MATEMÁTICAS Nombres y apellidos: ________________________________________________________ Grado y grupo: _____________ Fecha: ____________________ Nota: Realizar un resumen en sus respectivos cuadernos acerca de los siguientes temas de matemática (álgebra). OBJETIVOS: - Comprender el uso de las fracciones algebraicas, así como la suma y resta en la vida cotidiana. - Resolver ejercicios de suma y resta de fracciones algebraicas. - Reflejar entusiasmo para desarrollar actividades en casa. METODOLOGÍA: - Luego de lavarte las manos, leerás la guía que está a continuación. - Recuerda usar tapabocas y soluciona los incisos del cuestionario. - No saludes de abrazo, solucionaremos tus dudas en el WhatsApp o por correo.

FRACCIONES ALGEBRAICAS Son expresiones de la forma a/b con b diferente de cero, y tanto el denominador como numerador son polinomios algebraicos de una o varias variables. Son también llamadas fracciones algebraicas racionales. Ejemplos:

𝑥

5;

𝑥2

3𝑥;

4𝑥2𝑦

−5;

𝑥2 + 3𝑥 + 1

2𝑥2 − 5;

√𝑥3 − 2𝑥

3𝑥 − 4;

3

𝑥2 + 4𝑥

MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE EXPRESIONES

ALGEBRAICAS Se halla el máximo común divisor (M.C.D) de las partes numéricas y luego se escriben las letras comunes con su menor exponente. Si la parte literal son polinomios factorizables, entonces se descomponen en sus factores primos y se toman los comunes con su menor exponente. Ejemplo práctico: Determinar el M.C.D. de 6𝑥2𝑦3 ; 12𝑥4𝑦 Primero se halla el M.C.D. de los coeficientes numéricos 6 y 12 de la siguiente forma.

Donde el M.C.D. de 6 y 12 son los factores primos comunes con su menor exponente, es decir, los factores

primos que se repiten tomando el menor exponente. El M.C.D. de los coeficientes numéricos 6 y 12 es el siguiente:

M.C.D. numérico = 2x3 = 6 Ahora, para hallar el máximo común divisor de las letras se toman las letras comunes con su menor exponente, es decir:

M.C.D. literal = 𝒙𝟐𝒚 Teniendo el M.C.D. numérico y literal se puede hallar el M.C.D. total de la siguiente manera:

M.C.D. = 6𝒙𝟐𝒚 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE EXPRESIONES

ALGEBRAICAS Se halla primero el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los coeficientes numéricos y luego se le agregan las letras comunes y no comunes, de las expresiones dadas, con su mayor exponente. Si la parte literal de las expresiones son polinomios factorizables, entonces, se efectúa la factorización y se toman los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo práctico 1: Determinar el m.c.m. de 6𝑥2𝑦3 ; 12𝑥4𝑦 Primero se halla el m.c.m. de los coeficientes numéricos 6 y 12 de la siguiente forma.

m.c.m. numérico = 𝟐𝟐. 𝟑 = 𝟏𝟐

Ahora se halla el m.c.m. de las letras, en este caso se toman las letras comunes y no comunes con el mayor exponente.

m.c.m. literal = 𝒙𝟒𝒚𝟑 Teniendo el m.c.m. numérico y literal se puede hallar el m.c.m. total de la siguiente manera:

m.c.m. = 𝟏𝟐𝒙𝟒𝒚𝟑 Ejemplo práctico 2: Determinar el m.c.m. de 𝑥2 + 9𝑥 +20; 𝑥2 − 16 ; 4x + 16. Como las expresiones son polinomios se deben factorizar:

𝑥2 + 9𝑥 + 20 = (𝑥 + 5)(𝑥 + 4) 𝑥2 − 16 = (𝑥 + 4)(𝑥 − 4)

4x + 16 = 4(x+4) El m.c.m. son los factores comunes y no comunes con su mayor exponente:

m.c.m. = 4(𝒙 + 𝟓)(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒) Para ampliar un poco más la información puedes ver los siguientes vídeos que se encuentran en YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=d94o3_yJ2RQ https://www.youtube.com/watch?v=B6eiap_sTW8

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS La suma o resta de fracciones algebraicas se puede dar con igual denominador (homogéneas) y con diferente denominador (heterogéneas). Para la suma y resta de fracciones algebraicas homogéneas se procede así: Ejemplo 1:

