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Matemáticas III: Geometría Analítica

MATEMÁTICAS III: GEOMETRIA ANALÍTICA

Derechos Reservados D.R. © 2008, Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin autorización por escrito del Conalep. Primera Edición Calle 16 de Septiembre No. 147 Nte., Col. Lázaro Cárdenas, Metepec, Edo. De México, C.P. 52148

Matemáticas III: Geometría Analítica I

Índice PÁG. I Mensaje al alumno 4II Simbología 5Capítulo 1. Aplicación de los principales modelos matemáticos de las rectas en la solución de problemas 61.1.1 Relaciones y funciones 71.1.2 Coordenadas rectangulares 71.2.1 Líneas rectas 8 • Distancia entre dos puntos 8 • Inclinación y pendiente de una recta 12 • Pendiente de rectas perpendiculares 13 • Ecuación de una recta dadas la pendiente y su ordenada al origen 14 • Ecuación de la recta forma punto pendiente 16Prácticas y Listas de Cotejo 19 Capítulo 2. Aplicación de los principales modelos matemáticos de las cónicas 322.1.1 Circunferencia 33 • Ecuación general de la circunferencia 342.2.1 Parábola 372.2.2 Aplicaciones de las ecuaciones de las parábolas 37 • Ecuación normal de la parábola vertical 38 • Ecuación normal de la parábola horizontal 38 • Ecuación general de la parábola 40 • Ecuación general de la parábola vertical 02.3.1 Elipse 432.3.2 Aplicaciones de las ecuaciones de las elipses 43 • Traslación de ejes 45 • Excentricidad y lado recto 462.4.1 Hipérbola 50 • Representación gráfica de la hipérbola 52 • Hipérbola con centro fuera del origen 53Prácticas y listas de cotejo 55 Capítulo 3. Transformación de una ecuación, trasladando o rotando ejes coordenadas a un nuevo origen 673.1.1 Ecuación general de las cónicas 683.1.2 Aplicaciones de la ecuación general de las cónicas 693.2.1 Rotación de ejes 70Prácticas y listas de cotejo 75Autoevaluación 78Respuestas a la autoevaluación 80Referencias documentales 82

Matemáticas III: Geometría Analítica 3

I.‐Mensaje al alumno EL CONALEP, a partir de la Reforma Académica 2003, diseña y actualiza sus carreras, innovando sus perfiles, planes y

programas de estudio, manuales teórico‐prácticos, con los avances educativos, científicos, tecnológicos y humanísticos

predominantes en el mundo globalizado, acordes a las necesidades del país para conferir una mayor competitividad a

sus egresados, por lo que se crea la modalidad de Educación y Capacitación Basada en Competencias Contextualizadas,

que considera las tendencias internacionales y nacionales de la educación tecnológica, lo que implica un reto

permanente en la conjugación de esfuerzos.

Este manual teórico práctico que apoya al módulo, ha sido diseñado bajo la Modalidad Educativa Basada en

Competencias Contextualizadas, con el fin de ofrecerte una alternativa efectiva para el desarrollo de conocimientos,

habilidades y actitudes que contribuyan a elevar tu potencial productivo y, a la vez que satisfagan las demandas

actuales del sector laboral, te formen de manera integral con la oportunidad de realizar estudios a nivel superior.

Esta modalidad requiere tu participación e involucramiento activo en ejercicios y prácticas con simuladores, vivencias y

casos reales para promover un aprendizaje integral y significativo, a través de experiencias. Durante este proceso

deberás mostrar evidencias que permitirán evaluar tu aprendizaje y el desarrollo de competencias laborales y

complementarias requeridas.

El conocimiento y la experiencia adquirida se verán reflejados a corto plazo en el mejoramiento de tu desempeño

laboral y social, lo cual te permitirá llegar tan lejos como quieras


II. Simbología

Estudio individual

Investigación documental

Consulta con el docente

Redacción de trabajo

Comparación de resultados con otros compañeros

Repetición del ejercicio

Trabajo en equipo

Sugerencias o notas

Realización del ejercicio

Resumen

Observación

Consideraciones sobre seguridad e higiene

Investigación de campo

Portafolios de evidencias


1 APLICACIÓN DE LOS PRINCIPALES MODELOS MATEMÁTICOS DE

LAS RECTAS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS


X1

X2

Y

Do m in io Ran g o

Fu n ció n

1.1 Graficar rectas en un sistema coordenado Durante el presente curso estudiaremos una forma más compleja de las matemáticas, que nos ayudará a entender mejor la composición geométrica de los objetos de nuestro contexto. La geometría analítica es la rama de las matemáticas que se encarga de analizar dos problemas fundamentales, a saber:

Dada una ecuación, hallar el lugar geométrico que representa

Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuación matemática.

Nos abocaremos exclusivamente a la geometría analítica plana, es decir, en dos dimensiones (x, y) y sus principales aplicaciones en los campos de la tecnología e industria. 1.1.1 Relaciones y funciones Definamos primero algunas categorías conceptuales clave para manejar el lenguaje matemático correspondiente a la unidad de estudio, las cuales nos facilitarán el trabajo. Una función es la correspondencia que se establece entre los elementos de dos conjuntos X, Y y asocia a cada elemento del primer conjunto (x) con un elemento único del segundo conjunto [y ó f(x)].

Fig. 1.1. a

Por otro Una relación es la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que asocia cada elemento del primer conjunto (x) con un elemento o varios del segundo conjunto (y).

Fig. 1.1. b

X1

X2

Y

Dominio Rango

Relación

Entendemos como dominio el conjunto formado por los primeros elementos, se representa con la variable (x), se le conoce también como variable independiente, esto significa que podemos asignarle un valor el cual condicionará el valor de la función.

También es necesario saber que un rango o contradominio es el formado por los elementos del segundo conjunto Y, se le conoce también como variable dependiente y = f(x). Por último, conocemos como pares ordenados la relación que se establece entre los elementos del dominio y los del contradominio, se representa en forma de coordenadas (x, y), al valor de x se le llama abscisa, al valor de y se le denomina ordenada. 1.1.2 Coordenadas rectangulares El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que intersecan en un punto 0 llamado origen. La recta horizontal X’ 0X se denomina eje de las x ó de las abscisas; la recta Y’ 0Y se llama eje de las y o de las ordenadas; por lo tanto, la distancia de un punto al eje y se llama abscisa y la distancia al eje x se conoce como ordenada; ambas constituyen las coordenadas del punto y se representan con el símbolo (x, y) o par ordenado, como ya hemos visto. Las abscisas son positivas cuando el punto está situado a la derecha del eje y, serán negativas en el caso contrario. Las ordenadas son positivas cuando el punto está situado por encima del eje x.


Fig. 1.2 Representación en un sistema rectangular de coordenadas de la asociación (x, y) de una función particular. Ejemplos de funciones La simbología que emplearemos usualmente en la notación de funciones será y = f(x), donde, como ya hemos visto, x representa a los elementos del dominio; mientras y representa a los del rango. Función lineal. Es de la forma y = mx + b. Esta es una ecuación de primer grado cuya representación geométrica corresponde a una línea recta, de ahí la denominación que se le da. Función cuadrática. Esta función es de la forma y = ax2 + bx + c cuyo lugar geométrico corresponde a una parábola. Ejemplo: Sea la función y = f(x) = 3x – 5 El dominio de la función es el conjunto de los números reales, es decir, no hay ningún elemento x para el cual la función sea discontinua. Para poder trazar la gráfica es necesario establecer un intervalo del dominio desde un límite inferior hasta un límite superior sustituyendo cada valor de x (dominio) en la función para obtener su correspondiente valor de y (rango). Vamos a considerar el intervalo [‐2, 2], o sea, que x va a ir desde –2 hasta 2. Si sustituimos x = –2 en nuestra función obtendremos: y = f (‐2) = 3 (‐2) – 5 y = ‐6 – 5 y = ‐11

Por lo tanto, nuestro primer par ordenado o coordenadas será (‐2, ‐11) si x = ‐1, entonces: y = f (‐1) = 3 (‐1) – 5 y = ‐8 El segundo punto tiene por coordenadas (‐1, ‐8), el tercero será (0, ‐5) el cuarto (1, ‐2), finalmente el quinto par ordenado será (2, 1).Como hemos podido observar, cada vez que sustituimos un valor del dominio obtenemos uno para el rango. Con estas coordenadas, trazándolas una a una y uniéndolas, podemos finalmente construir la gráfica de la función que está representada en la figura 1.3 y que será una línea recta, ya que la función que trabajamos es una función lineal.

Fig.1.3

y 654321 (2,1)

x-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1 (1,-2)-2-3-4 (0,-5)-5

•

• •

•

Es conveniente puntualizar que este método únicamente nos entrega un valor de y por cada valor de x, mostrándonos la gráfica en el intervalo del dominio indicado previamente. 1.2.1 Líneas rectas • Distancia entre dos puntos Como hemos visto en los apartados anteriores, podemos representar un punto o un conjunto de puntos en el plano, a través de pares ordenados o coordenadas

Y

X

I V I I I

I I I


2 2

2 2

rectangulares trazados correctamente en el sistema coordenado rectangular. Ahora bien, un parámetro importante a analizar y obtener es la distancia entre puntos, para ello vamos a trazar dos puntos cualesquiera en el plano, que representaremos con los pares ordenados P1(x1,y1) y P2(x2, y2). En la figura 1.4 se muestra la ubicación de dichos puntos así como el segmento de recta que los une, el cual mostrará la magnitud a calcular y lo denominaremos d, formando la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Fig. 1.4

y 6

5

4 P2

3 P1

2 Y2 - Y1

1 X2 - X1

x-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

• •

• d

El cateto del triángulo paralelo al eje x tendrá por magnitud x2 – x1 y el cateto paralelo al eje y tendrá por magnitud y2 –y1, aplicando el teorema de Pitágoras a este triángulo obtendremos la ecuación: d2 = (x2 – x1)

2 + (y2 – y1)2

Ecuación 1.1 Representa la ecuación que nos permite calcular la distancia entre dos puntos. Ejemplo:

Sean los puntos P1(‐3, 1) y P2(1,4), calcular la distancia entre ellos. Trazar la gráfica correspondiente. Una recomendación importante en el estudio de la geometría analítica es que, antes de realizar cualquier cálculo, si es posible, debemos trazar la gráfica o los datos disponibles, en este problema nuestra gráfica se muestra en la siguiente figura. Fig. 1.5

y 6

5

4 P2 (1,4)3

d = 5 2

P1 (-3,1) 1

x-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

•

•

Al sustituir los datos en la ecuación 1.1 obtenemos:

( )[ ] ( )1431 −+−−=d

34 +=d

916 +=d

25=d

5=d El resultado indica que la distancia entre los dos puntos es igual a cinco unidades, como podemos observar siempre será una magnitud positiva no importando la ubicación de los puntos en el plano.

Ecuación del punto medio. Hemos demostrado la ecuación para obtener la distancia entre dos puntos, también observamos que dicha distancia siempre será una magnitud positiva; en este apartado, obtendremos las

1 2 X m = 2

XX +


2 21

m

m

ecuaciones para determinar las coordenadas del punto medio entre dos puntos cualesquiera sobre el plano; para ello, nuevamente trazamos nuestra gráfica correspondiente. Veamos la figura 1.6. Fig. 1.6 Sean P1 (x1, y1) y P2 (x 2, y2) dos puntos cualesquiera sobre el plano, y Pm (xm, ym) el punto medio sobre el segmento P1 P2. Como podemos observar en la figura 1.6, se nos han generado dos triángulos rectángulos idénticos toman‐do como referencia el punto medio para trazar sus hipotenusas. Si los esquematizamos por separado, observaremos sus magnitudes y la correspondencia que hay entre ellos, véase la figura 1.7. Fig. 1.7

Y m -Y 1

X m -X 1

d d

X 2 -X m

Y 2 -Y m

Como ambos triángulos son idénticos, podemos establecer las siguientes igualdades:

xm ‐ x1 = x2 ‐ xm,

para catetos en ‘x’, agrupando xm. xm + xm = x1 + x2 2xm = x1 + x2 Ecuación 1.2

1 2

Xm =

2XX +

Para los catetos en ´y´, la expresión será: ym ‐ y1 = y2 ‐ ym

Agrupando ym

ym + ym = y1 + y2

2ym = y1 + y2 Ecuación 1.3

Ambas ecuaciones proporcionan las coordenadas del punto medio en abscisas y ordenadas por separado; para lo cual únicamente necesitamos las coordenadas de los puntos en cuestión. Ejemplos a) Sean los puntos P1 (5, 7) ó P2 (‐1, 3), determinar las

coordenadas del punto medio entre ellos. b) La gráfica de los puntos P1 y P2 se muestra en la figura 1.8 Fig. 1.8 Aplicando las ecuaciones 1.2 y 1.3, obtenemos:

224

215

2==

−=

+=

XXX

por lo tanto, la abscisa del punto medio es igual a 2.

52

102

732

==+

=+

=YYY

Así pues, la ordenada del punto medio es igual a cinco, entonces las coordenadas del punto medio son Pm (2, 5). La gráfica mostrando los tres puntos es: Fig. 1.9

0 X-X

Y

-Y

P1

(5,7)

P2

(-1,3)

Pm

(2,5)

En el ejemplo el punto medio se ubica en el cuadrante I, pero, dependiendo de las coordenadas de los puntos P1 y P2, puede quedar situado en cualquiera de los cuatro cuadrantes.

Ym = Y1 + Y2 2


1 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

c) Sean los puntos P1 (‐3, ‐1), P2 (1, 2) y P3 (5, ‐1) los vértices de un triángulo isósceles, determinar el perímetro y área del triángulo.

Se trazan los puntos P1, P2 y P3 en el plano cartesiano, los unimos con segmentos de rectas para formar el triángulo a estudiar; véase la figura 1.10 Fig. 1.10

0 X-X

Y

-Y

P1

(-3,-1)

P2

(1,2)

P3

(5,-1)

Para determinar el perímetro de la figura debemos calcular las distancias de los segmentos:

P1P2, P2P3 y P1P3

y sumar las magnitudes, por lo tanto, el perímetro del triángulo estará dado por: P = d1,2 + d2,3 + d1,3 Calculando d1,2 obtenemos:

( )[ ] ( )[ ]123--1d −−+=

d1,2 = 916 +

d1,2 = 25 d1,2 = 5 La distancia de P1 a P2 es de 5 unidades; calculando d2,3 se obtiene:

d2,3 = ( ) ( )2,115 −−+−

d2,3 = 34 + d2,3 = 5 La distancia de P2 a P3 también es de cinco unidades, esto es porque el triángulo es isósceles y tiene siempre dos lados iguales, por último, nos falta determinar la magnitud del tercer lado:

d1,3 = ( )[ ] ( )[ ]1135 −−−+−−

d1,3 = ( ) ( )1135 +−++

d1,3 = 64

d1,3 = 8 entonces, la distancia de P1 a P3 es de 8 unidades y el perímetro finalmente será igual a:

P = d1,2 + d2,3 + d1,3 P = 5 + 5 + 8 P = 18 unidades Para determinar el área del triángulo debemos hacer uso de la fórmula de geometría plana, la cual nos dice que el área del triángulo es igual al producto de la base por la

altura dividido entre dos 2bh

. Si observamos nuestra

gráfica (Fig. 1.10), comprobaremos que la base del triángulo es el segmento que va de P1 a P3 o sea que b = d1,3 = 8 unidades. La altura será la distancia comprendida entre el punto medio del segmento P1P3 y el punto P2, véase figura 1.11.

