1.1  Tipos de matrices y operaciones

Tipos de matrices, operaciones con matrices. Página web con conceptos e ideas de matrices, para 2º de Bachillerato

Definición y dimesión de una matriz

Conceptos de fila, columna y elementos de una matriz. Ejemplos

Tipos de matrices

Matrices rectangulares: matriz fila, matriz columna y matriz nula. Ejemplos y ejercicios.

Matrices cuadradas

Definición de una matriz cuadrada de orden n. Diagonal principal y diagonal secundaria de una matriz cuadrada. Ejemplos.

Tipos de matrices cuadradas

Definición y estudio de la matriz diagonal, matriz escalar, matriz identidad y matriz triangular. Ejemplos

Operaciones con matrices

Suma de matrices y producto de una matriz por un número. Ejemplos

Producto de matrices

Definición y estudio del producto de matrices y las condiciones para poder multiplicar dos matrices. Ejemplos y ejercicios .

Propiedades del producto de matrices

Estudio de las propiedades del producto, teniendo en cuenta que el producto de matrices en general no es conmutativo. Teoría, fórmulas y ejemplos.

En matemáticas, se denomina matriz a un conjunto ordenado de números, ubicados en una estructura de filas y

columnas. Estas cantidades pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de variadas maneras.

Existen distintos tipos de matrices:

MATRIZ FILA: está conformada por una única fila.

MATRIZ COLUMNA: esta clase de matriz se conforma por una sola columna.

MATRIZ RECTANGULAR: se caracteriza por presentar un número diferente de filas que de columnas. Su dimensión es m x n.

MATRIZ CUADRADA: presenta la misma cantidad de filas que de columnas. Los elementos que van desde la esquina superior

izquierda hacia la esquina inferior derecha constituyen la diagonal principal.

MATRIZ NULA: recibe este nombre debido a que esta conformada por todos ceros como elementos.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: en esta clase de matriz los elementos ubicados por debajo de la diagonal superior son

ceros.

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: aquí los elementos colocados por encima de la diagonal principal son ceros.

MATRIZ DIAGONAL: esta clase de matriz cuenta con la particularidad de que la totalidad de los elementos ubicados tanto por

encima de la diagonal como por debajo de ella son nulos.

MATRIZ ESCALAR: es el nombre que recibe aquella matriz diagonal en la cual los elementos que conforman la diagonal

principal son iguales.

MATRIZ IDENTIDAD: en ésta los elementos que componen la diagonal principal son iguales a 1.

MATRIZ TRASPUESTA: a partir de una matriz A, se denomina matriz traspuesta de A, a aquella matriz que se obtiene al

cambiar de manera ordenada las filas por las columnas.

http://www.tiposde.org/ciencias-exactas/195-tipos-de-matrices/#ixzz3NPBi3RcE

Multiplicación de matricesEn matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalarsegún unas reglas.

Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El algoritmo para la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.

Índice

1   Multiplicación de una matriz por un escalar

o 1.1   Propiedades

2   Multiplicación de una matriz por otra matriz

o 2.1   Propiedades

3   Aplicaciones

o 3.1   Sistemas de ecuaciones

4   Referencias

5   Enlaces externos

Multiplicación de una matriz por un escalar[editar]

Dada una matriz A de m filas y n columnas es una matriz del tipo:

 que se escribe genéricamente

como 

la multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA es:

 que se escribe genéricamente

como 

En el caso particular de multiplicación por enteros, se puede considerar como sumar o restar la misma matriz tantas veces como indique el escalar:

Propiedades[editar]

Sean A, B matrices y c, d escalares, la multiplicación de matrices por escalares cumple con las siguientes propiedades:

Propiedad Descripción

Clausura cA es también una matriz

Elemento neutroExiste el elemento neutro uno, de manera que 1·A = A

Propiedad asociativa (cd)A = c(dA)

Propiedad distributiva- De escalar- De matriz

c(A+B) = cA+cB(c+d)A = cA+dA

Multiplicación de una matriz por otra matriz[editar]

Los resultados en las posiciones marcadas dependen de las filas y columnasde sus

respectivos colores.

Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B; es decir:

 y 

la multiplicación de A por B, que se denota   o simplemente AB, el resultado del producto es una nueva matriz C:

donde cada elemento ci,j está definido por:

es decir:

     

Propiedades[editar]

Sean A, B y C matrices para las cuales la multiplicación entre ellas está bien definida, es decir, tales que sus elementos pertenecen a un grupo donde la multiplicación está definida, y de manera que el número de filas y de columnas permite realizar la multiplicación; entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad Descripción

Clausura AB es también una matriz

Elemento neutro

Si A es una matriz cuadrada de tamaño m, entonces la matriz identidad Im×m es elemento neutro, de manera que: I·A = A·I = A

Propiedad asociativa

(AB)C = A(BC)

Propiedad distributiva- Por la derecha- Por la izquierda

(A + B)C = AC + BCC(A + B) = CA + CB

Demostración de la propiedad asociativa

Sean A una matriz de mxn; B una matriz de nxp; y C un matriz de pxq. Entonces, AB sera una matriz de mxp. Del mismo modo, BC sera una matriz de nxq. Por lo tanto, usando sumatoria, verificaremos la propiedad asociativa del producto de matrices, es decir, (AB)C=A(BC). Para AB:

Luego, multiplicando D por C:

Reemplazando D por AB:

(1)

Ahora, para BC:

Luego, multiplicando A por E:

Reemplazando E por BC:

(2)

Con lo que verificamos que (1) y (2) son iguales y se cumple la propiedad asociativa:

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA.

       y por el contrario     

 

La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices invertibles.

Finalmente, note que tanto la multiplicación de una matriz por un escalar, como la multiplicación de dos escalares, puede representarse mediante una multiplicación de dos matrices:

       

Aplicaciones[editar]

La multiplicación de matrices es muy útil para la resolución de sistemas de ecuaciones de muchas variables, dado que son muy cómodas para ser implementadas mediante uncomputador. El cálculo

numérico se basa en gran parte de estas operaciones, al igual que poderosas aplicaciones tales como MATLAB. También actualmente se utiliza mucho en el cálculo de microarrays, en el área de bioinformática.

Sistemas de ecuaciones[editar]

Consideremos el caso más sencillo, el de las matrices cuadradas de orden 2, es decir cuando n = m = 2. Las aplicaciones lineales del plano real que, al punto M(x1,x2) hacen corresponder el punto N(y1,y2) se expresan como un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Las matrices permiten escribirlos más rápidamente. Así, por ejemplo, el sistema:

   se escribe de forma matricial así:

Como se ve, en la notación matricial, las variables sólo aparecen una vez, así como el símbolo "=", y los signos "+" ni se escriben. Los ahorros de tiempo y energía no son enormes aquí, pero crecen con las dimensiones de la matriz.

Ahora bien, las aplicaciones lineales se pueden sumar, lo que daría la adición de las matrices que se definió arriba, pero no se pueden multiplicar. Sin embargo, existe otra operación, universal en el campo de las aplicaciones: la composición, es decir aplicar sucesivamente dos o más funciones a un objeto. Al componer:

obtenemos:

lo que corresponde a la matriz:

Por lo tanto se define el produc

to de matrices así:

Suma de matrices 

Si las matrices   A=(a i j )   y   B=(b i j )   t ienen la misma dimensión, la matriz

suma es:

A+B=(a i j +b i j ) .

La   matriz suma   se obtienen sumando los elementos de las dos

matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades de la suma de matrices

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x

n.

Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde   O   es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:

A   + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están

cambiados de signo.

Conmutativa:

A + B = B + A

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

Sean A, B y C tres matrices y e un valor escalar.

Propiedad asociativa:

Podemos sumar A + B y a su resultado  sumarle C.

Propiedad conmutativa:

A + B = B + A

Propiedad distributiva:

 e(A+B)=eA + eB

 

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

Sean A, B y C tres matrices.

Propiedad asociativa:

Podemos multiplicar A (B x C) = B (A x B) C

Tenemos las 3 matrices siguientes:

mucho cuidado EN RESPETAR EL ORDEN ALFABÉTICO DE LAS LETRAS QUE REPRESENTAN A LAS MATRICES:

Vemos que obtenemos el mismo resultado, pero teniendo muy en cuenta el orden. NO PODEMOS ALTERAR EL ORDEN DE LOS FACTORES.

NO EXISTE   LA PROPIEDAD   CONMUTATIVA   EN LAS MATRICES(salvo casos especiales de coincidencias de ciertos elementos).

