matematicas.iv.funciones.2ed.rene.jimenez[u libros.com]

denritsTexto tecleadou-libros.com

Ren JimnezColegio de Bachilleres

Matemticas IVFunciones

Segunda edicin

Prentice HallPrentice Hall

A01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00i iA01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00i i 12/10/10 10:20:49 PM12/10/10 10:20:49 PM

Editor: Enrique Quintanar Duarte e-mail: [email protected] de desarrollo: Claudia Celia Martnez AmignSupervisor de produccin: Juan Jos Garca Guzmn

SEGUNDA EDICIN, 2011

D.R. 2011 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5o. piso Col. Industrial Atoto C. P. 53519, Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031.

Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electr-nico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN VERSION IMPRESA: 978-607-32-0551-1ISBN VERSIN E-BOOK: 978-607-32-0552-8ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0553-5

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 13 12 11 10

Datos de catalogacin bibliogrfica

Jimnez, Ren

Matemticas IV. FuncionesSegunda edicin

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2011

ISBN: 978-607-32-0551-1

rea: Matemticas

Formato: 19 23.5 cm Pginas: 232

Prentice Hall es una marca de

www.pearsoneducacion.net

A01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00ii iiA01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00ii ii 12/10/10 10:20:50 PM12/10/10 10:20:50 PM

Contenido

Agradecimiento vi

Presentacin vii

Competencias viii

Evaluacin diagnstica x

BLOQUE 1 Relaciones y funciones 2Relaciones 5Funciones 6 Diferencia entre relacin y funcin 8 Dominio y rango de una funcin 10 Grfi ca de una funcin 14 Formas de representar una funcin 16 Prueba de la recta vertical 16 Funciones defi nidas por secciones 18Winplot. Seccin especial 20 Clasifi cacin de las funciones 22Autoevaluacin para el bloque 1 30

BLOQUE 2 Funciones especiales, transformaciones grfi cas y operaciones con funciones 32

Funciones inversas. Formas algebraica y grfi ca 35 Funcin inversa 36 Funciones especiales 40Traslaciones y refl exiones en las grfi cas de las funciones 43 Traslaciones verticales 44 Traslaciones horizontales 44 Alargamientos 45 Refl exiones 45Operaciones con funciones 50 Composicin de funciones 54Autoevaluacin para el bloque 2 58

A01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00iii iiiA01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00iii iii 12/10/10 10:20:50 PM12/10/10 10:20:50 PM

iv Contenido

BLOQUE 3 Funciones polinomiales I 60Defi nicin de polinomio 63Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos 65 Funcin lineal 65 Funcin constante 65Parmetros de infl uencia en la lnea recta 65Funciones cuadrticas o de grado dos 71Valor mximo o mnimo de una parbola 75Winplot. Seccin especial 78Autoevaluacin para el bloque 3 82

BLOQUE 4 Funciones polinomiales II 84Funciones polinomiales de grados tres y cuatro 87 Comportamiento de los polinomios de grados tres y cuatro 87Transformaciones de los monomios de grados tres y cuatro 89 Intersecciones con el eje x (ceros de los polinomios) 90Sugerencias para grafi car un polinomio 91Autoevaluacin para el bloque 4 96

BLOQUE 5 Funciones polinomiales III 98Teorema del residuo y del factor 102Divisin sinttica 106Prueba del cero racional de los polinomios 109Nmeros complejos 112Teorema fundamental del lgebra y factorizacin lineal 114Winplot. Seccin especial 118Autoevaluacin para el bloque 5 119

BLOQUE 6 Funciones racionales 122Funcin racional. Defi nicin y elementos 127Mtodo general para grafi car una funcin racional 129Funciones con asntotas inclinadas 135Autoevaluacin para el bloque 6 140

BLOQUE 7 Funciones exponenciales y logartmicas 142Funciones exponenciales 145La funcin exponencial con potencias irracionales 150Funcin exponencial natural 151Inters compuesto 153Inters continuamente compuesto 156

A01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00iv ivA01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00iv iv 12/10/10 10:20:51 PM12/10/10 10:20:51 PM

Contenido v

Crecimiento exponencial 158Funciones logartmicas 160Grfi ca de la funcin logaritmo 161Logaritmos comunes y naturales 163Leyes de los logaritmos 166Ecuaciones exponenciales y logartmicas 168Autoevaluacin para el bloque 7 175

BLOQUE 8 Funciones peridicas seno y coseno 178Grfi cas de las funciones seno y coseno 182Transformaciones de las grfi cas de seno y coseno 183Amplitud de las funciones seno y coseno 186Periodo de las funciones seno y coseno 186Traslaciones horizontales de senos y cosenos 190Frecuencia de las funciones seno y coseno 194Autoevaluacin para el bloque 8 197

Registro personal de avance y aprovechamiento 198

Soluciones 199

Frmulas matemticas 211

A01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00v vA01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00v v 12/10/10 10:20:51 PM12/10/10 10:20:51 PM

A la ingeniera Silvia Rascn Corral, por su valiosa colaboracin en la revisin de esta obra.

Agradecimiento

A01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00vi viA01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00vi vi 12/10/10 10:20:51 PM12/10/10 10:20:51 PM

Los temas de este libro estn diseados para cumplir el programa de estudio de un curso de relaciones funcionales Matemticas IV para bachillerato. La estructu-ra del contenido cumple los principios bsicos de la Reforma Integral de la Educacin Media Superior (RIEMS) cuya fi nalidad es que el estudiante de este nivel adquie-ra una educacin de calidad que le permita alcanzar las unidades de competencia necesarias a travs de saberes especfi cos (conocimientos, habilidades y actitudes) que le faciliten la tarea de vincular lo aprendido en la escuela y su entorno pero, ade-ms, que tenga argumentos slidos para estudiar cursos posteriores de matemticas como clculo, o bien, relacionarlos con las otras reas del conocimiento. El texto se ha desarrollado con un enfoque constructivista centrado en el apren-dizaje, de tal forma que sea un buen apoyo didctico para que las maestras y maes-tros tengan los elementos necesarios que les ayuden a corroborar los indicadores de desempeo y las evidencias de aprendizaje signifi cativo en su proceso de planeacin, ejecucin y evaluacin de clase. La presentacin de los temas est organizada como sigue:

El bloque 1 destaca las caractersticas matemticas que defi nen las relaciones en-tre dos cantidades variables, haciendo nfasis especial en las de carcter funcional. El bloque 2 defi ne y describe los tipos de funciones matemticas, y las operacio-nes y transformaciones algebraicas y geomtricas entre ellas. En los bloques 3, 4 y 5 se estudian las funciones polinomiales hasta de grado 4, profundizando en el anlisis de los modelos lineales y cuadrticos. Se desarrollan procedimientos numricos, algebraicos y geomtricos para obtener los ceros de los polinomios. En el bloque 6 se estudia el comportamiento de las funciones racionales y la existencia de asntotas en stas.En los bloques 7 y 8 se abordan las funciones exponencial y logartmica, y las fun-ciones peridicas seno y coseno. Deseo con sinceridad que esta obra sea til para convencer a los estudiantes de la importancia que tienen las competencias en su desarrollo personal y acadmico; de no ser as, la Reforma Integral, propuesta por las instituciones educativas, y el esfuerzo pedaggico de las maestras y maestros quienes en su quehacer cotidiano tienen la gran responsabilidad de implantar las competencias en el aula resultara estril. Agradezco profundamente la confi anza y la oportunidad de compartir este es-fuerzo, deseando el mayor de los xitos para todos los involucrados en la noble y honrosa misin que es la educacin.

Ren Jimnez

Presentacin

A01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00vii viiA01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00vii vii 12/10/10 10:20:52 PM12/10/10 10:20:52 PM

Competencias genricasLas competencias genricas del bachiller se refi eren a la capacidad de res-puesta que ste tiene y que le permiten comprender e infl uir en su entorno (local, regional, nacional e internacional), contar con herramientas bsicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y convivir adecuadamente en los diferentes mbitos. El propsito fundamental de Matemticas IV es desarrollar en los es-tudiantes las siguientes competencias genricas:

y Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

y Es sensible al arte y participa en la apreciacin e interpretacin de sus expresiones en distintos gneros.

y Elige y practica estilos de vida saludables.y Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos con-

textos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados.

y Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos.

y Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia ge-neral, considerando otros puntos de vista de manera crtica.

y Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida.y Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.y Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversi-

dad de creencias, valores, ideas y prcticas sociales.y Contribuye al desarrollo sustentable de manera crtica, con acciones

responsables.

Las competencias son la integracin de habilidades, conocimientos y actitudes que adquieren las personas con el propsito de resolver exitosamente las situa-ciones que se les presenten en un contexto determinado.

Competencias

A01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00viii viiiA01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00viii viii 12/10/10 10:20:53 PM12/10/10 10:20:53 PM

Competencias disciplinaresSe refi eren al desarrollo acadmico del estudiante que le permite participar de forma activa en la sociedad del conocimiento, y continuar as sus estu-dios superiores, tal como se enuncian a continuacin:

y Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variaciona-les, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

y Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.

y Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

y Argumenta la solucin obtenida de un problema con mtodos nu-mricos, grfi cos, analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de tecnologas de la informacin y la comunicacin.

y Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural, para determinar o estimar su comportamiento.

y Cuantifi ca, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

y Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenmeno, y argumenta su pertinencia.

y Interpreta tablas, grfi cas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientfi cos.

A01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00ix ixA01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00ix ix 12/10/10 10:20:54 PM12/10/10 10:20:54 PM

Encuentra la solucin para cada una de las siguientes propuestas y antala en la columna de la derecha.

