matematicas ade uned, determinantes

Apuntes I

DETERMINANTES

10 I. DETERMINANTES

ESQUEMA

1. Determinante de una matriz cuadrada 11

1. Definición de determinante . . . . . . . . 11

Determinantes de orden 2, 11 • Determinantes de or-

den 3, 15 • Determinantes de orden n, 19

2. Propiedades de los determinantes . . . . . 20

3. Aplicaciones de los determinantes . . . . . 25

Cálculo del rango de una matriz, 25 • Cálculo dela inversa de una matriz cuadrada, 27 • Regla de

CRAMER, 28

Ejercicios I.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Recapitulación I 32

I.1. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA 11

I.1 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

CUADRADA

1. Definición de determinanteVemos en primer lugar la definición, y algunas propiedades, del determi-

nante para matrices cuadradas de orden 2, y a continuación mostramos la

definición para matrices cuadradas de orden 3 (incluyendo una regla prác-

tica para su cálculo que solo vale para ellos —la llamada regla de SARRUS—).

Pasamos finalmente a ver una definición general para matrices cuadradas

de cualquier orden.

Determinantes de orden 2

1 Nos dan una matriz cuadrada, que denotamos por A. El determi-Determinante de una matrizcuadrada de orden 2 nante de la matriz A es un número que se define a partir de sus términos.

Se denota por det(A), o también por |A|. Si se escribe la matriz detallando

sus términos, se suele designar su determinante sustituyendo los habituales

paréntesis por barras verticales.

Dada una matriz cuadrada A de orden 1: A =(a)

(donde a es un núme-

ro), su determinante, que se denota —según hemos comentado— por det(A)o por |A|, se define simplemente como igual al único término de la matriz;

es decir: det(A) = a. Por ejemplo: det(−3

)= −3, o det

(2)= 2.

Por otro lado, dada una matriz cuadrada A =(aij

)de orden 2, su

determinante, que se denota —de nuevo— por det(A) o por |A|, se defineSe habla de determinante deorden 2.

de esta forma:

det(A) =∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Por ejemplo, para la matriz

A =(

2 −11 3

),

se tiene:

det(A) =∣∣∣∣∣2 −11 3

∣∣∣∣∣ = 2 · 3− (−1) · 1 = 7.

Otro ejemplo es este: si B =(−1 −1−3 −2

), entonces

det(B) =∣∣∣∣∣−1 −1−3 −2

∣∣∣∣∣ = (−1) · (−2)− (−1) · (−3) = −1.

12 I. DETERMINANTES

2 También se tiene:Ejemplos

∣∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣∣ = 1 · 1− 0 · 0 = 1;

es decir, el determinante de la matriz identidad I2 es igual a 1: det(I2) = 1.O también: |I2| = 1.

El determinante de cualquier matriz triangular (superior o inferior) es

igual al producto de los términos de la diagonal principal. Para una matriz

triangular superior: ∣∣∣∣∣a b0 c

∣∣∣∣∣ = a · c − b · 0 = ac,

y de la misma manera para una matriz triangular inferior. En particular, el

determinante de una matriz diagonal es igual al producto de los términos

de la diagonal principal; verbigracia:

∣∣∣∣∣2 00 −3

∣∣∣∣∣ = 2 · (−3) = −6,

y la matriz identidad misma, cuyo determinante —como acabamos de ver—

es igual a 1, es también un ejemplo de ello.

3 Otro ejemplo:Más ejemplos

∣∣∣∣∣2 41 2

∣∣∣∣∣ = 2 · 2− 4 · 1 = 0.

La matriz cuyo determinante acabamos de calcular es tal que una de sus

filas es múltiplo de la otra (lo mismo podríamos decir de sus columnas). Si

una matriz cuadrada de orden 2 cumple que una de sus filas es múltiplo

de la otra, entonces su determinante es igual a 0. En efecto, si los términos

de la primera fila son a y b, y los de la segunda son ka y kb para algún

número k (de forma que estos quedan múltiplos de aquellos), se tiene:

∣∣∣∣∣ a bka kb

∣∣∣∣∣ = a(kb)− b(ka) = kab − kab = 0.

Y lo mismo acontece con las columnas: si una es múltiplo de la otra, el

determinante resulta nulo.

El recíproco de la propiedad anterior también se verifica. Queremos de-

cir: si el determinante de una matriz cuadrada de orden 2 es igual a 0,

entonces una de las filas de la matriz es múltiplo de la otra, y también una

de las columnas es múltiplo de la otra.


En particular, si una fila, o una columna, es nula, entonces el determi-

nante es igual a 0, pues una fila o columna nula es múltiplo de cualquier

otra (basta multiplicar esta por 0). Así, por ejemplo:

∣∣∣∣∣a b0 0

∣∣∣∣∣ = 0 y

∣∣∣∣∣a 0b 0

∣∣∣∣∣ = 0,

y ello cualesquiera que sean los números a y b.

4 Comparemos el determinante de una matriz cuadrada de orden 2Determinante y traspuesta

con el de su traspuesta. Tenemos:

det(A) =∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21,

y

det(At) =∣∣∣∣∣a11 a21

a12 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12 = a11a22 − a12a21 = det(A).

Es decir: el determinante de una matriz (cuadrada de orden 2) coincide con

el de su traspuesta.∣∣At

∣∣ = |A|5 ¿Qué acontece con el determinante de una matriz si se ejecuta enDeterminante y

transformaciones elementales ella una transformación elemental (bien por filas, bien por columnas)?

Si la transformación es de tipo I: intercambiar dos filas (o dos columnas),

el determinante cambia de signo. Por ejemplo, se tiene:

(2 13 −1

)F1↔F2��→

(3 −12 1

),

y también: ∣∣∣∣∣2 13 −1

∣∣∣∣∣ = −5 y

∣∣∣∣∣3 −12 1

∣∣∣∣∣ = 5.

Así, el valor del determinante de una matriz (cuadrada de orden 2) cambia

de signo si se intercambian dos filas o dos columnas.

Si la transformación es de tipo II: multiplicar una fila (o una columna)

por un número no nulo, el determinante queda multiplicado por tal número.

Por ejemplo: (2 13 −1

)C1←2C1��→

(4 16 −1

),

y resulta: ∣∣∣∣∣2 13 −1

∣∣∣∣∣ = −5 y

∣∣∣∣∣4 16 −1

∣∣∣∣∣ = −10 = 2 · (−5).

