matemáticas financieras iijoseluisperez.sealapiedad.edu.mx/assets/matefinancieras2... · 2019. 12....
TRANSCRIPT
MATERIA: MATEMÁTICAS
FINANCIERAS II
BLOQUE II. :
ASESOR:
M.T.E. JOSÉ LUIS PÉREZ GARCÍA
Correo electrónico del asesor [email protected]
Página web para los materiales joseluisperez.sealapiedad.edu.mx
SIMBOLOGÍA Icono Descripción
Este icono te invita a que prestes especial atención al tema tratado. Sé cuidadoso en estos puntos, debido a que, por su relevancia, debes enfocarte un poco más en ellos.
Cuando este icono aparezca en tus guías de estudio significa que tu maestro de asignatura te está haciendo una invitación a que, por medio de una lectura detallada, logres tus objetivos de aprendizaje.
Mediante este icono te podrás dar cuenta de los espacios en que se implementarán actividades donde se valoren los conocimientos que has construido.
En esta sección de la guía encontrarás diversos elementos que te permitirán practicar lo aprendido, incluidos, por ejemplo, resúmenes, mapas mentales, ejercicios, tareas, reportes de lecturas, etc.
Es fundamental que este icono lo tengas en consideración, debido a que te indicará aspectos de tu guía que debes analizar cuidadosamente, gracias a su importancia en el desarrollo adecuado de los temas estudiados.
Este símbolo hace énfasis en aquellos aspectos de la guía que no debes dejar pasar por alto, debido a la enorme importancia que implican para el avance de tu guía.
Esta sección de tu guía hace referencia a aquellas actividades que has realizado y que deben ser “almacenadas” como evidencia de tu avance académico. Es importante que guardes estos elementos, debido a que podrán ser requeridos durante toda tu estancia en el bachillerato y con cualquiera de tus maestros y sus respectivas asignaturas.
OBLIGACIÓN
Al enviar un mensaje de correo electrónico al asesor debes asegurarte que lo envíes con la siguiente información en el apartado Asunto o subject. Nombre de la actividad, nombre de la asignatura y tu nombre completo.
Tipos de anualidades.
2
Anualidades.
1
CONTENIDO
Evaluación Diagnóstica
Sistema de Evaluación
Contesta con cuidado, conscientemente y de manera reflexiva.
1. ¿Qué es una anualidad?
2. ¿Qué periodos se consideran anualidad?
3.
Para ti, ¿cuál sería un ejemplo de anualidad?
Que se te calificará:
Examen 40 %.
Ejercicios y actividades 60 %.
Anualidad El término anualidad, no es nada ajeno a la vida diaria, ya que cualquier
persona tiene vigente por lo general alguna deuda de este tipo, por ejemplo: la
mayoría de la gente al comprar una casa, lo hace con dinero prestado generalmente
por instituciones bancarias o de crédito (bancos, Infonavit, financieras, Fonacot,
etc.) que se compromete a liquidar mediante pagos mensuales durante un lapso
que varía generalmente entre 1 a 30 años. Calcular de uno en uno cada uno de los
pagos con su respectivo interés sería muy laborioso, por tal motivo, los financieros
han desarrollado fórmulas y tablas que convierten la solución de problemas que
involucran a un número muy alto de pagos, algo tan sencillo como es el manejo de
una cantidad única a pagar.
A las series de pagos mensuales equivalentes que la persona efectúa al
comprar una casa se le denomina anualidad. El pago de intereses sobre préstamos,
bonos, las primas de seguros y los pagos sobre gastos de instalación, son típicos
ejemplos de lo que es una anualidad. En general, todo conjunto de pagos de igual
denominación, a efectuarse en iguales intervalos, constituye una anualidad.
El uso de los pagos en forma de anualidad, es muy conveniente en muchas
ocasiones ya que por lo general una persona no tiene el dinero suficiente para cubrir
un pago requerido al comprar algún bien en una sola exhibición, por ejemplo, una
casa, un auto, o algún otro producto o bien cuyo costo sea elevado. El costo total
de la deuda como vimos anteriormente, se divide en pagos a plazos con cierta tasa
de interés, esto facilita por supuesto la adquisición de ciertos tipos de productos o
bienes que pueden ser adquiridos de esta forma.
