de vínculopasen por los dos apoyos. Hay infinitassoluciones si consideramos que la fuerza

puede moverse a lo largo de la recta de acción, como se hace para el cuerporígido. En cambio, la solución es única cuando fijamos un punto P de aplica-ción de la fuerza. Esto significa que la solución unívoca de sistemas hipe-restáticos requiere que se consideren cuerpos en los que interviene el punto

estado de equilibrioconenergía mínima

equilibrioindiferente

equillibrioinestable

P


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de aplicación de la fuerza, así como las deformaciones producidas por lasmismas.

Muchos sistemas reales son hiperestáticos: edificios, puentes y otras es-tructuras sólidas y reticuladas. Por ejemplo, las vigas de los edificios, empo-tradas en ambos extremos a las columnas y a las vigas contiguas, tienenrestringidos seis grados de libertad en el plano. La solución de tales sistemasse hace con métodos especiales de los que daremos luego algunas pautas.

Principio de los trabajos virtualesUn sistema en equilibrio está en elestado de energía mínima. Por lotanto cualquier desplazamiento haciaun lado o hacia el otro de esa posiciónde equilibrio significará un estado deenergía mayor que la que tiene. Esamayor energía es a costa del trabajode las fuerzas exteriores aplicadas. Secomprende que en estado de energíamínima, un pequeñísimo cambio hacia

un lado o hacia el otro significará, como en el caso de la bola en la concavi-dad, un desplazamiento perpendicular al peso y a su reacción, es decir detrabajo nulo.

Precisamente, el principio de los trabajos virtuales (o infintesimales) afirmaque es nulo el trabajo de las fuerzas exteriores al sistema en equilibrio frentea un desplazamiento infinitamente pequeño y lento compatible con los vín-culos.

Cada tipo de vínculo admite un tipo de desplazamiento compatible con él:por ejemplo, un apoyo móvil permite sólo un desplazamiento sobre el planode deslizamiento del patín. Un apoyo fijo permite una rotación. Un empotra-miento permite sólamente una flexión manteniendo la dirección de la tan-gente.

Ejemplo: Equilibrio en el plano inclinado: El peso P de la vagoneta que puede rodarsin resistencia por el plano inclinado, está equilibrado por la composición de la reac-ción del plano |R|= |P cos αα| y la fuerza de tracción |F| = |P.sen αα| que hace eloperario Celestino a través de la soga paralela al piso inclinado.

Aplicando el principio de los trabajos virtuales podemos hacer el siguiente razona-miento para averiguar al incógnita, que es el módulo de la fuerza F:

En un desplazamiento OO’ muy pequeño y hecho muy lentamente sobre el plano(compatible con el vínculo) será nula la suma del trabajo suministrado por Celestino yel trabajo resistido por la vagoneta, que se empeña en ir cuesta abajo. Expresandoambos trabajos por los respectivos productos escalares entre fuerza y distancia, nos

P

F = -P.sen (α)α)

αα

P.cos (α)α)

O'

π/2−απ/2−α

EQUILIBRIO EN UN PLANO INCLINADO

O


100

queda:F.OO’ + P.OO’ = 0

Resulta que F.OO’ = F.OO’ y también P.OO’ = P.OO’.cos (π/2-α) = P.OO’.sen (α)

Entonces es F.OO’ + P.OO’.sen (α) = 0 de donde F = -P.sen (αα)

La aplicación del principio de los trabajos virtuales es parti-cularmente útil en los casos en que se desea poner demanifiesto el esfuerzo resistente de un vínculo que mantie-ne el equilibrio.

En el caso estudiado, se debe considerar que Celestinorecibe un esfuerzo de tracción –F a través de la soga. Eseesfuerzo se compone con el peso G de nuestro amigo,dando una resultante R que se transmite al suelo. El exce-lente calzado antideslizante que usa nuestro amigo se

adhiere al piso con una fuerza de rozamiento T, la que compuesta con la reacción delsuelo N equilibra la fuerza R

2

RozamientoYa habíamos visto que el fenómeno delrozamiento o fricción era típico de sis-temas no conservativos.

El motivo del rozamiento o fricción entredos objetos puede entenderse con unavisión microscópica del contacto entredos cuerpos sólidos, en los que sus su-perficies rugosas tienden a engranarse o compenetrarse. Como resultadoaparece:• Una fuerza que se opone al deslizamiento de una superficie sobre la

otra (rozamiento de resbalamiento o deslizamiento), o bien :• Otra fuerza menor que se opone a que una superficie ruede sobre la

otra (rozamiento de rodadura)

Rozamiento de deslizamiento

El fenómeno obedece a una ley lineal, que asigna al rozamiento una fuerzatangente Fr a la superficie de contacto que se opone al movimiento relativolineal.

2 Como se verá al tratar el tema del rozamiento, la fuerza T es proporcional a la fuerza

normal N a través de un coeficiente que depende del tipo y estado de los materialesen contacto; (por ejemplo para goma seca y cemento alisado, T/N ≈ 1)

G

-F

R

T

N

G

-F

N

T

R

Fr

P Fr

V=cte

Determinación experimental delcoeficiente de rozamiento en movimiento

µµm=Fr /P


101

Dicha fuerza es proporcional a la presión PP ejercida y al área S de la super-ficie de contacto, es decir que en definitiva no depende del área sino de lafuerza normal N:

Entonces siendo PP=N/S resulta Fr = µµ.PP.S = µ.µ.N , donde µµ es un coeficientede proporcionalidad adimensional (un número sin unidad) que depende delos materiales y grado de pulimento de las superficies en contacto.

Lo dicho es válido para cuerpos en reposo. Cuando comienza el desliza-miento, el rozamiento cae bruscamente a una fracción del de reposo, siendoluego casi independiente de la velocidad3.

Algunos valores del coeficiente de rozamiento por deslizamiento, en reposo ymovimiento.

Materiales en contacto Condición de lassuperficies

µµr (reposo) µµm (movim.)

Hierro sobre bronce Pulidas y secas 0,2 0,15

Hierro sobre hierro Algo engrasadas 0,3 0,13

Cuero sobre madera Lisas y secas 0,4 0,3

Ladrillo sobre hormigón Secas 0,7 0,6Acero sobre hielo húmedas 0,03 0,015

Caída por un plano inclinado

En el caso de la figura vemos un cuerpo demasa m que no puede rodar 4y que estáapoyado sobre un plano de inclinación va-riable αα y sometido a la gravedad g

Siendo N la reacción del plano, P = m.g elpeso y Fr la fuerza de rozamiento, el cuerpoestará sometido a una fuerza resultante Fen la dirección del plano tal que F = N + P +Fr , expresión vectorial que proyectada sobre el plano da F= P.cos(α) - Fr

Como Fr = µµ.N y además N = P.sen(α) , ya que la reacción del plano debeequilibrar a la componente de P según la normal, resulta entonces que:F = P.cos(α) - µ. µ. P sen (α) = m.g [cos (α) – µ sen (α)]

3 Nótese que para arrastrar un mueble sobre el piso hace falta al principio una fuerza

mayor que la necesaria para mantenerlo luego en movimiento.4 No podrá rodar el cuerpo cuyo peso caiga dentro de su base de apoyo.

Fr

N

P

α F F

αP

N

Fr


102

Pero la fuerza F no está equilibrada por ninguna otra, por lo que produciráuna aceleración en la dirección del plano inclinado igual a:a = F /m = g [cos (α) – µ sen (α)]

Según sea el corchete de la anterior negativo, nulo o positivo, pueden darseen teoría los tres correspondientes casos, que pasamos a interpretar:

1. [cos (α) – µ sen (α)] < 0 , de donde µ > tg (α) (a<0)2. [cos (α) – µ sen (α)] = 0 , de donde µ = tg (α) (a=0)3. [cos (α) – µ sen (α)] > 0 , de donde µ < tg (α) (a>0)

Primer caso: Si la pendiente es menor que el coeficiente, no hay desliza-miento. En cambio NO puede concluirse que, impulsado por una acciónexterior el cuerpo se frene debido a la desaceleración (a<0), pués en movi-miento el coeficiente µµ es menor que en reposo, y la inecuación 1 debeplantearse con el coeficiente en movimiento, es decir µ=µµ=µm

Segundo caso: Al inclinar cada vez más el plano con el cuerpo en reposo,llegará un momento en que éste comienza a deslizarse, y en tal caso seráµµ=tg(αα) , pero un instante después será µ=µµ=µm y se pasará al tercer caso.

Tercer caso: El cuerpo se desliza con movimiento acelerado. Disminuyendola inclinación αα podremos transformarlo en un movimiento uniforme, en cuyocaso valdrá la ecuación 2, pero con µµ=µµm

Rozamiento entre muñón y cojinete sinlubricación

Se llama cojinete al alojamiento cilíndricoque sirve de apoyo a un eje o muñón. Estees el caso en la mayoría de las máquinaspara apoyo de sus piezas rotantes (ruedas,engranajes, bielas, cigüeñales, etc.)

La fuerza P que trasmite el eje al cojinete(que en reposo es el peso del conjunto

rotante, pero que en movimiento contendrá componentes de inercia), seequilibra con la composición de las fuerzas elementales N=Σni normales a lasuperficie de contacto (en general un semicilindro). En cada elemento de lasuperficie de contacto aparece una fuerza elemental de rozamiento por des-lizamiento fi = µ.ni que es tangente a la superficie y cuyo momento elementalcon respecto al centro de rotación O es el escalar mi=µ.ni.r

P

N

ni

O

r


103

El momento resistente total MrMr es la suma de los escalares mi de maneraque MrMr = µ. r . ΣΣni . Pero ΣΣni es una suma de módulos representado por lalongitud del arco, mayor que la suma de vectores elementales N=Σni (verfigura). Así, el momento resistente creado por las fuerzas de rozamiento dedeslizamiento en el cojinete es MrMr = c µµr. r . P donde 1<c<ππ/2 es un coefi-ciente que depende de la relación ΣΣn/P, que a su vez depende de la mag-nitud y forma5 del huelgo entre muñón y cojinete.

Cuando se lubrica el conjunto, introduciendo entre las superficies rozantesun líquido de viscosidad adecuada, los fenómenos de resistencia al resbala-miento ente sólidos se reemplazan por otros gobernados con leyes de hidro-dinámica que se describirán al estudiar los líquidos.

Rozamiento de rodadura

En el caso de que las superficies rueden sin resbalar,el fenómeno resistente al movimiento relativo seorigina en el engrane y desengrane de las imperfec-ciones, como si fueran dientes mal tallados6 de dosengranajes microscópicos.Para que la rueda comience a rodar por el plano esnecesario aplicar un momento MMrod = ϕϕ.N , donde Nes la fuerza normal y ϕϕ es el coeficiente experimentalde rozamiento por rodadura, que tiene dimensionesde longitud. Por ejemplo, para hierro sobre hierro es ϕϕ = 5.10-5 m . Si lassuperficies se pulimentan “a espejo” se llega a coeficientes tan bajos como ϕϕ= 5.10-6 m

Trabajo de las fuerzas de rozamiento

Las fuerzas de rozamiento no admiten un potencial, es decir que su valor nodepende del punto de aplicación. Por lo tanto el trabajo de rozamiento nose transforma en energía potencial ni cinética y en cambio queda en formade energía interna dentro del sistema. Recordemos que energía interna esla suma de las energías mecánicas de las partículas de la materia del siste-ma. En el caso del rozamiento, las fuerzas generadas trabajan contra lasasperezas de las superficies donde se desarrollan. Las partículas recibenenergía mecánica que transforman en vibraciones, rotaciones y otros mo-vimientos que tienen a la temperatura como representante estadístico deconjunto. Es decir que macroscópicamente el trabajo de rozamiento eleva latemperatura de los medios materiales donde se desarrolla. Ese aumento de

5 El espacio inicialmente entre los dos cilindros se va modificando por el desgaste.

6 Entre dientes de dos engranajes bien tallados no hay “engrane” propiamente dicho

sino rodadura perfecta.

MMrod

N


104

temperatura generalmente termina disipándose en el ambiente a través deun proceso de transmisión de calor, que es netamente irreversible.

Problema:¿Cuál será el peso mínimo P’’ necesario para que comience el deslizamiento delbloque de ladrillos de peso P sobre la rampa de hormigón inclinada en un ángulo ααcon respecto a la horizontal?

Planteo: En la figura, el equilibrio de fuerzaslleva a plantear las siguientes ecuaciones:Fr= µr.N = µr.P.cos (α)P’= P.sen (α) + Fr = P.[sen (α) + µr cos (α)]

P’’ = P’ + r , siendo r la resistencia en el ejer’ de la polea más el rozamiento r’’ soga-polea distribuído en la garganta, sobre elarco β=(α+π/2)β=(α+π/2) de contacto entre ambas.

El rozamiento r’ en el eje de la polea deradio ρρ se gobierna por la fórmula ya vistaMr = c µr. ρ . R = ρ.r’ de donde r’ = c.µr.RConsideraremos que el rozamiento r‘’ de lasoga sobre la garganta de la polea es derodadura por lo que, según lo ya visto esMMrod = ϕϕ.R = ρρ.r’’ de donde r’’=ϕϕ.R/ρρ

La fuerza de la soga P’ y el peso P sesuponen aplicados en el centro de gravedadG, no así la fuerza de rozamiento Fr , cuyarecta de acción se ubica en el plano dedeslizamiento, que es la base del bloque.Aparece así un momento Fr.d que se equilibra con el corrimiento de la reacción -N delplano en una distancia d’ tal que N.d’= Fr .d

Solución para :α=30º (0,52), β=α+π/2=2,09P=1 Kgf =98 Nµr=0,7(ladrillo/hormigón)µr=0,2(hierro/bronce)c=π/2ϕ=0,005 m (cáñamo/hierro)

P’= P.sen (α) + Fr = P.[sen (α) + µr cos (α)] = 98.[0,5+0,7.0,866]=108,41 NComo no conocemos aún R estimamos su valor para el próximo cálculo en 2P.cos(γ) =2.108,41.0,866=187,67Nr’ = c.µr.R = π/2.0,2.187,67=60Nr’’ = r’’=ϕ.R/ρ = 0,005.187,67/0,1 = 9,38N

Respuesta : P’’ = P’ + r ’+ r’’ = 98+60+9,38 = 167,38N

PFr

P’’ =

P’+r

r

- P’

P’

P’

R’

P’-P’

r-R’

G

-N

NFr

P

d’

d

ααβ=α+π/2β=α+π/2

γ=(π/2−α)/2γ=(π/2−α)/2


105

Equilibrio de cuerpos elásticos sometidos a esfuer-zos

Sea una viga horizontal depeso propio despreciable apo-yada en sus extremos A y Bcon una carga P concentradaen un punto S de la misma. Lacarga P está equilibrado por lasreacciones de los apoyos RA yRB de acuerdo a lo que yasabemos.

Para saber que pasa adentrodel cuerpo rígido sometido aesfuerzos, en este caso la viga,imaginemos que la cortamos enuna sección intermedia SSperpendicular a su eje. Paraevitar que el equilibrio se rompay todo se venga abajo, se po-dría mantener aquél trasladan-do todas las fuerzas a SS, loque equivale a ejercer sobre lacara izquierda de la viga sec-cionada un momento de traslación RA.ll1-P.ll3 , y sobre la cara derecha otromomento igual RB.ll2 (Nótese que el equilibrio de momentos exige que RA.l1-P.l3=RB.l2). Además sobre la cara izquierda actúan las fuerzas trasladadasRA-P = -RB , que se equilibra con +RB, de la derecha.

Ahora bien: si la viga entera está en equilibrio es porque estas accionesexisten en su interior antes de seccionarla, y están ejercidas por fuerzasinternas análogas a la que resiste el pegamento con el que eventualmentearregláramos el supuesto corte.

Ese pegamento, que hemos representado con una masa elástica verde queune ambas partes, soporta un efecto de flexión que aprieta la parte de arribay tira de la de abajo. Además soporta el esfuerzo de deslizamiento o cortehacia abajo de la parte izquierda y hacia arriba, de la parte derecha de laviga.(las dos partes de la viga actúan sobre la goma como las dos hojas deuna tijera)

Decimos así que la sección de la viga SS está solicitada por un momento deflexión o momento flector (que trata de flexionarla) igual al momento de

A B

P

RA RB

RA

RB

P

S

S

l1 l2 l3

A B

ESFUERZO DE CORTE YMOMENTO DE FLEXIÓN EN LA

SECCIÓN SS


106

todas las fuerzas situadas a la izquierda de la sección SS considerada (o a laderecha, con signo contrario). Además, actúa sobre ella el esfuerzo de cor-te, igual a la suma de todos las fuerzas trasladadas desde la izquierda odesde la derecha.

El momento flector y el esfuerzo de corte son las acciones principales quedeterminan el estado interno de tensión y deformación en los cuerpos elásti-cos, es decir aquellos cuerpos que, contrariamente a los rígidos, se defor-man más o menos bajo las acciones exteriores, equilibrando así sus efectos.

Es fácil ver que el momento flector está representado por la ordenada delpolígono funicular y el esfuerzo de corte tiene una intensidad dada por lasuma de las cargas situadas a la izquierda, llamada función de corte.

El esfuerzo de flexión que resiste una sección de la viga es, como ya se dijo, igual almomento de todas las fuerzas que actúan a la izquierda de dicha sección, o al mo-mento de las de la derecha con signo opuesto, condición que exige el equilibrio pro-puesto para la pieza. Por convención, los ingenieros suelen tomar como positivo elmomento que tiende a hacer girar la pieza en el sentido horario. Así, en caso de pie-zas apoyadas en sus extremos y cargadas verticalmente hacia abajo entre apoyos, elmomento crece hacia la derecha desde cero en el apoyo izquierdo, donde reside unafuerza de reacción hacia arriba. Este crecimiento se mantiene hasta el punto de apli-cación de la fuerza, donde el momento flector presenta un valor máximo. De allí haciala derecha comienza a disminuir su valor hasta llegar al apoyo derecho, lugar en quellega a cero. La razón de que en los apoyos la flexión deba ser nula se comprendeteniendo en cuenta que este tipo de vínculo no resiste momento. Por otra parte, elmomento en cualquier sección intermedia es la suma de momentos de todas las fuer-zas situadas a la izquierda. Momento es el resultado del producto escalar fuerza pordistancia, igual al valor del área del rectángulo cuya altura es la fuerza y cuya base esla distancia. Esto hace que cada una de las fuerzas que vamos encontrando en nues-tro viaje por la viga desde la izquierda hacia la derecha (cuya resultante vertical es elesfuerzo de corte) nos va dejando un área que se suma o se resta según que el senti-do de la fuerza sea respectivamente hacia abajo o hacia arriba. De tal manera, el áreaentre la función de corte y el eje de la viga hasta la sección considerada representa elmomento flector.

Entre los gráficos de carga, de esfuerzo de corte y de momento flector existeuna relación funcional: el gráfico de momento flector da el área que encierrala función de corte desde un extremo hasta la sección considerada, por con-vención positiva arriba del eje de la viga y negativa abajo de éste. A su vez,el momento de corte representa el área del diagrama de cargas, es decir quees proporcional al área que delimitan las cargas con el eje de la viga hasta lasección considerada. Desde el punto de vista matemático, esto significa quela función de momento flector es la integral de la función de corte y ésta a suvez es la integral del diagrama de cargas. O lo que es equivalente, que eldiagrama de cargas marca la derivada del esfuerzo de corte y éste repre-senta la derivada o pendiente del momento flector.


