matenegocios unidad 6

Unidad 6Modelo de redes

Objetivos:

Al nalizar la unidad, el alumno: • Resolverá problemas utilizando el algoritmo de la ruta más corta. • Resolverá problemas de flujo máximo. • Resolverá problemas de flujo restringido de costo mínimo. • Resolverá problemas de aplicación al entorno de los negocios. • Resolverá problemas utilizando el algoritmo PERT.

Matemáticas para negocios 215

Introducción

La representación gráca de las vías de comunicación de cualquier región geográca es un claro ejemplo de una red, lo cual le conere relevancia natural por tener la capacidad de proporcionarnos información acerca de los diferentes

caminos que podemos utilizar para trasladarnos de un origen hasta un destino

preestablecido pero, en general, es necesario obtener aún más información de un

diagrama de redes, como encontrar cuál de todas las posibles rutas es la que tiene

un recorrido total menor a cualquier otra, es decir, la ruta más corta de todas o,

por ejemplo, cuál es la ruta con mayor auencia o ujo máximo, así como el ujo de costo mínimo. Se puede observar que el denominador común de los términos

recién presentados como: “más corta” y “mínimo o máximo”, tiene una relación

directa con la optimización. Es en este sentido que se presenta tanto la denición de los modelos de redes, su terminología y construcción, así como casos prácticos

para resolver con la metodología presentada a lo largo de este capítulo.

En las diferentes secciones del capítulo se estudiarán los problemas mencionados a

través de la solución de casos de aplicación, por lo que se sugiere que el lector resuelva de

nueva cuenta tales ejemplos, así como la sección de ejercicios y la autoevaluación.

6.1. Denición del modelo

En general, una red es la representación gráca de un proceso, serie de actividades interconectadas o la distribución de puntos geográcos especícos, por ejemplo, un mapa carretero o la distribución de una red de computadoras representada en

un diagrama, aunque existen muchos más contextos donde se aplican las redes.

Por mostrar una representación de la realidad, las redes se clasican como un modelo. Es así como se dene el modelo de redes, el cual cuenta con terminología propia, necesaria para su desarrollo. A continuación se presenta la notación y

terminología empleada.

216 Unidad 6 ▪ Modelo de redes

Notación y terminología

Red. Conjunto de puntos llamados nodos (o vértices) y líneas que los unen

llamadas arcos (o ligaduras, aristas o ramas).

Los arcos se etiquetan con los nombres de los nodos en sus puntos terminales, por

ejemplo, AB es el arco entre los nodos A y B.

Arcos dirigidos. Un arco es dirigido cuando tiene ujo en una sola dirección y ésta se indica con una cabeza de echa al nal del arco o línea en la dirección del ujo.Arcos no dirigidos. Un arco donde se permite el ujo en ambas direcciones.Trayectoria. Sucesión de arcos distintos que conectan dos nodos.

Trayectoria dirigida. Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesión

de arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j, de manera que el ujo del nodo i al nodo j, a través de esta trayectoria, es factible.

Trayectoria no dirigida. Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una

sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) puede ser hacia o desde el nodo j.

Red dirigida. Es una red que tiene sólo arcos dirigidos.

Red no dirigida. Es una red donde todos sus arcos son no dirigidos.

Red conexa. Una red conexa es una red en la que cada par de nodos está conectado.

Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria

no dirigida entre ellos aparte.

Se debe resaltar que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la

red sea dirigida.

Capacidad de arco. Es la cantidad máxima de ujo (quizás innito) que puede circular en un arco dirigido.

Nodo fuente (o nodo de origen). Tiene la propiedad de que el ujo que sale del nodo excede al ujo que entra a él. Nodo demanda (o nodo destino). Es el caso contrario al nodo fuente, donde el

ujo que llega excede al que sale de él.


Nodo de trasbordo (o nodo intermedio). Satisface la conservación del ujo, es decir, el ujo que entra es igual al que sale.Esta terminología se utilizará en el desarrollo del algoritmo y ejemplos. Conforme se

requiera, se recuperará alguno de los conceptos, ya sea para aplicar algún paso de un

algoritmo o explicar alguna consideración particular de una operación o tipo de red.

El siguiente diagrama representa una red:

Los nodos 0 y F representan el origen y destino de la red, mientras que los nodos

A, B, C, D y E, son nodos de trasbordo, el número en los arcos o líneas puede

indicar distancia en kilómetros, por ejemplo, entre nodos adyacentes.

Como se mencionó en un principio, los diagramas de redes, además de representar

vías de comunicación, también se utilizan para obtener información adicional,

por ejemplo, para obtener la ruta más corta entre el nodo origen y el nodo destino.

A continuación se presenta el algoritmo de La ruta más corta.

6.2. Problema de la ruta más corta

El problema de la ruta más corta tiene por objetivo determinar la ruta mínima

entre un origen y un destino determinados utilizando la información disponible

en una red y cumpliendo con las especicaciones de distancia, conexiones existentes, etcétera.

El algoritmo analiza la red a partir del origen, identicando en orden ascendente la ruta más corta hasta cada uno de los nodos desde el origen hasta alcanzar el

nodo destino.

Ejemplo 1


Esto es partir de una red establecida, conexa y no dirigida con nodos origen y

destino. A cada arco no dirigido se asocia una distancia no negativa. El objetivo

es determinar la ruta más corta, es decir, la trayectoria con la mínima distancia

total, desde el origen hasta el destino.

Algoritmo de la ruta más corta:

Objetivo de la n-ésima iteración. Encontrar el n-ésimo nodo más cercano al

origen (este paso se repetirá para n=1,2,… hasta que el n-ésimo nodo más cercano

sea el nodo destino).

Datos para la n-ésima iteración. Son los n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados

en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen

(estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos).

Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano. Cada nodo resuelto que tiene

conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos, proporciona

un candidato y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta (los

empates proporcionan candidatos adicionales).

Cálculo del n-ésimo nodo más cercano. Para cada nodo resuelto y sus candidatos,

se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el

origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña

es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos

adicionales) y su ruta más corta es la que genera esta distancia.

El algoritmo es muy sencillo y su aplicación se facilita aún más si se utiliza una

tabla que registra el resultado de las iteraciones y permite la identicación de las conexiones que forman la ruta más corta de la red.

La tabla contiene la siguiente información:

Tabla6.1. Tablaparaaplicarelalgoritmodelarutamáscorta.

n

Nodos resueltos conectados directamente

a nodos no resueltos

Nodo no resuelto más cercano conectado

Distancia total

involucrada

n-ésimo nodo más cercano

Distancia mínima

Última conexión

1

...

n


La primera columna indica el número de la iteración.

La segunda columna: registra los nodos resueltos (nodos ya utilizados en la

trayectoria) para iniciar la iteración actual, después de no considerar los nodos

que no se utilizan.

La tercera columna: candidatos (nodos no resueltos con la ligadura más corta al

nodo resuelto) para el n-ésimo nodo más cercano.

La cuarta columna: distancia de la ruta más corta desde el origen a cada uno de

estos candidatos.

La quinta columna: candidato con la menor distancia al origen.

La sexta columna: distancia de la ruta más corta desde el origen al último nodo

resuelto.

La séptima columna: último tramo en esta ruta más corta.

En la última columna se puede determinar la ruta más corta desde el nodo origen

al destino.

El siguiente ejemplo muestra la aplicación de la tabla a la red del ejemplo anterior.

Aplicar el algoritmo de la ruta más corta a la red del ejemplo 1.

Se comienza por generar una tabla con los siguientes encabezados:

Ejemplo 2


La primera iteración se registra en la la correspondiente a 1n =La primera iteración se realiza comparando la distancia existente entre el nodo

0 y los nodos A y B respectivamente, seleccionando el nodo B como el “nodo no

resuelto más cercano conectado” con una “distancia total involucrada” de 4 km.

Ahora, el “n-ésimo nodo más cercano” aplica cuando se deba comparar más de

un nodo, en este caso el mismo nodo B es el más cercano con una “distancia

mínima” de 4 km, por lo que se establece la “última conexión” como 0B.

Ahora toca el turno de la segunda iteración:

En esta iteración, el nodo 0 y el nodo B son nodos resueltos, es decir, ya se pasó por

ellos, pero están conectados a nodos no resueltos y, por esta razón, se consideran

en la segunda iteración.

El nodo no resuelto más cercano a 0 y B respectivamente es A y C, el primero con

una distancia total de 5 unidades, mientras que la distancia para llegar a C es la

suma de las distancias de 0 a B y luego de B a C; siendo mínima la primera, se

selecciona como última conexión.

n




Distancia total

involucrada


Distancia mínima

Última conexión

1 0 B 4 B 4 0B

n




Distancia total

involucrada


Distancia mínima

Última conexión

1 0 B 4 B 4 0B

20

B

A

C

5

4+6=10

A

C

5

100A

n




Distancia total

involucrada


Distancia mínima

Última conexión

1

...

n


La tabla completa, considerando la misma explicación que se presentó para la

primera y segunda iteración, está dada por:

De la última columna se extrae la información para resolver el problema:

La ruta más corta desde el nodo destino hacia el nodo origen se determina desde el

nal hacia el principio de la última columna, es decir, desde el destino T→ E→B→A→0, con una distancia total de 16 kilómetros.

Si representamos la ruta más corta sobre el diagrama de la red, queda como:

En algunas ocasiones, este algoritmo de solución puede generar más de una ruta

más corta y será decisión del responsable del proyecto considerar, de las posibles

rutas más cortas, la que mejores benecios reporte para los involucrados.

n




Distancia total

involucrada


Distancia mínima

Última conexión

1 0 B 4 B 4 0B

20

B

A

C

5

4+6=10

A

C5 0A

3 A D 5+4=9 C 9 AB

4 BE

D

9+2=11

9+3=12

E

D11 BE

5D

E

F

F

12+7=19

11+5=16

F

F

19

16ET


6.3. Flujo máximo

Cuando se pretende maximizar el ujo a través de una red, considerando como inicio de la red un nodo llamado fuente y como nodo nal un nodo llamado destino

y tomando en cuenta que el ujo en los arcos es sólo en la dirección que en el diagrama de la red se indica, se tiene un problema de ujo máximo, en el cual el

objetivo es maximizar la cantidad total de ujo de la fuente al destino.

Este tipo de problema tiene una amplia gama de aplicaciones dentro de las cuales

se pueden mencionar:

• Maximizar el ujo de cualquier uido a través de una tubería. • Maximizar el ujo de vehículos por un sistema carretero. • Maximizar el ujo de insumos o productos desde los proveedores hacia los

clientes de cualquier tipo de empresa.

Para resolver este problema, se requiere una red conexa dirigida, identicar los nodos fuente y destino, así como conocer, por lo general, los límites máximos

permisibles de ujo en cada uno de los arcos dirigidos de la red. Con el diagrama de la red y los datos mencionados se utiliza un algoritmo para obtener la

solución.

A manera de introducción al algoritmo de solución, se presentan algunos términos

necesarios en la aplicación del mismo.

Red residual. Una vez asignados ujos a los arcos de la red original, la red residual

es aquella que muestra las capacidades restantes (capacidades residuales) para

asignar ujos adicionales. Para indicar la capacidad de ujo se coloca un número en la base del arco.


