matematicas ii

(3 ; 16)

(0 ; 2)

(-3 ; 20)

En los problemas 3 a 26, determinar donde es creciente, decreciente, cóncava hacia abajo, cóncava hacia arriba la función dada. Hallar los extremos relativos y los puntos de inflexión y trazar la gráfica.

3.-f ( x )=13x3−9 x+2

f '( x)=13

ddx

(x3 )+x3 ddx ( 13 )−9

i ¿ f ' ( x )=13

(3x2 )−9⇒ f ' ( x )=x2−9

( x−3 ) ( x+3 )=0

x=−3 ; y=20 (−3;20 )Máx .x=3 ; y=16 (3 ;−16 ) Mín .

x←3 ; f ' (x )>0 x<3 ; f ' ( x )<0 Máx. Mín.

x>−3 ; f ' (x)<0 x>3 ; f ' ( x )>0

ii¿ f ' ' ( x )=2 x

2 x=0

x=0 ; y=2 (0 ;2 ) puntode inflexión .

x<0 ; f ' ' (x )<0≠signo puntode inflexión

x>0 ; f ' ' ( x )>0

iii¿ f ' ' ' ( x )=2≠0

4.-f ( x )=x3+3 x2+1

i ¿ f ¿' ( x )=3 x2+6 x=03 x ( x+2 )=0

x=0 ; y=1 (0 ;1 ) Mín.x=−2 ; y=5 (−2 ;5 ) Máx .x←2; f ' ( x )>0 x<0 ; f ' ( x )<0

Máx. Mínx>−2 ; f ' ( x )<0 x>0 ; f ' ( x )>0

ii¿ f ' ' ( x )=6 x+66 ( x+1 )=0

x=−1 ; y=3 (−1 ;3 ) punto de Inflexión .

x←1; f ' ' ( x )<0 ≠signo.

x>−1 ; f ' ' ( x )>0

f ' ' ' (x)=6≠0

Intervalo f(x) f'(x) f''(x) Resumenx←3 + - fes creciente y cóncava hacia

abajo.x=−3 20 0 - fes un máximo y cóncava hacia

abajo.−3<x<0 - - fes decreciente y cóncava hacia

abajo.x=0 2 -9 0 Punto de Inflexión0<x<3 - + fes decreciente y cóncava hacia

arriba.x=3 -16 0 + fes un mínimo y cóncava hacia

arriba.x>3 + + fes creciente y cóncava hacia

arriba.

Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumen

x←2 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.

x=−2 5 0 - fes un máximo y cóncava hacia abajo.

−2<x←1 - - fes decreciente y cóncava hacia abajo.

x=−1 3 -3 0 Punto de Inflexión−1<x<0 - + fes decreciente y cóncava hacia

arriba.x=0 1 0 + fes un mínimo y cóncava hacia

arriba.x>0 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.

5.-f ( x )=x 4−4 x3+10

i ¿ f ¿' ( x )=4 x3−12 x2

4 x2 ( x−3 )=0

x=0 ; y=10 (0;10 )x=3 ; y=−17 (3 ;−17 )Máx .x<0 ; f ' ( x )<0 x<3 ; f ' ( x )<0

No existe. Mínx>0 ; f ' ( x )<0 x>3 ; f ' ( x )>0

ii¿ f ' ' (x)=12x2−24 x12 x ( x−2 )=0

x=0 ; y=10 (0;10 ) punto de Inflexión.

x=2 ; y=−6 (2 ;−6 ) puntode Inflexión .

x<0 ; f ' ' ( x )>0 x<2 ; f ' ' ( x )<0 ≠ signo. ≠ signo.

x>0 ; f ' ' ( x )<0 x>2 ; f ' ' ( x )>0

f ' ' ' ( x )=24 x−24

x=0 ; f ' ' ' (0 )=−24≠0

x=2 ; f ' ' ' (2 )=24≠0

Intervalo f(x) f '(x) f ''(x)

Resumen

x<0 - + fesdecreciente y cóncava hacia arriba.

x=0 10 0 0 Punto de Inflexión.0<x<2 - - fes decreciente y cóncava hacia

abajo.x=2 -6 -16 0 Punto de Inflexión.2<x<3 - + fes decreciente y cóncava hacia

abajo.x=3 -17 0 36 Punto de Inflexión.x>3 + + fes creciente y cóncava hacia

arriba.

6.-f ( x )=x3−3x2+3 x+1

i ¿ f ¿' ( x )=3 x2−6 x+3x2−2 x+1=0(x−1)2=0

x=1 ; y=2 (1 ;2 )x<1 ; f ' (x )>0

No existe.x>1 ; f ' (x )>0

ii¿ f ' ' (x)=6 x−6x−1=0

x=1 ; y=2 (1 ;2 ) punto de Inflexión.

x<1 ; f ' ' (x )<0 ≠ signo.

x>1 ; f ' ' (x )>0

f ' ' ' ( x )=6≠0


x<1 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.

x=1 2 3 6 Punto de Inflexión.x>1 + + fes creciente y cóncava hacia

arriba.

7.-f ( x )=(x−2)3

i ¿ f ¿' ( x )=3 (x−2)2 ddx

( x−2 )

f ' ( x )=3( x−2)2=0

x=2 ; y=0 (2 ;0 )x<2 ; f ' (x )>0

No existe.x>2 ; f ' (x )>0

ii¿ f ' ' (x )=6 ( x−2 )=0

x=2 ; y=0 (2 ;0 ) puntode Inflexión .

x<2 ; f ' ' ( x )<0 ≠ signo.

x>2 ; f ' ' ( x )>0

f ' ' ' ( x )=6≠0

Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx<2 + - fes creciente y cóncava hacia

abajo.x=2 0 3 6 Punto de Inflexión.x>2 + + fes creciente y cóncava hacia

arriba.

8.-f ( x )=x5−5x

i ¿ f ¿' ( x )=5 x4−5=05 (x4−1 )=0

x=1 ; y=−4 (1 ;−4 ) Mín .x=−1 ; y=4 (−1 ;4 )Máx .x←1; f ' ( x )>0 x<1 ; f ' (x )<0

Máx. Mín.x>−1 ; f ' (x )<0 x>1 ; f ' (x )>0

ii¿ f ' ' (x)=20 x3

20 x3=0

x=0 ; y=0 (0 ;0 ) punto de Inflexión .

x<0 ; f ' ' ( x )<0 ≠ signo.

x>0 ; f ' ' ( x )>0

f ' ' ' ( x )=60x2

f ' ' ' (0 )=0

9.-f ( x )=(x2−5)3

Falta terminar la tabla y los puntos en la gráica


Resumen


x=−1 4 0 - fes un máximo y cóncava hacia abajo.