107

Caso de cargas distribuídasVimos ya que una carga concentrada en un punto es una aproximaciónpara una carga distribuída en un área muy pequeña, y que en la realidadtodo esfuerzo está aplicado sobre un área finita del cuerpo solicitado. Cuan-do el problema se puede representar en dos dimensiones, por ser constantela tercera (caso de la profundidad de una barra o placa), se trabaja con ladistribución de la carga en la dimensión en la que varía, por ejemplo la lon-gitud. El cociente entre fuerza y superficie o entre fuerza y longitud caracteri-za a una carga distribuída, y se representa respectivamente con una diagra-ma en tres o dos dimensiones cuyas ordenadas son ese cociente, con absci-sas en el eje de la pieza solicitada.

En la figura, vemos a una viga delongitud L con una carga lineal-mente distribuída perpendicular-mente sobre su eje, caracterizadapor un valor constante q [Kg/m],comparada con la misma viga car-gada con una fuerza equivalenteconcentrada en el medio, igual aP=q.L

Los diagramas superpuestosmuestran que la carga distribuídaproduce esfuerzos de corte linea-les, en vez de los escalonados que

crea la carga concentrada. Esto es así porque a medida que nos movemoshacia la derecha vamos sumando esfuerzos infinitésimos graduales ofinitos abruptos, según sean las fuerzas respectivamente distribuídas oconcentradas.

De la misma manera, el momento flector varía linealmente para el caso decarga concentrada, ya que el área debajo del esfuerzo de corte rectangularcrece proporcionalmente a la distancia al apoyo y a la magnitud del esfuerzode corte, que es constante hasta la sección de aplicación de una fuerza. Allíel momento flector es máximo y vale MMmáx = RA.L/2 = P.L/4

Las rectas de crecimiento y decrecimiento son en realidad las direcciones enlas que el polígono funicular descompone a la fuerza concentrada en loapoyos. (ver figura).

En el caso de carga distribuída, el área crece con la abscisa y con la orde-nada, la que a su vez es linealmente dependiente de esa abscisa: en conse-cuencia la función momento flector varía con el cuadrado del área de la or-denada de corte, dando una parábola de la mitad de la altura que el trián-

Comparación entre carga concentraday carga dsitribuída

carga dsitribuída q

carga concentradaF=q.L-->

Esfuerzo de corte

Momento flector


108

gulo del caso de fuerzas concentradas. Los lados de este triángulo son tan-gentes a la parábola en los apoyos.

Resulta así que en caso de fuerzas distrubuídas en forma constante el mo-mento de las fuerzas que obran hasta la mitad de la viga es:MMmáx = RA.L/2-{o∫∫L/2q.l.l.dll} = PL/4-qL2/8 = P.L/8

Deformación de la materia debida a esfuerzos

La materia sólida opone esfuerzos a la compresión, tracción y corte, defor-mándose respectivamente en forma proporcional a dichas acciones dentrode ciertos límites. Es decir que en esos límites existe un campo potencialde esfuerzos que transforman el trabajo de deformación en energía potencialde forma, la que se recupera al cesar la acción. Si se supera el límite deproporcionalidad, parte del trabajo produce una deformación permanente através de un aumento de la energía interna del sistema, con la consiguienteelevación de la temperatura de la materia. Por último, si los esfuerzos decompresión, tracción o corte llegan más allá de las deformaciones perma-nentes, a ciertos valores críticos característicos de cada material, se produ-ce la rotura del cuerpo por aplastamiento, estiramiento o desgarramientorespectivamente.

Ensayos de materialesSi sometemos a una barra de hierro a la tracción en una máquina de ensayos comola representada, que va registrando el esfuerzo en función del alargamiento, obtene-

mos una curva como la de la figura. Enella se ve una zona de proporcionalidadentre esfuerzos y alargamientos, hastaque se llega a un punto en la que elmaterial se alarga en forma no lineal.Aumentando aún más el esfuerzo, elmaterial se estira aún sin aumentar elesfuerzo, en un estado llamado fluencia(de fluir). Después de haber alcanzado lafluencia, el material se fortalece y co-mienza nuevamente a presentar resisten-cia. Esto se prolonga hasta el punto demáximo esfuerzo, en que la sección de labarra traccionada comienza a estrecharseen una zona, y no es capaz de sostenerel esfuerzo (pendiente negativa de lacurva). De este estado, la barra pasarápidamente a la rotura, que se opera enla zona en que comenzara el estrecha-miento.

zona

de

flue

ncia

zona

no

prop

orci

onal

zona

pro

porc

iona

l

probeta a ensayar extensómetro

manómetro

bomba

Fu

erza

Alargamiento

Puntodemáximoesfuerzo

Pun

to d

e ro

tura

registrador

pistón


109

Ley de Hooke

Se admite que hasta el límite de proporcionalidad, los materiales se defor-man de acuerdo con las siguientes leyes lineales, planteadas por primeravez por el físico inglés Robert Hooke, contemporáneo de Isaac Newton(1635-1703)

La ley que gobierna la compresión o tracción de una barra homogénea desección constante s es:σ=εσ=ε.E donde σσ =P/s es el esfuerzo de compresión o tracción por unidad desuperficie resistente y εε=∆∆l/ll/l es la correspondiente variación relativa de

longitud. La constante de propor-cionalidad E se llama módulo deelasticidad por compresión/traccióny su valor depende del material.

El hierro y en general los metalesposeen igual resistencia a la tracciónque a la compresión. En cambio mu-chos otros materiales resisten mejor untipo de esfuerzo que el otro. La madera,por ejemplo, resiste mejor a la tracciónque a la compresión. El hormigón, en

cambio, posee mucha mejor resistencia a la compresión que a la tracción. Esta últimase desprecia en los cálculos de estructuras, colocando barras de hierro en las seccio-nes traccionadas de los elementos (losas, vigas), que se hacen cargo de los esfuerzoscorrespondientes. (Fundamento del hormigón armado).

TABLA DE PARÁMETROS DE RESISTENCIA DE MATERIALESMATERIAL σσprop.

[N/m2]σσmáx.

[N/m2]E [N/m2] ττprop

[N/m2]ττmáx

[N/m2]G [N/m2]

Acero 0,1%C 1,4x108 3,7x108 2,2 x 1011 1,1 x 108 3,4x108 8 x 109

Bronce de Sn 1,3x108 4 x108 2 x 1011 1,2 x 108 3,6x108 8,2 x 109

Madera de pino7

compresióntracción 1,5x107

3 x 107

6 x 107

1 x 1010

6 x 106

Hormigóncompresióntracción

5 x 106

6 x 105

1,5 x 1010

La ley que gobierna la deformación por esfuerzo de corte o deslizamientode una pieza en forma de paralelepípedo es ττ= γγ G donde ττ=F/S es el es-fuerzo de corte por unidad de superficie resistente desarrollado sobre lascaras8, y γγ es el ángulo de deformación. La constante de proporcionalidad G 7 Datos con esfuerzos paralelo a las fibras del listón.

8 Nótese que el esfuerzo de corte τ se desarrolla tanto en las caras horizontales del

paralelepípedo, como en las verticales contiguas, como lo requiere el equilibrio del

s

l

∆ l -P

γγ

s

l

∆ l P

γγ


110

que depende del material, se llama módulo de elasticidad de deslizamiento omódulo de torsión, ya que el esfuerzo de torsión sobre la pieza se equilibratambién por los esfuerzos de corte o deslizamiento, como se verá luego.

Flexión

La viga resiste al momento de flexión oponiendo un momento equilibrantea la flexión de acuerdo con la resistencia que opone el material de la viga dela parte inferior de la sección a estirarse y el de la parte superior a compri-mirse9. Entre la parte inferior estirada y la superior comprimida hay unacapa horizontal o una línea (segúnconsideremos el problema en tres odos dimensiones) sin tracción nicompresión, que mantiene la lon-gitud original de la pieza. En esacapa neutra no se desarrollanesfuerzos de compresión ni trac-ción a lo largo de la pieza cargada.Partiendo de ella crece linealmenteel acortamiento de las capas haciael borde superior y el alargamientode las inferiores hacia abajo.En los gráficos se representan las tensiones y compresiones en una secciónperpendicular al eje de la viga en función de la distancia a la capa neutra:

Las resultantes de los esfuerzos distribuídos en la sección se sitúan en elbaricentro de los correspondientes triángulos o figuras representativas10, acuyas áreas son proporcionales. Si sobre la viga obran sólamente fuerzasperpendiculares a su eje, como es el caso de la figura, no hay esfuerzosnormales a las secciones consideradas y por lo tanto las resultantes de lastensiones y compresiones son iguales en valor absoluto y de signo contrario.Esto se reconoce en que los correspondientes diagramas tienen áreasiguales a un lado y al otro de la capa neutra y generan un momento queequilibra el momento flector. En la sección de la mitad de la viga resulta quedicho momento vale MM = F.d = P.L/4 para una fuerza P concentrada en elpunto medio. Ya vimos que en el caso de que esa fuerza se distribuya uni-formemente a lo largo de la viga con un valor q=P/L, el momento flectormáximo, también en el medio de la pieza, toma un valor igual a la mitad delanterior.

elemento de volumen considerado. De tal manera es τ = F/S = F’/S’9 Se supone, como en el dibujo, una viga horizontal cargada con una fuerza vertical

dirigida hacia abajo.10

El centro de gravedad de un triángulo está en la intersección de las medianas, quepor una propiedad geométrica está a una distancia de dos tercios de la longitud de lamediana desde el vértice correspondiente.

Compresión

Tracción

Capa de fibras neutras

εε σσ con Ec=Et=constantes

σσ con Ec>Etconstantes

σσ con Ec=Etvariables

F

F

P

L

P/2 P/2

d


111

Dentro de los límites de proporcionalidad, y para materiales con igualesmódulos de elasticidad en compresión y tracción, las tensiones correspon-dientes a esas deformaciones tendrán también una variación lineal con ladistancia al eje neutro. En cambio, cuando se rebasa el límite de propor-cionalidad, las tensiones crecen menos que las deformaciones, correspon-diendo a este caso gráficos de tensiones no lineales. Si los módulos a latracción y a la compresión son diferentes, la igualdad de áreas en los dia-gramas exige que la línea neutra se desplace desde el centro de gravedadde la sección hacia la zona de mayor resistencia absoluta (comprimida otraccionada, según los casos).

En el caso general de la figura en que lasección de altura total H tenga formacualquiera, de ancho a variable con laaltura, se verifica que el momento resis-tente que equilibra al momento flectorresulta:M = E.εmáx.JXX/H , de donde

εεmáx = MM/(EJ).H

Deformación del eje de una viga sometida a flexión. Línea elástica. Fle-cha máximaDos secciones paralelas de una viga sin carga, separadas por una longituddl , pasan a formar con la carga un ángulo dαα proporcional a dl tal que

dαα=εε.dll/H = MM/E/J.dll ,De tal manera entre dos secciones de abscisas x1 y x2 el ángulo que forman

será α = 1/E/J x1∫x2 M.dl, funciónque es proporcional al área encerra-da por la función momento flectorentre x1 y x2

Si las deformaciones son pequeñas,se puede tomar el ángulo práctica-

mente igual a su tangente, la que a su vez coincide con el valor de la deriva-da, vale decir que α α ≈≈ tgα α = dy/dx, de donde la ordenada y de la viga defor-mada tiene como expresión en función de la abscisa x la siguiente ecuación,llamada de la línea elástica:

y(x) =1/E/J ∫∫ (x1∫∫x2 MM.dx).dx

Es decir que la posición de la viga deformada sale de integrar dos veces lafunción momento flector. Como ésta a su vez se obtiene de integrar dosveces el diagrama de carga, la línea elástica es proporcional a integrarcuatro veces sucesivas la función del diagrama de carga a lo largo del eje

h

dha

ε = εε = εmáx.h/H

MM= ∫∫σσ.a.h.dh=E.εεmáx./H.∫∫a.h2.dh=σσmáx.JXX /H

H

εεmáx=σσmáx/E

X X

αα

El ángulo αα es proporcional al área sombreada de momentos

x


112

de la viga, entre el extremo izquierdo hasta la abscisa correspondiente a lasección en cuestión. La constante de proporcionalidad vale 1/E/J . Cuandose integra sucesivamente, hay que tener en cuenta las constantes de inte-gración , que tienen el valor de la función en el origen.

Por ejemplo, sea una viga de L=10 m de longitud, de sección rectangular de anchob=15 cm y altura h=10 cm, de acero común (de peso específico ρρ=79000 N/m3 ymódulo de elasticidad E= 2.1011 N/m2), se sostiene apoyada en sus extremos.

Hallar la tensión máxima σσmáx del material y la deformación o flecha (así llamada poranalogía con la flecha de un arco de circunferencia) en el medio de la pieza (que es lasección más comprometida).

La carga q en este caso es el peso propio de la viga por metro de longitud, o seaq = b.h.ρ = 0, 15 . 0, 1 . 79000 = 1185 N/mVimos que M=q.L2/8 = 1185.100/8 = 14812,5 N.m

También sabemos que MM = σσmáx.JXX/(h/2) de donde la tensión máxima que soportará

el material será σσmáx. = M M / [JXX/(h/2)]

Jxx es el momento de inercia de la sección con respecto al eje neutro, que para unrectángulo de base b y altura h vale :

Jxx = 2.b o∫h/2 y2.dy = b.h3/12 = 1,25.10-5 m4

Así es σmáx. = M / [JXX/(h/2)] = 14812,5/(1,25.10-5).0,05 = 59 250 000 N/m2

El límite de proporcionalidad para el acero es de σσprop=140 000 000 N/m2, de maneraque el material está solicitado bastante por debajo de aquél.

De acuerdo a lo anterior, para obtener la deformación en el punto medio se debecomenzar por integrar cuatro veces la función de carga, así que:

I1 (primera integral) = ∫ (q.dx).= q.x+c1

I2 (segunda integral) = ∫ (∫I1.dx).= (q.x2/2+c1.x+c2)

I3 (tercera integral) = ∫ (∫I2.dx).= (q.x3/6+c1.x2/2+c2.x+c3)

I4 (cuarta integral) = ∫ (∫I3.dx).= (q.x4/24+c1.x3/6+c2.x

2/2+c3.x+c4)

donde las constantes de integración tienen el siguiente significado:c1 es la carga acumulada en el apoyo (x=0), es decir c1=-qL/2c2 es el momento cuando x=0. Por el tipo de vínculo (apoyo simple) ese momento esnulo.c3 es el valor de la inclinación de la sección en el apoyo, que como es móvil admiteuna rotación igual a la mitad del ángulo αα/2 entre las secciones extremas de la pieza.Ya habíamos calculado que α(L) = 1/E/J o∫L M.dx = 1/E/J 0∫L (q.L/2.x - q.x2/2) dx =

q/E/J.( L.x2/4-x3/6) de donde c3=α(L)/2= q.(L3/8-L3/12) = q.L3/24 . Así resulta c3=q.L3/24c4 es el valor de la posición y en el apoyo, que no permite corrimiento alguno, Así quec4=0


113

Entonces queda que la ecuación de la elástica es:y(x) = q/E/J . [x4/24 - L/12.x3 + L3/24.x]

Para x=L/2 resulta y(L/2) = q/E/J [L4/384 – L4/96+ L4/48] = (5/384).q/E/J.L4 =5/384.1185 N/m / 2.1011 N/m2/0.0000125 m4.(10m)4 = 0,062 m

Corte

El esfuerzo de corte se equilibra por laresistencia del material al desgarramientoen el plano de la sección considerada ytambién en el plano perpendicular, es decirsegún el eje de la pieza solicitada. Para elcaso de la viga anterior, el momento de

corte cambia bruscamente de signo en la sección de aplicación de la fuerzaP en caso de fuerza concentrada, siendo en cambio la variación lineal encaso de carga distribuída.

El esfuerzo de corte es digno de considerar en piezas cortas sometidas afuerzas generalmente concentradas.

Ejemplos:En la viga y con el estado de carga anterior, ¿Cuál es el esfuerzo de corte en la sec-ción más comprometida?Respuesta: las secciones que soportan el mayor esfuerzo al corte están sobre losapoyos, donde el filo de la cuchilla tiende a “cortar” el material de la viga. El esfuerzode corte en tales secciones vale T = q.L/2/F = 1185 N/m.10m/2/0,1m/0,15m = 395000N/m2 , menor que el 1% del valor admisible (ver tabla).En cambio, una viga muy cargada de pequeña longitud, gran momento de inercia y

pequeña sección puede no verificar al corte y si a laflexión. Por ejemplo, tomemos una viga de una seccióndel mismo valor pero diferente forma que la anterior, demanera de tener momento de inercia mayor. Esto selogra aprovechando el mismo material distribuído enzonas más alejadas del eje de flexión xx. Se usan en la

práctica secciones en “doble T” como la de la figura, cuyo momento de inercia vale:Jxx=2(hb3/72+ b.h/3.(bh/12)2 +.b.h3/71)= 2bh.[(b2/72)+(1/432)+(h2/71)]Para b=0,15 m y h=0,15 m resulta Jxx= 8,8x10-5 m4 (más de siete veces el momento deinercia de la configuración anterior).Tomemos una viga con esta sección de longitud L=0,15m con una carga concentradaP=3000000 N aplicada en el medio.Será M = P.L/4 = 112500 Nm

σmáx. = M / [JXX/(h/2)] = 112500/(8,8.10-5).(0,15/2+0,1/3)0,05 = 1,38.106 N/m2 ≈ σadm

=1,40.108 NmT = P/2/F = 3000000 N/m/2/0,015m2 = 108 N/m2 ≈ τadm

Es decir que la pieza está prácticamente trabajando al límite de proporcionalidad tantoen tracción como en corte.

Esfuerzo de corte T con carga distribuída q

x

q

T

b

h b/2+

h/6

h/3

b/2x x


114

TorsiónEn la figura se ve un elemento de longituddll de una barra cilíndrica de longitud totalL y radio R, empotrada en un extremo ysometida en el otro a un momento MM Latorsión produce una deformación quetransforma una generatriz del cilindro enuna hélice. El ángulo γ entre ambascaracteriza esa deformación, que vale γ γ =ds/dll = = R.dαα/dll = R αα/L , siendo αα el ángulo que gira el extremos de la barraopuesto al empotramiento. La deformación es resistida por los esfuerzos decorte ττ que se desarrollan en la sección, y que van creciendo desde el centro(r=0) hasta el borde (r=R) de tal manera que ττ=ΤΤ/R.r , para ΤΤ=G.γ γ = G.R αα/L

Se cumple así que el momento resistido en cada sección de la pieza vale laintegral de los momentos elementales:

MM = ∫2πr.r.τ.dr = 2πΤ/R∫r3dr = 2πT/R.R4/4 = πT/2 R3 = [ππ.G.R4/2/L].αα

y resulta que el momento es función del ángulo αα que gira el extremo. Laconstante de proporcionalidad que figura entre corchetes contiene el mo-mento de inercia de la sección con respecto al eje de rotación, que ya vimosque vale J0 = ππ/2.R4 de donde MM = [J0.G/L].αα

Ejemplo:Una varilla cilíndrica de hierro de R=3 cm de radio y L=6 m de longitud, empotrada enun extremo y libre en el otro, se torsiona allí hasta la rotura. ¿Cuántas vueltas se habráretorcido su extremo libre?Respuesta: Si la varilla se ha roto es porque ha llegado al límite de esfuerzo de cortedel material ττmax = 3,4x108 N/m2

Como vimos es ΤΤ=G.γ γ = G.R αα/L= 8.109.0,03.α/6 = 3,4x108 N/m2 de dondeα= 6.3,4.108/0,03/8.109 = 8,5 radianes = 1,35 vueltasDiscusión del resultado: El número 1,35 sale de considerar un modelo lineal, pero larotura se alcanza fuera del intervalo de proporcionalidad, así que el número de vueltasque realmente corresponden para alcanzar tal estado es necesariamente mayor.