Propuesta Solucin

1. Escribe si es verdadera o falsa la propiedad de la siguiente igualdad:

(x + y) (a + b) = x(a + b) + y(a + b)

2. Escribe la siguiente expresin sin parntesis: 32

2 4( )x y

3. Efecta la siguiente operacin: x =

+

3 3

1

23

23

( )

4. Di si la siguiente desigualdad es verdadera o falsa: < < x 1

5. Efecta la siguiente operacin: d = + +( ) ( )1 3 2 42 2

6. Escribe en trminos de desigualdad algebraica la siguiente expresin: x es menor que 1 y mayor que 4.

7. Escribe en trminos de desigualdad algebraica el siguiente intervalo (, 5]. Observa la grfi ca.

0 5

]

8. Expresa la desigualdad con escritura de intervalos y realiza la grfi ca co-rrespondiente en la recta numrica: 3 < x 2.

0

9. Evala la siguiente operacin: 3 12

10. Escribe la solucin de la ecuacin: 3 2x = 0. 11. Escribe la solucin de la ecuacin: x 2 2x 3 = 0. 12. Escribe la pendiente y la ordenada en el origen de la recta:

y = 2 3x.(Contina)

Evaluacin diagnstica

A01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00x xA01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00x x 12/10/10 10:20:56 PM12/10/10 10:20:56 PM

13. La grfi ca que corresponde a la ecuacin y = 2 3x es:

m = 3

2 2

22

a) b) c) d )m = 3m = 3 m = 3

14. La poblacin de una ciudad en el ao 2000 era de 30,000 personas, si crece 550 personas por ao, escribe un modelo algebraico para calcular la pobla-cin en cualquier ao posterior al 2000.

15. Selecciona y escribe la ecuacin que representa una parbola:

a) y x= +9 2 b) y x= 9 2

c) y x= 2 9 d ) y x= +9

16. Selecciona y escribe la ecuacin que representa una circunferencia:

a) y x= +9 2 b) y x= 9 2

c) y x= 2 9 d ) y x= +9

17. Selecciona y escribe la ecuacin que representa una elipse:

a) y x= +9 2 b) y x= 13

9 2

c) y x= 2 9 d ) y x= +9

18. Escribe la ecuacin de una recta paralela al eje x que est 3 unidades por debajo de ste.

19. Escribe la ecuacin de una recta paralela al eje y que est 3 unidades a la izquierda de ste.

20. Determina el punto de interseccin de las rectas:

4x y 3 = 0 y 2x y + 1 = 0

(Continuacin)

Evaluacin diagnstica xi

A01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00xi xiA01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00xi xi 12/10/10 10:20:58 PM12/10/10 10:20:58 PM

A01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00xii xiiA01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00xii xii 12/10/10 10:21:00 PM12/10/10 10:21:00 PM

Matemticas IVFunciones

A01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00Sec1:1 Sec1:1A01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_i-xii-00Sec1:1 Sec1:1 12/10/10 10:21:00 PM12/10/10 10:21:00 PM

10BLOQUE Tringulos: ngulos y relaciones mtricas1BLOQUE Relaciones y funciones

Unidades de competenciaEn este bloque se pretende que el alumno desarrolle las siguientes compe-tencias:

y Construir e interpretar modelos algebraicos y grfi cos aplicando relacio-nes funcionales entre magnitudes, para la representacin y resolucin de situaciones y/o problemas tericos o prcticos, concernientes a su vida co-tidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

y Contrastar los resultados obtenidos mediante la aplicacin de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotticas que describen.

y Interpretar diagramas y textos que contienen smbolos propios de la nota-cin funcional.

ConocimientosAl fi nalizar este bloque, el alumno adquirir los conocimientos que le permi-tirn:

y Comprender la diferencia entre relaciones y funciones. Enunciar las caractersticas de una relacin y una funcin. Identifi car el dominio y el rango de una funcin.

y Representar, combinar y transformar funciones de formas distintas y equi-valentes.

y Clasifi car las funciones como: Algebraicas y trascendentes. Continuas y discontinuas. Uno a uno, sobre y biyectivas.

Una funcin es una regla de dependencia entre dos cantidades variables. Por ejemplo, el desplazamiento de un mvil es una funcin del tiempo.

M01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_002-031.2 2M01_JIMENEZ_5511_2ED_SE_002-031.2 2 12/10/10 7:51:32 PM12/10/10 7:51:32 PM

HabilidadesAl fi nalizar este bloque, el alumno habr desarrollado las habilidades que le permitirn:

y Reconocer una relacin o una funcin a partir de su descripcin numrica, grfi ca o algebraica.

y Obtener el dominio y el rango de una relacin o funcin, en representacio-nes diversas.

y Obtener la imagen de un elemento del dominio a partir de la regla de correspondencia.

y Determinar los tipos de funcin con que est trabajando y utilizar sus ca-ractersticas especfi cas.

y Resolver operaciones con funciones.y Utilizar la nocin de funcin en situaciones cotidianas relacionadas con

magnitudes.

Actitudes y valoresAl fi nalizar el bloque, el alumno ser competente para:

y Mostrar disposicin para involucrarse en actividades relacionadas con la asignatura.

y Presentar disposicin al trabajo colaborativo con sus compaeros.y Aportar puntos de vista personales con apertura y considerar los de otras

personas.y Proponer maneras creativas de solucionar problemas matemticos.

Indicadores de desempeoSe pretende que el alumno logre:

y Utilizar los criterios que defi nen a una funcin, para establecer si una rela-cin dada es funcin o no.

y Describir una funcin empleando diferentes tipos de expresiones, y com-prender su dominio y rango.

y Emplear la regla de dependencia de una funcin y los valores del dominio para obtener el rango correspondiente.


4 Matemticas IV

Actividad de aprendizaje signifi cativoEn ciencia siempre que se habla de modelos matemticos de la vida real se refi ere a una funcin o relacin que describe la dependencia entre cantidades variables. Por ejemplo, el modelo de la grfi ca que aparece a conti-nuacin describe el comporta-miento de la temperatura del agua cuando se abre una llave de agua caliente. Escribe lo que la ilustracin te dice de acuerdo a los intervalos de tiempo indi-cados.

Secuencia didctica Analiza cmo es la temperatura inicial del agua comparada con la del medio

ambiente. Concluye qu ocurre con la temperatura del agua en cada uno de los interva-

los; [0, t1], [t

1, t

2] y [t

2, t

3].

Comenta con tus compaeros si este modelo grfi co es vlido como parte de lo que ocurre en la realidad o si es necesario contar con datos numricos.

y Aplicar diferentes tipos de funciones en el anlisis de situaciones.y Utilizar operaciones entre funciones para simplifi car procesos a travs de

nuevas relaciones.y Aplicar las nociones de relacin y funcin para describir situaciones de su

entorno.

Evidencias de aprendizajey Reconoce en un conjunto de parejas ordenadas, datos tabulares, grfi cas

(prueba de la vertical), ecuaciones y diagramas, que las relaciones funcio-nales slo asocian un valor del rango a cada elemento del dominio.

y Identifi ca a los primeros elementos de un conjunto de parejas ordenadas como el dominio de la relacin o funcin, y a los segundos elementos como rango.

y Realiza clculos a partir de valores especfi cos del dominio y el rango asociados mediante una regla de dependencia y expresa sus resultados con notacin funcional, tablas, grfi cas y diagramas.

y Ilustra la nocin de funcin con ejemplos de situaciones cotidianas en las que estn relacionadas dos magnitudes, e identifi ca el tipo y caractersticas de la funcin correspondiente.

Tiempo

0 t1 t2 t3 t4

Temperatura


Relaciones y funciones Bloque 1 5

Trabajo colaborativoUtilicen el sistema coordenado contiguo para trazar la grfi ca de la actividad en mencin, valindose de un termmetro para medir la temperatura del agua a intervalos de 20 segundos y enseguida escriban sus conclusiones. A partir de los datos obtenidos, podra escribirse un modelo matemtico que represente el experimento? Comntalo con tu maestro.

Tiempo en segundos0 40 80 120 160 200 240

Temperatura

Relaciones

Defi nicin. Se llama relacin entre dos conjuntos A y B a la manera ordenada de asociar o agrupar los elementos de cada uno ellos. Esta asociacin puede estar formada por un solo par ordenado, varios o todos los que formen parte del producto entre A y B. Por ejemplo, dos posibles casos de relaciones de las 36 formas de ordenar en parejas el experimento de lanzar dos dados son los siguientes:

A es menor que B A es la mitad de B

A B BA


6 Matemticas IV

Construye tu conocimiento. Refl exiona con tus compaeros, cul es la dife-rencia fundamental entre las relaciones del ejemplo anterior? Recordars que otra forma de escribir las relaciones anteriores son: {(1,2), (1,4), (1,6), (5,6)} para el evento menor que y {(1,2), (2,4), (3,6)} para el evento la mitad de.

Autoevaluacin

Relaciona con una fl echa los elementos del conjunto A con los del conjunto B y es-cribe debajo de cada diagrama la relacin que guardan.

Italia

Francia

Canad

Japn

Amrica

Europa

frica

Asia

9

64

1

36

8

1

+1

3

6

A B A B

A B A B

1

2

3

10

5

15

Funciones

Las primeras ideas del concepto de funcin son muy antiguas, sin embargo el de-sarrollo ms formal de su signifi cado y su comprensin se lo debemos al trabajo e investigacin de matemticos relativamente ms contemporneos.



El primero en defi nir de forma explcita la relacin entre cantidades variables y la dependencia entre stas el concepto de funcin fue Johann Bernoulli (1667-1748), la cual enunci como sigue:

Se llama funcin de una variable a una cantidad compuesta, de la manera que sea, por esta variable y por constantes.

