matemáticas 2 recursos didacticos.pdf

7/15/2019 Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf

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Recursos didácticos

Mayra Martínez de Garay

Jaime Omar Lugo de la TejeraEduardo Mancera Martínez

Matemáticas



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E N T A

Matemáticas 22Recursos didácticos

Mayra Martínez de Garay,

Jaime Omar Lugo de la Tejera

Eduardo Mancera Martínez

E i ro Matemáticas 2. Recursos didácticos u

obra colectiva creada y diseñada en el Departamento

e Investigaciones E ucativas e E itoria Santi ana, con

la dirección de Antonio Moreno Paniagua



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Recursos didácticos

Mayra Martínez de Garay

Jaime Omar Lugo de la Tejera


ayra Martínez de Garayz

ame mar ugo e a TeeraTa me mar u o e a T e er a

EduardoManceraMartínezu ar o a nc er a a rt n ez z

Matemáticas

1 1 0 5 4 5 P M

D. R. © 2008 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.v. Universidad 767

03100, México, D. F.

SBN: 978-607-01-0114-

Primera edición: enero 2009

Miem ro e la Cámara Nacional e la

Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802

mpreso en México


El libro Matemáticas 2. Recursos didácticos fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

Edición: Guillermo Trujano Mendoza y José Luis Acosta

Lectura e prue as: E uar o Men oza

Colaboración: Claudia Navarro Castillo y Javier Esquivel

Revisión Técnica: José Luis Córdova Frunz

Corrección e esti o: José Luis Acosta y Car os e Razo

Diseño de interiores: Carlos Vela Turcott, Rocío Echavarrí Rentería, Mauricio Gómez Morin Fuentes, José Francisco Ibarra Meza,Tania Rendón López y José Luis Acosta

Diseño de portada: Francisco Ibarra Meza

Coordinación de diagramación: Alejo Nájera Hernández

Ilustración: Héctor Ovando Jarquín, Sergio Bourguet, Abelardo Culebro Bahena, Eliud Monroy, Augusto Mora, Israel Ramírez y Susana Inés Morales Juárez

Diagramación: Fausto A rián Ur án Brizue a, Sergio Bourguet, Héctor Ovan o Jarquín, Luis Va ver e Sa va or y Pe ro Santiago Cruz

Digitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales Neria

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 2. Recursos didácticos son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la

reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.



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Presentación III

Presentación

¿Para qué estudiar Matemáticas? Seguramente sus estudiantes se han hecho estapregunta muchas veces. Este libro de recursos está pensado para apoyarlo en la

relación con sus alumnos: para que usted pueda guiarlos a contestar las preguntasque se hacen, a animar os a seguir cuestionándose, a buscar, exp orar, entender ydisfrutar el mundo de la matemática.

Con base en las orientaciones que contiene este texto, usted podrá guiar a sus alum-nos al descubrimiento de los conocimientos de esta materia, pero sobre todo, a darsecuenta de que a matemática es mucho más que aprender fórmu as y reso ver opera-ciones, mucho más que números y signos.

Matemáticas 2. Recursos didácticos es una herramienta que permite a los docentesde la asignatura acompañar el trabajo de los escolares. Este material brinda a losmaestros y las maestras elementos para facilitar a los estudiantes el desarrollo de ha-

ilidades. Proporciona a los profesores herramientas para despertar la curiosidad yayudar a los alumnos en el desarrollo de las habilidades como seres humanos, comoentes pensantes, creadores y transformadores.

En esta obra encontrará una dosificación en cinco bimestres de os temas delibro del alumno, prevista para 38 semanas de clases. En ésta se especifican lospropósitos de cada bloque y las competencias, además de los conceptos, habili-dades, actitudes y aprendizajes esperados de cada tema. Asimismo, con base enlas actividades realizadas, el logro de los propósitos previstos, las observaciones deos docentes y a ap icación de exámenes, sugiere os momentos convenientes para

evaluar el aprendizaje de las alumnas y los alumnos.

Se incluyen, como una propuesta más para la evaluación de los estudiantes, dos

modelos de exámenes por bimestre elaborados a partir de la dosificación de los con-tenidos del libro del alumno y, para facilitar el trabajo de calificación, se añadenas respuestas de los diez exámenes. Además, se adjunta una bibliografía para el docente.

Este ejemplar también presenta la reproducción del libro del alumno, acompa-ñado de orientaciones para conducir las clases de Matemáticas 2, adecuadas alprograma de a asignatura. E propósito es faci itar a as profesoras y os profesoresalgunos elementos que, sumados a su experiencia y creatividad, les permitan or-anizar y dirigir el trabajo de los educandos.

Deseamos que el libro Matemáticas 2. Recursos didácticos responda a las necesi-dades de os docentes que dedican su práctica profesiona y su entusiasmo a a

enseñanza de las matemáticas de los estudiantes de secundaria.



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Guía docente

PRIMER BIMESTRE

Bloque temático 1

Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos:• Resolverán problemas que requieran efectuar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números con signo. Encontrarán explicaciones para entender por qué

a suma e os ángu os internos e cua quier triángu o es 180º y a e os e un cua ri átero es e 360°. Reso verán pro emas e conteo me iante a rea ización ecálculos numéricos. Resolverán problemas de valor altante considerando más de dos conjuntos de cantidades. Construirán polígonos de recuencia e interpretarán la

información contenida en ellos.

Semana Tema y subtema Lección y páginas Evidencia de logros

1

ema:Significado y uso de las operacionesSubtema: Problemas multiplicativos

Lección :oner y quitar… tantas veces

Páginas: 12 - 47

Plantea problemas que impliquen la multiplicación y división de enteros.Resuelve problemas operando con números enteros, fracciones y decimales. Resuelveproblemas operando con expresiones algebraicas.

2

Tema:Significado y uso de las operacionesSubtema: Problemas aditivos

Lección 1:Poner y quitar… tantas vecesPáginas: 12 - 47

Plantea problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.Resuelve problemas operando con números enteros, fracciones y decimales. Resuelveproblemas operando con expresiones algebraicas.

3

Tema:Significado y uso de las operacionesSubtema: Operaciones combinadas


Reconoce y obtiene expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelosgeométricos.Resuelve problemas operando con expresiones algebraicas. Construye expresiones algebraicasa partir de modelos geométricos.

4



Resuelve problemas que impliquen multiplicación y división de fracciones y números decimalescon signo.Resuelve problemas operando con expresiones algebraicas. Construye expresiones algebraicasa partir de modelos geométricos.

5

Tema:Formas geométricasSubtema: Rectas y ángulos

Lección 2:Qué dicen los ángulos y susmedidasPáginas: 48 - 77

El estudiante resuelve y plantea problemas que impliquen el reconocimiento y la medición deángulos.

A partir de intersecciones de dos rectas en el plano, y de dos rectas paralelas cortadas por una

transversal, el estudiante reconoce relaciones entre ángulos del tipo opuestos por el vértice,adyacentes, colaterales, correspondientes, alternos, internos, externos, etcétera.

6

Tema:MedidaSubtema: Estimar, medir y calcular

Lección 2:Qué dicen los ángulos y susmedidasPáginas: 48 - 77

El alumno deduce la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Deduce las relacionesentre medidas de ángulos interiores de triángulos y de paralelogramos. Resuelve problemasoperando con números enteros, fracciones y decimales. Resuelve problemas operando conexpresiones algebraicas. Construye expresiones algebraicas a partir de modelos geométricos.

7

ema:Análisis de la informaciónSubtema: Relaciones de proporcionalidad

Lección :Si uno aumenta, el otrotambiénPáginas: 78 - 97

El estudiante elabora procedimientos para obtener el factor inverso a partir de una relación deproporcionalidad y resuelve problemas de proporcionalidad múltiple.

8

Tema:Representación de la informaciónSubtema: Diagramas y tablas

Lección 4:Cuentas de cuántosPáginas: 98 - 105

Pronostica resultados en situaciones de conteo reconociendo regularidades.Comprueba resultados usando arreglos rectangulares, diagramas de árbol, etc.

9Tema:Representación de la informaciónSubtema: Gráficas

Lección 5:Gráficas que hablanáginas: 106 - 117

Analiza y representa datos utilizando polígonos de frecuencia. Interpreta y comunica lainformación mediante polígonos de frecuencias.

PRIMERA EVALUACIÓN BIMESTRAL

Dosificación

III



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Conceptos Habilidades Actitudes Aprendizajes esperados

Monomio, parte numérica y literal de unmonomio.Término de una expresión algebraica.

• Inferencia de propiedades,características y tendencias.

• E xpresión y representació n numérica.

• Reconocer la importancia del álgebran la solución de problemas.

• Comprender que las matemáticas son,sobre todo, razonar y producir ideas.

• Asumir el reto de construir conceptos.