−1<x<0 - - fes decreciente y cóncava hacia abajo.

x=0 0 -5 0 Punto de Inflexión0<x<1 - + fes decreciente y cóncava hacia

arriba.x=1 -4 0 + fes un mínimo y cóncava hacia


arriba.

i ¿ f ¿' ( x )=3 (x2−5)2 dd x

(x2+5 )

f ' ( x )=3( x2−5)2 (2x )3(x2−5)2 (2x )=0

x=0 ; y=−125 (0 ;−125 )Mín .x=√5 ; y=0 (√5 ;0 )x=−√5 ; y=0 (−√5 ;0 )x←√5 ; f ' ( x )<0 x<√5; f ' (x )>0

No existe. No existex>−√5 ; f ' (x )<0 x>√5; f ' (x )>0

x<0 ; f ' ( x )<0 Mín

x>0 ; f ' ( x )>0

ii¿ f ' ' (x)=3(10 x4+50−60x2)x4−6 x2+5=0(x¿¿2−5)(x2−1)=0¿

x=−√5 ; y=0 (−√5 ;0 ) puntode Inflexión .

x=√5 ; y=0 (√5 ;0 ) puntode Inflexión .

x=−1 ; y=−64 (−1;−64 ) punto de Inflexión .

x=1 ; y=−64 (1;−64 ) punto de Inflexión.

x←√5 ; f ' ' ( x )>0 x←1; f ' ' ( x )<0 ≠ signo. ≠ signo.

x>−√5 ; f ' ' (x )<0 x>−1 ; f ' ' ( x )>0

x<√5; f ' ' (x )<0 x<1 ; f ' ' (x )>0 ≠ signo. ≠ signo.

x>√5; f ' ' (x )>0 x>1 ; f ' ' (x )<0

Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←√5 - + f es decreciente y cóncava hacia

arriba.x=−√5 0 0 0 Punto de inflexión.

−√5<x←1 - - fes decreciente y cóncava hacia abajo.

x=¿-1 -64 - 0 Punto de Inflexión-1¿ x<¿0 - + fes decreciente y cóncava hacia

arriba.x=¿0 -125 0 + fes un mínimo y cóncava hacia

arriba.0<x<1 + + fes creciente y cóncava hacia

arriba.x=1 -64 + 0 Puto de inflexión.

1<x<√5 + - f es creciente y cóncava hacia abajo.

x=√5 0 0 0 Punto de inflexión.x>√5 + + f es creciente y cóncava hacia

arriba.

10.-f ( x )=(x−2)4

i ¿ f ¿' ( x )=4 (x−2)3

( x−2 )3=0

x=2 ; y=0 (2 ;0 ) Mín .

Falta terminar la tabla y los puntos en la gráfica

x<2 ; f ' (x )<0 Mín.

x>2 ; f ' (x )>0

ii¿ f ' ' (x)=12(x−2)2

12(x−2)2=0

x=2 ; y=0 (2 ;0 )x<2 ; f ' ' ( x )>0

No hay punto de Inflexión.x>2 ; f ' ' ( x )>0

f ' ' ' ( x )=24 (x−2)

f ' ' ' (2 )=0

Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx<¿2 - + fes decreciente y cóncava

hacia arriba.x=¿2 0 0 0 fes un mínimo.x>2 + + fes creciente y cóncava hacia

arriba.

11.-t=x

f ( x )=x+ 1x

i ¿ f ¿' ( x )=1− 1

x2

1− 1

x2=0

x=1 ; y=2 (1 ;2 )Mín .

x=−1 ; y=−2 (1 ;2 )Máx .

x←1; f ' ( x )>0 x<1 ; f ' (x )<0 Máx. Mín.

x>−1 ; f ' (x )<0 x>1 ; f ' (x )>0

ii¿ f ' ' (x)= 2

x3

2

x3=0

Esta ecuación no tiene solución

f ' ' ' ( x )=−6x4

≠0


Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx<¿-1 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.

x=−1 -2 0 - fes un máximo y cóncava hacia abajo.


x=¿1 2 O + fes un mínimo y cóncava hacia arriba.

x>1 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.

12.-f ( x )=(x2−3)2

i ¿ f ¿' ( x )=2(x2−3) ddx

(x2−3 )

(2 x2−6)(2 x)=04 x3−12=04 x (x2−3)=0

x=0 ; y=9 (0 ;9 ) Máx.x=√3 ; y=0 (√3 ;0 ) Mín .x=−√3 ; y=0 (−√3 ;0 ) Mín .x←√3 ; f ' ( x )<0 x<0 ; f ' ( x )>0

Mín. Máx.x>−√3 ; f ' (x )>0 x>0 ; f ' ( x )<0

x<√3; f ' (x )<0 Mín.

x>√3; f ' (x )<0

ii¿ f ' ' (x )=12x2−12

Faltan los puntos en la gráfica

12(x¿¿2−1)=0¿(x+1)( x−1)=0

x=−1 ; y=4 (−1 ;4 )Punto de Inflexión.

x=1 ; y=4 (1 ;4 )Puntode Inflexión .

x←1; f ' ' ( x )>0 x<1 ; f ' ' (x )<0 ≠ Signo. ≠ Signo.

x>−1 ; f ' ' ( x )<0 x>1 ; f ' ' (x )>0

f ' ' ' ( x )=24 x≠0

f ' ' ' (1 )=24≠0f ' ' ' (−1 )=−24≠0

Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←√3 - + fes decreciente y cóncava hacia

arriba.x=−√3 0 0 + fes un mínimo y cóncava hacia

arriba.−√3<x←1 + + fes creciente y cóncava hacia

arriba.x=−1 4 + 0 Punto de Inflexión.

−1<x<0 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.

x=0 9 0 - fes un máximo y cóncava hacia abajo.

0<x<1 - - fes decreciente y cóncava hacia abajo.

x=1 4 - 0 Punto de Inflexión.1<x<√3 + + fes creciente y cóncava hacia

arriba.x=√3 0 0 + fes creciente y cóncava hacia

arriba.

13.-f ( x )= x2

x−3

i ¿ f ¿' ( x )=( x−3 ) (x2 )'+(x2)( x−3)'

(x−3)2

f ' ( x )=( x−3 )(2 x)+(x2)(1)

(x−3)2

f ' ( x )=2x2−6x−x2

(x−3)2

f ' ( x )= x2−6 x(x−3)2

x2−6 x(x−3)2

=0 ; x≠3

x=0 ; y=0 (0 ;0 )Máx .

x=6 ; y=12 (6 ;12 ) Mín.x<0 ; f ' ( x )>0 x<6 ; f ' ( x )<0

Máx. Mín.x>0 ; f ' ( x )<0 x>6 ; f ' ( x )>0

ii¿ f ' ' (x)=( x−3 )2 (x2−6 x )'−(x2−6 x) [(x−3)2 ] '

[(x−3)2 ]2

f ' ' (x )=(x−3 )2(2x−6)−( x2−6 x) [2(x−3)]

(x−3)4


f ' ' (x )=2(x−3)[ x2+9−6 x−x2+6x ]

(x−3)4

f ' ' (x )=2 (9 )

(x−3)3

f ' ' ( x )= 18

(x−3)3=0

Esta ecuación no tiene puto de inflexión.


abajo.x=¿0 0 0 - fes un máximo y cóncava hacia

abajo.0<x<6 - - fes decreciente y cóncava hacia

abajo.x=¿6 12 0 + fes un mínimo y cóncava hacia


arriba.