MM

ddll

dαα R

ds

ττ

γγ

rττ ΤΤ


115

MECÁNICA DE LOS FLUÍDOS

Fluídos

GeneralidadesA diferencia de los sólidos, los fluídos son sustancias que carecen de ener-gía potencial de forma, es decir que no se necesita efectuar trabajo paracambiar su forma mientras no haya cambio de volumen (compresión o ex-pansión), y siempre que el cambio de forma se realice de manera suficien-temente lenta11.

Son fluídos los líquidos y los gases, sustancias que por su estructura nopresentan resistencia a los esfuerzos de corte. La diferencia fundamentalentre el estado líquido y el gaseoso reside en que entre las moléculas de ungas existen fuerzas de atracción, llamadas de cohesión, que tiende a mante-nerlas unidas (formación de gotas, fenómenos de adherencia). Los gases encambio no presentan fuerzas de atracción o cohesión entre sus moléculas,tendiendo a expandirse hasta los límites del recipiente que los contiene.

En vez del fenómeno de corte, los fluídos presentan el fenómeno viscoso,que se manifiesta por la propiedad de arrastrar en su movimiento a porcio-nes vecinas. Se reconoce y cuantifica este fenómeno con un parámetrollamado viscosidad, igual a la fuerza tangencial por unidad de superficieentre dos capas que se deslizan a velocidades diferentes separadas porcierta distancia. La viscosidad se manifiesta tanto en líquidos como en ga-ses, caracterizando sobre todo la movilidad y el escurrimiento del fluído.(Compárese melaza con agua).

Para estudiar los fenómenos en los que intervienen fluídos, se empleanmodelos de fluídos ideales, que al igual que en el caso de los sólidos, po-seen propiedades ideales que simplifican el estudio. Por ejemplo, se recor-dará que el cuerpo rígido es una idealización de un cuerpo real casi indefor-mable. También así se consideran según los casos, líquidos incompresibles,sin viscosidad, o gases ideales, todos ellos entelequias a las que se aproxi-man los fluídos reales en ciertas condiciones límite.

La mecánica de los fluídos se divide en dos partes: la que estudia los fluídos

11

Aunque no retenga energía potencial, el cambio de forma de un fluído con unaevolución que no sea extremadamente lenta significa la aparición de fuerzas de inerciay de rozamiento que aumentan la energía interna del mismo.


116

en reposo o hidrostática y la que trata con fluídos en movimiento, o hidro-dinámica 12

Hidrostática

Presión en un punto de una masa fluídaLa hidrostática considera a los fluídos como continuos, sin atender a que enrealidad están formados por partículas. Para que una porción de fluído estéen equilibrio, las fuerzas que actúan sobre él deben dar resultante nula. Así,considerando una porción de fluído en el seno de una masa en equilibriolimitada por un pequeño poliedro, se deduce de tal condición que el cocienteentre fuerza y área de cada cara deba ser igual.

A este cociente P=F/S se lo llama presión, y de la condición de equilibrio sededuce que es independiente de la orientación de la cara, es decir que sepuede representar en los fluídos por una magnitud escalar dependiente delpunto considerado.

Por ejemplo, en el prisma de la figura, que delimita unaporción de fluído en equilibrio, se cumplirá que la sumade las proyecciones horizontales y verticales de lasfuerzas actuantes debe ser nula.Considerando las proyecciones horizontales es:F1 - F3 . cos (α) =0 de dondeP1.S1 = P3.S3.cos (α)Pero S3.cos (α) = S1, de donde P3=P1

Con idéntico razonamiento se deduce para la proyec-ciones horizontales que:

F2-F3.sen(α)=0 y entonces P3.S3.sen(α)=P2.S2, y como S3.sen(α) = S2 resulta queP3=P2. Queda demostrado así que P1=P2=P3

Cuestión: En los sólidos la fuerza por unidad de superficie no puede representarsepor un escalar, ya que depende de la orientación de la superficie. Por ejemplo, en unabarra comprimida según su eje, la tensión es máxima según aquél y nula en la direc-ción perpendicular. Resulta así que en los sólidos, la tensión ni siquiera es represen-table por un vector de dirección normal a la superficie considerada, sino en general loes por una función vectorial dependiente de la dirección llamada “tensor”. Así comolos vectores tienen componentes escalares, los tensores son magnitudes cuyascomponentes son vectores.

Teorema general de la hidrostáticaReza este principio que la diferencia de presión entre dos puntos de un líqui-

12

En rigor debería hablarse de hidrostática e hidrodinámica para líquidos y neomostá-tica y neumodinámica para gases. Sin embargo esta división no se usa, englobandoen los primeros dos términos a líquidos y gases.

F1

F2

F3αα

αα


117

do en equilibrio sometido a la gravedad es igual a la diferencia de alturamultiplicada por el peso específico. Vimos ya que el peso específico ρρ deuna sustancia es el cociente (escalar) entre el peso P y el volumen ocupadoV, vale decir que es la densidad δδ multiplicada por la gravedad g . Así enton-ces ρ=δρ=δ.g

Demostración: considérese dentro de la masa de liquido en equilibrio unaporción cilíndrica vertical de base b y altura h. Si el contenido del tubo estáen equilibrio es porque su peso P, que vale P=b.h.ρρ se equilibra con unafuerza neta hacia arriba F, que proviene de la diferencia de presión entre elextremo inferior pi y el superior ps, e igual a F=b.(pi-ps). De la igualdad b.(pi-ps) = b.h.ρρ surge que pi-ps = h.ρρ

Cuestión: Lo anterior es cierto si el peso específico es constante y en particular nodepende de la presión (o la altura), es decir cuando el fluído no cambia de volumencon acciones exteriores. Se dice de un fluído tal que es incompresible. La incompre-sibilidad absoluta no se da en los líquidos reales, los que en pequeña medida aumen-tan su densidad con la presión. Sin embargo, en la mayoría de los casos, en los queestén en juego presiones moderadas, los líquidos corrientes pueden suponerse in-compresibles. La razón entre variación de volumen y de presión -dv/dp se llama coefi-ciente de compresibilidad. Los gases, al contrario que los líquidos, son muy compre-sibles. El coeficiente de compresibilidad de los gases es proporcional a la temperaturae inversamente proporcional al cuadrado de la presión, como se verá más adelante.

Ejemplo: calcular la fuerza F con quedebe sujetarse la tapa rectangular delados a y b del tanque de agua de lafigura.Solución: la presión sobre la tapa vadesde un valor ps=h1.ρρ en su parte supe-rior hasta un valor pi=h2.ρ ρ en su partemás baja. Sobre la tapa actúa una cargatrapecial, cuyo centro de gravedad estámás cerca de la parte inferior (centro depresión). Allí debe aplicarse una fuerza

igual a F=pm.S , donde pm=(ps+pi)/2 es la presión media que soporta yS=a.b es el área de la tapa.

Resulta así F = pm.S = ρρ.[(h1+h2)/2].a.b = ρρ.[h1+b/2.sen(αα)].a.b

Para a=1m , b=2 m , h1=3m , a=45º , ρagua=9800 N/m3 esF= 9800 N/m3 . (3+√3/4).2 m3 = 67287 N

b

h1

αα F

h2


118

Vasos comunicantes

El nivel superior o nivel de la superficie libre de líquido en una serie de vasoscomunicados es el mismo si se llenan con un mismo líquido. Con líquidos dediferente densidad y no miscibles, los niveles en cada vaso se pueden cal-cular aplicando el teorema general de la hidrostática a cada porción o co-lumna líquida.

Sea por ejemplo el sistema de tres vasos comunicantes de la figura, inicial-mente lleno de mercurio (ρ2=13) hasta un nivel H, al que luego se agreganotros líquidos: agua (ρ1=1) en el vaso de la derecha, aceite (ρ3=0,8) en elvaso del medio y sulfuro de carbono (ρ4=2) en el vaso de la izquierda. A

consecuencia del agregado de estoslíquidos sobre el mercurio se llega avalores de la superficie libre a nivelesh1, h3 y h5 respectivamente, y conse-cuentemente cambian los niveles de lascorrespondientes interfases inicialmenteen H hasta h2, h4 y h6 respectivamente.

Suponiendo que la superficie libre de todos los líquidos está a la misma presión (laatmosférica), el equilibrio en los vasos comunicantes de la figura exige que p1=p3=p5, yentonces, recorriendo el sistema entre superficies libres puede plantearse para laspresiones a las respectivas alturas que:(p1-p2)+(p2-p4)+(p4-p3) = 0 [1]También es p1-p2 = ρ1.(h1-h2) ; p2-p4 = ρ2.(h2-h4) ; p4-p3 = ρ3.(h4-h3) [2]Entonces de [1] y [2] quedaρ1.(h1-h2) + ρ2.(h2-h4) + ρ3.(h4-h3) =0 [3]

Yendo desde la superficie libre del tubo del medio hasta la superficie libre del vaso dela izquierda es:(p3-p4)+(p4-p6)+(p6-p5) = 0 [4]ρ3.(h3-h4) + ρ2.(h4-h6) + ρ4.(h6-h5) = 0 [5]

Las [3] y [5] permiten determinar los niveles de equilibrio a partir de los siguientesdatos:Las densidades de los líquidos relativas al agua son : ρ1=1 (agua), ρ2=13 (mercurio),ρ3 =0,8 (aceite) y ρ4 =2 (sulfuro de carbono)Las cantidades agregadas de cada líquido son tales que de acuerdo a la forma ydimensiones del vaso correspondiente, producen las siguientes diferencias de niveles:(h1-h2) = 10 cm, (h3-h4)= 3 cm y (h5-h6)= 8 cmQuedan pués como incógnitas las diferencias (h2-h4) y (h4-h6), que se deducen de lasecuaciones siguientes:

1x10 + 13.(h2-h4) - 0,8.(3) = 0 de donde h2-h4=(2,4-10)/13 = -0,5850,8.(3) + 13 (h4-h6) + 2 (-8) = 0 de donde h4-h6= (16-2,4)/13 = 1,046

Tomando como valor de referencia h2=0 esh1=10, h3=3,585, h4=0,585 , h5=7,539, h6=-0,461

h1h3

h4

h5

h6 h2

ho

ρρ1

ρρ2

ρρ3

ρρ4H


119

Principio de Arquímedes

Los cuerpos sumergidos en un líquido en equilibrio reciben un empuje verti-cal hacia arriba igual al peso del volumen desalojado. Este aserto, debido almatemático y físico Arquímedes de Siracusa (Sicilia) 290-280 AC , se pue-de entender considerando que la presión hidrostática sobre la superficie delcuerpo sumergido tiene una resultante no nula, ya que aumenta con la pro-fundidad de la región considerada.

Por ejemplo, sobre un cuerpocualquiera podemos trazar dia-gramas de presiones sobre susparedes, que nos muestrancómo es el empuje total.

Sin hacer ningún cálculo, sólocon una experiencia mental,podemos darnos cuenta que laresultante de todas las presio-

nes sobre un cuerpo dentro de un fluído debe ser una fuerza vertical contra-ria al peso del medio desalojado, que actúa en el centro de gravedad de laparte sumergida. En efecto, imaginando a ésta sustituída por una igual por-ción de líquido, se tendrá una masa fluída en equilibrio. Tal estado puedeinterpretarse como resultante nula entre peso del líquido y empuje sobre elvolumen considerado. Resultan así que ambas son fuerzas de igual valor ysentido contrario.

Cuerpos flotantes

Para un cuerpo en el seno de un líquido se pueden dar tres posibilidades:• La densidad del cuerpo es mayor que la del líquido: en este caso el

cuerpo se hunde, pues el empuje es menor que el peso.• La densidad del cuerpo es igual a la del líquido: en este caso el cuerpo

se mantiene en el seno del líquido ya que el empuje equilibra al peso.• La densidad del cuerpo es menor que la del líquido: el cuerpo no está

en equilibrio en el seno del líquido ya que sobre él actúa una resultantehacia arriba. El equilibrio se alcanza cuando sólo una parte del cuerpoestá sumergida, igualando su empuje al peso. El cuerpo flota en la su-perficie.

Lo dicho vale para cuerpos homogéneos o no. En este último caso, se debetomar la densidad promedio del cuerpo.

Estabilidad de cuerpos flotantes - MetacentroUn cuerpo que flota en un líquido está en equilibrio si el centro de gravedad yel centro de empuje determinan una vertical.

Ese equilibrio será estable si un pequeño desplazamiento que aparte al

E

F4 F3

F2

F1

Origen del empuje hidrostático


120

cuerpo de esa posición conduce a un sistema cuerpo/líquido con mayorenergía potencial. Eso significa que el sistema estaba antes del desplaza-

miento en un estado de energíamínima, que caracteriza a la con-dición de equilibrio.

En el caso del barco de la figura,cuando una acción exterior13 hacerotar el casco en sentido horario,

el baricentro G se desplaza un poco hacia la derecha hasta G’, pero menosque el centro de empuje E , que lo hace en mayor grado también a la dere-cha, hasta la posición E’ . Como consecuencia, el empuje y el peso (quetienen igual intensidad) producen una cupla en sentido antihorario que tiendea volver al casco a su posición anterior. Un pequeño desplazamiento de laposición de equilibrio lleva a que la recta de la fuerza de empuje corte al ejede simetría del casco en un punto M, llamado metacentro, que debe estarpor encima del baricentro para que el equilibrio sea estable

Visto desde otro punto de vista, el de la variación de energía potencial delsistema, el estudio de las condiciones de equilibrio de los cuerpos flotanteslleva consideraciones equivalentes:

La rotación hace que el baricentro G cambie de nivel de hG a h’G, variando laenergía potencial del sólido. Pero al mismo tiempo, la posición del centro deempuje E también cambia de nivel, desde hE a h’E . Que el trabajo de lasfuerzas exteriores sea positivo indica que la energía del sistema barco/aguaha aumentado, cosa que se cumple cuando d’=(hG-hE) > d=(h’G-h’E) (de-muéstrese).

Como corolario se deduce que en el estado de equlibrio, los cuerpos flotan-tes presentan mínima distancia entre centro de empuje y baricentro.

Algunas consecuencias del teorema general de la hidrostática• En una masa fluída homogénea en equilibrio, los planos horizontales

son planos de igual presión.• La presión que un líquido en equilibrio ejerce sobre la pared del vaso

que lo contiene no depende de la forma ni orientación de éste.• La superficie libre de un líquido en equilibrio es una superficie de nivel

constante.• La presión sobre el fondo de un recipiente que contiene un líquido en

equilibrio es independiente de la forma y cantidad de líquido contenido.Depende sólamente de la profundidad a la que está el fondo desde lasuperficie libre y de la presión en ésta (normalmente la presión atmosfé-

13

Por ejemplo un golpe de viento sobre el velamen (no dibujado).

E G

E’

G’ d d’

M hG

hE

h’G

h’E


121

rica).• La resultante de todas las presiones que actúan sobre la superficie que

delimita una cierta porción de fluído es igual al peso de dicha porción,está aplicada en su baricentro, es vertical y dirigida hacia arriba.

• Todo cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje vertical haciaarriba igual al peso del volumen de líquido desalojado (principio de Ar-químedes)

• En virtud del principio de acción y reacción, el de Arquímedes permiteproponer este otro: El cuerpo sumergido produce sobre la masa fluídaun empuje vertical hacia abajo igual al peso del volumen de líquido de-salojado.

Algunas máquinas hidráulicas:Prensa hidráulica – frenos hidráulicosUn líquido incompresible confinado en un sis-tema rígido que posea dos émbolos de dife-rente diámetro sirve para transformar peque-ños esfuerzos con gran recorrido en grandesfuerzas con pequeño recorrido o a la inversa.La prensa hidráulica se usa como tal paraprensar fardos, empujar o subir pesos, ensayarmateriales, etc. Una aplicación muy usada del

principio de la prensa hidráulica se encuentra en el freno de los automotores.En el dispositivo hay un cilindro con un pistón o émbolo de pequeña seccións sobre el que se aplica una fuerza F. La presión F/s se transmite a travésde un sistema de conductos de acero de pequeño diámetro, llenos de unlíquido casi incompresible abase de glicoles de altopunto de ebullición, a loscilindros de mayor diámetromontados en una robustapinza fija sita a horcajadasde los discos en las ruedas.Los pistones o émbolos demayor diámetro, general-mente dos por rueda, sonlos encargados de aplicarla presión de frenado a losdiscos solidarios a éstas, através de pastillas de acerorecubiertas de materialresistente a la fricción y a la temperatura14, que se produce en cada frenada.

14

Antiguamente se usaba en cintas y pastillas de freno una resina con amianto, hoyreemplazado por fibras menos contaminantes.

Principio de la prensa hidráulica

pinza fija

pedal

bomba

depósito de líquido de frenos

discosolidario ala rueda delvehículo

cube

tas

émbo

los

Freno hidráulicode disco

Ll

past

illas


122

Las pastillas rozan ligeramente los discos, sin hacer fuerza mientras que nohaya presión en el sistema hidráulico. La carrera del émbolo de la bomba esde unos pocos centímetros, ya que los pistones del freno están casi rozandolos discos. Así, cuando se pisa el pedal recorren sólo distancias del ordendel milímetro, necesitando muy poco desplazamiento del fluído. El conjuntopermite una gran multiplicación de la fuerza F del pié del conductor sobre elpedal, aún en los sistemas sin servomecanismo15.

Algunos cálculos:La primera multiplicación (mecánica) se logra en base a la palanca del pedal queposee L=30 cm de largo, y que acciona al émbolo de la bomba de freno a escasos l=3cm del extremo. Con ello se logra que la fuerza sobre él sea de 30/3 = 10 veces la dela pisada. El pistón de la bomba de freno tiene un diámetro del orden de 1 cm, mien-tras que los pistones de las cubetas de frenos sobre las ruedas son de 4 cm, y soncuatro por rueda. Esto multiplica la fuerza en relación a las superficies entre los pisto-nes, o sea 4x16=64 veces. En definitiva, si el conductor aplica una fuerza de 5 Kg =49 N en el pedal, sobre los patines de freno actuará una fuerza 640 veces mayor,esto es 31360 N. Si el coeficiente de rozamiento entre pastillas y disco es de 0,3, lafuerza de frenado por rueda será de 9408 N, que aplicada a unos 15 cm del eje de girorepresenta un momento de frenado MM f=1411 Nm. Si el auto marcha a v=60 Km/h,cada rueda (que supondremos de 15”=0,381 m de radio) girará a una velocidad angu-lar de ωω=v/r = 60000/3600/0,381 = 44 rad/s , y si se aplican los frenos con los datosapuntados antes, la potencia de frenado será de Pf=MM f.ωω=62092 W. (del mismo ordenque la potencia nominal del motor del auto). Considerando que sólamente frenan lasrueda delanteras, se tendrá una fuerza total de frenado Ff aplicada sobre el pavimentoigual a la correspondiente al doble del momento de frenado dividido el radio de larueda, esto es Ff =2 x 1411 / 0,381 = 7366 N (740 Kg). El vehículo, de masa m=1000Kg, se detendrá en un tiempo ∆t tal que m.v = Ff. ∆ ∆t .Así resulta ∆∆t=1000.60000/3600/7366=2.26 s . El espacio recorrido en este tiemposerá e= ½ a t2 = ½ v.t = ½ x16,66x2.26 = 19 m

Balanza hidrostática de MohrEste dispositivo mide densidades de líquidos y sólidos através del empuje que reciben los cuerpos sumergidos.Consiste en una balanza generalmente de brazos desi-guales que se lleva a equilibrio antes y después de su-mergir un cuerpo de masa m y volumen V en una cubetade líquido. Sean las lecturas en ambos casos m y m’

respectivamente, y las densidades del sólido y del líquido δs y δl

Se cumple que m = V.δs y además m’ = V.δs -V.δl = V.(δs-δl) , entonces es m-m’= V.δl y además m’/m = 1-δl/δs

Ejemplo: Un cilindro de cobre acusa una masa de m=50 g y al sumergirlo en un líqui-do desconocido resulta una lectura m’= 45 g. Qué densidad tiene el líquido, sabiendo

15

Si, como en la mayoría de los vehículos modernos, existe un servo-freno, éstesuma a la fuerza del pié la de un pistón accionado por la succión del motor, haciendoaún menos esforzada la frenada.