7𝑚

5𝑚2+

2

5𝑚2=

(7𝑚 + 2 ) → 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟

5𝑚2 → 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟

Como se puede observar, cuando las dos fracciones tienen el mismo denominador, se deja el mismo denominador y se suman los numeradores. Para la suma y resta de fracciones algebraicas heterogéneas se procede así:

Ejemplo 2: Resolver 3𝑎

2𝑏−

5𝑎

3𝑏2

Como se puede observar los denominadores de las dos fracciones son diferentes. Para resolver la resta de fracciones algebraicas se puede proceder por dos métodos diferentes. Método 1: Multiplicación en cruz.

3𝑎

2𝑏−

5𝑎

3𝑏2=

(3𝑎)(3𝑏2) − (5𝑎)(2𝑏)

(2𝑏)(3𝑏2)

=9𝑎𝑏2 − 10𝑎𝑏

6𝑏3

=𝑏(9𝑎𝑏 − 10𝑎)

6𝑏. 𝑏. 𝑏

=9𝑎𝑏 − 10𝑎

6𝑏2

Método 2: Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Primero se halla el m.c.m. de los denominadores, de 2b y 3𝑏2

m.c.m.= 6𝑏2 Luego, la resta de las dos fracciones algebraicas heterogéneas se realiza de la siguiente manera:

3𝑎

2𝑏−

5𝑎

3𝑏2=

(3𝑎)(3𝑏) − (5𝑎)(2)

6𝑏2

=9𝑎𝑏 − 10𝑎

6𝑏2

Ejemplo 3: Resolver

2𝑥

𝑥2 + 5𝑥 + 6+

5𝑥

𝑥2 − 9

Primero se factorizan los denominadores: 2𝑥

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)+

5𝑥

(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

Luego se halla el m.c.m. de los denominadores: (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

Luego se transforman los numeradores: 2𝑥(𝑥 − 3)

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)+

5𝑥(𝑥 + 2)

(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

Después, se opera como en la suma de homogéneos: 2𝑥(𝑥 − 3) + 5𝑥(𝑥 + 2)

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)

Después, en los numeradores se multiplican los monomios por los binomios:

2𝑥2 − 6𝑥 + 5𝑥2 + 10𝑥

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)

Por último, se simplifican los términos semejantes en los numeradores:

7𝑥2 + 4𝑥

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)

Para ampliar un poco más la información puedes ver los siguientes vídeos que se encuentran en YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=NQIfAMMA2gI https://www.youtube.com/watch?v=HTaqiftJyi4 https://www.youtube.com/watch?v=EX3albjOKQs Ahora si quieres profundizar un poco más en la suma y/o resta de fracciones algebraicas puedes ver los siguientes videos que se encuentran en YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=QYygZSKSoss https://www.youtube.com/watch?v=mNQSFmtkHNY https://www.youtube.com/watch?v=skt7INKJ6qg FORMAS DE ENTREGA DEL TRABAJO La evaluación la puedes entregar de tres formas distintas: 1. Imprimir el documento, leer, contestar las preguntas y luego enviar la actividad por correo o por WhatsApp (escaneado o fotos del documento). 2. Realizar la actividad en el mismo documento de Word y luego enviarlo por correo o por WhatsApp. 3. Realizarlo de forma virtual, para eso dar clic al siguiente enlace. (En el cuestionario aparecerán 10 preguntas, donde tú puedes elegir 5 para contestar) Que no se te olvide escribir tu nombre, apellido, grado y grupo. https://learningpaths.symbaloo.com/start?accessCode=95283 Si eliges la opción 1 o 2 para entregar el trabajo debes seguir las siguientes recomendaciones: Enviar la actividad al correo oscarddg2@hotmail.com o al WhatsApp 3137382010.

AUTOEVALUACIÓN A continuación tendrás un cuestionario donde podrás autoevaluar tu aprendizaje, en el cuestionario aparecerán unas preguntas con su respectiva respuesta, en lo cual deberás desarrollar el ejercicio para llegar a la respuesta dada por el docente. 1. Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de las siguientes expresiones algebraicas 30𝑚3𝑛 ; 42𝑚2𝑛2 Respuestas: M.C.D. = 6𝑚2𝑛 ; m.c.m. = 210𝑚3𝑛2 2. Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de las siguientes expresiones algebraicas 𝑥2 + 8𝑥 + 15 ; 𝑥2 + 6𝑥 + 9 Respuestas: MC.D. = 𝑥 + 3 ; m.c.m. = (𝑥 + 5)(𝑥 + 3)2 3. Efectúa y simplifica la siguiente operación de suma de fracciones algebraicas.

