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�B1� RELACIONES Y FUNCIONES

Diferencia entre variable y constante

Variable: es aquello que puede tomar diferentes valores, se representa mediante símbolos (por lo general, las últimas letras del abecedario: s, t, v, w, x, y, z) y toma sus valores de un conjunto específico.

Ejemplo: la velocidad (v) de un automóvil 10 m/s, 30 m/s, 50 m/s

Constante: es aquello cuyos valores no cambian, es decir, sólo tiene un valor. Por ejemplo, una cantidad numérica: 5, 10, π, e, etc. (en álgebra las constantes se pueden representar con las primeras letras del abecedario: a, b, c, d, e).

Variable independiente: es aquella variable cuyos valores no dependen de ninguna otra variable para cambiar.

Variable dependiente: es aquélla cuyos valores dependen de los valores de otra variable llamada independiente.

Diferencia entre relación y función

Relación: se establece cuando dos o más variables siguen una regla de correspondencia o asociación. En ella, a cada elemento del dominio se le puede asignar uno o más elementos del contradominio.

Ejemplos de relaciones

1. Los asientos de un teatro se identifican por una letra (fila) y un número de asiento.

Sabemos que un teatro está distribuido en filas y cada asiento se numera de forma consecutiva. La numeración vuelve a comenzar conforme cambiamos de fila, la variable independiente es el número de fila y la dependiente es el número de asiento.

En una conferencia pública en París, el 24 de Mayo del año 2000, el Clay Mathematics Institute de Boston (USA) anunció siete premios de un millón de dólares cada uno a quienes resolviesen, a satisfacción de la comunidad matemática internacional, siete célebres problemas matemáticos que permanecían sin solución en esas fechas.

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�Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Número de fila Número de asiento

A 1

B 2

C 3

De esta manera, formamos los pares: A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3; así que a cada elemento del conjunto A le corresponde todos los elementos del conjunto B; se establece una relación.

2. A cada automóvil se le asocia: un modelo, un número de serie, un número de placa, un número de tarjeta de circulación.

3. A cada persona se le asocia una edad, una estatura, un peso.

Función: es una relación tal que a cada elemento de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente.

Para establecer correctamente cuál es la relación entre las variables, es importante identificar la variable dependiente y la independiente. Los valores de la variable dependiente cambian sólo si lo hacen los de la independiente y, para saber si esta relación es función o no, a cada elemento de la variable independiente se le asociará uno y sólo un elemento de la variable dependiente. Si esta condición no ocurre, entonces se trata simplemente de una relación.

Ejemplos de funciones

1. El clima representativo está en función de la estación del año:

La variable independiente: estación del año.Valores: primavera, verano, otoño, invierno.Variable dependiente: clima representativo.Valores: soleado, caluroso, ventoso, frío.

Conforme cambian las estaciones, el clima representativo se va modificando, pero no ocurre de manera inversa, por ello; la variable independiente es estación del año.

Regla de correspondencia

Variable independiente Variable dependiente Estación del año Clima representativo Primavera Soleado Verano Caluroso Otoño Ventoso Invierno Frío

La Hipótesis de Riemann (sobre la localización de los ceros complejos de la función ζ(s) es un problema que se ha intentado resolver desde 1859 y hasta la fecha no tiene solución? Si la conjetura de Riemann es cierta, se dispone de una fórmula asintóticamente exacta para la Ley de distribución de los números primos, resultado que va más allá del teorema de los números primos ¿Te atreves? Es el problema número 1 por el que otorgan un millón de dólares para quien lo resuelva.

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�B1�2. El perímetro de una circunferencia está en función de su radio.

Si varía el radio de la circunferencia, también varía su perímetro, y no al contrario; de tal manera, que la variable dependiente es el perímetro de la circunferencia y la variable independiente, el radio.

Variable independiente: radio de la circunferencia.

Valores: Los valores que puede tomar el radio de la circunferencia son todos aquellos mayores a cero.

