matemáticas - expresiones fraccionarias y radicales (i)

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5/13/2018 Matemáticas - Expresiones fraccionarias y radicales (I) - slidepdf.com

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MATEMÁTICAS

EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES HOJA 1

1-(2) Halla el valor numérico de la fracción:

x2 - 7x + 10

x2 - 6x + 8 para los valores 2, 0 y 4

Para calcular el valor numérico sustituimos la variable x por cada uno de los valores que nos dan y realizamos luego las operaciones indicadas

a) Para x = 2 0

0

b) Para x = 0 10 5

8 4

c) Para x = 4 -2

0

2-(3) Indica para que valores de x existe el valor numérico de estas fracciones.

a) x2 - 5x + 6

x = 4 Existe valor numérico para todos los valores excepto X = 4

b)

x = 3 Existe valor numérico para todos los valores excepto X = 3

3-(4) 1 una fracción algebraica?

4

1 = 4x2

+ 8x + 1 Si, el numerador es un polinomio

4 4 y el denominador un monomio de grado 0 no nulo

4-(5) x2

x

expresión no existe en x = 0, y el de la segunda si. ¿Sabrías explicar por qué?

Al sustituir x por 0 se obtiene la forma indeterminada Esta indeterminación se puede eliminar si

suprimimos el factor que la produce, x. Para ello simplificamos dividiendo el numerador y el denominador por x

x2 El valor numérico de la primera expresión no existe porque no se puede

x dividir por 0, el valor de la segunda expresión en x = 0 es 0

5-(6)Escribe una fracción algebraica que esté determinada en todos los puntos salvo en x = 1 y x = - 3

Buscamos una fracción algebraica cuyo denominador tome el valor 0 para x = 1 y x = - 3. Aplicando la factorización de polinomios:

El numerador puede ser cualquiera

6-(9) Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones:

(x + 1)(x2 - x) = (x2

- 1)x = x3

-x2+x

2- x = x

3- x

Sí son equivalentes =

=

x2

+ 2x +

¿Es x2+ 2x +

R(X) =(x - 1)(x + 3)

= x.

0

0

= x.

S(x) =x - 3 = 0

x2 - 9

x - 3

=4

- 14 + 10

4 - 12 + 8

T(4) =42

- 7·4 + 10=

42- 6·4 + 8

Cuando el denominador de una fracción algebraica toma el valor 0, se dice que el valor numérico no existe o no está determinado. Para saber qué

valor es ese, igualamos el denominador a 0.

x - 4R(x) =

x - 4 = 0

no existe

no existe

T(0) =02

- 7·0 + 10=

0 - 0 + 10

=

=02

- 6·0 + 8 0 - 0 + 8

Dos fracciones son equivalente si el producto de sus medios es igual al producto de sus extremos

x2

- 1

x

T(x)=

T(2) =22

- 7·2 + 10

22- 6·2 + 8

16 - 28 + 10

=16 - 24 + 8

x3

- x

x + 1y

En la unidad anterior viste que Sin embargo, el valor numérico de la primera

x3

- x

=x

2+ 3x -x - 3

=x2 + 2x - 3

(x + 1)

x + 1

x

x2 - 1

x2 - xy

x2

- x



MATEMÁTICAS


7-(10) Escribe tres fracciones equivalentes a:

Para obtener fracciones equivalentes multiplicamos o dividimos numerador y denominador por el mismo polinomio no nulo.

a) 1) x - 2 (x - 2)x

x x2

2) 3)

b) 1)

2) 3)

8-(11) Simplifica las siguientes fracciones:

Para simplificar descomponemos en factores numerador y denominador y suprimimos los factores comunes convirtiendo la fracción inicial en irreducible.

a)

b)

1 -6 5 1 -8 15

1 1 -5 5 5 -15

1 -5 0 1 -3 0

9-(12) Simplifica y halla el valor numérico para x = 2, la siguiente fracción:

7

3

10-(13) Observa la figura:

x a) ¿Cuántos cuadrados pequeños caben dentro del cuadrado grande?

x + 1 Para averiguar cuantos cuadrados pequeños caben debemos dividir e l lado del cuadrado grande por el lado

del cuadrado pequeño.

Caben x cuadrados por lado, luego caben x · x = x2 cuadrados

b) ¿ Cabrá siempre un número entero de cuadrados sea cual sea x?

Si. Para cualquier valor de x entero, positivo siempre cabrá un número de cuadrados igual a x 2

11-(16) Opera estas fracciones:

a)

a)

x

22+ 2 + 1

2 + 1=

x2+ x + 1

x + 1Para x = 2=

x3

- 1

x2

- 1=

(x - 1)(x2+ x + 1)

(x -1)(x + 1)

=1

x4

- 1 (x2

+ 1)(x2

- 1) x2 - 1=

1

x2 - 1

x - 3

x - 1=

(x -3)(x - 5)

(x - 1)(x - 5)

(x2

+ 1)(x2

- 1)

x2

+ 1

x3 - 1x2 - 1

x2 - 6x + 5

x2 - 8x + 15

x2

- 6x + 5

x2

- 8x + 15=

x4 - 1

x2

+ 1

x4

- 1=

=x2 + x (x + 1)(x + 1)

x3 - x (x2- 1)(x + 1)

x + 1

(x + 1)x

(x2

- 1)x

x2 - 1(x + 1)