• Deducir y argumentar las relaciones entre las medidas de los ángulosinteriores de triángulos y cuadriláteros. Deducir la suma de losángulos interiores de cualquier triángulo y de cualquier cuadrilátero;desarrollar argumentos que lo justifiquen.

• Usar distintos procedimientos para calcular el producto de números consigno. Deducir las reglas generales para multiplicar números con signo.Resolución de problemas que involucran números con signo.


• Infere ncia de propiedade s,características y tendencias.

• E xpresión y representació n numérica.




• Deducir y argumentar las relaciones entre las medidas de los ángulosinteriores de triángulos y cuadriláteros. Deducir la suma de losángulos interiores de cualquier tri ángulo y de cualquier cuadrilátero;desarrollar argumentos que lo justifiquen.

• Usar distintos procedimientos para calcular el producto de números consigno. Deducir las reglas generales para multiplicar números con signo.

• Resolución de problemas que involucran números con signo.


• Argumentación.• Anti cipar y justifica r resultados.• D esarrollo de la intuición.




• Agrupar y simplificar términos semejantes en la simplificaciónde expresiones y en la resolución de ecuaciones. Reconocer y obtenerexpresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos.

• Resolver problemas que involucran adición y sustracción de expresionesalgebraicas.


• Argumentación.• Anti cipar y justifica r resultados.• D esarrollo de la intuición.




• Agrupar y simplificar términos semejantes en la simplificaciónde expresiones y en la resolución de ecuaciones. Reconocer y obtenerexpresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos.

• Resolver problemas que involucran adición y sustracción de expresionesalgebraicas.

Ángulo, vértice y lados de un ángulo.Grado.Ángulo llano, recto, agudoy obtuso.

• E stimar, justificar y anticipar resultados.• D esarrollo de la intuición.• I nferir y deducir.• Argumentación.• Interpretación de ideas y

procedimientos.

• Poner a prueba sus conocimientos.• Razonar y compartir ideas.• Flexibilidad para modificar puntos

e vista.• Interés por investigar.

• Identificar, en distintas situaciones, ángulos como abertura entre dosplanos. Mediante situaciones simples; identificar ángulo recto, de 3 60° yde 180° ; identificar mediante comparaciones ángulos menores y mayores,ángulo agudo y ángulo obtuso. Comprender unidades de medida y realizarconversiones. Dadas dos rectas que se intersecan, reconocer las relacionesentre los ángulos que se forman identificando ángulos opuestos por el vértice

y ángulos adyacentes; y establecer si las rectas son perpendiculares o no.

Ángulos suplementarios.Ángulos adyacentes y opuestos por elvértice.Rectas perpendiculares y paralelas.Ángulos colaterales, correspondientes,alternos internos y externos.

• E stimar, justificar y anticipar resultados.• D esarrollo de la intuición.• Inferir y deducir.• Argumentación.• Interpretación de ideas y

procedimientos.

• Poner a prueba sus conocimientos.• Razonar y compartir ideas.• Flexibilidad para modificar puntos

e vista.• Interés por investigar.

• Dadas dos rectas que no se intersecan, y una tercera recta que corte a lasdos anteriores, determinar si éstas son paralelas o no. Construir definicionespara distintos tipos de ángulos, con base en sus atributos.

• Distinguir, identificar y comparar rectas, semirrecta y ángulos. Deducircuándo dos ángulos son opuestos y argumentar por qué, sin recurrir amediciones. Dadas dos rectas paralelas cortadas por una transversal;establecer las distintas relaciones entre esos ángulos; dar argumentos para

justifica r las relaciones de igualdad .

Relación de proporcionalidad directa,factor constante de proporcionalidad,directo e inverso.Proporcionalidad múltiple.

• E xpresar, representar, identificar yanalizar información.

• E lección adecuada de procedimientos.• rgumentación.• Desarrollo de la intuición y el

razonamiento.

• Compartir ideas.• Abordar un problema bajo distintas

ormas.• Apreciar la aplicación de las

matemáticas en problemas ysituaciones bajo distintos contextos.

• Identificar una relación de proporcionalidad directa, dar la expresiónalgebraica que la modela y encontrar el factor constante de proporcionalidad.Establecer que toda relación de la forma kx es equivalente a (1/k ,identificando ambas expresiones como relaciones de proporcionalidaddirecta, y reconociendo a 1/k como factor inverso. Resolver problemas deproporcionalidad directa, identificar el factor directo y el inverso; reconocer

bajo qué circunstancias interviene uno y en cuáles el otro; dar la expresiónalgebraica correspondiente y la gráfica, comparar y reconocer diferencias ysimilitudes. Resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

Relación de proporcionalidad directa,factor constante de proporcionalidad,directo e inverso.Proporcionalidad múltiple.

• E xpresar, representar, identificar yanalizar información.

• E lección adecuada de procedimientos.• Argumentación.• Desarrollo de la intuición y el

razonamiento.

• Compartir ideas.• Abordar un problema bajo distintas

ormas.• Apreciar la aplicación de las

matemáticas en problemas ysituaciones bajo distintos contextos.

Desarrollar el razonamiento combinatorio al resolver problemas de conteo,identificar regularidades y utilizar distintos recursos para organizar lainformación, enumerarla, averiguar el total de combinaciones posibles yenunciar fórmulas de recuento. Comprobar resultados, usando arreglosrectangulares, diagramas de árbol u otros métodos.

Polígono de frecuencia.Ubicación de puntos en el plano.

• O rganizar, representar e interpretar.• Manejo de técnicas, gráficas y tablas.

• Tomar decisiones y justificar las, conargumentos razonados.

Organizar información en tablas, elaborar polígonos de f recuencia con base enla tabla correspondiente; analizar e interpretar la información; distinguir lasventajas de tener la información organizada en tablas y tenerla organizada enpolígonos; sacar conclusiones a partir del análisis de la información.

PRIMERA EVALUACIÓN BIMESTRAL

Dosificación IX



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Guía docente

SEGUNDO BIMESTRE

Bloque temático 2 Propósitos: En este oque as a umnas y os a umnos:• Eva uarán, con o sin cacu a ora, expresiones numéricas y expresiones a ge raicas en as que se uti icen paréntesis. Reso verán pro emas que imp iquen operar o expresar

resultados mediante expresiones algebraicas. Anticiparán diferentes vistas de un cuerpo geométrico. Resolverán problemas en los que sean necesarios calcular cualquierade los términos de las fórmulas para obtener el volumen de prismas y pirámides rectos. Establecerán relaciones de variación entre dichos términos. Resolverán problemas

que implican comparar o igualar dos o más razones. Resolverán problemas que implican calcular e interpretar las medidas de tendencia central.


10


Lección 6:Operaciones con números

y letrasPáginas: 120 - 143

El estudiante jerarquiza las operaciones y los paréntesis en diferentes problemas.Resuelve problemas multiplicativos, usando expresiones algebraicas.

11

Tema:MedidaSubtema: Justificación de fórmulas

Tema:Formas geométricas

Subtema: Cuerpos geométricos

Lección 7:Prismas y pirámidesPáginas: 144 -163

El alumno reconoce las características de cubos, prismas y pirámides.Elabora desarrollos planos de prismas y pirámides.Distingue diferentes vistas de un cuerpo geométrico.

12

ema:MedidaSubtema: Justificación de fórmulas

Lección 8:Encuentra volúmenes deprismas y pirámidesPáginas: 164 - 179

Reconoce y utiliza fórmulas para calcular el volumen de prisas y pirámides rectos.Argumenta su utilización.

13

Tema:MedidaSubtema: Estimar, medir y calcular

Lección 8:Encuentra volúmenes deprismas y pirámidesPáginas: 164 - 179

Obtiene aproximaciones de volumen de prismas y pirámides a partir de datos relacionadoscon las fórmulas de volumen.Hace conversión de unidades de volumen.

14

ema:Análisis de la informaciónSubtema: Relaciones de proporcionalidad

Lección :Las razones de laproporcionalidadPáginas: 180 - 185

El estudiante comprende el significado de una razón, compara razones y dimensiona lassituaciones comparadas.

15

Tema:Representación de la informaciónSubtema: Medidas de tendencia central y de dispersión

Lección 10:Tendencia central ydispersión de datosPáginas: 186 - 193

El alumno analiza las medidas de tendencia central, las interpreta y las utiliza para obtenermás información de los datos dados.

16

Tema:Representación de la informaciónSubtema: Medidas de tendencia central y de dispersión

Lección 10:Tendencia central ydispersión de datos

Páginas: 186 - 193

Calcula las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados.

SEGUNDA EVALUACIÓN BIMESTRAL



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Dosificación


Monomio.Binomio.Polinomio.Área.

• Ma nejo y representació n numérica.• Deducir reglas.• Anti cipar y justifica r resultados.