Ms adelante Leonhard Euler (1707-1783), matemtico suizo y discpulo de Jo hann Bernoulli, quien hizo un gran aporte a las matemticas y en particular al con-cep to de funcin, complement la idea de su maestro ya que su defi nicin se basa en la idea de variacin, explicitando muy bien la diferencia entre variables y constantes. Sin embargo, la defi nicin actual se la debemos a matemticos que sucedie-ron a Euler, ya que propusieron un concepto ms refi nado. Por ejemplo, hacia 1829 el matemtico alemn Peter Dirichlet entiende la funcin como una va-riable dependiente y, cuyos valores son determinados de una forma defi nida segn los valores que se asignen a la variable independiente x. La razn de conocer un poco los antecedentes de la defi nicin de funcin, es porque los objetos fundamentales con los que se estudia el clculo son precisa-mente las funciones. Aqu nos prepararemos para analizar las ideas bsicas de las funciones, sus grfi cas y la manera de transformarlas y combinarlas, atendiendo a la vez el proceso de usarlas como modelos matemticos de la realidad. Cuando hablamos de la aplicacin de las funciones como modelos mate-mticos del mundo real, nos estamos refi riendo a la relacin de dependencia que existe, por ejemplo, entre la utilidad de un negocio y el precio de sus pro-ductos, el rea de un crculo y su radio, la velocidad de un automvil y la potencia de su motor, el precio de un artculo y su demanda, etctera. Un ejemplo sencillo de estos modelos matemticos es la regla de dependen-cia que existe entre el rea A de un cuadrado y la longitud de su lado x.

A = x 2

x

x

x

A = x 2x x 2

0

1

2

0

1

4

La regla de dependencia del ejemplo anterior se puede escribir en notacin funcional de la siguiente manera

A(x) = x 2 o bien f (x) = x 2

en donde f es la regla elevar al cuadrado, x es la variable independiente, que defi ne los valores de f (x) que se lee f de x la cual se llama tambin variable dependiente.


8 Matemticas IV

Defi nicin. Una funcin es una regla de dependencia entre dos variables, una independiente x que defi ne un y slo un valor de otra que se llama dependiente y se escribe f (x). La relacin de dependencia entre las variables se puede representar algebrai-camente con la notacin

y = f (x)

Algunos ejemplos de relaciones funcionales los podemos ver en la siguiente tabla:

Regla de dependencia Notacin funcional

rea de un crculo de radio x A(x) = p x 2

Raz cuadrada de un nmero x f x x( ) =

El ancho y(x) de un rectngulo de rea 100 como funcin de largo x

y xx

( ) =100

La fuerza necesaria F para estirar un resorte una longitud x (k es una constante)

F(x) = kx

Diferencia entre relacin y funcinAtencin! Las defi niciones de relacin y funcin nos llevan a concluir que todas las funciones son relaciones pero no todas las relaciones son funciones. Para que no haya confusin en el signifi cado de la defi nicin de funcin debemos hacer hincapi en que para cada valor de la variable independiente x hay exactamente un y slo un valor para la variable dependiente f (x); en las relaciones para un valor de la variable independiente puede existir 1, 2 o ms valores de la variable dependiente. Analiza los siguientes diagramas vistos con anterioridad.

A es menor que B A es la mitad de B

RELACIN FUNCIN

A B BA



Ejemplos:

Evaluacin de una funcin. Evaluar una funcin en un proceso de anlisis signifi ca que un mismo smbolo de funcionalidad indica una misma ley de dependencia para el nuevo valor de la variable independiente.

1. Si f (x) = x 2 + 1, evaluar la funcin en f (2), f (1) y en f 3( ).Solucin:Sustituyendo los valores de x en la expresin f (x) = x 2 + 1 obtenemos los respectivos valores de f (x).

f ( ) ( )2 2 1 52= + =

f ( ) ( ) = + =1 1 1 22

f 3 3 1 42( ) = ( ) + =

2. Si f (x) = 2 3x 2, encontremos, a) f (x + h), b) f (x + h) f (x) y c) f x h f xh

( ) ( ).

+

Solucin:

a) f x h x h x xh h x xh( ) ( ) ( )+ = + = + + = 2 3 2 3 2 2 3 6 32 2 2 2 hh2

b) f x h f x x h x x( ) ( ) ( )+ = + = 2 3 2 3 2 3 62 2 2 xxh h x xh h + = 3 2 3 6 32 2 2

c) f x h f x

hxh hh

h x hh

x h( ) ( ) ( )+

=

=

=

6 3 6 36 3

2

3. Evaluemos la funcin f x x( ) = en f (4).Solucin:

f ( ) = 4 4 El valor de 4 es inadmisible en el campo de los nmeros reales.

Este ejemplo nos ensea que los valores de la variable independiente x tienen que ser mayores o iguales a cero, es decir x 0 y se llama dominio de la funcin.

4. Evaluemos la funcin f xx

( ) =1

en f (0).

Solucin:

f ( )010

= = La divisin entre cero en matemticas no est defi nida.

Este ejemplo nos ensea que los valores del denominador x tienen que ser diferentes a cero, es decir x 0.


10 Matemticas IV

Dominio y rango de una funcinDominio. Son todos los valores reales que se le pueden asignar a la variable in de-pendiente x de una funcin.

Rango. Es el conjunto de nmeros reales que acepta f (x) conforme x cambia en todo su dominio. Tambin se le llama imagen de x bajo f.

Una forma til de conocer, tanto los valores del dominio como del rango de una funcin, es imaginar una recta numrica y preguntarse si la expresin alge-braica de la funcin acepta, primero el cero, luego, cules nmeros positivos y fi nalmente cules negativos.

Ejemplos:

1. Hallar el dominio y el rango de f (x) = x 2 + 1.

Solucin:

Funcin Dominio Rango

f (x) = x 2 + 1negativos positivos0

Aqu se ve que x puede acep-tar cualesquier valor real en la ecuacin.

< x <

Cuando sustituimos los valo-res de x en la ecuacin, f (x) toma valores de 1 en adelan-te; por tanto,

f (x) 1 negativos

positivos

01

2. Hallar el dominio y el rango de f x x( ) = + 1

Solucin:


f x x( ) = + 1

negativos positivos01

En la ecuacin se ve que x + 1 0; por tanto,

x 1

Cuando sustituimos los valo-res de x en la ecuacin, f (x) toma valores de 0 en adelan-te; por tanto,

f (x) 0 negativos

positivos

01



3. Hallar el dominio y el rango de f xx

( ) .=

12

Solucin:


f xx

( ) =

12

negativos positivos

0 2

En la ecuacin se ve que el denominador x 2 0, por tanto, el dominio son todos los nmeros reales excepto el 2.

x 2

Cuando despejamos x en la ecuacin, f (x) toma valores diferentes de cero; por tanto,

f (x) 0 negativos

positivos

0

4. Hallar el dominio y el rango del volumen de un cubo como funcin de su lado x.

Solucin:


V (x) = x 3 Por la naturaleza del ejercicio x 0 V (x) 0

5. Hallar el dominio y el rango de f x x( ) .= 9 2

Solucin:


f x x( ) = 9 2

negativos positivos03 3

En la ecuacin se ve que 9 x 2 0; por tanto,

3 x 3

Sustituyendo los valores de x en la ecuacin, f (x) toma valores entre 0 y 3.

0 f (x) 3negativos

positivos3

0

Con frecuencia se compara el concepto de funcin con una mquina. Si los valores de x estn en el dominio de la funcin, entonces x entra en la mquina y produce una salida f (x). Uno de los mejores ejemplos de esta analoga son las calculadoras. Por ejemplo, si oprimimos la tecla x nos daremos cuenta


12 Matemticas IV

inmediatamente que x tiene que ser mayor o igual a cero, pues de otra forma no obtenemos respuesta numrica en el campo de los nmeros reales, otro ejem-plo sera la funcin trigonomtrica f (x) = sen x.

Salida (se

n x )

Entrada (x

)

sen (35)

0.573576

Evidencias de aprendizaje

1. Completa la tabla dada a continuacin, escribiendo la regla de dependencia en forma de expresin algebraica o con tus propias palabras segn corresponda.

a) Sumar 4 y luego dividir entre 2. f xx

( ) =+ 42

b) Sumar 2 y a continuacin extraer raz cuadrada.

c) f x x( ) = +2 13

d ) Elevar al cuadrado, restar de 9.

e) y x= 2 1

f ) Multiplicar por 2 y restar el cuadrado de la misma cantidad.

g) g x x( ) = 1 4

h) Elevar al cuadrado, multiplicar por 2 y sumar 3.

i) h xx

( ) = 3

5

j) Multiplicar por 3, restar de 7 y sacar raz cuarta.



2. Completa cada una de las tablas dadas a continuacin.

Dado f (x) = 2 x, evala f (3), f 12( ) , f (2), f (x + h)f (3) = 2 3 = 1 f 12( ) =f (2) = f (x + h) =

Dado f (x) = 2 x 2 3, evala f (2), f ( x), f (1/ x), f (x + h)f (2) = 2(2)2 3 = 5 f ( x) =f (1/ x) = f (x + h) =

3. Encuentra una frmula para la funcin propuesta y escribe su dominio.

a) Un rectngulo tiene un permetro de 16 cm. Expresa su rea A(x) como funcin de su largo.

A(x) Dominio

ancho = y

largo = x

A (x)

b) Expresa el rea de un tringulo equi-ltero como funcin de la longitud de uno de sus lados. Escribe su dominio.

A(x) Dominio

x x

x

h

c) Expresa el rea de un cubo como funcin de su volumen.