P2

(X2,Y2)

P1

(X1, Y1)0 X-X

Y

-Y

(Xm,Ym) Pm

d

d

Xm-X1

Ym-Y1

X2-Xm

Y2-Ym

0 X-X

Y

-Y

P1

(5,7)

P2

(-1,3)


2 2

2

Fig. 1.11

P m

(-1 ,-1 )

0 X-X

Y

-Y

P 1

(-3 ,-1 )

P 2

(1 ,2 )

P 3

(5 ,-1 )

Debemos entonces calcular las coordenadas de este punto medio que serán:

xm = 122

253

==+−

xm = 1

ym = 122

211

−=−

=−−

ym = ‐1 El punto medio es Pm(1,‐1) y la distancia al punto P2 será:

dm,2 = ( )[ ] ( )[ ]1112 −−+−−

dm,2 = 3

h = dm,2 = 3 Por lo que, la altura del triángulo es igual a tres unidades. Concluyendo, el área de esta figura es:

A = ( )( )

224

238

2==

bh

A = 12 unidades cuadradas

• Inclinación y pendiente de una recta La inclinación de una recta L que pasa por los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) es el ángulo que dicha recta forma con el eje x, y se mide desde el eje x a la recta L, en el

sentido contrario a las manecillas del reloj. Si L fuera paralela al eje x, el ángulo de inclinación sería cero. Por otro lado, si L fuera paralela al eje y, el ángulo de inclinación sería de 90°. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación. Para obtener la inclinación de la pendiente, trazaremos los puntos P1 y P2 en el plano cartesiano como se muestra en la figura 1.12. Fig. 1.12 El ángulo de inclinación de la recta L es igual al ángulo que forman la hipotenusa y el cateto paralelo al eje x del triángulo rectángulo de la gráfica. Sabemos que la pendiente es igual a la tangente del ángulo, en símbolos se expresa con la ecuación: Ecuación 1.4

m = tg θ

Si trazamos por separado el triángulo de la figura 1.12; tenemos: Fig. 1.12a

Y 2-Y 1

X2-X1

P 1ø

P 2

En donde el cateto adyacente al ángulo es la magnitud x2 ‐ x1 y el cateto opuesto es y2 – y1. Recordamos por trigonometría que la tangente del ángulo es igual al cateto

0 X-X

Y

-Y

L

(X1 , Y 1 )P 1

P 2 (X2 , Y 2 )

X2 -X1

Y 2 -Y 1

ø

ø


opuesto entre el cateto adyacente, por lo cual podemos decir: Ecuación 1.5 m = tg θ = y2 – y1 x2 – x1 Esta ecuación es muy útil, pues a partir de dos puntos pertenecientes a una recta, podemos determinar su pendiente y ángulo de inclinación con respecto al eje x; además, como veremos más tarde, a partir de esta misma ecuación, en forma generalizada, obtendremos la ecuación de la recta en su formato punto–pendiente y la función lineal. Ejemplo Calcular el ángulo de inclinación y la pendiente de la recta que pasa por los puntos P1 (6, 3) y P2 (‐5, ‐4). Como es costumbre, primero trazaremos nuestra gráfica en el sistema coordenado rectangular, véase la figura 1.13. Figura 1.13

0 X-X

Y

-Y

P1

(6,3)

P2

(-5,-4)

ø

Sustituyendo en la ecuación 1.5 las coordenadas de los puntos P1 y P2 , obtenemos:

m = tg θ = 3 – (‐4) = 7 6 – (‐5) 11

Por lo tanto la pendiente de la recta es:

m = 117

y la inclinación está dada por:

θ = tg‐1 7 ≈ 32° 28’ 11

Este último valor puede obtenerse a través de las tablas trigonométricas, calculadora o, bien, directamente en la gráfica con un transportador. Es conveniente resaltar que una pendiente positiva (m>0) siempre dará una inclinación entre 0° y 90°; una pendiente negativa (m<0) mostrará una inclinación entre 90° y 180°, tomando siempre como referencia al eje x. • Pendiente de rectas perpendiculares En el apartado anterior pudimos lograr la ecuación la cual nos permite encontrar la pendiente de una recta a partir de dos puntos, ahora obtendremos la relación de las pendientes de dos rectas perpendiculares entre sí. Sean, pues, las rectas L1 y L2 cuyas pendientes son m1 y m2, respectivamente, a su vez perpendiculares entre sí. Veamos ésta situación: Fig. 1.14

0 X-X

Y

-Y

L1

ø1

L2

ø2

Sean los ángulos θ1 y θ2 las inclinaciones de las rectas L1 y L2 respectivamente, en la gráfica podemos observar que los ángulos forman las siguientes relaciones, auxiliándonos del ángulo complementario α y aplicando nuestros conocimientos de geometría plana obtenemos las expresiones: (1) θ1 + α + 90° = 180° (2) θ2 + α = 180° Igualando estas ecuaciones se obtiene: θ1 + 90° = θ2 o bien θ1 + 45° = θ2 ‐ 45° Aplicando la función tangente en ambos miembros:

tg (θ1 + 45°) = tg (θ2 ‐ 45°) Desarrollando estas expresiones trigonométricas:


tg θ1 + tg 45° = tg θ2 ‐ tg 45° 1 ‐ tgθ1 tg45° 1 + tgθ2 tg45°

Ahora, sabemos que tg θ1 = m1, tg θ2 = m2 y tg 45° = 1; sustituyendo tendremos:

m1 + 1 = m2 – 1 1 – m 1 + m2

Eliminando denominadores: (m1 + 1) (1 + m2) = (m2 – 1) (1 – m1)

Desarrollando productos obtendremos:

m1 + m1m2 + 1 + m2 = m2 – m1m2 – 1 + m1

simplificando y ordenando términos: Ecuación 1.6

2 m1m2 = ‐2 m1m2 = ‐2 2 m1m2 = ‐1

Esta ecuación nos muestra el criterio para dos rectas perpendiculares entre sí, textualmente: “Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es igual a –1”. Más adelante veremos que este criterio tiene múltiples aplicaciones. • Ecuación de una recta dadas la pendiente y su

ordenada al origen Desde el inicio de nuestro curso hasta este momento, hemos analizado los principales parámetros y conceptos para poder construir una recta en el plano cartesiano, así como los criterios y ecuaciones para calcular su inclinación además de la pendiente a partir de puntos que pertenecen a la misma. Hemos podido determinar con base en un par de puntos, las características principales de una recta.

Sin embargo, aún no hemos expresado una recta en forma de ecuación propiamente hablando, para ello, nos vamos a apoyar en un ejercicio de la pendiente a partir de dos puntos, que habíamos deducido en apartados anteriores. Recordando, la ecuación 1.5:

m = y2 – y1 x2 – x1

Al aplicar la ley de simetría y despejando el numerador obtenemos: Ecuación 1.5 a

y2 – y1 = m (x2 – x1)

A esta expresión vamos a darle un enfoque especial, considerando que uno de los puntos es aquel en el cual la recta interseca con el eje y o el eje de las ordenadas, el otro punto será uno cualquiera sobre el plano cartesiano; habiendo hecho esta convención podemos reexpresar los puntos como:

P1 = (x1, y2) = (0, b) P2 = (x2, y2) = ( x, y), Por otro lado, si graficamos ésta situación especial para dicha recta obtenemos: Fig. 1.15

0 X-X

Y

-Y

P1

(0,b)

P2

(X,Y)

Sustituyendo nuestros nuevos puntos, los que corresponden a la gráfica, en la ecuación 1.5a, se tiene: y – b = m (x – 0)

simplificando y despejando ‘y’, tenemos:


Ecuación 1.7

y = mx + b

Esta ecuación se conoce como de la recta pendiente ordenada al origen o, simplemente, como función lineal; con frecuencia se expresa utilizando la notación de funciones. f (x) = mx + b

En donde, como sabemos, m es la pendiente y b es la ordenada al origen o el valor en que la recta interseca con el eje y. La gran ventaja que ofrece esta nueva ecuación, es poder obtener su lugar geométrico o gráfica con mucha facilidad, como a continuación se demostrará. Ejemplo Dada la ecuación y = 3x – 6, determinar la pendiente, la ordenada al origen y trazar su lugar geométrico correspondiente, indicando su inclinación. Esta ecuación obedece al formato y = mx + b, por simple inspección concluimos que m = 3, b = ‐6 y P1 (o, ‐6). Recordemos que para poder graficar una recta necesitamos, por lo menos, dos puntos; para obtener el otro punto, que en este caso será en el que la recta interseca con el eje x, debemos igualar la ecuación a cero, es decir, y = 0: 3x – 6 = 0 resolviendo x, se tiene:

3x = 6

x = 36

x = 2

por lo que el otro punto es P2 (2, 0), también conocido como abscisa al origen. Si los trazamos en el plano tendremos Fig. 1.16

0 X-X

Y

-Y

P 1

P 2

ø ˜ 7 1 °

Por último, la inclinación de nuestra recta es:

tg θ = m = 3, por lo tanto θ = tg‐1 3 ≈ 71° 33’

Comparación de resultados con otros compañeros Considerando que una de las aplicaciones prácticas de la ecuación de

la recta expresada en forma de función lineal es el campo de la electrotecnia en donde a partir de condiciones iniciales dadas podemos evaluar la resistencia eléctrica de alambres de diferente calibre a diferentes temperaturas, o bien, podemos graficar la resistencia de diferentes materiales a una misma temperatura, en todo caso se emplea la función: R = mT + b En donde es necesario determinar m y b a partir de condiciones iniciales de resistencia y temperatura. Realizar tres ejercicios con diferentes valores y comparar los resultados con sus compañeros Ejemplo Un alambre a temperatura ambiente (17ºC) muestra una resistencia de 300 Ω; si la temperatura se eleva a 30ºC la resistencia que presenta es de 326 Ω. a) ¿Cuál es la función que muestra el comportamiento

de la resistencia de éste alambre a diferentes temperaturas?

b) ¿Qué resistencia presentará el alambre a 0ºC? c) ¿A que temperatura el alambre tendrá una resistencia

nula?


Solución. a) Aplicando los teoremas y definiciones que

conocemos, se determina la pendiente de la función; a partir de la ecuación:

m = y2 ‐ y1 x2 ‐ x1

Sustituyendo valores: m = R2 ‐ R1 = 326 – 300 T2 ‐ T1 30 – 17 = 26 = 2 13 m = 2. Para construir la función lineal sustituimos en la ecuación normal de la recta. (y – y1) = m (x – x1) (R – R1) = m (T – T1) R – 300 = 2 ( T – 17) R – 300 = 2T – 34 Despejando R obtenemos: R = 2T – 34 + 300 R = 2T + 266 b) La resistencia a 0ºC será:

R = 2 (0) + 266 R = 266 Ω

c) La temperatura para una resistencia nula será:

R = 2T + 266 = 0 2T = ‐266 T = ‐266/2

T = ‐133ºC

A una temperatura de –133ºC el alambre no presentará resistencia eléctrica

Ecuación de la recta forma punto pendiente Con los conocimientos que hemos adquirido acerca de las rectas y sus principales parámetros podemos ya, finalmente, obtener la ecuación de la recta y expresarla ya sea en forma general (Ax + By + C = 0) que ya veremos en el apartado final o en forma de pendiente – ordenada (y = mx + b); de hecho podemos pasar de una forma a otra sin mucha dificultad como analizaremos más tarde.

La ecuación de la recta punto–pendiente (algunos autores la llaman ecuación de la recta forma cartesiana) se deduce también de la fórmula para la pendiente (ecuación 1.5 a), pero en este caso, el punto P2 de la fórmula, se representa como P (x, y); o sea, un punto cualquiera de los que forman parte de la recta por lo cual la ecuación queda representada como: Ecuación 1.8 (y – y1) = m (x – x1) A partir de este “formato” se puede obtener la ecuación de la recta, ya sea en forma general o en forma pendiente–ordenada, teniendo únicamente: a) La pendiente y un punto [m, P1 (x1, y1)] b) Dos puntos (con los cuales podemos calcular la

pendiente) [P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)]. Ejemplo Calcular la ecuación de la recta en forma general y en forma pendiente–ordenada que pasa por el punto P(5, 2), cuya pendiente m = ‐2. Traza la gráfica. Comenzamos por sustituir nuestros datos en la ecuación punto–pendiente:

y – 2 = ‐2 (x – 5) y – 2 = ‐2x + 10

La ecuación en forma general es: 2x + y – 12 = 0

y en forma pendiente – ordenada:


y = ‐2x + 12

Esta última nos es más útil para obtener la gráfica, sabemos que la pendiente es m = ‐2, b = 12 y P1 (0,12). Si adicionamos P (5, 29) como dato, podemos trazar la recta: Fig. 1.17

0 X-X

Y

-Y

P1

(0,12)

ø ˜ 117° P2 (5,2)

Como en este caso la pendiente es negativa, el ángulo de inclinación es mayor que 90°. M = tg θ = ‐2 θ = tg‐1 (‐2) θ = 116° 33’. Ejemplo Dados los puntos P1 (‐3, ‐2) y P2 (4,1), calcular la ecuación de la recta en forma general y en forma pendiente–ordenada (función lineal), determinando la ordenada al origen más su inclinación. Trazar la gráfica correspondiente.

