4 expresiones fraccionarias

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Lic. Walter Enrique Castellanos Zetina USAC-POPTUN

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS.

Definicin. Se llama expresin algebraica fraccionaria o simplemente fraccin algebraica, al cociente

indicado de dos expresiones algebraicas enteras dadas en un cierto orden.

Tambin: Se denomina fraccin algebraica a toda aquella expresin que tiene por lo menos una letra en el

denominador.

La primera expresin se llama numerador, la segunda denominador y ambas, trminos de la fraccin.

Los siguientes ejemplos, son fracciones algebraicas:

Nota. El cociente indicado de que se hable en la definicin anterior, es el valor numrico del dividendo por el

valor numrico del divisor, para cada sistema de valores dados a sus letras, siempre que dichos valores no

anulen al denominador, pues en tal caso ese cociente carecera de sentido.

Siendo necesario para el estudio de las fracciones algebraicas daremos la siguiente:

DEFINICIN. Se dice que dos fracciones algebraicas son iguales cuando lo son sus valores numricos para

cualquier sistema de valores dados a sus letras, siempre que dichos sistemas no anulen a sus

denominadores.

CAMBIOS DE SIGNO EN UNA FRACCIN

1) CUANDO NO HAY PRODUCTOS INDICADOS

Se puede cambiar dos de sus tres signos y la fraccin no se altera.

Ejemplo:

2) CUANDO LA FRACCIN TIENE PRODUCTOS INDICADOS

En toda fraccin, si se cambia de signo a un nmero par de factores, la fraccin no cambia de signo ; si se

cambia de signo a un nmero impar de factores, la fraccin s cambia de signo.

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Ejemplo:

SIMPLIFICACIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS:

Simplificar una fraccin algebraica, significa encontrar otra fraccin igual a la dada, cuyos trminos sean de

grado menor que los de la primera.

Siendo las expresiones algebraicas nmeros indeterminados, resulta que una fraccin algebraica es una

fraccin numrica; luego se podrn dividir ambos trminos de una fraccin por una misma expresin entera,

sin que por ello altere. Para simplificar una fraccin algebraica bastar, pues, dividir ambos trminos de la

misma por un factor comn, o lo que es lo mismo, suprimir dicho factor comn.

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La observacin de este ejemplo y la consideracin de que en cualquier otro caso se procedera de la misma

manera, nos permiten dar la siguiente:

REGLA. Para simplificar una fraccin algebraica, se descomponen sus trminos en sus factores primos y se

suprimen los factores comunes al numerador y denominador.

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REDUCCIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS A COMN DENOMINADOR.

DEFINICIN: Reducir varias fracciones a comn denominador, es encontrar otras fracciones que siendo

respectivamente iguales a las dadas tengan el mismo denominador.

Teniendo en cuenta que las fracciones algebraicas son fracciones numricas , y que por lo tanto se puede

multiplicar ambos trminos de una de ellas por una misma expresin entera sin que altere, resulta que

podrn reducirse las fracciones algebraicas a comn denominador siguiendo el mismo procedimiento que

para las fracciones numricas, es decir, aplicando la siguiente:

REGLA. Para reducir varias fracciones a comn denominador se multiplican los trminos de cada una de

ellas por el producto de os denominadores de todas las otras.

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APLICACIONES. 1) Reducir a comn denominador las fracciones

RESTA DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS.

Distinguiremos como en la suma de fracciones algebraicas, dos casos, segn que se trate de restar

fracciones de igual o de distinto denominador:

ler. CASO. Las fracciones tienen igual denominador.

Como con las fracciones algebraicas puede operarse de la misma manera que con las fracciones numricas,

por las razones antes mencionadas, resulta aplicable la regla de la resta de fracciones numricas que se

enunciar ahora as:

REGLA. Para restar dos fracciones algebraicas del mismo denominador se forma otra fraccin algebraica de

igual denominador cuyo numerador sea la diferencia entre el numerador del minuendo y el del sustraendo.

Aplicaciones: Ejemplo I) Hallar la diferencia entre

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2do. CASO. Las fracciones tienen distinto denominador.