123

que el cobre posee δs=8 g/cm3 .Respuesta: δl=(1-m’/m).δs=0,8 g/cm3

Neumostática

Gases – generalidadesLos gases son fluídos compresibles, que disminuyen su volumen con lapresión, y que tienden a expandirse hasta ocupar todo el volumen del reci-piente que los contiene.

La experiencia demuestra que todos los gases conocidos se licúan someti-dos a presión por debajo de una cierta temperatura crítica. El gas considera-do como proveniente de un líquido se llama vapor. El vapor puede estarsaturado, cuando está en equilibrio con la fase líquida, o sobrecalentadocuando está a temperatura y presión superiores a las de condensación.

Ecuación de estado de gases idealesLejos de estas condiciones de licuación, o sea bien por encima de la tempe-ratura crítica y a bajas presiones, los gases reales responden con gran apro-ximación a un modelo de “gas ideal”, que cumple las siguientes leyes:

A temperatura constante, la presión es inversamente proporcional al volu-men ocupado, es decir p = k1/v, o si se prefiere p.v=k1

Esta expresión es atribuída por los ingleses al físico inglés Robert Boyle (1627-1691) ypor los franceses al físico francés Edmundo Mariotte (1620, 1684). Se la conoce comoecuación de Boyle-Mariotte. Se la expresa usualmente diciendo que a temperaturaconstante, el producto de la presión por el volumen es constante.

Asimismo se cumple que cuando el volumen v se mantiene constante, lapresión p es directamente proporcional a la temperatura absoluta T, que salede sumar una constante a la escala termométrica usual. Es decir que a vo-lumen constante es p= k2.T

También se cumple que cuando la presión p se mantiene constante, el vo-lumen ocupado v es directamente proporcional a la temperatura absoluta T,con la misma constante de proporcionalidad k2 que en el caso del volumen. osea que a presión constante vale v = k2.T

Termómetros absolutos

Las leyes anteriores nos autorizan a construir termómetros absolutos, co-


124

nectando un medidor de presión a una botella cerrada con un gas cualquieraen su interior (volumen constante), o bien un medidor de volumen conectadoa un sistema que se puede expandir sometido a presión constante (porejemplo contra la atmósfera, suponiendo que se mide durante un lapso enque la presión atmosférica sea sensiblemente constante). En ambos casos,la medición será proporcional a la temperatura absoluta.

Se repite la historia de la puja entre ingleses y francesescon las leyes citadas, que relacionan volumen a presiónconstante o presión a volumen constante. Los británicosla adjudican al inglés Charles (1787) y los galos a sucompatriota José Gay-Lussac.

Cuando varían presión y temperatura simultá-neamente, se puede hallar el volumen aplicandoel principio de superposición, ya que se trata deleyes lineales. Se considera primero un aumentode temperatura de T1 a T2 y el correspondienteaumento de presión de p1 al estado intermedio p’1a volumen v1 constante. Después se supone el

aumento de volumen a de v1 a v2 a temperatura T2 constante, que lleva a lapresión al valor final p2

Resulta así:Aumento de presión a volumen v1 constante p1/p’1=T1/T2 Aumento de volumen a temperatura T2 constante p’1.v1=p2.v2

Multiplicando miembro a miembro es p1.v1=p2.v2.T1/T2

O sea: p1.v1/T1=p2.v2/T2=k

Quiere decir que para una misma masa MG de gas en equilibrio el productode la presión por el volumen ocupado, dividido la temperatura absoluta tomaun valor constante k. Esa constante depende de la naturaleza del gas encuestión y es proporcional a la masa M de gas considerada, o sea que po-demos poner p.v/T = MG.RG , que resume las leyes de Boyle-Mariotte yCharles-Gay Lussac.

¿Qué significa la constante R? Sus dimensiones son energía por unidad detemperatura y por unidad de masa: es una constante que depende de laenergía específica del gas en cuestión.

Si el peso molecular del gas es M, será MG=n.M , para n = número de molesdel gas en cuestión, la anterior puede escribirse como p.v/T = n.M.RG , sien-do M.RG independiente del gas y sólamente dependiente del número demoléculas encerradas en el volumen v. Esta constante R=M.RG tiene unvalor universal para cualquier gas , de 8,31 J/ºK/mol

Termómetro de gas


125

Veremos a continuación cómo esta fórmula encaja dentro de un modelo degas descripto como “teoría cinética de los gases”.

La teoría cinética de los gasesYa en 1738, el médico, matemático y físico suizo Daniel Bernoulli, miembrode una célebre familia de científicos encabezada por Jacobo Bernoulli, des-cribía en una famosa tesis a una masa de gas como un conjunto de peque-ñas partículas (átomos o moléculas) que interaccionan entre sí con choquesperfectamente elásticos, que se ajustan a las leyes de la mecánica deNewton. La presión del gas contra las paredes del recipiente se explica,como se verá a continuación, por la acción promedio de innumerables cho-ques de estas moléculas contra esas superficies. La energía cinética prome-dio de las moléculas (energía interna) se mide a través de una variableestadística que coincide con la variable macroscópica llamada temperaturaabsoluta. Las leyes experimentales que relacionan presión a volumenconstante y volumen a presión constante junto con la hipótesis aventuradapor Amadeo Avogadro en 1811, de que todos los gases poseen la mismacantidad de moléculas en el mismo volumen a la misma presión, se combi-nan naturalmente con esta teoría, cuyo tratamiento estadístico fué desarro-llado por el escocés James Clerck Maxwell y el austríaco Ludwig E.Boltzmann a mediados del siglo XIX, dando como resultado lo que se cono-ce como la “teoría cinética de los gases”

Presión sobre las paredes del recipienteVeremos, siguiendo los razonamientos de Daniel Bernoulli, cómo la presiónque ejercen los gases sobre las paredes del recipiente se explica según elmodelo cinético por la acción de innumerables choques por unidad de tiempode un enjambre de moléculas que se mueven caóticamente. También vere-mos cómo se puede caracterizar ese caos con indicadores estadísticos talescomo su velocidad media y otros parámetros, y gracias a los trabajos deMaxwell y Boltzmann, por la distribución estadística de sus velocidades.

Sea un pedazo de pared vertical de superficieS que limita un volumen V=S.X lleno de ungas que tiene en promedio N moléculas todasellas iguales de masa m , que tienen veloci-dades de componentes vxi vyi vzi , parai=1,2,3...n.

En el análisis siguiente admitiremos que lascomponentes de la velocidad de las molécu-las según los tres ejes x,y,z son absoluta-mente equivalentes e independientes entre sí,por lo que el razonamiento siguiente en la

Sv

x

z

vx

vz

vy

yX


126

dirección x se podrá aplicar a las otras dos. En el intervalo de tiempo ∆∆t=X/vx

chocarán contra la pared un número de moléculas nvx igual a la mitad de lasque se encuentran en el volumen considerado V=S.X que tienen velocidadesvx, ya que las de la mitad restante se alejarán de ella, sin producir acciónalguna. La fuerza que produce cada molécula que choca elásticamente con-tra la pared cuya componente de velocidad según el eje x valga vxi está dadapor la variación de la cantidad de movimiento en un tiempo ∆∆t=X/vxi ,que vale

Fvxi = ∆∆(mi.vxi)/∆∆t = mi.(vxi-(-vxi))/∆∆t = 2.mi.vxi/∆∆t = 2.mi.vxi2/X.

Ahora bien, la fuerza total producida por la mitad de todas las moléculas queestán en el volumen V=SX será la fuerza de cada molécula 2.mi.vxi

2 por lamitad del número nvxi de ellas que tienen esa velocidad, extendiendo esaoperación a todas las velocidades posibles. Se supone que el intervalo posi-ble de velocidades queda cubierto con la serie vx1, vx2,...vxn , de manera quese puede poner:

Fx = ½. ΣΣnvxiFxi = (m1.nvx1.vx12+ m2. nvx2.vx2

2 +...+ mn. nvxn.vxn

2)/X ,

Como m1 = m2 =...= mn = m (las masas de todas las moléculas son iguales),la anterior resulta:

Fx = m ΣΣnvxivxi2/X

La presión es fuerza / superficie, o seap=Fx/S= m ΣΣnvxivxi

2/(X.S) = m ΣΣnvxivxi2/V

De acuerdo a la ley de los gases es p.V = M.RG.T y entoncesM.RG.T= m ΣΣnvxivxi

2 pero como la masa de gas M=N.m resulta:RG.T= 1/N (ΣΣnvxivxi

2)

Energía cinética media de las moléculasLas moléculas de velocidad vi tienen una energía cinética media de εεi =½ mvi

2 , siendo vi2=vxi

2 + vyi2 + vzi

2 . Considerando que la energía se debe re-partir estadísticamente en partes iguales para las tres direcciones, resultaque la energía cinética media del gas será la suma de energías extendida atodas las velocidades posibles:

Ec = ½ m ΣΣ (nvxivxi2 + nvyivyi

2 + nvzivzi2) = ½ N.m . [3/N ΣΣ nvxivxi

2] = ½ M c2

El significado matemático de 3/N (ΣΣnvxi.vxi2) = 1/N ΣΣ nv.v

2 es el de un prome-dio ponderado del cuadrado de las velocidades de las moléculas, llamadocuadrado de la velocidad media cuadrática, simbolizado por c2 , por lo queRG.T= 1/3 c2 o lo que es igual M.RG.T = R.T = 1/3 M.c2 = 2/3 Ec


127

La velocidad media cuadrática es la que deberían tener las moléculas de unestado ideal del gas (no posible por lo improbable estadísticamente, aunqueimaginable) en que los módulos de sus velocidades fueran todos iguales,para poseer la misma energía cinética interna que el estado real.Veremos que en el estado real (de máxima probabilidad) las moléculas po-seen una distribución de velocidades de acuerdo a ciertas pautas estadísti-cas que veremos en seguida.

Asimismo, el significado estadístico de la temperatura absoluta de un gas esuna medida de la energía cinética media de sus moléculas.

¿Por ejemplo, cuál será la velocidad cuadrática media de las moléculas de nitrógeno(M=0,028 Kg/mol) del aire a 15ºC = 288 K (º absolutos)?Resulta entonces quec = (3.R.T/M) ½ = (3 . 8,31 J/ºK/mol . 288ºK /0,028 Kg/mol) ½ = 506 m/s¿Qué energía cinética tiene un mol de N2 en las condiciones anteriores?Respuesta: Ec=3/2.R.T = 3590 J/mol

Distribución de las velocidadesSin hacer ningún cálculo, es imaginable que en una masa de algunos litrosde gas, donde billones de moléculas chocan por doquier, habrá sin embargoun equilibrio estadístico dentro de ese caos, y que si bien no podemos ase-gurar el estado actual de una molécula particular ni su futuro, será posibleestablecer categorías probables entre ellas. Supongamos que pudiéramostomar una foto instantánea del conjunto de moléculas donde aparezcanéstas y sus velocidades en módulo. Como en los censos de población, elresultado de los datos se podría resumir en indicadores tales como la veloci-dad media (momento de primer orden) cuadrática media, máxima, mínima,dispersión de velocidades (momento de segundo orden) y en general unatabla de cuántos individuos tienen velocidades v1, v2, v3,...vn, o sea la for-ma de la función de distribución de velocidades que cubra todas las veloci-dades posibles. Gracias a ingeniosas experiencias, se ha podido censar unapoblación de moléculas viajeras a través de una muestra extraída de unestado gaseoso. Esta experiencia, que relataremos brevemente a continua-ción, vino a confirmar los resultados deducidos por Maxwell y Boltzmannmuchos años antes.

La experiencia de ZartmanEn 1931, el físico Zartman realizó una experiencia para hallar la distribuciónde velocidades en un gas, clasificando las moléculas del total por intervalosestrechos de velocidad vx1, vx2,..., vxn. La experiencia se basa en que si deun gas confinado en equilibrio se deja escapar un chorro muy fino hacia unespacio vacío durante un tiempo determinado, las moléculas que salen se-gún esa dirección no interaccionan entre si y se van distanciando del orificiode salida según sus velocidades. Si la muestra que escapó es suficiente-mente grande como para representar al gas interior confinado, la cantidad


128

de moléculas en función del tiempo que van llegando a un punto alejado dela fuente representará la proporción de moléculas en función de la velocidadque poseían en la fuente.

Es de esperar que, como en elcaso de una maratón, lleguenprimero unos pocos atletas ex-cepcionales, luego cada vez másjuntos los buenos corredoreshasta llegar a un máximo el flujode participantes medianos. Lafrecuencia de llegada irá luegodisminuyendo con los más lentosy habrá que esperar bastantetiempo para ver la llegada de losmás rezagados. Es probable en una prueba sin límite de tiempo en la queparticipen muchos corredores, haya algunos pocos con un retraso enorme.

Si representamos gráficamente la frecuencia de llegada en función del tiem-po obtendremos una curva acampanada con el máximo más cerca del prin-cipio que del final, con una larga cola hacia atrás. Esto es precisamente loque ocurre con las moléculas de nuestro chorro gaseoso, que se produce enun horno al vacío con un metal de bajo punto de fusión y buena difusibilidad(por ejemplo bismuto). El vapor confinado escapa por un orificio estrecho delhorno, se transforma en un haz gracias a un diafragma colimador y es re-cortado durante un instante por un obturador tipo fotográfico, que limita elpaso de una porción de moléculas hacia la meta. La columna de moléculascon muy poca interacción entre ellas, ya que tienen velocidades principal-mente orientadas en la dirección de avance, se estratifica por el caminosegún la rapidez de sus integrantes. En la llegada son recibidos por unasuperficie fría que se desplaza (una placa transparente arrollada en un cilin-dro que gira), quedando incrustados próximos los de igual categoría de rapi-dez. La placa presenta una franja con una densidad de metal depositadoproporcional a la frecuencia de llegada de las moléculas. Examinado el de-pósito de metal condensado por transparencia o medido su espesor al mi-croscopio, arroja los resultados que se han exagerado en el dibujo: un depó-sito que empieza en un punto, aumenta su densidad y se esfuma en unalarga cola.

La distribución de Maxwell-BoltzmannDijimos que el resultado experimental vino a confirmar la fórmula de distribu-ción teórica que independientemente Maxwell (1831-1879) y Boltzmann(1844-1906), dedujeran muchos años antes.

Explicaremos el camino seguido para deducir la fórmula, debido a la impor-tancia del método y sus conclusiones, aplicables ambos a otros “gases” no

horno

obturadorrápido

diafragmacolimador

αmetalvaporizador

espesor del depósito de metalcondensado

cilindrogiratorio

Experiencia para obtener la distribución develocidades moleculares de un gas


129

moleculares, como los de electrones y fotones. Los que no tengan el nivelmatemático requerido tienen las siguientes opciones:• Adquirir dichos conocimientos de cálculo (se recomienda)• Creer en los resultados y profundizar luego sus fundamentos (una op-

ción intermedia)• Pasar por alto el capítulo (desaconsejada)

En un gas en equilibrio el promedio vectorial de velocidades debe ser nulo siadmitimos que su centro de gravedad está en reposo. Las moléculas cam-bian incesantemente su velocidad a través de innumerables interaccionesentre sí y contra las paredes del recipiente. Cada molécula tiene un com-portamiento impredecible en forma particular, porque está ligado al de unagran cantidad de otras moléculas. Sin embargo se pueden encontrar indica-dores estadísticos que caractericen el movimiento global del conjunto. Yavimos la velocidad media cuadrática como uno de ellos. Se trata ahora debuscar la distribución de las velocidades de las moléculas en módulo, esdecir su intensidad prescindiendo de su sentido. La distribución da el númerode moléculas que en todo momento están en un determinado nivel de ener-gía cinética, o de su equivalente velocidad.

Modelo de Boltzmann – Estado y complexiónPara tal análisis, siguiendo la idea de Bolzmann, se asimila un botellón degas a una urna con bolillas que van cayendo a un clasificador en cuyos casi-lleros pueden disponerse el total de las bolillas de cualquier manera. Asícomo todas las moléculas de una masa de gas podrían concebirse con unestado instantáneo de velocidades iguales, el modelo urna-casilleros lasrepresentaría con todas las bolillas en un sólo casillero. Se postula que elestado real del gas en equilibrio, caracterizado por cuántas moléculas hayen cada categoría de velocidad o energía, será de configuración tal quetenga la máxima probabilidad entre todos los arreglos posibles. Estos arre-glos o “complexiones”, como los llama Boltzmann, se caracterizan al contra-rio de los estados, por identificar cuáles moléculas (además de cuántas) hayen cada categoría de energía o velocidad, admitiendo que las moléculas sepueden identificar, así como las bolillas tienen un número impreso. Un esta-do estable en equilibrio debe imaginarse como un tránsito incesante entrecomplexiones equivalentes, en el que las bolillas o las moléculas intercam-bian sus lugares o energías, pero donde lugares o energías conservan sudistribución sobre diferentes individuos.

Consideremos un modelo sencillo, con cinco bolillas y dos casilleros. El orden dentrode un mismo casillero no reviste interés en este modelo, ya que la energía o velocidaddel casillero es la misma para todos los elementos que estén en él. Comencemos poranalizar las diferentes maneras de ubicar las bolillas, numeradas de uno a cinco,dentro de los casilleros primero y segundo.

Así, por ejemplo, habrá diez complexiones posibles para un estado de


130

cinco bolillas en dos casilleros, con dos bolillas en el primer casillero y tresbolillas en el segundo, a saber:

1,2–3,4,5 1,3–2,4,5 1,4–2,3,5 1,5–2,3,42,3-1,4,5 2,4-1,3,5 2,5-1,3,4 3,4-1,2,53,5-1,2,4 4,5-1,2,3

Con idéntico razonamiento podemos afirmar que hay otras diez complexiones para elestado tres-dos , cinco complexiones para el estado uno-cuatro y otras cincocomplexiones para el estado cuatro-uno. ¿Debemos considerar posible los estadoscero-cinco y cinco-cero?. Claro, eso suma otras dos complexiones posibles.En total hay 1+1+5+5+10+10 = 32 complexiones posibles.

Se demuestra que n moléculas en m casilleros pueden disponerse de mn manerasposibles. En nuestro caso es 25=32, como lo acabamos de ver.