14 I. DETERMINANTES

Y podemos afirmar: si todos los términos de una fila, o de una columna,Nótese que, realmente, el re-sultado es válido aunque elnúmero por el que se multipli-que la fila o columna sea 0.

de una matriz (cuadrada de orden 2) se multiplican por un mismo número,

entonces el valor del determinante queda multiplicado por tal número.

Finalmente, si la transformación es de tipo III: sumar a una fila (o una

columna) un múltiplo de otra, el determinante no varía. Por ejemplo:(2 13 −1

)C1←C1+3C2��→

(5 10 −1

),

y resulta: ∣∣∣∣∣2 13 −1

∣∣∣∣∣ = −5 y

∣∣∣∣∣5 10 −1

∣∣∣∣∣ = −5.

Entonces escribimos: el valor del determinante de una matriz (cuadrada de

orden 2) no varía si a una fila, o a una columna, de la matriz se le suma un

múltiplo de otra.

6 ¿Hay alguna relación entre el determinante de un producto de ma-Determinante de un productode matrices trices y los determinantes de las matrices que se multiplican? Sí: aquel es

igual al producto de estos.

Lo vemos con un ejemplo. Consideremos estas dos matrices:

A =(

2 13 −1

)y B =

(1 12 0

).

Su producto es:

AB =(

2 13 −1

)(1 12 0

)=(

4 21 3

),

y se tiene:

det(A) =∣∣∣∣∣2 13 −1

∣∣∣∣∣ = −5 y det(B) =∣∣∣∣∣1 12 0

∣∣∣∣∣ = −2,

y también:

det(AB)=∣∣∣∣∣4 21 3

∣∣∣∣∣ = 10 = (−5) · (−2) = det(A)det(B).

Escribimos: el determinante de un producto de matrices (cuadradas de

orden 2) es igual al producto de los determinantes: det(AB) = det(A)det(B).|AB| = |A| · |B|

7 Acontece que una matriz cuadrada de orden 2 es invertible precisa-Determinante de una matrizinvertible mente si su determinante es no nulo. Como ser invertible es equivalente

a su vez a ser de rango máximo, deducimos que una matriz cuadrada de

orden 2 tiene determinante no nulo precisamente si su rango es igual a 2.


Por ejemplo, las matrices que hemos escrito en el § 3 —tales que una de

sus filas o columnas es múltiplo de la otra— tienen rango menor que 2, y

efectivamente su determinante es igual a 0. En particular, no son invertibles.

Por el contrario, esta otra matriz:

A =(

2 13 −1

),

tiene determinante no nulo —es igual a −5—, y es invertible. Su inversa es

esta:

A−1 =(

1/5 1/53/5 −2/5

).

Notemos cómo es el determinante de A−1:

det(A−1) =

∣∣∣∣∣1/5 1/53/5 −2/5

∣∣∣∣∣ = 15·(−2

5

)− 1

5· 3

5= −1

5= 1

det(A).

Este es un resultado general: si una matriz (cuadrada de orden 2) es in-

vertible, entonces el determinante de su inversa es igual al inverso de su∣∣A−1∣∣ = 1

|A| determinante: det(A−1

) = 1/det(A).

Determinantes de orden 3

8 Para generalizar la definición de determinante a matrices cuadradasMatriz complementaria

de cualquier orden, necesitamos unos conceptos previos: en primer lugar, el

de matriz complementaria, y después el de adjunto (o cofactor), todos ellos

referidos a un término de una matriz cuadrada.

Consideremos una matriz A, cuadrada de orden n, y fijemos 1 � i � ny 1 � j � n. Llamaremos matriz complementaria en la matriz A del tér-

mino aij (más propiamente: del término de posición (i, j)), y la denotare-

mos por Aij, a la submatriz de la matriz A que resulta al suprimir en laSe hace uso de la misma letrade la matriz, con subíndices.

matriz A la fila i-ésima y la columna j-ésima. Más en concreto, si la ma-

triz A toma la forma (donde están señaladas la fila i-ésima y la columna

j-ésima):

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1j . . . a1n

a21 a22 . . . a2j . . . a2n...

.... . .

.... . .

...ai1 ai2 . . . aij . . . ain

......

. . ....

. . ....

an1 an2 . . . anj . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠,

16 I. DETERMINANTES

entonces la matriz complementaria del término de posición (i, j) es

Aij =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a11 . . . a1(j−1) a1(j+1) . . . a1n...

. . ....

.... . .

...a(i−1)1 . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)(j+1) . . . a(i−1)n

a(i+1)1 . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)(j+1) . . . a(i+1)n...

. . ....

.... . .

...an1 . . . an(j−1) an(j+1) . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

Nótese que la matriz Aij es cuadrada de orden n− 1.

Por ejemplo, para esta matriz cuadrada de orden 4:

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1 2 −1 13 −2 3 01 1 1 40 3 3 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ,

la submatriz que resulta al descartar la primera fila y la segunda columna

es la siguiente:

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1 2 −1 13 −2 3 0

1 1 1 40 3 3 2

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ A12 =

⎛⎜⎝

3 3 01 1 40 3 2

⎞⎟⎠ .

Otras matrices complementarias de la matriz A son estas:

A22 =⎛⎜⎝

1 −1 11 1 40 3 2

⎞⎟⎠ y A32 =

⎛⎜⎝

1 −1 13 3 00 3 2

⎞⎟⎠ .

9 Dada una matriz cuadrada A =(aij

), se denomina adjunto, o co-Adjunto, o cofactor

factor, en la matriz A del término aij (mejor: del término que ocupa la

posición (i, j)) al número αij = (−1)i+j det(Aij).Debemos notar lo siguiente: si la matriz A es una matriz cuadrada de

orden n, el cálculo de los adjuntos de sus términos requiere calcular deter-

minantes de orden n−1. Esto significa que solo podemos calcular adjuntos,

por ahora, en matrices cuadradas de orden menor o igual que 3. Por ejem-

plo, para esta matriz:

A =⎛⎜⎝

0 −1 11 1 1

−1 1 3

⎞⎟⎠ ,

se tiene:A =

⎛⎜⎝

0 −1 11 1 1

−1 1 3

⎞⎟⎠

α11 = (−1)1+1 det(A11) = (−1)2∣∣∣∣∣1 11 3

∣∣∣∣∣ = 2,


y también:

α12 = (−1)1+2 det(A12) = (−1)3∣∣∣∣∣ 1 1−1 3

∣∣∣∣∣ = (−1) · 4 = −4,

α13 = (−1)1+3 det(A13) = (−1)4∣∣∣∣∣ 1 1−1 1

∣∣∣∣∣ = 1 · 2 = 2.