A(V ) Dominio

x

x

x


14 Matemticas IV

Actividad de aprendizaje signifi cativoLa grfi ca que aparece enseguida muestra el comportamiento de un depsito C(t ) en una cuenta bancaria que genera intereses despus de t aos.

a) Cul fue la cantidad de dinero que se deposit originalmente?b) Calcula C(12) y escribe una interpretacin de tu clculo.c) Cundo el saldo es $20 000?

20000

t (aos)

C (t )

15000

10000

5000

0 5 10 15 20

Grfi ca de una funcinLa forma ms comn de describir una funcin y = f (x) es a travs de una grfi ca en el plano coordenado. En otras palabras, esto quiere decir que la visualizacin de f (x) son los puntos (x, y) en el plano coordenado, tales que y = f (x) est en el dominio de f . La descripcin grfi ca de una funcin nos permite tener una imagen ms objetiva del dominio y rango de sta sobre los ejes coordenados.

1 2 3 x x

y

[x, f (x)]

[1, f (1)]

[2.5, f (2.5)]

x

Ran

go

Dominio

yy f (x)



Ejemplos:

1. La grfi ca de la fi gura representa una funcin f (x). a) Encuentra los valores de f (1) y f (3). b) Halla el dominio y el rango de la funcin.

Solucin:

a) En la grfi ca se observa que cuando x = 1, y = 5; por tanto, f (1) = 5, adems si x = 3, y 4.2, entonces f (3) 4.2.

b) El dominio est en el intervalo 1 x 7 y el rango en 1 y 6.

1

1

2

2

3 x

y

2. Bosqueja la grfi ca de f (x) = 2 x2 y encuentra el dominio y rango.Solucin:Podemos encontrar la grfi ca de la funcin elaborando una tabla como la de la fi gura y enseguida unir los puntos resultantes. El dominio son todos los nmeros reales: < x < y el rango es: y 2.

x 2 x 2

1

1

x

y

21

0

1

2

21

2

1

2


16 Matemticas IV

Formas de representar una funcinUtilizaremos cuatro maneras posibles de representar una funcin, pensemos por ejemplo en el rea A de un crculo que depende de su radio x. Observa que el dominio es: x 0.

VERBAL(Es una descripcin en palabras)

ALGEBRAICA(Con una frmula explcita)

El rea de un crculo A = p x 2

NUMRICA(Es una tabla de valores)

GRFICA(Es una visualizacin en el plano)

x A(x ) = px 2

2

1

0 0

p (1)2

p (2)2

0

p

4p

A(x)

210

p

4p

x

Prueba de la recta verticalUna grfi ca en el plano representa una funcin siempre y cuando una recta ver-tical la interseca slo una vez.

S es funcin

x

y

No es funcin

x

y

No es funcin

x

y

S es funcin

x

y

S es funcin

x

y




1. Determina si cada curva es la grfi ca de una funcin de x. Escribe el dominio y el rango de cada curva. La escala de la cuadrcula es 1:1.

2. La curva de la fi gura muestra el comportamiento de la temperatura T en cierta ciudad, desde la medianoche hasta el medioda. El tiempo t se midi cada dos horas a partir de la medianoche. Une los puntos para trazar la grfi ca y completa la tabla de temperaturas que aparece a continuacin.

50

54

58

0 2 4 6 8 10

T

t

t 0 2 4 6 8 10 12

T

3. Observa la grfi ca y la ecuacin de cada una de las siguientes funciones y escribe en el recuadro en blanco su dominio. La escala de la cuadrcula es 1:1.

f (x) = 1 2x g x x( ) = 9 2 h x x x( ) = 1 k x xx

( ) =

2

2 4

x

y

x

y

x

y

x

y

Dominio:

Rango:

y

x

y

x

y

x

y

x


18 Matemticas IV

4. La poblacin de cierta ciudad creci de 1900 a 1950; permaneci ms o me-nos constante en la dcada de 1950 y disminuy de 1960 hasta el ao 2000. Traza una grfi ca aproximada del comportamiento de la poblacin como una funcin de los aos desde 1900.

Nmero de habitantes

1900 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Aos

Funciones defi nidas por seccionesEstas funciones quedan defi nidas por expresiones algebraicas diferentes en dis-tintas partes de su dominio.

Ejemplos:

1. Si una funcin f (x) se defi ne por f xx x

x x( ) .=

+ entonces f x f x( ) ( )2 1

>

Funciones decrecientes. Una funcin se llama decreciente si cuando x crece entonces y = f (x) disminuye, es decir

Si x x3 2

> entonces f x f x( ) ( )3 2

<

ycreciente decreciente

xx3

f (x3)f (x1)

f (x2)

x2x1

Funciones algebraicas. Son funciones algebraicas aquellas que resultan de ope-raciones algebraicas como la adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y ex-traccin de races a partir de polinomios; a su vez stas se dividen de la siguiente manera:

Constantes

Funcionesalgebraicas

Identidad

Lineales y = 2x + 3

y = x 4 + 2x 3

y = x

y = 5

y = x 3

y = x 2Cuadrticas

Cbicas

Polinomiales

Racionales

Irracionales

yxx

= 353

y x= + 3


24 Matemticas IV

Funciones trascendentes. Las funciones trascendentes son las funciones trigo-nomtricas, las logartmicas y las exponenciales y se les llama as para distin-guirlas de las algebraicas.

Ejemplos:

f (x) = sen 2x, g x x( ) log ( ),= 1 h x e x( ) = +3 1

Funciones continuas. Son funciones que en su dominio no tienen saltos, huecos o interrupciones. Por ejemplo, si trazamos su grfi ca con un lpiz, ste no se despega del papel.

y

xx2x1

Funciones discontinuas. Estas funciones tienen puntos o intervalos en su domi-nio que no estn defi nidos. Por ejemplo, la siguiente grfi ca de la funcin no est defi nida para x = 2.

x22

yf x

xx

x( ) ,=

2

2 42

Funciones uno a uno o inyectivas. Una funcin f (x) es uno a uno si no hay dos elementos del dominio x que tengan el mismo rango f (x), es decir

f x f x( ) ( )1 2

siempre que x x1 2

Por ejemplo, la funcin f (x) = x3 es uno a uno porque dos valores diferentes para x no pueden tener el mismo valor al cubo. Observa en la grfi ca que para dos valores diferentes de x hay dos valores diferentes de y.



x

y

Criterio de la recta horizontal

Un excelente criterio para determinar si una funcin es uno a uno es que ninguna recta horizontal debe de cruzar ms de una vez su grfi ca. La funcin f (x) = x 2 1, no es uno a uno, porque, por ejemplo, f (2) = 3 = f (2). Observa la grfi ca.

x

y

Funciones sobreyectivas. Cuando la grfi ca de una funcin, como la mostrada en la fi gura que aparece a continuacin, se corta en ms de un punto mediante una recta horizontal, la funcin se llama sobreyectiva.

xx1

y2

y1

x2

y


26 Matemticas IV

Funciones biyectivas. Cuando una funcin no es uno a uno, como f (x) = x 2 1, es posible restringir su dominio de forma que la funcin resultante se convierta en inyectiva. Si defi nimos el dominio de f (x) = x 2 1 como x 0, entonces se llama funcin biyectiva y su grfi ca queda de la manera siguiente.

x

y

Como puedes ver, la funcin f (x) = x 2 1 puede ser sobreyectiva o inyecti-va segn se restinga el dominio o no.


1. Se da la grfi ca de la funcin f (x) = 4x x 2. a) Obtn los valores de f (0), f (2) y f (4), b) determina el dominio, c) escribe los intervalos donde la funcin crece y donde decrece.

Valores Dominio Intervalos donde crece Intervalos donde decrece

f (0) =

f (2) =

f (4) =

x

y



2. Se da la grfi ca de la funcin f x x( ) .= 9 2 a) Obtn los valores def (3), f (0) y f (3), b) determina el dominio, c) escribe los intervalos donde la funcin crece y donde decrece.


f (3) =f (0) =

f (3) =

x

y

3. Se da la grfi ca de la funcin f (x) = x 3 3x. a) Obtn los valores de f (1),f (0) y f (1), b) determina el dominio, c) escribe los intervalos donde la fun-cin crece y donde decrece.


f (1) =f (0) =

f (1) =

x

y


28 Matemticas IV

4. Dada la siguiente lista de funciones, clasifi ca cada una de ellas escribiendo en el espacio correspondiente si se trata de: un polinomio, una raz, una racional, una trigonomtrica, una exponencial o logartmica.

Funcin Tipo de funcin Funcin Tipo de funcin

a) f x x( ) = 1 2 b) g x x( ) =2

3

c) h(x) = 2x 5 x 3 2 d ) r (x) = log10

x

e) s xx

x( ) =

+

+

1

22 f ) f x x( ) = 1 2

g) u(x) = sen 2x h) y = 10 x

i) y = sen x + tan x j) y x xx

= ++

2

1

5. Dada la grfi ca y la ecuacin de cada funcin, determina si son uno a uno.

f (x) = 3x 1 g x x( ) = +2 1 h (x) = x 2 2x 3

x

y

x

y

x

y

6. Dibuja la grfi ca de cada funcin y concluye si son uno a uno. Sugerencia: comprueba tus resultados con Winplot.

f (x) = 2x 1 g (x) = x 2 4 h (x) = | x |

x

y

x

y

x

y



Autoevaluacin

La grfi ca de la fi gura representa la productividad de una lnea de ensamble como una funcin del nmero de trabajadores en la lnea. Explica su comportamiento histrico.

Productividad

Nmero detrabajadores


30 Matemticas IV

AUTOEVALUACIN PARA EL BLOQUE 1Considera tu desempeo como estudiante e indica la frecuencia con que ocurre la accin que se describe, anotando en el cuadro el nmero correspondiente.