 

Vamos a comprobarlo:

Ejercicio #24

¿Por qué, en general, no existe propiedad conmutativa en el producto de matrices?

 

Respuesta: No se obtiene el mismo resultado multiplicando filas del multiplicando por columnas del multiplicador que

multiplicando filas del multiplicador por columnas del multiplicando, salvo que hayan especiales circunstancias de coincidencia de elementos en ambas matrices.

CALCULAR EL RANGO DE LAS  MATRICES

 

No siempre es tan sencillo calcular el rango, a veces, es algo más complicado pero si llevas a cabo los pasos siguientes no hallarás dificultades.

Vamos a obtener matrices escalonadas porque sabemos que si una fila solamente contiene ceros será linealmente dependiente.

 

Para obtener una matriz escalonada el elemento (2  1), es decir, el 4 lo hemos de convertir en 0 y para ello, multiplicamos a los valores de  la F1 (fila 1) por  4 y vamos restando a los valores de F2 (fila 2) tal como queda indicado más abajo:

Antes de comenzar a realizar algunas operaciones recordarte el orden jerárquico de los signos. Primero se hacen multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas:

Siguiendo con la construcción de una matriz escalonada, el elemento que se halla en la posición (3  1) que es el 7 también ha de ser igual a cero y para ello multiplicamos a los valores de la fila 1 (F1) por -7 y vamos restando de los valores de F2:

Recuerda que tratamos de obtener una matriz escalonada. En este momento el valor situado en (3   2),  -6 ha de ser cero por lo que debo dirigirme a la F2 que ya comienza su fila con el valor cero. No relaciono F3 con F1 porque obtendría un valor para el lugar (3   1) que ya lo tengo y es cero.

Multiplico a cada valor de F2 por – 2  y resto de los valores que tengo en F3:

Observo que tengo dos filas linealmente independientes o dos filas que no son ceros, luego el rango vale 2.

Ejercicio #30  

Calcula el rango de la matriz:

Respuesta: rang (D) = 2

Solución

Siempre has de tratar de conseguir que el primer elemento de la 2ª  fila (2   1) sea 0. Seguidamente, el (3   1) también, y así hasta lograr que a partir de la 2ª fila, los elementos de la 1ª columna sean ceros.

Una vez que lo hayas conseguido y si ves que todavía no sabes el rango de la matriz, debes tratar que el 2º elemento de la 3ª fila sea cero, es decir, tratar de obtener una matriz escalonada.

En cuanto veas que la última o últimas filas completas sus elementos son iguales a cero has terminado con el cálculo. Cuantas las filas independientes y ya tienes su rango.

Esto es lo que ves a continuación paso a paso:

Vemos que dos filas son linealmente independientes, luego el rango de esta matriz es 2.

 

Ejercicio #31 

Calcula el rango de la matriz siguiente:

Respuesta: r(A) vale 3

Matriz inversa (II) (método de Gauss):

Recordarás que al estudiar por vez primera la matriz inversa dijimos que más adelante volveríamos a estudiarla introduciendo una pequeña variante debido a Carlos Federico Gauss un prodigio de inteligencia desde su más tierna infancia que vivió entre los años 1775 al 1855 en Alemania.

 

Vamos a hacer el cálculo de la matriz inversa sirviéndonos del método de Gauss.

Como ya hemos estudiado, tenemos que calcular una matriz A-1que multiplicada por la matriz A obtengamos el resultado:

Haciendo uso del método de Gauss escribimos la matriz original del modo siguiente:

Le hemos agregado los elementos del resultado que nos tiene que dar.

A la derecha de la raya roja la matriz identidad, a la izquierda la matriz propuesta.

Hemos de conseguir que a la izquierda de la vertical de color rojo aparezca la matriz identidad y a la derecha los elementos de la matriz inversa:

Cuando a la matriz propuesta la hayamos transformado en matriz identidad, los elementos que ocuparán su lugar original será el valor de la matriz inversa (x, y, u, v).