10 El número (−1)i+j, que figura en la definición de adjunto, dependeObservación sobre elnúmero (−1)i+j solo de la posición del término cuyo adjunto queremos calcular, y es igual

a 1 o a −1, según sea el exponente i+j par o impar, respectivamente. En una

matriz cuadrada de orden 2 y en una de orden 3, el signo de este número

sigue este esquema:

(+ −− +

)y

⎛⎜⎝+ − +− + −+ − +

⎞⎟⎠ , (1)

y en general: ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

+ − + . . .− + − . . .+ − + . . ....

......

. . .

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

Por ejemplo, en una matriz cuadrada A de orden 3, el adjunto del tér-⎛⎜⎝+ − +− + −+ − +

⎞⎟⎠ mino de posición (2,3): α23, se calcula multiplicando el determinante de la

matriz complementaria A23 por −1, pues es negativo el signo que ocupa la

posición (2,3) en la matriz cuadrada de orden 3 escrita en (1).

11 El cálculo de los adjuntos de los términos de una matriz cuadradaDeterminante de orden 3

de orden 3 nos permite definir el determinante de una matriz de este tipo.

El determinante de una matriz cuadrada A =(aij

)de orden 3 se define

de esta forma:Se habla de determinante deorden 3.

det(A) =∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ = a11α11 + a12α12 + a13α13.

Es decir: cada término de la primera fila se multiplica por su adjunto, y se

suman estos productos.

Por ejemplo, consideremos la matriz A del ejemplo del § 9:

A =⎛⎜⎝

0 −1 11 1 1

−1 1 3

⎞⎟⎠ .

18 I. DETERMINANTES

Para calcular su determinante, efectuamos el producto de cada término de

la primera fila por su adjunto, y sumamos estos productos; recordando los

cálculos del citado ejemplo, nos queda:

det(A) = 0 ·α11 + (−1) ·α12 + 1 ·α13 = 0 · 2+ (−1) · (−4)+ 1 · 2 = 6.

12 Para la matriz:Otro ejemplo

B =⎛⎜⎝

1 0 31 2 53 5 1

⎞⎟⎠ ,

se tiene:

⎛⎜⎝+ − +− + −+ − +

⎞⎟⎠

det(B) = 1 ·α11 + 0 ·α12 + 3 ·α13

= + 1 ·∣∣∣∣∣2 55 1

∣∣∣∣∣ − 0 ·∣∣∣∣∣1 53 1

∣∣∣∣∣ + 3 ·∣∣∣∣∣1 23 5

∣∣∣∣∣= (−23)− 0+ 3(−1) = −26.

Nótese que hemos escrito, para el segundo sumando, el signo menos ante-

cediendo al término 0: es porque el adjunto correspondiente: α12, incluye el

número −1 multiplicando al determinante de la matriz complementaria B12

(§ 10). Lo análogo hemos hecho en los restantes sumandos.

Nota bene Por supuesto, al ser nulo el término de posición (1,2), podríamos no

haber escrito el segundo sumando del desarrollo del determinate de B; el fin de

haberlo hecho es enfatizar cómo se calcula. �

13 Si desarrollamos el determinante de una matriz A =(aij

), cua-Regla de SARRUS

drada de orden 3, se obtiene:

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣∣

= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33

+ a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31.

Un método práctico para calcular esta expresión (que no se generalizará

para determinantes de orden mayor), denominado regla de SARRUS, es el

siguiente: colocamos “encima del determinante” su tercera fila, y “debajo”


su primera fila:

a31 a32 a33∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

,

y escribimos y sumamos todos los productos posibles de tres términos en

diagonal, anteponiendo el signo + a los orientados de la forma: ↘ , y el

signo − a los orientados de la forma: ↗ . Es decir, se antepone el signo + a

los productos:

a31a12a23, a11a22a33 y a21a32a13,

y se antepone el signo − a los productos:

a21a12a33, a31a22a13 y a11a32a23.

Por ejemplo:−1 −1 3∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 −1

2 1 0−1 −1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣1 0 −12 1 0

−1 −1 3

∣∣∣∣∣∣∣ = (−1) · 0 · 0+ 1 · 1 · 3+ 2 · (−1) · (−1)

− 2 · 0 · 3− (−1) · 1 · (−1)− 1 · (−1) · 0 = 4.

Determinantes de orden n

14 Ahora que ya sabemos calcular determinantes de orden 3, pode-Determinantes de orden n

mos calcular los adjuntos en una matriz cuadrada de orden 4. La definición

de determinante de una matriz de este orden extiende la definición para el

orden 3, y la de determinante de una matriz cuadrada de orden n general

también. Lo concretamos en estas líneas.


)de orden n se define

de esta forma:Se habla de determinante deorden n.

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11α11 + a12α12 + · · · + a1nα1n.

De nuevo: cada término de la primera fila se multiplica por su adjunto, y se

suman estos productos.

20 I. DETERMINANTES

Nota De acuerdo con esta definición, el determinante de orden n se reduce al

cálculo de determinantes de orden n−1, y estos a su vez al cálculo de determi-

nantes de orden n− 2, y así sucesivamente. �

Por ejemplo:

⎛⎜⎜⎜⎜⎝+ − + −− + − ++ − + −− + − +

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

¿Se anima el lector a calcularsolo estos determinantes deorden 3?

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 1 0−7 1 0 0

1 0 0 11 −1 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= + 2

∣∣∣∣∣∣∣1 0 00 0 1

−1 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣ − 0

∣∣∣∣∣∣∣−7 0 0

1 0 11 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣

+ 1

∣∣∣∣∣∣∣−7 1 0

1 0 11 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣ − 0

∣∣∣∣∣∣∣−7 1 0

1 0 01 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣= 2 · 1− 0 · (−7)+ 1 · (−4)− 0 · 1 = −2.

2. Propiedades de los determinantesYa hemos visto algunas propiedades de los determinantes de orden 2: los

determinantes de cualquier orden n también las verifican. Las detallamos

en el caso general en este apartado.

