mates

Tema 2: Lògica i conjunts

Desenvolupamentdelpensamentmatemàticilasevadidàctica 1

1. INTRODUCCIÓ • Origen, concepte i objecte de la lògica Els éssers humans, a diferència dʼaltres animals, pensen (i parlen): a partir de la informació que tenen i mitjançant el raonament, obtenen (infereixen) dʼaltres informacions. De fet, el que fem és organitzar la informació que rebem per tal de guardar més informació, resoldre problemes o comunicar-nos. En aquest procés, el llenguatge juga un paper molt important. Es pot dir que el llenguatge és el suport del pensament, tot i que hi ha diverses teories que fan referència a la interdependència entre aquests dos conceptes. La paraula lògica prové del terme grec “logos” que significa “raó”. La Lògica és doncs la ciència que estudia els raonaments i la seva validesa. Lʼorigen de la lògica com a ciència formal es remunta a la figura dʼAristòtil (384-322 a. C.) qui és considerat com el creador de la Lògica Clàssica i primer lògic formal de la historia. El mèrit principal de lʼobra dʼAristòtil va consistir en lʼanàlisi de les deduccions o inferències considerant nomes la seva estructura, independentment del significat. La lògica aristotèlica enuncia les fórmules lògiques amb paraules del llenguatge ordinari, subjectes a les regles sintàctiques usuals. No va ser fins al segle XVII quan Leibniz va prendre consciència de que calia elaborar un llenguatge propi de la lògica per a progressar en el seu estudi. Leibniz (considerat el precursor de la lògica matemàtica) va establir un procediment per tal de convertir la teoria de les deduccions en una teoria matemàtica on es poguéssin fer càlculs per determinar la validesa o falsedat dels raonaments. Els treballs de Leibniz no van tenir massa difusió degut, en gran part, al gran prestigi de lʼobra dʼAristòtil. Tot i així, des de fa més dʼun segle, la lògica ha agafat un nou impuls i ha experimentat canvis significatius. Aquest impuls és degut als estudis de dos matemàtics i lògics anglesos: George Boole (Anàlisi Matemàtic de la Lògica, 1847) i Augustus De Morgan (Lògica Formal, 1847). Es va crear un nou llenguatge (conegut com Àlgebra de Boole) per resoldre problemes que excedien les possibilitats de la lògica aristotèlica. Boole i De Mogan són els creadors del llenguatge modern de la lògica formal que ha permés els grans avenços del segle XX en aquest terreny.



A finals del segle XIX aparegueren els treballs del matemàtic i lògic alemany Gottlob Frege, considerat avui dia com el pare de la lògica matemàtica contemporànea. Frege va desenvolupar un primer sistema axiomàtic, plenament simbolitzat, consistent i complet, de lògica de primer ordre (Begriffsschrift, 1879). Amb Giuseppe Peano (1858-1932) és tanca, en certa mesura, la línia de desenvolupament del càlcul lògic iniciada per Boole. De fet, amb la seva obra, Peano va concebre la nova lògica com un poderós instrument per a la sistematització rigorosa del saber matemàtic. Els treballs de Frege i Peano foren sistematitzats pels filòsofs anglesos Bertrand Russel i Alfred North Whitehead (Principia Mathematica, 1910, 1912 i 1913), amb la pretensió de que tota la matemàtica pot ser inferida de la lògica. Posteriorment, el matemàtic David Hilbert va mostrar els defectes de la magna obra de Russel i Whitehead i va crear un mètode anomenat Metamatemàtica per a estudiar les teories matemàtiques amb el llenguatge lògic. Durant lʼúltim segle sʼhan fet molts avenços tant a nivell teòric (tal com el Teorema de les Proposicions Indecidibes de Kurt Gödel) com pràctic (aplicacions al sistemes de telecomunicacions gràcies a Claude Shannon o la creació dʼordinadors gràcies a Alan Turing). • Concepte de veritat lògica Quan volem establir una veritat, quan volem convèncer a algú de que les nostres idees són correctes, utilitzem els raonaments o presentem evidències que recolzin les nostres opinions. Aquest raonament o evidència presentada amb el propòsit de demostrar quelcom és un argument. És clar que hi ha arguments bons i arguments dolents, i la lògica és la ciència que tracta de disitingir el arguments bons dels dolents. Fins aquí no hem estat gaire precisos ja que no hem dit què entenem per arguments bons o dolents i, de fet, no hem ni tan sols definit el que és un argument. Un argument és un conjunt dʼuna o més oracions. Lʼúltima oració sʼanomena conclusió mentre que les anteriors sʼanomenen premises. De forma intuitiva, les premises són lʼevidència que ens ha de convèncer de la veracitat de la conclusió. És habitual representar els arguments fent un llistat de les premises i la conclusió separant-la mitjançant una linia.



Oració 1 Oració 2

.

.

. ------------------

Conclusió

Un argument és correcte sempre que si totes les premises són certes, la conclusió també ho és. Aleshores direm que la conclusió es conseqüència lògica de les premises. Fixem-nos que no cal que ni les premises ni la conclusió siguin certes per tal que un argument sigui correcte. Exemples:

a. Tots els homes són mortals En Pep és un home. -------------------------------------- En Pep és mortal

b. Si en Pep és un home, aleshores en Pep és mortal En Pep és un home -------------------------------------- En Pep és mortal

c. Alguns homes són mortals Alguns mortals són mamífers --------------------------------------- Alguns homes són mamífers

Clarament els arguments a) i b) són arguments correctes mentre que lʼargument c) és incorrecte. Intuitivament, la correcció dʼun argument depèn més de la forma com es relacionen les oracions que no pas del seu significat. Així per exemple: Totes les flors són vermelles Aquesta margarida és una flor ----------------------------------------- Aquesta margarida és vermella És el mateix argument que a) en el sentit de tenir la mateixa forma o estructura



lògica. Si acceptem la correcció de a), també haurem dʼacceptar aquest argument tot i que, com veiem, la conclusió és falsa. Fixem-nos que més enllà del significat podríem considerar el següent argument: Tots el flum son flam Frapi és un flum ------------------------------ Frapi és un flam Tot i no tenir un significat, aquest argument és correcte. Anem una mica més enllà: Tots els A són B c és un A ----------------------------- c és un B La introducció de llenguatges més i més formals és una necessitat per tal dʼobtenir lʼesquelet de lʼargument. Això ens permet eliminar les ambigüetats dels llenguatges naturals. Notem que aquest argument també el podem escriure usant la terminologia habitual de conjunts: A ⊆ B c ∈ A ---------- c ∈ B Els arguments dels exemples a) i b) són correctes per motius molt diferents. En el primer cas es parla dʼobjectes en un cert context amb certes propietats (ser home, ser mortal, ser flor, ser vermell, ser flam...). La correcció de lʼargument és deguda a com estan relacionats entre sí aquests objectes i les seves propietats. En el cas b), en canvi, les oracions es relacionen a través de connectius lògics i la seva correcció depèn de la particular estructura dels connectius. De fet, lʼexemple b) es pot formalitzar com (p q) p ----------- q



Aquest argument (conegut com Modus Ponens) es pot considerar com la definició lògica dʼimplicació. El cas a) correspon al que sʼanomena lògica de predicats o lògica de primer ordre, mentre que el cas b) correspon a la lògica proposicional. En aquest capítol ens centrarem en la lògica proposicional. • Lògica matemàtica Com hem vist, que un argument sigui formalment vàlid no implica que la conclusió sigui certa ja que això dependrà de la certesa de les premises. També hem vist que la validesa dʼun argument depèn de lʼestructura sintàctica de les oracions que el composen i no pas del seu significat. Sembla natural pensar que es poden estudiar aquests conceptes fent servir eines de la matemàtica. De fet, la lògica matemàtica és la disciplina que (entre dʼaltres coses) desenvolupa models matemàtics i regles de càlcul per tal dʼestudiar la validesa dels raonaments.



2. LÒGICA PROPOSICIONAL • Elements de la lògica proposicional: proposicions i connectors La Lògica de Proposicions (o Lògica dʼEnunciats) consta de dos elements fonamentals: les proposicions o enunciats i els connectius o operadors lògics. Una proposició o enunciat es qualsevol frase o oració declarativa, és a dir, qualsevol espressió lingüística de la qual es pot afirmar si és certa o falsa. Per tant, no serien proposicions les oracions interrogatives, imperatives ... ja que no seʼls pot assignar un valor de veritat. Per exemple, la oració surti inmediatament de lʼhabitació! no es pot considerar una proposició ja que no es pot afirmar si és certa o falsa, de fet, la pregunta: es cert que surti inmediatament de lʼhabitació? no té sentit. Anomenem connectiu a un nexe o partícula del llenguatge que afecta a una o més proposicions actuant sobre elles per tal de convertirles en dʼaltres proposicions. Així, partint de proposicions simples podem formar-ne de compostes usant diversos connectius. Així doncs, en lògica representem les proposicions mitjançant lletres proposicionals (p, q, r, ...) i els connectius amb els símbols ¬, ∧, ∨, →, ↔. Estudiem ara els differents connectius.

a. La negació

En el llenguatge natural significa “no”, i en lògica es simbolitza per ¬. Quan sʼaplica a una proposició, la transforma en una altra proposició que és la negació de la primera. Ex:

p: en Jordi sap matemàtiques ¬p: en Jordi no sap matemàtiques

b. La conjunció

El seu significat és “i” i el seu símbol és ∧. La proposició (p∧q) es llegeix “p i q”. En el nostre idioma, a vegades, hi ha alguna dificultat ja que si bé tots tenim clar que



En Joan i na Maria canten bé

Es por formalitzar com

(“En Joan canta bé”∧”Na Maria canta bé) una oració similar

En Joan i na Maria estan casats No es pot formalitzar com

(“En Joan està casat”∧”Na Maria està casada”)

Ja que la primera frase implica que en Joan I na Maria estan casats entre sí, mentre que la formalització implica que ambdós estan casats però no necessàriament entre sí.

c. La disjunció Lʼoració (p∨q) representa la disjunció de p i de q, i es llegeix “p o q”. La diferència més notable entre el català i la seva formalització és el fet que la disjunció en català té un sentit exclusiu, és a dir, si afirmem p o q, no poden ser les dues proposicions vertaderes (Ex: aquesta figura és un triangle o és un quadrat). En el llenguatge lògic, en canvi, (p∨q) serà vertadera quan una o ambdues oracions ho siguin.

d. La implicació (o condicional) La proposició (p→q) sʼanomena implicació entre p i q. Intenta representar el connectiu català “si ...., aleshores ...” Convé fer notar que aquest connectiu en lògica el fem servir en e sentit “material”, que vol dir que la veritat o falsedat de (p→q) depèn exclusivament de la veritat o falsedat de p i de q i de cap altre consideració. Això provoca que una proposició com:

Si 2+2=5, aleshores el cel és de color blau

És certa des dʼun punt de vista lògic tot i que la nostra intuició ens diu que no només no és certa, sinó que no té cap mena de sentit.



e. El bicondicional

La proposició (p↔q) sʼanomena equivalència entre p i q. Representa al connectiu català “si, i només si”. • Taules de veritat Ens queda un aspecte per analitzar: la semàntica del llenguatge lògic. La interpretació o significat dʼuna proposició és el seu valor de veritat, és a dir, si és certa o falsa. Per determinar-ho, assignarem a cada lletra proposicional un valor de veritat (V simbolitzarà vertader, mentre que F simbolitzarà fals). El valor de veritat dʼuna fórmula composta està determinat pel valor de veritat de les lletres proposicionals que en ella intervenen. Aquesta determinació sʼorganitza a través de les anomenades taules de veritat. A continuació mostrem les taules de veritat per als connectius prèviament definits.

p ¬p V F F V

p q (p∧q) (p∨q) (p→q) (p↔q) V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V

A partir dʼaquestes cinc taules bàsiques, podem construir taules per oracions més complicades com per exemple:

p q ((p→q) ↔ (¬q ∨ ¬p)) V V V F F V F F F V F V V V V F F V V V



Aquestes taules de veritat es poden fer servir per diverses finalitats, però sobretot són útils per determinar si un determinat argument és correcte o no. Per fer això el primer que hem de fer és determinar els valors que fan que totes les premises siguin vertaderes. Per aquests valors hem de verificar si la conclusió és vertadera o falsa. Si en tots els casos, la conclusió és vertadera, lʼargument serà correcte. Com a exemple, considerem el següent argument: (p → q) (p ∨ q) ---------- q Apliquem el mètode de les taules de veritat:

p q (p → q) (p ∨ q) q V V V V V V F F V F F V V V V F F V F F

Només ens interessen la primera i la tercera files, ja que en les altres una de les premises és falsa. Veiem que en aquests dos casos, la conclusió és vertadera i per tant, podem concloure que lʼargument és correcte. • El mètode axiomàtic: regles dʼinferència A continuació descriurem un mètode mecànic per tal de resoldre problemes que ens interessen. Es tracta de desenvolupar un sistema amb uns axiomes i unes regles dʼinferència. Ja hem vist que un raonament o argument es considera correcte quan, sempre que les premises siguin vertaderes, la conclusió també ho és. En aquest cas es diu que la conclusió es dedueix o és conseqüència de les premises. La manera de veure si un argument és o no correcte consisteix en buscar un contraexemple: un cas en que, tot i que les premises són certes, la conclusió és falsa.



Exemple: Si ets millonari, aleshores tens diners per comprar-te un cotxe. No ets millonari. Aleshores, no tens diners per comprar-te un cotxe. La representació dʼaquest enunciat: (p→q) ¬p --------- ¬q

Aquest raonament és incorrecte ja que pot succeir que les premises siguin correctes la conclusió falsa. Per exemple, aquest raonament es pot aplicar a una persona que té diners estalviats per comprar-se un cotxe. També ho podem veure fent la taula de veritat.

p q (p→q) ¬p ¬q V V V F F V F F F V F V V V F F F V V V



La correcció dʼun raonament també es pot demostrar usant regles lògiques conegudes (regles dʼinferència). A continuació exposarem tres regles dʼinferència àmpliament usades: Regla de modus ponens: (p→q) p --------- q Regla de modus tollens: (p→q) ¬q --------- ¬p Regla de transitivitat: (p→q) (q→r) --------- (p→r) Amb aquestes regles dʼinferència (que no són més que arguments correctes) i a partir dʼuns axiomes, es poden deduir teoremes (o tautologies).1

1 Una tautologia no és més que una proposició que per a tots els valors de lesvariableséscerta.



3. TEORIA DE CONJUNTS Lʼanomenada Teoria de Conjunts està estretament relacionada amb la Lògica. Té elements i símbols diferents, però les “regles del joc” són bàsicament les mateixes. Aquesta teoria és la que ens permet sistematitzar les relacions que els infants van construint per raonar de forma lògica i elaborar conceptes, en particular, el concepte de nombre. • Conjunts: definicions bàsiques Quan es busquen semblances entre diversos objectes, es poden agrupar els que siguin semblants. Per exemple, un infant pot fer una agrupació dʼobjectes que siguin de color vermell. Qualsevol col·lecció de coses és un conjunt. Per tal de definir correctament un conjunt o bé es coneixen tots els seus membres o bé es coneix una qualitat comú a tots ells que ens permet saber si un nou objecte està o no està dins del conjunt. En el primer cas es diu que un conjunt està definit per extensió, mentre que en el segon cas, està definit per comprensió. De fet, aquestes dues nocions poden explicar la manera com es produeix la formació de conceptes en la ment de lʼinfant: primer agrupa una sèrie de coses per les seves semblances, defininint el conjunt per extensió; i després defineix aquest conjunt per comprensió, identificant la propietat característica dels seus elements adquirint així el concepte. Un conjunt se sol representar amb una lletra majúscula i la seva descripció entre claus, bé sigui per extensió, H={gener, febrer, ...}, o per comprensió, H={mesos de lʼany}. Cada membre dʼun conjunt sʼanomena element del conjunt. Una forma gràfica de representar un conjunt consisteix a dibuixar una linia que rodeja tots els seus elements (diagrama de Venn). Aquesta representació es fa servir habitualment amb infants tot i que sʼha dʼanar alerta amb no identificar la idea de conjunt amb la seva representació gràfica. Quan es treballa amb conjunts, apareixen una sèrie de relacions importants que el nen ha dʼanar comprenent (tot i que lʼinfant no té que ser-ne conscient ni saber-ne el nom formal): pertinença, inclusió, intersecció, unió i complementari. Ens limitarem a donar un significat intuitiu de cada una dʼaquestes relacions:



a. Pertinença: el nen ha de ser conscient de que, per exemple, la pilota groga forma part del grup de coses grogues.

b. Inclusió: adonar-se de que, per exemple, el grup dels gossos està dins del grup dels animals. (En aquest cas, es diu que el conjunt dels gossos és un subconjunt del conjunt dels animals).

c. Complementari: sʼassocia amb la negació dʼun atribut. Es pot treballar escollint una pilota que no sigui gran, per exemple.

d. Intersecció: es tracta de comprendre que un objecte pot pertanyer a més dʼun grup alhora, com per exemple una pilota vermella que pertany al grup dels juguets i de les coses vermelles.

e. Unió: juntant grups sʼobtenen dʼaltres més grans. Per exemple, els gossos, els gats, el conills...formen el conjunt dels animals.

A lʼeducació infantil es tracta que vagin comprenent de forma progressiva aquests conceptes a través dʼexperiències amb col·leccions dʼobjectes. Aquí convé emfatitzar lʼestreta relació que hi ha entre els conceptes de la Teoria de Conjunts i els de la Lògica Proposicional: la idea del complementari sʼassocia amb la negació, la intersecció amb la conjunció, la unió amb la disjunció, la inclusió de conjunts amb la implicació (condicional) i, per últim, la igualtat de conjunts amb el bicondicional. • Correspondències entre conjunts Donats dos conjunts A i B, sʼestableix una correspondència entre A i B sempre que sʼassignen elements de B a A. Això es pot representar mitjançant un diagrama de fletxes o mitjançant un conjunt de parelles ordenades, inclòs en el producte cartesià dʼA i B. Cal dir que no tots el elements tenen perquè tenir “parella”: en poden tenir vàries o cap ni una. Exemples: cada nen amb la seva cadira; un caramel per cada nen (pero no hi ha suficients caramels); cada animal amb el seu amo (pot ser que algú no tingui animals i dʼaltres en tinguin més dʼun); cada vestit amb lʼestació de lʼany corresponent, etc. Dʼentre totes les correspondències, nʼhi ha una de destacada que és la correspondència un a un o aplicació bijectiva. En aquest cas, cada element té una sola parella i cap element es queda sense parella: no sobra ni en falta cap. Aquest tipus de correspondències senten les bases de les comparacions quantitatives ja que estableix una relació terme a terme que permet fer afirmacions del tipus “nʼhi ha més, menys o igual”, “sobren”, “falten”... Dʼaquesta



manera es facilita lʼapropament al concepte de nombre a partir de la idea de quantitat. Sempre que es pot establir una aplicació bijectiva entre dos conjunts, diem que lʼun té tants elements com lʼaltre, la qual cosa és esencial per abstraure la idea de nombre. • Relacions: classificació i seriació Així com en les correspondències relacionàvem elements de conjunts diferents, ara es tracta dʼassociar entre sí elements dʼun mateix conjunt segons un criteri determinat, organitzant així aquests elements. Això és el que sʼanomena establir una relació en un conjunt. Hi ha dos tipus fonamentals de relació, en el sentit matemàtic del terme, que donen lloc a dos processos importants en el desenvolupament cognitiu de lʼinfant i que són la base tant per lʼelaboració del concepte de nombre com dʼaltres conceptes matemàtics i no matemàtics:

a. Classificacions

Fem una classificació quan, en comparar tots el elements dʼun conjunt segons una determinada qualitat, agrupem els que són iguals respecte a aquesta qualitat, és a dir, els que són equivalents. Matemàticament, el que fem és establir una relació dʼequivalència entre els elements dʼaquest conjunt; així es formen diversos subconjunts anomenats classes. Exemple: podem classificar als nens de la classe pel color del seu cabell, obtenint així vàries classes amb un determinat nombre dʼelements cadascuna. En realitat, lʼagrupació dʼelements que sʼassemblen (formació de conjunts) és la manera més senzilla de classificació: es formen dues classes dins del conjunt de tots es objectes presents, els que pertanyen al conjunt i els que no. Les classificacions més senzilles són precisament aquelles en les que només apareixen dues classes: la classes dels elements que verifiquen el criteri i la dels que no ho verifiquen. Aquestes classificacions sʼanomenen dicotòmiques. Per exemple, en un costat de lʼaula podem posar als nens que són rossos mentre que a lʼaltra banda els que no ho són.



La complexitat dʼuna classificació augmenta en incrementar el nombre de classes, però també en incrementar el nombre de criteris: podem classificar els blocs lògics per color i forma simultàniament (junts els que tinguin la mateixa forma i el mateix color). Las classificacions són la base de la formació de conceptes. Per tal de formar un concepte determinat, com per exemple el concepte de “cadira”, hem hagut de classificar en la nostra ment totes les coses que coneixem segons una sèrie de criteris que ens permeten discriminar el que és una cadira del que no ho és. Per tant, la classificació és una estructura lògica molt important pel desenvolupament del coneixement en general i per les matemàtiques en particular. Molts dels conceptes matemàtics es formen sobre relacions dʼequivalència, les quals permeten abstraure idees que representen la realitat: el concepte de nombre, el concepte de magnitud... Per una altra banda, la classificació és una forma dʼorganització dels conceptes: nombres parells i senars, corbes tancades i obertes, persones segons la seva procedència...

b. Seriacions

En lloc de buscar semblances entre els objectes, ara els organitzem a partir de la diferència que presenten segons una determinada variable. El grau en que es diferencien, permet fer una ordenació que dóna lloc a una seqüència o sèrie dʼobjectes, disposats segons algun criteri. Matemàticament, estem establint una relació dʼordre dins dʼun conjunt. Per exemple, es pot ordenar el conjunt dels nombre naturals segons el criteri “ser menor que”, o un conjunt de recipients segons el criteri “tenir més capacitat que”, o un conjunt de nens segons lʼalçada, de més baix a més alt. Per ordenar una sèrie dʼobjectes, és necessari relacionar dos dʼells i al mateix temps coordinar aquesta relació amb les altres que sʼhan fet i que es faran. Per exemple, si volem ordenar una sèrie de regletes de més gran a més petita, haurem de comparar dos dʼelles, i la següent comparació haurà de tenir en compte aquesta ja que la tercera regleta por ser més gran que les dues anteriors, més petita o estar enmig...i així successivament. És necessari comparar dos a dos tots els objectes? Sabem que no en virtud dʼuna propietat lògica molt



important: la propietat transitiva. Els nens, al principi, ordenen de manera perceptiva, sense cap raonament, i només són capaços dʼordenar tres objectes o, com a molt, cinc. Existeixen també dʼaltres formes de fer sèries, que no es corresponen exactament amb la idea matemàtica de relació dʼordre. Es tracta de repetir una seqüència predeterminada, en el mateix ordre, un nombre indefinit de vegades. En aquesta seqüència hi ha una o més variables que van cambiant, sempre de la mateixa forma. Per exemple, el nen pot ensartar una sèrie de boles seguint el ordre vermell-verd-vermell, vermell-groc-verd, etc. En resum, amb els nens petits es treballen dos tipus de seriacions, lʼordenació segons diversos graus dʼuna mateixa qualitat (fonamental per al concepte de nombre i de magnitud, ja que implica la comparació de quantitats) i la repetició dʼuna seqüència o patró.

mates

Documents