matrices 1
MATRICES
M A T R I C E S
• MATRIZEs un arreglo rectangular
de números. Los números del arreglo se denominan elementos de la matriz
•El tamaño de una matriz se mide en término del número de renglones (líneas horizontales) y de columnas (líneas verticales) que contiene.
Una matriz cuadrada es simétrica siA = AT, (aij = aji para todos i, j)
Sus elementos tienen simetría respecto de la diagonal principal.
Operaciones con matrices
Definición (Suma de matrices): Sean A={aij} y B={bij} matrices de la misma dimensión mxn. La suma A+B es la matriz C={cij} de dimensión mxn, donde
cij = aij + bij ,esto es, la suma de las entradas correspondientes.Ejemplo:
Definición (Producto de una matriz por un escalar): Sea A={aij} una matriz mxn y r un escalar. El producto rA del escalar r y la matriz A es la matriz B={bij} de la misma dimensión de A tal que bij = r aij
Ejemplo:
221
220
151
201
130
421
0622
01668
0024
12402
0311
0834
0012
6201
2
Multiplicación de matrices:Como ya se había visto en el capítulo anterior, un sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo 2x1 - 3x2=7
3x1 - x2=2,tiene asociado una matriz A correspondiente a las incógnitas, y un vector b correspondiente a los términos independientes, es decir,
Si ahora se escriben las incógnitas como un vector se puede denotar el sistema de ecuaciones lineales como Ax=b, es decir
Esta última ecuación sugiere la noción de multiplicación de una matriz A por un vector columna x. Como noción preliminar, se introducirá el concepto de producto escalar o producto punto de dos vectores.
2
7b
13
32A
2
1
x
xx
2
7
13
32
2
1
x
x
Definición (Multiplicación de matrices): Sean A={aik} una matriz de dimensión mxn y B={bkj} una matriz de dimensión nxs. El producto AB es la matriz C={cij} de dimensión mxs, donde la entrada cij de C es el producto punto de la i-ésima fila de A y la j-ésima columna de B.
Nota: Obsérvese que el producto de dos matrices está definido solamente cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B.
Ejemplo:
(-3)(5) + (5)(0) + (8)(2) = 1
36166874
1618471
4102012
1254
4046
4583
.
870
853
012
Posición c23
Columna 3Fila 2
En general, el elemento cij está dado por
Por ejemplo, si A3x4 , B4x7 , C7x3 , los productos AB3x7, BC4x3 y CA7x4 están definidos, mientras que no es posible multiplicar BA, AC y CB. Debe observarse que el producto de matrices en general no es conmutativa, esto es, aún cuando los productos AB y BA están definidos, no es necesariamente cierto que AB=BA, como muestra el siguiente ejemplo
sj
mi
bacn
kkjikij
,...,1
,...,1
;1
178
94
52
10.
43
21
1613
43
43
21.
52
10
Algunas veces es deseable calcular una fila o una columna particular del producto AB. El siguiente resultado permite obtenerlas:
* La j-ésima columna del producto AB=A[j-ésima columna de la matriz B]
* La i-ésima fila del producto AB=[i-ésima fila de la matriz A]B
Ejemplos:
122648
13302712
2572
1310
3414
.062
421
4
27
7
1
1
.062
421
13302712
2572
1310
3414
.421
3
9
1
3
1
2
.
212
321
231
3
9
1
2
3
2
3
1
2
3
)1(
2
1
1
2
De este último ejemplo se puede concluir que la j-ésima columna del producto AB puede verse como una combinación de las columnas de la matriz A con los coeficientes de la j-ésima columna de la matriz B.
122648
13302712
2572
1310
3414
.062
421
0
42
6
20
2
14
8
12
0
47
6
2)1(
2
11
4
27
0
45
6
23
2
14
26
30
0
42
6
21
2
13
12
13