2.1.- Definicin de Matriz, Notacin y Orden.La matriz anterior se denota tambin por (ai j ),i=1, ...,m,j=1, ..., n, o simplemente por (ai j ).Los trminos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz conmfilas yncolumnas se denomina matrizmporn, o matrizmn.Las matrices se denotarn usualmente por letras maysculas,A,B, ..., y los elementos de las mismas por minsculas,a, b,...Ejemplo:

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

CLASES DE MATRICESSegn el aspecto de las matrices, stas pueden clasificarse en:Matrices cuadradasUna matriz cuadrada es la que tiene el mismo nmero de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadradannes de ordenny se denominamatriz n-cuadrada.Ejemplo:Sean las matrices

Entonces,AyBson matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.Matriz identidadSeaA= (ai j ) una matrizn-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) deAconsiste en los elementosa11,a22, ...,ann. La traza deA, escrito trA, es la suma de los elementos diagonales.La matrizn-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posicin, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matrizA,A I = I A=A.Matrices triangularesUna matriz cuadradaA= (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. As pues, las matrices

son matrices triangulares superiores de rdenes 2, 3 y 4.Matrices diagonalesUna matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota porD= diag (d11,d22, ...,dnn ). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, pordiag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).Traspuesta de una matrizLa traspuesta de una matrizAconsiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota porAT.As, la traspuesta de

En otras palabras, siA= (ai j ) es una matrizmn, entoncesAT =es la matriznm. La trasposicin de una matriz cumple las siguientes propiedades:1. (A+B)T =AT +BT.2. (AT)T =A.3. (kA)T =kAT (sikes un escalar).4. (AB)T =BTAT.Matrices simtricasSe dice que una matriz real es simtrica, siAT =A; y que es antisimtrica,siAT = -A.Ejemplo:Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simtricos deAson iguales, o queAT =A. Siendo as,Aes simtrica.ParaBlos elementos simtricos son opuestos entre s, de este modoBes antisimtrica.Asimple vista,Cno es cuadrada; en consecuencia, no es ni simtrica ni antisimtrica.Matrices ortogonalesSe dice que una matriz realAes ortogonal, siAAT =ATA= I. Se observa que una matriz ortogonalAes necesariamente cuadrada e invertible, con inversaA-1 =AT.Consideremos una matriz 3 3 arbitraria:

SiAes ortogonal, entonces:

Matrices normalesUna matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, siAAT =ATA. Obviamente, siAes simtrica, antisimtrica u ortogonal, es necesariamente normal.Ejemplo:

Algunos tipos de matricesVamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.Atendiendo a la formaMatriz fila:Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden1n.EjemploMatriz columna:Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de ordenm1.EjemploMatriz cuadrada:Es aquella que tiene el mismo nmero de filas que de columnas, es decirm = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no nn.Los elementosaijcon i=j, o seaaiiforman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementosaijcon i + j=n +1 la diagonal secundaria.EjemploMatriz traspuesta:Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.De la definicin se deduce que si A es de orden m n, entonces Ates de orden nm.EjemploMatriz simtrica:Una matriz cuadrada A es simtrica si A = At, es decir, siaij=ajii, j.EjemplosMatriz antisimtrica:Una matriz cuadrada es antisimtrica si A = At, es decir, siaij= ajii, j.EjemplosAtendiendo a los elementosMatriz nulaes aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por0.EjemplosMatriz diagonal:Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.EjemplosMatriz escalar:Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.EjemplosMatriz unidadoidentidad:Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.EjemplosMatriz Triangular:Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que estn a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:Triangular Superior:Si los elementos que estn por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir,aij=0i