También se demuestra que el número de complexiones para un estado dado es menorque el número de maneras en que se puede ordenar la población. Una serie de Nelementos se puede ordenar de diferentes maneras, cambiando el orden o sea per-mutando su ubicación en la serie. El número total de permutaciones posibles de Nelementos está dado por una operación llamada factorial de N representado por N! ofact(N) , igual al producto N.(N-1).(N-2)....hasta llegar a la unidad.

El número de permutaciones totales de los N elementos (N!) se divide por las permu-taciones dentro del casillero, puesto que como dijimos, no representan otra variante atomar en cuenta en nuestro análisis por categorías. Así resulta:

Número de complexiones de cinco elementos con tres en el primer casillero y dos enel segundo casillero = 5!/3!/2! = 5.4.3.2/3.2/2=10

¿Cuál será el estado de máxima probabilidad para este “gas” de cinco moléculas?

Se define probabilidad matemática como el cociente entre casos favorables y casosposibles.

De tal manera, podremos hacer la siguiente tabla:

Estado Probabilidadcero-cinco 1/32uno-cuatro 5/32dos-tres 10/32tres-dos 10/32cuatro-uno 5/32cinco-cero 1/32

Hay pués dos estados posibles de máxima probabilidad: el dos-tres y el tres-dos.Quiere decir que según el modelo, un gas de cinco moléculas con dos niveles posiblesde energía tiene mayor probabilidad de existir con una distribución dos-tres o tres-dos,que cualquier otra.


131

Por supuesto que llevar este razonamiento aún a una pequeña burbuja degas, que contiene una millonésima de mol, con 6 x 1017 moléculas , eligiendouna partición de mil intervalos de velocidades posibles, entre cero y 10000m/s, para abarcar un rango lógico, daría un menudo trabajo....imposible aúnpara un ejército de calculistas.

Deducción de la ley de distribución de velocidades16

Otro es el método de Boltzmann, mucho más eficiente, que analiza la función que dalos casos favorables (ya que el denominador, que representa el número de casosposibles es siempre el mismo). A esta cantidad llama Boltzmann “probabilidad ter-modinámica

17” variable de estado ligada a los procesos de transformación de siste-

mas estudiados por la termodinámica.

La probabilidad termodinámica de un estado, o sea los casos posibles para N molé-culas que se distribuyen con n1 moléculas en el casillero Nº1, n2 en el Nº2,...y nm

moléculas en el casillero emésimo resulta, según lo ya visto, el cociente entre todaslas permutaciones posibles de la serie de N elementos dividido las permutacionesdentro del mismo casillero, esto es:

P(n1,n2,...nm) = N!/(n1! n2! n3!...nm!)

Esta probabilidad es máxima cuando el denominador se hace mínimo, ya que elnumerador es constante para un número de elementos dado. La condición de denomi-nador mínimo es pués la clave para encontrar el estado de máxima probabilidad, quecorresponderá al estado de equilibrio.

El mínimo o el máximo de una función continua está en los puntos donde se anula supendiente (cimas o valles). La pendiente está representada por su función derivada, laque igualada a cero determina una ecuación diferencial que se satisface para valoresde pendiente horizontal. Pero el denominador en cuestión no es una función derivableen forma sencilla. Hay que transformarla para que lo sea. Primeramente se le aplicalogaritmos. El logaritmo del denominador sigue las variaciones de su argumento, o seaque es máximo cuando el denominador es máximo, y mínimo cuando el denominadores mínimo. Además transforma el producto en suma. Queda entonces:ln(D) = ln (n1!) + ln (n2!) + ln (n3!) +...+ ln (nm!) [1]

Luego se reemplaza el logaritmo natural del factorial por una aproximación atribuida almatemático escocés James Stirling (1692-1770 pero que en realidad pertenece almatemático francés Abraham De Moivre (1667-1754):

ln (n!) ≈≈ n.ln(n)-n , fórmula aproximadamente válida para n>>1 [2]

16

Es equivalente hablar de energías o velocidades. Trabajando con volúmenes ga-seosos de poco espesor ∆∆h podemos despreciar la energía potencial m.g.∆∆h , y con-siderar que una molécula puntual de masa m que se desplaza a velocidad v poseeúnicamente energía cinética E = Ec= ½ m v2.17

La probabilidad termodinámica es una variable que no tiene como límite superior launidad, como ocurre con una probabilidad matemática.


132

n n! ln(n!) n.ln(n)-n Error(%)

3 6 1,79 0,30 83,49

5 120 4,79 3,05 36,35

10 3628800 15,10 13,03 13,76

50 3,0414E+64 148,48 145,60 1,94

100 9,333E+157 363,74 360,52 0,89

Como se ve, la fórmula de Stirling -De Moivre da un error menor que 1% para n>100 .Es de sobra aceptable en el análisis que haremos a continuación, que trata de unamasa de gas con un número de individuos muchísimo mayor.

Diferenciando [1] y teniendo en cuenta [2] resultad ln(D) = d ΣΣ ni.ln(ni) - d ΣΣni ,pero como ΣΣni = N = número total de moléculas = cte , esd ln(D) = ΣΣ [ni.dni/ni + ln(ni).dni] = ΣΣ [1+ln(ni)] dni = 0 (condición de mínimo) [3]

Teniendo en cuenta queΣΣdni = d ΣΣni = dN = 0, [4]la [3] queda:d (ln D) = ΣΣ [ln(ni)] dni = 0 [5]

La energía total E del gas es la suma de la energía de las moléculas, que a su vez seobtiene sumando las energías en cada categoría εi por el número de moléculas ni enesa categoría, es decirE = ΣΣ εεi.ni [6]La condición de que la energía total se mantenga estable, o sea que la masa de gasesté en equilibrio, se traduce en variación nula de la [6]dE = ΣΣ εεi..dni = 0 [7]

Las ecuaciones [3],[4] y [7] establecen tres condiciones independientes del sistema:• que el número de moléculas sea constante (sistema cerrado)• que la probabilidad del estado sea máxima (condición necesaria para el estado

real)• que la energía sea estable (equilibrio)

Para resumirlas en una sola condición se puede plantear una combinación lineal deambas, con constantes A y B a determinarse luego, a saberA.{ΣΣ [ln(ni)] dni}+ B.{Σ εεi..dni} = 0 [8]

Desarrollando la anterior se obtiene la serieΣΣ(A.ln (ni) + B εεi) dni = 0 [9]

La única solución posible para que se anule la serie [9] es que todos sus términossean nulos, puesto que ln(ni) y εεi son siempre positivos.

Se puede poner para cualquier intervalo de energía i que:(A.ln (ni) + B εεi) dni = - dN = 0 de donde A.ln(ni) = -B.εεi , y tomando antilogaritmos es


133

ni = exp (-B/A.εεi) = 1 / [exp(Bεε/A)] 18

[10]

La [10] expresa que la cantidad de moléculas en cada categoría o ”casillero” de ener-gía εε decrece exponencialmente con esa energía; puede ponerse bajo la forma:n(εε) = exp (1/A) exp (-B.εε) = K. exp (-B.εε) [11]

El significado de K se obtiene haciendo εε=0 con lo que la exponencial es la unidad yentonces n(0)=K, es decir que la constante K representa la cantidad de moléculas quetienen energía nula en el la categoría considerada.Se muestra en la figura la representación de la función n(εε) para un intervalo o catego-ría de energía εεi . La subtangente en un punto cualquierade la curva representa la constante de decrecimiento A/B.

Ahora bien, pasemos a trabajar en todo el intervalo posiblede energías, o sea desde cero a infinito, puesto que nopodemos descartar que siempre haya alguna molécula deenergía más alta que el límite impuesto. A lo sumo pode-mos concebir de antemano que esas moléculas muy rápi-das serán muy escasas, como lo muestra el escaso espe-sor del metal condensado en el comienzo de la tira de la experiencia de Zartman.

La energía de una molécula puntual de masa m es la suma de su energía cinética detraslación εεc = ½ m v2 y de su energía potencial εεp=m.g.z, para v2 = vx

2 + vy2 + vz

2 dedonde dεε=m.v.dv+m.g.dz. En el análisis siguiente despreciaremos la variación enaltura y consecuentemente permanecerá constante la energía potencial εεp

Cambiando de la variable energía εε a la variable velocidad v a través de las fórmulasya vistas, la [11] puede ponerse bajo la forma:n(vi) = K. exp (-B/2.v i

2) [12]

Sumando todos los elementos se obtiene el número total de moléculas N:N(v) = ΣΣιι n(vi) [13]

Si en vez de usar intervalos discretos de velocidad vi (i=1,2,3..n) trabajamos consaltos diferenciales en módulo dV tendientesa cero, el número de moléculas N(v) porintervalo de velocidad pasa a ser un cocienteincremental que tiene el significado de den-sidad de número de moléculas por unidadde intervalo de velocidad dV (se usa V ma-yúscula para designar un espacio de veloci-dad, cuyo módulo esté entre v y v+dv).

Entonces, la [13] junto con la [14] nos da:dN(v)/dV = n(v i) =K exp (-B/2.vi

2) [14]o sino también:

18

Por comodidad tipográfica se expresa en este párrafo la exponencial ex comoexp(x), para e=2,7182818...(base de los logaritmos naturales)

n(εε)

K

εεA/B

Cantidad de moléculas por casillero

v

dN/dV

Densidad de moléculas por intervalo de velocidad

K


134

dN(εε) = K exp (–B/2.m.v2) dV [15]

En cada casillero o nivel de energía dV (V mayúscula) entrarán todas las moléculasque tengan el mismo módulo de velocidad v . La densidad o probabilidad de encontraruna cantidad n de moléculas de velocidad determinada dentro de un casillero o cate-goría de velocidad expresada en la [14] es una campana de Gauss, como se muestraen la figura adjunta.

Lo mismo que la exponencial vista anteriormente en el caso de las energías, indicaque la cantidad de moléculas que probablemente se encuentren en un casillero esmáxima para la categoría de velocidad nula y disminuye para categorías de velocida-des crecientes.

Sin embargo, la velocidad es un vector, y la [15] sólo contempla la variación de lavelocidad en sentido positivo y negativo en forma unidimensional.

Para extender el análisis a todas las direcciones posibles en el espacio, las categoríasde igual módulo pueden representarse como el lugar geométrico de los vectores velo-cidad de igual longitud v, esto es una esfera de radio v , en un espacio donde lasdimensiones son velocidades.

Para integrar la expresión [15] a toda esa esfera conviene usar en vez de coordenadascartesianas vx vy vz , otras más cómodas: las coordenadas esféricas en el espacio delas velocidades, a saber:

• v (módulo de la velocidad),• θ θ (acimut)• φ φ (altura)

De acuerdo a la figura, el elemento de volu-men de velocidad que en coordenadascartesianas vale dV = dvx.dvy.dvz , resultaen coordenadas esféricas igual al productode los tres lados de una especie de caladurade sandía que se puede aproximar a unparalelepípedo de lados:• [dv]• [v.cos φφ.dθ]θ]• [v.dφ] φ] Por lo tanto el elemento de volumen encoordenadas esféricas resulta:dV = [dv].[v.cos φφ.dθ]θ].[v.dφ] φ] = v2.cosφφ,

dv.dθθ.dφφ

Entonces la [15] queda:d3N(v,θ,φθ,φ) = n(v) = K exp (–B.m.v2/2) v2.cosφφ.dθθ.dφ.φ.dv [15]

Dejando sólamente como variable la velocidad, podemos integrar a la [15] para lasotras dos variables φ φ , θ θ , sobre la esfera de radio v y espesor dv y entonces:

dφφ

φφθθ

dθθ

dθ.θ.cos φφ

dv

v

vxvy

vz

Elemento de volumen de velocidaddV = v2. cos φ.φ.dθθ.dφ.φ.dv

[ ]16 .v.e.K 4. .ö.dö.dè cos..vK.edN/dv 22Bmv

2ðè

0è

ðö

ðö

22Bmv 22

π== ∫ ∫=

=

=

−=


135

Si integramos la [16] a todo el espacio de las velocidades, debe dar como resultado elnúmero total de moléculas en todo el espacio, o sea N.

Ahora bien, la integral

I = ∫∫ exp (–B.m.v2/2) v2.dv se logra integrando por partes, con la fórmula

∫∫p.dq = p.q - ∫∫q.dp para p = v; dq= exp(-B.m.v2/2) v.dv = exp(-B.m.v2/2) d(v2/2) ,de donde q= -1/B/m.exp(-B.m.v2/2) y además dp = dvEntonces resulta:

I = -1/B/m.exp(-B.m.v2/2).v + 1/B/m ∫∫ exp(-B.m.v2/2).dv

I o|∞

= |-1/B/m.exp(-B.m.v2/2).v o|∞

+ √√2/(B.m)3/2o∫∫∞ exp(-B.m.v2/2).d(v.(B.m/2)½)

El primer término es una función que toma valor nulo en los límites: vale cero en elorigen y cero en el infinito.

La integral del segundo término es la función error de Gauss integrada entre cero einfinito, que da el área total debajo de la campana, cuyo valor es √√ππ/2

Así resulta N = 4.K.ππ.I = 4.K.ππ.√√2/(B.m)3/2.√√ππ/2 = K/(B.m/ππ/√√2)3/2= K ( 2.ππ/B/m)3/2

de donde K = N. (B.m/ππ/√√2)3/2

Haciendo αα2 = 2/B/m resulta N= K.π. 3/2.α3

y también dN/N/dv = f(v) = 4.ππ-½αα−−3 .v2.exp(–(v/α)α)2) [17]

La [17] es la función de densidad develocidades, que da la proporción demoléculas que tiene velocidades entre v yv+dv. Representada gráficamente es unacurva acampanada que nace en el origen.Es asimétrica, con la cola hacia la dere-cha, tal como se representa en la figura.En el gráfico se señalan:• la abscisa α α correspondiente a la

ordenada máxima, que es la veloci-dad más frecuente.

• la abscisa v del centro de gravedad de la figura ; es la velocidad media• la abscisa √√(c2) , raíz cuadrada de la velocidad media cuadrática• El área encerrada bajo la curva entre dos abscisas v1 y v2, representada por la

integral de la función de densidad f(v) entre esos límites, indica la proporción demoléculas cuyas velocidades caen dentro de dicho intervalo de velocidades.Desde este punto de vista, la integral entre cero e infinito de f(v) debe valer la

unidad porque representa el total de las moléculas, es decir 0∫∫∞∞

f(v).dv = 1 [18]

Que αα es la abscisa que corresponde a la ordenada máxima se comprueba fácil-mente al verificarse que la derivada de la función f(v) en ese punto se anula (condiciónde máximo o mínimo) es decir df(αα)/dv=0.En efecto es df(v)/dv=4.ππ-½αα−−3 [2.v.exp(–(v/α)α)2+v2.exp(-v2/αα2).(-2.v/αα22)]

f(v) = dN/N/dv

vα v c2 v1 v2

∫f(v).dvv1

v2


136

El corchete se anula cuando 2v-v2.2v/αα2=0 de donde 1-v2/αα2=0 , es decir v=αα

Ya vimos que c2 se definía a partir de la energía total de las moléculas Ec de maneratal que Ec= ½ Nm c2 , así entonces c2= 2.Ec/M = m/M.ΣΣ ni.vi

2 ; pasando de variablesdiscretas n1,n2 , v1,v2...a variables continuas n=N.f(v).dv, la anterior resulta

c2 = o∫∫∞∞ f(v) v2 dv = 4.ππ-½αα−−3 . o∫∫∞∞

exp(–(v/α)α)2) v4.dv [19]

La integral I =∫exp(–v2/α2). v4.dv se resuelva por partes poniendo

∫p.dq = p.q - ∫q.dp para p = v3; dq= exp(-v2/α2) v.dv = -½ α2.exp(-v2/α2) d(-v2/α2)

de donde q= -½ α α2.exp(-v2/αα2) y además dp = 3.v2.dvEntonces resulta:

I = -½ α2.exp(-v2/αα2).v3 + 3/2 α2 ∫∫ exp(-v2/ α α2).v2.dv

I o|∞ = |-½ α2.exp(-v2/αα2).v3 o|∞

+ 3/2 α2 o∫∫∞ exp(-v2/ α α2).v2.dv [20]

El primer término es nulo, ya que la función toma valores nulos en los límites del inter-valo cero e infinito. En cambio el segundo término incluye una integral del tipo ∫∫f(v)dventre cero e infinito, que ya vimos debe valer la unidad, así que de acuerdo a [17] y[18] es:

o∫∫∞ exp(-v2/a2).v2.dv = 1/(4.ππ-½αα−−3) y entonces la integral [20] vale:

I o|∞ = 3/2 αα2 / (4.ππ-½αα−−3) de donde la [19] resulta

c2= 4.ππ-½αα−−3. 3/2 αα2 / (4.ππ-½αα−−3) = 3/2 αα2 [21]

La [21] nos da la relación entre la velocidad más probable y la media cuadrática. Se veque c>a , tal cual se indica en el gráfico.

La velocidad media es el promedio ponderado de las velocidades, es decir que secumple la relación vm =1/N Σ Σ ni.vi , y pasando a variables continuas es:

vm= o∫∫∞∞

f(v).v.dv = o∫∫∞∞

f(v) v dv = 4.ππ-½αα3 o∫∫

∞∞ exp(–(v/α)α)2).v3.dv [22]

I =∫exp(–v2/α2). v3.dv se resuelva por partes poniendo

∫p.dq = p.q - ∫q.dp para p = v2; dq= exp(-v2/α2) v.dv = -½ α2.exp(-v2/α2) d(-v2/α2)

de donde q= -½ α α2.exp(-v2/αα2) y además dp = 2.v.dvEntonces resulta:

I = -½ α2.exp(-v2/αα2).v2 + αα2 ∫∫ exp(-v2/αα2).v.dv

I o|∞ = |-1/B/m.exp(-v2/αα2).v2 o|

∞ + αα2 o∫∫∞ exp(-v2/αα2).v.dv [23]

El primer término es nulo, ya que la función toma valores nulos en los límites del inter-valo cero e infinito. El segundo término incluye la integral entre cero e infinito ∫∫dq=-½.αα2, así que la integral [23] vale:

I o|∞ = 1/2 αα4 de donde la [22] resulta

vm= 4.ππ-½αα−−3. 1/2 αα4 = 2 ππ-½ α α [24]


137

Relación entre velocidades estadísticas y temperatura

Los parámetros estadísticos recién vistos están en relación directa con elparámetro global conocido como temperatura absoluta del gas.

Del concepto de velocidad media cuadrática y su relación con la presión y laley de los gases se obtuvo en la página 32 la expresión c2 = 3 RG.T

En virtud de la [21] se deduce α2=2.RG.T , la que reemplazada en la [23] nosda para la velocidad media vm = 2 ππ-½ (2.RG.T)½ = (8.RG.T/ππ)½

Así entonces esc2 = 3.RG.T = 3. R/M.Tαα2 2 = 2.RG.T = 2. R/M.Tvm

2 = 4/ππ.2.RG.T = 8/ππ.RG.T

Para M=NA.m , con NA=6,02x1023 (Número de Avogadro), m=masa de unamolécula, y k=R/NA , que es la constante de los gases para una molécula,llamada “constante de Boltzmann” resultan :c2 = 3. R/NA/m.T = 3.k.T/mαα2 2 = 2. R/NA/m.T = 2.k.T/mvm

2 = 8/ππ. R/NA/m.T = 8ππ.kT/mRecordando que la energía de una molécula esεε= ½ m.v2 con dεε = m.v.dv es (v/αα)2 = m.v2/2/k/T = εε/(k.T)

La función de distribución queda así:dN/N/dv = 4.ππ-½ (2.k.T/m) − −3/2 .v2.exp(–m.v2/2/k/T) [25]y poniéndola en función de la energía εε se transforma en:dN/N/dεε = 2.ππ-½ (k.T) − −3/2. m2.ε ε ½.exp(–εε/k/T) [26]que es también una curva acampanada asimétrica, tal cual se ve en losgráficos siguientes.