14.f ( x )=1+2x+18x

f ´ ( x )= ddx

(1 )+ ddx

(2 x )+ ddx

¿)

f ´ ( x )=2+xddx

(18 )−(18) ddx

(x )

x2

f ´ ( x )=2+−18x2

= 0

x=−3 y= - 11

x=3 y= 13

x←3 ; f ' ( x )>0 Máximo

x>−3 ; f ' ( x )<0

x<3 ; f ' ( x )<0 Mínimo

x>3 ; f ' ( x )>0

f ' ' ( x )= ddx

(2 )− ddx

¿)

f ' ' (x )=x2

ddx

(18 )+(18) ddx

(x2)

x4

f ' ' ( x )=36 xx4

f ' ' ( x )=36x3

No existe punto de inflexión.

f ' ' ' (x)=x3

ddx

(36 )−(36) ddx

(x3)

x6

f ' ' ' (x)=−36 (3 x2)

x6

f ' ' ' ( x )=−108x4

f ' ' ' (0 )=−1080

entonces∄

Con la tercera derivada se confirma que no hay punto de inflexión.

Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←3 + - fes creciente y cóncava hacia

abajo.x=¿-3 - 11 0 - fes un máximo y cóncava hacia

abajo.−3<x<3 - - fes decreciente y cóncava hacia

abajo.x=¿3 13 0 + fes un mínimo y cóncava hacia


arriba.

15.− f ( x )=(x+1)13

i ¿ f ' ( x )=13(x+1)

−23

13( x+1)

−23 =0

(x+1)−23 =0


ii¿ f ' ' (x)=13 (−23 (x+1)

−53 )

f ' ' (x )=(−29 )( 1

(x+1)53 )

−2

9(x+1)53

=0

−23√9(x+1)5

=0

3√(x+1)5=0⇒(x+1)5=0

x=−1 ; y=0 (−1 ;0 ) Puntode Inflexión .

x←1; f ' ' ( x )<0 ≠Signo .

x>−1 ; f ' ' ( x )>0

Falta terminar los puntos en la gráfica

f ' ' ' ( x )=9 ( x+1 )

53 (0 )−(−2)(9)( 53 )(x+1)

23

[9(x+1)53 ]2

f ' ' ' ( x )=30 (x+1)

23

81(x+1)103

10

27(x+1)83

≠0⇒ x≠−1

Intervalo

f(x) f '(x) f ''(x)

Resumen

x←1 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.

x=−1 0 No existe 0 Punto de Inflexión.x>−1 + - fes creciente y cóncava hacia

abajo.

16.-f ( x )= x2−3 xx+1

i ¿ f ' ( x )=( x+1 ) d

dx(x2−3x )−(x2−3 x) d

dx( x+1 )

(x+1)2

f ' ( x )=( x+1 )(2x−3)−(x2−3 x) (1 )

( x+1)2

f ' ( x )= x2+2 x−3(x+1)2

( x+3 ) ( x−1 )( x+1 )2

=0 ; x ≠−1

x=−3 ; y=−9 (−3 ;−9 )Máx .

x=1 ; y=−1 (1 ;−1 ) Mín.

x←3 ; f ' (x )>0 x<1 ; f ' (x )<0 Máx. Mín.

x>−3 ; f ' ( x )<0 x>1 ; f ' (x )>0

ii¿ f ' ' (x)=( x+1 )2 (x2+2 x−3 )'−(x2+2x−3) [( x+1)2 ] '

[(x+1)2 ]2

f ' ' (x )=(x+1 )2(2 x+2)−(x2+2x−3)[2(x+1)]

(x+1)4

f ' ' (x )=2(x+1) [ x2+2 x+1−x2−2 x+3 ]

(x+1)4

f ' ' (x )=2(4)

(x+1)3

8

(x+1)3=0


f ' ' ' ( x )= −24( x+1 )4

≠0 ; x≠−1


17.-f ( x )=(x+1)43

i ¿ f ' ( x )= 43(x+1)

13

43(x+1)

13=0


Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx<¿-3 + - fes creciente y cóncava hacia

abajo.x=−3 -9 0 0 fes un máximo.

−3<x<1 - + fes decreciente y cóncava hacia arriba.

x=¿1 -1 0 0 f es un mínimo.x>3 + + fes creciente y cóncava hacia

arriba.

(x+1)13=0

x=−1 ; y=0 (−1 ;0 ) Mín .

x←1; f ' ( x )<0 Mín.

x>−1 ; f ' (x )>0

ii¿ f ' ' (x)=43 ( 13 (x+1)

−23 )

f ' ' (x )=(4 )(1)

(9)(x+1)23

( 49 )( 1

(x+1)23 )=0

( 13√(x+1)2 )=0

3√(x+1)2=0⇒(x+1)2=0

x=−1 ; y=∄

x←1; f ' ' ( x )>0 Nohay punto de inflexión

x>−1 ; f ' ' ( x )>0

f ' ' ' ( x )=49 [−23 (x+1)

−53 ]

f ' ' ' ( x )=−827

(x+1)−53

−8

27 ( x+1 )53

≠0 ; x≠−1

18.−f ( x )=(x+1)23

i ¿ f ' ( x )=23(x+1)

−13

23( x+1)

−13 =0

(x+1)−13 =0


ii¿ f ' ' (x)=23 (−13 (x+1)

−43 )


Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←1 - - fes decreciente y cóncava hacia

abajo.x=−1 0 0 0 fes un mínimo.x>−1 + - fes creciente y cóncava hacia

abajo.

f ' ' (x )=(−29 )( 1

(x+1)43 )

−2

9(x+1)43

=0

−23√9(x+1)4

=0

3√(x+1)4=0⇒(x+1)4=0

x=−1 ; y=0 (−1 ;0 )

x←1; f ' ' ( x )<0 No hay punto de inflexión.

x>−1 ; f ' ' ( x )<0

f ' ' ' ( x )=9 ( x+1 )

43 (0 )−(−2)(9)( 43 )(x+1)

13

[9 (x+1)43 ]2

f ' ' ' ( x )=24 (x+1)

13

81(x+1)83

8

27(x+1)73

≠0⇒ x ≠−1

19. g ( x )=f ( x )⇒ f ( x )=√x2+1

f ' ( x )=

ddx

(x2+1)

2√x2+1

f ' ( x )= 2x

2√x2+1

f ' ( x )= x

√x2+1 = 0

x = 0 ; y=1x<0 ; f ' ( x )<0

Mínimox>0 ; f ' ( x )>0

f ' ' (x )=√x2+1 d

dx( x )−x

ddx

√ x2+1

(√ x2+1)2

Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←1 - - fes decreciente y cóncava hacia

abajo.x=−1 0 No

existeNo

existefno tiene extremo relativo.

x>−1 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.

f ' ' (x )=√x2+1– x ( x

√x2+1)

(√ x2+1)2

f ' ' (x )=√ x2+1 – ( x2

√x2+1)

(x¿¿2+1)(√x2+1)¿

f ' ' (x )= 1

(√ x2+1)2

No hay punto de inflexión.