15 El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta; enEl determinante de una matrizy el de su traspuestacoinciden: det(A) = det(At)

símbolos: det(A) = det(At). Por ejemplo, de acuerdo con el cálculo del § 14,

se tiene: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 −7 1 10 1 0 −11 0 0 −10 0 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 1 0−7 1 0 0

1 0 0 11 −1 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −2.

16 El determinate de una matriz identidad es igual a 1: det(In) = 1. EsEl determinante de una matrizidentidad es iguala 1: det(In) = 1

decir:

det(In) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1.

17 El determinante de una matriz triangular (tanto superior como in-Determinante de una matriztriangular (y de una matrizdiagonal)

ferior), y en particular el de una matriz diagonal, es igual al producto de los

términos de la diagonal principal.


Por ejemplo:

∣∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 0−1 −1 3

∣∣∣∣∣∣∣ = 1 · 1 · 3 = 3,

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 −7 1 10 1 0 −10 0 4 −10 0 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 2 · 1 · 4 · (−2) = −16.

18 El valor del determinante de una matriz cambia de signo si se inter-Intercambio de filas, o decolumnas cambian dos filas o dos columnas.

El lector puede comprobarlo, por ejemplo, con estos determinantes:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 −7 1 10 1 0 −11 0 0 −10 0 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −2 y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 −7 1 11 0 0 −10 1 0 −10 0 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 2,

donde la diferencia entre uno y otro está en que se han intercambiado las

filas segunda y tercera.

19 Si todos los términos de una fila, o de una columna, de una matrizMultiplicar una fila, o unacolumna, por un número se multiplican por un mismo número, entonces el valor del determinante

queda multiplicado por tal número.

Dejamos al lector la comprobación con este determinante:

∣∣∣∣∣∣∣1 0 −12 3 0−1 −3 3

∣∣∣∣∣∣∣ = 3

∣∣∣∣∣∣∣1 0 −12 1 0

−1 −1 3

∣∣∣∣∣∣∣ = 3 · 4 = 12.

Nótese que se obtiene la segunda columna del primero multiplicando por 3

esta misma columna en el segundo.

20 El valor del determinante de una matriz no varía si a una fila, o aSumar a una fila, o a unacolumna, un múltiplo de otra una columna, de la matriz se le suma un múltiplo de otra.

Es decir, las transformaciones elementales de tipo III conservan el de-

terminante. Como ya sabemos hacer uso de estas transformaciones para

“hacer ceros” en una matriz (recordemos el proceso de escalonar una ma-

triz), podemos aprovecharlas para el mismo fin, pues el cálculo de un deter-

minante se hace habitualmente más sencillo cuantos más ceros haya entre

los términos de la matriz.

Por ejemplo, calculemos el determinante de esta matriz:

C =⎛⎜⎝

1 2 −13 1 −34 3 7

⎞⎟⎠ .

22 I. DETERMINANTES

Si efectuamos en la matriz C las transformaciones elementales (por colum-

nas) C2 ← C2 − 2C1 y C3 ← C3 +C1, nos quedan nulos todos los términos de

la primera fila salvo el primero:

C =⎛⎜⎝

1 2 −13 1 −34 3 7

⎞⎟⎠

C2←C2−2C1

C3←C3+C1��→⎛⎜⎝

1 0 03 −5 04 −5 11

⎞⎟⎠ ,

y ya podemos calcular el determinante de forma muy sencilla a partir de la

definición:

det(C) =∣∣∣∣∣∣∣1 2 −13 1 −34 3 7

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 0 03 −5 04 −5 11

∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣∣−5 0−5 11

∣∣∣∣∣ = −55.

Pero incluso más: si nos fijamos, tras las dos transformaciones nos ha

quedado una matriz que de hecho es triangular inferior; simplemente po-

dríamos haber escrito (§ 17):

det(C) =∣∣∣∣∣∣∣1 2 −13 1 −34 3 7

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 0 03 −5 04 −5 11

∣∣∣∣∣∣∣ = 1 · (−5) · 11 = −55.

21 De acuerdo con la definición, para calcular un determinante vamosDesarrollo de undeterminante multiplicando los términos de la primera fila por sus correspondientes ad-

juntos, y sumamos después estos productos. Pero acontece que podemos

calcular el determinante llevando a cabo estas operaciones a partir de cual-

quier fila o de cualquier columna.

Si A =(aij

)es una matriz cuadrada de orden n, y si 1 � i � n, entonces

se tiene:

det(A) = ai1αi1 + ai2αi2 + · · · + ainαin,fórmula que se denomina desarrollo del determnante por los términos de

la fila i-ésima; y también, si 1 � j � n, entonces se verifica:

det(A) = a1jα1j + a2jα2j + · · · + anjαnj,

fórmula que a su vez se denomina desarrollo del determnante por los tér-

minos de la columna j-ésima.

Por ejemplo, recordemos el determinante que calculamos en el ejemplo

del § 14: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 1 0−7 1 0 0

1 0 0 11 −1 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.


Podríamos obtener su valor con muchos menos cálculos si aprovechamos

que la tercera columna, verbigracia, tiene dos términos nulos. El desarrollo

del determinante por esta columna toma esta forma:

⎛⎜⎜⎜⎜⎝+ − + −− + − ++ − + −− + − +

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 1 0−7 1 0 0

1 0 0 11 −1 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 ·

∣∣∣∣∣∣∣−7 1 0

1 0 11 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣− (−1) ·∣∣∣∣∣∣∣

2 0 0−7 1 0

1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ . (2)

Ahora, fijándonos en el primero de estos determinantes de orden 3, bus-

camos una fila o columna en la que anular todos sus términos salvo uno,

para luego desarrollar el determinante por ella; para ello, vemos que a laSi queremos anular términosen una columna, transforma-ciones por filas; si lo quere-mos en una fila, transforma-ciones por columnas.

segunda columna, por ejemplo, solo le falta un término nulo más, que pode-

mos anular con una transformación elemental por filas; resulta:

⎛⎜⎝−7 1 0

1 0 11 −1 −2

⎞⎟⎠ F3←F3+F1��→

⎛⎜⎝−7 1 0

1 0 1−6 0 −2

⎞⎟⎠ ,

y así (§ 20):

⎛⎜⎝+ − +− + −+ − +

⎞⎟⎠

∣∣∣∣∣∣∣−7 1 0

1 0 11 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣−7 1 0

1 0 1−6 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣ = −1 ·∣∣∣∣∣ 1 1−6 −2

∣∣∣∣∣ = −4,

donde efectivamente hemos desarrollado por los términos de la segunda

columna. Por otra parte, en el segundo determinante de orden 3 escrito

en (2), podemos por ejemplo desarrollar por la tercera columna, que tiene

nulos todos los términos salvo uno:

⎛⎜⎝+ − +− + −+ − +

⎞⎟⎠

∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

−7 1 01 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣∣ 2 0−7 1

∣∣∣∣∣ = 2.