Variación de la distribución de velocidades con la temperatura

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0,0012

0,00E+00 5,00E+02 1,00E+03 1,50E+03 2,00E+03 2,50E+03 3,00E+03 3,50E+03

velocidades

dN

/N/d

v

273ºK 500ºK


138

Allí también se observa cómo se modifica la forma de la curva para un mismo gascuando aumenta la temperatura. Disminuye la ordenada del máximo, y se corre suabscisa hacia mayores valores de velocidad. Se comprende que esto deba ser así yaque el área entre curva y eje de velocidades debe mantenerse constante, por repre-sentar la proporción total de moléculas, que es igual a la unidad.

Puede darse a las fórmulas [25] y [26] una interpretación conveniente consi-derando que son el producto de dos funciones independientes. Por ejemplo,pongamos la [25] como producto de dos corchetes:

dN/N/dv = [4.ππ .v2]. [(2.k.T/ππ/m) − −3/2.exp(–m.v2/2/k/T)] [27]

Ya vimos que el segundo corchete es la cantidad n(v) de moléculas quetienen velocidad v dentro de un casillero (en forma de caladura de sandía).En términos estadísticos representa la probabilidad de encontrar n moléculasde velocidad v o de su correspondiente energía e=½.m.v2. Se lo llama pro-babilidad de ocupación de una celda, y depende del tipo de partículas y dela temperatura absoluta de la masa de gas. Para extender esta probabilidadal espacio de las velocidades en módulo, (o al espacio de las energías ciné-ticas correspondientes) hubo que multiplicarlo por el factor [4ππv2], que es lasuperficie de una esfera de radio v , y que extiende la probabilidad anterior atodos los estados posibles de igual velocidad. De allí que a este corchete selo llame cantidad de celdas o densidad de celdas. Este factor de densidad,que representaremos en adelante con g(v) o g(εε) , es igual para todo tipo departículas y no depende de la temperatura. Es un factor puramente geomé-trico en el espacio de las velocidades o energías, según se trate.

Cambiando la variable velocidad v por energía εε= ½ mv2 la [27] se puedeponer también en la forma:dN/N/dεε = [4ππ/√√2.m-3/2.√√εε] . [1/exp(A+εε/k/T)] = g(εε).n(εε) [28]

para 4π.π.v2.dv= 4ππ/√√2.m-3/2.√√εε.dεε y A= ln [π.π.m/ (2.k.T) − −3/2]

Variación de la distribución de energías con la temepratura

0

2E+19

4E+19

6E+19

8E+19

1E+20

1,2E+20

1,4E+20

0,00E+00 5,00E-21 1,00E-20 1,50E-20 2,00E-20 2,50E-20 3,00E-20

energías

dN

/N/d

e

100ºK 200ºK


139

Resumiendo: La función f(e) = dN/N/dεε que representa estadísticamente laprobabilidad de encontrar n moléculas entre energías e y e+de se puedeconsiderar como el resultado de dos probabilidades concatenadas:19

• probabilidad g(εε) de existencia de cel-das con nivel de energía εε (densidad deceldas). g(εε) es una parábola de ejecoincidente con las abscisas.

• probabilidad n(εε) de que la celda estéocupada (o que no esté vacía). n(εε) esuna exponencial decreciente con asín-tota en abscisas.

En un gas es alta la probabilidad de ocupación para bajas energías perotambién escasa su densidad. A mayores velocidades, disminuye la probabili-dad de ocupación y aumenta la densidad. El resultado del producto de lasfunciones de ocupación y densidad es la ya vista curva acampanada queparte del origen, crece hasta un máximo y se pierde en una cola asintótica.

Generalización del concepto de gas - Gases de fermionesy de bosonesEl estudio estadístico hecho para gases moleculares puede extenderse aconglomerados de cualquier otro tipo de partículas que interaccionen esta-dísticamente entre sí. Es el caso de los electrones libres dentro de un metal,neutrones dentro de una pila atómica, o fotones (cuantos de radiación) den-tro de un horno. En cada caso deberán tenerse en cuenta propiedades parti-culares de cada partícula.

Gases de fermiones

A diferencia de las moléculas, que puedenocupar un mismo casillero de energía sinlímite de número, electrones, protones yneutrones se resisten a hacinarse dentro deun nivel de energía. Se dice que son partí-culas excluyentes20.

Teniendo en cuenta la restricción de que no puede entrar más de una partí-cula por casillero, se deduce para ellas de manera análoga al caso de las 19

La probabilidad de que ocurran dos sucesos independientes en forma simultáneaes el producto de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de ellos20 La cuestión tiene que ver con el conocido “principio de Exclusión de Pauli” querige para los electrones dentro del átomo, donde no puede haber más de uno porestado de energía.

. n(ε)

ε

moléculas

electrones

µDISTRIBUCIÓN A BAJAS TEMPERATURAS

[1/exp{(ε−µ)ε−µ)/k/T)}+1]1

1/exp(A−ε−ε/k/T)

n(ε)

ε

g(ε)

n(ε)xg(ε)


140

moléculas la función de densidad de energía:

dN/N/dεε = [4ππ/√√2.m-3/2.√√εε] . [1/exp{(ε−µ)ε−µ)/k/T)}+1] = g(εε).n(εε) [29]con µµ = −= −A.k.T. n(εε) = [1/exp{(ε−µ)ε−µ)/k/T)}+1]

Mientras que un gas de moléculas a temperaturas muy bajas posee casitodas las moléculas apiñadas en bajos niveles de energía, la fórmula anteriormuestra que un gas de fermiones los tiene distribuídos a lo largo del eje delas energías en forma casi constante hasta una energía determinada µµ, apartir de la cual cae bruscamente a cero. Según esto, es de esperar que enlos metales a bajas temperaturas exista una gran proporción de electronesde gran velocidad, a diferencia con la escasez de moléculas rápidas en ungas frío. En electrónica se conoce a la energía µµ como “potencial de Fermi”,propio de cada metal, en honor a Enrico Fermi (1901-1954), que junto conPaul Dirac (1902-1984) estudiaron la distribución de energías en un gas departículas que como los neutrones y electrones, no pueden ocupar el mismonivel de energía aún dentro de un mismo intervalo o casillero.21

A temperaturas elevadas (por ejemplo la ambiente, de 293 ºK), un gas elec-trónico o neutrónico se parece mucho a un gas molecular, pudiéndose usarsin gran error la fórmula de Maxwell-Boltzmann, en vez de la de Fermi-Dirac,de la que daremos a continuación una breve deducción:

Distribución de Fermi-DiracVimos que se aplica a partículas excluyentes e indistinguibles llamadas “fermiones”.• Excluyentes significa que no pueden compartir el mismo estado de energía.• Indistinguibles significa que no sólo son iguales entre sí, sino que no pueden

individualizarse como bolillas en un bolillero, con un número distintivo. Esta cuali-dad surge de comparar el tratamiento estadístico entre moléculas y fermionesque haremos en seguida.

La distribución de energías de fermiones f(ε) viene dada, igual que para gases ordina-rios, por el producto de la densidad de estados g(ε) y la probabilidad de ocupaciónn(ε). Mientras que g(ε) es igual para cualquier tipo de partícula, en la deducción de n(ε)para fermiones debe tenerse presente que hay g(n)=g(εε).dεε estados disponibles en unintervalo de energía dεε, en cada uno de los cuales se podrá acomodar una sola partí-cula, al contrario del caso de moléculas, que pueden acomodarse en cualquier núme-ro. Para calcular la probabilidad termodinámica de que en un casillero de energía εε11

con g1 estados posibles haya n1 de un total de N moléculas (distinguibles) podemosconfigurar la complexión colocando la primera molécula elegida dentro de un total deN , la segunda de entre del resto, o sea (N-1), la tercera entre las (N-3) restantes, y asíhasta llegar a (N-n+1). Esto configura una probabilidad compuesta igual al productoN.(N-1).(N-2)...(N-n1+1)=N!/(N-n1)! . A esto debe multiplicárselo por el factor g1

n1 querepresenta, como ya se vió, la cantidad de maneras en que pueden acomodarse n1

21

Los “fermiones” se caracterizan por tener espines fraccionarios ½ o 3/2. Son fer-miones los electrones, neutrones, protones y núcleos de masa impar (tritio, helio3,uranio 233, etc).


141

moléculas en g1 estados, sin límite de número (recuérdese el ejemplo de cinco bolillasen dos casilleros que daba 25=32). Por último hay que dividir por n1! que es el númerode permutaciones entre elementos dentro de una misma complexión, que no aportancombinaciones diferentes aún siendo elementos distinguibles. Resulta así que lasposibles maneras de colocar n1 moléculas en g1 estados esP(n1)=N!/(N-n1)!.g1

ni / n1! .Las maneras de disponer n2 moléculas de las restantes (N-n1) esP(n2)=(N-n1)!/(N-n1-n2)!.g2

n2 / n2!Id. para otro estado con n3 moléculas restantes esP(n3)=(N-n1-n2)!/(N-n1-n2-n3)!.g3

n3 / n3!La probabilidad compuesta P(n1).P(n2) P(n3)...vale el producto ΠΠP(i) = N! ΠΠ gi

ni / ni!

Para hallar la configuración más probable se busca el máximo de una función quecombine linealmente la probabilidad con condiciones de variación nula de cantidad departículas y energía, a saber:F= ln [ΠΠP(i)] + A.[ΣΣni-N] + B [ΣΣ(εεi..ni)-E], resolviendo dF/dn = 0 usando la ya vistaaproximación de Stirling para el logaritmo natural del factorial ln (n!) ≈≈ n.ln(n)-n resultaF = ln N! + ΣΣ ni. ln(gi)- ln(ni!) + A.[ΣΣni-N] + B [ΣΣ(εεi..ni)-EdF/dn = ΣΣ { d/dn[n. ln(gi)] - d/dn[ni.ln(ni)-ni] + A + B εε} =

= ΣΣ { ln(gi) -1 - ln(ni)+1+ A +Bεε } = 0La condición que anula la suma de esta serie de términos de igual signo es que seannulos cada uno de ellos. La anulación de un corchete genérico es, para todo i:ln(g) - ln(n) +A + Be = 0 de donde (g/n) = exp -(A+Be)Se llega así a n(εε)=g(εε)/[exp(A+Bεε)], que es la fórmula ya vista de Maxwell-Boltzmann

En el caso de los fermiones, todo pasa como si en cada casillero de energía εε hubieraun número de g(e) subdivisiones que pueden llenarse a lo sumo con una partícula.Hay g posibilidades de poner una cualquiera de las n partículas en el primer estado, g-1 posibilidades de poner la segunda partícula en el segundo, g-2 en el tercero y asísucesivamente hasta llegar a g-n+1 posibilidades para la última partícula de energía εε.En total habrá g.(g-1).(g-2)...(g-n+1) = g! / (g-n)! posibilidades. Igual que para lasmoléculas, de ellas habrá que eliminar las que surgen de permutar los n elementos, yaque son equivalentes dentro de una misma complexión. Así la probabilidad termodi-námica de una configuración con ni fermiones en el casillero i es P(i)=gi!/(gi-ni)!/ni! .La probabilidad de una configuración con n1, n2, n3..

elementos en casilleros con g1,g2, g3 estados será el producto de P(i), o sea Π Π P(i) . Para hallar la configuración másprobable se emplea el procedimiento ya visto, de encontrar el máximo de la función:F= ln [ΠΠP(i)] + A.[ΣΣni-N] + B [ΣΣ(εεi..ni)-E], resolviendo dF/dn = 0 , con el reemplazoaproximado ln (n!) ≈≈ n.ln(n)-nEntonces es F = ΣΣ ln(gi!)- ln(gi-ni)! – ln(ni!) + A.[ΣΣni-N] + B [ΣΣ(εεi..ni)-E-dF/dn = ΣΣ { d/dn[(gi-ni).ln(gi-ni)-(gi-ni)] + d/dn[ni.ln(ni)-ni] - A - B εε} =

= ΣΣ { (gi-ni)(-1/(gi-ni))-ln(gi-ni) +1 +1 + ln(ni) – 1- A -Bεε } = 0Planteando la anulación de un corchete genérico para todo i resulta:- ln(g-n) +ln(n) -A - Be = 0 de donde (g/n-1) = exp (A+Be)Se llega así a n(εε)=g(εε)/[exp(A+Bεε)+1], que es la fórmula válida para fermiones.

Fotones

La presión que la radiación electromagnética (luz, radiación térmica, etc.)


142

ejerce sobre la materia indujo al físico prusiano y premio Nobel 1911Wilhelm Wien (1864-1928) a imaginar la evolución de esa masa de radia-ción siguiendo un ciclo de Carnot como el que realiza un gas molecular en elcilindro de un motor térmico. Dedujo así que el área de la curva de distribu-ción de la energía debía ser proporcional a la cuarta potencia de la tempe-ratura absoluta, que su máximo debía ser proporcional a la quinta potencia,y que ese máximo de la curva debía estar situado en energías proporciona-les a dicha temperatura22. Esas características, probadas experimentalmen-te, se ajustaban a una distribución de energías tipo Maxwell-Boltzmann,como la de los gases de moléculas. Sin embargo, las curvas experimentalesmostraban ciertas discrepancias para bajas energías, que estudiadas coninteligencia dieron origen nada menos que a la moderna física cuántica.

Fué en 1900 , año en que Max Planck informó sobre sus trabajos que levalieron el premio Nobel 18 años más tarde. Se deduce de ellos que la luz yla radiación en general se emiten en forma de “quanta”23 o paquetes dis-cretos de energía εε=h.νν, siendo h una constante llamada “quantum de ac-ción” o “constante de Planck”, νν=c/λλ es la frecuencia de la radiación longi-tud de onda λλ y velocidad c (velocidad de la luz) .. El descubrimiento dePlanck surge al ajustar la curva experimental de la densidad de energíaespectral (véase el capítulo de Radiación Térmica, en nuestra obra “Ópti-ca”), que requiere una función del tipo f(εε)=g(εε)/[exp(ε/ε/k/T)-1]. Nótese quef(εε), llamada distribución de Planck, es una función de Maxwell-Boltzmannmodificada con un “menos uno” en el denominador, lo que precisamentepermite el desarrollo en serie geométrica de la forma: 1/(1-r)==1+r+r2+r3+...con r=exp-(hνν/k/T) y εε=h.νν. Los exponentes hν/k/T, 2hν/k/T,3hν/k/T... sugieren escalones discretos, relacionados con una energía básicahν , que es la de un quantum.

Albert Einstein recibió el premio Nobel de física en 1921 al descubrir quetambién la absorción de energía radiante se efectúa en forma discreta y nocontinua. Que la radiación se emita y se reciba en paquetes hace pensar enque también viaja con esa identidad discreta, constituyendo una partículaluminosa. Bautizados con el nuevo nombre de fotones, las viejas partículasluminosas que Newton había imaginado dos siglos antes cobraron así nuevavigencia. De acuerdo a la fórmula puesta de manifiesto por Einstein, la radia-ción tiene una masa electromagnética asociada m tal que su energía valeE=m.c2 . De allí surge que la cantidad de movimiento m.c asociada a unfotón de energía E=h.νν resulta ser hνν/c .

22

Estas tres leyes se conocen respectivamente como ley de Stephan o de la cuartapotencia, ley de Wien de la quinta potencia y ley del desplazamiento del máximo deWien. Se conocían experimentalmente antes de que la teoría termodinámica de laradiación las explicara.23

Plural de quantum, que significa cantidad en latín.


143

Los fotones poseen ciertas particularidades que los distinguen de otraspartículas materiales como las vistas hasta ahora.

Comparemos un botellón de gas molecular y un horno caliente: Si aumentamos latemperatura del botellón, susparedes transmitirán energíacinética a las moléculas quechocan contra ellas, y poco apoco toda la masa de gas elevarásu energía cinética media (léasetemperatura). El número de molé-culas se mantendrá constante, yun espectro de sus energías daráuna curva menos puntiaguda, conel máximo corrido hacia energíasmás altas pero con igual área(proporcional al número total demoléculas). Ahora vayamos anuestro horno. Las paredes delmismo están tapizadas de unnúmero constante de osciladorescuyas energías obedecen a una

distribución de Maxwell-Boltzmann. En el equilibrio, reciben y emiten cuántos de radia-ción, manteniéndose en el interior un gas de ellos de número y composición aproxi-madamente constante. Aumentemos la corriente eléctrica que lo caldea. Las paredespasarán del rojo al anaranjado, y el interior estará surcado por un gas de fotones quehabrá aumentado en energía, como el gas de moléculas. Los fotones tienen velocidadconstante y llevan una energía que se traduce en el color de su radiación asociada.Con el aumento de temperatura, el espectro de energías habrá cambiado de forma,con mayor proporción de partículas amarillas y menos rojas. Pero al mismo tiempo lacurva encerrará una mayor área con el eje de frecuencias, lo que indica que no sólo lacomposición ha cambiado sino el número de fotones totales en la cavidad del horno haaumentado. Se han generado en las paredes del horno nuevas partículas además delas que en el equilibrio llegan y son reemitidas.

Los fotones no poseen una identidad propia, es decir no son distinguibles ala manera de bolillas numeradas. Su número no tiene porque permanecerinvariable24, pero al igual que las moléculas, pueden ocupar el mismo nivelde energía cualquier cantidad de ellos.

Se han descubierto modernamente muchas partículas subatómicas de spinentero (1,2...) como mesones, núcleos de masa par (helio 4) y gluones25.que

24

En las interacciones de fotones entre sí y con la materia se mantiene la energíapero no necesariamente el número de cuántos involucrados.25

Así como los fotones transmiten la fuerza electromagnética, los gluones (del inglés“glue”, pegamento) transmiten las interacciones fuertes dentro de los constituyentesdel núcleo atómico.

Variación de la distribución de energías con la temepratura

0

2E+19

4E+19

6E+19

8E+19

1E+20

1,2E+20

1,4E+20

0,00E+00 5,00E-21 1,00E-20 1,50E-20 2,00E-20 2,50E-20 3,00E-20

energías

dN

/N/d

e

100ºK 200ºK

νε


144

poseen estas características. Se llaman genéricamente bosones, en honor aSatyendra Bose (1894-1974), matemático y físico hindú que junto con A.Einstein elaboró la estadística apropiada a la fórmula de Planck, de acuerdoa los razonamientos que se dan brevemente a continuación.