El 2 que ocupa el lugar (1   2) debe darnos un 0 y para ello realizo las siguientes operaciones: F1 = 2F1 – F2:

El 3 que ocupa el lugar (1   2) nos interesa vamos a convertirlo en 1, para ello tendremos que dividir a todos los elementos de la fila entre 3:

Multiplicamos por  – 1 a todos los términos de la primera fila:

El valor del elemento (2   1) debe tener el valor 0 y para ello realizo la operación: F2 = F2 – F1:

Necesitamos que el valor del lugar (2  2) sea igual a 1 y para ello multiplico a cada uno de los elementos de la fila por 3/4:

Ya hemos concluido, la matriz inversa es lo que se halla a la derecha de la matriz identidad:

es decir : 

Estos valores corresponden a x, y, u, v.

Comprobamos:

No es complicado calcular la matriz inversa, lo malo es el tiempo que hay que utilizar en resolver y lo fácil que es equivocarse.

Ejercicio #32 

Calcula la matriz inversa de 

Calcular la matriz inversa con la hoja de cálculo Excel:

 

No merece la pena usar tanto tiempo para el cálculo de una matriz inversa y más, si ésta está compuesta de 4 ó 5 filas y columnas. En estos tiempos en que casi todos los que estudian tienen acceso a un ordenador conviene hacer buen del lo mismo.

 Pasos a seguir para calcular la matriz inversa:

1) Escribe la matriz con un elemento en cada celda:

2) Reserva espacio en la Hoja de Cálculo de modo que haya el mismo número de celdas que tiene la matriz.

Para ello, con el botón izquierdo del ratón pulsado pasa de forma ordenada por las celdas que te hacen falta, en este caso 4 filas y 4 columnas:

Pulsa el botón izquierdo del ratón en la opción Insertar y verás que aparece una nueva opción Función pulsa sobre ella y aparecerá la ventana de opciones:

En la ventana del recuadro que te invita a seleccionar una categoría, eliges Todas.

En el paso siguiente tienes que fijarte en la siguiente escena:

En el espacio señalado con el aspa de líneas rojas pulsa el botón izquierdo del ratón y pulsa la tecla m hasta que aparezcaMINVERSA.

Hacerlo de este modo es aumentar la velocidad de búsqueda de la opción que se necesita.

En este momento que aparece esta opción,  pulsas en Aceptar y obtendrás en  pantalla:

Nota: Cuando trabajes con el Excel puedes tener algún problema de comprensión con las cantidades que pueden aparecer en las celdas.

Cuando un número es muy grande, automáticamente, el Excel y otros programas lo convierten en número científico a lo que no estamos acostumbrados.

En este caso debes tomar la opción de Formato en la barra de herramientas:

Aparecerá una nueva ventana:

Escoges la opción Número.

Puedes, en una ventana que la verás a la derecha, una vez admitida la opción Número, controlar el número de cifras decimales.

En la ventana correspondiente a Matriz debe aparecer:

Que lo conseguirás fácilmente pasando el ratón desde la celda A1 hasta la D4 (con el botón izquierdo pulsado) y ahora pon mucha atención. No pulses Entrar, antes, debes pulsar al mismo tiempo las teclas Mayus (a la izquierda de la tecla > y <)+Ctrl. (dedos mano izquierda) y sin soltarlas, la tecla Entrar(dedo de la mano derecha).

Inmediatamente se rellenarán las casillas seleccionadas con los valores de la matriz inversa.

Comprobación:

Veamos como podemos ver si es correcto cuanto acabamos de hacer haciendo uso de Excel..

Sabemos que el producto de una matriz por su matriz inversa nos debe dar una matriz unidad.

 

Reservas como antes un espacio para recibir los datos correspondientes a la matriz unidad (eliges el lugar que prefieras dela Hoja.)

En la Hoja de Excel aparecerá:

Las cifras aparecen de mayor tamaño por lo que cabrán menos por casilla.      

En fondo amarillo la matriz que me han propuesto.

En fondo azul su matriz inversa.

Si multiplico ambas, utilizando el Excel pero ahora tomando la opción MMULT (donde antes tomé la opción MINVERSA):

Obtendré la pantalla siguiente en la que leo el lugar en el que he de colocar en el debido orden las matrices: 1º la propuesta, 2º la inversa a la anterior.

No olvides que en el producto de matrices es importante guardar el orden de los factores.

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular

denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

|A| = 

Determinante de orden uno

|a11| = a11

Ejemplo  

|5| = 5

Determinante de orden dos

 = a 11 a 22 − a 12 a 21

Ejemplo  

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define

como sigue:

 =

= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 −

− a13 a22 a31 − a12 a21 a 33 − a11 a23 a32.