5𝑎

2𝑎2+

1

2𝑎2

Respuesta: 5𝑎+1

2𝑎2

4. Efectúa y simplifica la siguiente operación de resta de fracciones algebraicas.

𝑚 − 3𝑛

8𝑚−

𝑛 − 𝑚

3𝑛

Respuesta: 8𝑚2−5𝑚𝑛−9𝑛2

24𝑚𝑛

5. Efectúa y simplifica la siguiente operación de suma de fracciones algebraicas.

2

(𝑥 + 2)+

5

𝑥2 + 4𝑥 + 4

Respuesta: 2𝑥+9

(𝑥+2)2

EVALUACIÓN Antes de hacer la evaluación te recomiendo que hagas la autoevaluación del tema, que practiques y ejercites con otros ejercicios, para que así puedas resolver el test atinándole a las respuestas correctas. Responder las preguntas 1 y 2 de acuerdo al siguiente enunciado. Se desea cortar los siguientes trozos de maderas en partes iguales y de la mayor longitud posible. El trozo de madera A mide 240𝑥2𝑦3𝑧2, el trozo de

madera B mide 360𝑥4𝑦2𝑧5 y el trozo de madera C mide 348𝑥3𝑦𝑧3.

1. ¿Cuál será la longitud máxima de cada pieza?

a. 24𝑥2𝑦𝑧2 b. 12𝑥2𝑦𝑧2

c. 20𝑥3𝑦3𝑧5 d. 120𝑥4𝑦3𝑧3

2. ¿Cuántas partes se obtendrán de cada pieza? a. A = 30𝑦2, B = 29𝑥𝑧 y C = 20𝑥2𝑦𝑧3 b. A = 29𝑥𝑧 , B = 30𝑥2𝑦𝑧3 y C = 29𝑦2

c. A = 20𝑦2, B = 29𝑥2𝑦𝑧3 y C = 30𝑥𝑧 d. A = 20𝑦2, B = 30𝑥2𝑦𝑧3 y C = 29𝑥𝑧

Responder las preguntas 3 y 4 de acuerdo al siguiente enunciado. Con cada una de las baldosas (A y B), se desea realizar un cubrimiento de una misma región, de tal manera que la cubra totalmente. Se tiene que el área de la baldosa A es 𝑥2 + 13𝑥 + 40 y el área de la baldosa B es 3𝑥2 + 16𝑥 +5.

3. ¿Cuál es la expresión algebraica de la región mínima para realizar el cubrimiento?

a. (𝑥 + 8)(3𝑥 + 5)(𝑥 + 1) b. (3𝑥 + 5)(𝑥 + 1)(𝑥 + 8) c. (3𝑥 + 1)(𝑥 + 5)(𝑥 + 8) d. (𝑥 + 5)(𝑥 + 1)(3𝑥 + 8)

4. Si x = 2 ¿Cuántas baldosas de A y de B se necesitan para realizar el cubrimiento?

a. 𝐴 = 7 𝑦 𝐵 = 10 b. 𝐴 = 10 𝑦 𝐵 = 7 c. 𝐴 = 12 𝑦 𝐵 = 6 d. 𝐴 = 8 𝑦 𝐵 = 14

5. El largo y el ancho de un terreno miden:

𝐿 = 𝑎3

𝑎2 − 𝑏2

𝐴 = 𝑏3

𝑎2 − 𝑏2

¿Cuál sería el perímetro del terreno?

a. 4(𝑎3 + 𝑏3) (𝑎2 − 𝑏2)⁄ b. 2(𝑎3 − 𝑏3) (𝑎2 − 𝑏2)⁄ c. 2(𝑎3 − 𝑏3) (𝑎2 + 𝑏2)⁄ d. 2(𝑎3 + 𝑏3) (𝑎2 − 𝑏2)⁄

BIBLIOGRAFÍA Centeno, G., Centeno, H., Jimenez, N., Gonzalez, F. y Robayo, M. F. (1994). Matemática constructiva 8. Santa Fe de Bogotá: Editorial Libros & Libres S.A. Ramírez, M., Acosta, M. L., Perdomo, A. C., Ortiz, L. G., Cell, V., De Armas, R., Castaño, J. O., Gamboa, J. G. y Jiménez, J. C. (2013). Los caminos del saber 8. Bogotá: Editorial Santillana S.A.

