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matrices 1
MATRICES
M A T R I C E S
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• MATRIZEs un arreglo rectangular
de números. Los números del arreglo se denominan elementos de la matriz
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•El tamaño de una matriz se mide en término del número de renglones (líneas horizontales) y de columnas (líneas verticales) que contiene.
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Una matriz cuadrada es simétrica siA = AT, (aij = aji para todos i, j)
Sus elementos tienen simetría respecto de la diagonal principal.
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Operaciones con matrices
Definición (Suma de matrices): Sean A={aij} y B={bij} matrices de la misma dimensión mxn. La suma A+B es la matriz C={cij} de dimensión mxn, donde
cij = aij + bij ,esto es, la suma de las entradas correspondientes.Ejemplo:
Definición (Producto de una matriz por un escalar): Sea A={aij} una matriz mxn y r un escalar. El producto rA del escalar r y la matriz A es la matriz B={bij} de la misma dimensión de A tal que bij = r aij
Ejemplo:
221
220
151
201
130
421
0622
01668
0024
12402
0311
0834
0012
6201
2
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Multiplicación de matrices:Como ya se había visto en el capítulo anterior, un sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo 2x1 - 3x2=7
3x1 - x2=2,tiene asociado una matriz A correspondiente a las incógnitas, y un vector b correspondiente a los términos independientes, es decir,
Si ahora se escriben las incógnitas como un vector se puede denotar el sistema de ecuaciones lineales como Ax=b, es decir
Esta última ecuación sugiere la noción de multiplicación de una matriz A por un vector columna x. Como noción preliminar, se introducirá el concepto de producto escalar o producto punto de dos vectores.
2
7b
13
32A
2
1
x
xx
2
7
13
32
2
1
x
x
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Definición (Multiplicación de matrices): Sean A={aik} una matriz de dimensión mxn y B={bkj} una matriz de dimensión nxs. El producto AB es la matriz C={cij} de dimensión mxs, donde la entrada cij de C es el producto punto de la i-ésima fila de A y la j-ésima columna de B.
Nota: Obsérvese que el producto de dos matrices está definido solamente cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B.
Ejemplo:
(-3)(5) + (5)(0) + (8)(2) = 1
36166874
1618471
4102012
1254
4046
4583
.
870
853
012
Posición c23
Columna 3Fila 2
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En general, el elemento cij está dado por
Por ejemplo, si A3x4 , B4x7 , C7x3 , los productos AB3x7, BC4x3 y CA7x4 están definidos, mientras que no es posible multiplicar BA, AC y CB. Debe observarse que el producto de matrices en general no es conmutativa, esto es, aún cuando los productos AB y BA están definidos, no es necesariamente cierto que AB=BA, como muestra el siguiente ejemplo
sj
mi
bacn
kkjikij
,...,1
,...,1
;1
178
94
52
10.
43
21
1613
43
43
21.
52
10
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Algunas veces es deseable calcular una fila o una columna particular del producto AB. El siguiente resultado permite obtenerlas:
* La j-ésima columna del producto AB=A[j-ésima columna de la matriz B]
* La i-ésima fila del producto AB=[i-ésima fila de la matriz A]B
Ejemplos:
122648
13302712
2572
1310
3414
.062
421
4
27
7
1
1
.062
421
13302712
2572
1310
3414
.421
3
9
1
3
1
2
.
212
321
231
3
9
1
2
3
2
3
1
2
3
)1(
2
1
1
2
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De este último ejemplo se puede concluir que la j-ésima columna del producto AB puede verse como una combinación de las columnas de la matriz A con los coeficientes de la j-ésima columna de la matriz B.
122648
13302712
2572
1310
3414
.062
421
0
42
6
20
2
14
8
12
0
47
6
2)1(
2
11
4
27
0
45
6
23
2
14
26
30
0
42
6
21
2
13
12
13