20.−g ( x )=f ( x )⇒ f ( x )=(x+1)53

i ¿ f ' ( x )=53(x+1)

23

Grafico y tabla

53( x+1)

23=0

(x+1)23=0

x=−1 ; y=0 (−1 ;0 )

x←1; f ' ( x )>0 No tiene extremo relativo.

x>−1 ; f ' (x )>0

ii¿ f ' ' (x)=53 ( 23 (x+1)

−13 )

f ' ' (x )=( 109 )( 1

(x+1)13 )

10

9(x+1)13

=0

103√9(x+1)

=0

3√(x+1)=0⇒(x+1)=0

x=−1 ; y=0 (−1 ;0 ) Puntode Inflexión .

x←1; f ' ' ( x )<0 ≠ Signo.

x>−1 ; f ' ' ( x )>0

f ' ' ' ( x )=9 ( x+1 )

13 (0 )−(10)(9)( 13 )(x+1)

−23

[9(x+1)13 ]2

f ' ' ' ( x )=−30(x+1)

−23

81(x+1)23

30

(9 x+9)43

≠0⇒ x ≠−1



x=−1 0 0 0 Punto de Inflexión.x>−1 + + fes creciente y cóncava hacia

arriba.

21. f ( s )=f ( x )⇒ f ( x )=2 x¿

f ' ( x )=2 x ddx

¿(2 x¿

f ' ( x )=2 x¿

f ' ( x )=8¿ = 0

x=−4 ; y=0 (−4 ;0 )

x=−1 ; y=−54 (−1;−54 )Mínimo

x←4 ; f ' ' ( x )<0∄

x>−4 ; f ' ' ( x )<0

x←1; f ' ' ( x )<0Mínimo

x>−1 ; f ' ' ( x )>0

f ' ' ( x )=( x+4 )2+ (x+1 ) ¿)

f ' ' ( x )=(x+4)[ ( x+4 )+2 x+2 ]

f ' ' ( x )=3 ( x+4 )(x+2)=0

x←4 ; f ' ' ( x )>0≠signo

x>−4 ; f ' ' ( x )<0

x←2; f ' ' ( x )<0≠signo

x>−2 ; f ' ' ( x )>0grafico

22.−f ( x )=( xx+1 )

2

⇒ x≠−1

i ¿ f ¿' ( x )=2( xx+1 ) d

dx ( xx+1 )

f ' ( x )= 2 xx+1 [ ( x+1 ) d

dx( x )−x

ddx

(x+1)

( x+1)2 ]f ' ( x )= 2 x

x+1 ( x+1−x

( x+1 )2 )f ' ( x )= 2 x

(x+1)3

2 x

(x+1)3=0

x=−1 ; y=Noexiste .

x=0 ; y=0 (0 ;0 )Mín .x<0 ; f ' ( x )<0 Mín.x>0 ; f ' ( x )>0

ii¿ f ' ' (x )=(x+1)3 d

dx(2x )−2 x d

dx(x+1)3

(x+1)6

f ' ' ( x )=2 (x+1)3−2 x [3 (x+1)2 ]

(x+1)6

f ' ' ( x )=2 (x+1)3−6 x (x+1)2

(x+1)6

f ' ' ( x )=(x+1)2 [2 ( x+1 )−6x ]

(x+1)6

f ' ' ( x )=2 x+2−6 x(x+1)4


f ' ' ( x )=−4 x+2(x+1)4

−4 x+2(x+1)4

=0

−4 x+2=0

x=−1 ; y=Noexiste .

x=12; y=1

9 ( 12 ; 19 )Puntode Inflexión .x<12; f ' ' ( x )>0

≠ Signo.

x>12; f ' ' ( x )<0

f ' ' ' ( x )=( x+1)4 d

dx(−4 x+2 )−(−4 x+2) d

dx(x+1)4

(x+1)8

f ' ' ' ( x )=( x+1)4 (−4 )−(−4 x+2)4 (x+1)3

(x+1)8

f ' ' ' ( x )=( x+1)3 [−4 ( x+1 )−4(−4 x+2)]

(x+1)8

f ' ' ' ( x )=−4 x−4+16 x−8(x+1)5

f ' ' ' ( x )=12 x−12(x+1)5

12x−12(x+1)5

=0⇒ x ≠−1

Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←1 + + fes creciente y cóncava hacia

arriba.x=−1 No

existeNo

existeNo

existefno tiene extremo relativo.

−1<x<0 - + fes decreciente y cóncava hacia arriba.

x=0 0 0 + fes un mínimo y cóncava hacia arriba.

0<x<1/2 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.

x=1/2 1/9 + 0 Punto de Inflexión.x>1/2 + - fes creciente y cóncava hacia

abajo.

23.−h (t )=f ( x )⇒ f ( x )= 2

1+x2

i ¿ f ¿' ( x )=(1+x2 ) d

dx(2 )−2 d

dx(1+x2)

(1+x2)2

f ' ( x )=−2(2 x)(1+ x2)2

f ' ( x )= −4 x(1+x2)2

−4 x(1+x2)2

=0

x=−1 ; y=2 (0 ;2 ) Máx.

x<0 ; f ' ( x )>0 Máx.x>0 ; f ' ( x )<0

ii¿ f ' ' (x )=(1+x2)2 d

dx(−4 x )−(4 x ) d

dx(1+x2)2

(1+x2)4

f ' ' ( x )=−4 (1+x2 )2−(−4 x)(2)(1+x2)(2 x)

(1+x2)4

f ' ' ( x )=−4 (1+x2 )2+16 x2(1+ x2)

(1+ x2)4

f ' ' ( x )=(1+x2) [−4 (1+x2)+16x2 ]