GEOMETRÍA Y ESTADÍSTICA Nombres y apellidos: ________________________________________________________ Grado y grupo: _____________ Fecha: ____________________ Nota: Realizar un resumen en sus respectivos cuadernos acerca de los siguientes temas de geometría y estadística

OBJETIVOS: - Comprender los ángulos formados entre paralelas y una diagonal. - Comprender cuando dos sucesos son compatibles. - Reflejar entusiasmo para desarrollar actividades en casa. METODOLOGÍA: - Luego de lavarte las manos, leerás la guía que está a continuación. - Recuerda usar tapabocas y soluciona los incisos del cuestionario. - No saludes de abrazo, solucionaremos tus dudas en el WhatsApp o por correo.

GEOMETRÍA ÁNGULOS FORMADOS POR PARALELAS Y UNA

SECANTE Al cortar dos rectas con una secante se forman ocho ángulos, los cuales se representan por letras minúsculas; éstos se clasifican por parejas de acuerdo con la posición que tienen con la secante. 1. Ángulos colaterales o conjugados internos: son los ángulos que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro de las rectas.

Los ángulos colaterales o conjugados internos son:

2. Ángulos colaterales o conjugados externos: son aquellos que se encuentran del mismo lado de la secante y fuera de las rectas.

Los ángulos colaterales o conjugados externos, son:

3. Ángulos correspondientes: son los ángulos que se encuentran en un mismo lado de la secante, formando parejas, un interno con un externo.

Los ángulos correspondientes son:

4. Ángulos alternos internos: son los ángulos interiores que se encuentran en uno y otro lado de la secante.

Los ángulos alternos internos:

5. Ángulos alternos externos: son los ángulos exteriores que se encuentran en uno y otro lado de la secante.

Los ángulos alternos externos son:

6. Ángulos opuestos por el vértice: son aquellos que tienen en común el mismo vértice y se oponen uno al otro.

Los ángulos opuestos por el vértice son:

Si las rectas cortadas por la secante son paralelas, los ángulos tienen las siguientes relaciones: 1. Los ángulos colaterales o conjugados son suplementarios, esto es, suman 180°:

2. Los ángulos correspondientes tienen la misma medida, es decir, son congruentes:

3. Los ángulos alternos tienen igual medida, es decir, son congruentes:

4. Los ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida, esto es son congruentes:

Si se traza una secante a dos rectas paralelas y se conoce la medida de uno de los ángulos, es posible determinar la medida de los otros. Obsérvese el siguiente ejemplo:

Como los ángulos colaterales son suplementarios y los ángulos e y h son colaterales, entonces:

Los ángulos correspondientes son congruentes, por lo tanto:

Entonces,

Los ángulos alternos son congruentes entonces:

por lo tanto:

Para ampliar un poco más la información puedes dar clic a los siguientes enlaces. https://www.youtube.com/watch?v=YmeL3BCdFdM http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/telesec/curso2/htmlb/sec_55.html http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/plan_choco/mat_8_b2_s6_est.pdf

ESTADÍSTICA SUCESOS O EVENTOS COMPATIBLES

Los Sucesos Compatibles (o Eventos Compatibles) son aquellos que tienen sucesos elementales en común. Por ejemplo: Al tirar un dado, el suceso A = salir un número par y el suceso B = salir un número mayor que 3 son compatibles ya que tienen en común los sucesos elementales 4 y 6.

Ejemplos de Sucesos Compatibles: Veamos algunos ejemplos para entender mejor el concepto de suceso compatible: Al tirar un dado, que salga un número par y mayor que 3 Suceso A = salir un número par = {2, 4, 6} Suceso B = salir un número mayor que 3 = {4, 5, 6} Sucesos elementales comunes = {4, 6} Ilustrándolo con el diagrama de Venn sería:

Al tirar dos monedas, que salga al menos una cara y que salgan dos resultados iguales Suceso A = salir al menos una cara = {cara-cara, cara-cruz, cruz-cara} Suceso B = salir dos resultados iguales = {cara-cara, cruz-cruz} Sucesos elementales comunes = {cara-cara} Ilustrándolo con el diagrama de Venn sería:

Para ampliar un poco más la información puedes dar clic al siguiente enlace. https://www.matematicas10.net/2017/02/ejemplos-de-sucesos-compatibles.html FORMAS DE ENTREGA DEL TRABAJO La evaluación la puedes entregar de tres formas distintas: 1. Imprimir el documento, leer, contestar las preguntas y luego enviar la actividad por correo o por WhatsApp (escaneado o fotos del documento). 2. Realizar la actividad en el mismo documento de Word y luego enviarlo por correo o por WhatsApp. 3. Realizarlo de forma virtual, para eso dar clic al siguiente enlace. (En el cuestionario aparecerán 10 preguntas, donde tú puedes elegir 5 para contestar)

Que no se te olvide escribir tu nombre, apellido, grado y grupo. https://learningpaths.symbaloo.com/start?accessCode=74508 Si eliges la opción 1 o 2 para entregar el trabajo debes seguir las siguientes recomendaciones: Enviar la actividad al correo oscarddg2@hotmail.com o al WhatsApp 3137382010 al docente Oscar Gómez. EVALUACIÓN Responder las preguntas de la 1 hasta la 3 de acuerdo a la siguiente imagen

1. ¿Cuál es la pareja de ángulos correspondientes?

a. ∢1 y ∢3 b. ∢2 y ∢5 c. ∢1 y ∢2 d. ∢5 y ∢6

2. Sabiendo que las rectas m y n son paralelas. ¿Cuáles son los valores numéricos de los ángulos desconocidos?

a. ∢1 = 118°, ∢2 = 62°, ∢3 = 118°, ∢4 =

62° 𝑦 ∢5 = 118° b. ∢1 = 65°, ∢2 = 115°, ∢3 = 65°, ∢4 =

115° 𝑦 ∢5 = 65° c. ∢1 = 120°, ∢2 = 60°, ∢3 = 120°, ∢4 =

60° 𝑦 ∢5 = 120° d. ∢1 = 62°, ∢2 = 118°, ∢3 = 62°, ∢4 =

118° 𝑦 ∢5 = 62° 3. Sabiendo que las rectas m y n son paralelas. ¿Cuáles son los valores numéricos de los ángulos desconocidos?

a. ∢1 = 118°, ∢2 = 62°, ∢3 = 118°, ∢4 =62° 𝑦 ∢5 = 118°

b. ∢1 = 65°, ∢2 = 65°, ∢3 = 65°, ∢4 =115° 𝑦 ∢5 = 65°

c. ∢1 = 115°, ∢2 = 65°, ∢3 = 115°, ∢4 =65° 𝑦 ∢5 = 115°

d. ∢1 = 62°, ∢2 = 118°, ∢3 = 62°, ∢4 =118° 𝑦 ∢5 = 62°

Responder las preguntas 4 y 5 de acuerdo al siguiente enunciado. Se tiene el siguiente experimento aleatorio, al tirar un dado se desea que salga un número impar y menor que 5. En lo cual se tiene que el conjunto del suceso aleatorio A son los elementos de que salga un número impar, y el conjunto del suceso aleatorio B son los elementos de que salga un número menor que 5. 4. ¿Cuáles son los elementos del conjunto A y B?

a. 𝐴 = {1,3,4} 𝑦 𝐵 = {1,2,4,6} b. 𝐴 = {1,2,4} 𝑦 𝐵 = {1,2,6,7} c. 𝐴 = {1,3,5} 𝑦 𝐵 = {1,2,3,4} d. 𝐴 = {1,3,5} 𝑦 𝐵 = {1,2,4,5}

5. ¿Cuáles son los elementos de los sucesos elementales comunes?

a. 𝐴 ∩ 𝐵 = {1,3} b. 𝐴 ∩ 𝐵 = {1,5} c. 𝐴 ∩ 𝐵 = {2,3} d. 𝐴 ∩ 𝐵 = {4,5}

Nota: Realizar el diagrama de Venn.