0 Nunca 5 Algunas veces 10 Siempre

CONOCIMIENTOS

Despus de estudiar el bloque, adquiriste los conocimientos que te permiten

y comprender la diferencia entre relaciones y funciones?y representar, combinar y transformar funciones de formas distintas

y equivalentes?

y clasifi car las funciones?

HABILIDADES

Al fi nalizar el bloque, desarrollaste las habilidades que te permiten

y reconocer una relacin o una funcin a partir de su descripcin numrica, grfi ca o algebraica?

y obtener el dominio y el rango de una relacin o funcin, en representaciones diversas?

y obtener la imagen de un elemento del dominio a partir de la regla de correspondencia?

y determinar los tipos de funcin con que est trabajando y utilizar sus caractersticas especfi cas?

y resolver operaciones con funciones?y utilizar la nocin de funcin en situaciones cotidianas

relacionadas con magnitudes?

CALIFICACIN. Cuenta el total de puntos que obtuviste en ambas tablas y multiplica por 1.1. El resultado se interpreta de acuerdo con las siguientes categoras:

Menos de 59 60 a 69 70 a 79 80 a 89 90 a 100

Defi ciente Regular Bien Muy bien Excelente



Para autoevaluarte con respecto a las actitudes y los valores, refl exiona sobre el valor que agregaste a tu formacin educativa, desarrollo personal e interaccin con los dems y con el medio ambiente al estudiar el tema.


10BLOQUE Tringulos: ngulos y relaciones mtricas2BLOQUEFunciones especiales, transformaciones grfi cas y operaciones con funciones

Unidades de competenciaEn este bloque se pretende que el alumno desarrolle las siguientes compe-tencias:

y Construir e interpretar modelos algebraicos y grfi cos aplicando propie-dades de funciones inversas, constantes, idnticas, valor absoluto y esca-lonadas, para la representacin y resolucin de situaciones y/o problemas tericos o prcticos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

y Contrastar los resultados obtenidos mediante la aplicacin de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotticas que describen.

y Utilizar transformaciones y combinaciones de funciones y sus grfi cas para la visualizacin de las representaciones algebraicas y geomtricas de las funciones.


y Reconocer las caractersticas de las funciones inversas.y Describir en forma grfi ca y algebraica la inversa de una funcin.y Reconocer las funciones valor absoluto, constante, idntica y escalonada.y Aplicar las transformaciones de las grfi cas de las funciones.y Aplicar las operaciones con funciones.

Aviones Blue Angels de la Marina de Estados Unidos en un vuelo de exhibicin. Su trayectoria es producto de la combinacin de varias funciones.



y Obtener la relacin inversa de una funcin y determinar si sta tambin es una funcin.

y Utilizar las funciones valor absoluto, idntica, constante y escalonadas, para describir relaciones entre algunas variables.

y Construir grfi cas y expresiones de funciones, aplicando traslaciones y re-fl exiones a las grfi cas de otras funciones.

y Combinar funciones para obtener nuevas funciones a travs de sus operaciones.




personas.y Refl exionar sobre la ventaja de realizar transformaciones en grfi cas para

simplifi car procesos algebraicos y geomtricos.y Proponer maneras creativas de solucionar problemas matemticos.


y Representar el conjunto de parejas ordenadas que corresponde a la funcin inversa de una funcin dada, representar la ecuacin de la relacin inversa de una funcin y determinar si sta representa tambin una funcin.

y Utilizar la grfi ca de una funcin para trazar la grfi ca de su funcin inversa.y Resolver problemas que involucran funciones inversas, escalonadas, valor

absoluto, idntica y constante.y Argumentar el uso de traslaciones o refl exiones especfi cas para la resolu-

cin de problemas tericos o prcticos.


34 Matemticas IV

Actividad de aprendizaje signifi cativoLa inversa de una funcin de costo. Una empresa de telefona celular co-bra una tarifa mensual de $150 ms $2 por minuto. Si se contrata el servi-cio, entonces por hablar x minutos, el costo est modelado por la funcin C(x) = 150 + 2x. Esto signifi ca que si un usuario habla 75 minutos, su costo es C(x) = 150 + 2(75) = 300 pesos; es decir, grfi camente una pareja ordenada; por ejemplo, es (75, 300).

1. En el mismo contexto, qu signifi ca la pareja (300, 75)? 2. Analiza los dos modelos lineales que aparecen enseguida, uno perte-

nece a la funcin lineal C(x) = 150 + 2x. Cul es el modelo algebraico de la otra lnea y qu representa?

Minutos

Costo

B

CC (x )1502x

AP

Q

R

0

150

300

450

600

750

150 300 450 600 750

Evidencias de aprendizajey Intercambia los elementos de parejas que describen una funcin, o las va-

riables en la ecuacin de una funcin para obtener la inversa.y Por medio de demostraciones frente al grupo y de manera individual, traza

la grfi ca de la funcin inversa utilizando las grfi cas de la funcin directa y de la funcin idntica.

y En un escrito, desarrolla la aplicacin de las funciones inversas, y funcio-nes especiales para solucionar o modelar situaciones prcticas como el pago de tarifas de agua, de taxis, etctera.

y Elige y justifi ca la traslacin o refl exin que aplic a una grfi ca para ob-tener la regla de correspondencia y la grfi ca de otra funcin que modela una situacin terica o prctica.


Funciones especiales, transformaciones grfi cas y operaciones con funciones Bloque 2 35

Construye tu conocimiento. Refl exiona y responde lo siguiente:

La regla de dependencia de la funcin C(x) = 150 + 2x es multiplicar por 2 y sumar 150. Cul es la regla de dependencia de la otra funcin de la grfi ca?

Escribe las coordenadas de los puntos A( ), B( ) y C( ).

Escribe las coordenadas de los puntos P( ), Q( ) y R( ).

Escribe una conclusin de esta situacin de aprendizaje.

Funciones inversas. Formas algebraica y grfi ca

La primera grfi ca mostrada abajo representa un experimento en el que un culti-vo de bacterias se inicia con 500 de stas; el tamao N del cultivo se duplica cada hora y es una funcin del tiempo t, es decir N = f (t ). Por ejemplo, f (3) = 4000. Pero si pensamos de manera inversa y queremos saber cunto tiempo t se requiere para que la poblacin alcance diversos niveles, entonces el resultado sera la grfi ca de la derecha, es decir: t es una funcin de N. Esta funcin se llama funcin inversa de f y se escribe como f 1(N ) = t se lee inversa de f y signifi ca que es el tiempo necesario para que la poblacin alcance el nivel N (es importante aclarar que 1 no es un exponente). Por ejemplo f 1(4000) = 3.

8000

4000

1

0

123

500

100020004000

500(2t)

4

t---

8000

---

t N f (t )

2 3 4 5

t

N5

4

3

2

1

4000

8000

t

N

0

123

500

100020004000

500(2t)

4

t---

8000

---

tN f (t )


36 Matemticas IV

Atencin! No todas las funciones tienen inversas, slo las que tienen la pro-piedad de ser uno a uno tienen sus inversas porque no hay ambigedad en la relacin del dominio y el rango.

Funcin inversaUna funcin f uno a uno con dominio A y rango B tiene como funcin inversa a f 1 con dominio B y rango A y se defi ne como

f 1( y) = x implica que f (x) = y

para cualquier y en B.

8000

400020001000

5000123

4

t

0123

4

tN

8000

400020001000

500

N

f f

1

A B A B

dominio de f 1 = rango de f rango de f 1 = dominio de f

Ejemplos:

1. Si f (1) = 3, f (4) = 5 y f (7) = 5, encuentra f 1(3), f 1(5) y f 1(5).Solucin:A partir de la defi nicin de f 1(x), entonces

f 1(3) = 1 porque f (1) = 3

f 1(5) = 4 porque f (4) = 5

f 1(5) = 7 porque f (7) = 5



2. Si f (x) = x3 encuentra f 1(x) a partir de la defi nicin.

Solucin:Como la regla de f (x) = x3 es elevar al cubo entonces, f 1(x) es la regla inversa al extraer raz cbica.

f x x =1 3( )

Una manera de comprobar la solucin anterior es analizando la regla de cancelacin siguiente:

f f x f x x x ( ) = = =1 1 3 33( ) ( )f f x f x x x( ) = ( ) = ( ) =1 3 3 3( )

Estas relaciones expresan que la funcin elevar al cubo y la funcin raz cbica se cancelan mutuamente cuando se aplican sucesivamente. De acuerdo con la defi nicin de funciones inversas podemos concluir los pasos a seguir para calcular la inversa de una funcin uno a uno.

Paso 1. Escribimos la funcin como y = f (x). Paso 2. Si es posible resolvemos esta ecuacin para x en trminos de y. Paso 3. Para escribir f 1 como funcin de x, intercambiamos x con y. La

ecuacin que resulte es y = f 1(x).