(1+x2)4

f ' ' ( x )=−4−4 x2+16 x2

(1+x2)3

f ' ' ( x )=12 x2−4

(1+x2)3


12x2−4(1+ x2)3

=0

12 x2−4=0(3 x2−1)=03 x2=1

x=−√33

; y=32 (−√3

3;32 )Punto de Inflexión .

x=√33

; y=32 (√33 ;

32 )Punto de Inflexión.

x<−√33

; f ' ' ( x )>0 x< √33

; f ' ' ( x )<0 ≠

Signo. ≠ signo

x>−√33

; f ' ' ( x )<0 x> √33

; f ' ' ( x )>0

f ' ' ' ( x )=(1+x2) d

dx(12 x2−4 )−(12 x2−4) d

dx(1+x2)

(1+x2)6

f ' ' ' ( x )=(1+x2)(24 x )−(12 x2−4 )(2x )(1+x2)6

f ' ' ' ( x )=24 x+24 x3−24 x3+8 x

(1+ x2)6

f ' ' ' ( x )= 32 x

(1+x2)6≠0

25.− f ( x )=(x−2)3

x2

i ¿ f ¿' ( x )=x2

ddx

( x+2 )3−(x−2)3 ddx

(x2)

x4

f ' ( x )=3(x2) ( x−2 )2−( x−2 )3(2 x)

x4

f ' ( x )=( x−2 )2 x [3 x−2(x−2)]

x4

f ' ( x )= ( x−2 )2(3 x−2 x+4)x3

f ' ( x )= ( x−2 )2(x+4)x3

( x−2 )2(x+4)x3

=0⇒ x ≠0


Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←√3 /3 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.

x=−√3/3 3/2 + 0 Punto de Inflexión.

−√3/3<x<0 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.

x=0 2 0 - fes un máximo y cóncava hacia abajo.

0<x<√3/3 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.

x=√3/3 3/2 - 0 Punto de Inflexión.

x>√3/3 - + fes decreciente y cóncava hacia arriba.

x=−4 ; y=−272 (−4 ;−272 )Máx.

x=2 ; y=0 (2 ;0 )

x←4 ; f ' ( x )>0 x<2 ; f ' (x )>0 Máx. No existe.

x>−4 ; f ' ( x )<0 x>2 ; f ' (x )>0

ii¿ f ' ' (x )=x3

ddx

(x−2 )2(x+4)−( x−2 )2( x+4) ddx

x3

x6

f ' ' ( x )=x3[ ( x−2 )2 d

dx(x+4 )+(x+4) d

dx(x−2)2]− (x−2 )2(x+4)3 x2

x6

f ' ' ( x )=x3 [ ( x−2 )2 (1 )+(x+4)(2)(x−2)]−( x−2 )2(x+4)3 x2

x6

f ' ' ( x )=x3 [ ( x−2 )(x−2+2 x+8)]−( x−2 )2(x+4 )3 x2

x6

f ' ' ( x )=x3 [ ( x−2 )(3 x+6)]−( x−2 )2(x+4 )3 x2

x6

f ' ' ( x )=x3 [3 (x−2 )(x+2) ]−( x−2 )2(x+4)3 x2

x6

f ' ' ( x )=3 x2 [ x(x−2)(x+2)−( x−2 )2(x+4)]

x6

f ' ' ( x )=3 {(x−2) [x ( x+2 )−(x−2)( x+4)] }

x4

f ' ' ( x )=3 (x−2)[ x2+2x−(x2+2x−8)]

x4

f ' ' ( x )=3 (x−2)(8)x4

f ' ' ( x )=24 (x−2)x4

24(x−2)x4

=0⇒ x ≠0

24 (x−2)=0

x=2 ; y=0 (2 ;0 ) Puntode Inflexión .

x<2 ; f ' ' ( x )<0 ≠ Signo.

x>2 ; f ' ' ( x )>0

f ' ' ' ( x )=x4

ddx24 ( x−2 )−24(x−2) d

dxx4

x8

f ' ' ' ( x )= x4 (24 )−24 (x−2)4 x3

x8

f ' ' ' ( x )=24 x3 [x−4 (x−2)]

x8

f ' ' ' ( x )=24 (x−4 x+8)x5

f ' ' ' ( x )=24 (−3 x+8)x5

24(−3x+8)x5

≠0⇒ x ≠0

Intervalo f(x) f '(x) f ''(x) Resumenx←4 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.

x=−4 −27 /2 0 + fes un máximo y cóncava hacia arriba.

−4<x<2 + - fes creciente y cóncava hacia abajo.

x=2 0 0 0 Punto de Inflexión.x>2 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.

Emplear el criterio de la segunda derivada para hallar los máximos y mínimos relativos de la función dada.

26. Determinar donde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, puntos de inflexión extremos relativos y trazar la grafica

H (t )= (t+3 )3

( t−1 )2

h' (t )=(t−1 )2 d

dt(t+3 )3−(t+3 )3 d

dt(t−1 )

2

(t−1 )4

¿3 (t−1 )2 ( t+3 )2−2 ( t+3 )3 ( t−1 )

(t−1 )4

¿( t−1 ) (t+3 )2 [3 ( t−1 )−2 ( t+3 ) ]

( t−1 )4

¿(t+3 )2 (3 t−3−2 t−6 )

(t−1 )3

¿(t+3 )2 (t−9 )

(t−1)3=0

t=−3 y=0

t=9 y=27

t=1 y=no existe

t←3; h' (t )>0

t>−3 ;h' (t)>0

t<9 ;h' (t)<0

t>9 ;h' (t)>0

Aplicando la segunda derivada

h ' ' (t )=( t−1 )3 d

dt(t+3 )2(t−9)−(t+3 )2(t−9) d

dt(t−1)

3

(t−1)6

¿( t−1 )3[( t+3 )2 d

dt( t−9 )+( t−9 ) d

dt( t+3 )3]−(t+3 )2 ( t−9 )3 ( t−1 )2

( t−1 )6

¿( t−1 )3 [ (t+3 )2+(t−9 )2(t+3)]−3 (t+3 )2 ( t−9 ) ( t−1 )2

(t−1)6

¿( t−1 )3(t+3) [(t+3)+ (t−9 )2¿ ]−3 ( t+3 )2 ( t−9 ) (t−1 )2

(t−1)6

¿( t−1 )3 ( t+3 ) (3t−15 )−3 ( t+3 )2 (t−9 ) (t−1 )2

(t−1)6

¿(t−1 )2 [ (t−1 ) (3 t−15 )−3(t+3) (t−9 ) ]

(t−1)6

(Punto mínimo)

No existe

Mínimo

¿( t+3 ) [3 ( t−1 ) ( t−5 )−3(t+3) (t−9 ) ]

( t−1)4

¿3 (t+3 ) [ (t−1 ) (t−5 )−( t+3) (t−9 ) ]

