LAS MATRICES UN MUNDO MARAVILLOSO

Por: Iliana De Gracia

Francesca Samudio

Olivar Castrellòn

Colegio:

Beatriz Miranda de Cabal

Profesor:

Roberto de Obaldía

Grupo:

VIA3

Tema:

Las Matrices

Introducción

Contenido:

Historia de las matrices

Definición de matriz

Tipos de matrices

Ejemplo de matrices

Método de Gauss

Regla de Cramer

Problemas

Conclusión

Bibliografía3

El material que vamos a presentar nos va ha mostrar coseptos básicos para el desarrollo de matrices las cuales son utilizadas para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

4

El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico , 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.

Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas. 5

1 4 -20 8 20 0 7

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. 6

7

8

9

Una matriz fila está constituida por una sola fila

Tiene un orden que es de 1x4

1/8 4 2 5

2 3 -1 8

10

La matriz columna tiene una sola columna.

4x1

1

2

3

0

-7163

11

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n.

1 2 3

9 1 3

12

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

1 2 -5

3 6 5

0 -1 4

13

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

14

0 00 0

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

1 7 -20 -3 40 0 2

15

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

2 0 01 2 03 5 6

16

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

2 0 00 2 00 0 2

17

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

2 0 00 2 00 0 6

18

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

1 0 00 1 00 0 1

19

1) X-2y+3z=-7 2) 2x- 4y+3z =-12

2x –y -z=7 3x -y +2z =-3

-x+3y+2z=-8 -4x -6y+8z =1

1 -2 3 -7 2 -4 3 -12

2 -1 -1 7 3 -1 2 -3

-1 3 2 -8 -4 -6 8 1

20

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de “A” a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

A= At =

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α ·A)t = α· At

(A · B)t = Bt · At 21

2 3 01 2 03 5 6

2 1 33 2 50 0 6

Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar.

Por Ejemplo:

+ = =

22

1 2 31 0 01 2 2

1 0 57 5 02 1 1

1+1 3+0 2+51+7 0+5 0+01+2 2+1 2+1

2 3 78 5 03 3 3

23

At+Bt Ejemplo 2:

At= 4 3 -4

½ ¾ 5

1 -1 2

Bt= 3 4 5

-1 -2 -3

1/5 -0.75 ½

24

Asociativa Dadas las matrices m×n A, B y CA + (B + C) = (A + B) + C Conmutativa Dadas las matrices m×n A y BA + B = B + A Existencia de matriz cero o matriz nula A + 0 = 0 + A = A Existencia de matriz opuesta con gr-A = [-aij]A + (-A) = 0

25

Sumar:

A = B =

A+B=

A+B=

4 ½ 1

3 ¾ -1

-4 2/5 2

3 -1 1/54 -2 -0.755 -3 1/2

4+3 1/2(-1) 1+1/5

3+4 ¾+(-2) -1+(-3/4)

-4+5 2/5+(-3) 2+1/2

7 -1/2 6/5 7 -5/4 -7/41 -13/5 5/2 26

Dada una matriz A y un escalar c, su productocA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).

Ejemplo:

2 = =

27

1 8 -34 -2 6

2x1 2x8 2x-3

2x4 2x-2 2x6

2 16 -68 -4 12

Sean A y B matrices y c y d escalares.

Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.

Asociatividad: (cd)A = c(d A)

Elemento Neutro: 1·A = A

Distributividad:

De escalar: c(A+B) = cA+cB

De matriz: (c + d)A = cA+dA

28

Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:

(AB)[i,j]=A[i,j]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+…+A[ i,n]B[n,j]

para cada par i y j.

Por ejemplo:

x = =1 0 2-1 3 1

3 12 11 0

(1x3 +0x2+2x1) (1x1+0x1+2x 0)

(-1x3+3x2+1x1) (-1x1+3x1+1x0)

5 14 2

29

Mètodo de Gauss

La eliminación de Gauss-Jordan ,mas conocida Como el Mètodo de

Gauss, es un Mètodo aplicable únicamente a los sistemas lineales

de ecuaciones, y consistente es triangular la matriz aumentada del

sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener

ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al

coeficiente situado en la misma fila de la matriz.

2 0 0 4

0 ½ ½ 1

0 0 -1 1

30

Es un teorema en algebra lineal, recibe el nombre en

honor a Gabriel Cramer.

Si Ax=B es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de

coeficientes del sistema es el vector columna de las

incógnitas y B es el vector columna de los términos

independientes. Entonces A es la matriz resultante de

reemplazar4 la columna B.

Lo representamos en forma de matrices asi:

a b x e

=

c d y f

31

3 5 = (3)(-1)-(4)(5) = -3-20=-23 A) 3x+5y=7

D= 4 -1 4x- y= -6

Dx= 7 5 =(7)(-1)-(-6)(5)=-7+30=23

-6 -1

Dy= 3 7 =(3)(-6)-(4)(7)=-18-28=-46

4 -6

X=Dx/D= 23/-23=-1

Y=Dy/D=-46/-23=2 R: -1,2 32

problemas

33

1. A = B = R=

2. 2⁄3 R =

3. + R =

4. - R =

34

-1 1⁄2 5-2 1⁄3 0-3 1⁄4 5

2⁄3 -3 0.21⁄5 -4 1⁄8-17 -5 1⁄6

-1 1⁄2 5-2 1/3 0-3 ¼ 5

-157⁄105 26 -19⁄20209⁄420 -49⁄12 11⁄60-55⁄21 -40 11⁄6

2/3 1/5 -1/7-3 -4 -5

1/5 1/8 1/6

-7/9 -3/60 -64/63 -14/9 -52/45 -58/63 -7/6 -13/20 1/126

5 -1 43 0 -9

-3 4 80 -1 10

2 3 12 3 -1 1

5 -27 18 0

2 30 13 2

3 -57 05 0

5. ½ + R =

6. X+3Y =6

5X-2Y =13 R. (3,1)

7. 4X+5y=5

-10y-4x=-7 R: (3/4,2/5)

8. 3x+4y=8

8x-9y=-77 R: (-4,5) 35

-1/2 1/3 ¼1 -1 2 3 4 -5

3 5 7 1 -1 1

½ -3/4 1/5

-5/4 8/3 29/81 -1 3/2

7/4 13/8 -22/5

9. 5x/12-y=9

x-3y/4=15 R.(12,-4)

10.11x-3y=39

5y+2x=-4 R: (3,-2)

11. 5(x+3y)-(7x+8y)=-6

7x-9y-2(x-18y)=0 R:( 162/89,-30/89)

12.x-3y+2z=5

2x+5y-4z=-3 R: (2,1,3)

-3x+y-2z=-1135

13. x-2y+4z=5

-3x+4y-2z=-8 R: (1,-1,1/2)

5y+4x-4z=-3

14. 5x-3y+4z=22

-x-15y+10z=-15 R: (5,1/3,-1/2)

-3x+9y-12z=-6

15. 9x+4y-10z=6

6x-8y+5z= -1 R: (1/3,1/4,-1/5)

12x+12y-15z=10

16. x+3y=1

-2x-3Y=4 R: (-5,2)35

17. 2x+4y=-2

-5x-2y=13 R: (-3,1)

18. -x -2y=2

x+3y=-6 R: (6,-4)

19. 5x-7y=-21

-4x+3y=22 R: (-7,-2)

20. 2x+5y+3z=2

6x-9y =5 R:( 2,-2-1)

3y+2z=1

El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con nincógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices. 36

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema de ecuaciones lineales.

http://es.wikipedia.org/wiki/matrizaumentada.

www.google.com

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