Ejemplos:

1. Encuentra la funcin inversa de f x x( ) = 1 utilizando los pasos explicados anteriormente.

Solucin:De acuerdo al primer paso escribimos

y x= 1

Luego resolvemos esta ecuacin para x

x 1 = y 2 x = y 2 + 1

(Contina)


38 Matemticas IV

Intercambiamos x por y

y = x 2 + 1

Finalmente, la funcin inversa es f 1(x) = x 2 + 1.

f x x( ) = 1 f 1(x) = x 2 + 1

(1, 0) (0, 1)

(2, 1) (1, 2)

3 2,( ) 2 3,( )(5, 2) (2, 5)

y f 1(x )

y f (x )

x

y

Evidencias de aprendizaje 1. Si f (0) = 1, f (1) = 2 y f (2) = 5, encuentra f 1(1), f 1(2) y f 1(5) y confi r-

ma si corresponden las grfi cas mostradas en la fi gura adjunta.

f 1(1) =

f 1(2) =

f 1(5) =

y f 1(x )

x

y y f (x )

(Continuacin)



2. Encuentra la funcin inversa de f.

Funcin Inversa

f (x) = 3x + 5 f 1(x) =

f x x( ) = 4 f 1(x) =

f x x( ) = 3 f 1(x) =

f (x) = 3 x 3 f 1(x) =

f xxx

( ) =

+

22

f 1(x) =

3. La expresin F = 95

C + 32 expresa la temperatura Fahrenheit (F ) como una

funcin de la temperatura Celsius (C ). Encuentra una frmula para la funcin inversa e interprtala.

C = Interpretacin

4. Dada la grfi ca de f (x).

a) Por qu es uno a uno? b) Escribe el dominio y el rango de f 1(x).

Estima el valor de f 1(1)

Por qu es uno a uno?

x

y y f (x)

Dominio: Rango:

f 1(1) =


40 Matemticas IV

Funciones especialesFuncin constante. La funcin constante f (x) = c es aquella que conserva su rango constante y su dominio es ( , ).

x

y

f (x) c

Funcin identidad. La funcin identidad f (x) = x se conoce as porque es igual que su inversa. Tanto el dominio como el rango estn en el intervalo ( , ) .

f (x) x

x

y

Funcin valor absoluto. La funcin valor absoluto f (x) = | x | se defi ne como:

f xx x

x( ) =

cuando

cuando

0

x 0.

( )( ) ( )f g x x x x x+ = + = + 2 22 2 Dominio: x 0( )( ) ( )f g x x x x x = = 2 22 2 Dominio: x 0( )( ) ( )fg x x x= 2 2 Dominio: x 0fg

xx

x

=

( )2 2

Dominio: x > 0

Winplot. Si utilizamos el programa en computadora para grafi car

la suma ( )( )f g x x x+ = + 2 2 , el resultado es el siguiente y se

puede comprobar que el dominio es x 0.

(Contina)


52 Matemticas IV

Trabajo de investigacin. Utiliza el programa Winplot para obtener las grfi cas de la resta, la multiplicacin y la divisin de las funciones del ejemplo 1.

2. Toma como referencia las funciones f y g del ejemplo 1 y calcula f + g, f g, f g, y g /f para los valores de x = 0, 0.5, 1, 2.

x f (x) = x 2 2 g x x( ) = ( f + g)(x) ( f g)(x) ( f g)(x) (g /f )(x)

0 02 2 = 2 0 0= 2 2 0 02

0

=

0.5 (0.5)2 2 = 1.75 0 5 0 70. . 1.05 2.45 1.23 0.4

1 12 2 = 1 1 1= 0 2 1 1

2 22 2 = 2 2 1 41 . 3.41 0.6 2.82 0.71

Como puedes ver, esta tabla nos es til para aproximar las grfi cas del ejemplo 1 sin la necesi-dad de un programa de computadora.


1. Encuentra f + g, f g, f g y fg

si f (x) = x 3 + 2 x y g(x) = x 2 1.

Operacin Funcin resultante Dominio

f + g

f g

f g

fg

(Continuacin)



2. Encuentra f + g, f g, f g y fg

si f x x( ) = y g(x) = 2 x 2.

Operacin Funcin resultante Dominio

f + g

f g

f g

fg

3. Dadas las grfi cas de f xx

( ) =1

y g(x) = x, grafi ca ( f + g)(x) a partir de las

grfi cas que aparecen a continuacin.

y

x

y x1

y

x

y x

y

x

y x1 x

4. Dadas las grfi cas de f (x) = x 3 y g(x) = x 2 grafi ca ( f + g)(x) a partir de las grfi cas que aparecen a continuacin.

y

x

y

x

y = x 3 y = x 3 + x 2y = x 2

y

x=+


54 Matemticas IV

Composicin de funcionesHay otra manera de combinar dos funciones, por ejemplo si y = f (u) y u = g(x) signifi ca que y tambin depende de x, es decir

y f u f g x= = ( )( ) ( ) Este procedimiento se llama composicin porque la nueva funcin se com-pone de las dos funciones dadas f y g.

Defi nicin. Dadas dos funciones f y g, se dice que la funcin compuesta f g x( )( ) est defi nida por

( f g)(x) = f g x( )( )lo que signifi ca es que para calcular esta nueva funcin primero hay que aplicar la regla de g(x) y a este resultado aplicarle la regla de f . Con el diagrama siguien-te ilustramos esta defi nicin.

f (x ) = x f (g(x )) = 5

g(2) = 5g(x ) = x 2 1

x = 2

Ejemplos:

1. Si f x x( ) = y g(x) = x 2 + 1, encuentra ( f g)(x), su grfi ca y su dominio.

Solucin:Aqu debemos aplicar primero la regla de g y enseguida la de f .

( f g)(x) = f g x f x x( ) ( )( ) = + = +2 21 1 Dominio: < x <




1. Encuentra ( f g)(x), ( g f )(x), ( f f )(x), ( g g)(x) para las funciones dadas de f y g.

f (x ) g (x ) ( f g )(x ) ( g f )(x ) ( f f )(x ) ( g g )(x )

2 x 3x + 2

x 2 1 x

y

x

(f g )(x ) = x 2 1

2. Con las funciones del ejemplo 1 encuentra ( g f )(x).

Solucin:Aqu debemos aplicar primero la regla de f y enseguida la de g

( g f )(x) = g f x g x x x( )( ) = ( ) = ( ) + = +2 1 13. Sabiendo que F(x) = ( f g)(x), encuentra f (x) y g(x) si F x x( ) .= 9

Solucin:

Como F x x( ) = 9 entonces la regla de dependencia es: primero

restar 9 y despus obtener la raz cuadrada. De manera que hacemos

g(x) = x 9 y f x x( ) =


56 Matemticas IV

2. Sabiendo que F(x) = ( f g)(x), encuentra f (x) y g(x).

a) F x x( ) cos= f (x) = ____________ g(x) = ____________

b) F x x( ) = +2 1 f (x) = ____________ g(x) = ____________

3. Utiliza las grfi cas de f y g para estimar el valor de ( f g)(x) para x = 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4. Verifi ca si los puntos de la tercera grfi ca corresponden a estos valores y si es as traza la grfi ca.

f (g(x ))

x x

f g

y y

x

y

Aplicaciones 4. Un avin vuela a una velocidad de 360 km/h, a una altitud de 1600 metros y

pasa directamente sobre un radar en el instante t = 0.

a) Expresa la distancia horizontal d en kilmetros que el avin ha volado como funcin del tiempo t.

Sugerencia: en el movimiento rectilneo a velocidad constante la distan-cia es el producto de la velocidad por el tiempo.

b) Expresa la distancia s entre el avin y el radar como funcin de d (utiliza el teorema de Pitgoras).

c) Aplica la composicin de funciones para expresar s como funcin de t.

d

1600 ms



5. Una varilla de alambre de 6 metros de largo se corta en dos piezas. Una de longitud x se dobla para formar un crculo, y la otra parte (6 x) para formar un cuadrado. Expresa el rea total de las dos fi guras como una funcin de x.

x

6 m

6. Un globo esfrico se est infl ando. Si el radio del globo aumenta a razn de 1 cm/s, expresa el volumen del globo como una funcin del tiempo t. Recuerda

que el volumen de una esfera se obtiene con V r=43

3


58 Matemticas IV

AUTOEVALUACIN PARA EL BLOQUE 2Considera tu desempeo como estudiante e indica la frecuencia con que ocurre la accin que se describe, anotando en el cuadro el nmero correspondiente.

0 Nunca 5 Algunas veces 10 Siempre

CONOCIMIENTOS

Despus de estudiar el bloque, adquiriste los conocimientos que te permiten

reconocer las caractersticas de las funciones inversas?

describir en forma grfi ca y algebraica la inversa de una funcin?

reconocer las funciones valor absoluto, constante, idntica y escalonada?

aplicar las transformaciones de las grfi cas de las funciones?

aplicar las operaciones con funciones?

HABILIDADES

Al fi nalizar el bloque, desarrollaste las habilidades que te permiten

obtener la relacin inversa de una funcin y determinar si sta tambin es una funcin?

utilizar las funciones valor absoluto, idntica, constante y escalonadas, para describir relaciones entre algunas variables?

construir grfi cas y expresiones de funciones, aplicando traslaciones y refl exiones a las grfi cas de otras funciones?

combinar funciones para obtener nuevas funciones a travs de sus operaciones?



CALIFICACIN. Cuenta el total de puntos que obtuviste en ambas tablas y multiplica por 1.1. El resultado se interpreta de acuerdo con las siguientes categoras:

Menos de 59 60 a 69 70 a 79 80 a 89 90 a 100

Defi ciente Regular Bien Muy bien Excelente

Para autoevaluarte con respecto a las actitudes y valores, refl exiona sobre el va-lor que agregaste a tu formacin educativa, desarrollo personal e interaccin con los dems y con el medio ambiente al estudiar el tema.