Suponer que entre un nodo adyacente y un nodo fuente se tiene una capacidad

máxima de ujo de 9 unidades de algún producto, lo cual está representado por la siguiente gura:

Observa que la capacidad residual de la derecha vale cero, pues no se ha realizado

asignación de ujo. Entonces si se asigna, por ejemplo, un ujo de 6 unidades al arco 0A, el diagrama de la red cambia a:

Este cambio en el diagrama indica que el nodo “0” tiene una capacidad residual

de tres unidades y que la capacidad residual del nodo “A” es de seis unidades.

Trayectoria aumentada. Es la trayectoria dirigida desde el nodo fuente hacia el

destino en la red residual, donde todos los arcos comprendidos en esta trayectoria

tienen capacidad residual estrictamente positiva.

Algoritmo de la trayectoria de aumento:

1. Se identica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta

trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva (si no existe una,

los ujos netos asignados constituyen un patrón del ujo óptimo). 2. Se identica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento

encontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta

trayectoria. Se aumenta en c* el ujo de esta trayectoria. 3. Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de

aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa al paso 1.

A continuación se aplica este algoritmo a la siguiente red, que es la misma del

ejemplo 1, pero sobre la red se escribieron los límites máximos permisibles, como

las capacidades residuales de los arcos de la red.

Ejemplo 3


Considera los ujos de la siguiente red y determina la trayectoria de aumento para el problema de ujo máximo.

Iteración 1. Primero se determina una trayectoria de aumento desde el nodo

fuente hacia el destino de la red residual, para este caso la trayectoria de aumento

está dada por 0→B→C→D→F, que tiene una capacidad residual igual al ( )min 9,12,7,9 7= , que corresponde a las capacidades residuales de cada arco.

Asignamos el ujo de 7 a esta trayectoria para obtener:

Iteración 2. Otra trayectoria de aumento desde el nodo fuente hacia el destino de

la red residual para esta segunda iteración es la trayectoria de aumento por 0→B→C→E→F, la cual tiene una capacidad residual igual al ( )min 2,5,6,6 2= , que

corresponde a las capacidades residuales de cada arco. Asignamos el ujo de 2 a esta trayectoria para obtener:

Ejemplo 4


Iteración 3. Una trayectoria más será 0→A→C→E→F mín (7, 7, 4, 4) = 4.

Asignamos el flujo de 4 a esta trayectoria para obtener:

Como ya no existen trayectorias de aumento, el patrón de ujo actual es óptimo. Entonces la solución óptima de este problema de ujo máximo está dada por la siguiente red:

Esto quiere decir que el ujo máximo para esta red es de 13 unidades.

6.4. Flujo restringido de costo mínimo

En ocasiones, lo que se busca determinar acerca de una red es la manera en la

cual distribuir algún tipo de material por los conductos de la misma (arcos) al

menor costo posible, calculado éste con el costo unitario de transporte de cada

conducto y respetando los límites máximos permisibles de ujo en toda la red. Para el transporte del material por los conductos de la red, desde los puntos de

producción hasta los de consumo, se denotan nodos fuentes, nodos de trasbordo

–donde concurren varias rutas– y nodos destino.

Para plantear el modelo de ujo de costo mínimo, se considera una red conexa dirigida, en donde al menos se incluyen un nodo de producción ( fuente) y uno de

consumo (destino). La producción total de la red debe ser igual a la demanda total de

ésta; esto es un problema balanceado, en caso contrario, se utilizan nodos cticios para lograr el balance. En adelante sólo se considerarán problemas balanceados.


El objetivo del modelo es minimizar el costo de transporte, satisfaciendo tanto las

demandas de los consumidores como las restricciones de ujo en los conductos de la red.

La notación de las variables y los datos involucrados en el desarrollo del modelo

son:

:ijc costo por unidad de ujo a través del arco que va del nodo i al nodo j.

:iju capacidad de ujo del arco que va del nodo i al nodo j.

:ib ujo neto generado del nodo i.

Donde ib puede ser positiva si el nodo i es un nodo fuente, negativa si el nodo i es

un nodo demanda o cero si el nodo i es un nodo trasbordo.

Las variables de decisión son el ujo en los conductos:

:ijx ujo en el arco que va del nodo i al nodo j.

Como el objetivo es minimizar el costo de transporte a través de la red y

considerando que las sumas de los ujos se realiza sobre los nodos, la función de costos y las restricciones están determinadas por las expresiones:

min

1 1

n n

ij ij

i j

Z c x= =

=∑∑

Sujeto a:

1 1

n n

ij ji i

j j

x x b= =

− =∑ ∑ , para cada nodo i.

0 ij ijx u≤ ≤ ; para cada arco del nodo i al nodo j.

La primera suma de la primera restricción indica el ujo total que sale del i-ésimo

nodo, mientras que la segunda suma indica el ujo total que entra al i-ésimo nodo,

por lo que la diferencia de las sumas debe ser igual a la producción o demanda del

nodo e igual a cero para los nodos de trasbordo.


Considerar los ujos máximos permisibles y los costos unitarios de los arcos de la siguiente red y determinar el costo mínimo de transporte. Tomando en cuenta

que se tienen dos puntos de producción de 500 y 350 metros cúbicos de un corte

ligero de crudo y que otros dos puntos consumen 450 y 400 metros cúbicos

del mismo corte ligero. Los costos unitarios de transporte y ujos máximos permisibles, así como la producción y consumo de las fuentes y destinos, se

muestran sobre la red:

A partir de la información de la red se plantea el modelo de ujo restringido de costo mínimo:

min

1 1

n n

ij ij

i j

Z c x= =

=∑∑

Sujeto a:

1 1

n n

ij ji i

j j

x x b= =


0 ij ijx u≤ ≤ ; para cada arco del nodo i al nodo j.