• Descubrir y construir figuras , ideasrazonamientos. Creatividad.

• Familiarizarse con el uso de paréntesis en operaciones; establecer el ordencorrecto para efectuar los cálculos numéricos.

• Expresar algebraicamen te el área involucrad a(s) en distintos modeloseométricos.

• Dado el producto de dos monomios, el de un monomio con un binomio yel de dos binomios, representarlos con modelos geométricos.

Poliedro.Cubo.Prisma.Pirámide.Cara.Arista.

Vértice.

• D esarrollo de la imaginaciónespacial.

• Abordar un problema bajo distintas formas.• Investigar, conjeturar y poner a prueba.• Razonar y construir ideas.• Socializar y compartir.

• Dadas las características de un cuerpo geométrico, identificarl o y elaboraru desarrollo plano; y viceversa, dado un cuerpo geométrico, describir sus

características y su desarrollo plano.• Identificar número de caras, aristas y vértices de poliedros, así como

deducir la fórmula de Euler que relaciona dichos datos.

Volumen.Capacidad.Decímetro cúbico.

• Uso de fórmulas y manejoalgebraico de literales.

• Desarrollo de la intuición y laargumentación.


• Deducir y justificar la fórmula para el volumen de un cubo; a partir de ello,construir la fórmula para el volumen de un prisma. Comprobarde distintas formas que el volumen de una pirámide es la tercera parte delprisma con base y altura iguales a las de la pirámide.

Volumen.Capacidad.Decímetro cúbico.

• D educción y justificació n deresultados.

• Inferir propiedades, características y tendencias.


• Estimar y calcular el volumen de prismas y pirámides. A partir de ciertosdatos de un cuerpo geométrico, calcular los datos desconocidos,relacionándolos con la fórmula correspondiente de volumen. Identificar

y establecer relaciones entr e el volumen de dos prismas , así como elvolumen de un prisma y una pirámide, al variar la altura y dejar fija la base,

y al fijar un lado y variar los demás.• Distinguir volumen y capacidad, realzar conversiones.

Cociente.Razón.

Fracción.

• Uso y elección adecuada deprocedimientos expertos.

• Análisis de las cosas y los problemas. • Identificar una razón (fracción) como una relación entre doscantidades, comprender el significado de esa relación y establecer

comparaciones con otras razones que también representan relacionesentre dos datos. Manejar la noción de equivalencia en la comparación derazones. Interpretar y usar razones y razones equivalentes en la resolución

e problemas.

Moda.Media.Mediana.

• Manejo de la información. Análisise interpretación de datos.

• Comunicación y argumentación.• Investigación.

• Interés en información estadística sobreproblemas socioeconómicos.

• Toma de decisiones justificadas, conargumentos razonados.

• Reconocer, en gráficas y tablas, las medidas estadísticas ; interpretarlas,nalizarlas y sacar conclusiones. Estimar las medidas estadísticas en

conjuntos grandes de datos, agrupándolos por intervalos.

Intervalo de agrupamiento de datos. • Representar e interpretar datos.• Uso de procedimientos en solución

de problemas.

• Investigación.• Actitud positiva hacia la estadística y sus

aplicaciones.

• Aplicación de polígonos de frecuencia, medidas estadístic as, así comorazón entre dos cantidades y distintos problemas relacionados concomportamientos poblacionales.

SEGUNDA EVALUACIÓN BIMESTRAL

XI



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Guía docente

TERCER BIMESTRE

Bloque temático 3

Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos:• Construirán sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Resolverán problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax b =cx + d; donde

los coeficientes son números enteros o fraccionarios, positivos o negativos. Expresarán mediante una función lineal la relación de dependencia entre dos conjuntosde cantidades. Establecerán y justificarán la suma de los ángulos internos de cualquier polígono. Argumentarán las razones por las cuales una figura geométrica sirve

como modelo para recubrir un plano. Identificarán los efectos de los parámetros e a unc ón , en a grá ca que correspon e.


17

Tema:Significado y uso de las literalesSubtema: Patrones y fórmulas

Lección 11:Dos pasos adelante y unoatrásPáginas: 196 -205

El estudiante es capaz de crear sucesiones de números con signo a partir del algoritmo.Asimismo, obtiene la fórmula a partir de los términos de una sucesión.

18

Tema:Significado y uso de las literalesSubtema: cuaciones

Lección 12:Cuando las letras secomportan como númeroságinas: 206 - 217

Resuelve y plantea problemas que requieran de ecuaciones de la formaax + bx + x + x + f .

19

Tema:

Significado y uso de las literalesSubtema: Ecuaciones

Lección 12:

Cuando las letras secomportan como númeroságinas: 20 - 217

Resuelve y plantea problemas que requieran de ecuaciones de la forma

ax + bx + x + x + f .

20

Tema:Significado y uso de las literalesSubtema: Relación funcional

Lección 13:La realidad a través demodelos linealesPáginas: 218 - 231

El alumno resuelve y plantea problemas de áreas como biología, economía y física, entreotras problemas relacionados con ecuaciones lineales de la forma + b . Discute laconveniencia de aplicar modelos lineales a situaciones reales.

21

Tema:Significado y uso de las literalesSubtema: Relación funcional

Lección 13:La realidad a través demodelos linealesPáginas: 218 - 231

El estudiante resuelve y plantea problemas de áreas como biología, economía y física, entreotras problemas relacionados con ecuaciones lineales de la forma y x + b . Discute laconveniencia de aplicar modelos lineales a situaciones reales.

22

Tema:Representación de la informaciónSubtema: Gráficas

Lección 14:Funciones lineales y susgráficasPáginas: 232 - 257

Utiliza gráficas con relaciones lineales ligadas a diversos fenómenos para resolver y plantearproblemas. Aplica conceptos aprendidos en el bloque a situaciones de la vida cotidiana.

23

ema:Representación de la informaciónSubtema: Gráficas

Lección 14:Funciones lineales y susgráficasPáginas: 232 - 257

Predice el comportamiento de gráficas lineales de la forma + b al cambiar el valor deb cuando m es constante, así como cuando se hace variar m y b permanece constante.

24

Tema:Formas geométricasSubtema: Justificación de fórmulasSubtema: Figuras planas

Lección 15:Mosaicos y recubrimientosPáginas: 258 - 267

El estudiante obtiene la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.Explica y argumenta el porqué una figura geométrica puede recubrir el plano.

TERCERA EVALUACIÓN BIMESTRAL

II



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Dosificación


Sucesión. Intuición.Identificar propiedades,características y tendencias.Sentido numérico.

Investigar, conjeturar y poner aprueba.Descubrir y construir.

• Abordar problemas que involucran sucesiones de números con signo, buscandoregularidades, formulándolas, deduciendo una regla general, comprobarla ydesarrollar argumentos que la justifiquen.

• Dada una regla general, construir la sucesión correspond iente y, viceversa, dadauna sucesión, deducir la regla general.

Eliminación de paréntesis, agrupación yreducción de términos semejantes.

Anticipar resultados.Uso de procedimientos expertos.

Apreciar el uso de ecuaciones comomodelos en la solución de situacionesproblemáticas.

• Consolidar técnicas en la solución de ecuaciones de primer grado con unaincógnita, ensayando las propiedades de la igualdad y usando transposición detérminos; eliminando paréntesis y reduciendo términos.

Eliminación de paréntesis, agrupación y

reducción de términos semejantes.

Anticipar resultados.

Uso de procedimientos expertos.

Apreciar el uso de ecuaciones como

modelos en la solución de situacionesproblemáticas.

• Consolidar técnicas en la solución de ecuaciones de primer grado con una

incógnita, ensayando las propiedades de la igualdad y usando transposición detérminos; eliminando paréntesis y reduciendo términos.

Relación funcional lineal. Su expresiónalgebraica, tabla y gráfica.

Manejo y uso de las literales.Interpretación y análisis de gráficas,tablas y expresiones algebraicas.

Reconocer la presencia de lasmatemáticas en situaciones endiversos contextos.Razonar y construir ideas.

• Planteado un problema: distinguir si involucra una relación de dependencialineal o no. Si involucra una relación lineal, identificar las variables dependientee independiente, establecer cómo el cambio de una implica el cambio de laotra; representar la relación mediante una expresión algebraica; deducir que encualquier relación lineal la expresión algebraica es de la forma y x + b.


Manejo y uso de las literales.Interpretación y análisis de gráficas,tablas y expresiones algebraicas.

Reconocer la presencia de lasmatemáticas en situaciones endiversos contextos.Razonar y construir ideas.

• Planteado un problema: distinguir si involucra una relación de dependencialineal o no. Si involucra una relación lineal, identificar las variables dependientee independiente, establecer cómo el cambio de una implica el cambio de laotra; representar la relación mediante una expresión algebraica; deducir que encualquier relación lineal la expresión algebraica es de la forma y x + b.


Uso de procedimientos expertos enla resolución de problemas.Interpretación de ideas yprocedimientos.Argumentación.

Confianza en la capacidad deaprender.Autonomía para enfrentar situaciones y problemas.

• Ubicar o determinar intervalos de variación; representar la relación mediantetablas y gráficas; comparar distintas gráficas, manteniendo m constante yvariando b deducir que se trata de rectas paralelas que pasan por (0, ;comparar distintas gráficas para mx variando m y deducir que son recta sque pasan por el origen; comparar distintas gráficas, manteniendo constante

y variando m ; deducir que son rectas que pasan por (0, ).• Interpretar gráficas asociadas a distintos fenómenos que involucran relaciones

lineales, extraer conclusiones.


Uso de procedimientos expertos enla resolución de problemas.Interpretación de ideas yprocedimientos.Argumentación.

Confianza en la capacidad deaprender.Autonomía para enfrentar situaciones y problemas.

• Ubicar o determinar intervalos de variación; representar la relación mediantetablas y gráficas; comparar distintas gráficas, manteniendo m constante yvariando b deducir que se trata de rectas paralelas que pasan por (0, ;comparar distintas gráficas para y mx variando m y deducir que son recta sque pasan por el origen; comparar distintas gráficas, manteniendo constante

y variando ; deducir que son rectas qu e pasan por (0, ).• Interpretar gráficas asociadas a distintos fenómenos que involucran relaciones

lineales, extraer conclusiones.

Suma de ángulos interiores de unpolígono.Recubrimiento de superficies planas,repitiendo una pieza o un mosaico.

Identificar propiedades,características y tendencias.Desarrollo de la intuición.Interpretación de ideas yprocedimientos.Creatividad.

Investigar, conjeturar y poner aprueba.Descubrir y construir.

• Mediante construcciones basadas en uniones de triángulos, deducir el valorde la suma de los ángulos interiores de los cuadriláteros y los pentágonosconstruidos. Comprobar la deducción con distintos procedimientos. En eltrazado de polígonos, encontrar la relación que hay entre el número de lados delpolígono y el número de triángulos en que se subdivide al trazar diagonalesdesde un vértice; deducir la fórmula para calcular suma de los ángulosinteriores de cualquier polígono.

• Mediante construcciones , deducir la condición necesaria para que, al repetirun mismo polígono regular, se pueda recubrir un piso, sin dejar huecos y sintraslapes. Concluir cuáles son los polígonos regulares que cubren una superficieplana sin dejar huecos y sin traslapes. Mediante construcciones, deducir conqué polígonos es posible formar mosaicos que, al repetir, cubran una superficieplana sin dejar huecos y sin traslaparse.

TERCERA EVALUACIÓN BIMESTRAL

XIII



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Guía docente

CUARTO BIMESTRE

Bloque temático 4 Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos:• Conocerán procedimientos para trabajar con las leyes de los exponentes y de la notación científica; además resolverán problemas relacionados con estos contenidos. Abordarán

algunos problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos. Analizarán in ormación registrada por dos omás grá icas de unciones lineales para interpretar y relacionar di erentes características de un enómeno o situación problemática. Resolverán problemas que impliquen el cálculo de

la probabilidad de dos eventos independientes. Relacionarán adecuadamente el desarrollo de un fenómeno con su representación gráfica formada por segmentos de recta.


25

Tema:Significado y uso de las operacionesSubtema: Potenciación y radicación

Lección 16:La potencia de los númerosPáginas: 270 - 285

El estudiante puede hacer uso de diferentes métodos para calcular productos, cocientes depotencias enteras, potencias de potencias y justifica tales métodos.

26

Tema:Significado y uso de las operacionesSubtema: Potenciación y radicación

Lección 16:La potencia de los númerosPáginas: 270 - 285

Resuelve operaciones de potencias, usando incluso exponentes negativos.Trabaja con notación científica, represent ando números muy pequeños y muy grand es.

27

ema:Formas geométricasSubtema: Figuras planas

Lección 7:Triángulos en todas partesPáginas: 286 - 301

Determina cuáles triángulos son o no congruentes basándose en los diferentes criterios decongruencia.

28

Tema:Formas geométricasSubtema: Rectas y ángulos

Lección 17:Triángulos en todas partesPáginas: 286 - 301

El alumno traza o reconoce las alturas, bisectrices y mediatrices de un triángulo y resuelveproblemas, haciendo uso de sus propiedades.

29

Tema:Análisis de la informaciónSubtema: Noción de probabilidad

Lección 1 :Independencia de eventosPáginas: 302 - 313

El estudiante obtiene la probabilidad de uno o más eventos en diferentes situaciones. Sabediferenciar entre eventos independientes y aquellos que no lo son.

30


Lección 18:Independencia de eventosPáginas: 302 - 313

El alumno obtiene la probabilidad de uno o más eventos en diferentes situaciones. Sabediferenciar entre eventos independientes y aquellos que no lo son.

31


Lección 19:Poligonales e informaciónPáginas: 314 - 321

Analiza y obtiene información de gráficas.Se apoya en la información que le proporcionan las gráficas para tomar decisiones.

32


Lección 20:Gráficas segmentadaságinas: - 7

El estudiante construye gráficas para representar situaciones relacionadas con elmovimiento y las interpreta.

CUARTA EVALUACIÓN BIMESTRAL

IV



P R O H I B I D A

S U V

E N T A

Dosificación


Base y exponente de un número elevado auna potencia.Notación científica.

• Ubicar patrones.• U so de procedimientos recursivos.• Sentido numérico.• Argumentar.

• Razonar y compartir ideas.• Apreciar el uso de las matemáticas en

istintas ciencias.

• Elaborar y usar distintos procedimientos para calcular el producto y elcociente de potencias (enteras, positivas y negativas) de la misma base(natural y decimal); deducir reglas generales y aplicarlo a potencias deexpresiones algebraicas. Aplicarlo a cantidades muy grandes y muypequeñas.

• Resolver problemas usando las reglas para calcular productos y cocientes depotencias; la notación científica.

Base y exponente de un número elevado auna potencia.Notación científica.

• Ubicar patrones.• U so de procedimientos recursivos.• Sentido numérico.• Argumentar.

• Razonar y compartir ideas.• Apreciar el uso de las matemáticas en

istintas ciencias.

• Elaborar y usar distintos procedimientos para calcular el producto y elcociente de potencias (enteras, positivas y negativas) de la misma base(natural y decimal); deducir reglas generales y aplicarlo a potencias deexpresiones algebraicas. Aplicarlo a cantidades muy grandes y muypequeñas.

• Resolver problemas usando las reglas para calcular productos y cocientes depotencias; la notación científica.

Altura, mediana, mediatriz y bisectriz deun triángulo.Gravicentro.Concurrencia de tres rectas. Circuncentro,incentro y ortocentro.Circulo inscrito y circunscrito a untriángulo.

• Intuición.• Argumentación.• Inferencia.• Manejo de la información.• Deter minación de procedimientos .

• Razonar y construir ideas.• Flexibilidad para modificar puntos

e vista.• Autonomía para enfrentar situaciones

y problemas.• Uso de conocimientos para formular o

rechazar ideas.

• A partir de construcciones, ubicar el gravicentro de un triángulo; deducir larelación entre la distancia de cada vértice del triángulo al gravicentro yla distancia del vértice correspondiente al punto medio del lado opuesto.

• Construir el circuncentro de triángulos; deducir la relación que hay entrela distancia de un vértice al circuncentro y la distancia de otro vértice alcircuncentro.

Altura, mediana, mediatriz y bisectriz deun triángulo.Gravicentro.Concurrencia de tres rectas. Circuncentro,incentro y ortocentro.Circulo inscrito y circunscrito a untriángulo.

• Intuición.• Argumentación.• Inferencia.• Manejo de la información.• Deter minación de procedimientos .

• Razonar y construir ideas.• Flexibilidad para modificar puntos

e vista.• Autonomía para enfrentar situaciones

y problemas.• Uso de conocimientos para formular o

rechazar ideas.

• Construir el incentro de un triángulo y deducir cómo es la distancia de cadavértice al incentro. Construcción del ortocentro de distintos triángulos,deducir el comportamiento de las alturas.

• Resolver problemas de construcción de figuras geométrica s que involucrantriángulos, usando las propiedades de las rectas notables de un triángulo yestablecer relaciones entre los lados de las figuras construidas.

Espacio muestral.Frecuencia relativa.Probabilidad de un evento.Eventos independientes, probabilidad deque ocurran dos de ellos simultáneamente.

• Análisis y organización de información.• Inferir y predecir.

• Socializar y divertirse sanamente.• Interés por investigar.• Toma razonada de decisiones.• Actitud positiva hacia la probabilidad

y sus aplicaciones.

• Ante distintos experimentos aleatorios, anticipar y determinar el númerode resultados posibles; analizar y decidir si todos los resultados delexperimento tienen la misma posibilidad de ocurrir; anticipar y determinarel número de casos favorables a que ocurra un evento.

• Determinar la probabilidad de que ocurra un evento.

Espacio muestral.Frecuencia relativa.Probabilidad de un evento.Eventos independientes, probabilidad deque ocurran dos de ellos simultáneamente.

• Análisis y organización de información.• Inferir y predecir.

• Socializar y divertirse sanamente.• Interés por investigar.• Toma razonada de decisiones.• Actitud positiva hacia la probabilidad

y sus aplicaciones.

• Elaborar procedimientos sistemáticos (tablas, diagramas , gráficas) pararealizar conteos y comprobar resultados. Distinguir cuando dos eventosson independientes y cuando no lo son; argumentar por qué. Elaborarprocedimientos sistemáticos para decidir la probabilidad de que ocurrandos eventos simultáneamente.

• Cuando los eventos son independientes, deducir la relación que hay entre laprobabilidad de que ambos ocurran simultáneamente y las probabilidadesde que cada uno de ellos ocurra por separado.

Funciones.Gráficas.Histográmas.Tablas de datos.

• Manejo de técnicas, diagramas y tablas. • Apreciar el uso de técnicas yherramientas matemáticas en la toma

e decisiones.

• Elaborar, analizar e interpretar dos gráficas que modelen una mismasituación, con distintas características, así como compararlas y sacarconclusiones para la toma de decisiones.

Funciones.Gráficas.

istogr mas.Tablas de datos.

• O rganizar, representar e interpretar.• Manejo y uso de literales y de técnicas.

• Confianza en la capacidad deaprender.

• Apreciar la importancia de usarsus conocimientos al cuestionar yresponder situaciones.

• Distinguir fenómenos y situaciones que se pueden modelar mediante graficasformadas por segmentos de rectas; organizar los datos, elaborar la gráfica

y sacar conclusiones sobr e el desarrollo del fenóme no o la situación quemodele; y viceversa, dada la gráfica, analizar los datos, interpretarla yextraer conclusiones.

CUARTA EVALUACIÓN BIMESTRAL

XV



P R O H I B I D A

S U V

E N T A

Guía docente

QUINTO BIMESTRE

Bloque temático 5 Propósitos: En este oque as a umnas y os a umnos:• Resolverán problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Reconocerán algunas trans ormaciones (traslación, rotación o

simetría) que se puedan aplicar a una figura. Realizarán simetrías axiales y centrales y caracterizarán sus efectos sobre las figuras. Abordarán problemas que implicancalcular la probabilidad de dos eventos que son mutuamente excluyentes.


33

Tema:Significado y uso de las literalesSubtema: Ecuaciones

Lección 21:Ecuaciones con dosincógnitasPáginas: 330 - 339

El estudiante es capaz de obtener los valores de las incógnitas de un problema utilizando,para ello, ecuaciones con literales.

34

ema:Representación de la informaciónSubtema: Gráficas

Lección 22:Gráficas y sistemas deecuacionesPáginas: 340 - 349

Define la solución de un sistema de ecuaciones lineales a partir de la interpretación degráficas.

35

Tema:TransformacionesSubtema: Movimientos en el plano

Lección 23:Transformaciones y figuraságinas: 350 - 363

El alumno identifica ejes de simetría, centros de rotación y traslación; además, construye odiseña figuras simétricas a partir de las propiedades de simetría.

36

Tema:TransformacionesSubtema: Movimientos en el plano

Lección 24:Teselaciones y movimientosen el planoPáginas: 364 - 373

El estudiante identifica ejes de simetría, centros de rotación y traslación; además, construyeo diseña figuras simétricas a partir de las propiedades de simetría.

37


Lección 25:Probabilidad de eventosexcluyentesPáginas: 374 - 379

El alumno determina la probabilidad de uno o más eventos; además, hace diferencia entreeventos mutuamente excluyentes y los que no lo son.

38


Lección 25:Probabilidad de eventosexcluyentesPáginas: 374 - 379

Determina la probabilidad de uno o más eventos; además, hace diferencia entre eventosmutuamente excluyentes y los que no lo son.

QUINTA EVALUACIÓN BIMESTRAL

VI



P R O H I B I D A

S U V

E N T A

Dosificación


Sistema de dos ecuaciones de primergrado, con dos incógnitas.

Uso de literales y lenguaje algebraico.Determinación y uso de procedimientosinformales y formales.

• Ponerse a prueba ante variadosproblemas.


• Autonomía para enfrentar situaciones y problemas.

• Dar las expresiones algebraicas para modelar problemas que llevan alplanteamiento de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dosincógnitas.

• Resolver un problema y el sistema de ecuaciones mediante procedimientosinformales. Resolver usando procedimientos formales: método desustitución y método de igualación.

Sistema de dos ecuaciones de primergrado, con dos incógnitas.

Uso de literales y lenguaje algebraico.Determinación y uso de procedimientosinformales y formales.

• Ponerse a prueba ante variadosproblemas.


• Autonomía para enfrentar situaciones y problemas.

• Modelar gráficamente problemas que llevan al planteamiento de un sistemade dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas; ubicar los puntosde intersección; determinar y argumentar por qué son puntos “solución” delsistema planteado, así como determinar y argumentar por qué, cuando lasrectas son paralelas, no hay solución al sistema planteado.

• Ante distintos problemas, determinar el procedimiento que se consideremás adecuado.

Traslación.Reflexión.Rotación.Simetría.

Anticipar resultados.Intuición, deducción y análisis depropiedades.Argumentación.Comunicación.Creatividad.

• Razonar y construir ideas.• Socializar y compartir.• Flexibilidad para modificar puntos

e vista.• Reconocer la importancia de usar

sus conocimientos para formular orechazar ideas.

• A partir de construcciones, deducir lo que es una traslación, una reflexión y una rotación; deducir y explicar las pro piedades de polígo nos que sufrendichas transformaciones.

• Realizar reflexiones sucesivas en dos rectas paralelas; identificar estemovimiento con una traslación. Realizar dos traslaciones sucesivas en dosrectas que se intersecan; identificar este movimiento con una rotación,si las rectas no son perpendiculares; y con una reflexión, si las rectas sonperpendiculares.

Traslación.Reflexión.Rotación.Simetría.

Anticipar resultados.Intuición, deducción y análisis depropiedades.Argumentación.Comunicación.Creatividad.

• Razonar y construir ideas.• Socializar y compartir.• Flexibilidad para modificar puntos

e vista.• Reconocer la importancia de usar

sus conocimientos para formular orechazar ideas.

• Reconocer ejes de simetría de distintos polígonos y figuras geométri cas;identificar la simetría como movimiento que deja igual una figura.

• Reconocer y construir diseños combinando los distintos movimientos.

Eventos mutuamente excluyentes.Eventos independientes.

Usar conocimientos previos en lasolución de problemas.Argumentación.Comunicación.

• Actitud positiva hacia la investigación,l trabajo en equipo y la colaboración.

• Actitud positiva hacia la probabilidad y sus aplicaciones.

• Planteado un experimento, identificar los eventos que no pueden ocurrirsimultáneamente; argumentar por qué. Averiguar, mediante procedimientosinformales, la probabilidad de que ocurra un evento A o un evento B; o bien,los dos simultáneamente.

• Usar procedimientos sistemáticos (tablas, graficas, diagramas) para calcularla probabilidad del evento A o el B; deducir la regla de la suma para eventosA y B mutuamente excluyentes; comparar con la probabilidad de queocurran los eventos C y D, simultáneamente, cuando dichos eventos sonindependientes, así como describir las diferencias.

Eventos mutuamente excluyentes.Eventos independientes.

Usar conocimientos previos en lasolución de problemas.Argumentación.Comunicación.

• Actitud positiva hacia la investigación,l trabajo en equipo y la colaboración.

• Actitud positiva hacia la probabilidad y sus aplicaciones.

• Planteado un experimento, identificar los eventos que no pueden ocurrirsimultáneamente; argumentar por qué. Averiguar, mediante procedimientosinformales, la probabilidad de que ocurra un evento A o un evento B; o bien,los dos simultáneamente.

• Usar procedimientos sistemáticos (tablas, graficas, diagramas) para calcularla probabilidad del evento A o el B; deducir la regla de la suma para eventosA y B mutuamente excluyentes; comparar con la probabilidad de queocurran los eventos C y D, simultáneamente, cuando dichos eventos son

independientes, así como describir las diferencias.

QUINTA EVALUACIÓN BIMESTRAL

XVII



P R O H I B I D A

S U V

E N T A

Guía docente

EVALUACIÓN PRIMER BIMESTRE (A)

om re:Fec a: rupo: a ificación:

Número de puntos totales por cubrir: 100

1. En la siguiente figura se señalan con números las rectas y con letrasalgunos ángulos. Observa la figura y responde: (12 puntos)

a) ¿Cuá es de os ángu os seña ados miden 180 grados?) ¿Cuá es mi en 90 gra os?

c) ¿Cuáles miden más de 0 y menos de 90 grados?d) ¿Cuá es miden más de 90 y menos de 180 grados?e) ¿Qué rectas se intersecan y son perpendicu ares?

2. En la siguiente figura, las rectas 1 y 2 son paralelas. Analiza y responde: (12 puntos)

a) ¿Cuánto mide el ángulo a , ¿por qu ?

) ¿Cuánto mi e e ángu o , ¿por qu

c) ¿Cuá es e resu tado de sumar os ángu os con g , ¿por qué?

) ¿Cuál es el resultado de sumar los ángulos n h?, ¿por qu ?

3. En una tienda se venden cajas de galletas con a galletas cada una. Juan compró un número x de cajas y Pilar

compró una tercera parte de las cajas que compró Juan. Escribe una expresión algebraica para indicar el total

de galletas que tienen Juan y Pilar juntos. (10 puntos)

4. Debajo de cada una de las siguientes figuras, escribe una expresión algebraica que represente su área, un

ejemplo se muestra en la figura a). (16 puntos)

figura a) figura ) figura c)

+ 1 + 2

a) ¿Son equivalentes las expresiones algebraicas para las tres figuras?, ¿por qué?

) La expresión x + x + 2, ¿es equiva ente a as anteriores?, ¿por qué?

c) ¿Son equiva entes as expresiones 3 x + x – ax + x – 5 y 12 x + 7 + 6ax – x – ax – 12?, ¿por qué?

8

7

6

5

3h

a b d ec 9

1

30°70°

1

2

+ 1

+ 2

+ +

+ +

+

+ +

f

VIII



P R O H I B I D A

S U V

E N T A

Evaluación primer bimestre A

5. Reproduce la figura de la siguiente ilustración, ampliando la longitud de cada lado al doble. Llama reproduc-

ción 1 a tu nueva figura. Supón que el lado de cada cuadrito de la cuadrícula mide ½ cm. (30 puntos)

Lado original reproducción 1 reproducción 2 reproducción 3

longitud a

longitud b

ongitud c

ongitud

longitud e

Supón que después se hace una reproducción 2, amp iando a ongitud de cada ado origina a 4/3. En a reproduc-

c ón 3, se amplía cada lado de la eproducción 2, al triple. Llena las tablas.

reproducción 1 reproducción 2

Expresión algebraica que relaciona la longitud de los lados de lafigura original con la longitud de los lados de la reproducción

¿Es una relación de proporcionalidad directa?

El factor de proporcionalidad directa es

El factor inverso de proporcionalidad es

Para re ucir a reproducción a tamaño de a igura origina ,

debo multiplicar la longitud de cada lado por

6. Una estación de radio transmite tres noticieros al día, cada uno es conducido por un solo locutor. (20 puntos)

a) ¿Cuáles son todas las combinaciones posibles en las que se pueden asignar los noticieros a dos locutores?b) L amemos N , y a os noticieros y L y a

os ocutores; az un iagrama y una ta a, paraque compruebes tu respuesta.

iagrama:

c) Si en ugar de tres noticieros fueran cuatro y hubiera tres ocutores en a estación, ¿de cuántas formas dis-

tintas podemos or anizar os noticieros? . Y, ¿si fueran tres noticieros y hubiera cuatro ocutores?

. Y, ¿si ueran noticieros y ocutores?

XIX



P R O H I B I D A

S U V

E N T A

Guía docente

EVALUACIÓN PRIMER BIMESTRE (B)

Nom re:Fec a: rupo: a ificación:


1. Observa la figura y responde: (10 puntos)

a) ¿Cuánto mi e e ángu o , ¿por qu ?

) ¿Cuánto mide e ángu o ?, ¿por qu ?

c) ¿Cuánto mide e ángu o , ¿por qu ?

) ¿Cuánto mi e e ángu o , ¿por qu ?

e) ¿Cuánto mide e ángu o , ¿por qu

2. Dibuja lo que se te pide a continuación. (15 puntos)

a) Un rectángulo cuya área sea a + c .In ica en tu i ujo os a os e rectángu o.) E rectángu o a), e forma que pue as expresar su área como a suma e as

áreas de dos rectángulos.Indica en tu dibujo os ados de os dos rectángu os y escribe una expresióna ge raica que represente a suma e as áreas.

¿Son equivalentes las expresiones algebraicas de los dos incisos?, ¿por qué?

3. Una secretaria lleva una caja chica para gastos menores. Para llevar bien las cuentas, ella registra sus movi-

mientos, por día, en la siguiente tabla. Completa la tabla escribiendo las expresiones algebraicas correspon-

dientes y simplifícalas. (20 puntos)

Movimiento por día Entra Sale Movimiento del día (entra)–(sale)Saldo (saldo anterior) +

(movimiento del día)

1. Hay cierta cantidad x encaja. Entran $50 y salen $100.

50 100( x + 50) – (100)= + –= ( – )

( )

2. Entra e trip e de . Sa e edob e de .

– = +

3. Entran 200 pesos más .Sale el saldo del día anterior.

( – )= ( ) + ( )=

. Entra x. Sale el doble de x

más 220 pesos.2 x + 220

( ) – (2 + 220)

=

( ) + ( )

=

5. Entran 100 pesos. Saleel triple del saldo del díaanterior.

3( )=

( – )=

( ) + ( )=

55°

115°a

ec

X



P R O H I B I D A

S U V

E N T A

Evaluación primer bimestre B

4. En la siguiente tabla, aparecen los ingredientes necesarios para hacer un flan para seis personas. Completa la tabla si

quisiéramos los ingredientes necesarios para hacer el flan para una y para ocho personas respectivamente. (25 puntos)

a Si x representa la cantidad que se necesita de cada ingredientepara seis personas, y representa a canti a necesaria para una per-

sona, escri e una expresión a ge raica que represente a re aciónque hay entre estas cantidades:) Escribe una expresión a gebraica que represente a re ación que

ay entre a canti a e ingre iente para seis personas y a canti-dad de ingrediente para ocho personas:

c) ¿Son re aciones de proporciona idad directa?d) ¿Cuá es a constante de proporciona idad en e inciso a)?

e) ¿Cuá es su factor e proporciona i a inverso?f) ¿Cuá es a constante de proporciona idad en e inciso b)?

) ¿Cuá es su factor e proporciona i a inverso?) Si e ponemos vaini a a f an, 12 cuc ara as para 8 personas, ¿qué canti a ay que poner e e vaini a para 6 personas?

5. Un candado tiene 2 rodillos. El primer rodillo tiene 5 letras: A, B, C, D y E. El segundo rodillo tiene 4 nú-

meros: 1, 2, 3 y 4. (15 puntos)

a) ¿Cuá es e número de todas as combinaciones posib es en-re los dos rodillos? labora un diagrama y una

a a para que comprue es tu respuesta.) Si e primer rodi o tuviera 3 etras, y e segundo 5 números,¿cuál sería el número combinaciones?

c) Si e primer ro i o tuviera etras y e segun o números,¿cuá sería e número e com inaciones?

6. En el año 2004, la SEP realizó una encuesta a maestros de secundaria. El polígono de frecuencia que aparece

a un lado, resume las respuestas que dieron los maestros, al preguntarles su edad (rango de edades en años y

número de maestros que está en ese rango). Responde: (15 puntos)

a) ¿En qué rango de edades se encontraba, en aque año,el mayor número de maestros? De a os.

) ¿Era ésta a e a me iana e os maestros?c) Estima a mediana entre e número de profesores:

Márcalo en el polígono de frecuencia.) ¿Entre qué rangos e e a es se encontra a ese número

e profesores? De a años y e a años.e) Estima el número de maestros más jóvenes en aquel año:

Estima e número de maestros con mayor edad:

Ingredientes 6p 1p 8p

Leche evaporada (tazas)

Leche condensada (tazas)

Huevos (unidades)

Queso (gramos) 150

Azúcar (cucharadas) 5

1

80 000

60 000

40 000

20 000

025 o de 26 a de 36 a de 46 a mayores

menos 35 45 55 de 55

XXI



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E N T A

Guía docente

EVALUACIÓN SEGUNDO BIMESTRE (A)



1. Con base en la siguiente figura escribe dentro del paréntesis la letra correspondiente a la expresión algebraicaque represente al enunciado, y escribe el resultado final para cada operación. (15 puntos)

( ) rea de + a)

rea de + + C – D b)

Doble de área de C + c

El perímetro de lad

figura comp eta.

El triple del área de A m s e

e o e e área e

2. Escribe las expresiones algebraicas necesarias para hallar x. (20 puntos)

a) E área e trapecio es:b) Si a un número le sumas 7 y al resultado lo divides

entre 3 da 3. ¿Cuá es ese número?

3. A partir de las siguientes figuras, responde lo que se te pide: (20 puntos)

a) Los cubos de la izquierda están hechos a escala. ¿Cuántos cu-os azu es ca en en e cu o ver e, si ca a a o e cu o azu

equiva e a 10 ?, ¿cuánto mi e ca a a o e cu o ver e?

) De os siguientes prismas hechos de queso sin hoyos, ¿cuá tiene mayor vo umen? Ayuda a ratón a decidir antes

de que egue e gato.

)

ii)

A

x x

5 + (2 ¥ 6) + 2 + 29 =

¥ 5 + 2 ¥ 5 =

(5 ¥ 6) - = 5 ¥ 3 + 6 ¥ 5

2

3 ¥ + 2 ¥ =

XII



P R O H I B I D A

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E N T A

Evaluación segundo bimestre A

4. Con base en los siguientes poliedros, completa la tabla. (10 puntos)

Figura 1 Figura

5. Analiza los datos de la siguiente gráfica que muestra la rapidez de un móvil y responde: (20 puntos)

a) ¿Cuántos datos se representan en a gráfica?

) Con base en a gráfica, ¿podemos saberla rapidez exacta del móvil en un tiem-po determinado?, ¿por qué?

c) Calcula la rapidez media en el inter-valo de tiempo que va del minuto 2 alminuto .

) ¿Entre qué canti a es está a rapi ezme iana?

6. La siguiente tabla muestra el número de saltos realizados por cinco tarántulas y la distancia total recorrida

verticalmente. (15 puntos)

Tarántulas

1 2 3 4 5

Núm. de sa tos 1

istanciarecorridavertica mente

50 cm 5 cm 4 cm 0 cm 45 cm

a) ¿Cómo se calcula la longitud vertical de cada salto?

) ¿Qué tarántu a sa tó más a to?, ¿hay a gún empate?

c) ¿Qué tarántula saltó menos alto?

d) ¿De qué tamaño fueron los saltos de la 2ª tarántula?

Número de caras Número de aristas Número de vértices

FiguraFigura 2

Rapidezm/s)

440

2

11

2 3 4 5 6 7 8 iempomin

XXIII



P R O H I B I D A

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E N T A

Guía docente

EVALUACIÓN SEGUNDO BIMESTRE (B)



1. Resuelve el matematigrama, escribiendo el resultado de cada operación en las casillas correspondientes: (20 puntos)

A A ϫ 4 + (2 ϫ ) 6) 7ϫ (8 – )

+ ÷ ϫ 9 – 7ϫ – 7 ϫ (5 – 3)

4) (18 ÷ 3)ϫ 10 + 3 ÷ 3

2. Observa el rectángulo y haz lo que se pide: (15 puntos)

a) Expresa e área e os rectángu os A, untos:) Expresa e área e rectángu o A:

c) Expresa el área del rectángulo :d) Expresa e área de rectángu oe) Si a = y = 9, sustituye sus va ores en as expresiones anteriores y ca cu a as áreas:

Sustitución: Cá cu o de área:i) =

ii) =

iii) =iv) =

3. Analiza los desarrollos planos y responde: (20 puntos)

¿Cuá es son esarro os p anos e un cu o?

¿Cuáles son desarrollos planos de un tetraedro?

¿Alguno de los desarrollos no corresponde ni al cubo ni al tetraedro? tu respuesta es a rma-

iva, di cuál o cuáles:

–

+

XIV



P R O H I B I D A

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E N T A

Evaluación segundo bimestre B

4. En la figura aparece una pecera y una pirámide que tienen la misma base y la misma altura. El volumen de

la pirámide es de 30 cm3. Haz lo que se pide a continuación: (25 puntos)

a) Calcula el volumen de la pecera:

) ¿Cuá es e va or de a a tura? =c) Si variamos a a tura e a pecera y ejamos fija, en , a a tura e a pirámi e, cómo varía a razón entre e vo-

umen de la pirámide (que permanecerá constante en 30 cm ) y el volumen de la pecera (que variará conformevaríe su a tura). Para saber o, comp eta a siguiente tab a.

Altura de la pecera a a a na (1/

Volumen de la pecera

Razón

(Vol. pirámide) ÷ (Vol. pecera)

d) ¿Qué cantidad de agua le cabe a la pecera, si la llenamos completamente? Da la respuesta en decímetroscúbicos, en itros y en mi i itros. (Recuerda cuá es a capacidad –en itros– de un recipiente de un decímetrocú ico. Recuer a tam ién que en un ecímetro cú ico ca en mi centímetros cú icos).

anti a e agua en ecímetros cú icos:

anti a e agua en itros:

Cantidad de agua en mi i itros:

5. En un taller, el dueño gana $20 000 mensuales, el encargado $10 000, la secretaria $6 000, el jefe de los tra-

bajadores gana $8 000, dos técnicos ganan cada uno $6 000, una empleada gana $3 000, y los 18 trabajadores

ganan $ 4 500 mensuales cada uno. (20 puntos)

a) ¿Cuántas personas tra ajan en e ta er?) ¿Cuá es e sa ario que más personas ganan en e ta er?

c) ¿Cómo se llama esta medida?d) ¿Cuá es a mediana sa aria ?e) ¿Cuá es e sa ario prome io?

) ¿Cuántas personas ganan un salario que se aproxime al salario promedio?g) ¿Consideras que este dato muestra cuánto gana cada trabajador?, ¿por qué?h) ¿Qué harías para obtener un promedio que se aproxime más a o que gana cada trabajador?i) ¿Cuál es la proporción entre el salario del dueño y el salario de un trabajador?

sa ario dueñosalario trabajador

j) Encuentra el valor de x, a partir de las razones equivalentes: 0 = salario dueñosa ario trabajador

x =

Entonces, por cada 100 pesos que gana el dueño, un trabajador gana .

a

cm cm

XXV



P R O H I B I D A

S U V

E N T A

Guía docente

EVALUACIÓN TERCER BIMESTRE (A)



1. Escribe los términos de las siguientes sucesiones: (10 puntos)

a) Un a bañi cubre una pared con mosaicos. Cada vez que unta pegamento, co oca cuatro mosaicos, de modo quee número e mosaicos co oca os es 4 . Escri e os primeros 10 términos e esta sucesión.

b) Escribe los términos 15, 20 y 30 de la siguiente sucesión 3n – 1:

c Marca con una ✗ aque os términos que no pertenezcan a a sucesión 9 – 3( + 1 .

–1 , 1 , – , – , – , –1, , , , 1 , 1

2. Escribe la regla para obtener el número que ocupa el lugar n en cada una de las siguientes sucesiones. (15 puntos)

a)

c) –4, –6, –8, –10, –12, –14

3. Encuentra el valor de x tal que el perímetro de los dos polígonos sea igual. Plantea la expresión algebraica yresuélvela. (15 puntos).

4. Lizet tiene 6 años y su mamá 30. Plantea las ecuaciones correspondientes y resuelve. (15 puntos)

a) ¿Dentro e cuántos años a e a e Lizet será igua a a tercera parte e a e a e su mamá?

) ¿Qué e a ten rá Lizet y qué e a ten rá su mamá?

1 4 16 2 10 1

+

+

+ x +

x

XVI



P R O H I B I D A

S U V

E N T A

Evaluación tercer bimestre A

5. A una temperatura de 0° C, la rapidez del sonido en el aire es de aproximadamente 300 m/s, mientras que en

hidrógeno es de aproximadamente 1 200 m/s. (20 puntos)

a) Escri e as os ecuaciones inea es que representen a rapi ez e soni o en am os me ios.

) Se emite una onda de sonido que viaja en aire y una vez que la onda ha recorrido 300 metros se mide su ve-oci a . Se emite otra on a e soni o que viaja en i rógeno y se mi e su ve oci a espués e os primeros

600 metros recorridos por la onda.

Grafica en el plano cartesiano las rectas que representen el movimiento de estas ondas de sonido.

6. Las siguientes gráficas muestran la producción P de café en tres fincas en relación con la inversión realizada I. (15 puntos)

a) ¿En cuáles fincas la producción aumentó conforme la inversión aumentó?) ¿En cuál de las fincas la producción no aumentó?

c) ¿En cuá e as fincas u o mejor pro ucción?

d) ¿En cuál de las fincas no se necesitó una inversión inicial para la producción?

e) ¿En cuá e as fincas a pro ucción isminuyó?