Distribución de Bose-Einstein para fotonesA la fórmula de Planck n(e) = g(e) / [exp(Be)-1] se arriba por dos caminos: el originalimaginado por Planck, considerando que los emisores de radiación (osciladores elec-tromagnéticos en equilibrio) forman una población de elementos distinguibles que sedistribuyen según la ley de Maxwell-Boltzmann. Como la emisión no es continua,aparece el término “-1” en la fórmula, que nos habla de un desarrollo en serie. El otrocamino es imaginar la radiación misma como formada por un gas de ciertas partículas,cuyas propiedades deben satisfacer un razonamiento al estilo de los presentados paramoléculas y electrones, y que arroje la fórmula con el famoso denominador modifica-do. Esas propiedades son:• Pueden entrara sin límite de número en un nivel de energía• Su número total no es constante, por lo tanto no debe plantearse ninguna condi-

ción que involucre a N• Son indistinguibles como los fermiones, o sea que no pueden individualizarse al

estilo de una molécula, como bolillas en un bolillero

Vimos que en un casillero de energía εε se pueden colocar n elementos en g estadosdentro de ese casillero de muchas maneras equivalentes. Si los elementos no sonexcluyentes pero sí distinguibles, como es el caso de las moléculas, se podrán ponerde gn maneras diferentes, dividido las permutaciones n! , y la probabilidad compuestapara un estado de contendrá el factor N! . Ahora bien, si los elementos son indistingui-bles, como es el caso de los fotones y electrones, no tiene caso considerar comovariantes las permutaciones entre el total N. En cambio un conjunto de n elementosindistinguibles y no excluyentes dentro de un intervalo de energía εε con g estadosfunciona como una colección de dos tipos de partículas: los n elementos y los g-1tabiques, permutables entre sí, que dan un número de combinaciones igual a (n+g-1)!Las complexiones posibles no incluyen las permutaciones de los elementos, así que elnúmero de casos distinguibles será P(n)=(n+g-1)!/n!/(g-1)!Para hallar la configuración más probable se emplea el procedimiento ya visto, deencontrar el máximo de la función F= ln [ΠΠP(i)] + B [ΣΣ(εεi..ni)-E], en la que no intervieneel término A.[ΣΣni-N] , ya que los fotones no mantienen su número total constanteEntonces es F = ΣΣ ln(ni+gi-1)!- ln(gi-1)! – ln(ni!) + B [ΣΣ(εεi..ni)-EdF/dn = ΣΣ { d/dn[(gi+ni-1).ln(gi+ni-1)-(gi+ni-1)]–d/dn[ln(gi-1)!]-d/dn[ni.ln(ni)-ni] +B εεi}= ΣΣ { ln (gi+ni-1) +1 –1 – ln(ni) +1 -1+ B.εε i } = 0Planteando la anulación de un corchete genérico para todo i resulta:ln(gi+ni-1) – ln(ni) – B.εεi = 0 de donde (gi+ni-1)/ni = exp (B.εεi)Ya que número de partículas n partículas y densidad de estados g son ambos muchomayores que 1, resulta g+n-1 ≈ g+n y entonces g/n+1=exp(B.εε) de dondeSe llega así a n(εε)=g(εε)/[exp(B.εε)-1], que es la fórmula válida para fotones. Nóteseque debido a que los fotones no mantienen su número constante, no aparece en estafórmula la constante A que vimos en las otras estadísticas.


145

Gases realesLos gases reales se apartan de la fórmula pv=RT. según se desprende deexperiencias realizadas por los experimentadores franceses Henri V. Reg-nault, (1810-1878), E.H. Amagat (1841-....) y el irlandés T. Andrews (1813-1885). A temperatura constante el cociente µµ=p.v/R/T no vale la unidadcomo en un gas perfecto. El cociente µµ se llama coeficiente de compresi-bilidad, y toma diferentes valores para cada gas según la presión y la tem-peratura, según se muestra en el gráfico adjunto.

Además todos los gases pasan alestado líquido. Este cambio deestado se realiza a determinadapresión, por debajo de una ciertatemperatura llamada “crítica”,característica de cada gas.

Fórmula de Van der Waals

El físico holandés Van der Waalsganó el premio Nobel de físicadel año 1910 al proseguir sustrabajos de doctorado, “Sobre la

continuidad del estado líquido y gaseoso”. Van de Waals se dió cuenta queun modelo que considerara el comportamiento real de los gases, en particu-lar el cambio de estado debía corregir la suposición del modelo simplifica-do, válida sólo para pequeñas presiones, en el que a las moléculas no seasigna volumen computable frente a las distancias que las separa, y que nocontempla otra acción que la del choque elástico entre partículas.

Así corrigió la ecuaciónde los gases idealesasignando a la presión untérmino aditivo a/V2 quedaba cuenta de la atrac-ción entre moléculas conla ley de la inversa delcuadrado de la distancia.También corrigió el volu-men libre que ocupa elgas, restando de aquél eltérmino b llamado covo-

lumen, que representa el de las moléculas supuestas como pequeñas esfe-ras incompresibles.

En vez de la ley de los gases ideales p.v =n.R.T , Van der Waals propuso

Van der Waals vs. gases perfectos

0,E+00

5,E+04

1,E+05

2,E+05

2,E+05

3,E+05

3,E+05

4,E+05

4,E+05

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20volumen

pre

sió

n

p VdW

p=RT/vreal

T=260ºK

0 100 200 300 400 500 600 atm

µµ

H2 a 0ºC

H2 a 200ºC

N2 a 0ºC

O2 a 0ºC

Eteno a 50ºC

COEFICIENTES DE COMPRESIBILIDAD DEALGUNOS GASES

0 -1

1 2


146

esta otra: (p + a / v2).(v - b) = n.R.T. Las constantes a y b, que como dijimostienen que ver respectivamente con la atracción intermolecular y el volumenocupado por las moléculas, dependen lógicamente del gas en cuestión.

En la figura se representa para el CO2 a 300 ºK las curvas de presión enfunción del volumen del gas real, del gas ideal y del modelo de Van derWaals. Las tres son casi iguales para bajas presiones. A presiones altas elmodelo ideal se aleja de la evolución real, que muestra una zona horizontal,correspondiente al cambio de estado de gas a líquido que se realiza a pre-sión constante. La fórmula p.v=n.R.T no da cuenta de ello, en cambio la deVan der Waals se acomoda sobre la recta, determinando dos zonas som-breadas a ambos lados de la misma cuyas áreas son iguales26.

La experiencia de-muestra que el cam-bio de estado no serealiza por encimade una cierta tempe-ratura Tc llamada“crítica”, característi-ca de cada gas. Lafunción de Van derWaals da cuenta deeste fenómeno yaque para T>Tc no

presenta la inflexión característica del cambio de estado. A temperaturasaltas se acerca a la función para gases ideales.

Hay otras ecuaciones que repre-sentan aún con más exactitud elcomportamiento de los gases reales.Son en general derivadas de la deVan der Waals. como la de Beattie-Bridgman

27, que usa cinco constan-

tes particulares del gas en cuestión,a saber A,a,B,b,c , y que toma laforma:

26

En el diagrama presión-volumen el área representa energía. Las áreas iguales quedeterminan la función de Van der Waals y la recta real representan una evolución detrabajo nulo en la zona de cambio de estado, que condice con la realidad.27

Bridgman, Percy Williams (1882-1961), físico norteamericano, premio Nobel de

Van der Waals vs. gases perfectos a T crítica

0,E+00

5,E+04

1,E+052,E+05

2,E+05

3,E+05

3,E+05

4,E+054,E+05

5,E+05

5,E+05

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20volumen

pre

sió

n

p VdW

p=RT/v

T=305ºK

)b

a.(12

v

A)

v

bB(1v.2

v

)3vT

cRT(1

p −−−+

−

=

Ecuación de Beattie-Bridgman

0,E+00

1,E+07

2,E+07

3,E+07

4,E+07

5,E+07

6,E+07

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005volumen

pre

sió

n

p (B&B)

p=RT/v

T=500ºK


147

En la figura se representa la ecuación de Beattie-Bridgman para CO2 a 500ºK , compa-rada con la de los gases perfectos.

Presión en gases creada por campos gravitatorios o iner-cialesUna masa de gas sometida a la acción de la gravedad28 presenta una varia-ción de la presión con la altura que no es lineal como en el caso de los líqui-dos incompresibles, porque su densidad depende de la presión debido preci-samente a su compresibilidad.

La densidad, cociente de la masa y el volumen V ocupado, responde para nmoles de un gas ideal de peso molecular M a la fórmula δδ=n.M/V , y ya quep.V=n.R.T es δδ=p.M/R/T . A temperatura constante, la densidad es propor-cional a la presión. El principio general de la hidrostática p=h.δδ.g puedeaplicarse a un pequeño aumento de nivel dh, que causará una pequeñavariación de presión dp=-δδ.g.dh , con d=p.M/R/T , entonces serádp/p=-M.g/R/T.dh , o sea ln(p) = -M.g/R/T.h + K.Cuando la altura es la del nivel del mar h=0 es p=po y la constante deiontegración es K = ln(po) de donde p=po exp(-M.g.h/R/T)

Asimismo, teniendo en cuentaque M=NA.m (m = masa de unamolécula) y R/NA =k (constantede Boltzmann) podemos ponerque p=po.exp(-m.g.h/k/T) Ya que al densidad es funciónde la presión (d=-dp/dh/g=M/R/T.p), su variación serátambién exponencial decre-ciente, lo que indica que una

masa de gas sometida a un campo (de gravedad o aceleración) se extiendesin límites, aunque cada vez más tenue. Nótese que m.g.h es la energíapotencial de una molécula a la altura h. De acuerdo al modelo cinético, en ungas siempre habrá algunas moléculas con energía cinética suficientementealta como para llegar a cualquier altura h

Ejemplo: ¿Cuál será la presión atmosférica a 10 Km de altura sobre el nivel del mar?Datos:Considerar la temperatura constante con la altura T=273 ºK ; M del aire=0,7.28+0,3.32=29,2 g/mol ; R=8,31 J/ºK/mol ; g=9,8 m/s2 Tomar la presión al niveldel mar po= 101300 N/m2

física 1946 por sus trabajos sobre altas presiones.28

En este desarrollo no se considera la variación de la gravedad con la altura, y pro-ponemos al lector que evalúe el error cometido.

po

R.T/M/g h

pVARIACIÓN DE LA PRESIÓN CON LA ALTURA

p=po exp(-M.g.h/R/T)

p


148

p=po exp(-M.g.h/R/T) = po.exp(-0,0292.9,8.10000m/8,31J/ºK/mol/273 ºK = 0,283 . po

= 28666 N/m2

Presión atmosféricaLa presión p que existe a la altura h está producida por el peso de la masade gas de la atmósfera que está por encima. la que se extienda sin límite dealtura, como ya se vió. Se llama presión atmosférica y a nivel del mar suvalor promedio es de 101300 N/m2 . La unidad de presión es 1 N/m2 = 1Pascal (en honor al sabio francés que estudió la presión en fluídos).

Experiencia de Torricelli

El físico y matemático italiano Evangelista Torricelli (1608-1647), contemporáneo de Galileo, realizó por primera vez unaexperiencia para poner de manifiesto y medir la presión atmosfé-rica. Llenó un tubo de 1 metro con mercurio, lo tapó con el dedoy lo invirtió sobre una cubeta llena del mismo metal líquido.Cuando sacó el dedo, el mercurio bajó de nivel en el tubo hastaaproximadamente 760 mm por sobre el nivel libre de la cuba.Torricelli explicó el hecho admitiendo que la presión atmosféricaque se ejercía sobre la superficie libre del mercurio de la cubasostenía el peso del mercurio en el tubo. El espacio por sobre elnivel del mercurio en el tubo está vacío, es decir que no haynada que ejerza presión allí, por lo que ésta será cero29. De acuerdo al teo-rema fundamental de la hidrostática a nivel de la cuba la presión será la queexiste en el nivel superior del mercurio, o sea cero, más la altura de la co-lumna por el peso específico del mercurio, o sea 0,76 m x 13600 Kg/m3 x 9,8m/s2 = 101293 N/m2

Los meteorólogos miden la presión atmosférica en hectopascales (HPa), esto escientos de N/m2. Su valor oscila al nivel del mar desde 1000 HPa (tempestad) hasta1100 HPa (muy estable).

Antes que se popularizara el seguimiento y predicción del tiempo con rastreos sateli-tales y cuando las transmisiones de registros desde estaciones remotas no eran segu-ras, el estudio de la variación de la presión atmosférica era un precioso instrumentopara la predicción del tiempo. Una disminución brusca es presagio de tempestad. Unaumento paulatino indica una temporada de buen tiempo. Una disminución sostenida ylenta indica lluvia sin tempestad. Estos criterios generales pueden modificarse deacuerdo al lugar.

29

De paso advirtamos que cuando absorbemos líquido con una bombilla éste subeimpulsado por la presión atmosférica. Aunque pudiéramos hacer un vacío perfecto alchupar, el líquido no subiría más de un cierto nivel que depende de la presión atmosfé-rica. Para el agua el máximo teórico es de 10,33 m ¿Por qué?

76 c

m


149

BarómetrosSon aparatos para medir la presión atmosférica. Elde mercurio es un aparato como el de Torricelli,fijo sobre un soporte y con una regla adosada.Para compensar la variación del nivel de la cuba,se lo enrasa con el cero de la regla móvil, bienmoviendo ésta o desplazando el fondo flexible dela cuba. Aparatos más manuables y portátiles,aunque menos precisos, son los que amplifican lasdeformaciones de cajas flexibles dentro de las

cuales se ha practicado el vacío, y que por lo tanto se achatan más o menoscon las variaciones de presión atmosférica. Estos aparatos se calibran conuno de mercurio.

Ejemplo: Cuando sale del campamento base, el andinista Manolo se fija en su ane-roide de bolsillo, que marca 980 HPa. Al cabo de una hora, nuestro amigo hace un altoy consulta nuevamente su aparato, que ahora acusa 910 HPa . Después de beber desu cantimplora, se sienta en una roca, saca una calculadora y un anotador y efectúalos siguientes cálculos (estima que la temperatura se mantuvo en 5ºC)p1=p0 exp(-M.g.h1/R/T) de donde ln(p1/po) = -M/R/T.g.h1 y entoncesh1 = -ln(980/1013).R.T.M/g = 0,0331x.8,31x268 / 0,0292 / 9,8 = 258 mp2=po exp(-M.g.h2/R/T)h2 = -ln(910/1013).R.T.M/g = 0,107x 8,31x 268 / 0,0292 / 9,8 = 834 mRestando 834-258 Manolo deduce que subió 576 m, lo que por otra parte podría haberdeducido haciendo p1-p2=exp[Mg/R/T(h2-h1)]de donde ln(p1-p2) = M.g/R/T.(h2-h1) y entonces ∆∆h = ln(980-910).R.T/M/g = 576 mDiscutir el error de cálculo que hubiera producido un cambio de 10 HPa en la presiónatmosférica durante la ascensión.

Bombas y compresores

Para extraer el aire de recintos cerrados opara comprimirlo en depósitos, se empleanaparatos denominados genéricamente comobombas, de vacío o de compresión respecti-vamente. El más común es la bomba de ém-bolo, que aspira durante la carrera del pistónhacia el extremo abierto del cilindro y expeledurante la carrera en sentido contrario, haciael extremo cerrado del cilindro, donde existendos válvulas de entrada y salida respectiva-menteCuando el pistón baja, la diferencia de presiónentre el exterior y el interior vence el resortede la válvula de entrada o admisión. La vál-vula de salida o escape se mantiene cerrada por su propio peso, por la pre-

Barómetroaneroide

admisión escape


150

sión de un muelle ligero o por la contrapresión del gas comprimido en eldepósito a la salida, en el caso de compresores. Cuando el pistón sube, elresorte y la presión interior cierra la válvula de admisión. Cuando éste subelo suficiente, la presión en el cilindro vence el peso y la contrapresión sobrela válvula de salida, que deja salir el gas hacia el exterior o hacia el depósito.

Este aparato tiene un rendi-miento limitado por los siguien-tes factores:• El espacio que queda entre

el cilindro y la cara superiordel pistón cuando éste estáen su posición más alta. Sellama espacio nocivo, y setrata de hacer lo menor po-sible por las razones que seexpondrán en seguida.

• La diferencia de presiónpara vencer el cierre de laválvula de admisión y la ne-cesaria para abrir la de es-cape.

• Las fugas creadas por cierre imperfecto de válvulas y pérdida en losaros del cilindro.

Tratemos de seguir el funcionamiento de una bomba- compresor en un diagramapresión-volumen. El ciclo real comienza en 1 (trazo en gris) desde donde se expandeel gas contenido en el espacio nocivo hasta que la presión en el interior es inferioren ∆ ∆pe a la presión en el recinto o la atmósfera, según funcione como bomba de vacíoo compresor respectivamente30. Esta diferencia es necesaria para que se abra laválvula de entrada y en el interior del cilindro penetre el gas hasta el extremo de lacarrera en 3. La evolución 2-3 se realiza a presión constante ligeramente menor que ladel recinto a evacuar, en el caso de una bomba de vacío, o la atmósfera cuando fun-ciona como compresor, porque hay pérdida de presión por rozamiento del gas en laválvula y conducto de entrada. Desde allí el gas se comprime en el cilindro hasta 4,donde se abre la válvula de salida que comunica con la atmósfera, en el caso de unabomba de vacío, o con el depósito de gas comprimido en un compresor. Esto se lograa una sobrepresión ∆∆pe necesaria par vencer el peso de la válvula. El pistón barreluego el tramo desed 4 hasta 1. También esta evolución 4-1 se realiza a una presiónconstante ligeramente superior a la de salida, por los rozamientos del gas en válvula yconductos de salida. SI no hubiera espacio nocivo, los conductos y las válvulas nopresentaran rozamiento al paso del gas y las válvulas no necesitaran energía paraabrir y cerrar, el ciclo sería el marcado en amarillo. En el caso de una bomba de vacío, 30

La evoluciones 1-2 y 3-4 se realizan en forma adiabática, esto es sin intercambio decalor con el exterior. Veremos al estudiar principios de termodinámica que tales evolu-ciones “adiabáticas” tienen una ecuación del tipo p.vn= constante., con n=cp/cv

(co-ciente entre calores específicos a presión y volumen constantes)

p

v

presión de entrada

presión de salida

∆∆ps

∆∆pe

espa

cio

noci

vo

carrera del émbolo

1

2 3

4


151

a medida que se suceden los ciclos, la presión en el recinto va disminuyendo hastaque la diferencia de presión entre éste y el cilindro no es capaz de abrir la válvula deentrada. En cambio, en el caso de un compresor, la presión de salida es la que va enaumento hasta que debido al espacio nocivo, la presión dentro del cilindro no sube losuficiente como para vencer la contrapresión que el gas del depósito ejerce sobre laválvula de salida.

Manómetros

Son aparatos que sirven paramedir la presión de fluídos(gases o líquidos).

Manómetros de tubo en UEl manómetro más simple yexacto consiste en un tubo en“U” lleno de un líquido dedensidad conveniente, que noreaccione químicamente con

el gas. Uno de los extremos se conecta al recinto donde se quiere medir lapresión y el otro se deja al aire. El manómetro de “tubo en u” posee unaregla desplazable para medir la diferencia de niveles entre la superficie dellíquido en comunicación con el recinto y la superficie libre (a la presión at-mosférica). Esa diferencia de niveles o altura, multiplicada por el peso espe-cífico del líquido que llena el manómetro nos da la presión en el recinto conrespecto a la atmosférica. A esta presión se la llama “relativa”. Si le suma-mos la presión atmosférica se obtiene la presión absoluta. Haciendo lasramas de longitud adecuada, estos aparatos miden presiones tanto mayorescomo menores que la atmosférica. La presión menor que la atmosférica setoma generalmente de signo negativo. Los manómetros dispuestos paramedir depresiones o “vacíos” se llaman “vacuómetros”. El líquido de mayordensidad que se conoce es el mercurio31 (δ=13600 Kg/m3). Con un tubo enu de 1 m de altura se pueden medir presiones relativas hasta13600x1x9,8=133280 N/m2.Manómetros cerrados de tubo en uSi el extremo del tubo es cerrado queda allí confinada una porción de gasque se comprime al subir la columna y se dilata al bajar ésta. Los manóme-tros de tubo cerrado que encierran una masa m de gas en un volumen v a latemperatura absoluta T miden una presión p=h.δδ.g+m.RG.T/v . Consideran-do que el volumen encerrado en un tubo de radio r y altura H-h es v=π.r2.(H-h) resulta que p = h.δδ.g + m.RG.T/ππ/r2/(H-h). La escala no es lineal sinohiperbólica, con divisiones cada vez más juntas32.