Fig. 1.18

0 X- X

Y

- Y

P 1

( - 3 , - 2 )

ø ˜ 2 3 °

P 2 ( 4 , 1 )

Nuestro primer paso es calcular la pendiente:

m = y2 – y1 = 1 + 2 = 3 x2 – x1 4 + 3 7

m = 3/7 Sustituyendo en la ecuación punto–pendiente obtenemos: ( y + 2 ) = 3/7 ( x + 3 ) quitando denominador: 7 ( y + 2) = 3 ( x + 3) Desarrollando:

7y + 14 = 3x + 9 3x – 7y – 5 = 0 En forma general y = 3 x – 5

7 7 En forma pendiente–ordenada. Por lo tanto, la ordenada al origen: b = ‐5 7 P(0, ‐5/7) punto de intersección con el eje y, y la inclinación: m = tg θ = 3/7 θ = tg‐1 (3/7) θ ≈ 23° 11’ Realización del ejercicio

Experimentalmente se ha comprobado que la presión del agua aumentará cuando un objeto se encuentra a mayor profundidad, dicha presión es posible determinarla con la ecuación:

P = ρgh

En donde P es la presión, ρ es la densidad del agua, (ρ = 1000 Kg/cm3), g es la aceleración de caída libre (g = 9.8 m/s2) y h la profundidad a la que se encuentra el cuerpo.


Ejemplo

Determinar la función lineal de presión contra profundidad. Si sabemos que la presión hidrostática está definida por:

P = ρgh

Sustituimos ρ y g en la ecuación: P = 1000 (9.8) h P = 9800 h Que será la función lineal. Podemos observar que esta función tiene el valor de b = 0, ya que a una profundidad igual a cero, también la presión deberá ser igual a cero. Realizar ejercicios variando la densidad del líquido Problemas 1. Encuentra el área de un triángulo cuyos vértices son

los puntos A (0, 9), B (‐4, ‐1) y C (3, 2). Solución. 29 Unidades cuadradas. 2. Halla las coordenadas de los vértices de un

triángulo, sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son (‐2, 1), (5, 2) y (2, ‐3).

Solución. (1,6), (9, ‐2), (‐5, ‐4). 3. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los

puntos (3, 4) y (1, ‐2). Solución. 3 4. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los

puntos (2, ‐3) y (4, 2). Solución. 5x ‐ 2y‐ 16 = 0. 5. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el

punto (2, 3) y cuya abscisa en el origen es el doble que la ordenada en el origen.

Solución. x + 2y ‐ 8 = 0 6. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el

punto (0, 2) y tiene una pendiente m = 3. Solución. y ‐ 3x ‐2 = 0

7. Demuestra que el triángulo cuyos vértices son los puntos (2, 4), (5, 1) y (6, 5) es isósceles.

8. Halla el parámetro K para que la recta de ecuación 2x

+ 3Ky ‐ 13 = 0 pase por el punto (‐2, 4). Solución. K = 17/12


Prácticas y listas de cotejo Unidad de aprendizaje: 1 Práctica número: 1 Nombre de la práctica: Construcción de la mediatriz y bisectriz Propósito de la práctica: Al finalizar la práctica el alumno construirá las mediatrices de segmentos y las bisectrices de

ángulos. Escenario: Aula Duración: 2 h.

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta• Bitácora

• Lápiz

• Papel

• Juego de geometría

• Calculadora


Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene.

• Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.

o Construcción de las mediatrices de segmentos y las bisectrices de ángulos. • Mediatriz de un segmento. Dibuja un segmento AB y su mediatriz. Señala un punto P sobre la mediatriz.

• Mide la distancia PA y PB. Mueve el punto P sobre la mediatriz y registra el valor de las distancias. • Conclusión: Los puntos que se encuentran sobre la mediatriz de un segmento AB tienen la siguiente propiedad:

_______________ • ¿Cómo se dibuja la mediatriz de un segmento?

o Dibuja ahora tres puntos A, B, C (no alineados) y las mediatrices de AB y de BC. a. ¿Qué propiedad tienen los puntos que están sobre la mediatriz de AB? b. ¿Y los que están sobre la mediatriz de BC? c. Dibuja el punto P de intersección de las dos mediatrices ¿Qué propiedad tiene P? d. Si ahora dibujas la mediatriz de AC ¿qué pasará? (Piensa antes de dibujar).

o Dibuja ahora dos semirrectas (OA y OB) con el mismo origen (O). Dibuja la bisectriz del ángulo AOB. Marca un punto P de la bisectriz. ¿Qué propiedad tienen los puntos de la bisectriz?. Haz un dibujo en tu cuaderno.

o Dibuja un triángulo ABC. e. Dibuja la bisectriz interior correspondiente al vértice A. ¿Qué propiedad tienen los puntos que están situados

en esa bisectriz?

f. Dibuja la bisectriz interior correspondiente al vértice B. ¿Qué propiedad tienen los puntos que están situados

en esa bisectriz? g. Al punto de corte de las dos bisectrices que has dibujado lo llamaremos I. ¿Qué propiedad tiene el punto I?

o Si dibujas la bisectriz que falta, la correspondiente al vértice C, ¿qué sucederá? Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje.


Lista de cotejo de la práctica número 1: Construcción de la mediatriz y bisectriz Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño

del alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño.

Desarrollo Sí No No

Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica.

• Limpió el área de trabajo. • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.

Construyó la mediatriz de un segmento. Respondió las preguntas del punto 1. Construyó las mediatrices de los segmentos Respondió las preguntas del punto 2. Dibujó la bisectriz del punto 3. Dibujó el triángulo del punto 4. Trazó las bisectrices. Respondió las preguntas Elaboró el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma.

Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas.

Observaciones:

PSP:

Hora de inicio: Hora de término: Evaluación:


Unidad de aprendizaje: 1 Práctica número: 2 Nombre de la práctica: Obtención de perímetros y áreas de figuras

geométricas Propósito de la práctica: Al finalizar la práctica el alumno calculará perímetros y las áreas de varias figuras

geométricas. Escenario: Aula Duración: 2 hrs. Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora

• Lápiz

• Papel


• Calculadora


Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.

En ésta práctica se van a explicar como calcular perímetros y áreas de varias figuras geométricas planas.

1. Revisa la definición de cuadrado, paralelogramo, triángulo, trapecio, circulo. Por ejemplo para el paralelogramo se encuentran las dos definiciones:

Definición 1: es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos,

Definición 2: es un cuadrilátero que tiene dos lados opuestos iguales y paralelos. A veces utilizaremos la Definición1 y otras la Definición 2.

2. Registra en tu reporte, las definiciones encontradas para las diferentes figuras geométricas. 3. Realizará un formulario con las fórmulas de los perímetros y áreas de las diferentes figuras geométricas. 4. Calcula el perímetro y el área del cuadrado, paralelogramo, triángulo, trapecio, circulo. 5. Registra las cantidades calculadas y las variables que intervienen en cada caso. 6. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la

misma.

Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje.


Lista de cotejo de la práctica número 2: Obtención de perímetros y áreas de figuras geométricas Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño





1. Escribió las definiciones de las figuras geométricas 2. Realizó el formulario con las fórmulas de los perímetros y áreas de las diferentes figuras

geométricas.

3. Calculó el perímetro y el área del cuadrado, paralelogramo, triángulo, trapecio, círculo. 4. Registró las cantidades calculadas y las variables que intervienen en cada caso. 5. Elaboró el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la

misma.


Observaciones:

PSP:



Unidad de aprendizaje: 1 Práctica número: 3 Nombre de la práctica: Manejo de rectas. Propósito de la práctica: Al finalizar la práctica el alumno construirá rectas y las modelará con ecuaciones. Escenario: Aula Duración: 3 hrs. Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora

• Lápiz

• Papel


• Calculadora


Procedimiento


En ésta práctica se van a identificar las propiedades de la recta.

1. Realiza un dibujo como el que se muestra en la figura.

Figura 1

2. Ángulo de inclinación, mide el ángulo que hace la recta con el eje de las x, ese ángulo se denomina el ángulo de inclinación.

3. Calcula la tangente de ese ángulo. La tangente del ángulo de inclinación se denomina la pendiente de la recta.

4. Mide su ordenada al origen. 5. Escribe la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada: y mx b= + . Registra tus

observaciones 6. Mide la abscisa del punto de intersección de la recta con el eje de las x.

Figura 2


Procedimiento

7. Escribe la ecuación de la recta es su forma simétrica o canónica: 1x ya b+ =

8. Escribe la ecuación de la recta en su forma punto pendiente: ( )1 1y y m x x− = −

9. Escribe a la ecuación de la recta en su forma general: 0Ax By C+ + = 10. Mide las cantidades p y ω que se indican en la figura 3:

Figura 3

11. Escribe la ecuación de la recta en su forma normal: cos sen 0x y pω ω+ − = . 12. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la

misma.



Lista de cotejo de la práctica número 3: Manejo de rectas Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño



Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpió el área de trabajo. • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.

1. Realizó la figura núm. 1 2. Midió la pendiente de la recta. 3. Midió la ordenada al origen. 4. Escribió la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada. 5. Midió la abscisa del punto de intersección de la recta con el eje de las x. 6. Escribió la ecuación de la recta en su forma simétrica o canónica. 7. Escribió la ecuación de la recta en su forma punto pendiente. 8. Escribió la ecuación de la recta en su forma general. 9. Midió las cantidades que se indican en la figura 3. 10. Escribió la ecuación de la recta en su forma normal. 11. Elaboró el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la

misma.


Observaciones:

PSP:



Unidad de aprendizaje: 1 Práctica número: 4 Nombre de la práctica: Construcción de rectas tangentes. Propósito de la práctica: Al finalizar la práctica el alumno, construirá e identificará las rectas tangentes. Escenario: Aula Duración: 3 hrs. Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora

• Lápiz

• Papel

• Juego de geometría.

• Calculadora


Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo

En ésta práctica se van a identificar las propiedades de una recta tangente.

1. Realiza un dibujo como el que se muestra en la figura 1.

2. Escribe la ecuación de la recta tangente en su forma normal. ¿Qué propiedades tiene la recta tangente? ¿Qué ángulo hay entre el radio del círculo y la recta tangente? Registra tus observaciones.

3. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma.



Lista de cotejo de la práctica número 4: Construcción de rectas tangentes Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño





1. Realizó la figura núm. 1. 2. Escribió la ecuación de la recta tangente en su forma normal. 3. Escribió las propiedades de la recta tangente. 4. Midió el ángulo entre el radio del círculo y la recta tangente. 5. Elaboró el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la

misma.


Observaciones:

PSP:



2 APLICACIÓN DE LOS PRINCIPALES MODELOS MATEMÁTICOS DE LAS

CÓNICAS


2.1.1 Circunferencia En la unidad anterior tuvimos la oportunidad de estudiar algunos lugares geométricos, como uno o varios puntos en el plano, también analizamos detalladamente la línea recta y sus principales parámetros (pendiente, inclinación, ordenada al origen), vimos algunos criterios acerca de la perpendicularidad entre rectas y las diferentes formas en que se puede expresar la ecuación de la recta, de tal forma que podamos extraer de la ecuación los datos para poder representarla gráficamente. Pues bien, ahora con el estudio de la circunferencia, vamos a dar otro paso adelante en el conocimiento de los principales lugares geométricos en el plano. La circunferencia la podemos definir, como el conjunto de puntos (x, y) del plano que equidistan siempre en un punto fijo C(h, k) llamado centro, la distancia entre todos esos puntos y el centro es lo que conocemos como radio de la circunferencia, véase la figura 2.1. Fig. 2.1

0X-X

Y

-Y

C (h,k)

P (x,y)

r

Para obtener nuestra ecuación de la circunferencia podemos hacer uso de la ecuación de la distancia entre dos puntos (ecuación 1.1) que utilizamos en la unidad anterior; así, pues, sustituyendo los valores que nos ofrece la circunferencia, obtenemos:

Ecuación 2.1

2 2 2 ( ) ( )r x h y k= − + − (2.1)

Que es conocida como ecuación cartesiana o normal de la circunferencia. Se puede notar que únicamente necesitamos conocer las coordenadas del centro y la magnitud del radio para obtener la ecuación de la circunferencia en forma normal. Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia en forma normal si el centro está en el origen y el radio es igual a uno. Graficando estos datos tenemos:

Fig. 2.2

0X-X

Y

-Y

r = 1

Sabemos que la ecuación normal de la circunferencia es:

2 2 2 ( ) ( )r x h y k= − + −

Si 1r = y, obtenemos sustituyendo: 2 2 21 ( 0) ( 0)x y= − + −

ó aplicando simetría

2 2 1x y+ =


A esta ecuación especial se le llama también ecuación de la circunferencia unitaria y tiene muchas aplicaciones en el estudio de la trigonometría y otras áreas. Ejemplo. Obtener la ecuación normal de la circunferencia, cuyo

centro es el punto ( )3, 2c − − y pasa por el punto.

Tracemos primeramente nuestra gráfica: Fig. 2.3

0X-X

Y

-Y

C (-3,-2)

P (1,2)

r

En este caso no conocemos el radio pero sabemos que es la distancia entre el centro y el punto de la circunferencia, por lo tanto, aplicando la fórmula de la distancia, obtenemos:

2 22 1 2 1 ( ) ( )d x x y y= − + −

( ) ( )2 2 (1 3 ) (2 2 )d r= = − − + − −

2 2 (4) (4) 32 4 2d r= = + = = ahora bien, si

32r = entonces

2 32r =

Ya podemos sustituir en la ecuación normal de la circunferencia

2 2 2 ( ) ( )r x h y k= − + −

( ) ( )2 232 ( 3 ) ( 2 )x y= − − + − −

Aplicando simetría tenemos por resultado:

2 2( 3) ( 2) 32 x y+ + + = • Ecuación general de la circunferencia Como recordarás, en el caso de la línea recta, a partir de la ecuación punto– pendiente podemos obtener la ecuación general de la recta, en la circunferencia podemos aplicar el mismo criterio y expresar la ecuación normal en forma general, y el procedimiento consiste en desarrollar los binomios cuadráticos, reducir los términos semejantes e igualar a cero toda la expresión.