Finalmente, de (2) concluimos:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 1 0−7 1 0 0

1 0 0 11 −1 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣−7 1 0

1 0 11 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣

2 0 0−7 1 0

1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −4+ 2 = −2,

lo que confirma el cálculo que ya efectuamos en el citado § 14.

22 El determinante de un producto de matrices es igual al producto deDeterminante de unproducto: det(AB) =det(A)det(B)

los determinantes: det(AB) = det(A)det(B).

24 I. DETERMINANTES

Dejamos al lector la tarea de comprobarlo con estas matrices:

Los determinantes de ambasmatrices se calcularon en los§ 20 y 21, respectivamente.

⎛⎜⎝

1 2 −13 1 −34 3 7

⎞⎟⎠ y

⎛⎜⎝

2 0 0−7 1 0

1 0 1

⎞⎟⎠ .

23 Afirmar que el determinante de una matriz es nulo es equivalente a¿Cuándo un determinante esnulo? afirmar que una de las filas de la matriz es igual a una suma de múltiplos

de las restantes filas, y lo mismo se puede afirmar con las columnas. En

particular, un determinante es nulo si una fila, o una columna, tiene todos

sus términos nulos. Y también: un determinante es nulo si dos filas, o dos

columnas, son iguales.

Por ejemplo, podemos decir que estos determinantes son nulos sin ne-

cesidad de cálculos:

∣∣∣∣∣ 2 1−2 −1

∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣

2 0 0−1 1 1

1 0 0

∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣

2 0 2−1 1 0

1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 2 1−1 0 0 4

1 0 3 2−3 0 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣;

el primero, por tener una fila (también una columna) múltiplo de la otra; el

segundo, por tener dos columnas iguales (también presenta la primera fila

múltiplo de la tercera); el tercero, porque la tercera columna es igual a la

suma de las dos primeras (también, de nuevo, su primera fila es múltiplo de

la tercera); el último, por tener una columna nula.

24 Dada una matriz A, cuadrada de orden n, estas tres afirmacionesDeterminante y matricesinvertibles son equivalentes:

• det(A) ≠ 0;

• rangoA = n;

• A es invertible;

• A es regular.

En particular, una condición necesaria y suficiente para que una matriz sea

invertible es que su determinante sea distinto de 0.

Por ejemplo, ninguna de las matrices cuyo determinante se ha escrito en

el § 23 es invertible (pues todas son de determinante nulo), y en particularPor cierto, ¿se animaría el lec-tor a calcular tales rangos? el rango de cada una no es máximo. Por el contrario, estas matrices:⎛

⎜⎝1 2 −13 1 −34 3 7

⎞⎟⎠ y

⎛⎜⎝

2 0 0−7 1 0

1 0 1

⎞⎟⎠ ,

sí son invertibles: en los § 20 y 21 fueron calculados, respectivamente, sus

determinantes, y resultaron ser números no nulos; el rango de ambas es

igual a 3.


25 Si una matriz es invertible, entonces el determinante de la matrizEl determinante de una matrizinvertible:

det(A−1) = 1det(A)

.inversa es igual al inverso del determinante de la matriz: si A es una matriz

invertible, entonces det(A−1

) = 1/det(A).A modo de ejemplo, consideremos estas dos matrices, una inversa de la

otra:

A =⎛⎜⎝−1 0 1

1 1 20 0 2

⎞⎟⎠ y A−1 =

⎛⎜⎝−1 0 1/2

1 1 −3/20 0 1/2

⎞⎟⎠ .

Sus determinantes son sencillos:

⎛⎜⎝+ − +− + −+ − +

⎞⎟⎠ det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣−1 0 1

1 1 20 0 2

∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 0

1 1

∣∣∣∣∣ = 2 · (−1) = −2,

y también:

⎛⎜⎝+ − +− + −+ − +

⎞⎟⎠ det

(A−1) =

∣∣∣∣∣∣∣−1 0 1/2

1 1 −3/20 0 1/2

∣∣∣∣∣∣∣ =12·∣∣∣∣∣−1 0

1 1

∣∣∣∣∣ = 12· (−1) = −1

2,

y es claro que det(A−1

) = 1/det(A). (Nótese que ambos determinantes

están desarrollados por los términos de la tercera fila.)

3. Aplicaciones de los determinantesPresentamos tres aplicaciones de los determinantes: cálculo del rango, cál-

culo de la inversa (de una matriz), y la regla de CRAMER, que permite resolver

cierto tipo de sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados.

Cálculo del rango de una matriz

26 Dada una matriz no nula no necesariamente cuadrada, se tiene esteCálculo del rango de unamatriz resultado: el rango de la matriz es igual al mayor de los órdenes de sus

submatrices cuadradas de determinante no nulo. Más en concreto: si A es

una matriz de orden (n,m) que verifica:

• A admite alguna submatriz cuadrada de orden r (1 � r �mín{n,m})cuyo determinante es no nulo,

• toda submatriz cuadrada de A de orden r +1 —si existe— tiene deter-

minante nulo,

entonces rangoA = r .Animamos al lector a no dejarde calcular por sí mismo losdeterminantes de las matricesescritas en este parágrafo.

Por ejemplo, calculemos con este resultado el rango de la matriz

A =⎛⎜⎝

2 1 1 11 0 1 12 3 −1 1

⎞⎟⎠ .

26 I. DETERMINANTES

Como la matriz A es no nula, su rango es al menos igual a 1. Una submatriz

de A cuadrada de orden 2 es, verbigracia, esta:(2 11 0

), y se tiene:

∣∣∣∣∣2 11 0

∣∣∣∣∣ = −1 ≠ 0,

con lo que podemos deducir que el rango de A es mayor o igual que 2.