Concluimos entonces, que es de vital importancia el conocimiento sobre este tema,
ya que cualquier persona en algún momento de su vida ya sea al comprar un
celular, una tablet o bien una casa, un auto, la renta de algún bien inmueble, tendrá
que pagar algún tipo de anualidad; por ello es conveniente para los intereses
personales el conocer y qué mejor saber calcularlos, mediante las fórmulas que
veremos en este tema.
Anualidades
Es una sucesión de pagos generalmente iguales que se realizan a intervalos
de tiempo iguales y con interés compuesto, es decir, un conjunto de pagos iguales
realizados a intervalos iguales de tiempo.
Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes
características:
1. Todos los pagos son de igual valor. 2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.
3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma
tasa.
4. El número de pagos debe ser igual al número de períodos.
La palabra anualidad indica periodos anuales; teniendo como frecuencia
cualquier otra como pueden ser:
• Mensual
• Semanal • Semestral
• Diaria
Algunos ejemplos de anualidades son:
- Pagos mensuales por la renta de un local o departamento - Cobro quincenal de sueldos - Pagos anuales a las pólizas de seguro
Elementos de las anualidades
En una anualidad intervienen los siguientes elementos:
Renta: Es el pago, depósito o retiro, que se hace periódicamente y se expresa con
“R”.
Plazo: Es la duración de la anualidad. Tiempo que transcurre entre el inicio y el fin
de la anualidad (cada uno de los periodos conforman el plazo a pagar).
Periodo de pago: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro, es decir, el
intervalo de tiempo que hay entre dos pagos sucesivos, representado por “n“.
Valor presente: Es el valor actual de un capital que no es inmediatamente exigible,
es decir, el valor equivalente de la renta al inicio del plazo. Se expresa como “C”.
Valor futuro: Es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final de la
transacción. Se expresa con “M”. Tasa: Es el tipo de interés que se fija en la
operación. Puede ser efectiva o capitalizable una vez en el año; o bien, nominal, si
se capitaliza más de una vez en el año, se expresa en porcentaje y está
representado por “i”.
Actividad a desarrollar
En clase, identifica los elementos de anualidades en la descripción del siguiente problema.
El propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un año, para rentarlo en $6,500 por mes. La renta que cobro fue de $78,000 pero decidió depositarlo en una inversión del 18% que le dio a ganar $107,000.
Clasificación y aplicación de las anualidades
Para clasificar las anualidades vamos a distinguir las cuatro clasificaciones:
Las anualidades según pagos son vencidas y anticipadas:
– Anualidades vencidas: cuando el pago correspondiente a
un intervalo se hace al final del mismo, es decir, es aquella
en la cual los pagos se hacen al final de cada periodo, por
ejemplo: el pago de salarios a los empleados, ya que
primero se realiza el trabajo y luego se realiza el pago. Se
representa así:
– Anualidades anticipadas: cuando el pago se hace al inicio del intervalo, es
decir, los pagos se hacen al principio del periodo, por ejemplo, el anticipo del
arrendamiento de una casa, ya que primero se paga y luego se habita el
inmueble.
Las anualidades para aplicarse en un contexto de tiempo son ciertas
y contingente. En estas intervienen como nombre lo dice, el tiempo,
es decir, la fecha de la anualidad de inicio y fin:
– Anualidades ciertas: Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejemplo:
al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el
primer pago, como la fecha para efectuar el último pago. Ejemplo: las tarjetas
de crédito.
– Anualidad contingente: La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o
ambas no se fijan de antemano. Ejemplo: una renta vitalicia que se obliga a un
cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge,
que no se sabe exactamente cuándo.
Las anualidades de iniciación, como su nombre lo dice es el momento
en el que inicia el pago, ya sean diferidas o inmediatas, son:
– Anualidades diferidas: La realización de los cobros o pagos se hace tiempo
después de la formalización del trato (se pospone). Ejemplo: se adquiere hoy un
artículo a crédito para pagar con abonos mensuales; el primer pago habrá de
hacerse 6 meses después de adquirida la mercancía.
– Anualidades inmediatas: Es cuando los pagos se hacen desde el primer
periodo. Ejemplo: la compra de un departamento, donde el enganche se paga
en abonos desde el día de la compra.