( t−1)4

¿3 (t+3 ) (t 2−6 t+5−t 2+6 t+27 )

(t−1)4

¿96 ( t+3 )(t−1)4

t=−3 y=0

t=1 y=¿No existe

t←3; h' ' (t )<0

t>−3 ;h' ' ( t )>0

Tercera derivada

h ' ' ' ( t )=(t−1 )4 d

dt96 (t+3 )−96 (t+3) d

dt(t−1)

4

(t−1)8

¿96(t−1−4 t−12)

(t−1)5

¿96(−3 t−13)

(t−1)5

h' ' '( t)=−3≠0

Intervalo f(x) f’(x) f’’(x) Resumenx<-3 + - f es creciente y cóncava hacia abajox=-3 0 0 0 Punto de inflexión

-3<x<1 + + f es creciente y cóncava hacia arribax=1 No existe No existe No existe No existe máximo ni mínimo

1<x<9 - + f es decreciente y cóncava hacia arribax=9 27 0 + f es un mínimo y cóncava hacia arribax>9 + + f es creciente y cóncava hacia arriba

27.−f ( x )=x3+3x2+1

(Punto de inflexión) nnnnainfleinflexión)

No existe

i ¿ f ' ( x )=3x2+6 x

3 x2+6x=0x2+2x=0x (x+2 )=0

x=0 ; y=1 (0 ;1 ) Mín.

x=−2 ; y=5 (−2 ;5 ) Máx .

ii¿ f ' ' (x )=6 x+6

f ' ' (−2 )=6 (−2 )+6=−6<0Máx .

f ' ' (0 )=6 (0 )+6=6>0Mín .

28.−f ( x )=x4−2 x2+3

i ¿ f ' ( x )=4 x3−4 x

4 x3−4 x=0x3−x=0x ( x2−1 )=0

x=0 ; y=3 (0;3 )Máx .

x=−1 ; y=2 (−1 ;2 )Máx .

x=1 ; y=2 (1 ;2 )Mín .

ii¿ f ' ' (x )=12x−4f ' ' ( x )=3 x−1

f ' ' (0 )=3 (0 )−1=−1<0Máx .

f ' ' (−1 )=3 (−1 )−1=−4<0Máx .

f ' ' (1 )=3 (1 )−1=2>0Mín.

29.− f ( x )=(x2−9)2

f ( x )=x 4−18 x2+81

i ¿ f ' ( x )=4 x3−36 x4 x3−36 x=0x3−9 x=0x ( x2−9 )=0

x=0 ; y=81 (0;81 )Máx .

x=3 ; y=0 (3 ;0 )Mín .

x=−3 ; y=0 (−3; 0 )Mín .

ii¿ f ' ' (x )=12x2−36

f ' ' ( x )=x2−3

f ' ' (0 )= (0 )2−3=−3<0Máx .

f ' ' (3 )=(3 )2−3=6>0Mín.

f ' ' (−3 )=(−3 )2−3=6>0Mín .

30.−f ( x )=x+ 1x

f ( x )=x+x−1

i ¿ f ' ( x )=1−1x−2

f ' ( x )=1− 1

x2

1− 1

x2=0

1

x2=1

x2=1

x=1 ; y=2 (1 ;2 )Mín .

x=−1 ; y=−2 (−1 ;−2 )Máx .

ii¿ f ' ' (x )=−(−2) x−3

f ' ' ( x )=2x−3

f ' ' (1 )=2 (1 )−3=2>0Mín .

f ' ' (−1 )=2 (−1 )−3=−2<0Máx.

31.− f ( x )=2x+1+ 18x

f ( x )=2x+ x+18x

f ( x )=2 x2+x+18x

i ¿ f ' ( x )= x (4 x+1 )−(2x2+x+18)(1)x2

f ' ( x )=4 x2+x−2 x2−x−18

x2

f ' ( x )=2x2−18x2

2x2−18x2

=0

2 x2−18=0x2−9=0x2=9

x=3 ; y=13 (3 ;13 ) Mín.

x=−3 ; y=−11 (−3 ;−11 )Máx .

ii¿ f ' ' (x )= x2 (4 x )−(2x2−18)(2 x)x4

f ' ' ( x )=4 x3−(4 x3−36 x )

x4

f ' ' ( x )=4 x3−4 x3+36 x

x4

f ' ' ( x )=36 xx4

f ' ' (3 )=36 (3 )34

=43>0Mín .

f ' ' (−3 )=36(−3)(−3)4

=−43

<0Máx.

32.−f ( x )= x2

x−2

i ¿ f ' ( x )=(x−2)(2x )−(x2)(1)(x−2)2

f ' ( x )=2x2−4 x−x2

(x−2)2

f ' ( x )= x2−4 x(x−2)2

x2−4 x(x−2)2

=0

x2−4 x=0x (x−4)=0

x=0 ; y=0 (0 ;0 )Máx .x=4 ; y=8 (4 ;8 ) Mín.

ii¿ f ' ' (x )= ( x−2 )2(2 x−4)−(x2−4 x )(2 x−4)(x−2)4

f ' ' ( x )=(2 x−4)(x2−4 x+4−x2+4 x)(x−2)4

f ' ' ( x )=(2)(x−2)(4)(x−2)4

f ' ' ( x )= 8

(x−2)3

f ' ' (0 )= 8

(0−2)3=−1<0Máx .

f ' ' (4 )= 8

(4−2)3=1>0Mín .

41.−¿ El costo de producir x unidades de un artìculo por semana es:

C ( x )=0.3x3−5 x2+28 x+200

a) Hallar el costo marginal M(x) = C`(x). Trazar la gráfica de C(x) y M(x) en los mismos ejes de coordenadas.

b) Hallar los números de inflexión para C(x).¿ Cómo se relacionan en la gráfica de M(x)?

