UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICOUNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICOFACULTAD DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA

Nombre: CAMPOS CHIU CINDYNombre: CAMPOS CHIU CINDY

Materia: CALCULO IIMateria: CALCULO II

Grupo: 09Grupo: 09

Profesor: ING. GUSTAVO ROCHA BELTRANProfesor: ING. GUSTAVO ROCHA BELTRAN

Carrera: ING. EN COMPUTACIÓNCarrera: ING. EN COMPUTACIÓN

Semestre: 2005 - 2Semestre: 2005 - 2

Ley del Enfriamiento de Newton

La velocidad a la que un cuerpo se enfría en un medio cuya temperatura ambiente es Tm es

proporcional a la diferencia entre la temperatura instantánea del cuerpo y del ambiente.

ISAAC NEWTON(25 de diciembre de 1642 – 20 de marzo de 1727)

Fue un científico, filósofo, matemático y alquimista inglés, autor de los

Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocido comúnmente como Principia,

donde describió la ley de gravedad y, mediante sus leyes de movimiento

estableció la base del campo de la mecánica clásica. Fue el primero en

demostrar que las leyes de la naturaleza que gobiernan el movimiento en la

tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las

mismas. Es a menudo calificado como el científico más grande de todos los tiempos,

y sus trabajos como la culminación de la Revolución científica.

Newton en su camino a la cima intelectual que representa los Principia inventó el cálculo de

fluxiones (nuestro moderno cálculo diferencial e integral).

Junto a Gottfried Leibniz es considerado el padre del cálculo.

El famoso poeta Alejandro Pope dijo refiriéndose a Newton :

“La Naturaleza y las leyes naturales se ocultaban en la noche; Dios dijo “Que nazca Newton” y se hizo la

luz”.

INTRODUCCIÓN

El nombre de Isaac Newton es ampliamente reconocido por sus numerosas contribuciones a la ciencia. Probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto de fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la acuñación mientras fue funcionario de la casa de la moneda de Inglaterra. Newton observó que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba más rápidamente cuando estaba muy caliente, y más lentamente cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del aire. Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de enfriamiento de Newton.

La ley de enfriamiento de Newton se escribe como:

= -k (T – To) (1)dtdT

donde la derivada de la temperatura respecto al tiempo dT/dt representa larapidez del enfriamiento, T es la temperatura instantánea del cuerpo, k una constanteque define el ritmo de enfriamiento y To es la temperatura ambiente, que es latemperatura que alcanza el cuerpo luego de suficiente tiempo.

Nuestra tarea en este trabajo es estudiar si la mencionada ley se ajusta a la observaciónen el caso del enfriamiento de un termómetro de mercurio.

Si el cuerpo se enfría a partir de una temperatura Ti hasta To y la ley de enfriamiento de un cuerpo es válida, la ecuación:

T – To = (Ti – To) eˆ (-kt) (2)

deberá ser adecuada para representar la evolución de la temperatura, dado que estaecuación es la solución de (1).

ENFRIAMIENTO NEWTONIANOENFRIAMIENTO NEWTONIANO

Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente

no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo

hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el

cuerpo y el medio externo.

Donde α es el coeficiente de intercambio de calor y S es el área del cuerpo.

Si la temperatura T del cuerpo es mayor que la temperatura del medio ambiente Ta, el cuerpo pierde una cantidad de calor dQ en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t + dt, disminuyendo su temperatura T en dT.

dQ=-m·c·dT

donde m= ρ V es la masa del cuerpo ( ρ es la densidad y V es el volumen ), y c el calor específico.

La ecuación que nos da la variación de la temperatura T del cuerpo en función del tiempo es:

O bien,

Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t = 0, la temperatura del cuerpo es T0.

Obtenemos la relación lineal siguiente.

ln(T-Ta)=-k·t +ln(T0-Ta)Despejando T obtenemos

Despejando T obtenemos

LEY DEL ENFRIAMIENTO DE LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEWTONNEWTON

La variación de la temperatura de un objeto La variación de la temperatura de un objeto directamente proporcional, en cada instante de directamente proporcional, en cada instante de tiempo, a la diferencia entre la temperatura de tiempo, a la diferencia entre la temperatura de dicho objeto y la del medio ambiente.dicho objeto y la del medio ambiente.

Para plasmar científicamente ésta ley se necesita:Para plasmar científicamente ésta ley se necesita:

1.- Dar nombre a las variables:1.- Dar nombre a las variables:

t = tiempo (variable independiente)t = tiempo (variable independiente)

T (t) = temperatura del objeto en el instante t T (t) = temperatura del objeto en el instante t (variable dependiente)(variable dependiente)

2.- Dar sentido matemático a las expresiones: 2.- Dar sentido matemático a las expresiones: Variación de T con el tiempoVariación de T con el tiempo

3.- Escribir la ecuación que expone el modelo:3.- Escribir la ecuación que expone el modelo:

= k ( T ( t ) – A )= k ( T ( t ) – A )

dtdT

dtdT

Figura 1. Representación de la temperatura enfunción del tiempo, en escala lineal. Se puede

observar a simple vista que los puntos no se alineanen una recta.

Figura 2. Representación de ΛT en función del tiempo,aplicando escala logarítmica al eje de temperaturas. En

este caso se puede ver que la mayoría de larepresentación gráfica de estos datos queda

razonablemente “linealizada”.

Figura 3. representación en escala lineal de ΛT en función del tiempo, donde se observa que el ajuste corresponde a una curva

con decaimiento exponencial.