De forma desarrollada se tiene:

min 13 13 14 14 24 24 25 25 34 34 36 36 46 46 47 47 54 54 57 57Z c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x= + + + + + + + + +

Ejemplo 5


Sujeto a:

13 14 1x x b+ = 24 25 2x x b+ = 34 36 13 0x x x+ − = 46 47 14 24 34 54 0x x x x x x+ − − − − = 54 57 25 0x x x+ − = 36 46 6x x b− − = 47 57 7x x b− − =

13 130 x u≤ ≤ 14 140 x u≤ ≤ 24 240 x u≤ ≤ 25 250 x u≤ ≤ 34 340 x u≤ ≤ 36 360 x u≤ ≤ 46 460 x u≤ ≤ 47 470 x u≤ ≤ 54 540 x u≤ ≤ 57 570 x u≤ ≤Si se sustituyen los valores conocidos tanto en la función objetivo como en las

restricciones, entonces se tiene:

min 13 14 24 25 34 36 46 47 54 5710 15 12 14 10 12 18 15 18 15Z x x x x x x x x x x= + + + + + + + + +

Sujeto a:

13 14 500x x+ = 24 25 350x x+ = 34 36 13 0x x x+ − = 46 47 14 34 54 0x x x x x+ − − − = 54 57 25 0x x x+ − = 36 46 400x x− − = − 47 57 450x x− − = −

130 400x≤ ≤ 140 200x≤ ≤ 240 300x≤ ≤ 250 200x≤ ≤ 340 400x≤ ≤ 360 300x≤ ≤


460 200x≤ ≤ 470 350x≤ ≤ 540 100x≤ ≤ 570 300x≤ ≤Resolviendo el modelo con apoyo de un paquete computacional, hoja de cálculo

de Excel, se llega a la siguiente solución:

13 300x = 14 200x = 24 250x = 25 100x = 34 0x = 36 300x = 46 100x = 47 350x = 54 0x = 57 100x =Con un costo total mínimo de min $22,550.00Z =De esta solución cabe señalar que los conductos identicados por los arcos (3,4) y (5,4) no se utilizan en la misma. Entonces, otro resultado importante que puede

obtenerse de este algoritmo es identicar las áreas de oportunidad de las redes con las que se trabaja, sin embargo, esto sólo es una propuesta ya que, en realidad,

el responsable del proyecto es quien deberá identicar la información relevante para el buen logro de las metas y objetivos planteados.

6.5. Aplicaciones al entorno de los negocios

Aplicar los algoritmos de solución a problemas que involucren maximizar un ujo o minimizar el costo total de una serie de operaciones, siempre tendrá remarcada

importancia en cualquier tipo de negocio ya que, en la actualidad, debido a la

globalización y la tendencia de grandes corporaciones a expandir sus operaciones

más allá de sus países de origen, se hace presente la necesidad de herramientas

que apoyen, con resultados cuantitativos, la toma de decisiones de casi cualquier

índole referida a la empresa.


Cabe mencionar que el hecho de contar con estas herramientas, permitirá

distinguir la calidad de las decisiones soportadas en éstas, de las decisiones

poco afortunadas tomadas porque “parecía lo correcto”. Aun así, también debe

considerarse que sólo la constante y repetida práctica en la solución de problemas,

fortalecerá las habilidades y conocimientos necesarios para aplicarlos en tareas

cada vez más complejas.

Con el fin de ejemplicar una de las posibles aplicaciones de las redes a los negocios se presenta un caso práctico para resolver e interpretar.

El diagrama que a continuación se presenta corresponde al ujo de recursos que van desde dos Direcciones generales (fuentes) con disponibilidad de 7.5 millones y 4.5

millones de pesos respectivamente, hacia dos administradores de campañas publicitarias

(destinos) con requisitos de 5 y 7 millones cada una. Para este n, las dos direcciones canalizan los recursos a través de tres departamentos que tienen restricciones de ujo de capital. Estos requerimientos y los costos unitarios de las operaciones se indican en

el diagrama. Los valores negativos de las variables b6 y b

7 indican requerimientos.

Cada una de las Direcciones generales (nodos 1 y 2 en el diagrama) destina

recursos a través de dos departamentos (nodos 3 y 5 para la fuente 1 y nodos 4 y

5 para la fuente 2). Los departamentos (nodos 3, 4 y 5) dirigen recursos hacia los

administradores de las campañas publicitarias (nodos 6 y 7). Los departamentos

representados por los nodos 3 y 5 envían recursos hacia el administrador ubicado

en el nodo 6, y los departamentos designados como nodos 4 y 5 canalizan sus

recursos hacia el administrador del nodo 7. Observa que el departamento del

nodo 5 también puede recibir transferencias desde los nodos 3 y 4.

Ejemplo 6


El objetivo del problema es determinar el ujo de recursos a través de la red al menor costo posible.

A partir de la información de la red se plantea al modelo de ujo restringido de costo mínimo, con las siguientes variables:

:

ijc : costo por unidad de ujo a través del arco que va del nodo i al nodo j.

:

iju : capacidad de ujo del arco que va del nodo i al nodo j.

:

ib : ujo neto generado del nodo i.

La función de costos y las restricciones están determinadas por las expresiones:

min

1 1

n n

ij ij

i j

Z c x= =

=∑∑

Sujeto a:

1 1

n n

ij ji i

j j

x x b= =


0

ij ijx u≤ ≤ ; para cada arco del nodo i al nodo j.