La Ecuación general de la circunferencia siempre se representa con el siguiente formato:

2 2 0 x y Dx Ey F+ + + + = Ecuación 2.2 Para conocer los valores de D, E y F de la ecuación general, debemos desarrollar primero la ecuación normal, simplificar e igualar a cero, vamos a proceder: aplicando ley de simetría e igualando a cero obtenemos:

2 2 2 ( ) ( ) 0x h y k r− + − − = Desarrollando los binomios al cuadrado se tiene:

2 2 2 2 2 2 2 0x xh h y yk k r− + + − + − = Ordenando términos tenemos:

2 2 2 2 2 2 2 0x y xh yk h k r+ − − + + − = Ecuación 2.3 Comparando ésta última expresión con la ecuación 2.2, podemos decir que:

2 2

2 2 2 2 2

0 2 2 0

x y Dx Ey Fx y xh yk h k r

+ + + + =

+ − − + + − =

2D h= −

Ecuación 2.3 a 2E k= −

Ecuación 2.3 b 2 2 2 F h k r= + −

Ecuación 2.3 c


Algo notable en la ecuación 2.3 es que los términos 2x

e 2y siempre son positivos y con coeficientes iguales y

jamás aparecerá el término Bxy que puede presentarse en otras curvas como elipses e hipérbolas. Ejemplo Calcular la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es (‐5,2) y radio igual a 3. Trazamos la gráfica: Fig. 2.4

Nuestros datos son:

( ) ( ), 5, 2C h k = −

3r =

( )( )2 2 5 10D h= − = − − =

( )( )2 2 2 4E k= − = − = − 2 2 2 F h k r= + −

2 2 2 ( 5) (2) (3) 25 4 9 20F = − + − = + − = Por lo tanto la ecuación general es:

2 2 10 4 20 0 x y x y+ + − + =

Ejemplo Determinar la ecuación general de la circunferencia con centro en C (2, ‐7) y pasa por el punto (‐2, ‐5). Fig. 2.5

0X-X

Y

-Y

C (2,-7)

r P (-2,-5)

Nuestros datos:

( ) ( ), 2, 7C h k = −

( ) ( ), 2, 5P x y = − −

calculamos el radio:

( ) ( )2 22 2 2 5 7r = − − + − + 2 16 4 20r = + =

20 2 5r = =

Calculando los coeficientes de la ecuación general:

( )( )2 2 2 4D h= − = − = −

( )( )2 2 7 14E k= − = − − = 2 2 2 F h k r= + −

4 49 20 33F = + − = Por lo tanto, la ecuación general de la circunferencia será:

2 2 4 14 33 0 x y x y+ − + + =


Obtención de datos y construcción de la gráfica a partir de la ecuación general de la circunferencia: Habrá ocasiones en las que tendremos la ecuación general de la circunferencia y a partir de ésta, debamos obtener el centro y el radio para poder trazar la gráfica. El proceso que realizaremos es muy sencillo, de hecho, será el procedimiento inverso al de encontrar la ecuación general a partir de los datos propuestos y para ello vamos a volver a usar las ecuaciones 2.3 a, 2.3 b y 2.3 c; sólo que ahora vamos a despejar los datos que desconocemos que, en este caso, serán las coordenadas del centro y el radio; veamos pues: sabemos que:

2D h= − aplicando simetría y despejando h:

2Dh = −

Ecuación 2.3 a

Si 2E k= − entonces 2Ek = −

Ecuación 2.3 b

Si 2 2 2F h k r= + − entonces:

2 2 2r h k F= + − ó

2 22

4D Er F+

= −

2 2 42

D E Fr + −=

Ecuación 2.3 c’ Ejemplo: Calcular las coordenadas del centro y radio de la circunferencia cuya ecuación general es:

2 2 6 4 3 0x y x y+ + − − = Nuestros datos son:

6D = , 4E = − y 3F = − Aplicando las fórmulas:

6 32 2Dh = − = − = −

( )42

2 2Ek

−= − = − =

2 2 4 36 16 12 8 42 2 2

D E Fr + − + += = = =

Por lo tanto el centro es ( ) ( ), 3, 2C h k = − y 4r =

La gráfica es: Fig. 2.6

0X-X

Y

-Y

C (-3,2)

r = 4

x2 + y2 + 6x- 4y - 3 = 0

Realización del ejercicio Determinar la circunferencia de las monedas de uso común en México.

Para calcularlo únicamente es necesario conocer el radio de la moneda y sustituir este valor en la ecuación normal de la circunferencia con centro en el origen:


2 2 2x y r+ = Ejemplo Una moneda de un peso.

El diámetro de esta moneda es de aproximadamente 2 cm, por lo que su radio es igual a 1 cm. Aproximadamente por lo que nuestra ecuación quedará:

2 2 21x y+ = ó 2 2 1x y+ = En donde los valores de x e y serán medidos en centímetros. 2.2.1 Parábola Es el lugar geométrico formado por el conjunto de pares ordenados (x, y), que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta llamada directriz. Véase la figura 2.7. Fig. 2.7

Y

0X-X

-Y

Eje focal

Dire

ctriz

M (h-p,y) P (x,y)

F (h+p,k)V (h,k)

X (h-p)

Los elementos de la parábola mostrada en la figura 2.7 son:

Vértice : ( ),v h k

Foco: ( ),h p k+

Ecuación de la directriz: x h p= − Esta es una parábola horizontal, ya que el eje focal (línea recta en la que se encuentran el foco y el vértice) es paralelo al eje.

Para obtener una parábola vertical, el eje focal deberá ser paralelo al eje, y su gráfica y parámetros se muestran en la figura 2.8. Fig. 2.8

Y

0X-X

-Y

DirectrizM (x,k-p)

P(x,y)F (h,k+p)

V (h,k)

Y (k-p)

A

Los parámetros de una parábola vertical son:

Vértice: ( ),v h k

Foco : ( ),h k p+

Ecuación de la directriz: y k p= − Hasta ahora hemos definido la parábola y graficado los dos tipos principales (horizontal y vertical), más adelante veremos que cada una tiene su variante ya sea a la izquierda si la parábola es horizontal o hacia abajo, si la parábola es vertical.

2.2.2 Aplicaciones de las ecuaciones de las parábolas Nuestra siguiente misión, es obtener las dos ecuaciones de la parábola (horizontal y vertical) a partir de la definición citada en un principio.

Primeramente, para obtener la ecuación de la parábola horizontal consultamos nuevamente la fig. 2.7; vemos que

los puntos que nos interesan son ( ),P x y que pertenece

a la parábola, el punto ( ),M h p y− que corresponde a

la directriz y el punto fijo llamado Foco, ahora bien,


recordando la definición, sabemos que la distancia de P a F es la misma distancia que hay de P a, formemos ecuaciones:

dpf = dpm

( ) ( ) ( )2 2 2x h p y k x h p− − + − = − +

Elevando al cuadrado:

( ) ( ) ( )2 2 2x h p y k x h p− − + − = − +

Desarrollando los trinomios al cuadrado:

( )22 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

hp hx px h p x y k

px hx hp h p x

− − + + + + −

= − − + + +

Eliminando términos y ordenando:

2 2hp hx− 22 px h− + 2p+ 2x+ ( )2

2 2

y k

px hx

+ −

= − 22hp h− + 2p+ 2x+

( ) ( )2 4y k p x h− = −

Ecuación 2.4 Esta es la ecuación normal de la parábola horizontal en

la que ( ),h k es el vértice y p es la distancia del

vértice al foco y a la directriz. Ahora sólo nos falta determinar la ecuación normal de la parábola vertical; para ello, vamos a apoyarnos en los datos de la gráfica mostrada en la fig. 2.8 y a realizar el último procedimiento que aplicamos en la deducción anterior.

De nuevo, los puntos que nos interesan son, ( ),P x y

que es un punto cualquiera de la parábola,

( ),F h k p+ es el foco; por último, ( ),M x k p−

pertenece a la directriz; según la definición:

dPF = dPM, por lo tanto

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2x h y k p x x y k p− + − − = − + − +

Elevando al cuadrado ambos miembros:

( ) ( ) ( )2 2 2x h y k p y k p− + − − = − +

desarrollando los trinomios al cuadrado:

( )22 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

kp ky py k p y x h

py ky kp k p y

− − + + + + −

= − − + + +

Eliminando términos y ordenando:

2 2kp ky− 22 py k− + 2p+ 2y+ ( )2

2 2

x h

py ky

+ −

= − 22kp k− + 2p+ y+2

( ) ( )2 4x h p y k− = −

Ecuación 2.5 Que es la ecuación normal de la parábola vertical, en la

que nuevamente ( ),h k es el vértice de la parábola y p

es la distancia entre el vértice y el foco, recapitulando, tenemos: • Ecuación normal de la parábola vertical

( ) ( )2 4x h p y k− = −

• Ecuación normal de la Parábola horizontal

( ) ( )2 4y k p x h− = −

No obstante, este par de ecuaciones, únicamente nos muestran las parábolas positivas, en donde los factores

( )y k− y ( )x h− son positivos, como podemos

consultar en las gráficas.

( ) 0y k− > y ( ) 0x h− >

Por lo que, para obtener una parábola vertical que en vez de abrir hacia arriba, sus ramas queden hacia a bajo, el

factor ( )y k− deberá ser negativo o sea ( ) 0y k− < y

la ecuación parabólica deberá ser:

( ) ( )2 4x h p y k− = − −

Ecuación 2.5 a


De igual forma sucederá con la parábola horizontal, la cual en lugar de abrir a la derecha, sus ramas abran

hacia la izquierda, es decir que el factor ( )x h−

deberá ser negativo o sea ( ) 0x h− < y la ecuación de

la parábola quedará expresada como:

( ) ( )2 4y k p x h− = − −

Ecuación 2.4 a Después de éste análisis podemos hacer un cuadro sinóptico con las cuatro ecuaciones y así fácilmente identificar cada una, según sea el caso.

Ejemplo: Obtener la ecuación de la parábola cuyo vértice es

( )3, 4V − y su foco es el punto. Determinar la ecuación

de la directriz y trazar la gráfica; véase la figura 2.9. Fig. 2.9* Datos:

( )3, 4V − ( )1, 4F − Y

0 X-X

-Y

F (-1,4)V (-3,4)

x =

-5

Después de trazar nuestros datos comprobamos que es una parábola horizontal positiva, es decir, que abre hacia la derecha, por lo tanto la ecuación que utilizaremos es:

( ) ( )2 4y k p x h− = −

en donde 3h = − y 4k = (coordenadas del vértice) y

VFp d=

( ) ( )2 21 3 4 4VFd = − + + − +

( )22 2VFd = =

2p = sustituyendo en la ecuación, tenemos:

( ) ( )( )24 4 2 3y x− = +

( ) ( )24 8 3y x− = +

La ecuación de la directriz será: x h p= −

por lo tanto, al sustituir se tiene

3 2x = − − 5x = − ó 5 0x + =

Ecuación de la directriz

Ejemplo: Determinar la ecuación normal de la parábola cuyo foco se

ubica en el punto ( )1, 1F − y el vértice en. Obtener la

ecuación de la directriz y longitud del lado recto, trazar la gráfica. Los datos con que contamos:

( )1, 2V y ( )1, 1F − ,

al graficar este par de datos obtenemos:

Ecuación normal vertical de la parábola Ecuación normal horizontal de la parábola

Positiva Abre hacia arriba

( ) ( )2 4x h p y k− = −

Negativa Abre hacia abajo

( ) ( )2 4x h p y k− = − −

Positiva Abre la derecha

( ) ( )2 4y k p x h− = −

Negativa Abre a la izquierda

( ) ( )2 4y k p x h− = − −


Fig. 2.10 Y

0X-X

-Y

F (1,-1)

V (1,2)

Podemos constatar que se trata de una parábola vertical negativa por lo que la ecuación que debemos emplear será:

( ) ( )2 4x h p y k− = − −

pero antes debemos obtener el valor de VFp d=

( ) ( )2 21 1 1 2VFp d= = − + − −

0 9 3p = + = Sustituyendo valores:

( ) ( )( )21 4 3 2x y− = − −

( ) ( )21 12 2x y− = − −

La ecuación de la directriz será, sustituyendo: 2 3y = + 5y = ó 5 0y − =

y el lado recto . . 4L R p=

( ). . 4 3L R =

. . 12L R = • Ecuación general de la parábola Ya hemos obtenido la ecuación normal de la parábola en sus cuatro variantes, lo cual nos permite determinar la ecuación general, para la cual solamente es necesario desarrollar el binomio cuadrático y simplificar. Procedemos pues:

Llamaremos a: 2 0x Dx Ey F+ + + =

• Ecuación general de la parábola vertical

Sea ( ) ( )2 4x h p y k− = − la ecuación normal,

desarrollando tenemos: 2 22 4 4x xh h py pk− + = −

Ordenando e igualando a cero, se tiene: 2 22 4 4 0x xh py h pk− − + + =

Comparando esta ecuación con la expresión general, tenemos los valores:

2D h= − Ecuación 2.6 a

4E p= − Ecuación 2.6 b

2 4F h pk= + Ecuación 2.6 c A través de las cuales podemos obtener las coordenadas del vértice y foco y trazar la gráfica con todos sus parámetros. La ecuación general horizontal se expresa como:

2 0y Ey Dx F+ + + = Tomando como punto de partida la ecuación normal horizontal:

( ) ( )2 4y k p x h− = −

desarrollando:

2 22 4 4y ky k px ph− + = − ordenando e igualando a cero tenemos:

2 22 4 4 0y ky px k ph− − + + =

comparando ecuaciones:

2 22 4 4 0y ky px k ph− − + + = 2 0y Ey Dx F+ + + =

2E k= − Ecuación 2.7 a

4D p= − Ecuación 2.7 b


2 4F k ph= + Ecuación 2.7 c

Nuevamente obtenemos todos nuestros datos a partir de la ecuación general.

Una connotación especial con respecto a las ecuaciones 2.6 b y 2.7 b es, que si al hacer las sustituciones apropiadas de datos de algún problema en particular, el vector de p quedará negativo, eso significa que la parábola es negativa, ya sea que abra hacia abajo en el primer caso, o hacia la izquierda en el segundo; vamos a aclarar esta cuestión con el siguiente:

Ejemplo:

Sea 2 4 12 8 0x x y+ + − = la ecuación general de una parábola vertical. Obtener el vértice, foco, ecuación de la directriz, lado recto y gráfica.