Variable dependiente: perímetro de la circunferencia.

Valores: todos los valores mayores a cero, pueden tomar el perímetro de la circunferencia.

Regla de correspondencia

Variable independiente Variable dependiente Radio de la circunferencia Perímetro de la circunferencia 1 2π

2 4π

3 6π

4 8π

3. El área de un cuadrado está en función de la magnitud (tamaño) de sus lados.

Cuando cambia la longitud del lado de un cuadrado, el área cambiará, por lo que la variable independiente es la magnitud del lado del cuadrado y la variable dependiente es el área del cuadrado.

Variable independiente: magnitud del lado del cuadrado.

Valores: todos los valores que puede tomar el lado de un cuadrado, mayores que cero.

Variable dependiente: área del cuadrado.

Valores: todos los valores mayores a cero que puede tomar el área del cuadrado.

Actividad

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�Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Regla de correspondencia Variable independiente Variable dependienteMagnitud del lado del cuadrado Área del cuadrado 1 1

2 4

3 9

4 16

Variables

De las siguientes funciones realiza un análisis como el anterior, identificando la variable independiente y la dependiente, así como los valores que pueden tomar y la regla de correspondencia.1. El área de una circunferencia está en función de su diámetro.2. La imagen de un espejo está en función del movimiento de la persona que se

refleja en el espejo.3. El tiempo de absorción de las medicinas en el cuerpo humano.

A partir de las definiciones de relación y función, podemos deducir que las funciones son un caso particular de las relaciones; es decir, un subconjunto de éstas, con la característica que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. En una relación a cada elemento del dominio le puede corresponder uno o más elementos del dominio; por lo tanto, podemos concluir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

Notación para funciones:f(x)=y

“se lee f de x es igual a y”

En la notación f(x), la variable dentro del paréntesis nos indica cuál es la variable independiente, en este caso es x.

Regla de correspondencia: son las condiciones en las que están relacionadas dos variables, se puede representar por medio de una ecuación matemática.

Argumento: es a cada elemento de la variable independiente.

Imagen: se conoce con este nombre a cada elemento de la variable dependiente.

Actividad

El problema 2 por el que otorgan un millón de dólares es: “La teoría de Yang-Mills y la Hipótesis de Masa no Nula”; es un tema genuino y capital de física teórica, propuesto por Jaffe y Witten.

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�B1�Intervalos

Intervalo: es el conjunto de valores comprendidos en un segmento de un eje real, llámese eje x o eje y o, simplemente, la recta de los reales.

Los intervalos se clasifican en:

Intervalo cerrado, se llama así, si incluye a los extremos. Intervalo abierto, se llama así, si no incluye a los extremos.Intervalo mixto:a) intervalo mixto abierto-cerrado: si no incluye el extremo izquierdo, e incluye al

extremo derecho.b) intervalo mixto cerrado-abierto: se llama así, si incluye al extremo izquierdo y

no incluye al extremo derecho. c) intervalo semiabierto.d) intervalo semicerrado.

La notación de un intervalo puede presentarse en forma paréntesis y/o corchetes (tradicional), en forma de desigualdad y en forma gráfica; esta última casi no la usamos, por lo tanto sólo la mencionaremos.

Sean a y b dos números reales y a < b entonces:

DescripciónNotación

paréntesis Desigualdad Se lee

Intervalo cerrado [a, b] a ≤ x ≤ bIntervalo cerrado a, b.

Intervalo abierto (a, b) a < x < bIntervalo abierto a, b.

Intervalo mixto abierto-cerrado

(a, b] a < x ≤ bIntervalo abierto en a, cerrado en b.

Intervalo mixto:Cerrado- abierto

[a, b) a ≤ x < bIntervalo cerrado en a, abierto en b.

Intervalo semiabierto (-∞, b) -∞ < x < b

Intervalo abierto a la izquierda y en b.

Intervalo semicerrado (-∞, b] -∞ < x ≤ b

Intervalo abierto a la izquierda y cerrado en b.