Las anualidades de intereses pueden ser generales o simple:
– Anualidades generales: Son aquellas que el periodo de pago no coincide con
el periodo de capitalización. Ejemplo: el pago de una renta semestral con
intereses a 30% anual capitalizable trimestralmente.
– Anualidades simples: Cuando el periodo de pago coincide con el de
capitalización de los intereses. Ejemplo: el pago de una renta mensual con
intereses a 18% capitalizable mensualmente.
Actividad a desarrollar
En clase, representa mediante un cuadro sinóptico la clasificación de las anualidades donde se identifiquen cada una de ellas, el modelo matemático, un ejemplo y una breve explicación que las defina.
Los tipos de anualidades son de monto, renta y valor presente.
Anualidades según el monto:
En las anualidades el monto es uno de los elementos que vale la pena
destacar. Los elementos que intervienen en este tipo de anualidad son: renta,
periodo y tasa, donde buscamos el valor futuro expresado por M.
Ejemplo:
¿Qué cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $10,000.00
pesos al final de cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 66% anual
convertible mensualmente?
Primero vamos a representar la situación en un diagrama de tiempo y valor:
Segundo, sustituir datos y aplicar la fórmula.
El interés i = 66% = 0.66 anual si lo convertimos a mensual sería 0.66/12 = 0.055
mensual
Aplicando la fórmula el resultado queda de la siguiente forma:
10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000
Resolución de problemas
Anualidades. Monto
En clase, transcribe los problemas en tu cuaderno y resuélvelos con el
uso de tu formulario. Aplicando la fórmula que lo resuelva.
1. ¿Cuál es el monto de $20,000 pesos semestrales depositados durante 4 años y
medio en una cuenta bancaria que rinde 48% capitalizable semestralmente?
2. Laura Díaz deposita $10,000 pesos al mes de que su hijo inició trámites para la
universidad. Continúa haciendo depósitos mensuales por esa cantidad hasta que
su hijo se gradúa, para ese día, entregarle lo acumulado como herencia. Si
durante los 6 años pagó 36% anual convertible mensualmente, ¿cuánto recibió
su hijo al graduarse?
Anualidades según el valor presente
Es el valor actual de un Capital que no es inmediatamente exigible, es decir, el valor
equivalente de la renta al inicio del plazo. Se expresa como C.
¿Cuál es el valor actual de una renta bimestral de $45,000 pesos depositados
al final de cada uno de los 7 bimestres, si la tasa de interés es de 9% bimestral?
Sustitución de datos.
C = ? R = 45,000 i = 0.09 n = 7 (el tiempo está representado en
bimestres)
Diagrama de tiempo y valor
1. ¿Cuál es el valor en efectivo de una anualidad de $10,000 pesos al final de cada
3 meses durante 5 años, suponiendo un interés anual de 56% convertible
trimestralmente?
2. ¿Qué es más conveniente para comprar un automóvil?
- Pagar $600,000 pesos de contado, o
- $250,000 pesos de enganche y $37,500 pesos al final de cada uno de los 12
meses siguientes, si el interés se calcula a razón de 62% convertible
mensualmente?
Anualidades según la renta
Se conoce como renta el pago periódico que se realiza con intervalos iguales
de tiempo, se expresa con R.
¿Cuánto debe invertir Ana Gutiérrez al final de cada mes durante los próximos
7 años en un fondo que paga 63% convertible mensualmente con el objeto de
acumular $10,000,000 pesos al realizar el último depósito?
M = 10,000,000 R = ? i = 0.63/12 = 0.0525 n = 7 (12)= 84
(el tiempo está representado en meses)
Resolución de problemas
Anualidades. Renta
En clase, transcribe los problemas en tu cuaderno y
resuélvelos con el uso de tu formulario. Aplicando la fórmula que lo resuelva.
1. Una persona debe pagar $60,000 pesos al final de cada periodo, durante dos
años. ¿Cuánto tendría que pagar a fines de cada mes para sustituir el pago
anual, si se consideran intereses a razón de 75% anual convertible
mensualmente?
2.- ¿Cuánto debe invertir José Miranda al final de cada bimestre durante los
próximos 4 años en un fondo que paga 55% convertible bimestralmente con el
objeto de acumular $20,000 pesos al realizar el último depósito?