(x + 1)(x - 1)

=x(x - 2)

=1

x - 1

(x - 2)(x - 2)

=x2 - 2x

x2

(x - 2)(x + 2)

x(x + 2)=

x2 - 4

x2 + 2x

(x - 2)x2= (x - 2)x

2x - 2

x

x3 + 5

x - y

=13x + 1

x2

+ 1=

x2

+ 1

x2 +2x + 1

x2 - 4x + 4

x2 - 2x

x3 + x2 - x - 1=

=5xy - 1

x - y

3xy -(1 - 2xy)

x - y

3xy -1 + 2xy=

3xy-

1 - 2xy=

x - y x - y

3xy-

1 - 2xyx - y x - y

=

7x+

6x + 1

x3

+ 5 x3

+ 5=

7x + 6x + 1

x3

+ 5

=x (x + 1)

x + 1

x3 + 5

x2

(x - 2)x

x2 + 1

x2

+ x x2

+ x

x + 1

7x+

6x + 1

x3 + 5



MATEMÁTICAS


12-(17) Efectúa las siguientes operaciones:

1)(x + a)2 = x2 + a2 + 2ax

2)(x - a)2 = x2 + a2 - 2ax

3)(x + a)(x - a) = x2 - a2

a)

b)

13-(18) Realiza estas operaciones:

Recordamos los productos notables: 1) (x + a)2 = x2 + a2 + 2ax 2) (x - a)2 = x2 + a2 - 2ax 3) (x + a)(x - a) = x2 - a2

a)

b)

(x + 1)(x - 1)(x + 2)

Efectuamos las distintas multiplicaciones: Si no se os da bien, operad en vertical.

a) x(x + 2)(x - 2)3) = x(x2

- 4) = x3 - 4x b) 2(x - 1)(x - 2) = 2(x2

- 2x - x + 2) = 2(x2

- 3x + 2) = 2x2 - 6x + 4

c) (x + 1)(x - 1)3) = x2- 1 d) (x + 2)(x - 2)3) = x

2- 4

x x

2x -2 - x + 4

x3

- x x3

- 4x

- x -2 - 4x 4

14-(19) Realiza las siguientes sumas:

a) 1 1 b) 1 1 1x x2 x x2 x3

1 1 x 1 1 1 1 x2 x 1

x x2

x2

x2

x x2

x3

x3

x3

x3

0

+

+ + =

+

= x2

x + 1 x2 +x + 1

x3+ + =

+

+ = +

= - 9x + 6

x3- x

2- 4x + 4 x3 - x2 - 4x + 4x

3- x

2- 4x + 4

x3

- 4x + 2x2- 6x + 4 - (x

3+ 2x

2- x - 2)

=x

3 - x

3+ 2x

2 - 2x

2- 4x - 6x + x + 4 + 2

d)

x3 + 2x2

x2

- 4x - 1

x3 - x2

x2

- 1x + 2

a) b)

- =(x + 2)(x - 1)(x - 2)

c)

x(x + 2)(x - 2)

(x - 1)(x + 2)(x - 2)+

2(x - 1)(x - 2)

(x + 2)(x - 1)(x - 2)

x + 1=

x - 1 x + 2 x - 2

x+

2-

x + 1x - 1 x + 2 x - 2

x+

2-

=x - 2 - x - 2 + 4

=x

2- 4

1(x + 2)

(x - 2)(x + 2)+

4

(x + 2)(x - 2)=

x2

- 4

x - 2 - (x + 2) + 4

En estos ejercicios es muy útil recordar los productos notables:

=1(x - 2)

(x + 2)(x - 2)-

(x + 2)(x - 2)

4

x2

- 43)

=1

-1

+x + 2 x - 2

+4

x2 - 4

1-

1+

4

x + 2 x - 2

1-

1

x + 2 x - 2

7x2+ 31x + 12

x2

- 16

Para sumar o restar fracciones con distinto denominador hay que empezar igualando los denominadores. Para ello descomponemos los denominadores en

factores y hallamos fracciones equivalentes con el mismo denominador.

= =5x

x2

- 16+

5x

(x + 4)(x - 4)

(7x + 3)(x + 4)7x + 3+

5x=

x - 4 x2

- 163)

7x + 3+

5x

x - 4 x2 - 16

=

x2

- 16

5x + 7x2+ 31x + 12

=7x2+ 36x + 12

x2 - 16

7x + 3+

x - 4 (x - 4)(x + 4)

2x-

x + 2x - 5 x - 1

2x-

x + 2=x - 5 x - 1 -

2x(x - 1)

(x - 5)(x - 1) (x - 1)(x - 5)

(x + 2)(x - 5)=

2x2 - 2x - (x2 - 3x - 10)

x2 - 6x + 5=

2x2

- 2x - x2 + 3x + 10=

x2

- 6x + 5

x2 + x + 10

x2 - 6x + 5



MATEMÁTICAS


c) 1 1 1 1

x x2 x3 x4

1 1 1 1

x x2

x3

x4

d) 1 1 1 1 1

x x2 x3 x4 x5

1 1 1 1 1

x x2

x3

x4

x5

Fíjate en los coeficientes del numerador y el denominador en cada suma obtenida.