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�Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

DescripciónNotación

paréntesis Desigualdad Se lee

Intervalo semi abierto

(a, ∞) a < x < ∞Intervalo abierto en a y a la derecha.

Intervalo semi-cerrado

[a, ∞) a ≤ x < ∞

Intervalo cerrado en a y en el lado derecho.

Intervalo abierto (-∞, ∞) -∞ < x < ∞

Abierto en ambos lados, en este caso particular se representa a la recta numérica completa.

Tabla 1.1 La notación de un intervalo

Un intervalo se utiliza para señalar una porción de la función o para representar su dominio, incluso, sirve para representar el rango.

Notación de intervalos

Completa la siguiente tabla:

Num. Intervalo Desigualdad Se leeValores que incluye y

que excluye

1 [2,3] 2 ≤ x ≤ 3 Intervalo cerrado de 2 a 3

Todos los valores entre 2 y 3 incluyendo los extremos.

2 (5,10] 5 < x ≤ 10 Intervalo abierto en 5 y cerrado en 10

Todos los valores entre: 5, 6, 7, 8, 9 y10; incluyendo el 10, excluyendo el 5.

Actividad

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�B1�Num. Intervalo Desigualdad Se lee

Valores que incluye y que excluye

3 (-5,1) 5 < x < 1 Intervalo cerrado de 5 a 1

Todos los valores entre -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1; excluyendo a 5 y 1.

4 [-3, ∞)

Todos los valores entre -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3… hasta infinito; excluyendo: a ninguno.

5 2 ≤ x < 0

6Intervalo abierto en 2 y abierto en 16.

7Todos los valores entre 10, 9, 8, excluyendo a 8.

8 (∞, 3)

9 (20,15]

10 ∞<x≤15

11

Intervalo de ∞ abierto a la izquierda a -3 cerrado a la derecha.

12 [4,5)

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�Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Rango: es el conjunto de imágenes de una función asociadas a los valores de x que conforman el dominio; es decir, son aquellos valores reales que toma la variable dependiente.

Ejemplo

Determina el rango de la función cuya gráfica se muestra en la imagen en el intervalo de valores de x de [-6,6].

Debemos recordar que rango es el conjunto de imágenes (valores de y) asociadas a cada argumento (valores de x).

El problema número 3 está relacionado también otro problema de aplicación a la física y es el único vinculado directamente con las computadoras: “El problema P versus el NP”.

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�B1�De la misma manera, buscamos las imágenes asociadas a los extremos del intervalo de análisis. Observamos que para x = -6 es y = -1 y para x = 6 es y = 5; como la función no tiene variaciones en el intervalo, entonces el rango:

/ -1 5}rango y R y= ∈ ≤ ≤

Se lee: "el rango está en los valores de y que pertenecen a los reales, tal que -1 menor o igual que y, menor o igual que 5".

La recta azul señala el rango en forma gráfica, el cual está comprendido en [-1, 5] se lee: "el intervalo de -1 a 5".

Ejemplo

Determina el rango de la función cuya gráfica se muestra en la imagen en el intervalo de valores de x de [0,4].

Solución

Tal vez te hayas quedado con la idea errónea de que para encontrar el rango de la función, necesitas, buscar las imágenes de los extremos del intervalo; pero no es así debido a que para x = 0 la imagen asociada es y = 0 y para x = 4 también la imagen asociada es y = 0. Sin embargo, puedes observar en la parte central otras imágenes mayores que cero y menores que cero. Por lo tanto al hacer el análisis dentro del intervalo, observamos que la menor de las imágenes es y = -3 y la mayor de las imágenes en el intervalo de análisis es y = 3. Por consiguiente, el rango queda:

rango={y R/-3 y 3}∈ ≤ ≤

Se lee: "el rango está en los valores de y que pertenecen a los reales, tal que -3 menor o igual que y menor o igual que 3".

Actividad

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�Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

La recta roja nos señala el rango comprendido en [-3, 3], que se lee "el intervalo de -3 a 3".