Buscamos ahora submatrices cuadradas de orden 3. Lo más cómodo es em-

pezar rodeando, u orlando, la submatriz de orden 2 anterior —que tiene

determinante no nulo— con términos de la matriz escritos de forma ade-

cuada (para que efectivamente quede una submatriz de la matriz A); por

ejemplo: ⎛⎜⎝

2 1 11 0 12 3 −1

⎞⎟⎠ , y se tiene:

∣∣∣∣∣∣∣2 1 11 0 12 3 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

Comprobemos con otra submatriz cuadrada de orden 3:⎛⎜⎝

2 1 11 0 12 3 1

⎞⎟⎠ , y se tiene:

∣∣∣∣∣∣∣2 1 11 0 12 3 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −2 ≠ 0.

Esto ya nos asegura que el rango de A es mayor o igual que 3; como real-

mente no puede ser mayor (el rango no puede superar el número de filas ni

el de columnas), concluimos que rangoA = 3.

27 Calculemos el rango de esta matriz:Otro ejemplo

Las matrices B y A —esta del§ 26— se distinguen solo ensu término de posición (3,4).

B =⎛⎜⎝

2 1 1 11 0 1 12 3 −1 −1

⎞⎟⎠ .

La submatriz cuadrada de orden 2 que escribimos para la matriz A del § 26—y que tenía determinante no nulo— también es submatriz de la matriz B,

luego rangoB � 2. Por otra parte, todas las submatrices cuadradas de or-

den 3 que se pueden formar a partir de la matriz B:⎛⎜⎝

2 1 11 0 12 3 −1

⎞⎟⎠ ,

⎛⎜⎝

1 1 10 1 13 −1 −1

⎞⎟⎠ y

⎛⎜⎝

2 1 11 1 12 −1 −1

⎞⎟⎠ ,

presentan determinante igual a 0. En conclusión: rangoB = 2.

Nota En muchos libros, se define lo que se denomina menor de una matriz: dada

una matriz (no necesariamente cuadrada), un menor de la matriz es el determi-

nante de una submatriz cuadrada. De acuerdo con esto, podemos afirmar que

el rango de una matriz (no nula) coincide con el mayor de los órdenes de los

menores no nulos de la matriz. �


Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada

28 Dada una matriz A, cuadrada de orden n, la matriz adjunta de laMatriz adjunta

matriz A es la matriz, también cuadrada de orden n, cuyo término de posi-

ción (i, j) (con 1 � i � n y 1 � j � n) es igual al adjunto en la matriz Adel término aji (el de posición (j, i)). Se denota por A∗. Es decir, si escribi-

mos A∗ =(α∗ij

), entonces α∗ij = αji = (−1)j+idet(Aji).

Para calcular la adjunta de una matriz podemos proceder de la siguiente

manera: escribimos la traspuesta de la matriz, y en esta sustituimos cada

término por su adjunto (calculado este en la propia matriz traspuesta, por

supuesto).

Por ejemplo, calculemos la adjunta de la siguiente matriz:

A =⎛⎜⎝

0 −1 11 1 1

−1 1 3

⎞⎟⎠ .

Su traspuesta es esta:

At =⎛⎜⎝

0 1 −1−1 1 1

1 1 3

⎞⎟⎠ ,

y los adjuntos de los términos de esta matriz, que denotaremos de la for-

ma α∗ij —para no crear confusión con los adjuntos de la propia matriz A—

son estos:

α∗11 =∣∣∣∣∣1 11 3

∣∣∣∣∣ = 2, α∗12 = −∣∣∣∣∣−1 1

1 3

∣∣∣∣∣ = 4, α∗13 =∣∣∣∣∣−1 1

1 1

∣∣∣∣∣ = −2,

y análogamente:

α∗21 = −4, α∗22 = 1, α∗23 = 1, α∗31 = 2, α∗32 = 1, α∗33 = 1.

La matriz adjunta de la matriz A es entonces:

A∗ =⎛⎜⎝

2 4 −2−4 1 1

2 1 1

⎞⎟⎠ .

29 La adjunta de una matriz nos permite calcular la inversa de la ma-Cálculo de la inversa a partirde la adjunta triz si esta es invertible. En concreto, dada una matriz A cuadrada e inverti-

ble (con lo que det(A) ≠ 0, § 24), se tiene:

A−1 = 1det(A)

A∗.

28 I. DETERMINANTES

Por ejemplo, la matriz que hemos considerado en el ejemplo del § 28:

A =⎛⎜⎝

0 −1 11 1 1

−1 1 3

⎞⎟⎠ ,

es invertible, pues det(A) = 6 ≠ 0 (§ 11). La inversa de la matriz A se puede

obtener de esta forma:

A−1 = 1det(A)

A∗ = 16

⎛⎜⎝

2 4 −2−4 1 1

2 1 1

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎝

1/3 2/3 −1/3−2/3 1/6 1/6

1/3 1/6 1/6

⎞⎟⎠ ,

teniendo en cuenta el cálculo de la matriz adjunta A∗ que se llevó a cabo en

el citado § 28.

Regla de CRAMER

30 Un sistema de CRAMER es un sistema de ecuaciones lineales con elSistemas de CRAMER

mismo número de ecuaciones que de incógnitas, y con la matriz de coe-

ficientes regular (es decir, de rango máximo, o lo que es equivalente, de

determinante no nulo, § 24). Un sistema de Cramer es entonces compatible

determinado; es decir, admite solución única.

A modo de ejemplo, este sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:⎧⎨⎩

3x1 + 2x2 = 1

x1 + x2 = 2,(3)

es un sistema de Cramer, pues tiene el mismo número de ecuaciones que

de incógnitas y su matriz de coeficientes es regular, o lo que es lo mismo:

de determinante no nulo. En efecto, tal matriz es esta:(3 21 1

),

y se tiene:

∣∣∣∣∣3 21 1

∣∣∣∣∣ = 1 ≠ 0.

31 Con ayuda de los determinantes, se pueden resolver de una formaRegla de CRAMER

sencilla los sistemas de Cramer. Lo vemos.

Se considera un sistema de Cramer, con n ecuaciones y n incógnitas,

y con matriz de coeficientes A. Acontece que la solución única del sistema

es la n-upla (s1 , s2, . . . , sn) con si = det(Ai)/det(A), donde Ai es la matriz

que resulta de sustituir, en la matriz de coeficientes A, la i-ésima matriz

columna por la matriz columna de los términos independientes del sistema

(ello para cada 1 � i � n).