31

El mercurio emite vapores tóxicos aún a temperatura ambiente. Se debe evitar suinhalación prolongada.32

Téngase en cuenta que en los manómetros de tubo cerrado la lectura debe corre-

h

0

tubo de sección achatada

Manómetro deBourdon

Manómetro detubo en “u”


152

Para aumentar la sensibilidad deun manómetro de tubo en upuede inclinarse el tubo demedición en un ángulo αα conrespecto a la vertical. En tal casola escala queda multiplicada por1/cos(α)

Manómetros tipo BourdonCuando el servicio no permite tubos frágiles de vidrio de grandes dimensio-nes y se requieren indicaciones visibles y lecturas rápidas, se emplean losmanómetros tipo Bourdon, que constan de un tubo metálico curvado, desección achatada (para aumentar su flexibilidad) , que tiende a enderezarsepor efectos de la presión interior. La pequeña deformación es amplificadamecánicamente con un sistema de bielas articuladas o de engranajes quemueven una aguja sobre un cuadrante. Se gradúan por comparación conaparatos patrones.

Manómetros de galga extensométricaUna cinta conductora delgada pegada en zig-zag sobre una membrana quese comba por la presión aumenta su resistencia eléctrica por el alargamientoque sufre al flexionarse la membrana soporte. Formando parte de un puentede Wheatstone este aparato transforma presión en señal eléctrica.

El conjunto conectado a unamplificador adecuado esapropiado para detectar cam-bios de presión muy rápidos(más de 5000 Hz) debido a suescasa inercia mecánica ygran sensibilidad. Se lo conocecomo “galga extensométrica” oen inglés strain gauge.

Manómetros piezoeléctricos.Se basa en el mismo principio que el micrófono de cristal, es decir la apari-ción de una diferencia de potencial sobre las caras opuestas de un cristal(por ejemplo cuarzo) sometido a compresión. La salida, de exigua potencia,se amplifica convenientemente para obtener una señal conveniente. Losmanómetros piezoeléctricos tienen una respuesta a frecuencia muy elevada,que puede llegar al orden del MHz, debido a la exigua inercia de sus órganosmóviles y a la pequeñez de las deformaciones.

girse por temperatura del gas encerrado en la cámara.

h h’= h/cos(α)

αh

H

galga extensométrica

circuito puente

fuen

te y

am

plif

icad

or

señal analógica amplificada

cápsula

conexiónde

presión coaxil


153

Sifón

Es un dispositivo conocido desde muy antiguo para transvasar líquidos.

Experiencia: Se colocan dos baldes conagua a diferentes alturas. De un tubo(rígido o flexible) lleno de líquido , setapan ambos extremos para que no sevacíe y se sumergen en cada balde. Aldestapar los extremos se establece unacorriente a través del tubo desde el reci-piente cuya superficie está a mayor nivelhacia el otro. El pasaje cesa cuando seigualan los niveles en ambos depósitos.Explicación: Consideremos una porciónde líquido en la parte más alta del tubo,

como si fuera un pistón limitado por dos superficies s iguales y próximas. Lade la izquierda recibirá una fuerza F1= [Patm-h1.δδ.g].s y la de la derecha unafuerza en contra F2 = [Patm-h2.δδ.g].s De la desigualdad entre ambas (F1>F2),surge que el pistón líquido se moverá de izquierda a derecha debido a ladiferencia de presión ∆∆P =(h2-h1).δδ.gCuestión: Discútase la posibilidad de transvasar mercurio con un sifóncuando h1>76 cm

Equilibrio líquido-vaporPuede considerarse a un líquido como una masa de moléculas en movi-miento con una energía promedio inferior a la que las mantiene juntas (fuer-za de cohesión de Van der Waals). Algunas de las moléculas superficialesposeen dentro de esa distribución estadística de energía, la suficiente comopara vencer la cohesión, saltando afuera de la masa líquida. Constituyen asíun gas llamado vapor, que está en equilibrio con el líquido del cual provie-nen. Aumentando la energía del sistema aumenta la proporción de molécu-las en forma de vapor en un proceso de cambio de estado llamado evapora-ción. El proceso de evaporación (se requiere que coexistan las fases devapor y líquido) se produce a una presión de vapor que es propia del líquidoa la temperatura del sistema.

Todos los líquidos emiten vapores en mayor o menor medida. dependiendoésta de esa energía característica que tiende a mantener juntas a las molé-culas en forma líquida. Esta característica es la volatilidad propia de cadasustancia, y se mide por la presión de vapor en función de la temperatura delsistema.

h1

h2

s s

F1F2

Patm

Patm


154

Asimismo, es posible considerar al gas como un vapor, ya que como vimos,todo gas puede licuarse o “condensarse” (en un proceso inverso al de laevaporación) con la presión adecuada y a una temperatura suficientementebaja como para se produzca la agregación de moléculas en forma de líquido.Se dijo también que por encima de una temperatura crítica para cada sus-tancia, la condensación no se produce y las fases de vapor o líquido sonindistinguibles.

Por ejemplo, el agua tiene una presión de vapor que iguala a la atmosférica normal(101300 N/m2) a la temperatura de 100ºC. En tales condiciones, la energía suministra-da al sistema se emplea en generar más vapor a costa del líquido, sin aumento detemperatura. Este cambio de estado a temperatura constante (ebullición) continúahasta que la fase líquida se evapora totalmente. A partir de ese punto el vapor superala temperatura de 100ªC en la medida que reciba energía exterior. A la temperaturacrítica de 374 ºC el agua líquida coexiste en un estado indistinguible con su fase vapora la presión de 22,08x106 N/m2 (doscientas dieciocho veces la presión atmosférica). Ladensidad del sistema en esas condiciones es de 554 Kg/m3 (poco más de la mitad dela densidad del agua líquida en condiciones normales).

Lo anterior puede comprobarse con un recipiente con tapa hermé-tica de volumen V[m3] construido para soportar presión elevada,provisto de un manómetro, un tubo de nivel, un termómetro y unaválvula de seguridad. Se lo carga con agua pura y se deja un buenrato en ebullición el agua con la válvula de seguridad abierta paraque el vapor desaloje al aire. Luego se repone la válvula. Conside-remos, por ejemplo, que disponemos de un recipiente a presión de1 litro (0,001 m3). Se lo deberá cargar con una masa algo superior

a 0,554 Kg de agua, para que sea ésta la que quede después del proceso de desai-reación. Con el agua a la temperatura T el manómetro marcará la presión de vapor

p(T) del agua a esa tempe-ratura. A medida que calen-temos el sistema, irá su-biendo la temperatura y lapresión según una curvacomo la que indica la figu-ra

33. El nivel del líquido en el

interior irá disminuyendo,hasta que al llegar a latemperatura de 374 ºC,

habrá desaparecido todo el líquido del sistema. El manómetro marcará entonces 218atmósferas. Si el vapor de agua fuera un gas perfecto y no un vapor en el punto críti-co, tendría en estas condiciones una presión de:p=n.R.T/v = 554/18.8,3.(273+374)/0,001 = 165280000 N/m2 = 1631 atm

33

Según se verá, se deduce teóricamente que T debe variar logarítmicamente con lapresión (Véase Ecuación de Clapeyron-Clausius)

Presión de vapor del agua en función de la temperatura

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250 300 350 400temperatura (ºC)

pre

sió

n (

atm

)

FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES a

a

FÍSICA GENERALÍNDICE TEMÁTICO DE LA TERCERA PARTE

ESTÁTICA – RESISTENCIA DE MATERIALES - GASES

PRINCIPIOS DE ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES ..............95Equilibrio del cuerpo rígido sometido a fuerzas.......................................95

Estabilidad de sistemas cargados.......................................................96Estática ..........................................................................................96

Vínculos......................................................................................96Grados de libertad ...................................................................97Principio de los trabajos virtuales..............................................99

Rozamiento .....................................................................................100Rozamiento de deslizamiento .......................................................100

Caída por un plano inclinado .....................................................101Rozamiento entre muñón y cojinete sin lubricación........................102Rozamiento de rodadura...............................................................103Trabajo de las fuerzas de rozamiento............................................103

Equilibrio de cuerpos elásticos sometidos a esfuerzos..........................105Caso de cargas distribuídas ......................................................107

Deformación de la materia debida a esfuerzos ..............................108Ensayos de materiales...........................................................108

Ley de Hooke ...............................................................................109Flexión .........................................................................................110

Deformación del eje de una viga sometida a flexión.Línea elástica. Flecha máxima...................................................111

Corte............................................................................................113Torsión .....................................................................................114

MECÁNICA DE LOS FLUÍDOS ...............................................................115Fluídos................................................................................................115

Generalidades .................................................................................115Hidrostática.........................................................................................116

Presión en un punto de una masa fluída ...........................................116Teorema general de la hidrostática ...................................................116

Vasos comunicantes.....................................................................118Principio de Arquímedes ...............................................................119Cuerpos flotantes .........................................................................119

Estabilidad de cuerpos flotantes - Metacentro ............................119Algunas consecuencias del teorema general de la hidrostática120Algunas máquinas hidráulicas: ...............................................121

Balanza hidrostática de Mohr.....................................................122Neumostática ......................................................................................123

Gases – generalidades.....................................................................123Ecuación de estado de gases ideales ...............................................123

Termómetros absolutos ................................................................123La teoría cinética de los gases..........................................................125

FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES b

b

Presión sobre las paredes del recipiente ................................ 125Energía cinética media de las moléculas ................................ 126Distribución de las velocidades .............................................. 127Modelo de Boltzmann – Estado y complexión......................... 129Deducción de la ley de distribución de velocidades................. 131

Relación entre velocidades estadísticas y temperatura .................. 137Generalización del concepto de gas - Gases de fermionesy de bosones ................................................................................... 139

Gases de fermiones ..................................................................... 139Distribución de Fermi-Dirac ....................................................... 140

Fotones........................................................................................ 141Distribución de Bose-Einstein para fotones ................................ 144

Gases reales ................................................................................... 145Fórmula de Van der Waals ........................................................... 145

Presión en gases creada por campos gravitatorios o inerciales ......... 147Presión atmosférica ......................................................................... 148

Experiencia de Torricelli ............................................................... 148Barómetros............................................................................... 149

Bombas y compresores ................................................................ 149Manómetros ................................................................................. 151

Manómetros de tubo en U......................................................... 151Manómetros cerrados de tubo en u........................................ 151

Manómetros tipo Bourdon ......................................................... 152Manómetros piezoeléctricos. ..................................................... 152

Sifón ............................................................................................ 153Equilibrio líquido-vapor..................................................................... 153

FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES c

c

ÍNDICE ALFABÉTICO DE LA TERCERA PARTEacero, 109adherencia (fluídos), 115agua (presión de vapor), 154alabeados (vectores), 96Amagat (gases), 145Andrews (gases), 145aplastamiento, 108apoyo articulado, 97apoyo móvil o deslizante, 97Arquímedes de Siracusa, 119articulación o apoyo fijo, 96atracción intermolecular, 146Avogadro, Amadeo, 125balanza hidrostática de Mohr, 122barómetro aneroide, 149barómetros, 149Beattie-Bridgman, 146Bernoulli, Daniel, 125bismuto, 128Boltzmann, 125Bolzmann, 129bomba de émbolo, 149bombas y compresores, 149Bose, Satyendra, 144bosones, 144bosones (gases), 139Boyle (Robert), 123bronce, 109caladura de sandía, 134cambio de estado, 146cambio de estado (gases), 145campana de Gauss, 134campo potencial, 108caos (gases), 125capa neutra (viga), 110carga distribuída en una viga, 107Celestino (operario), 99centro de empuje, 120Charles, 124choques moleculares (gases), 125ciclo de Carnot (gas de fotones), 142ciclo de un compresor de émbolo, 150coeficiente de compresibilidad

(gases), 145coeficiente de rozamiento (tabla),

101cohesión (fluídos), 115cojinete, 102complexión (arreglo), 129

compresibilidad, 147compresibilidad e incompresibilidad,

117condensación, 154constante de Boltzmann, 137, 147constante de los gases R, 124constante de Planck, 142continuos (fluídos), 116convención de signos (momento), 106coordenadas cartesianas, 134coordenadas esféricas, 134corte (viga), 105covolumen, 145cuarta potencia (ley de la), 142cuerpo rígido, 97cuerpos flotantes, 119cupla, 95De Moivre, Abraham, 131deformación permanente, 108deformación por esfuerzo de corte,

109deformación por esfuerzos, 108densidad de celdas, 138densidad de energía espectral, 142densidad de número de moléculas,

133densidad de velocidades, 135desarrollo en serie geométrica, 142desgarramiento, 108diagramas de presiones, 119Dirac, Paul, 140disipación de calor (rozamiento),

104distinguibles (partículas), 143distribución de Bose-Einstein, 144distribución de las velocidades, 127distribución de Maxwell-Boltzmann

(osciladores), 143distribución de Planck, 142distribución de velocidades (forma),

127distribución estadística

(velocidades), 125doble T (sección), 113ecuación de Boyle-Mariotte, 123ecuación de estado (gases), 123Einstein, Albert, 142empotramiento, 97empuje hidrostático, 119

FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES d

d

energía cinética de las moléculas, 126energía interna, 103, 108, 125energía mínima, 99energía potencial de forma, 115engrane y desengrane (rodadura),

103ensayo de materiales, 108equilibrio de cuerpos elásticos, 105equilibrio del cuerpo rígido, 95equilibrio en reposo, 96equilibrio estático, 95equilibrio indiferente, 98equilibrio inestable, 98equilibrio líquido-vapor, 153escala termométrica, 123esfuerzo de corte, 106, 113esfuerzo y alargamiento (relación),

108esfuerzos de corte (fluídos), 115espacio nocivo, 150estabilidad de cuerpos flotantes -

metacentro, 119estado (gas), 129estática, 95, 96estiramiento, 108estrechamiento por tracción, 108evaporación, 153evolución real (gases), 146excluyentes (partículas), 140experiencia de Torricelli, 148experiencia de Zartman, 127, 133Fermi, Enrico, 140Fermi-Dirac, fórmula de, 140fermiones, 140fermiones (gases), 139física cuántica, 142flecha, 112flecha (viga), 111flexión, 110flexión (viga), 105fluencia (estado), 108fluídos, 115fluídos ideales, 115fórmula de Maxwell-Boltzmann, 140fórmula de Stirling -De Moivre, 132fórmula de Van der Waals, 145fortalecimiento, 108fotones, 141, 143frenos hidráulicos, 121fricción, 100fuerzas de rozamiento, 103

gases (generalidades), 123gases de fermiones, 139gases reales, 145gases y vapores, 154Gay-Lussac, José, 124gluones, 143grados de libertad, 97gráfico de esfuerzo de corte, 106gráfico de momento flector, 106gráficos de carga, 106helio, 143hidrodinámica, 103, 116hidrostática, 116Hooke (Robert), 109hormigón, 109hormigón (resistencia del), 109horno caliente (fotones), 143indistinguibles (fases líquido/vapor),

154indistinguibles (partículas), 140interacciones entre moléculas (gas),

129isostáticos e hiperestáticos

(sistemas), 98Bernoulli, 125ley de distribución de velocidades,

131ley de Hooke, 109ley de Stephan. Véase cuarta

potencia (ley de)ley del desplazamiento (Wien), 142límite de proporcionalidad, 108, 111,

113línea elástica, 111lubricación, 103madera, 109madera (resistencia de la), 109Manolo (andinista), 149manómetros, 151manómetros de galga

extensométrica, 152manómetros de tubo en U, 151manómetros piezoeléctricos, 152manómetros tipo Bourdon, 152máquina de ensayos, 108máquinas hidráulicas, 121Mariotte (Edmundo), 123máxima probabilidad, 130, 131Maxwell, 125Maxwell-Boltzmann, 141

FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES e

e

Maxwell-Boltzmann (distribución develocidades), 128

mecánica de los fluídos, 115mercurio, 148mesones, 143metacentro, 120modelo de Boltzmann, 129módulo de elasticidad, 109módulo de torsión, 110momento, 95momento de inercia (sección), 113momento de traslación, 96, 105momento flector, 105, 107momento flector máximo (viga), 110muñón, 102muñón y cojinete (rozamiento), 102neumostática, 123Newton, 109, 142Número de Avogadro, 137par de fuerzas, 95Pascal (unidad), 148pegamento (viga), 105Planck, Max, 142plano inclinado, 101plano inclinado (equilibrio), 99polígono funicular, 106, 107predicción del tiempo, 148prensa hidráulica, 121presión (fluídos), 116presión absoluta, 151presión atmosférica, 148presión de los gases (origen), 125presión de radiación, 141presión de vapor, 153presión del gas (teoría cinética), 125presión relativa, 151presión y gravedad, 147principio de Arquímedes, 119, 121principio de los trabajos virtuales, 99probabilidad de ocupación, 138probabilidad termodinámica, 131promedio vectorial de velocidades,

129proporción de moléculas, 135proporcional (deformación), 108puente de Wheatstone (galga), 152quanta, 142quinta potencia (ley de la), 142reacciones de vínculo, 97recuperación de forma, 108Regnault (gases), 145

resbalamiento, 100resistencia a la tracción, 109resistencia de materiales, 95resistencia de materiales (Tabla),

109resultante, 95rodadura (rozamiento), 100rótula, 97rotura por esfuerzos, 108rozamiento, 100rozamiento de deslizamiento, 100rozamiento de rodadura, 103rozamiento soga-polea, 104saturado (vapor), 123sifón, 153sobrecalentado (vapor), 123Stirling, James, 131temperatura absoluta, 125temperatura absoluta del gas, 137temperatura crítica, 123, 145, 146temperatura crítica (agua), 154temperatura y rozamiento, 103tensor (presión en sólidos), 116teorema general de la hidrostática,

116, 120teoría cinética de los gases, 125termodinámica (probabilidad), 131termómetros absolutos, 123Torricelli, Evangelista, 148torsión, 114torsión (ejemplo), 114trabajo de rozamiento, 103trabajos virtuales (principio), 99transmisión de calor (rozamiento),

104urna con bolillas, 129vacuómetros, 151válvulas (compresores), 149Van der Waals, 145Van der Waals (cohesión), 153vapor, 123vasos comunicantes, 118vector espacial (momento), 95velocidad más frecuente, 135velocidad media, 136velocidad media cuadrática, 126,

135velocidades (distribución de), 125velocidades estadísticas y

temperatura, 137viga, 98

FÍSICA – ESTÁTICA – RESISTENCIA - GASES f

f

viga (ejemplo), 112, 113viga horizontal, 105vínculo, 96vínculos, 96viscosidad (fluídos), 115

visión microscópica (rozamiento),100

volatilidad, 153Wien, Wilhelm, 142Zartman, 127zona de proporcionalidad, 108

mecanica

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