1 1

x x2

1 1

x x2

15-(22) Calcula estos productos:

En la multiplicación de fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

a)

x2 + 2x

b)

+ 3x -1

- 4x 12

Efectuamos las distintas multiplicaciones:

x x

- x x -1 - 6x 12

2x3

- 2x2

2x 2x3

- 4x

+ 3x -1 - 4x 12

16-(23) Efectúa los productos y simplifica el resultado:

En la multiplicación de fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

Para simplificar debemos previamente factorizar el numerador y el denominador. Recordamos los productos notables.

a)

b)

x(x2- x + 1)

Factorizamos:

x3

+ 1 1 0 0 1 x3

+ 1 = (x2

- x + 1)(x + 1)

-1 -1 1 -1

1 - 1 1 0

x3 - x2 + x

x - 1

(x2 - x + 1)(x + 1)

( x + 1)(x - 1)· =

(x - 1)=

=x

2

·x + 1

x( x + 1)

x + 1

x3 + 1

x - 1

x

(x + 1)(x - 1)

x3=

x2(x + 1)(x - 1)

(x + 1)x3

x2 - 1 x + 1

x3

+ 1·

x2

+ x=

x2

- 1 x + 1

x2

·x

2- 1

=x + 1 x

3

·x2 + x

2x3 - 3x2

2x3 - 6x2

x2

·x2 - 1

x + 1 x3

2x3 - 3x2

2x2

-4

x - 3

2x3 - 6x2

x - 3

x2

- x + 1

2x2 - 4 =

(2x - 1) · (x2

- x + 1)

(x - 3) · (2x2 - 4)

2x - 1

=

2x - 1

·

x2- x + 1

=x2 - 1

2x - 1·

x - 3

x2 - x + 1

2x2 - 4

x + 1·

x - 1

x x + 2

x + 1x

x - 1x + 2

·

1

x1000 ?

+ + …… +1

x1000

=

+

=x4 +x3 + x2 +x + 1

x5+ +

=(x + 1)(x - 1)

x(x + 2)

+ +

x999 +x998 + ….. + 1

x1000

+ + +

+ +

+ + =x3 + x2 +x + 1

x4

+¿Cuánto valdrá

+ + +

+



MATEMÁTICAS


17-(24) Opera estos cocientes:

Para dividir fracciones se multiplica la primera por la inversa de la segunda.

a)

4x2 + 20x + 7x + 35 4x2 + 27x + 35

a)

10x3 + 15x -2x2 - 3 10x3 - 2x2 + 15x - 3

18-(25) Calcula estos cocientes y simplifica:

Para simplificar debemos previamente factorizar el numerador y el denominador. Atención a los productos notables.

a)

(x + 6)12x 12x2 + 72x

b)

19-(26) Ayuda a Laura a resolver su problema:

En este tipo de ejercicios es "muy importante" identificar los productos notables y factorizar en su caso, para simplificar al máximo antes de operar-

Factorizamos:

1 - 4 3 1 - 5 6

1 1 - 3 2 2 - 6

1 - 3 0 1 - 3 0

3x3 - x2 - 3x + 12x2

+ 3 3x - 1 x2 - 1 (3x - 1)(x2-1)

=(5x - 1)(2x

2+ 3)

= =3x3 - 3x - x2 + 1

3x3 + x2=

3x3 + x2

5x - 1:

x2 - 13x - 1 2x2 + 3

2x2 + 3·

5x - 1: =

5x - 1

3x - 1

x2

- 1

x2 x + 5

(4x + 7)(x + 5)

x2(3x + 1)

4x + 7:

3x + 1=

x2

x + 5

4x + 7:

3x + 1

3x + 1

4x + 7==

x2

·x + 5

x

x2 - 36 :

12x2

x - 6

x:

12x2

x2

- 36 x - 6= ·

7

x50 - 1

x - 6

12x2(x + 6)(x - 6)

x

= ·

=1

=1

x100-1:

x50 - 1x50 + 1 7

x100

-1:

x50

- 1

x50

+ 1 7

(x50 + 1)(x50 - 1)

x50

+ 1= 7

x2 - 6x + 9

x2 - x:

x2 - 4x + 3

x2 - 4x + 4:

x2 - 5x + 6

x2 - 2x + 1

x2 - x x2 - 4x + 4 x2 - 2x + 1

x2 - 6x + 9:

x2 - 4x + 3:

x - 2x

x2 - 5x + 6·

(x - 1)(x - 1) =x(x - 1)

x2- 4x + 3

(x - 1)(x - 3) (x - 2)(x - 3)(x - 3)(x - 3) · (x - 2)(x - 2) ·

(x - 1)(x - 1)

x2- 5x + 6

=(x - 2)(x - 2)

x2- 4x + 3

x2- 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

x2- 5x + 6

x2- 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

·=(x - 3)(x - 3)

x(x - 1)

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