Nuestra ecuación es:

2 4 12 8 0x x y+ + − =

por lo tanto

2 4 2D h h= − = ⇒ = − 4 12 3E p p= − = ⇒ = −

( )( )

2

22

4 8

8 28 12 14 4 3 12

F h pk

hkp

= + = −⇒

− − −− − −= = = =

− −

Ahora bien, obtuvimos, es decir, que es negativo, por lo tanto esta es una parábola vertical negativa con vértice en V (‐2,1) y el foco deberá estar 3 unidades abajo del vértice por lo que sus coordenadas son (‐2, ‐2), veamos la gráfica:

Fig. 2.11

Y

0X-X

F (-2,-2)

V (-2,1)

y - 4 = 0

Debemos recordar en todo momento que el parámetro ( p ) representa una distancia, la que hay entre el vértice y el foco, y que es igual a la distancia entre el vértice y la directriz, por lo tanto, no puede ser una magnitud negativa, si en la sustitución de datos apareció ( p ) con signo negativo, es para indicar que se trata de una parábola negativa, terminando el cálculo de los valores de (h, k) en donde se respeta el signo negativo, debemos nuevamente considerarla una distancia, por lo que el signo negativo queda descartado y ( p ) quedará expresado en forma positiva o sea, por lo que la ecuación de la directriz será:

y k p= +

1 3 4y = + = ó

4 0y − =

Y el lado recto . . 4L R p=

( ). . 4 3 12L R = =

Ejemplo. Determinar el vértice, foco, ecuación de la directriz, recto y trazar la gráfica de la parábola cuya ecuación es:

2 4 8 12 0y y x+ − + = Observando la ecuación para una parábola horizontal, tenemos:

42 22 2

EE k k= − ⇒ = = = −− −

84 24 4

DD p p −= − ⇒ = = =

− −


( )( )

2

2

22

4 1212

4

12 212 8 14 4 2 8

F k phkh

p

khp

= + =

−⇒ =

− −−= = = =

tenemos ( ) ( ), 1, 2h k = −

Como 2p = es decir p es positivo la parábola es positiva y abre a la derecha, veamos la figura 2.12. Figura 2.12

Y

0X-X

-Y

F (3,-2)V (1,-2)

Ecuación de la directriz: Coordenadas del Foco: x h p= −

( ) ( ), 3, 2F h p k= + = −

1 2 1x = − = −

1x = − ó 1 0x + =

( ). . 4 4 2 8L R p= = =

Ejemplo

Sean ( )2, 4V − el vértice y ( )3, 4F − el foco de una

parábola horizontal. Calcular la ecuación en forma general. Graficamos primeramente. Obtenemos una parábola horizontal negativa. Figura 2.13

Y

0X-X

-Y

F (-3,4)

V (-2,4)

Sabemos que VFp d=

( ) ( )2 23 2 4 4 1p = − + + − =

Sustituyendo en la ecuación normal horizontal negativa:

( ) ( )2 4y k p x h− = − −

( ) ( )( )24 4 1 2y x− = − +

Desarrollando,

( ) ( )( )24 4 1 2y x− = − + 2 8 16 4 8y y x− + = − − 2 8 16 4 8y y x− + = − − 2 8 16 4 8 0y y x− + + + =

Ecuación general de la parábola

2 8 4 24 0y y x− + + = Comprobación.

82 8 42

E k k −= − = − ⇒ = =

−

44 4 14

D p p= − = ⇒ = = −−

( )

2

2

4 2424 24 16 8 2

4 4 1 4

F k phkh

p

= + =

− −⇒ = = = = −

− −

Por lo tanto, el vértice es, 1p = − o sea, que la parábola es negativa como ya habíamos acordado. Ejemplo:


Cuál es la ecuación general de la parábola, cuyo vértice se encuentra en el origen y pasa por el punto, suponiendo que la parábola es vertical. Figura 2.14

Y

0X-X

-Y

F (3,-2)V (1,-2)

Al trazar la gráfica comprobamos que se trata de una parábola vertical positiva por lo que la ecuación que necesitamos es:

( ) ( )2 4x h p y k− = −

Sustituyendo ( ) ( ), 0,0h k = y.

( ) ( )21 0 4 1 011 44

p

p p

− = −

= ⇒ =

Como el vértice está en el origen, la ecuación general de la parábola será:

( ) ( )2 10 4 04

x y⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2x y= ó 2 0x y− =

Trabajo en equipo Formar equipos para oobtener la gráfica y ecuación de la potencia disipada en función de la corriente

para una resistencia. La ecuación que define esta relación está dada por:

2P i R=

Si la resistencia del alambre de 100 Ω la ecuación será:

2100P i= En donde la corriente se mide en amperes (A) y la potencia en watts (W). La gráfica será una semiparábola positiva (abierta hacia arriba en el primer cuadrante con vértice en el origen). 2.3.1 Elipse Esta nueva sección la dedicaremos al estudio de la elipse la cual la podemos definir como el conjunto de puntos en el plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos siempre es constante. 2.3.2 Aplicaciones de las ecuaciones de las elipses Para poder obtener la ecuación que nos represente este lugar geométrico, vamos a trazar en el plano: Figura 2.15

Describiendo todos los datos, tenemos:

( )' , 0F c− , ( ),0F c

( )1 ,0V a− , ( )2 ,0V a

( )1 0,B b , ( )2 0,B b−

( ) ( ), 0,0C h k =

Si trazamos la elipse considerando un punto ( ),P x y que

se encuentre a la misma distancia de los focos, obtenemos:


Figura 2.16

Por lo tanto, según la definición de la elipse podemos plantear la siguiente ecuación:

' 2F P FPd d a+ = Y a través del teorema de Pitágoras:

2 2 2 2 2 2a b c b a c= + ⇒ = − Volviendo a la definición y sustituyendo datos, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 0 2x c y x c y a+ + − + − + − =

( ) ( )2 22 2 2x c y x c y a+ + + − + =

Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados

( ) ( )

( ) ( )

2 22 2

2 22 2 22 4

x c y x c y

x c y x c y a

+ + + − + +

+ + + − + =

Entonces

( ) ( )( ) ( )

2 22 2

2 22 2 2

2

4

x c y x c y

a x c y x c y

+ + − + =

− + − − − −

Entonces

( ) ( )2 22 2

2 2 2 2

2

4 2 2 2

x c y x c y

a c x y

+ + − + =

− − −

Elevado al cuadrado nuevamente:

( )( ) ( )( )( )

2 22 2

22 2 2 2

4

4 2 2 2

x c y x c y

a c x y

+ + − + =

− − −

Desarrollando:

4 4 4 2 2 2 2

2 2 4 4 4

4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 4 4 8 88 16 4 44 16 16 168 8 8

c x y c x c yx y a c xy a c a x a yc x c y x y

+ + − +

+ = + + +

+ − − −

+ + +

Entonces

44c 44x+ 44y+ 2 2 2 28 8c x c y− +2 28x y+ 4 416 4a c= + 44x+44y

+

+ 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

16 16 16

8 8

a c a x a y

c x c y

− − −

+ + 2 28x y+

Entonces:

2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 28 16 16 16 16 8c x a a c a x a y c x− = − − − +4 2 2 2 2 2 2 2 216 16 16 16 16 0a a c a x a y c x− − − + =

Dividiendo entre 16

4 2 2 2 2 2 2 2 2 0a a c a x a y c x− − − + = Factorizando

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 0a a c a y c a x− − + − =

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 0a a c a y a c x− − − − =

Pero 2 2 2b a c= − , entonces: 2 2 2 2 2 2 0a b a y b x− − =

Dividiendo toda la ecuación entre 2 2a b


2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

0

1 0

1

a b a y b xa b a b a b

y xb a

y xb a

− − =

− − =

− − = −

Multiplicando por ‐1

2 2

2 2 1x ya b

+ =

Ecuación normal de la elipse horizontal. Ecuación 2.8

Esta ecuación corresponde a una elipse con eje mayor horizontal sobre el eje x y centro en el origen. En consecuencia, tendremos que la ecuación con centro en el origen y eje mayor sobre el eje y ó eje de ordenadas será:

2 2

2 2 1x yb a

+ =

Ecuación 2.9

y la llamaremos ecuación normal de la elipse con centro en el origen vertical cuyo lugar geométrico es: figura 2.17

Esta ecuación la podemos obtener también, realizando el proceso empleado para obtener la ecuación 2.8.

Como hemos podido observar, tenemos de momento dos tipos de elipses: horizontal y vertical, pero ambas

tienen centro en el origen; para poder obtener nuestras ecuaciones de la elipse con centro fuera del origen vamos a emplear el método conocido como traslación de ejes, que veremos a continuación.

Traslación de ejes

Vamos a suponer que tenemos un punto en el plano

representado por ( ),P x y y su relación con el origen

está representada en el diagrama siguiente: Figura 2.18

Y

X-X

-Y

P (x,y)

0

x

y

Supongamos ahora que esa proporción entre el punto y el origen la proyectaremos en el plano generando un nuevo par de puntos cuyas coordenadas las llamaremos

( ),C h k y ( )' ', 'P x y , observemos esta situación:

Figura 2.19

Y

X-X

-Y

P (x,y)

0

y

P1 (x1,y1)y1

C (h,k)

x1

Y podemos establecer las siguientes relaciones de los nuevos puntos con respecto al punto original y al origen: Figura 2.20


Y

X-X

-Y

P (x,y)

0

P1 (x1,y1)

-y1 (h,k)

-x1

x1

y1

'x x h= + , 'y y k= +

Por lo tanto obtenemos que:

'x x h= − e 'y y k= −

Si sustituimos estos valores en nuestras ecuaciones normales de la elipse obtendremos:

I. ( ) ( )2 2

2 2

' '1

x h y kb a− −

+ =

Ecuación normal horizontal de la elipse con centro fuera del origen.

II. ( ) ( )2 2

2 2

' '1

x h y kb a− −

+ =

Ecuación normal vertical de la elipse con centro fuera del origen.

Ahora bien, los valores x’ e y’ se refieren concretamente a un punto en el plano, tomando en cuenta la traslación del origen al punto (h, k), pero en última instancia, el punto P’ (x’, y’) pertenece a la elipse y lo podemos representar de nuevo con P (x, y) a fin de simplificar la escritura de la ecuación por lo que las ecuaciones ya terminadas serán:

( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

a b− −

+ = Horizontal

( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

b a− −

+ = Vertical

Las llamaremos ecuaciones normales de la elipse con centro fuera del origen.

Estudio individual Determinar en forma individual la ecuación de la elipse de un planeta con el Sol.

Para ello es necesario conocer la distancia máxima y mínima del planeta al Sol y la excentricidad de la elipse que está dada por:

cea

=

El Sol estará en uno de los focos por lo que la distancia del centro de la elipse al Sol será igual a "c", y la distancia del centro de la elipse al planeta será igual a “a” en el vértice. Siempre tomaremos el centro de la elipse en el origen por lo que la ecuación será:

2 2

2 2 1x ya b

+ =

En donde 2 2 2a b c= + Excentricidad y lado recto Una característica muy importante de la elipse es la excentricidad y ésta se refiere al grado de “agrandamiento” o “redondez” de la misma. En las otras curvas que hemos estudiado (rectas, parábolas y circunferencias) vimos que sus formas siempre son las mismas, y lo único que cambia son sus posiciones en el plano y en el caso de la parábola y la circunferencia, su tamaño; pues bien, en la elipse ocurre igual, pero aquí también puede cambiar, de un caso a otro, su forma, es decir que podemos tener elipses muy aplanadas o elipses casi circulares, y ello depende precisamente de la excentricidad. La excentricidad, matemática‐mente hablando se define como la razón entre la distancia del centro al foco y la distancia del centro al vértice, en símbolos:


; 0ce aa

= ≠

Sabemos que a es mayor que, por lo tanto la excentricidad siempre será un valor menor que 1 y mayor que cero o sea. Si el valor de e es muy cercano a 1 entonces la elipse será muy alargada; si, por otro lado, e es muy cercano a cero, la elipse será casi una circunferencia. Por otro lado, el lado recto o L.R. es la longitud del segmento de la recta que pasa por los focos y el perpendicular al eje focal e interseca con la elipse en ambos extremos, véase la figura 2.21.

Por lo que podemos observar en la gráfica, en el lado recto es el doble de la distancia del foco al punto Q, es decir:

( ) ( )2 2. . 2 2 0 2FQL R d c c y y= = − + − =

que es dos veces el valor de la ordenada al foco de la

elipse; si sustituimos el punto ( ),Q c y en la ecuación

de la elipse, obtendremos: 2 2

2 2 1x ya b

+ =

2 2

2 2 1c ya b

+ =

Despejando, obtenemos:

2 2 2 2

2 2 21y c a cb a a

−= − =

pero

2 2 2a c b− = 2 2

2 2

y bb a

= ó 4

22

bya

=

Extrayendo raíz cuadrada se tiene:

2bya

= , finalmente podemos sustituir este valor en la

ecuación del lado recto:

22. . bL Ra

=

Ecuación que calcula la magnitud del lado recto. Ejemplo.

Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen,

uno de los focos en ( )2,0F − y un vértice en; calcular la

excentricidad y el lado recto:

Tracemos nuestra gráfica. Figura 2.22

Y

X-X

-Y

V (5,0)

0

F (-2,0)

Observando los datos de la gráfica vemos que se trata de una elipse horizontal con centro en el origen; sabemos que c es la distancia del centro al foco, por lo tanto:

( ) ( )2 22 0 0 0 2c = − − + − =

a es la distancia del centro del vértice, por lo que:

( ) ( )2 25 0 0 0 5a = − + − =

Sabemos también que: 2 2 2b a c= − o sea que: 2 2 25 2 25 4 21b = − = − =

21 4.6b = ≈


Con estos valores podemos trazar nuestra elipse sin ningún problema; obteniendo excentricidad y lado recto:

La excentricidad será:

cea

=

2 0.45

e = =

La longitud del lado recto será:

( )2 2 212. . 8.45

bL Ra

= = =

Las coordenadas de los vértices y focos son: Figura 2.23

Y

X-X

-Y

F 0 F1

B1

B

V1V

( )5,0V − ( )2,0F −

( )' 5,0V ( )' 2,0F

( )0, 21B ( )' 0, 21B −

Finalmente la ecuación será, como se trata de una elipse horizontal con centro en el origen:

2 2

2 2 1x ya b

+ =

2 2

125 21x y

+ =

Ejemplo:

Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen

y un vértice en ( )0,5V y foco en ( )0, 4F calcular la

excentricidad y la longitud del lado recto y las coordenadas de los datos faltantes. Trazamos los datos que tenemos. Figura 2.24

Y

X-X

-Y

V

0

F

Se nota por simple inspección que se trata de una elipse vertical, calculamos c y:

( ) ( )2 20 0 4 0 4c = − + − =

c = 4

( ) ( )2 20 0 5 0 5a = − + − =

Por lo que b es:

2 2 2b a c= −

2 25 16 9 3b b= − = ⇒ =

El valor de la excentricidad es:

45

cea

= =

La longitud del lado recto es:

( )2 2 92 18. . 3.65 5

bL Ra

= = = =

Con todos estos datos, podemos trazar nuestra elipse:


Figura 2.25 Y

X-X

-Y

F

0

F1

B1B

V1

V

Las coordenadas de los vértices y focos son:

( )0,5V ( )3,0B −

( )' 0, 5V − ( )' 3,0B

( )0, 4F ( )0, 4F −

Como nuestra elipse es vertical la ecuación estará dada por:

2 2

2 2 1x yb a

+ =

2 2

19 25x y

+ =

Ejemplo. Determinar la ecuación de la elipse con centro en, foco

en ( )0, 2F − y vértice en ( )2, 2V − . Obtén las

coordenadas restantes, excentricidad y lado recto. Como ya es costumbre trazamos los datos para darnos idea de lo que se trata: Figura 2.26

Y

X-X

-Y

F

0

C V

( ) ( ), 3, 2C h k = − −

( )0, 2F − Y, nos da una elipse horizontal.