C ' ( x )=M ( x )=0.9 x2−10x+289 x2−100 x+280=0

x=100±√1002−4 (9)(280)

2 (9 )

x=100±√−8018

→Noexiste

C ' ' ( x )=1.8x−101.8 x−10=01.8 x=10

x=5.5 ; y=256.66 (5.5 ;256.66 )

x<5.5 ; f ' ' ( x )<0≠Signo .

x>5.5 ; f ' ' ( x )>0

f ' ' ' ( x )=2≠0

42. Los estudios revelan que cuando los factores ambientales imponen un límite superior en el posible tamaño de la población P(t), con frecuencia la población tiende a crecer de modo que la razón de cambio porcentual de P(t) satisface la igualdad:

100P' (t )P( t)

=A−BP (t)

Donde A y B son constantes positivos ¿Tiene la grafica de P (t) un punto de inflexión? ¿Qué indica este punto? La respuesta debe darse en términos de A y B.100 P' ( t )=AP(t)−B P(t )2

100 P' ' (t )=AP ' (t)−2 BP( t)P ' (t)

100 P' ' (t )=P' (t ) [A−2B P (t ) ]

100P' ' (t )=( AP (t )−B P (t )2

100 ) [A−2 BP(t)]

1002 P' ' (t )=P ( t ) (BP (t )−A )(2B P (t )−A)

44. una compañía estima que cuando se gasten x miles de dólares en marketing de determinado artículo, se venderán Q(x) unidades del producto, donde:

Q ( x )=4 x3+252 x2−3200 x+1700010≤ x≤40

Q' (x )=12x2+504 x−3200

x=34.20 ; y=42302,528 (34,20 ;42302,528 )

x=7,80 ; No

x<34,20 ;Q' ( x )>0Máximo

x>34,20 ;Q' ( x )<0

Q' ' ( x )=¿ −24 x+504

Q' ' ( x )=¿ 24 (−x¿¿+21)=0¿

Q' ' ( x )=¿ −x+21

x=21 ; y=23888

x<21 ;Q ' ( x )>0Puntode inflexión

x>21 ;Q ' ( x )<0 Q' ' ' ( x )=−24≠0

OJO AQUÍ EL VALOR DE X NO SE PUEDE REEMPLAZAR EN UNA FUNCION POR QUE NO LO HAY REVISALOR POR FAVOR, YO SOLO ESTOY COPIANDOLO ASI COMO ESTÁ. PORQUE YO TAMBIEN NO ENTIENDO COMO HACER ESTOS PROBLEMAS.

49.−f ' ( x )=x2−4 x⇒ f ( x )=13x3−2x2

f ' ( x )=x (x−4)x (x−4)=0

x=0 ; y=0 (0 ;0 )Máx .

x=4 ; y=−10.67 (4 ;−10.67 ) Mín.

x<0 ; f ' ( x )>0 x<4 ; f ' (x )<0Máx. Mín

x>0 ; f ' ( x )<0 x>4 ; f ' (x )>0

ii¿ f ' ' (x )=2x−4

2 ( x−2 )=0

x=2 ; y=−5.3 (2 ;−5.3 )

x<2 ; f ' ' ( x )<0≠Signo .

x>2 ; f ' ' ( x )>0

f ' ' ' ( x )=2≠0



abajo.x=0 0 0 - fes un máximo y cóncava hacia

abajo.0<x<2 - - fes decreciente y cóncava

hacia abajo.x=2 -5.3 4 0 Punto de Inflexión2<x<4 - + fes decreciente y cóncava

hacia arriba.x=4 -

10.670 + fes un mínimo y cóncava hacia

arriba.

50.− f ' ( x )=x2−2x−8⇒ f ( x )=13x3−x2−8 x

(x−4)(x+2)=0

x=4 ; y=−26.67 (4 ;−26.67 ) Mín.

x=−2 ; y=9.3 (−2;9.3 )Máx .

x<4 ; f ' (x )<0 x←2; f ' ( x )>0


Mín. Mínx>4 ; f ' (x )>0 x>−2 ; f ' ( x )<0

ii¿ f ' ' (x )=2x−22 ( x−1 )=0

x=1 ; y=−8.67 (1 ;−8.67 )

x<1 ; f ' ' (x )<0≠Signo .

x>1 ; f ' ' (x )>0

f ' ' ' ( x )=2≠0

Ejercicio 55


Resumen


x=−2 9.3 0 - fes un máximo y cóncava hacia abajo.


x=1 -8.67 -8.67

0 Punto de Inflexión

1<x<4 - + fes decreciente y cóncava hacia arriba.

x=4 -26.67

0 + fes un mínimo y cóncava hacia arriba.

x>4 + + fes creciente y cóncava hacia arriba.

Sea f ( x )=ax2+bx+c

Aplicamos la primera derivada a la función

f ( x )' =

d (ax2+bx+c )dx

=(ax+b )

Aplicamos la segunda derivada a la función

f ( x )' ' =

d (ax+b )dx

=(a )

Si la segunda derivada es mayor a cero (positiva), entonces es cóncava hacia arriba, esto es cuando a>0

Si la segunda derivada es menor a cero (negativa), entonces es cóncava hacia abajo, esto es cuando a<0

Ejercicio 56

f ( x )=2x3+3 x2−12x−3

f ' ( x )=6 x2+6 x−12

¿ x2+ x−2

¿ ( x+2 ) (x−1 )=0

x=−2 ; y=13… (−2 ;13)

x=1 ; y=−14…(1 ;−14 )

x←2; f ' ( x )>0es unmaximo

x>−2 ; f ' ( x )<0

x<1 ; f ' (x )<0 esunminimo

x>1 ; f ' (x )>0

Aplicando segunda derivada

f ' ' ( x )=12 x+6

¿2 x+1=0

x=−12

; y=−12

x<−12

; f ' ' ( x )<0hay inflexion

x>−12

; f ' ' ( x )>0

f ' ' ' ( x )=12noes igual acero ,hay inflexion

Intervalo f(x) f’(x) f’’(x) Resumenx<-2 + - f es creciente y cóncava hacia abajox=-2 13 0 - F es máximo

-2<x<-1/2 - - f es decreciente y cóncava hacia arribax=-1/2 -1/2 - 0 Punto de inflexión

-1/2<x<1 - + f es decreciente y cóncava hacia arribax=1 -14 0 + f es un mínimo x>1 + + f es creciente y cóncava hacia arriba

X -4 -2 -1 0 1 2F(x) -39 13 6 -7 -14 -3F´(x) 60 0 -12 -12 0 24F´´(X) -42 -18 -6 6 18 30

Aun falta

Ejercicio 57

f ( x )=3.7 x 4−5.03 x3+2x2−0.7

f ' ( x )=14.8 x3−15.09 x2+4 x

¿ x (14.8 x2−15.09x+4)

Obteniendo raíces:

15.09±√15.092−4 (14.8 )42(14.8)

15.09±√227.7081−236.82 (14.8 )

el interiorde raiz esnegativo ,noexiste punto critico

x=0 ; y=−0.7…(0; 0.7)

x<0 ; f ' ( x )<0esunminimo

x>0 ; f ' ( x )>0

Segunda derivada

f ' ' ( x )=44.4 x2−30.18 x+4

Obteniendo raíces

30.18±√30.182−4 (44.4 )42(44.4)

30.18±√200.43242(44.4)

30.18+14.157488.8

=0.1804 o 30.18−14.157488.8

=0.4993

x<0.1804 ; f ' ' ( x )>0hay inflexion

x>0.1804 ; f ' ' ( x )<0

x<0.4993 ; f ' ' (x )<0 hay inflexion

x>0.4993 ; f ' ' (x )>0

Ejercicio 58

f ( x )=x2(2 x−5.1)−1

f ' ( x )=x2ddx

(2 x−5.1 )−1+(2 x−5.1 )−1 ddx

x2

¿ x2[− (2x−5.1 )−2 ddx

(2 x−5.1 )]+ 2 x(2x−5.1 )