Resolvamos con la regla de Cramer el sistema de ecuaciones lineales (3),

que ya sabemos es un sistema de Cramer (§ 30). Denotemos su solución

única con (s1, s2). La primera componente de este par ordenado: s1, se es-

cribe como un cociente, con denominador el determinante de la matriz de

coeficientes del sistema, y con numerador el determinante de la matriz que

resulta al sustituir en la de coeficientes la primera columna por la columna

de términos independientes. La matriz de coeficientes y esta última matriz

descrita son, respectivamdente, las siguientes:

A =(

3 21 1

)y A1 =

(1 22 1

),

y se tiene:

s1 = det(A1)det(A)

=

∣∣∣∣∣1 22 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 21 1

∣∣∣∣∣= −3

1= −3.

Análogamente, la segunda componente de la solución única del sistema es

igual al cociente de denominador el determinante de la matriz de coeficien-

tes, y de numerador el determinante de la matriz obtenida al sustituir en

la de coeficientes la segunda columna por la columna de términos indepen-

dientes; denotando esta última matriz por A2, nos queda:

s2 = det(A2)det(A)

=

∣∣∣∣∣3 11 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 21 1

∣∣∣∣∣= 5

1= 5.

La única solución del sistema de ecuaciones lineales (3) es, pues, el par

ordenado (−3,5).

32 Dados tres parámetros c1, c2 y c3, se considera este sistema deOtro ejemplo

ecuaciones lineales: ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

2x + y + 2z = c1

y − 2z = c2

x + 2y = c3.

Su matriz de coeficientes es regular:

A =⎛⎜⎝

2 1 20 1 −21 2 0

⎞⎟⎠ , y se tiene: det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣2 1 20 1 −21 2 0

∣∣∣∣∣∣∣ = 4 ≠ 0,

30 I. DETERMINANTES

con lo que se trata de un sistema de Cramer, y ello además cualesquiera que

sean c1, c2 y c3. Si denotamos la solución única del sistema por (x1, y1, z1),de acuerdo con la regla de Cramer (§ 31) podemos escribir:

x1 =

∣∣∣∣∣∣∣c1 1 2c2 1 −2c3 2 0

∣∣∣∣∣∣∣det(A)

= 4c1 + 4c2 − 4c3

4= c1 + c2 − c3,

y1 =

∣∣∣∣∣∣∣2 c1 20 c2 −21 c3 0

∣∣∣∣∣∣∣det(A)

= −2c1 − 2c2 + 4c3

4= −1

2c1 − 1

2c2 + c3,

z1 =

∣∣∣∣∣∣∣2 1 c1

0 1 c2

1 2 c3

∣∣∣∣∣∣∣det(A)

= −c1 − 3c2 + 2c3

4= −1

4c1 − 3

4c2 + 1

2c3.

Ejercicios I.11 Calcular los siguientes determinantes:

a)

∣∣∣∣∣2 10 3

∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣∣2 1 −20 3 −11 4 2

∣∣∣∣∣∣∣;

b)

∣∣∣∣∣∣∣1 1 20 1 −21 2 0

∣∣∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣∣3 1 20 1 −21 2 0

∣∣∣∣∣∣∣;

c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 21 −1 −2 21 3 3 23 1 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

2 Sin hacer cálculos, explicar por qué son iguales

a 0 los siguientes determinantes:

a)

∣∣∣∣∣2 16 3

∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣∣2 1 −20 3 −10 3 −1

∣∣∣∣∣∣∣;

b)

∣∣∣∣∣∣∣1 0 20 0 −21 0 0

∣∣∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣∣3 1 40 1 11 2 3

∣∣∣∣∣∣∣;

c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 5/62 −1 −2 5/33 3 3 5/26 1 −1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

3 Calcular los siguientes determinantes, que inclu-

yen distintos parámetros:

a)

∣∣∣∣∣2 a0 b

∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣∣a 1 −2b 3 −1c 4 2

∣∣∣∣∣∣∣;

b)

∣∣∣∣∣∣∣1 p 20 q −21 r 0

∣∣∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣∣p 1 2q 1 −2r 2 0

∣∣∣∣∣∣∣;

c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 a1 −1 −2 b1 3 3 c3 1 −1 d

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

4 Calcular el rango de esta matriz:⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1 1 2 2 −10 1 −2 1 01 2 0 0 13 3 6 6 −3

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .


5 Siendo a un parámetro, se considera esta matriz:⎛⎜⎝a 1 20 1 −21 2 0

⎞⎟⎠ .

Se pide:

a) ¿para qué valores de a es invertible?;

b) si a es tal que la matriz es invertible, calcular su

inversa con la ayuda de la matriz adjunta.

6 Dados tres números b1, b2 y b3, se denomina

determinante de VANDERMONDE (de orden 3) al determi-

nante siguiente: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

b1 b2 b3

b21 b2

2 b23

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Calcular este determinante, y encontrar una expresión

de su desarrollo como un producto de tres factores.

7 ¿Cómo es el determinante de una matriz ortogo-

nal? ¿Y el de una matriz idempotente? ¿Y el de una

nilpotente?

8 Resolver estos sistemas de ecuaciones con la re-

gla de Cramer (si esta puede aplicarse):

a)

⎧⎨⎩

2x1 +x2 = 1

x1 +x2 = 3,y

⎧⎨⎩

2x1 + 2x2 = 1

x1 + x2 = 3;

b)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

2x − y + z = 1

x + 2y − 3z = 0

y − 2z = 3;

c)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x + 2y − z + t = −3

−x + z − 2t = 3

y − 2z − t = 1

2x − y − z = 3.

9 Discutir y resolver, según los valores de los pa-

rámetros a, b y c, el siguiente sistema de ecuaciones

lineales: ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

2x − y + z = ax + 2y − 3z = b

y − 2z = c.

32 I. DETERMINANTES

RECAPITULACIÓN I

Definición de determinante � Consideramos una

matriz cuadrada A. El determinante de la matriz Aes un número que se define a partir de sus términos.

Se denota por det(A), o también: |A|; si se escribe la

matriz detallando sus términos, se designa su determi-

nante sustituyendo los paréntesis por barras verticales.