10BLOQUE Tringulos: ngulos y relaciones mtricas3BLOQUE Funciones polinomiales I

Unidades de competenciaEn este bloque se pretende que el alumno desarrolle las siguientes com pe- ten cias:

y Construir e interpretar modelos polinomiales aplicando las propiedades de las funciones de grados cero, uno y dos, para representar situaciones que involucren tasas nulas, razones de cambio promedio o constante, y la ob-tencin de valores ptimos, para resolver situaciones y problemas tericos o prcticos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.

y Contrastar los resultados obtenidos mediante la aplicacin de modelos polinomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotticas que describen.

y Interpretar tablas, grfi cas, diagramas y textos con informacin relativa a las funciones polinomiales.


y Caracterizar las funciones polinomiales en una variable.y Describir las caractersticas algebraicas de las funciones polinomiales de

grado cero, uno y dos.y Defi nir la infl uencia de los parmetros de funciones de grados cero, uno y

dos en su representacin grfi ca.

Una funcin polinomial con frecuencia se utiliza para modelar volmenes de fi guras geomtricas. Por ejemplo, el volumen de un cilindro coronado por un cono.



y Reconocer funciones polinomiales en su forma general y en sus expresio-nes particulares.

y Distinguir el grado, el coefi ciente principal y el trmino constante de una funcin polinomial.

y Explicar que las funciones constante, lineal y cuadrtica, constituyen ca-sos particulares de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos, respectivamente.

y Aplicar modelos lineales y cuadrticos para la resolucin de problemas.




personas.y Refl exionar sobre la ventaja de realizar transformaciones en grfi cas para

simplifi car procesos algebraicos o geomtricos.y Valorar la utilidad de los modelos lineales y cuadrticos para resolver di-

versos problemas prcticos.y Reconocer sus errores en los procedimientos y mostrar disposicin para

solucionarlos.y Proponer maneras creativas de solucionar problemas matemticos.

y Defi nir las funciones polinomiales de grado uno y las particularidades de los modelos lineales.

y Defi nir las funciones polinomiales de grado dos y las particularidades de los modelos cuadrticos.


62 Matemticas IV


y Comparar el modelo general de las funciones polinomiales con los de funcio-nes particulares y determinar si corresponden a dicha clase de funciones.

y Identifi car la forma polinomial de las funciones constante, lineal y cuadr-tica, as como sus grfi cas respectivas.

y Determinar si la situacin corresponde a un modelo lineal o cuadrtico em-pleando los criterios de comportamientos de datos en tablas, descripcin de enunciados, tipos de grfi cas y regularidades particulares observadas.

y Emplear los modelos lineales y cuadrticos para describir situaciones te-ricas o prcticas que implican o no, razones de crecimiento o decrecimien-to constante que se asocian con dichos modelos.

Actividad de aprendizaje signifi cativoSupn que adquieres una computadora con un costo de 12,000 pesos y que se deprecia en forma lineal 2,400 pesos por ao.

a) Escribe un modelo algebraico y grfi co para calcular la depreciacin C(t ) de la computadora en funcin del tiempo t. Completa la siguiente tabla de depreciacin.

Ao 0 1 2 3 4 5

Costo 12,000

b) En cunto tiempo perder todo su valor?c) Cundo la computadora tiene un valor de 6,000 pesos?

Evidencias de aprendizajey Durante la explicacin de procesos de solucin, hace uso de las repre-

sentaciones de funciones polinomiales particulares, de distinto grado, con todos los exponentes sucesivos y sin algunos de stos, y establece cul es su grado, su coefi ciente principal y su trmino constante.

y Representar grfi camente las funciones lineales como rectas oblicuas; eli-ge modelos lineales con base en razones de cambio o promedio constante, o en primeras diferencias fi nitas.

y Resuelve problemas aplicando modelos lineales o cuadrticos, y sustenta su empleo.


Funciones polinomiales I Bloque 3 63

Construye tu conocimiento Refl exiona sobre el costo inicial de la computadora, corresponde a la orde-

nada en el origen de un modelo lineal? La depreciacin (2,400 pesos/ao), es la pendiente o razn de cambio del

modelo? Puedes construir el modelo algebraico sobre el siguiente sistema de coorde-

nadas?

12,000

Depreciacin

9,600

7,200

4,800

2,400

0 1 2 3 4 5 Aos

Trabajo de investigacin Consulta la razn por la que se deprecian las computadoras y los telfonos

celulares con tanta rapidez. Qu estamos haciendo en Mxico con la basura generada por el desarrollo

tecnolgico? Estamos actuando con una actitud responsable y ecolgica?

Defi nicin de polinomio

Un polinomio P(x) de grado n es una funcin de la forma

P x a x a x a x an

nn

n( ) = + + + +

11

1 0

donde a n 0. Los nmeros a0, a

1, a

2, , a

n se llaman coefi cientes del polinomio,

a0 es el coefi ciente constante y a

n es el coefi ciente de la potencia ms grande o

coefi ciente principal. Por ejemplo, en el polinomio P(x) = 3x 5 + 2x 3 3x + 2 debemos destacar los siguientes elementos:

Coeciente principal

CoecienteconstanteGrado 5

P(x ) 3x 5 2x 3 3x 2


64 Matemticas IV

Los monomios y = x, y = x 2, y = x 3, y = x 4, y = x 5 son las expresiones algebraicas ms simples de un polinomio y sus grfi cas son las siguientes:

y

x

y

x

y

x

y x y x 2 y x 3

y

x

y

x

y x 5y x 4

Si observas con atencin las grfi cas anteriores vas a encontrar que, cuando n es impar, (x) n = x n y los extremos de la grfi ca se alejan en sentidos contrarios. Si n es par (x) n = x n , entonces los extremos de la curva se alejan en el mismo sentido.

y

x

y

x

y x 4 y x 5

En esta funcin n es par,los extremos de la grcase alejan en el mismosentido.

En esta funcin n es impar,los extremos de la grcase alejan en sentidocontrario.



Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Funcin linealEs una funcin de grado uno y corresponde a la ecuacin de una lnea recta y tiene la forma

f x mx b( ) = +

donde m es la pendiente o razn de cambio constante y b la ordenada en el origen o interseccin con el eje y.

Funcin constanteSi en la funcin f x mx b( ) = + la pendiente m = 0, entonces la funcin se conoce como funcin constante porque todos sus valores son iguales a b. La fi gura muestra la grfi ca de esta funcin.

y

x

f (x) b

Parmetros de infl uencia en la lnea recta

Es fcil descubrir que los parmetros de infl uencia en una funcin lineal son su pendiente m y su ordenada en el origen b porque defi nen la razn de cambio de la recta y la interseccin con el eje y respectivamente.

Ejemplos:

1. Grafi ca las siguientes funciones lineales y destaca la pendiente m y la ordenada en el origen b.

a) f x x( ) = 2 1 b) g x x( ) = 223

c) h x( ) = 2

(Contina)


66 Matemticas IV

Solucin:En la primera grfi ca a partir del punto (0, 1) hay una elevacin de 2 unidades por 1 de avan-ce (la pendiente es positiva); en la grfi ca de enmedio a partir de la ordenada en el origen (0, 2) descendemos 2 y avanzamos 3 (la pendiente es negativa), y en la ltima la y permanece constante.

h (x) 2f (x) 2x 1

m 0m 2

22

1

b 2b 1

1

b 2

2

g (x) 2 23

x

m 23

x x x

y y y

32

2. Una recta pasa por los puntos (3, 4) y (3, 1), bosqueja su grfi ca y expresa su ecuacin como una funcin lineal.

Calculamos primero la pendiente de la recta

m =

=

1 43 3

56( )

Enseguida obtenemos la ecuacin con la forma y y m x x = 1 1

( )

y x = ( )4 56

3( )

y x = 456

52

Simplifi cando.

y x= +56

32

Trasponiendo trminos y simplifi cando.

En la grfi ca puedes comprobar que la pendiente m = 56

y la ordenada en el origen es b =32

x

y

(Continuacin)



Aplicacin3. Cristina observ que conducir su automvil durante el mes de mayo le cost 5,000 pesos por

800 kilmetros y en junio 6,000 pesos por 1,200 kilmetros.

a) Expresa el costo C(x) en funcin de la distancia recorrida x, suponiendo que el modelo es una relacin lineal.

b) Qu representa la pendiente del modelo? Traza la grfi ca.c) Qu signifi ca la interseccin de la recta con el eje y ?

Solucin:

a) La pendiente del modelo es m =

= =

6000 50001200 800

1000400

52.

El modelo de ecuacin es

C x x( ) ( ) = 500052

800

C x x( ) = +52

3000

b) La pendiente m =52

signifi ca que por cada 2 km recorridos el costo es de 5 pesos. La gr-

fi ca se muestra enseguida.

5000

km

Costo ($)

3000

1000

0 400 800 1200

c) La interseccin de la recta con el eje y signifi ca que aunque no recorra ningn kilmetro de todas maneras tiene un costo fi jo de 3,000 pesos.


68 Matemticas IV


1. Determina la pendiente m y la ordenada en el origen b en cada una de las siguientes funciones lineales.

h (x) 4

m b m b m b

g (x) 65

x 6f (x) x 225

x x x

y y y

2. Escribe debajo de cada grfi ca la ecuacin correspondiente en forma de funcin.

x x x

f (x) g (x) h (x)

y y y

3. Encuentra la grfi ca y escribe cada ecuacin en forma de funcin:

a) f x x( ) = +13

1 b) 2 3 0x y = c) k x( ) =3 0

x

y

x

y

x

y



Aplicaciones 4. Un pequeo negocio adquiere una computadora por 400 dlares. Si la depre-

ciacin de su valor V(t ) es lineal en funcin del tiempo t y aproximadamente es de 95 dlares por ao:

a) Obtn un modelo algebraico y la grfi ca que relacionen V(t ) con t. b) Determina el valor de la computadora en 3 aos. c) Cundo la computadora vale 20 dlares?