Actividad a desarrollar
En clase, añade a tu formulario los modelos matemáticos de anualidades de monto, valor presente, rentas; y los modelos de las clasificaciones que son: vencidas, anticipadas, ciertas, contingentes y diferidas, así como los modelos matemáticos que se puedan despejarlas, no incluyas los nombres de las fórmulas, únicamente éstas.
Aplicación de modelos matemáticos en la clasificación de anualidades.
Para efectos de clase solo practicaremos algunas de las anualidades y sus
modelos matemáticos ya que son las de mayor aplicación actualmente, las cuales
serán las anualidades vencidas, anticipadas, ciertas y diferidas, que a continuación
se ejemplifican.
Las anualidades según pagos son vencidas y anticipadas:
Anualidades vencidas
También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo
indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es
decir, al final de cada periodo.
Ejemplo de valor futuro
En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1,500 pesos en una
cuenta que abona 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12
años, aumentó sus consignaciones a $3,000 pesos. Calcular la suma que tendrá a
disposición de ella a los 18 años.
Ejemplo de valor presente:
Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes
condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2
años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la última
mensualidad. Para el cálculo, utilizar 9% con capitalización mensual.
Resolución de problemas
Anualidades vencidas
En clase, transcribe los problemas en tu cuaderno y
resuélvelos con el uso de tu formulario. Aplicando la fórmula que
lo resuelva.
1. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan:
$14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un
último pago de $2.500, si se carga 12% con capitalización mensual? VP
2. Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000.000 y se estima
que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el
rendimiento del dinero es de 8%. VP
3. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona 6%
de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo
de 20 años. VF
4. Calcular el valor de contado de una computadora vendida en las siguientes
condiciones: $3,000 de contado; $500 por mensualidades vencidas durante un
año y ocho meses y un último pago de $1.500 un mes después de pagada la
última mensualidad. Para el cálculo, utilizar 6% con capitalización mensual. VF
Anualidades anticipadas
Las anualidades anticipadas generan un mayor valor actual que las vencidas,
porque el primer depósito es inmediato y producen intereses más pronto que las
vencidas.
Fórmulas de anualidades anticipadas
Valor Futuro F = Valor futuro
(1 + i )n+1 -1
F = A [ -1 ]
i n = tiempo
Valor presente A = anualidad
1 -(1 + i )-n+1
P = A [ 1 + ]
i P = Valor presente
Ejemplo de valor futuro:
Se considera una anualidad anticipada de 23 depósitos bimestrales de $1,
000 cada uno, con 4% tasa anual. Se desea calcular la cantidad que se puede
acumular en 23 bimestres, es decir, el valor futuro.
Ejemplo de valor presente:
Calcular el valor de contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con
pagos de $3,000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es de 12%
convertible mensualmente.
Resolución de problemas
Anualidades anticipadas
En clase, transcribe los problemas en tu cuaderno y resuelve
los siguientes problemas con el uso de tu formulario. Aplicando la fórmula
que lo resuelva.
1. ¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada
mes, durante 1.5 años en una cuenta de ahorros que gana 19% anual convertible
mensualmente? VP
2. José Luis pretende invertir una anualidad anticipada de 15 depósitos bimestrales
de $1,500 cada uno, con 16% tasa anual. Se desea calcular la cantidad que se
puede acumular en 15 bimestres, es decir, el valor futuro. VP.
3. Un arquitecto desea ahorrar $4,000 mensuales durante 5 años. Si sus ahorros
ganan 5.4% convertible mensualmente, ¿cuánto habrá acumulado al mes
siguiente del último depósito? VF.
4. María Luisa vendió una propiedad al contado, cuya propiedad vendida a 10 años
de plazo, con pagos de $3,500 mensuales por mes anticipado, si la tasa de
interés es de 24% convertible mensualmente. VP
Las anualidades para aplicarse en un contexto de tiempo son ciertas y
contingente. En estas intervienen como nombre lo dice, el tiempo, es
decir, la fecha de la anualidad de inicio y fin:
Anualidades ciertas
Sus fechas de pago son fijas y se estipulan de antemano.
Una empresa hará un fondo de ahorro para acumular durante 12 años la suma
necesaria para renovar parte de sus equipos de trabajo, para lo cual invertirá $500
pesos al final de cada mes, a la tasa de 7% anual. ¿Cuánto tendrá al finalizar el
plazo?
