ES1521200067 Rosangela Parra Garcia30 de octubre de 2015

Calculo Diferencial

Unidad 2

Actividad 3

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Unidad 2

Continuidad de funciones

1. Dada la funcion f ( x )={ x2+4 , si∧x ≤1

ax+b , si1<¿x ≤2−x2−5 , si2≤ x

hallar los valores de ay b de tal forma

que f (x) es continua en x0=1 y x1=2. Partimos de verificar que el limite de la funcion existe en 1, tanto por

la derecha x→1−¿ ¿ como por la izquierda x→1+¿¿:limx→1

x2+4=limx→ 1

ax+b, (1)2+4=a (1 )+b⇒1+4=a+b⇒−a−b=−5Por lo tanto la primera ecuacion resultante es −a−b=−5

Luego verificamos que el limite de la funcion exista en 2, tanto por la derecha x→2−¿ ¿ como por la izquierda x→2+¿¿:

limx→2

ax+b=limx→ 2

−x2−5⇒ a (2 )+b=− (2 )2−5⇒2a+b=−4−5⇒

2a+b=−9 La segunda ecuacion resultante es 2a+b=−9 Ahora tenemos un sistema de ecuaciones y por el metodo de

eliminarcion trabajaremos las dos ecuaciones:

−a−b=−52a+b=−9a=−14

Teniendo el valor de a, podemos sustituir en una de las ecuaciones y tener el resultado de b:

−(−14 )−b=−5⇒14−b=−5⇒−b=−5−14=−19⇒b=19 Por lo tanto, los valores de a y b en la funcion deben ser a=−14 y b=19 para que esta sea continua.

2. Dada la funcion f ( x )=−15 x+17 x2+4 x3

x+5 continua en x≠−5. ¿Qué valor debe

tomar f (−5) para que la funcion sea continua en x0=−5? Si calculamos el limite sustituyen en x por -5 tendremos una

indeterminacion pues el resultado sera 00

, por lo tanto debemos

trabajar en la funcion y para ello factorizamos en el numerador y en el denominador para encontrar, y tenemos lo siguiente : x ( x+5 ) (4 x−3 )

( x+5 )= x (4 x−3 ), entonces f ( x )=x (4 x−3 )⇒

f (−5 )=(−5 ) (4 (−5 )−3 )=(−5 ) (−20−3 )=100+15=115

Por lo tanto: limx→−5

−15x+17 x2+4 x3

x+5=115

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3. Dada la funcion f ( x )=x3−4 x+4, demostrar que existe c∈ [−3,0 ] tal que f ( c )=0.

Esta demostracion se resuleve por medio del teorema de Bolzano que dice -“Si una función es continua en un intervalo cerrado y - En los extremos del mismo toma valores con signos opuestos, - Existe al menos un punto dentro del intervalo donde la función se anula.”

Sabemos que los polinomios son funciones continuas y en este caso por ser un polinomio es una funcion continua.

Luego verificamos que en los extremos tome valores con signos opuestos:

f (−3)=(−3)3−4 (−3)+4=−27+12+4=−11<0f (0 )=(0)3−4 (0 )+4=4>0

Dado que cumple la hipotesis del teorema de Bolzano por lo tanto debe existir un punto que c∈ [−3,0 ] tal que f ( c )=0.

4. Demostrar que la raíz cuadrada de un número real positivo existe.o Para esta demostracio utiliare nuevamente el teorema de

Bolzon: Debemos demostrar que existe un numero real x tal que x2=n

mientras n>0. Entonces x sera la raiz cuadrada de n⟹n=√x2 . La ecuacion x2=n es equivalente a x2−n=0. Luego, de la funcion obtenida f ( x )=x2−n, debemos probar que tiene

una raiz real. Como mencione antes, toda funcion polinomica es una funcion

continua. Ahora analizare los signos en el intervalo (−∞ ,+∞ )f (−∞ )=¿ y f (+∞ )=¿

Dado que los signos de cada extremo son iguales (lo contrario que solicita el teorema de Bolzano para asegurar que algun punto la funcion se anule) por lo tanto no hay un punto donde la funcion se anule, entonces esto me indica que para todo numero real positivo existira siempre una raiz cuadrada.

5. Sea f (x) una funcion definida en todos los numeros reales tal que f ( x+ y )=f ( x )+ f ( y ) . Demostrar que f ( x ) es continua en R.

Teniendo f ( x+0 )=f ( x )+f (0) donde f (0 )=0, tenemos que demostrar que

( f ( x )−f (x0 ))=0⟹ limx→x0

f ( x )=f (x0 )⇒ limx→x0

¿¿

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Consideremos h=x−xo, donde x→ x0 y h→0 y en base a esto determinamos limites:

limx→x0

f ( x−x0 )=limh→0

f (h )=f (0 )=0 ⇒ limx→ x0

f ( x )=f (x0). Por lo anterior la funcion es continua en R.

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