El mismo razonamiento hecho al tratar el primer caso nos permite enunciar la siguiente:

REGLA. Para restar dos fracciones algebraicas de distinto denominador se las reduce a comn denominador,

y se procede como en el caso anterior.

NOTA. Como para reducir fracciones a comn denominador pueden emplearse dos mtodos, resultan

tambin dos procedimientos para restar fracciones algebraicas de distinto denominador, mediante los

cuales se obtiene el mismo resultado en virtud de la propiedad uniforme de la sustraccin. Se prefiere, sin

embargo, reducir las fracciones a mnimo comn denominador, para operar con expresiones de menor

grado.

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SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES. En las combinaciones de sumas y restas de fracciones algebraicas se

procede de acuerdo con las reglas dadas para la suma y resta de dichas fracciones.

y multiplicando ambos trminos por 12 (*) para hacer desaparecer los nmeros fraccionarios del numerador

da

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(*) Como los coeficientes de los monomios que figuran en los denominadores de las fracciones dadas son

nmeros naturales, en la prctica se suele tomar como denominador comn de las fracciones al producto 12

x, de su mnimo comn denominador por el m.c.m. de estos coeficientes, para no operar con nmeros

fraccionarios.

Multiplicacin de expresiones fraccionarias. Teniendo en cuenta lo dicho sobre la validez de las reglas

operativas de las fracciones numricas para las fracciones algebraicas resulta justificada la siguiente:

REGLA. Para hallar el producto de varas fracciones algebraicas; se forma otra fraccin algebraica que tenga

por numerador al producto de os numeradores de las fracciones dadas, y por denominador al producto de

los denominadores.

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El procedimiento seguido en el ejemplo anterior nos permite hacer la siguiente:

OBSERVACIN. Indicados los productos de los numeradores y denominadores se hacen todas las

simplificaciones posibles para la cual se descomponen ambos en sus factores primos.

NOTA. En la prctica para multiplicar fracciones se escriben los productos de los numeradores y

denominadores entre s, previamente descompuestos en sus factores primos, para facilitar la simplificacin.

Aplicaciones: Ejemplo I) Hallar el producto de

DIVISIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

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Como la regla de la divisin de fracciones numricas es aplicable a la de la divisin de fracciones algebraicas,

podemos dar para estas ltimas la siguiente:

REGLA. El cociente de dos fracciones algebraicas se obtiene multiplicando la fraccin dividendo por la

fraccin divisor invertida.

Sean a/b y c/d dos nmeros racionales; el cociente de estos dos nmeros a/b: c/d es otro nmero racional

que tiene por numerador el nmero a.d y por denominador el nmero b. c.

Recordemos que: Una fraccin es exacta cuando en la divisin aparece un resto parcial nulo, como en las

fracciones (a) y (b). Una fraccin es peridica pura cuando las cifras del cociente se repiten en bloques

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iguales empezando despus de la coma, como en las fracciones (c) y (d). Una fraccin es peridica mixta

cuando las cifras del cociente se repiten en bloques iguales, pero no desde la coma, como en las fracciones

(e) y (f). Estas tres formas decimales son las nicas que aparecen al calcular la expresin decimal de un

nmero racional. Adems todo nmero decimal de una de estas tres formas es la expresin decimal de un

nmero racional.

1/2 = 0,5000..;

1/4 0,25000..;

1/3 =0,33333 ..;

4/11 = 0,363636...;

1/6 =0,16666..;

45/22 =12,04545 ...

EJERCICIOS DE LAS CUATRO OPERACIONES COMBINADAS. EJEMPLO

1) Efectuar la siguiente operacin:

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Reducir las fracciones siguientes a comn y a mnimo comn denominador

Suma y resta de fracciones Ejercicios con denominadores numricos

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Multiplicacin de fracciones. Hallar los productos siguientes:

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DIVISIN DE FRACCIONES

Hallar los cocientes siguientes . Fracciones cuyos trminos son monomios.

Fracciones cuyos trminos son binomios o trinomios .

Divisin de sumas o diferencias de fracciones.

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