Resolución de problemas
Anualidades ciertas
En clase, transcribe los problemas en tu cuaderno y
resuélvelos con el uso de tu formulario. Aplicando la fórmula que
lo resuelva.
1. Yolanda compró con su tarjeta de crédito una computadora Laptop la cual va a
pagar durante 2 años la cantidad de $600 mensualmente a la tasa de 23% anual.
¿Cuánto pagará al término de los 2 años?
2. Miguel Ángel hizo un ahorro cuando entró a la universidad para que al graduarse
tuviera una inversión para iniciar su propio negocio. Considerando que estudió
durante 5 años y depositó $250 pesos mensuales a una tasa de 33% anual.
¿Cuánto dinero logró reunir para su negocio?
Las anualidades de intereses pueden ser generales o simple:
Anualidades diferidas
Las anualidades diferidas son aquellas en los que el inicio de los pagos
periódicos se pospone para un tiempo posterior a la formalización de la operación.
No se requieren fórmulas nuevas a las ya vistas, solo hacer los ajustes
correspondientes a los plazos específicos de cada ejemplo o problema.
Calcular el valor actual de una renta semestral de $6,000 durante 7 años si el
primer pago semestral se realiza dentro de 3 años y el interés es de 17% semestral
capitalizable al semestre.
6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000
1 2 3 4 5 6 7
1er. pago interés 17% semestral capitalizable al semestre
Resolución de problemas
Anualidades diferidas
En clase, transcribe los problemas en tu cuaderno y
resuélvelos con el uso de tu formulario. Aplicando la fórmula que lo
resuelva.
1. El Sr. Dueñas adquiere una copiadora en Canon y la recibe el 1 de noviembre,
la cual debe pagar en 10 mensualidades de $250 a partir del 1 de enero. Si se
considera el interés al 36% anual convertible mensualmente, ¿cuál es el valor
de contado de la copiadora?
2. Calcula el valor de la compra de un pick up que la empresa La Frutería realizó
en noviembre del año pasado para mover su mercancía con más facilidad.
Pero le ofrecen una promoción que empieza a pagar hasta marzo del año en
curso a un plazo de 3 años con mensualidades de $8,500 a una tasa de 35%
anual capitalizable.
Actividad a desarrollar
Transcribe y resuelve nuevamente en limpio todos los ejercicios de “Resolución de problemas”, de los temas de anualidades: anualidades de monto, valor presente, rentas y los modelos de las clasificaciones que son: vencidas, anticipadas, ciertas, diferidas, con la ayuda del formulario. Entrégalo al profesor como pase para tu examen, no olvides anexar portada y conclusión.
Proyecto del bloque II En binas, diseñen los ejercicios del tema de anualidad que se les indicará. Preséntenlo en PowerPoint para exponerlo en clase.
Ya terminado tus ejercicios, envía el o los archivos originales, creados en el
procesador de textos, también la presentación electrónica hecha en PowerPoint al
asesor para su revisión y calificación.
No olvides enviar o guardar este proyecto en tu Portafolio de Evidencias.
Revisando tus conocimientos
Contesta con atención y honestamente. Si tienes serias dificultades para
contestar estas preguntas es mejor que estudies un poco más, tu material
de estudio, antes de avanzar.
1. ¿Cuáles operaciones básicas que viste durante el bloque?
2. ¿Qué son las anualidades?
3. ¿Qué son las anualidades vencidas?
4. ¿Qué son las anualidades anticipadas?
5. ¿Qué son las anualidades diferidas?
Qué sabes hacer ahora…
Derechos de Autor
MATEMÁTICAS FINANCIERAS I
Edición, agosto de 2016
Actualizado por:
C.P. Margarita Castillo González
Lic. Araceli Ahumada Muñoz
Lic. Arely Mariet Cordero Gañiño
Edición, agosto de 2019
Actualizado por:
Lic. Dora Julita Villaseñor Pimienta
Lic. Araceli Ahumada Muñoz
Lic. Laura Carolina Amador Guzmán
En la realización del presente material, participaron:
JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS Lic. Teresa López Pérez
EDICIÓN, AGOSTO DE 2019
Lic. Gerardo Enríquez Niebla
Ing. Diana Castillo Ceceña
Lic. Alba Ruth González Ruelas
I.Q. Gabriela López Arenas
La presente edición es propiedad del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California.