500

t (aos)

V (t)

400

300

200

100

0 1 2 3 4

5. La relacin entre las escalas Fahrenheit (F ) y Celsius (C ) est dada por

F C= +95

32.

a) Completa la tabla para comparar las dos escalas en los valores dados. Bosqueja una grfi ca de la relacin de temperaturas.

b) Determina la temperatura a la cual las escalas coinciden.

Sugerencia: llama T a la temperatura donde coinciden las dos escalas.

C F 80

40

0

40

40 20

80

0 20 40

F

C

302010

0

50

68

86


70 Matemticas IV

4 x

3 y

x

y

6. Un grupo de estudiantes establece que el costo de produccin para elaborar 100 desayunos escolares es de 2,000 pesos y 3,000 pesos si elaboran 200.

a) Supn que la relacin entre costo y el nmero de desayunos es lineal. Obtn una expresin funcional que exprese esta relacin y despus gra-fi ca la funcin.

b) Cul es la pendiente de la funcin y qu signifi ca? c) Cul es la interseccin con el eje y y qu representa?

4000

yC (x) Costo

Nmero de desayunos

3000

2000

1000

0 100 200 x

Actividad de aprendizaje signifi cativoSe inscribe un rectngulo en un tringulo rectngulo como el de la fi gura con cate-tos de 3 y 4 centmetros. Si dos de los lados del rectngulo estn sobre los catetos, encuentra una expresin que calcule el rea de los posibles rectngulos que pueden inscribirse y traza una grfi ca para aproximar el rectngulo de mayor rea.

3

2

1

A (x)y

0 1 2 3 4 x

3

4

Construye tu conocimiento Observa y analiza el siguiente tringulo.



Estars de acuerdo que el rea del rectngulo es A = xy. Analiza la siguiente relacin en el tringulo:

3 34

=

yx

.

Despeja y de la igualdad anterior y sustituye su valor en A = xy. Asgnale valores a x desde 0 hasta 4 y traza la grfi ca.

x 0 1 2 3 4

A(x)

La grfi ca debe resultar una parbola con la concavidad hacia abajo; ya pue-des aproximar A(x) mxima.

Funciones cuadrticas o de grado dos

Otro caso de funciones polinomiales de segundo grado con el cual estamos fami-liarizados, es la funcin cuadrtica, cuya ecuacin es

f x ax bx c( ) = + +2

donde a, b y c son nmeros reales con a 0. Su grfi ca es una parbola. Cuando b = 0 y c = 0 ocurre la forma ms sencilla de una funcin cuadrtica, es decir, f (x) = ax 2. Su grfi ca es una parbola con el vrtice en (0, 0). Si a > 0, entonces la parbola abre hacia arriba y el vrtice es un punto mnimo en la gr-fi ca; si a < 0, entonces el vrtice es un punto mximo y la concavidad es hacia abajo.

Mnimo

Mximo

a > 0 a < 0

f (x ) = ax 2


72 Matemticas IV

Ejemplos:

1. Grfi ca de una funcin cuadrtica. Traza la grfi ca de la funcin f x x( ) .= +2 22

Solucin:Primero dibujamos la forma estndar y x= 2; despus multiplicamos cada punto de esta curva por 2 para obtener y x= 2 2. Luego refl eja-mos sta en el eje x para tener y x= 2 2. Finalmente, desplazamos la ltima fi gura dos unidades hacia arriba para obtener la grfi ca y x= +2 22 .

y 2x 2 2

y x 2y 2x 2

y 2x 2

2. Grfi ca de una funcin cuadrtica completando el cuadrado.

a) Traza la grfi ca de la funcin f x x x( ) = +2 2 3

Solucin:Para hallar la grfi ca de f x x x( ) = +2 2 3 completamos el cuadrado y escribimos su ecuacin en su forma normal o estndar.

f x x x( ) = +2 2 3 Funcin dada.

f x x xcero

( ) 2 2 22 1 1 3{ Completamos el cuadrado sumando yrestando el cuadrado de la mitad del coefi ciente de x.

f x x( ) ( )= +1 22 Simplifi cando, hallamos la forma estndar.

Esta ltima expresin nos dice que es una parbola cuya grfi ca tiene un desplazamiento horizontal de 1 a la derecha, y 2 unidades vertica-les hacia arriba y como a > 0 la parbola tiene su concavidad hacia arriba.



x

y

y x 2 2x 3

b) Traza la grfi ca de la funcin f x x x( ) = + +2 4 12

Solucin:Para hallar la grfi ca de f x x x( ) = + +2 4 12 es fundamental comple-tar el cuadrado y escribir su ecuacin en su forma normal o estndar. El mtodo es el siguiente:

f x x x( ) = + +2 4 12 Funcin dada.

f x x x( ) ( )= +2 2 12 Se factoriza el 2 en trminos de x.f x x x( ) ( ) ( )( )= + +2 2 1 2 1 12 2 2

Completamos el cuadrado sumando y restando el cuadrado de la mitad del coefi ciente de x.

f x x( ) ( )= +2 1 32 Simplifi cando, hallamos la forma estndar.

Esta ltima expresin nos dice que es una parbola cuya grfi ca tiene un desplazamiento horizontal de 1 unidad a la derecha, y 3 unidades verticales hacia arriba y como a < 0 la parbola abre hacia abajo.

Si en el ejemplo anterior compa-ramos el resultado con la forma f x a x h k( ) ( ) ,= +2 el vrtice de

la parbola es el punto V h k( , ) por lo que la funcin tiene un mximo si a < 0 o un mnimo si a > 0 cuan-do f h k( ) .=

x

y

y 2x 2 4x 1


74 Matemticas IV


1. Asocia cada una de las siguientes funciones con sus respectivas grfi cas es-cribiendo su ecuacin debajo de cada curva.

a) f x x( ) ( )= + 2 1 22 b) g x x( ) ( )= + 2 12 c) h x x( ) ( )= +1 32

x

y

x

y

x

y

2. A partir de la funcin estndar f (x) = x 2 dibuja las parbolas g(x) = (x + 2)2 3 y h(x) = 2(x + 2)2 + 3.

x

y

x

y

x

y

f (x ) = x 2

3. Completa el cuadrado y transforma la funcin dada en forma estndar para que puedas asociarla y escribirla en su grfi ca correspondiente.

a) f x x x( ) = 2 4 1 b) g x x x( ) = 2 2 1 c) h x x x( ) = +2 4 12

x

y

x

y

x

y



Valor mximo o mnimo de una parbola

Escribir una funcin cuadrtica f x ax bx c( ) = + +2 en su forma estndar f x a x h k( ) ( )= +2 nos auxilia a trazar fcilmente su grfi ca y a determinar el valor mximo o mnimo utilizando como frmula la expresin que resulta al completar el cuadrado.

f x ax bx c( ) = + +2 Funcin dada.

f x a xbax c( ) = +

+

2 Factorizamos a en trminos de x.

f x a xbax

ba

aba

( ) = + +

2

2 2

2 2++ c Completamos el cuadrado.

f x a xba

cba

( ) = +

+ 2 42 2

Factorizando y simplifi cando.

Esta ecuacin nos ensea que la parbola tiene un mximo o un mnimo cuando

hba

=

2 y f x k( ) = segn la parbola tenga a < 0 o a > 0, respectivamente. Por

tanto:

Una parbola f (x) = ax 2 + bx + c tiene un valor mximo o mnimo cuando ocurre que

xba

=

2

Si a < 0, entonces f ba

2 es un valor mximo.

Si a > 0, entonces f ba

2 es un valor mnimo.

x

Mnimo a > 0 Mximo a < 0

y

x

y


76 Matemticas IV

Ejemplos:

1. Determina el valor mximo o mnimo de la funcin cuadrtica f x x x( ) .= 4 2

Solucin:Si observas con cuidado la funcin, tenemos que a = 1, b = 4. Como a < 0 la funcin tiene un valor mximo y est en

xba

= =

=

24

2 12

( ) y es f ( ) ( ) ( )2 4 2 2 42= =

x

y

Mximo 2, 4)

2. Determina el valor mximo o mnimo de la funcin cuadrtica f (x) = 2x 2 + 4x 1.Solucin:Si observas con cuidado la funcin, tenemos que a = 2, b = 4. Como a > 0 la funcin tiene un valor mnimo y est en

xba

= = =

24

2 21

( ) y es f ( ) ( ) ( ) = + = 1 2 1 4 1 1 32

x

y

Mnimo (1, 3)




Se dan las siguientes funciones cuadrticas y sus grfi cas, expresa cada una en su forma estndar y determina el valor mximo o mnimo.

1. f x x x( ) = + +2 4 1

x

y

Forma estndar Valor mximo o mnimo

2. g x x x( ) = 2 4

x

y


3. h x x x( ) = 1 4 2 2

x

y



78 Matemticas IV

Winplot. Seccin especial

Para calcular los valores extremos de una funcin en el programa, sigue esta se-cuencia que grafi ca la funcin h x x x( ) = 1 4 2 2 del ejemplo anterior.

2 dim Ecua Una Extremosf (x) = 1 4x 2x^2

Esta es la pantalla fi nal que debes obtener:

Aplicaciones 1. Un ingeniero en matemticas asesora a un comerciante para determinar

un modelo matemtico que le proporcione la utilidad U(x) en dlares generada por las ventas de x artculos por semana, y disea la siguiente frmula:

U x x x( ) = 3015

2

a) Cuntos artculos debe vender en una semana para obtener la mxima ganancia?

b) Cuntos artculos debe vender para tener una utilidad de 1,000 dlares?

Solucin:a) Esta es una funcin cuadrtica con a =

15, y b = 30, entonces la

utilidad mxima se dar cuando: x =

=

30

215

75; por lo tanto,

matematicas.iv.funciones.2ed.rene.jimenez[u libros.com]

Documents