En cada una de las siguientes gráficas señala con rojo el rango solicitado, y en la línea de abajo represéntalo con la notación de desigualdad.

1. Obtener el rango de la función para los valores de x [-1. 1].

Actividad

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�B1�2. Obtener el rango de la función para los valores de x [-3. 3].

3. Obtener el rango de la función para los valores de x [-5, -1].

El problema 4 también es un problema de aplicación a la física: “Las Ecuaciones de Navier-Stokes”.

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�Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Dominio: son todos los valores que puede tomar la variable independiente debido al contexto en el cual se creó, y que en una función generan imágenes reales. Los argumentos que no generan imágenes reales no pertenecen al dominio de la función.

El dominio de una función en cuya regla de correspondencia no tiene: exponentes negativos, exponentes fraccionarios, raíces pares o divisiones en donde la variable dependiente se localice en el denominador, es todos los valores de x que pertenecen a los reales.

Al analizar la definición de dominio, surge una pregunta obligada:

¿Cómo reconocer un argumento que no genera una imagen real?

Existen dos factores que limitan el dominio de la función: a) las imágenes no reales, b) el contexto de la función:

Supongamos que necesitas hacer jugo de zanahoria, si comparamos este hecho con nuestro tema podemos decir que: el conjunto de todas las zanahorias que usarás son el dominio de la función, a cada zanahoria le llamaremos argumento; el extractor de jugos es la función, cada chorrito de jugo que salga de nuestro extractor debido a cada una de las zanahorias sería una imagen, el jugo en conjunto sería el rango de la función; pues bien, con esto puedes observar cómo es una función

zanahoria extractor jugo de 1 zanahoria

argumento función imagen

Por ejemplo:

Dada la función 2( ) 5 8f x x x= + − , evaluarla para x = 2:

argumento función imagen

x = 2 2(2) (2) 5(2) 8 4 10 8 6f = + − = + − = 6y =

zanahorias extractor jugo

dominio función rango

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�B1�Dada la función 2( ) 5 8f x x x= + − , mostrar dominio y rango:

dominio función rango

Todos los valores de xЄR 2( ) 5 8f x x x= + − todos los valores de y ≥ -57/4 que Є R

Si seleccionas una zanahoria, al meterla al extractor se transformará para obtener el jugo, si tomas una zanahoria podrida, al meterla al extractor lo que resultará será jugo en mal estado, algo que no deseas. Esta es la razón por la cual la zanahoria no pertenecerá al dominio de la función, porque al pasar por el procesador nos da una imagen no deseada, que es jugo en mal estado.

Si trabajas con funciones matemáticas y eliges un argumento, si lo sustituyes en la función y éste se transforma en una imagen no real, ya sea una indeterminación (∞) o una cantidad imaginaria, entonces este valor que tomó la variable independiente no pertenece al dominio de la función.

Debes recordar que obtenemos una indeterminación (∞) cuando se presenta la división entre cero (3/0, -5/0, 0/0), y las cantidades imaginarias se presentan principalmente al tratar de obtener una raíz par de un número negativo

( )644 , 9 , 3− − − .

Por ejemplo: dada la función 2

( ) ,1

xf x

x=

+ hallar los valores de x que no

pertenecen al dominio de la función y verificar el resultado mediante su gráfica.

SoluciónAl observar la función percibimos que es el cociente de dos funciones (función racional); por lo tanto, busquemos aquellos valores cuyo denominador se convierte en cero. Con este propósito utilizaremos la siguiente ecuación:

1 0x + =

Tal vez te preguntes por qué precisamente utilizar la ecuación significa que buscamos los valores de x que hacen que el denominador se haga cero y como no es posible hacer la división entre cero, al encontrar dichos valores de x, también estamos encontrando los valores de x que no pertenecen al dominio de la función (más adelante en el bloque seis profundizaremos en esta idea).

x + 1 = 0resolviendo:

x = -1