¿ −2x2

(2 x−5.1)2+ 2x(2 x−5.1)

¿−2x2+2 x(2x−5.1)

(2 x−5.1)2

¿2x ( x−5.1 )

¿¿

x=0 ; y=0

x=5.1 ; y=5.1

x=2.55noexiste

x<0 ; f ' ( x )>0esunmaximo

x>0 ; f ' ( x )<0

x<5.1; f ' (x )<0 esunminimo

x>5.1; f ' (x )>0

Aplicando segunda derivada

f ' ' ( x )=(2x¿¿2−10.2x )(2 x−5.1 )−2 ¿

¿(2x¿¿2−10.2 x) [−2 (2x−5.1 )−3(2)]+ (2x−5.1 )−2(4 x−10.2x )¿

¿(2x¿¿2−10.2 x) [ −4(2x−5.1 )3 ]+ 4 x−10.2x(2 x−5.1 )2

¿

¿ −8 x2+40.8 x(2 x−5.1 )3

+ 4 x−10.2 x2

(2 x−5.1 )2−8 x

2+40.8 x+8 x2

(2x−5.1 )3−20.9 x−25.4 x+52.02

f ' ' ( x )2= 52.02

(2x−5.1 )3

x=2.55 ; y noexiste

x -4 -2 -1 0 1 2F(X) -1,22 -0,44 -0,14 0 0,68 -3,64F´(x) 0,42 0,34 0,24 0 -0,85 11,27F´´(X) -0,02 -0,07 -0,14 -0,39 -1,75 -39,08

59. Dada la función f ( x )=x+9.4

25−1.1 x−x2 ,completar los pasos siguientes:

Para resolver las preguntas, evaluaremos la función:

Se debe recordar que la función no existe cuando el denominador es igual a cero

25−1.1x−x2=0

Hallamos las raíces con la formula general

x=1.1±√(−1.1)2−(4 ) (−1 ) (25 )

2 (−1 )entonces

→x1=4.4802, x2=−5.5802

Realizamos la primera derivada a f ( x )

f ( x )' =

d ( x+9.425−1.1 x−x2 )

dx=

(25−1.1 x−x2 )−1d ( x+9.4 )dx

+( x+9.4 )d ((25−1.1 x−x2 )−1 )

dx

f ( x )' =(25−1.1x−x2 )−1+ (x+9.4 )(−1)(25−1.1 x−x2 )−2(−2 x−1.1)

f ( x )' =

(25−1.1x−x2 )(25−1.1 x−x2 )2

+(2 x2+18.8 x+1.1x+10.34 )

(25−1.1x−x2 )2= x2+18.8 x+35.34

(25−1.1x−x2 )2

Hallamos las raíces con la formula general de numerador

x=−18.8±√18.82− (4 ) (1 ) (35.34 )

2 (1 )entonces

→x1=−2.1185 , x2=−16.6815

Además, Realizamos la segunda derivada a f ( x )

f ( x )' ' =

d ( x2+18.8 x+35.34(25−1.1x−x2 )2 )

dx=

(25−1.1x−x2 )−2d (x2+18.8x+35.34 )dx

+(x2+18.8 x+35.34 )d ((25−1.1 x−x2)−2 )

dx

f ( x )' ' =(25−1.1x−x2 )−2 (2 x+18.8 )+(x2+18.8 x+35.34 ) (−2 ) (25−1.1 x−x2)−3 (−1.1−2x )

f ( x )' ' =

(25−1.1 x−x2 ) (2x+18.8 )

(25−1.1x−x2 )3+

(x2+18.8 x+35.34 ) (2 x+1.1 )

(25−1.1 x−x2 )3

f ( x )' ' =−2x3−18.8 x2−2.2 x2−20.68 x+50 x+470

(25−1.1 x−x2 )3+ 2 x

3+37.6 x2+1.1x2+20.68 x+70.68x+38.874(25−1.1 x−x2)3

f ( x )' ' =17.7 x

2+120.68 x+508.874(25−1.1x−x2 )3

Analizamos las raíces de la segunda derivada del numerador, cuando esta vale cero, usando la formula general.

x=−120.68±√(120.68 )2− (4 ) (17.7 ) (508.874 )

2 (1 )

Encontramos que no existen raíces en el numerador, esto significa que el numerador siempre es positivo ya que a=17.7>0, mientras que la función dependerá únicamente de los valores que tome el denominador

Finalmente encontramos que

Intervalo f ( x ) f ( x )' f ( x )

' ' Resumen

x←16.6815 + - f ( x )escreciente y cóncava hacia abajo.

x=−16.6815 0.0309 0 - f ( x )es un máximo y cóncava hacia abajo.

−16.6815<x←5.5802 - - f ( x )esdecreciente y cóncava hacia abajo.

x=−5.5802 ∄ ∄ ∄ No existe el punto

−5.5802<x←2.1185 - + f ( x )esdecreciente y cóncava hacia arriba.

x=−2.1185 0.3188 0 + f ( x )es un mínimo y cóncava hacia arriba.

−2.1185<x<4.4802 + + f ( x )es creciente y cóncava hacia arriba.

x=4.4802 ∄ ∄ ∄ No existe el punto

x>4.4802 + - f ( x )es creciente y cóncava hacia arriba.

f ( x )=x+9.4

25−1.1 x−x2

Además cuando la función toma valores muy altos o muy bajos, esta función se comporta como la función

f ( x )=−1x

a) Teniendo la siguiente gráfica

b) Teniendo los siguientes valores

x −4 −2 −1 0 1 2f ( x ) 0.4029 0.3189 0.3347 0.376 0.4541 0.6064

f ( x )' -0.1328 0.0032 0.0278 0.0565 0.1051 0.2177

f ( x )' ' 0.1286 0.0271 0.0257 0.0326 0.0539 0.1236

c) AL igualar la función f ( x )=x+9.4

25−1.1 x−x2=0 , x=−9.4, además f (0 )=0.376

d) Tenemos que


' ' Resumen



e) Tenemos que


' ' Resumen




f) Tenemos que


' ' Resumen



g) Tenemos que no existen puntos de inflexiónh) Tenemos que


' ' Resumen





i) Tenemos que


' ' Resumen




j) No hay puntos de inflexiónk)

Además sabemos por el punto b que

x −4 2f ( x ) 0.4029 0.6064

Entonces el máximo es 0.6064 y el mínimo es x=−2.1185igual a 0.3188

matematicas ii

Documents