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos

de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su

signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Ejemplo  

 =

3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −

− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

1Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

               

2Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

               

3 Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4

respectivamente, sin desarrollarlos

       

4Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

5Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los

determinantes:

6 Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

7 Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

                   

8 Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

      

9Calcular los determinantes de Vandermonde:

       

10 Hallar la matriz inversa de:

11 Para qué valores de x la matriz         no admite matriz

inversa?

12 Calcular el rango de las siguientes matrices:

13 Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

1 A · X = B

2 X · A + B = C

6. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Las propiedades de los determinantes, que enunciaremos a continuación, son válidas cualquiera que sea su orden. No obstante, para facilitar su comprensión, utilizaremos determinantes de orden  2  y 3. Las comprobaciones de las mismas se pueden hacer fácilmente desarrollando los determinantes.

1ª El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante de su traspuesta, es decir:  Det ( A ) = Det ( At )

2ª Si intercambiamos dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo aunque son iguales en valor absoluto.

3ª Si  multiplicamos todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada por un número  k, su determinante queda multiplicado por dicho número.

Como generalización de esta propiedad, si multiplicamos todos los elementos de una matriz cuadrada de orden  n  por un número  k, su determinante queda multiplicado por  kn, es decir:  Det (k . A) = kn . Det ( A ).

4ª El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de dichas matrices: Det ( A . B ) = Det ( A ) . Det ( B ).

5ª Si una matriz cuadrada tiene todos los elementos de una fila o columna nulos, su determinante es cero.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.En los párrafos siguientes consideramos que  A  es una matriz cuadrada. Propiedad 1. 

Si una matriz  A  tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.

 

 Ejemplo 1. 

            Sea   Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene 

                       Propiedad 2. 

El determinante de una matriz  A   es  igual al determinante de la transpuesta de  A.

  Esto es                                                  Ejemplo 2. 

                      Sea         

La transpuesta de A  es             Propiedad 3. 

Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz  A entonces el determinante cambia de signo.

 Ejemplo 3. 

Sea      

       con        Intercambiando los renglones  1  y  2   la matriz queda 

       

     con       Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna. Propiedad 4. 

Si una matriz  A  tiene dos renglones (o dos columnas) iguales  entonces   det A = 0.

  Ejemplo 4. 

Sea            entonces    Propiedad 5. 

Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz  A  se multiplica por un escalar  r  el determinante de  la matriz  resultante es  r  veces el determinante de  A,   r det A.

  Ejemplo 5. 

Sea        cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  

 Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar  r = 3 se tiene la matriz  B siguiente 

                                                  cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es      

        Propiedad 6. 

Si un renglón de la matriz  A  se multiplica por un escalar  r   y se suma a otro renglón  de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual  al determinante de A,  det A.   Lo mismo se cumple para las columnas de A.

  Ejemplo 6. 

Sea        cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,   Multiplicando la segunda columna de A por el escalar  2  y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente  

                       

Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene 

          Propiedad 7. 

Si  A  y  B  son matrices de  , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B.

 Esto es                                                Ejemplo 7. 

Sean            y             con        y       

 El producto       Y su determinante  es      Entonces      . Propiedad 8.  El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno) 

 Ejemplo 8. 

I =                    det I = (1)(1) – (0)(0) = 1 Propiedad  9.  

El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)  Ejemplo 9.

J =            |J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0 Se puede fácilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.  Uso de las propiedades para calcular determinantes de alto orden. Al utilizar las operaciones elementales sobre renglones, se puede reducir un determinante a una forma mas fácil de evaluar.  Si se reduce a una forma triangular superior o inferior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.  Al hacerlo hay que tomar en cuenta las propiedades 3,  5  y  6,  como en el siguiente ejemplo. Ejemplo 10. Calcular el determinante de la matriz  A  de   

                   Simplificamos el cálculo del determinante de A  reduciendo por renglones 

        Entonces, la permutación P14  cambia el signo de  det A , las

operaciones     y       no  cambian el valor del determinante.De esta forma

                           

Se podría seguir reduciendo a la forma triangular, pero observando que hay varios ceros en el tercer renglón resulta fácil desarrollar por cofactores, primero de la primera columna, y después del tercer renglón: