UNIDAD 4 DERIVADA DE UNA FUNCION DE VARIABLE REAL 1DEFINICION Dada una funcin f, se dir que es derivable o diferenciable en un elemento de su dominio xsi y solamente existe el lmite: hx f h x fh) ( ) (lim0 + Estelmiteesladerivadadelafuncinfenelelementoxyseacostumbraadenotarlo por: ) ( ' x f O tambin: ( ) xdxdf Siestelmiteexisteentodosloselementosdeldominio(D),sedirquelafuncinfes derivable y su derivada, simbolizada por f, se define por: ) ( ': 'x f xD f Si el dominio (D) de la funcin f es el conjunto de los reales ( ), su derivada f se dir que es la derivada de una funcin de variable real. Como una consecuencia de esta definicin se puede demostrar (fuera del alcance de este curso) que si f es derivable en x entonces f es continua en x o equivalentemente si f no es continuaenxentoncesfnoesderivableenx.Adems,sifescontinuaenxno necesariamente es derivable en x. Un claro ejemplo que valida lo anterior es el caso de la funcin f definida porx x f = ) (en x=0. Reemplazando en la definicin: hhh0 0lim0 + Para determinar la existencia de este lmite se har uso de los lmites laterales: 1 lim0 0lim0 0 == = + hhhhhhh h 1 lim0 0lim0 0= = = ++ + hhhhhhh h Comoellmiteporlaizquierda ( 0 h )esdistintoallmiteporladerecha(+ 0 h )se concluyequeellmitecuandohtiendeacero( 0 h )noexiste.Enconsecuenciala funcin no es derivable en x=0. En cambio, la funcin f s es continua en x=0 ya que,0 lim0=xx y0 0 ) 0 ( = = f . 2INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA Dadauna funcin fderivableenx0entoncesla derivadafenx0serlapendientedela tangentealgrficodefenelpunto(x0,f(x0)).Enconsecuencialaecuacindelarecta tangente L ser: ( )0 0 0) ( ' ) ( ) ( x x x f x f x L + = O en trminos de la definicin de derivada: ( )00 000) ( ) (lim ) ( ) ( x xhx f h x fx f x Lh ++ = Grficamente: EnelgrficoanteriorsemuestralarectaLquepasapordospuntosdelgrficodela funcin f, sean estos (x0 , f(x0)) y (x0+h , f(x0+h)). En consecuencia la pendiente de L, que es la tangente de dicho ngulo, queda definida por: hx f h x fadyacente catetoopuesto catetotg) ( ) (0 0 += = CuandohtiendeacerolarectaLtiendeaserlatangentealacurvadefenx0.La pendiente (m) de la tangente a f en x0 queda definida por: hx f h x fmh) ( ) (lim0 00 += Aplicando la definicin de la derivada de f en x cuando x=x0 se tiene que: ) ( '0x f m = Enconsecuencialaderivadadefenx0sepuedeinterpretargeomtricamentecomola pendiente de la tangente a f en x0. Su ecuacin queda definida por: ( )0 0 0) ( ' ) ( ) ( x x x f x f x L + = 3APLICACIONES A1Dada la funcin f definida por f(x)=x2, determinar su derivada. hx f h x fhx f x x f) ( ) (0lim) ( ' ) (2 += =hx h xhx fhx f h x fhx f2 2) (0lim) ( ') ( ) (0lim) ( ' += +=hx h xh xhx f2 2 220lim) ( ' + += hh xhhx f220lim) ( '+= ( ) h xhx f += 20lim) ( '( ) ( ) hhxhx f0lim20lim) ( '+= 0 2 ) ( ' + = x x fx x f 2 ) ( ' = Finalmente:x x f x x f 2 ) ( ' ) (2= =A2Dadalafuncinfdefinidaporf(x)=x3,determinarlaecuacindesutangenteen x=0 y x=2. Para x=0 hf h fmhx f h x fmh h) 0 ( ) 0 (lim) ( ) (lim00 00 += += hhmh3 30) 0 ( ) 0 (lim += hhmh30lim=0 lim20= =h mh Ecuacin de la tangente ( ) 0 ) 0 ( ' ) 0 ( ) ( + = x f f x L( ) 0 0 ) 0 ( ) (3 + = x x L0 ) ( = x L La tangente a la curva f(x)=x3 en x=0 es entonces el eje de las x. Para x=2 hhmh3 30) 2 ( ) 2 (lim += ( ) ( )hh h hmh3 3 2 2 302 2 3 2 3 2lim + + += hh h hmh8 6 12 8lim3 20 + + += ( ) 0 0 12 6 12 lim6 12lim203 20+ + = + + =+ + = h hhhhhhhmh h 12 = m Ecuacin de la tangente ( ) 2 ) 12 ( ' ) 2 ( ) ( + = x f f x L( ) 24 12 8 2 12 ) 2 ( ) (3 + = + = x x x L16 12 ) ( = x x L La tangente a la curva f(x)=x3 en x=2 es entonces la recta L definida por16 12 ) ( = x x L . 3.5PROPIEDADES IMPORTANTES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS 1TEOREMA 1 Una funcin continua definida en un intervalo cerrado y acotado, alcanza un valor mximo y uno mnimo. Sea| | b a f , :continua entonces existe| | b a x , y| | b a x , tales que: ) (x f x f |.|

\| | | b a x , y( ) ) (x f x f | | b a x , |.|

\| x f sellamarvalormximoy( )x f valormnimoosimplementeMximoyMnimo respectivamente. 2TEOREMA 2 Sea| | b a f , : continuatalque) ( ) ( b f a f < y talque ) ( ) ( b f a f < < entonces| | b a x ,* tal que = ) (*x f . Anlogamente se verifica que si| | b a f , :es continua tal que) ( ) ( b f a f >y tal que) ( ) ( b f a f > > entonces| | b a x ,* tal que = ) (*x f . Siaybseeligenconvenientementecomo x y x entoncessepuedeafirmarqueuna funcincontinuadefinidaenunintervalocerradoyacotado, ((

x x, o ((

x x, segn corresponda, alcanza todos los valores entre su mximo y su mnimo. 3APLICACION i)Sea| | b a f , : continuatalque) ( 0 ) ( b f a f < < entonces| | b a c , talque 0 ) ( = c f . Es decir posee al menos una raz. ii)Todo polinomio de grado impar tiene al menos una raz real. Seap un polinomio de grado impar, cuya forma general es: 0 11 21 2221 2... ) ( a x a x a x a x x pnnnnn+ + + + + =+ Entonces existectal que0 ) ( = c p . Para garantizar la existencia dec , se usar la aplicacin i), que es un caso particular del teorema 2. Bastar entonces encontrar 1xy 2xtal que) ( 0 ) (2 1x p x p < nx0 ...12101 2112 1< + + + +xxaxaa xn nn En conclusin0 ) (1 < x p Si 2xes muy grande y positivo entonces: 022>nx0 ...22201 2212 2> + + + +xxaxaa xn nn En conclusin0 ) (2 > x p Porlotanto) ( 0 ) (2 1x p x p < < yutilizandolaaplicacini)seconcluyequeexisteelreal c tal que0 ) ( = c p , es decir el polinomio tiene por lo menos una raz real. 4TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE BROWER Sea| | | | 1 , 0 1 , 0 : fcontinua entonces existe al menos| | 1 , 0 ztal que) (z f z = . Este teorema (en su forma general| | | | b a b a f , , : con| | b a z , ) fue utilizado por John Nashparademostrarquetodojuegoenelcualcadaunosepreocupadesuspropias ganancias (juego no cooperativo) admite al menos un equilibrio, al considerar la relacin entreequilibrioypuntofijo( ) (z f z = )delteoremadeJanBrower,establecidaporJohn von Newmann. LosestudiosdeNashfueronconsideradosporlosmicroeconomistasenlosanlisisde sus modelos, construyndolos de manera que cumplan con las hiptesis del teorema y as garantizar la existencia de su equilibrio. Adems de garantizar la existencia de solucin de problemas de optimizacin. 4DERIVADAS DE FUNCIONES BASICAS Dada una funcin f definida por f(x), con a y n constantes (no dependen de x) se definen las siguientes derivadas: 0 ) ( ' ) ( = = x f a x f) ( ' ) ( ' ) ( ) ( x af x g x af x g = =1) ( ' ) (= =n nnx x f x x fxx f x x f21) ( ' ) ( = =x x f senx x f cos ) ( ' ) ( = =senx x f x x f = = ) ( ' cos ) (x x f tgx x f2sec ) ( ' ) ( = =x ec x f gx x f2cos ) ( ' cot ) ( = =xtgx x f x x f sec ) ( ' sec ) ( = =gx ecx x f ecx x f cot cos ) ( ' cos ) ( = =x xe x f e x f = = ) ( ' ) (a a x f a x fx xln ) ( ' ) ( = =xx f x x f1) ( ' ln ) ( = =a xx f x x faln1) ( ' log ) ( = =xxx f x x f = = ) ( ' ) (211) ( ' ) (xx f arcsenx x f= =211) ( ' arccos ) (xx f x x f= =211) ( ' ) (xx f arctgx x f+= =211) ( ' cot ) (xx f gx arc x f+= =11) ( ' sec ) (2= =x xx f x arc x f11) ( ' arccos ) (2= =x xx f ecx x f Todasestasderivadashansidodadascomodefinicin,sinembargosepueden demostrar haciendo uso de la definicin de derivada. Se propone realizar algunas de ella como ejercicio. 5REGLAS DE DERIVACION Sean f y g dos funciones derivables, entonces: i)Derivada de una suma o resta de funciones ( ) ) ( ' ) ( ' ) ( ' x g x f x g f = ii)Derivada de un producto de funciones ( ) ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' x g x f x g x f x g f + = iii)Derivada del cuociente de funciones ) () ( ' ) ( ) ( ) ( ') ( '2x gx g x f x g x fxgf = 6APLICACIONES Dada la funcin f definida por f(x), determinar en los siguientes casos la derivada de f: 6.1Derivada de una suma o resta de funciones 2 4 ) (4+ = x x x f Solucin: ( )' 2 4 ) ( ' 2 4 ) (4 4+ = + = x x x f x x x f( ) ( ) ( ) ( )' 2 4 ' ' 2 4 ) ( '4 4+ + = + + = x x x x x f( ) ( ) ( )' 2 ' 4 ' ) ( '4+ + = x x x f3 316210 ) 4 ( 421) ( ' xxxxx f = + = 6.2Derivada de un producto de funciones i)senx x x f32 ) ( = Solucin: ( )' 2 ) ( ' 2 ) (3 3senx x x f senx x x f = =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x senx x senx x senx x senx x x f cos 3 2 ' ' 2 ' 2 ) ( '3 2 3 3 3+ = + = = x x senx x x f cos 2 6 ) ( '3 2+ = ii)( )xe xxxx f2 35lnarccos) ( = Solucin: ( ) ( ) ' lnarccos) ( ' lnarccos) (2 352 35 = =x xe xxxx f e xxxx f' 2 ln 3arccos' ln 2 ln 3arccos' ln lnarccos) ( '5 52 35 = = = x xxxe x xxxe xxxx fx( ) ( ) 23' arccos 2 ' ln 3 'arccos) ( '55 = = xx x xxxx f( ) ( ) ( ) 23' arccos arccos ' 23' arccos ) ( '5 5 5 + = = xx x x xxx x x f2311arccos 5 ) ( '25 6 + = xxx x x x f2311 arccos 5) ( '2 56 = xx xxxx f 6.3Derivada del cuociente i) 5arccos) (xxx f = Solucin: 'arccos) ( 'arccos) (5 5= =xxx fxxx f( ) ( )( )( )255 5' arccos ' arccos) ( 'xx x x xx f= ( )104 525 arccos11) ( 'xx x xxx f= 62arccos 511) ( 'xx xxx f= 62 5arccos 511) ( 'xxx xx f = 3TEOREMA DE LHOPITAL 3.1TEOREMA Seanf yg dosfuncionesdefinidasen( )0x V*dyderivablesenlamismavecindad.Si ( ) 00=x f limx x y( ) 00=x g limx x, y adems ( )( ) x ' gx ' flimx x0 existe y esL , entonces ( )( ) x gx flimx x0 existe y tambin es L . En este caso se dice que el lmite tiene la forma 00 cuando 0x x . Lo anterior tambin es vlido cuando el lmite es, es decir, seanfygdos funciones definidasen( )0x V*dyderivablesenlamismavecindad.Si( ) =x f limx x0y( ) =x g limx x0,y adems ( )( ) x ' gx ' flimx x0 existe y esL , entonces ( )( ) x gx flimx x0 existe y tambin es L . En este caso se dice que el lmite tiene la forma cuando 0x x . 3.2APLICACION Calcular los siguientes lmites: i) xlimx xx2 30 R. El lmite es de la forma 00. ( )( )' x'limxlimx xxx xx2 3 2 30 0= 12 2 3 3 2 30 0ln lnlimxlimx xxx xx= ( ) 2 3 2 2 3 32 30 0ln ln ln ln limxlimx xxx xx = = ii) xsenxlimx 0 R. El lmite es de la forma 00. ( )( )' x' senxlimxsenxlimx x 0 0 =1 0 0x coslimxsenxlimx x =10 0= = x cos limxsenxlimx x iii) xxexlim2 R. El lmite es de la forma . ( )( )' e' xlimexlimxxxx2 2 =xxxxexlimexlim22 =Este ltimo lmite es de la forma , lo que permite aplicar nuevamente el teorema ( )( )02 22= = = xxxxxxelim' e' xlimexlim 3.3CASOS ASIMILABLES AL TEOREMA ExistenotroscasosdondesepuedeaplicarelteoremadeLHopitalhaciendo previamente, transformaciones algebraicas. Se vern algunos casos: Caso 1: Forma( ) Este caso se aplica cuando se tiene una resta de trminos cuyos lmites son cuando lavariablex tiendea 0x .Formalmentesi( ) =x f limx x0y( ) =x g limx x0entonces ( ) ( ) [ ] x g x f limx x0 ser: ( ) ( ) [ ]( ) ( ) = x g x flim x g x f limx x x x 11110 0 ( ) ( ) [ ]( ) ( )( ) ( ) = x g x fx f x glim x g x f limx x x x 1 11 10 0 ( ) ( ) [ ]( ) ( )( ) ( ) = x g x fx f x glim x g x f limx x x x 11 10 0 Comotantoelnumeradorcomoeldenominadordelaltimaexpresintiendenacero (forma 00), se puede hacer uso del teorema de LHopital. APLICACION. Calcular x ln xxlimx11 1 R. Este lmite es de la forma( ) ( ) x ln xx x ln xlimx ln xxlimx x 11 11 1 1 + = Este ltimo lmite es de la forma 00, lo que permite hacer uso del teorema de LHopital. ( )( )( ) ( )' x ln x' x x ln xlimx ln xx x ln xlimx ln xxlimx x x 1111 11 1 1 1 + =+ = xxx lnx lnlimx ln xxlimx x 10 1 1 11 1 1 ++ += 111 1 1 += x x ln xx ln xlimx ln xxlimx x Este ltimo lmite es de la forma 00, lo que permite hacer uso del teorema de LHopital. ( )( )' x x ln x' x ln xlimx x ln xx ln xlimx ln xxlimx x x 1 111 1 1 1 += += 1 11 11 1 1 + ++= x lnx lnlimx ln xxlimx x 212 01 021 11 1 1=++=++= x lnx lnlimx ln xxlimx x Caso 2: Forma( ) , ,00 1 . Estecasoseaplicacuandosetieneuntrminoselevadoaotrocuyoslmitesson respectivamente1 e,0y0 , y cuando la variablextiende a 0x . Sub-caso 2.1( )1Si( ) 10=x f limx x y( ) =x g limx x0 entonces( ) ( ) x gx xx f lim0 ser: ( ) ( ) ( ) () x gx f lnx xx gx xe lim x f lim0 0 =( ) ( ) ( ) ( ) x f ln x gx xx gx xe lim x f lim0 0 =( ) ( )( )( ) x f lnx gx xx gx xe lim x f lim10 0 =( ) ( )( )( ) x f lnx glimx gx xx xe x f lim100= Elexponenteesunlmitedelaforma ,loquepermitehacerusodelteoremade LHopital. Los sub-casos 2.2( )00y 2.3( )se proponen como ejercicio. APLICACION. Determinar( ) x lnxsenx lim10+ R. El trmino del lmite es de la forma 00y se proceder de manera similar al sub-caso 2.1: ( )( ) x ln senx lnxx lnxe lim senx lim1010+ + =( )( ) senx lnx lnxx lnxe lim senx lim1010+ + =( )( )x lnsenx lnxx lnxe lim senx lim+ + =010 ( )( )x lnsenx lnlimx lnxxe senx lim++=010 El trmino de este ltimo lmite es de la forma lo que permite hacer uso del teorema de LHopital ( )( ) ( ) ( )( )xx cossenxlim' x ln' senx lnlimx lnsenx lnlimx lnxxx xe e e senx lim111000 0++++= = = ( )x cossenxxlimx lnxxe senx lim++=010 ( )x cos limsenxxlimx lnxx xe senx lim+++=0 010 ( ) e e senx lim x lnx= =+1 110 7REGLA DE LA CADENA 7.1DEFINICION Dadaslasfuncionesf yg derivablesytalesquesucomposicingof existe, entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x f g x gof ' ' ' = 7.2APLICACIONES Para los casos siguientes, dada la funcinfdefinida por( ) x fdeterminar' f : i)( ) x x f 2 cos ) ( = ( ) x x g cos ) ( =x x h 2 ) ( =Entonces( ) ( ) ( ) ( ) x x g x h g x goh 2 cos 2 ) ( = = = Definicin( ) ( ) ( ) ( )( ) x h x h g x goh ' ' ' =( ) ( ) ( ) x sen x g x x g = = ' cos ) (( ) 2 ' 2 ) ( = = x h x x h Reemplazando ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) x sen x sen x h x h sen x h x h g x goh 2 2 2 2 ' ' ' ' = = = = Por lo tanto ( ) ( ) ( ) x sen x f x x f 2 2 ' 2 cos ) ( = = ii)( )xe x x f2 3ln ) ( = Solucin: ( ) ( )'1) ( ' ln ) (2 32 32 3 xxxe xe xx f e x x f= =( ) ( ) ( ) ' '1) ( '2 3 2 32 3x xxe x e xe xx f += ( ) ( ) ( ) 2 31) ( '2 3 2 22 3x xxe x e xe xx f += ( ) ( ) x e xe xe x e xe xx fxxx xx2 312 31) ( '2 22 32 3 2 22 3+ = += ( ) 23 2 32 31) ( ' + =+= + = x xxxxx f iii)( ) x x sen x f 4 ) (5 2+ = Solucin: ( ) ( ) ( ) ( )' 4 4 2 ) ( ' 4 ) (5 5 5 2x x sen x x sen x f x x sen x f + + = + =( ) ( )( )' 4 4 cos 4 2 ) ( '5 5 5x x x x x x sen x f + + + = ( ) ( )+ + + = xxx x x x x sen x f 4 5 4 cos 4 2 ) ( '4 5 5 8DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR 8.1DEFINICION Dadalafuncinf talquesuderivada' f (oequivalentemente dxdf)esderivable, entonces existe la segunda derivada defque se denota por' ' fo equivalentemente 22dxf dyseobtienealderivarlafuncin' f .Entrminosgeneralessedirquesila funcin 1 nfes derivable entonces su derivada se denomina derivada de orden n, se denota o simboliza por nfo equivalentemente nndxf d y se obtiene al derivar la funcin 1 nf . 8.2APLICACIONES Paralossiguientescasosdeterminarlasegundaderivadadelafuncinf y establecer si se puede determinar la derivada de orden 3, 4 o superiores: i)( ) ( ) x sen x f = ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x sen x f cos ' = = Pero esta ltima funcin es derivable y en consecuencia: ( ) ( ) ( ) ( ) x sen x f x x f = = ' ' cos ' Con el mismo razonamiento se puede establecer que: ( ) ( ) x x f cos3 =( ) ( ) x sen x f =4 En consecuencia existe la derivada de orden n. ii)( ) 43+ = x x f ( )23 ' x x f =( ) x x f 6 ' ' =( ) 63= x f( ) 04= x f En este caso todas las siguientes derivas sern iguales a 4fy se dir entonces que la funcinftiene derivada hasta orden 4. 9DERIVACION IMPLICITA 9.1GENERALIDADES Esteprocedimientoseaplicaparadeterminarladerivada' f delafuncinf ,cuandose conoce una relacin con su variable x , donde se hace uso principalmente de la regla de la cadena. 9.2APLICACION Determinar' f si xff x+=12 R. ( ) 'xf' f xxff x += +=1212 ( )( )( )21' 0 22''12'xfxf ffxffxff x++ + = + +=( ) ( )2 212122 xfff ' fxfx' ffx+ =++ ( ) ( )2 2121221xfff ' fxf fx+ =++ ( )( ) ( )2 22121 24 1xfff ' fxf ff xfx+ =++ +( )( )( ) f xfxf fxfffxf4 11 212 1'222+ ++++ = 10REGLA DE LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA 10.1DEFINICION Sifes una funcin derivable y biyectiva tal que( ) ( ) 01x f ' fentonces 1 fes derivable y su derivada es: ( ) [ ]( ) ( ) x f ' f' x f111= 10.2APLICACION Dadalafuncing definidapor( ) x x g arccos = ,determinarsuderivadaapartirdela definicin de la derivada de la funcin inversa. R. x x f x x f cos ) ( arccos ) (1= = ( )( ) ( ) ( ) xxx f fx farccos cos'1) ( arccos''1) ( '11= = ( ) ( ) x sen x senxarccos1arccos1) ( arccos'== En trminos de la funcing : ( ) ( ) ( ) x g sen x senx x g1arccos1) ( arccos' ) ( '== = ) ( cos 1 ) ( 1 ) ( cos ) ( 1 cos2 2 2 2 2 2x g x g sen x g x g sen sen = = + = + ) ( cos 1 ) (2x g x seng = Entonces: ( )2 2 211arccos cos 11) ( cos 11) ( 'x x x gx g== = 11DIFERENCIACION 11.1DEFINICION Si dado un intervalo abierto cualquiera Idominio de la funcin derivablef , entonces se podr escribir: ( )( ) ( )hx f h x fhx f +=0lim' O tambin: ( ) ( ) ( ) ( ) h h x f h x f h x f + + = + ' Contal que( ) 00lim=hh Cuandoh tiendeacero( 0 h )eltrmino ( ) x f h ' tiendea ( ) ( ) x f h x f + yse podr decir que son iguales en el entendido de que existe una aproximacin que tiene un errorasociado,dadoporeltrmino ( ) h h ,elcualsercadavezmenorenlamedida que0 h . Se define el Diferencial de la funcinf enI x como la funcinLdefinida por: ( ) ( ) x f h h L hL': = Esusualdenotaralelementoh comodx y( ) h L como( ) x df .Aseldiferencialdela funcinfser: ( ) ( )dx x f x df ' = O equivalentemente: ( )( ) x fdxx df' = 11.2APLICACION Suponga que una central hidro-elctrica tiene un costo de produccin dado por la funcin Cdefinida por() 2 43 + = w w w C , dondew es la produccin de la central. Si en estado normal la central produce 50, determine el incremento en el costo si se requiere producir un 5% ms de energa. R. () 4 3 '2+ = w w C() ( )dw w w dC 4 32+ = Entonces el incremento del costo para un aumento en la produccin de energa de un 5% en relacin a la produccin de 50 ser: ( ) ( )( ) 50 05 . 0 4 50 3 502 + = dC( ) 5 , 2 7504 50 = dC( ) 18760 50 = dC Se analizar el error involucrado: ( ) 125198 2 50 4 50 503= + = C( ) 125 , 144911 2 5 , 52 4 5 , 52 5 , 523= + = CAumento en el costo( ) ( ) 125 , 19713 50 5 , 52 = C CError involucrado 19713,125-18760=953,125 Siserefierealcostodeproducirlos50,seestcometiendounerrordel0.8% (953,125/125198). Si el incremento en la produccin es menor este error debiera disminuir. En efecto, si se considera un incremento del 1%, se tendr: ( ) ( )( ) 50 01 . 0 4 50 3 502 + = dC( ) 5 , 0 7504 50 = dC( ) 3752 50 = dCSe analizar el error involucrado: ( ) 125198 2 50 4 50 503= + = C( ) 625 , 128987 2 5 , 50 4 5 , 50 5 , 503= + = CAumento en el costo( ) ( ) 625 , 3789 50 5 , 50 = C CError involucrado 3789,625-3752=37,625 Siserefierealcostodeproducirlos50,seestcometiendounerrordel0.03% (37,625/125198), el que resulta claramente inferior al anterior. 12REGLA DE LEIBNITZ Dadas dos funciones derivablesfygentonces la derivada de orden n del producto de fyges: == nkk k n ng fkng f0) ( Comoaplicacin,determineladerivadadeorden5delafuncinf definidapor x ln x ) x ( f3= Sea 3x ) x ( h =entonces: 23x ) x ( ' h =x ) x ( ' ' h 6 =63= ) x ( h04= ) x ( h05= ) x ( h Seax ln ) x ( g =entonces: 11= = xx) x ( ' g2 = x ) x ( ' ' h3 32= x ) x ( h4 46 = x ) x ( h5 524= x ) x ( h Nmeros combinatorios 10 0 5505==! )! (! 51 1 5515==! )! (! 102 2 5525==! )! (! 103 3 5535==! )! (! 54 4 5545==! )! (! 15 5 5555==! )! (! Aplicando regla de Leibnitz ( )( ) ( ) === = 5053 5 305kkknkk k n nx ln xk) x ln x ( g fkn) g f (Entonces la derivada de orden 5 es: ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 503 413 323 233 143 053554535251505x ln x x ln x x ln x x ln x x ln x x ln x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (+++++( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )5 3 4 2 3 224 6 3 5 2 6 10 6 10 + + + x x x x x x x2 2 2 2 26 24 90 120 60 = + + x x x x x Finalmente: ( ) 2 5 36 = x ) x ln x ( 13TEOREMA DE ROLLE Silafuncinf escontinuaen[ ] b a, yderivableen( ) b a, ysiadems) ( ) ( b f a f =entonces: 0 ) ( ' / ) , ( = c f b a cGrficamente: AplicarelteoremadeRollealafuncinf definidapor( ) 1 12 = x ) x ( f enelintervalo [ ] 3 1, . Para esto se debe garantizar la existencia de por lo menos unctal que0 = ) c ( ' f . ( ) 3 1 1 1 12= = ) ( f( ) 3 1 1 3 32= = ) ( f( ) ) x ( ) x ( ' f x ) x ( f 1 2 1 12 = =1 0 1 2 = = = c ) c ( ) c ( ' f 14TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DE LOS INCREMENTOS FINITOS Si dada la funcin[ ] b , a : fcontinua en[ ] b , ay derivable en( ) b , aentonces: ( ) ) x ( ' fa b) a ( f ) b ( f/ b , a x0 0= Grficamente: Aplicar el teorema del Valor medio o de los incrementos finitos a la funcinfdefinida por x x x x f 2 ) (2 3 = enelintervalo[ ] 1 , 1 .Paraestosedebegarantizarlaexistenciade por lo menos un 0xtal que ) 1 ( 1) 1 ( ) 1 () ( '0 =f fx f . 1222) 2 1 1 ( ) 2 1 1 () 1 ( 1) 1 ( ) 1 ( ==+ = f f 2 2 3 ) ( '020 0 = x x x f Igualando0 1 2 3 1 2 2 3020 020= = x x x xEntonces10 = xo 310= x 15TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO DE CAUCHY Si dadas las funcionesfygcontinuas en[ ] b , ay derivables en( ) b , aentonces: ( )) x ( ' g) x ( ' f) a ( g ) b ( g) a ( f ) b ( f/ b , a x000= UNIDAD 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA 1SERIE DE TAYLOR Seafuna funcin derivable hasta el orden1 + nen una vecindad de 0xsimbolizada por ( )0x Vd.Seaadems nP unpolinomio,denominadodeTaylordelafuncinf ,derivable hasta el ordennen 0xy definido por: ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )! nx x x f...!x x x ' ' f!x x x ' fx f x Pn nn0 020 0 0 002 1+ +++ = Entonces para cada( )0x V x*dexistir( ) x , x0 que verifica: ( ) ( )( )( )( )! nx x fx f x Pn nn11010+ = + + Eltrmino( ) ( )0x f x Pn sedenominaRestodeLagrangeysesimbolizapor nR ,se escribir entonces: ( ) ( )0x f x P Rn n = En este caso se dice que la funcinfse ha desarrollado en serie de Taylor en torno a 0x . APLICACION. Escribir el polinomio de Taylor con4 = npara calcular2 9, . R. Sea( ) x x f =y2 0 9 2 9 . , + =entonces90 = x( )2121= x x ' f( )2341 = x x ' ' f( )25383= x x f( )2741615 = x x f Entonces ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )!, f!, f!, ' ' f!, ' ff , P49 2 9 939 2 9 929 2 9 919 2 9 99 2 94 4 3 3 24++++ =( ) 3 9 9 = = f( )61921921= =' f( )1081941923 = =' ' f( )64819839253= =f( )116645916159274 = =f( )( ) ( ) ( ) ( )242 011664562 0648122 0108112 0613 2 94 3 24, , , ,, P+ ++ + =( ) 00000003 0 000002 0 000185 0 033333 0 3 2 94, , , , , P + + =( ) 03315027 3 2 94, , P = 2SERIE DE MAC-LAURIN Se define como el desarrollo de una serie de Taylor en torno a00 = x . APLICACION. Determine la serie de Mac-Laurin dex cos . 4ANALISIS DE FUNCIONES MEDIANTE DERIVADAS 4.1CRECIMIENTO DE FUNCIONES TEOREMA. Seafuna funcin derivable en unintervalo abiertoI , si( ) ( ) 0 ' > x f I xentonces se dice quefes estrictamente creciente enI . TEOREMA. Seafuna funcin derivable en unintervalo abiertoI , si( ) ( ) 0 ' < x f I xentonces se dice quefes estrictamente decreciente enI . APLICACION. Analizar el crecimiento de la funcinfdefinida por( )33 x x x f = . R. ( ) ( )2 33 3 ' 3 x x f x x x f = =( ) ( ) ( )( ) x x x x f + = = 1 1 3 1 3 '2 Crecimiento ( ) ( )( ) 0 1 1 3 0 ' > + > x x x f( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 0 1 < + < > + > x x x x( ) ( ) 1 1 1 1 < < > > x x x xEntoncesfes estrictamente creciente en( ) ( ) 1 , 1 1 , 1 = = I Decrecimiento ( ) ( )( ) 0 1 1 3 0 ' < + < x x x f( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 0 1 > + < < + > x x x x( ) ( ) 1 1 1 1 > < < > x x x xEntoncesfes estrictamente creciente en( ) ( ) + = , 1 1 , I 4.2CONVEXIDAD DE FUNCIONES DEFINICION. Seafunafuncin dos veces derivabley continua en un intervalo abierto Ientonces: fse dir convexa si y slo si (ssi)( ) ( ) 0 ' ' x f I xfse dir cncava ssi( ) ( ) 0 ' ' x f I xfse dir convexa y convexa ssi( ) ( ) 0 ' ' = x f I x APLICACION. Analizar la convexidad de la funcinfdefinida por( )33 x x x f = . R. ( ) ( ) ( ) x x f x x f x x x f 6 ' ' 3 3 ' 32 3 = = =Convexa:( ) ( ] 0 , 0 0 6 0 ' ' = I x x x fCncava:( ) [ ) + = , 0 0 0 6 0 ' ' I x x x f DEFINICION. Sifes una funcin cncava y convexa enI x 0 entonces se dir que 0xesunpuntodeinflexinsilaconvexidaddef cambiaalpasarpor 0x ,esdecirse cumple: ( ) ( ) 0 ' ' ' '0 0< + x f x fCon0 > APLICACION.Analizarlospuntosdeinflexindelafuncinf definidapor ( )33 x x x f = . R. ( ) ( ) ( ) x x f x x f x x x f 6 ' ' 3 3 ' 32 3 = = =( ) 0 0 6 0 ' '0 0 0= = = x x x f Por las aplicaciones anteriores se sabe que la funcin cambia de convexidad al pasar por cero, en efecto: Convexa:( ) ( ] 0 , 0 0 6 0 ' ' = I x x x fCncava:( ) [ ) + = , 0 0 0 6 0 ' ' I x x x f Esto permite concluir que 0xes un punto de inflexin y en este caso particular es nico. Entrminosgeneralessedebermostrarqueseverifica( ) ( ) 0 ' ' ' '0 0< + x f x fcon 0 > : ( ) ( ) 0 36 ) 0 ( 6 ) 0 ( 6 ' ' ' '0 0< = + = + x f x f Luego 0xes un punto de inflexin. 5MAXIMOS Y MINIMOS Dada una funcinfdos veces derivable y continua en un intervalo abiertoI , se dir que ( )0x f esunvalorcrticosi( ) 0 '0 = x f .Estevalorcrticoservalormximoo simplemente Mximo si( ) 0 ' '0 < x fy valor mnimo o simplemente Mnimo si( ) 0 ' '0 > x f . Lacondicindelaprimeraderivadanulaseconocecomocondicinnecesariaparala existenciadeunmximoomnimo(valorcrtico)ylacondicindelsignodelasegunda derivada se conoce como condicin suficiente. APLICACION.Determinarlosmximosymnimosdelafuncinf definidapor ( )33 x x x f = . R. Condicin necesaria ( ) 0 3 3 '2= = x x f( )( ) 0 1 1 3 = + x x1 10 0 = = x x Condicin suficiente ( ) x x f 6 ' ' =( ) 2 1 3 ) 1 ( 0 6 1 ' ' = = < = f fes mximo ( ) 2 1 3 ) 1 ( 0 6 1 ' ' = + = > = f fes mnimo