De forma desarrollada se tiene:

min 13 13 15 15 25 25 24 24 35 35 36 36 56 56 57 57 45 45 47 47Z c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x= + + + + + + + + +Sujeto a:

13 15 1x x b+ = 24 25 2x x b+ = 35 36 13 0x x x+ − = 56 57 15 25 35 45 0x x x x x x+ − − − − = 45 47 25 0x x x+ − = 36 56 6x x b− − = 45 45 7x x b− − =

13 130 x u≤ ≤ 15 150 x u≤ ≤ 24 240 x u≤ ≤ 25 250 x u≤ ≤ 35 350 x u≤ ≤ 36 360 x u≤ ≤ 45 450 x u≤ ≤


47 470 x u≤ ≤ 56 560 x u≤ ≤ 57 570 x u≤ ≤Si se sustituyen los valores conocidos tanto en la función objetivo como en las

restricciones, se tiene:

min 13 15 25 24 35 36 561000 1500 1200 1150 1000 1200 1300Z x x x x x x x= + + + + + + + 57 45 471500 1000 1500x x x+ +Sujeto a:

13 15 7.5x x+ = 24 25 4.5x x+ = 35 36 13 0x x x+ − = 56 57 15 25 35 45 0x x x x x x+ − − − − = 45 47 25 0x x x+ − = 36 56 5x x− − = − 45 45 7x x− − = −

130 8x≤ ≤ 150 6x≤ ≤ 240 1.5x≤ ≤ 250 3x≤ ≤ 350 3x≤ ≤ 360 6x≤ ≤ 450 2x≤ ≤ 470 1x≤ ≤ 560 10x≤ ≤ 570 1x≤ ≤Después se determina el valor de las variables de decisión del modelo matemático

con apoyo de un procesador de cálculo, hoja de Excel, para resolver el sistema de

ecuaciones del modelo.

Para este caso se obtuvieron los siguientes valores de las variables de decisión:

13 5x = 15 2.5x = 24 1.5x = 25 3x =


35 0x = 36 5x = 45 0.5x = 47 1x = 56 0x = 57 1x =El valor de los ujos está dado en millones de pesos.Con un costo mínimo de min $31,075.00Z = .

Es importante notar que algunos arcos de la red no se utilizaron en la solución

del problema, lo cual podría indicar áreas de oportunidad en la estructura de la

empresa.

6.6. Algoritmo PERT

En 1958 aparece el sistema PERT (evaluación de programa y técnica de revisión), el

cual fue desarrollado por Booz, Allen y Hamilton, científicos de la oficina naval

de proyectos espaciales y la división de sistemas de armamentos de la corporación

Lockheed Aircraft. La técnica demostró tanta utilidad que ha ganado amplia

aceptación tanto en el gobierno como en el sector privado. El método PERT fue

probado en la construcción del submarino Polaris y se dice que redujo en dos años

la conclusión del proyecto.

Terminología

Actividad. En términos generales, se considera actividad a la serie de

operaciones realizadas por una persona o grupo de personas en forma continua,

sin interrupciones, con tiempos medibles de iniciación y terminación. Las

actividades pueden ser físicas o mentales, como construcciones, trámites, estudios,

inspecciones, dibujos, etcétera.

Relación entre actividades. Es la forma lógica como se conectan las diferentes

actividades del proyecto. Esta relación se puede obtener por antecedentes o por

secuencia. Por antecedentes se les preguntará a los responsables de los procesos

cuáles actividades deben quedar terminadas para ejecutar cada una de las que

aparecen en la lista. Debe tenerse especial cuidado de que todas y cada una de


las actividades tengan por lo menos un antecedente excepto en el caso de ser

actividades iniciales, en cuyo caso su antecedente será cero (0).

Si la relación se hace por secuencia, se preguntará a los responsables de la ejecución

cuáles actividades deben hacerse al terminar cada una de las que aparecen en la lista.

Matriz de secuencia o de precedencia. Es la matriz en donde se coloca cada una

de las actividades del proyecto y sus actividades secuenciales o precedentes. En

el caso de la matriz de precedencia, está formada por tres columnas, la primera

contiene el número de actividad, la segunda las actividades que preceden a

la actividad mostrada en la primera columna y la última, una columna de

anotaciones, la cual se utiliza para aclarar cualquier detalle del proyecto.

La matriz de secuencia tiene también tres columnas, la primera contiene las

actividades que conforman el proyecto, la segunda contiene las actividades que

están después de la actividad de la primera columna, mientras que la tercera es

una columna de anotaciones.

Matriz de tiempos. Es la matriz que contiene el tiempo que necesita cada

actividad para completarse.

Todos los cálculos se hacen con la suposición de que los tiempos de actividad son

determinísticos. Para esto se necesita estimar tres tiempos:

a) Tiempo pesimista. Es el mayor tiempo posible en que se puede realizar una

actividad, esto como consecuencia de un desperfecto de la maquinaria o

errores de los operadores, falta de materia prima, etcétera.

b) Tiempo optimista. Es el menor tiempo posible en el que se puede realizar una

actividad, esto como consecuencia de que todos los factores sean favorables.

c) Tiempo más probable. Es el tiempo modal, es decir, es el tiempo que más se

repite en la realización de la actividad.

Con estos tres tiempos se calcula el tiempo esperado, el cual se obtiene al calcular un

promedio ponderado utilizando la siguiente fórmula:

04

6

p m

e

t t tt

+ +=

La información de los tiempos (ya sea determinístico o estocástico) se añade a la

matriz de actividades. Esto se hace creando una nueva columna, la cual contiene


el tiempo determinístico de cada actividad o el tiempo esperado de cada una de

ellas. La matriz resultante recibe el nombre de matriz de información y se utiliza

para construir la red de proyecto.

Evento. Se llama evento al momento de iniciación o terminación de una

actividad.

Red de proyecto. Es la representación gráfica del proyecto, contiene cada una de las

actividades a realizar, además de sus interrelaciones y secuencias. En este caso,

los nodos de la red son los eventos del proyecto que se conectan a través de los

arcos de la red o aristas, los cuales sólo representan la secuenciación del proyecto

y en ningún caso su longitud o forma determinan el tiempo que requiere cada

actividad.

Empecemos explicando el sistema PERT

Lo primero que nos interesa de un proyecto es hacer una estimación del tiempo

que necesitaremos para concluirlo. Una forma de realizar esta estimación es

utilizando la gráfica de Gantt, la cual es un cronograma de tiempos, en la que el eje

vertical contiene las actividades del proyecto y en el eje horizontal anotamos

el tiempo. Para graficar cada una de las actividades utilizamos el siguiente

algoritmo:

1. Se grafican las actividades iniciales, es decir, aquellas que no tienen

actividades precedentes. Para graficar cada una de las actividades se traza

una línea horizontal a la altura de donde se etiqueta la actividad, la longitud

de la recta es igual al tiempo esperado de la actividad, utilizando la escala del

eje horizontal.

2. Se grafican las actividades que tienen como precedente las actividades del

paso anterior. La línea horizontal se traza a partir de donde termina la

actividad precedente. Si una actividad depende de dos actividades o más,

tenemos que igualar la longitud de todas estas actividades a la más larga,

para ello trazamos una línea punteada.

3. Si ya no hay más actividades, entonces la gráfica está terminada, el punto del

tiempo hasta donde llega la última línea recta es la aproximación de tiempo

de terminación del proyecto. Si quedan actividades pendientes regresamos al

punto 2.


Se pide a un ingeniero la ampliación de una casa. La matriz de precedencia y de

tiempos es la siguiente:

Lo primero es calcular el tiempo esperado de cada una de las actividades, para

ello utilizamos la fórmula:

04

6

p m

e

t t tt

+ +=

Ejemplo 7


Trazamos la gráfica de Gantt:

De la gráfica se concluye que el tiempo esperado para la terminación del proyecto es de 15

días.

Una de las principales deficiencias que tiene esta técnica es que no toma en cuenta

la relación entre las actividades. El método PERT soluciona esta deficiencia al tomar

en cuenta las relaciones existentes entre las diferentes actividades y nos proporciona la ruta

crítica, es decir, identifica las actividades que repercuten directamente en el proyecto.

Algoritmo del método PERT

Dada la lista de actividades, la relación de precedencia y los tiempos pesimista,

optimista y más probable de las actividades de un proyecto, se hace lo siguiente:

1. Estimar los tiempos esperados de cada actividad.

2. Construir la red de proyectos.

Nota. Recuerda que entre dos eventos sólo debe existir una actividad, en caso

contrario se añaden actividades ficticias.

3. Determinar los tiempos para eventos. Esto es, debemos determinar la terminación

próxima y la terminación lejana de cada evento utilizando las siguientes

fórmulas:

a) La terminación próxima de un evento (TPEj) es igual a la terminación

próxima del evento anterior más el tiempo esperado de la actividad

(TEAij) del evento anterior al evento j.


TPEj = TEP

j + TEA

ij

Si hay dos trayectorias que lleguen a un evento se toma la de mayor tiempo. Al

evento inicial se le asigna una terminación próxima igual a cero (TPE0 = 0).

b) La terminación lejana de cada evento (TLEi) se calcula de derecha a

izquierda en la red y es igual a la terminación lejana del evento posterior

menos el tiempo esperado de la actividad posterior al evento i.

TLEi = TLE

j – TEA

ij

Si existen dos trayectorias que lleguen a un evento, consideramos la de menor

tiempo. Al evento final se le asigna el valor de la terminación próxima del evento

final.

La notación que se utiliza para expresar estos tiempos es una cruz arriba de cada

evento, en la parte superior izquierda se anota la terminación próxima y del lado

superior derecho la terminación lejana.

4. Calcular los tiempos para las actividades.

Terminación próxima (TPA), es igual a la terminaciòn próxima de la actividad

más la duración de ésta.

TPAij = TPE

j + TEA

ij

Con estos tiempos podemos calcular la holgura de cada actividad, la cual se

define como: la diferencia entre la terminación próxima y la terminación lejana.

Hij = TPA

ij –TLE

j

5. La ruta crítica está formada por las actividades que tienen una holgura igual a cero.


6. Debido a la naturaleza probabilística de los tiempos en cada actividad, no podemos

tener un tiempo exacto de terminación T, en su lugar debemos calcular el intervalo

donde esperamos que “caiga” el tiempo. Para ello utilizamos las siguientes fórmulas

para calcular la esperanza y la varianza de la variable que mide el tiempo en que se

realiza el proyecto:

− − = varianza de la ésima actividad6

p ot t

i

2

=∑rutacrítica

( )e

E T T

=∑rutacrítica

var( ) vari

T

Hallar la ruta crítica del siguiente proyecto:

Un ingeniero eléctrico debe hacer una instalación eléctrica en una ampliación

realizada a una fábrica. A continuación se presenta la matriz de precedencia y

tiempos estimados en días.

Ejemplo 8


1. Estimamos los tiempos esperados de cada actividad.

2. Construimos la red del proyecto.

3. Calculamos los tiempos de cada evento, utilizando la siguiente tabla.


4. Una vez que calculamos los tiempos de los eventos, calculamos los tiempos

para las actividades, para ello utilizamos la siguiente tabla:

5. De la tabla anterior concluimos que la ruta crítica está formada por los eventos

A, B y E, es decir:

RC = A + B + E

Por lo tanto el ingeniero debe tener especial cuidado en:

• La colocación de los ductos para el cableado.• Colocación de cables.• Colocación de contactos y arrancadores.

Para que, de esta manera, el proyecto se lleve a buen término. El tiempo esperado

para la terminación del proyecto es:

E(T) = 1.5 + 2 + 3 = 6.5 días

= + + =1 1 1 1( )

36 9 9 4V T

Por lo tanto, el tiempo esperado para la terminación del proyecto es de 6.5 días, con una

desviación estándar de 0.5 días. La variable tiempo de terminación se puede ajustar

a una distribución normal con media 6.5 y desviación estándar de 0.5 días. Si

tomamos el intervalo formado por la media menos la desviación estándar y la

media más la desviación estándar, sabemos que dentro de este intervalo tendremos

68.27% de los datos, es decir, tenemos 68.27% de probabilidad de que el tiempo

de terminación esté dentro del intervalo [6,7].


Ejercicios

El problema de la ruta más corta

1. Determina con el algoritmo de la ruta más corta, la ruta a seguir desde el

origen “A” hasta el destino “G”. Las distancias están dadas en kilómetros

sobre los arcos de la red.

2. Determina con el algoritmo de la ruta más corta, la ruta a seguir desde el origen

“A” hasta el destino “H”. Las distancias están dadas en kilómetros sobre los

arcos de la red. ¿Existe sólo una “ruta más corta” para este ejercicio?


3. El siguiente diagrama representa las posibles rutas que se pueden seguir para

llegar del origen A al destino K. Las distancias representan kilómetros entre

cada nodo. Utiliza el algoritmo de la ruta más corta e indica la ruta y la

distancia mínima que se recorre sobre la misma.

Flujo máximo

1. Considera los ujos de la siguiente red y determina la trayectoria de aumento para el problema de ujo máximo.


2. Determina la trayectoria de aumento para el problema de ujo máximo asociado al siguiente diagrama:

3. ¿Cuál es el ujo máximo en la siguiente red?

Flujo restringido de costo mínimo

1. El siguiente diagrama corresponde a una red con ujos máximos permisibles y costo unitario señalados en cada arco de la red. Utiliza el diagrama para:


a) Obtener el modelo matemático de ujo restringido de costo mínimo. b) Resolver el sistema de ecuaciones resultante del modelado.

c) Indicar el valor de cada ujo y el costo del modelo.

2. El siguiente diagrama corresponde a una red con ujos máximos permisibles y costo unitario señalados en cada arco de la red. Utiliza el diagrama para:

a) Obtener el modelo matemático de ujo restringido de costo mínimo. b) Resolver el sistema de ecuaciones resultante del modelado.

c) Indicar el valor de cada ujo y el costo del modelo.


3. El ujo de capital dentro de una empresa, necesario para llevar a cabo dos proyectos de reingeniería, tiene dos fuentes de nanciamiento (b

1 y

b2), las cuales activan los procesos en los diferentes departamentos de la

empresa (nodos 1 a 10), los departamentos generan insumos necesarios

para la reingeniería pero esto involucra un costo. Así las cosas, es necesario

determinar el ujo restringido de costo mínimo de acuerdo con los datos presentados en la siguiente red:

Aplicaciones a los negocios

Caso práctico

Un gran corporativo, desde su país de origen, desea nanciar dos de sus sucursales más importantes ubicadas en diferentes países cada una, para esto requiere utilizar

una estrategia que le permita satisfacer las necesidades de nanciamiento de cada sucursal, las cuales ascienden a $5,000,000.00 y $4,000,000.00 respectivamente.

Debido a la cantidad total requerida, el corporativo tomará el dinero de dos

fuentes distintas, cada una dispone de $4,500,000.00.

Debido a las regulaciones de transferencias internacionales de recursos, el

corporativo utilizará tres agencias del mercado de dinero para realizar las

operaciones y así cumplir con los niveles máximos permisibles de traslados de

dinero establecidos para cada agencia y país.

Cada una de las fuentes puede transferir dinero a dos de las tres agencias (sólo

una de las tres agencias es común), y sólo dos agencias pueden transferir fondos

a la tercera agencia (esta agencia es común a las dos primeras). Cada agencia

tiene un máximo permisible de transferencia de dinero para poder garantizar los


costos que maneja, razón por la cual no deberá exceder tal límite. Una vez que

las agencias han realizado las operaciones de recibir el dinero de las fuentes y las

transferencias permitidas entre las agencias, se deben determinar los ujos que cada una de las tres agencias enviará a cada una de las dos sucursales.

Los ujos de capital máximos permisibles, así como el costo asociado a cada transferencia y las operaciones permitidas entre agencias, están dados en las

siguientes tablas:

Tabla6.2. Indicaelujomáximoycostosdesdelasfuentesalasagencias:

Fuente Agencia Flujo máximo en millones Costo unitario por millón transferido

F1A1 8 1000

A2 6 1500

F2A2 3 1200

A3 1.5 1150

Tabla6.3. Indicaelujomáximoycostosdesdelasagenciasalaagenciacomún:

Agencia Agencia Flujo máximo en millones Costo unitario por millón transferidoA1 A2 3 1000

A3 A2 2 1000

Tabla6.4. Indicaelujomáximoycostosdesdelasagenciaslosdestinos:

Agencia Destino Flujo máximo en millones Costo unitario por millón transferidoA1 D1 6 1200

A2 D1 10 1300

A2 D2 6 1500

A3 D2 1 1500

El gerente responsable de la operación debe determinar la cantidad a transferir

desde las fuentes a cada agencia, así como el ujo entre agencias (si es que éste existe) y satisfacer los requerimientos de nanciamiento de las dos sucursales al menor costo posible.

Resuelve el problema con apoyo de un procesador de cálculos.


Algoritmo PERT

Califica como verdadera (V) o falsa (F) cada una de las siguientes

proposiciones:

1. Las actividades de la ruta crítica son ____

las que limitan la duración del proyecto.

2. Las actividades que están en la ruta ____

crítica tienen un tiempo de holgura diferente de cero.

3. PERT utiliza tiempos determinísticos de cada actividad. ____

4. La terminación lejana de una actividad es igual a la

terminación lejana del evento en que termina la actividad. ____

5. La ruta crítica está formada por las actividades

que tienen una holgura igual a cero. ____


Autoevaluación

1. Es un conjunto de puntos y líneas que unen ciertos pares de puntos. Los

puntos se llaman nodos (o vértices):

a) Diagrama.

b) Grafo.

c) Red.

d) Flujo máximo.

2. A una red en la que cada par de nodos está conectado, se le conoce como:

a) Red conexa.

b) Red convergente.

c) Red de proyecto.

d) Red de ujo. 3. La trayectoria con la distancia mínima total desde el origen hasta el destino,

es el objetivo del algoritmo de:

a) Flujo máximo.

b) La ruta más corta.

c) Flujo restringido.

d) Transporte.

4. ¿Cuántas columnas de datos se utilizan en la tabla para aplicar el algoritmo

de la ruta más corta?

a) Seis.

b) Siete.

c) Cinco.

d) Ocho.


5. ¿Cuál es la capacidad residual después de aplicar un ujo de 6 unidades al siguiente diagrama?

a)

b)

c)

d)

6. El ujo que se asigna a una trayectoria de aumento corresponde al valor: a) Del mínimo de la capacidad residual de la trayectoria.

b) Del ujo total de la capacidad residual de la trayectoria. c) Del ujo requerido en la trayectoria de aumento. d) Del máximo de la capacidad residual de la trayectoria.

7. ¿Qué modelo tiene por objetivo “minimizar el costo de transporte

satisfaciendo tanto las demandas de los consumidores como las restricciones

de ujo en los conductos de la red”?

a) Modelo al costo de transporte.

b) Modelo de ujo restringido a costo factible. c) Modelo de costo mínimo.

d) Modelo de ujo restringido a costo mínimo.


8. ¿Qué variables se utilizan en la función objetivo del modelo de ujo restringido a costo mínimo? Las variables de costo por unidad de ujo, capacidad de ujo y ujo neto generado pertenecen al modelo:

a) Costo por unidad de ujo y capacidad de ujo en el arco. b) Costo por unidad de ujo y ujo neto generado. c) Costo por unidad de ujo y ujo máximo en el arco. d) Costo por unidad de ujo y ujo en el arco. 9. ¿Qué valores puede tomar la variable “ :

ib ujo neto generado del nodo i”?

a) Positiva o cero.

b) Negativa o cero.

c) Positiva, negativa o cero.

d) Positiva, negativa y cero.

10. Un problema balanceado es aquel que cumple la condición de que:

a) El ujo máximo de la red debe ser igual a la demanda total de la misma. b) La producción total de la red debe ser igual a la demanda total de la misma.

c) El ujo total de la red debe ser igual a la demanda total de la misma. d) La producción total de la red debe ser igual a la oferta total de la misma.

11. Después de aplicar el método de PERT obtenemos los siguientes tiempos de

holgura para cada actividad del proyecto.

La ruta crítica está formada por las actividades:

a) A + B + C +D + E

b) A + D

c) C + D + E

d) B + C + E


Respuestas a los ejercicios

El problema de la ruta más corta

1. La ruta más corta desde el nodo destino hacia el nodo origen, es G→ E→C→D→A,

con una distancia total de 10 kilómetros.

2. La ruta más corta desde el nodo destino hacia el nodo origen, es H→G→ E→B→A

ó H→F→ E→B→A, con una distancia total de 20 kilómetros para ambas

rutas.

3. La ruta más corta desde el nodo destino hacia el nodo origen, es K→J→I→G→F→C→D→A, con una distancia total de 47 kilómetros

Flujo máximo

1. El ujo máximo es 12 unidades.


2. El ujo máximo es de 5 unidades.

3. El ujo máximo es de 22 unidades.


Flujo restringido de costo mínimo

1. El valor de las variables de decisión y del costo mínimo está dado por:

14 50x = 15 125x = 23 150x = 25 100x = 35 0x = 37 150x = 45 0x = 46 50x = 56 175x = 57 50x = Con un costo total mínimo de min $11,275.00Z = 2.

14 300x = 15 137.5x = 23 200x = 25 237.5x = 35 0x = 37 200x = 45 0x = 46 300x = 56 300x = 57 75x = Con un costo total mínimo de min $8,312.50Z =


3.

14 50x = 15 300x = 23 200x = 25 150x = 35 0x = 36 200x = 45 0x = 48 50x = 56 150x = 57 100x = 58 200x = 67 250x = 69 100x = 78 50x = 79 100x = 710 200x = 810 300x = Con un costo total mínimo de min $13,500.00Z = .

Aplicación a los negocios

Caso práctico

Fuente Agencia Flujo solución en millones Costo del ujo por millón transferidoF1

A1 4.5 4500

A2 0 0

F2A2 3 3600

A3 1.5 1725

Subtotal 9825


Agencia Agencia Flujo solución en millones Costo del ujo por millón transferidoA1 A2 0 0

A3 A2 0.5 500

Subtotal 500

Agencia Destino Flujo solución en millones Costo del ujo por millón transferidoA1 D1 4.5 5400

A2 D1 0.5 650

A2 D2 3 4500

A3 D2 1 1500

Subtotal 12050

Total $22,375.00

En la tabla se muestran los ujos solución para cada transferencia, lo cual implica un costo total mínimo de $22,375.00, por el proceso de nanciar dos sucursales, a partir de dos fuentes de recursos nancieros, utilizando tres agencias del mercado de dinero para este n.Algoritmo PERT

1. V

2. F

3. F

4. V

5. V

Respuestas a la autoevaluación

1. c)

2. a)

3. b)

4. b)


5. c)

6. a)

7. d)

8. d)

9. c)

10. b)

11. d)

matenegocios unidad 6

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