Calculamos c y:

( ) ( )2 23 0 2 2 3c = − − + − + =

( ) ( )2 23 2 2 2 5a = − − + − + =

Para obtener b empleamos:

2 2 2b a c= − 2 25 9 16 4b b= − = ⇒ =

Sabemos que para obtener B y 'B podemos utilizar:

( ),B h k b= + y ( )' ,B h k b= −

Por lo que los puntos B y 'B son:

( ) ( )3, 2 4 3, 2B = − − + = −

( ) ( )' 3, 2 4 3, 6B = − − − = − −

El foco y el vértice que faltan los obtenemos con:

( ),F h c k= − y ( ),V h a k= −

Por lo tanto, tendremos:

( ) ( )3 3, 2 6, 2F = − − − = − −

( ) ( )3 5, 2 8, 2V = − − − = − −

Por lo último, la excentricidad y el lado recto serán:

35

cea

= =


( )2 2 162 32. . 6.45 5

bL Ra

= = = =

La gráfica de nuestra elipse es:


Y

X-X

-Y

F

0

F1

B1

B

V1V C

Como podemos observar, nuestra elipse es horizontal con centro en (h, k), por lo tanto la ecuación será:

( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

a b− −

+ =

( ) ( )2 23 21

25 16x y+ +

+ =

2.4.1 Hipérbola Sean 1F y 2F dos puntos fijos y 2a un número positivo dado, la hipérbola es el conjunto de puntos en el plano que tienen la propiedad de que un punto P pertenece a la hipérbola si, y sólo si el valor absoluto de la

diferencia de las 1PF y 2PF de P a los puntos fijos

y 1F y 2F , es igual a 2a . Fig. 2.28

P4

P1P2

P3

F1F2 V1V2

Obteniéndose la ecuación:

1 2 2PF PF a− =

Los puntos fijos 1F y 2F se llaman focos de la hipérbola, y la distancia que los separa se representa usualmente por; es fácil ver, por la ecuación que 2 2a c< o sea que. La recta que pasa por los focos de una hipérbola recibe el nombre de eje focal; los puntos 1V y 2V en que la curva encuentra al eje focal se llaman vértices; el segmento

1 2VV es el eje transverso de la hipérbola y su punto

medio de la distancia focal ( 1 2F F ) es el centro. Para establecer la ecuación de la hipérbola se introduce un sistema coordenado en el plano de la curva, de modo que el origen esté en el centro y el eje x coincida con el eje

focal; los focos son ahora los puntos ( )1 ,0F c y

( )1 ,0F c− como se aprecia en la figura 2.29.

Fig 2.29

.

X-X

Y

-Y

0

P (x,y)

L1

F2 (-c,0) V1V2 F1 (c,0)

L2

R2 R1

Sabemos por la definición que:

1 2 2PF PF a− =

o sea que:

( )2 21PF x c y= − +

y

( )2 21PF x c y= + +


( ) ( )2 22 2 2x c y x c y a− + − + + =

Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta expresión:

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 0c a x a y c a a− − − − = Dividiendo entre:

2 2

2 2 2 1( )

x ya c a

− =−

Nuevamente a partir del dibujo y aplicando el teorema de Pitágoras podemos obtener que, entonces

2 2

2 2 1x ya b

− =

La hipérbola de focos 1 ( , 0)F c y 2 ( , 0)F c− en la

cual 2a es el valor absoluto de la diferencia de las distancias de un punto cualquiera de ella a ambos focos, es la gráfica de:

2 2

2 2 1x ya b

− =

Ecuación normal de la hipérbola con centro en el origen, en donde b es un número positivo definido por:

2 2 2 b a c= − Las abscisas en el origen, de la hipérbola representada por la ecuación normal son a y a− y

consecuentemente las coordenadas 1V y 2V son ( ),0a

y ( ),0a− respectivamente, lo que da 2a como

longitud del eje transverso. No existen ordenadas en el origen de la hipérbola, porque si en la ecuación normal de la hipérbola se hace, la ecuación en y que resulta, no tiene soluciones en el campo de los números reales; esto justifica el nombre de eje no transverso dado al a perpendicular al eje transverso trazada por el centro. La gráfica de la hipérbola normal con centro en el origen es simétrica con respecto al eje, al eje y y al origen, como puede verificarse fácilmente. Despejando a y de la ecuación normal se obtiene:

2 2

b x aya−

= ±

O sea, para que y sea real, x no debe tomar valores en

el intervalo ( ),a a− y consecuentemente debe

pertenecer a. Se concluye que la hipérbola está formada por dos ramas distintas, como se ve en la figura 2.29. Por otra parte, si se despeja x de la misma ecuación normal se obtiene:

2 2y bx a

b+

= ±

Lo cual muestra que a todo valor real de y le corresponden valores también reales de. El segmento que la hipérbola determina sobre la perpendicular al eje focal trazado por uno de los focos, se llama lado recto; la longitud de éste vale, como en la elipse (se deja al lector el verificar este teorema). Sea G la gráfica de una relación cuyo dominio contiene al

intervalo [ ),a ∞ y al intervalo ( ], a−∞ − donde a es un

número real y sea ( ),P x y un punto de G. Si existe una

recta L con la propiedad de que la distancia d de P (x, y) a L puede hacerse tan pequeña como se quiera, cuando x toma valores suficientemente grandes (o suficientemente pequeños), entonces L se llama una asíntota de G. Ver figura 2. 30. Fig. 2.30

P (x,y)

Y

X-X

-Y

0

d

y = b a

x y = - b a

x

Por lo que las ecuaciones de las asíntotas serán:


bxya

= ; bxya

= −

Para la ecuación normal de la hipérbola con centro en el origen:

2 2

2 2 1x ya b

− =

• Representación gráfica de la hipérbola Para dibujar una hipérbola de ecuación conocida, se trazan primero las asíntotas y se construyen los vértices y los extremos de los lados rectos, después se unen estos puntos con un trazo continuo, usando las asíntotas como guías, ya que son líneas que nunca encuentran a la curva pero a las cuales se acerca más y más la hipérbola cuando sus ramas se alejan indefinidamente. Si las asíntotas son perpendiculares entre sí, la hipérbola se llama equilátera y la ecuación quedará de la forma:

21 2

xy a=

La gráfica será: Figura 2.31

Y

X-X

-Y

0

En este caso las asíntotas son los ejes coordenados y la curva quedará trazada en el I y III cuadrantes. La otra hipérbola equilátera con ejes coordenados como asíntotas pero trazada la curva en los cuadrantes II y IV se muestra en la figura 2.32

Fig. 2.32 Y

X-X

-Y

0

Y cuya ecuación quedará expresada por:

21 2

xy a= −

Ejemplo:

Construya la gráfica 2 216 9 144 0x y− − = La ecuación expresada en forma normal.

2 2

19 16x y

− =

Donde 2 9a = y 2 16b = Por lo tanto, obtenemos los siguientes datos:

3a = ; 4b = ; y 2 2 9 16 5c a b= + = + = .

Entonces los vértices son ( )1 3,0V y ( )2 3,0V − y los

focos están en ( )1 5,0F y ( )2 5,0F − .


( )22 2 42 32. .3 3

bL Ra

= = =

Las ecuaciones de las asíntotas son:

43xy = ;

43xy = −


La gráfica finalmente, se muestra en la figura 2.33. Fig. 2.33

Y

X-X

-Y

0F1F2 V1V2

L1L2

R1R2

-2

-4

-6

4

6

2

-6 -4 -2 62 4

• Hipérbola con centro fuera del origen

La hipérbola con centro en ( ),C h k cuya

semidistancia focal es c y cuyo eje transverso es horizontal y de longitud 2a , es la gráfica de:

( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

a b− −

− =

Es la ecuación normal de la hipérbola con centro en

( ),h k en donde:

2 2b c a= − Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por:

( )b x h

y ka−

− =

( )b x hy k

a−

− = −

Cuando la hipérbola fuera del origen tiene eje transverso vertical la ecuación quedará expresada por:

( ) ( )2 2

2 2 1y k x h

a b− −

− =

y las ecuaciones de las asíntotas son:

( )a x hy k

b−

− =

( )a x hy k

b−

− = −

Estudio individual Determina la gráfica de la resistencia de un alambre por el cual circulan diferentes corrientes eléctricas.

La resistencia que presenta un alambre permitirá o limitará el paso de una corriente, es decir, que en un alambre de baja resistencia podrá circular una corriente alta y un alambre de alta resistencia permitirá el paso de una corriente baja, este fenómeno está explicado por la ecuación conocida como Ley de Ohm.

VIR

=

En donde V es el voltaje al que está sometido el alambre en sus extremos, R es la resistencia del alambre e I es la corriente que podrá circular a través de él.

La gráfica de éste comportamiento nos dará una hipérbola equilátera positiva (cuadrante I) en donde a resistencias muy altas el paso de corriente será cada vez menor; y a resistencias muy pequeñas la corriente circulante será muy alta. Problemas 1. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es

el punto (3, ‐1) y radio = 5. Solución. x2 + y2 ‐ 6x ‐ 2y ‐ 15 = 0 2. Halla el centro y el radio de la circunferencia cuya

ecuación es: x2 + y2 ‐ 8x + 10y ‐12 = 0 Solución. C (4, ‐5) y r = √ 53 3. Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es (‐2, 3)

y foco (1, 3). Solución. y2 ‐ 6y ‐ 12x ‐ 15 = 0 4. Dada la parábola 3x2 ‐ 9x ‐ 5y ‐ 2 = 0, calcula a) vértice,

b) foco, c) lado recto, d) ecuación de la directriz.


Solución. a) (3/2, ‐7/4), b) (3/2, ‐4/3), c) (5/3) 5. Halla la ecuación de la elipse con centro en el

origen, semieje mayor de 4 unidades de longitud sobre el eje y y longitud del lado recto = 9/2.

Solución. 16x2 + 9y2 = 144 6. La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos

focos está el Sol. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse es de 148.5 millones de Km y que la excentricidad vale e = 0.017, encuentra la máxima y la mínima distancia de la Tierra al sol.

Solución. (152 máxima, 146 mínima) millones de km. 7. Encuentra la ecuación de la hipérbola de centro en

el origen eje transverso sobre el eje de coordenadas y, longitud del lado recto = 36 y distancia entre los focos = 24.

Solución. 3y2 ‐ x2 = 108 8. Halla las coordenadas de a) el centro, b) los focos, c)

los vértices, y d) las ecuaciones de las asíntotas, de la hipérbola 9x2 ‐ 16y2 ‐ 36x ‐ 32y ‐ 124 = 0.

Solución. a) (2, ‐1); b) (7, ‐1); c) (6, ‐1) (‐2, ‐1); d) y + 1 = ±3/4 (x ‐ 2).


Prácticas y Listas de Cotejo Unidad de aprendizaje: 2 Práctica número: 5 Nombre de la práctica: Construcción de ecuaciones de circunferencias. Propósito de la práctica: Al finalizar la práctica el alumno construirá y graficará las ecuaciones de la circunferencia a

partir de condiciones dadas. Escenario: Aula Duración: 3 hrs. Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora

• Lápiz

• Papel


• Calculadora


Procedimiento


En esta práctica se van a explicar como construir las ecuaciones de una circunferencia sobre la base de condiciones dadas.

1. Investiga y escribe en tu reporte la definición de circunferencia.

2. Realiza una tabla que contenga 10 valores para el radio y 10 coordenadas ( ),x y para sus respectivos

centros. 3. Dado el radio r de la circunferencia y las coordenadas de su centro, dibuja las circunferencias para

los valores dados en el punto 2. 4. Escribe sus ecuaciones respectivas en la forma canónica. 5. Escribe sus ecuaciones respectivas en la forma general. 6. Determina la ecuación y la gráfica de la circunferencia de radio 7 y cuyo centro es el punto de

intersección de las rectas 3 2 24 0x y− − = y. 7. Reduce la siguiente ecuación a la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia; si la ecuación

dada representa una circunferencia determina su centro, su radio y traza su grafica correspondiente: 2 2 4 8 4 0x y x y+ + + + =

8. Determina la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos A(‐2,2), B(4,1) y C(1, ‐6).

9. Determina la ecuación de la recta tangente trazada del punto A(11,4) a la circunferencia 2 2 8 6 0x y x y+ − − = .




Lista de cotejo de la práctica número 5 Construcción de rectas tangentes Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño


Desarrollo Sí No No Aplica

Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpió el área de trabajo. • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de

trabajo.

1. Escribió la definición de circunferencia. 2. Realizó la tabla de 10 valores para el radio y las 10 coordenadas de sus centros. 3. Dibujó las respectivas circunferencias. 4. Escribió las 10 ecuaciones de las circunferencias en su forma canónica. 5. Escribió las 10 ecuaciones de las circunferencias en su forma general. 6. Determinó el punto de intersección de las rectas. 7. Determinó la ecuación de la circunferencia de radio 7 y centro en el punto de

intersección de las rectas anteriores.

8. Redujo la ecuación 2 2 4 8 4 0x y x y+ + + + = a su forma normal y trazó su gráfica.

9. Determinó la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos A, B y C dados.

10. Determinó la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 2 2 8 6 0x y x y+ − − = en el punto A(11,4).

11. Elaboró el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma.


Observaciones:

PSP:



Unidad de aprendizaje: 2 Práctica número: 6 Nombre de la práctica: Construcción de ecuaciones de parábolas. Propósito de la práctica: Al finalizar la práctica el alumno construirá y graficará las ecuaciones de la parábola a

partir de condiciones dadas. Escenario: Aula Duración: 3 hrs. Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora

• Lápiz

• Papel

• Juego de geometría.

• Calculadora


Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo 1. Investiga y escribe en el reporte la definición de parábola. 2. Determina los elementos de la parábola, realiza una gráfica donde indiques a los mismos. 3. Una parábola cuyo vértice esta en el origen y cuyo eje coincide con el eje x pasa por el punto A(3, 6),

determina la ecuación ordinaria de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto, traza la grafica correspondiente indicando los puntos antes calculados.

4. Escribe la ecuación de la parábola en su forma general. 5. Determina la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje y que pasa por los tres puntos L(‐

2,9), M(0,1) y N(3,4). 6. Grafica la parábola del punto 5. 7. Analiza la estructura del puente colgante que se muestra en la figura, determina la ecuación de la parábola y

la longitud total de los nueve cables verticales igualmente espaciados fijos a la parábola.