)de orden 2 se define de esta forma:

det(A) =∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

� Para generalizar la definición a matrices cuadradas

de cualquier orden, consideramos una matriz A, cua-

drada de orden n, y fijamos 1 � i � n y 1 � j � n. Se

denota por Aij la submatriz de la matriz A que resulta

al suprimir en la matriz A la fila i-ésima y la columna

j-ésima; la matriz Aij es cuadrada de orden n− 1, y se

denomina matriz complementaria en la matriz A del

término aij . Si A es esta matriz (donde están señaladas

la fila i-ésima y la columna j-ésima):

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1j . . . a1n

a21 a22 . . . a2j . . . a2n...

.... . .

.... . .

...ai1 ai2 . . . aij . . . ain

......

. . ....

. . ....

an1 an2 . . . anj . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠,

entonces la matriz complementaria Aij es igual a:

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a11 . . . a1(j−1) a1(j+1) . . . a1n...

. . ....

.... . .

...a(i−1)1 . . . a(i−1)(j−1) a(i−1)(j+1) . . . a(i−1)n

a(i+1)1 . . . a(i+1)(j−1) a(i+1)(j+1) . . . a(i+1)n...

. . ....

.... . .

...an1 . . . an(j−1) an(j+1) . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

Se denomina adjunto, o cofactor, en la matriz A del

término aij (el término que ocupa la posición (i,j)) al

número αij = (−1)i+j det(Aij).

� El determinante de una matriz cuadrada A =(aij

)de orden 3 se define de esta forma:

det(A) =∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ = a11α11 +a12α12 + a13α13.

Es decir: cada término de la primera fila se multiplica

por su adjunto, y se suman estos productos. Si desa-

rrollamos la expresión anterior, queda:∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 −a11a23a32 − a12a21a33

+ a12a23a31 + a13a21a32 −a13a22a31.

Un método práctico para calcular esta expresión (solo

válido para el orden 3), es la regla de SARRUS: colo-

camos “encima del determinante” su tercera fila, y “de-

bajo” su primera fila:

a31 a32 a33∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

,

y escribimos y sumamos todos los productos posibles

de tres términos en diagonal, anteponiendo el signo +a los orientados de la forma: ↘ , y el signo − a los ori-

entados de la forma: ↗ .

� El determinante de una matriz cuadrada A =(aij

)de orden n se define de esta manera:

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11α11 + a12α12 + ·· · + a1nα1n.

De nuevo: cada término de la primera fila se multiplica

por su adjunto, y se suman estos productos.

Propiedades de los determinantes � En el enun-

ciado de estas propiedades, las matrices involucradas

son cuadradas del mismo orden:

RECAPITULACIÓN I 33

• el determinante de una matriz coincide con el de

su traspuesta: det(A) = det(At);• el determinate de una matriz identidad es igual

a 1: det(In) = 1;

• el determinante de una matriz diagonal, o el de

una matriz triangular (tanto superior como infe-

rior), es igual al producto de los términos de su

diagonal principal;

• el valor del determinante de una matriz cambia

de signo si se intercambian dos filas o dos co-

lumnas;

• si todos los términos de una fila (o de una co-

lumna) de una matriz se multiplican por un mis-

mo número, entonces el valor del determinante

queda multiplicado por tal número;

• el valor del determinante de una matriz no varía

si a una fila (o a una columna) de la matriz se le

suma un múltiplo de otra fila (o columna);

• el determinante de una matriz es nulo precisa-

mente si una de sus filas (o columnas) es igual

a una suma de múltiplos de las restantes filas (o

columnas); en particular, el determinante es nulo

si una fila (o una columna) es nula, o si dos filas

(o dos columnas) son iguales;

• el determinante de un producto de matrices es

igual al producto de los determinantes; en sím-

bolos:: det(AB)= det(A)det(B);• el determinante de una matriz es no nulo precisa-

mente si la matriz es regular (es decir, de rango

máximo), o lo que es lo mismo: el determinante

de una matriz es no nulo precisamente si la ma-

triz es invertible; en símbolos: siendo A cuadrada

de orden n, se tiene: det(A) ≠ 0⇐⇒ rangoA = n;

• el determinante puede calcularse de esta forma:

se elige cualquier fila (o columna), y se multiplica

cada uno de sus términos por su adjunto: el de-

terminante es la suma de estos productos (es de-

cir, no es necesario efectuar estas operaciones a

partir de los términos de la primera fila —como

marca la definición—: se puede a partir de los tér-

minos de cualquier otra fila o a partir de los tér-

minos de una columna); en símbolos, si 1 � i � n:

det(A) = ai1αi1+ai2αi2+· · ·+ainαin (expresión

del desarrollo del determinante por los térmi-

nos de la fila i-ésima); también, si 1 � j � n:

det(A) = a1jα1j + a2jα2j + · · · + anjαnj (expre-

sión del desarrollo del determinante por los tér-

minos de la columna j-ésima);

• si la matriz A es invertible: det(A−1) = 1/det(A).

Aplicaciones de los determinantes � Cálculo del

rango de una matriz. El rango de una matriz no nula,

no necesariamente cuadrada, coincide con el mayor de

los órdenes de sus submatrices cuadradas de determi-

nante no nulo.

� Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada. La

matriz adjunta de una matriz A, cuadrada de orden n,

es la matriz, también cuadrada de orden n, cuyo tér-

mino de posición (i, j) (con 1 � i � n y 1 � j � n)

es igual al adjunto en la matriz A del término aji(el de posición (j, i)). Se denota por A∗. Es decir,

si A∗ =(α∗ij

), entonces α∗ij = αji = (−1)j+i det(Aji).

Si A es una matriz cuadrada invertible (con lo

que det(A) ≠ 0), se tiene:

A−1 = 1det(A)

A∗.

� Sistemas de CRAMER. Un sistema de CRAMER es un

sistema de ecuaciones lineales con igual número de

ecuaciones que de incógnitas, y tal que la matriz de

coeficientes tiene determinante no nulo. Un sistema de

Cramer es compatible determinado.

Regla de CRAMER. Dado un sistema de Cramer,

con n ecuaciones y n incógnitas, y con matriz de coefi-

cientes A, su solución única es la n-upla (s1, s2, . . . , sn)con si = det(Ai)/det(A), donde Ai es la matriz obteni-

da al sustituir, en la matriz de coeficientes A, la i-ésima

matriz columna por la matriz de términos independien-

tes del sistema (ello para cada 1 � i � n).

matematicas ade uned, determinantes

Documents