Lista de cotejo de la práctica número 6: Construcción de ecuaciones de parábolas Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios que van a ser verificados en

el desempeño del alumno mediante la observación del mismo. De la siguiente lista marque con una aquellas observaciones que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño.



trabajo.

1. Escribió la definición de parábola. 2. Realizó la gráfica indicando los elementos de la parábola. 3. Determinó la ecuación ordinaria de la parábola y los elementos solicitados. 4. Escribió la parábola en su forma general. 5. Determinó la ecuación de parábola con las condiciones dadas. 6. Graficó la parábola del punto 5. 7. Determinó la ecuación de la parábola del puente colgante. 8. Elaboró el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de

la misma.


Observaciones:

PSP:



Unidad de aprendizaje: 2 Práctica número: 7 Nombre de la práctica: Construcción de ecuaciones de elipses. Propósito de la práctica: Al finalizar la práctica el alumno construirá y graficará las ecuaciones de las elipses a partir

de condiciones dadas. Escenario: Aula Duración: 3 hrs. Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora

• Lápiz

• Papel

• Calculadora


Procedimiento


En esta práctica se van a explicar como construir las ecuaciones de una elipse sobre la base de condiciones dadas. 1. Investiga y escribe la definición de elipse. 2. Realiza una gráfica donde indiques los elementos de la elipse. 3. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje x, si uno de sus focos es el punto

F(3,0) y la excentricidad es igual a; determinar las coordenadas del otro foco, las longitudes de los ejes mayor y menor, la ecuación de la elipse y la longitud de cada uno de sus lados rectos; trazar la gráfica correspondiente.

4. Escribe la ecuación de la elipse en su forma general.

5. Determina si la ecuación 2 22 3 8 18 29 0x y x y+ − − + = representa o no una elipse; en su caso, determinar sus elementos correspondientes.

6. Determina la ecuación de la recta tangente a la siguiente elipse, 2 24 5 20x y+ = y de pendiente. 7. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la

misma. Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió

a reciclaje.


Lista de cotejo de la práctica número 7: Construcción de ecuaciones elipses Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios que van a ser verificados en




trabajo.

1. Escribió la definición de elipse. 2. Realiza una gráfica donde indiques los elementos de la elipse. 3. Determinó la ecuación de la elipse con las condiciones dadas y trazó su

gráfica.

4. Escribió la ecuación de la elipse en su forma general. 5. Determinó si la ecuación en el punto 5 era una elipse y de ser así, determinó

sus elementos.

6. Determinó la ecuación de la recta tangente. 7. Elaboró el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de

la misma.


Observaciones:

PSP:



Unidad de aprendizaje: 2 Práctica número: 8 Nombre de la práctica: Construcción de ecuaciones de hipérbolas. Propósito de la práctica: Al finalizar la práctica el alumno construirá y graficará ecuaciones de hipérbolas a partir de

condiciones dadas. Escenario: Aula Duración: 3 hrs. Materiales Maquinaria y equipo Herramienta

• Bitácora

• Lápiz

• Papel


• Calculadora


Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Investiga y escribe en el reporte la definición de hipérbola. 2. Realiza una gráfica donde indiques los elementos de la hipérbola. 3. Los vértices una hipérbola son los puntos V(3, ‐1) y V’(3, 3) y su excentricidad es 3/2; determina la ecuación

de la hipérbola y todos sus elementos. 4. Escribe la ecuación de la hipérbola en su forma general. 5. Escribe la definición de asíntota. 6. Determina las asíntotas de la hipérbola 7. El físico Ernest Rutherford descubrió que cuando se disparan partículas alfa hacia el núcleo de un átomo,

llega un momento en que son repelidas por el núcleo según trayectorias hiperbólicas. El dibujo representa

la trayectoria de una partícula que se dirige hacia el origen sobre la recta 12

y x= y llega a 3 unidades de

distancia respecto del núcleo. Determina la ecuación de la trayectoria.

8. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la

misma. Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió

a reciclaje.


Lista de cotejo de la práctica número 8: Construcción de ecuaciones de hipérbolas Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño




trabajo.

1. Escribió la definición de hipérbola. 2. Realizó una gráfica donde indica los elementos de la hipérbola. 3. Determinó la ecuación de la hipérbola y todos sus elementos 4. Escribió la ecuación de la hipérbola en su forma general 5. Escribió la definición de asíntota. 6. Determinó las asíntotas de la hipérbola. 7. Determinó la ecuación de la trayectoria de las partículas alfa. 8. Elaboró el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de

la misma.


Observaciones:

PSP:



3

TRANSFORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN, TRASLADANDO O

ROTANDO LOS EJES COORDENADAS A UN NUEVO

ORIGEN


3.1.1 Ecuación general de las cónicas Sean L y α una recta y ángulo dados, sea P un punto de L. La superficie formada por todas las rectas que pasan por P y que forman un ángulo α con L recibe nombre de cono de revolución de dos mantos. Figura 3.1

Una línea

La recta L es el eje de cono, P su vértice y las rectas que pasan por P y que forma son las generatrices del cono. Llamamos sección cónica al conjunto de puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos mantos. Figura 3.2

P

α

Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección de una circunferencia o un punto según que

corte un manto o pase por el vértice P ver figura correspondiente. Figura 3.3

Circunferencia

Si el plano no es perpendicular al eje pero corta a toda generatriz, la intersección es una elipse, ver figura correspondiente. Figura 3.4

Elipse

Si el plano es paralelo a una generatriz y corta a todas las demás, la intersección es una parábola, ver gráfica correspondiente.


Figura 3.5

Parábola

Si el plano corta los dos mantos y no pasa por el vértice, la intersección es una hipérbola, ver figura. Figura 3.6

Hipérbola

Si el plano pasa por el vértice, la intersección es un punto, dos rectas que se cortan o una sola recta. Figura 3.7

Dos rectas que se cortan

3.1.2 Aplicaciones de la ecuación general de las cónicas ♦ La trayectoria de un proyectil; si se desprecia la

resistencia del aire es una parábola. ♦ El cable de un puente suspendido, que soporta una

carga uniformemente distribuida toma la forma de una parábola.

♦ Las antenas de señal usualmente son en forma parabólica.

♦ Las órbitas de los planetas son elipses en las que el Sol ocupa uno de los focos.

♦ Los puentes de mampostería frecuentemente tienen arcos semielípticos.

♦ Engranes circulares de todo tipo y tamaño. ♦ También se usan engranes elípticos en algunas

máquinas cuando se necesita un avance lento y potente en una parte de cada revolución.

♦ Las torres de enfriamiento de una planta nuclear a menudo se construyen en formas hiperboloides.

♦ El comportamiento de un gas según la ley de Boyle obedece a la ecuación de la hipérbola. (pv = k)

La ecuación de segundo grado en x y y es:


3.2.1 Rotación de ejes La ecuación de segundo grado en x y y es: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Si B = 0 entonces es de la forma: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Si A = C, tenemos una circunferencia. Si A = 0, tenemos una parábola horizontal. Si C = 0, tenemos una parábola vertical. Si A ≠ C y A > 0 y C > 0, tenemos una elipse. Si A ≠ C y A > 0 y C < 0 ó A < 0 y C < 0, tenemos una hipérbola. Si A = 0 y C = 0, tenemos una línea recta. Hemos visto en apartados anteriores, haciendo uso de la traslación de ejes coordenados que si la gráfica consiste cuando menos en un punto, entonces esa gráfica es una sección cónica o dos rectas paralelas. Vamos ahora a mostrar que se puede introducir un nuevo sistema de ejes en el plano coordenado, tal que el conjunto de puntos que constituye la gráfica de Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 sea la de la ecuación Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 respecto al nuevo sistema. La forma en que vamos a introducir en el plano coordenado este nuevo sistema de ejes recibe el nombre de rotación de ejes. Considérense dos sistemas rectangulares con el mismo origen O, como se indica en la figura 3.8. Fig. 3.8

Y

X-X

-Y

0

x'y'

x1

y1

P (x'1,y'1)

(x1,y1)y'1

x'1αø

Vamos a designar por θ el ángulo que forma Ox con Ox’ medido a partir de éste último. Sea P un punto del plano distinto del origen y sea α el ángulo que forma OP con Ox’ medido también a partir de este último. Por consiguiente, si el sistema x’Oy’ se obtiene a partir del xOy por medio de una rotación, si θ es el ángulo medido de Ox a Ox’ y si un punto dado tiene coordenadas (x, y) en el sistema primitivo y (x’, y’) en el sistema nuevo, entonces:

'cos 'sen x x yθ θ= − Ecuación 3.1

'sen 'cosy x yθ θ= + Ecuación 3.2 θ recibe el nombre de ángulo de rotación, las ecuaciones 3.1 y 3.2 son las ecuaciones de transformación de un sistema a otro para el caso de una rotación pura a través de un ángulo θ. Ejemplo: Sea G la gráfica de:

2 25 4 2 1x xy y+ + = encontrar la ecuación respecto a un nuevo sistema coordenado, obtenido al hacer girar el sistema primitivo

un ángulo θ tal que 1tan2

θ = .

Resolviendo por medio de trigonometría obtenemos: 2

2

sen 1 cos 1tan 1cos cos cos

θ θθθ θ θ

−= = = −

2 2

22

1 1 1 11 1cos 2 cos 4

1 5 4 2cos coscos 4 5 5

θ θ

θ θθ

− = ⇒ − =

⇒ = ⇒ = ⇒ =

2 2 2 2

2

sen cos 1 sen 1 cos

sen 1 cos

4 1sen 15 5

θ θ θ θ

θ θ

θ

+ = ⇒ = −

= −

= − =


Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de transformación obtenemos:

2 1 2 ' '' '5 5 5

x yx x y −= − =

1 2 ' 2 '' '5 5 5

x yy x y += + =

Sustituyendo en la ecuación primitiva tenemos:

2

2

2 ' ' 2 ' ' ' 2 '5 4 5 5 5

' 2 ' 2 15

x y x y x y

x y

− − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

o simplificando se obtiene:

2 26 ' ' 1x y+ = Que, como podemos observar, corresponde a una ecuación de la elipse con centro en el origen y eje menor vertical, mostrado en la figura 3.9. Fig. 3.9

Y

X

-X

-Y

0x'

y'

-y'

-x'

1

2

3

1 2 3

3

2

1

-1

-1-1

-11

2-2

-2

-2

-2

3-3

-3

-3 -3

Sea G la gráfica, respecto al sistema x Oy de una ecuación general de segundo grado.

2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + =

En la que B ≠ 0 y x’ Oy’ un nuevo sistema obtenido del primero mediante una rotación. Si el ángulo de rotación se escoge de modo que:

tan2 BA C

θ =−

Ejemplo: Determina el ángulo θ que deberán girar los ejes coordenados para que la ecuación

2 29 24 16 40 30 0x xy y x y+ + − − = Aparezca sin el término Bxy B = 24, A = 9, C = 16

24tan27

BA C

θ = =− −

2w θ=

sen tancos

www

=

21 cos 24tan

cos 7ww

w−

= = −

2

2

1 cos 24cos 7

ww

−= −

2

2

1 cos 576cos 49

ww

−=

2

1 576 576 49 6251cos 49 49 49 49w

= + = + =

49 7cos625 25

7cos25

w

w

= ± = ±

= −

w se toma menor de 180°. Aplicando la identidad trigonométrica:

2cos 2 2cos 1θ θ= −


Entonces: 2cos 2 2cos 1

cos 2 1cos2

θ θ

θθ

= −

+=

7 1 18 325cos2 50 5

θ− +

= = =

Aplicando la identidad trigonométrica: 2cos 2 1 2senθ θ= −

Entonces:

1 cos 2sen

2θθ −

=

71 32 425sen2 50 5

θ+

= = =

Por lo cual las ecuaciones de transformación quedarán como:

3 ' 4 '5

x yx −=

4 ' 3 '5

x yy +=

Sustituyendo en la ecuación original obtenemos.

2

2

3 ' 4 ' 3 ' 4 ' 4 ' 3 '9 24 5 5 5

4 ' 3 ' 3 ' 4 ' 16 40 5 5

4 ' 3 ' 30 05

x y x y x y

x y x y

x y

+ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

Simplificando

225 ' 14 ' 48 ' 0x y x− − =

Realización del ejercicio El tiro vertical es un movimiento uniformemente acelerado, en donde un objeto es lanzado verticalmente hacia

arriba; a medida que el tiempo transcurre la velocidad, obviamente, va disminuyendo hasta que el cuerpo alcanza la altura máxima y la velocidad final es igual a cero, posteriormente el cuerpo cae nuevamente a la superficie en caída libre. La ecuación que describe este movimiento es: H = V0 t ‐ 1/2 g t

2

En donde V0 es la velocidad con que es lanzado el cuerpo hacia arriba "t" el tiempo que tarda en llegar a su máxima altura; g es la aceleración de la gravedad ( g = 9.8 m/s2), h es la altura máxima alcanzada en el movimiento. Esta ecuación de altura contra tiempo tiene la forma de una ecuación de la parábola. Determinar la altura alcanzada por un cuerpo que es lanzado con una velocidad inicial de 10 m/s al cabo de: a) 1 seg. b) 2 seg. c) 3 seg. Solución. a) Si V0 = 10 m/s y t = 1 s, la altura será: h = 10 (1) ‐ 1/2 (9.8) (1)2

h = 10 ‐ 4.9 h = 5.1 m b) V0 = 10 m/s t = 2 s, h = ?

h = 10 (2) ‐ 1/2 (9.8) (2)2

h = 20 ‐ 19.6 h = 0.4

c) V0 = 10 m/s, t = 3 s, h = ?

h = 10 (3) ‐ 1/2 (9.8) (3)2


h = 30 ‐ 44.1 h= ‐14.1 m?

Es este último caso, observamos que la distancia es negativa, resultado absurdo debido a que a los 3 segundos, el movimiento,, tanto ascendente, como el de caída libre ya ha concluido. El tiempo que tarda el cuerpo en llegar a su altura máxima está dado por: th = V0 / g En este caso será igual a: th = 10 / 9.8 = 1.02 seg. El tiempo total de movimiento será el doble de éste: tT = 2th o sea tT = 2.04 s La altura máxima será: h = 10 (1.02) ‐ 1/2 (9.8) (1.02)2

h = 10.2 ‐ 5.09 h = 5.102 m. ♦ Transformación de la ecuación general de las

cónicas mediante la rotación de ejes. Por el estudio que hemos realizado de la ecuación general de las cónicas, sabemos que ésta es de la forma:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

También sabemos que las ecuaciones de rotación son:

'cos 'sen x x yθ θ= −

'sen 'cosy x yθ θ= + Haciendo la sustitución de estas dos ecuaciones en la ecuación general, dependiendo de los valores de los

parámetros obtendremos ecuaciones generales de las siguientes formas:

a) Dx + Ey + F = 0 Ecuación de la recta b) Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 A = C Ecuación de

la circunferencia. c) Ax2 + Dx + Ey + F = 0 ó Cy2 + Ey + Dx + F = 0

Ecuación de la parábola. d) Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 A ≠ C, A > 0 y C > 0

Ecuación de la Elipse. e) Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 A ≠ 0, A > 0 y C < 0 ó A < 0 y C > 0 Ecuación de la hipérbola. ♦ Solución de problemas aplicando la Ley de Boyle

para gases. La relación entre el volumen y presión de un gas está dada por la ecuación:

V = k / P

Conocida como Ley de Boyle que muestra la relación inversa entre el volumen y la presión, es decir que, si la presión aumenta el volumen disminuirá; por otro lado si el volumen aumenta significa que la presión está bajando.

Ejemplo. Se tienen 15 m3 de un gas a una presión de 300 KPa. Determine la constante (k) del gas.

k = PV k = 300 KPa (15m3) k = 4500 KNm

Con este dato como constante podemos realizar la gráfica de comportamiento del gas, que será una hipérbola equilátera positiva (cuadrante I) volumen contra presión, en donde si la presión es muy alta, el volumen será cada vez menor, si por el contrario, la presión disminuye, el volumen aumentará.


Problemas 1. Mediante una rotación de ejes adecuada expresar la ecuación x2 ‐ 3xy + y2 = 8 sin el término xy. Construir la gráfica. Solución 5y'2 ‐ x'2 = 16 2. Mediante una rotación de ejes adecuada expresar la ecuación 4x2 ‐ 3xy = 18 sin el término xy. Construir la gráfica. Solución. 9y'2 ‐ x'2 = 36 3. Mediante una rotación de ejes adecuada expresar la ecuación xy = 4 sin el término xy. Construir la gráfica. Solución. x'2 ‐ y'2 = 8 4. Mediante una rotación de ejes adecuada expresar la ecuación 9x2 + 4xy + 6y2 + 12x + 36y + 44 = 0 sin el término xy. Construir la gráfica. Solución. 2x'2 + y'2 = 2 Aplicando el criterio de la ecuación general de las cónicas (ecuación general de 2° grado) determinar a que curva corresponde cada una de las siguientes ecuaciones. 5. y2 ‐ 6y ‐ 44x + 5 = 0. Sol. y2 = 4x. Parábola. 6. x2 + y2 + 2x ‐ 4y ‐ 20 = 0. Sol. x2 + y2 = 25 Circunferencia. 7. 3x2 ‐ 4y2 + 12x + 8y ‐ 4 = 0 Sol. 3x2 ‐ 4y2 = 12 Hipérbola. 8. 2x2 + 3y2 ‐ 4x + 12 ‐ 20 = 0 Sol. 2x2 + 3y2 = 34 Elipse


Prácticas y Listas de Cotejo Unidad de aprendizaje: 3 Práctica número: 9 Nombre de la práctica: Uso de la traslación y rotación de ejes. Propósito de la práctica: Al finalizar la práctica el alumno transformará una ecuación debido a la traslación o

rotación de ejes coordenados. Escenario: Aula Duración: 3 hrs. Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora

• Lápiz

• Papel

• Calculadora


Procedimiento


En ésta práctica se van a trasladar o rotar los ejes coordenados. 1. Traslada los ejes coordenados al punto (3,4), dibuja los viejos y los nuevos ejes. 2. Escribe las ecuaciones de traslación de ejes.

3. Dada la ecuación 2 24 16 9 18 11x x y y− + + = , obtén la ecuación de la misma curva, refiriéndola a otro sistema, cuyo origen esta en el punto (2,‐1).

4. Dibuja ambas ecuaciones con respecto a los nuevos y a los viejos ejes. 5. Rota los ejes coordenados un ángulo de 45º, dibuja los viejos y los nuevos ejes. 6. Rota los ejes coordenados un ángulo de ‐45º, dibuja los viejos y los nuevos ejes.

7. Dada la ecuación 2 2 16x y− = , obtén la ecuación de la misma curva, refiriéndola a otro sistema, cuyos ejes forman un ángulo de 45º con los primeros.

8. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a

reciclaje. .


Lista de cotejo de la práctica número 9: Uso de la traslación y rotación de ejes Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios que van a ser verificados en




trabajo.

1. Dibujó los nuevos y viejos ejes de la traslación. 2. Escribió las ecuaciones de traslación de ejes. 3. Escribió la ecuación de la cónica en los nuevos ejes. 4. Dibujó ambas ecuaciones con respecto a los viejos y a los nuevos ejes. 5. Rotó los ejes coordenados un ángulo de 45º, dibujó los nuevos y los viejos

ejes.

6. Rotó los ejes coordenados un ángulo de ‐45º, dibujó los nuevos y los viejos ejes.

7. Obtuvo la ecuación de la curva con respecto a los nuevos ejes. 8. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá

incluir las conclusiones de la misma.


Observaciones:

PSP:



Autoevaluación

1. Halla la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: A(‐2,5) y B(4, ‐3)

2. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo

de longitud igual a 17 es el punto A (1, ‐11) si la

ordenada del otro extremo es 4, halla su

abscisa (dos soluciones).

3. Determina las coordenadas del punto P (x, y)

que se encuentra a los 4/5 a partir del punto A

(‐9, 6) hacia B (7, ‐2).

4. Halla las coordenadas del punto medio para el

segmento cuyos extremos son A(‐4,6) y B(3, ‐2)

5. Halla el área, perímetro y semiperímetro para

los triángulos cuyas coordenadas de los vértices

son: A(3, ‐4), B(5,2) y C(‐7,‐3).

6. Determina las asíntotas horizontales y verticales

de la curva cuya ecuación es 1 0xy x− − = .

7. Halla la pendiente y el ángulo de inclinación de

la recta que se forma con los puntos A(‐6,‐4) y

B(8,3).

8. Halla la ecuación de la recta que pasa por el

punto A(2,‐4) y tiene pendiente –1/3.

9. Halla la ecuación de la recta que tiene

pendiente –2/7 y su intersección con el eje y es

3.

10. Halla la ecuación de la recta que pasa por los

puntos A(‐3,‐1) y B(5,2).

11. Los segmentos que una recta determina sobre

los ejes x y y son –6 y –2 respectivamente;

halle su ecuación.

12. Halla la ecuación de la recta en su forma

general que pasa por el punto A(‐1,4) y tiene

una pendiente igual a –3/2.

13. Halla la ecuación de la recta en su forma

general, si los segmentos que determina sobre

los ejes x y y son –8 y 5 respectivamente;

transfórmala a la forma común.


punto A(‐5,2) y tiene una pendiente de 1/3,

escríbela en su forma general, común y

canónica.

15. Determina la ecuación de la recta en su forma

normal, si 6πω = y 4p = .

16. Encuentra la distancia del origen a la recta

4 3 13 0x y+ + =

17. Determina la ecuación de la recta cuya distancia

del origen es 5 y que pasa por el punto A(‐7,‐1).

18. Halla las coordenadas rectangulares del punto P

cuyas coordenadas polares son (6, 150º)

19. Determina la ecuación polar de la curva cuya

ecuación rectangular es:

2 24 4 2 16 13 0x y x y+ − − + =

20. Halla la ecuación rectangular del lugar

geométrico cuya ecuación es 1

1 2senr

θ=

−


punto R(6,60º) y es perpendicular al radio

vector de R.

22. Determina los ángulos interiores del triángulo

cuyos vértices son los puntos A(‐2,1). B(3,4) y

C(5, ‐2).


23. Determina la distancia comprendida entre las

rectas paralelas 6 8 24 0x y− − = y

3 4 12 0x y− + = .

24. Halla las ecuaciones de las bisectrices de los

ángulos formados por las rectas

3 2 6 0x y− + = y 4 0x y+ − = y demostrar

que son perpendiculares entre sí.

25. Determina la ecuación de la circunferencia de

centro en el origen cartesiano y de radio 4;

construye la gráfica correspondiente.

26. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo

centro es el punto C(5,‐3) y con radio 19 .

27. Una circunferencia tiene su centro en el punto

C(‐2,1) y es tangente a la recta 4x‐3y‐12=0,

determina su ecuación en las formas ordinaria

y general.

28. Determina la ecuación, centro y radio de la

circunferencia que pasa por los puntos A(‐2,2),

B(4,1) y C(1,‐6).

29. Determina la ecuación de la recta tangente

trazada del punto A(11,4) a la circunferencia

2 2 8 6 0x y x y+ − − = .

30. D

etermina la longitud de la tangente que se traza

desde el punto A(3,4) a la circunferencia

2 26 6 24 8 70 0x y x y+ + + − =

31. Determina la ecuación de la parábola cuyos

vértices es el punto V(6,4) y cuyo foco es el

punto F(6,2); determinar también la ecuación

de su directriz, la ecuación de su eje y la

longitud de su lado recto.

32. Determina la ecuación de la parábola en su

forma general, sabiendo que las coordenadas

de su foco son F(4,‐3) y la ecuación de su

directriz es 1y = .

33. Determina la ecuación de la parábola cuyo eje

de simetría es paralelo al eje y y que pasa por

los puntos L(‐2,9), M(0,1) y N(3,4).

34. Determina el máximo o mínimo de la función

cuadrática 24 16 19y x x= + + y los valores

de x para los cuales esta función es positiva

negativa y cero.

35. Determina la ecuación del diámetro de la

parábola 2 16y x= que pase por los puntos

medios de las cuerdas paralelas a la recta

2 3 5 0x y− − = .

36. Determina las coordenadas de los vértices y

focos, las longitudes de los ejes mayor y menor,

la excentricidad y la longitud de cada uno de los

lados rectos, para la elipse

2 225 16 400x y+ =

37. Determina la ecuación de la elipse en su forma

general, sabiendo que su centro es el punto

O(2,‐4) y el vértice y el foco de un mismo lado

del centro son los puntos V’(‐2,‐4) y F’ (‐1,‐4),

respectivamente; halle también todos los

elementos de la curva.

38. .Analiza si la ecuación

2 22 3 8 18 29 0x y x y+ − − + = representa o

no una elipse; en caso afirmativo, determina

sus elementos correspondientes.


39. Determina las ecuaciones de las tangentes

trazadas del punto P(3,‐1) a la elipse

2 22 3 5 0x y x y+ + − − =

40. D

ada la ecuación de la hipérbola, determinar las

coordenadas de los vértices, focos y extremos

del eje conjugado, las longitudes de los ejes

transverso y conjugado, la longitud del lado

recto, las ecuaciones de las directrices y la

excentricidad.

41. Los vértices de una hipérbola son los puntos ( ) ( )3, 1 y ' 3,3V V− y su excentricidad es

3/2 determina la ecuación de la hipérbola y todos sus elementos

Respuestas a la autoevaluación 1. 10

2. 9 y ‐7

3. (19/5, ‐2,5)

4. (‐1/2,2)

5.Área = 31, Perímetro = 29.374, Semiperímetro = 14.687

6.Asíntota horizontal, asíntota vertical.

7. 12

m = , 26º 33'54 ''θ =

8. 3 10 0x y+ + =

9. 2 7 21 0x y+ − =

10. 3 8 1 0x y− + =

11. 2 6 12 0x y+ + =

12. 3 2 5 0x y+ − =

13. Forma general 5 8 4 0 0x y− + = Forma común 5 5

8y x= +

14. Forma general 3 11 0x y− + =

Forma común 1 1 13 3

y x= +

Forma canónica 3 11 1 1 1x y

− + =

15. Forma normal 3 1 4 02 2

x y+ − =

a. 2 8 8 24 0x x y− + + =

b. Forma ordinaria de la parábola ( )21x y− =

c. Valor mínimo en el vértice V(‐2,3), Función positiva para –3<x<3, Función negativa para.

d. Ecuación del diámetro.

e. Coordenadas focos F(0,3) y F’(0, ‐3); Coordenadas vértices V(0,5) y V’(0, ‐5); Coordenadas extremos eje mayor A(4,0) y A’(‐4,0); Excentricidad e = 0.6; Longitud lado recto 6.4; Ecuaciones de las directrices y = ± 25/3.

f. V (6, ‐4), Longitud eje mayor 8; Extremos del eje

menor ( ) ( )2 , 4 7 y ' 2 , 4 7A A− + − − ; Longitud

eje menor 2 7 ; Longitud lado recto 7/2; Excentricidad e = 0.75; Ecuación de la elipse; Ecuación de la elipse en su forma general

2 27 16 28 128 172 0x y x y+ − + + = .

g. Elipse, Centro O(2,3), Eje mayor paralelo al eje de las x, Coordenadas vértices

(2 3 , 3) y '( 2 3 , 3)V V+ − , Coordenadas focos F(3,3) y F’(1,3), Coordenadas extremos eje menor


(2,3 2) y '(2,3 2)A A+ − , Longitud lado recto 2.309, Excentricidad e = 0.5773

h. 9 191 218 0

2 0x y

x y− − =+ − =

i. Coordenadas vértices ( ) ( )2,0 y ' 2,0V V − ;

Coordenadas focos

( ) ( )1 3 , 0 y ' 1 3 , 0F F − ; Coordenadas

puntos extremos ( ) ( )0 , 3 y ' 0 , 3A A − ;

Longitud eje transverso 4; Longitud eje conjugado 6; Longitud lado recto 9; Excentricidad 1.802 ; Ecuaciones de las

directrices 413

x = ±


Referencias documentales

• Peterson, John C. Matemáticas Básicas, México, CECSA, 2004.

• Fuenlabrada, Geometría Analítica, McGraw‐Hill, 1994.

• Smith, Stanley A. y otros. Álgebra, trigonometría y geometría analítica, México, Pearson Education, 1998.

• Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffrery A. Álgebra y trigonometría con geometría analítica, México, Grupo Editorial

Iberoamérica, 1996.

• Lehman, Charles H. Geometría analítica, México, Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana,

• De Oteiza, Elena y otros. Geometría analítica, México, Prentice Hall, 1994

• http://www.igroz.com/GeoAna/ENTRADA5.htm [Consulta 5 de septiembre 2004] • http://www.edupanama.com/S_links/S_links_src/grade_11_mat.htm [Consulta 5 de septiembre 2004] • http://www.pntic.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos • /GeomAnalitica_indice.htm [Consulta 5 de septiembre 2004] • http://www.math.unam.mx/carlosh/matematicas/apconicas.html [Consulta 5 de septiembre 2004]

matematicasiii

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