7. Explica por qué no se puede utilizar el pentágono regular para recubrir un plano, y menciona al menos un

polígono regular con el que sí es posible hacerlo. (10 puntos)

Distancia(m)

omies)

2 400

1 800

1

300

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Finca 1 Finca 2 Finca 3

XXVII



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Guía docente

EVALUACIÓN TERCER BIMESTRE (B)

om re:Fec a: rupo: a ificación:


1. Escribe los términos que se piden para cada sucesión. (10 puntos)

a n – 32 es un número entero. Escribe e término anterior y e término siguiente.

) Escribe los términos 10, 100 y 1 000 correspondientes a la sucesión 10 1- .

c) Escribe os primeros cinco términos de a sucesión 5.66 – 1.66n.

2. ¿Cuál es la regla correspondiente a cada una de las siguientes sucesiones? (15 puntos)

a)

c) –0.1, –0.2 , –0.3 , –0.4 , –0.

3. Hugo salió de la biblioteca central a las 3 p. m., con una rapidez de un paso por segundo. Alma salió de la

misma biblioteca a las 3:10 p. m. con una rapidez de dos pasos por segundo. Suponiendo que ambos caminan

en línea recta con la misma dirección y que los pasos son de igual longitud, responde: (20 puntos)

a) P antea una ecuación que re acione as expresiones para as istancias que recorren os estu iantes, cuan o Alma alcanza a Hugo.

) ¿Cuánto tiempo tardó Alma en alcanzar a Hugo?

c) ¿A cuántos pasos e a i ioteca se encontraron Hugo y A ma?

10 1 16

1 4 9 16

XVIII



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Evaluación tercer bimestre B

4. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes a cada planteamiento y responde: (15 puntos)

a) La suma de tres números pares consecutivos es 96. ¿Cuá es son estos números? Comprueba tu resu tado.

b) La suma de tres números enteros consecutivos es igual al resultado que se obtiene al duplicar el entero menorde os tres números, más doce. ¿Cuá es son estos tres enteros? Comprueba tu resu tado.

5. Dos personas practican diversos modos de respiración para relajarse. Para iniciar, la primera persona se mantiene 2

segundos sin respirar, después inhala en 3 segundos y exhala en otros 3 segundos. La segunda persona se mantiene

4 segundos sin respirar y a partir de éstos inhala en 5 segundos y exhala en otros 5 segundos. (25 puntos)

a) Considerando que una inhalación y una exhalación hacen un ciclo de respiración, ¿cuál de las dos personas

ace más ciclos por hora?) Escri e una expresión a ge raica que represente e méto o e respiración para ca a persona.

c) Grafica as ecuaciones de inciso anterior.) Dado que estas ecuaciones son de la forma = + , ¿qu

interpretación se puede dar si aumentara el valor de

e) ¿Cuál sería la interpretación si = ?

6. Elige una figura geométrica diferente del cua-

drado y del rectángulo que sirva para recubrir

un plano y dibújala repetidas veces en la cuadrí-cula para representar el recubrimiento. Explica

por qué se puede asegurar que esta figura sirve

como modelo para recubrir un plano. (15 puntos)

iempo(s)

es dcloCiiónacipires i

30

2624222018114

12108642

1 2 3 4 5 61

XXIX



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Guía docente

EVALUACIÓN CUARTO BIMESTRE (A)



1. Un grupo de artesanos trabaja con alambre de plata, cada uno fabri-ca cierto número de artesanías por día, como se muestra en la tabla.

Se contratará a un artesano del grupo. Para elegirlo, se meten en una

bolsa tarjetas con el nombre de cada artesano y se sacará una tarjeta

al azar. El nombre del artesano escrito en la tarjeta será la persona

por contratar. (20 puntos)

a) Calcula la probabilidad de los siguientes eventos: A: Se contrata a una mu er.

: Se contrata a un varón.C: Se contrata a quien hace 4 artesanías o más por día.

: Se contrata a quien hace menos de 3 artesanías por día.) Si se contrata a os e os artesanos y a primera tarjeta tiene e nom re e Javier, ca cu a a pro a i i a e os

s gu entes eventos:E: ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda tarjeta tenga escrito el nombre de una mujer?F: ¿Cuá es a probabi idad de que a segunda tarjeta tenga escrito e nombre de Sandra?

c) Si Mayar no participa en el sorteo y la primera contratada es Nancy, ¿cuál es la probabilidad de que el segundocontratado sea José?

) Se meten en una o sa tres tarjetas con os nom res e quienes acen 5, 4 y 3 artesanías y en otra o sa tresarjetas con los nombres de quienes hacen 4, 3 y 2 artesanías, y se saca al azar una tarjeta de cada bolsa. Calculaa probabi idad de os siguientes eventos:

G: Se o tienen os nom res e José y Cora .: Se obtienen los nombres de dos personas que hacen 5 artesanías por día.

I: Se obtienen dos nombres de grupo de artesanos.

2. Determina cuáles de los siguientes triángulos son congruentes y explica el criterio que usaste. (15 puntos)

3. Un papalote está formado por dos parejas de triángulos congruentes como se muestra en la figura. (15 puntos)

a) Escribe cuáles son las parejas de triángulos congruentes.b Si la bisectriz en ro o corta a A en su punto medio, ¿qué tipo de triángulos

son D A A

c) Traza las mediatrices de los triángulos y B . ¿Cómo es la distancia decada circuncentro al segmento A

) ¿Cuánto mi e e ángu o

e) ¿Cuánto mide x

Artesano Número deartesanías

terminadas en

un día

Sandraayaroséoralancy

avier

5° 45 °

t tt

t t7

A

0°

A

x + 15

XX



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Evaluación cuarto bimestre A

4. La mamá de Gloria acordó con su hija que a partir del 1º de enero leería cada una de ellas una página de un

libro, el 2 de enero leerían 2 páginas, el 3 de enero, 4 páginas, de modo que siempre al día siguiente leerían

el doble de páginas leídas el día anterior. (10 puntos)

a) ¿Cuántas páginas habrán leído entre las dos hasta el 15 de enero?

b) ¿Cuántas páginas debe eer cada una e 7 de enero?

c) ¿Cuántas veces más es el número de páginas que se tienen que leer el 10 de enero respecto al número de pági-nas que se deben eer e 5 de enero?

5. Escribe en notación científica las respuestas. (10 puntos)

a) En unidades de energía una caloría equivale a 26 130 000 000 000 000 000 electron-volt, es decir, 1 cal =eV. ¿A cuántos eV equiva rán 2ϫ 1 ca ?

) En uni a es e tiempo, 1 año equiva e a 31 560 000 segun os, es ecir, 1 año = s. ¿A cuántos años

equivale un segundo?

6. En el siguiente triángulo equilátero encuentra: (15 puntos)

a Ortocentro o) Incentro

c) Gravicentro g

Circuncentro

escri e una característica e ca a uno e estos puntos:

7. Las siguientes gráficas muestran la eficiencia de máquinas que realizan trabajo termodinámico y sus costosen porcentajes respecto a un presupuesto establecido. (M = Máquina) (15puntos)

a) ¿Cuá es a máquina más eficiente?b) ¿Cuál es la máquina menos eficiente?c) ¿Cuál es la máquina más costosa?) ¿Cuá es a máquina menos costosa?

e) ¿Cuál máquina se debería comprar?

.

.0.50.40.3.

.0

140

E iciencia Costo %

XXXI



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Guía docente

EVALUACIÓN CUARTO BIMESTRE (B)



1. Se elige al azar uno de los siguientes f loreros y después, también al azar, se toma una flor del florero. (20 puntos)

f 1 f 2 f 3

a) De os siguientes eventos, escri e I si es in epen iente o N si no o es. Exp ica tu respuesta. A: Se e ige e f orero f3.B: Se elige una flor amarilla.

) Escri e, para ca a f orero, a pro a i i a e e egir a azar una f or amari a.

c) Se toma al azar una f lor de cada f lorero. ¿Cuál es la probabilidad de elegir tres f lores rojas?

d) ¿Cuá es a probabi idad de e egir una f or negra de f orero 1, una amari a de f orero 2 y una b anca de f orero3, simu táneamente?

e) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una f lor amarilla de florero 1, una flor amarilla del florero 2 y una flor ama-ri a de f orero 3 de forma simu tánea?

) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una flor roja del florero 1, una flor roja del florero 2 y una flor blancadel florero 3, simultáneamente?

2. Agrupa en parejas los triángulos que son congruentes, justifica tu respuesta. (15 puntos)

ólo una de sus bisectricescorta en el punto mediode un ado de triangu o T1.

as isectrices coinci encon las mediatrices, es decirse cortan en el mismo punto.

T T

T4 T T

0° 060°

XXII



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Evaluación cuarto bimestre B

3. Con base en la siguiente figura resuelve: (15 puntos)

a) Encuentra el centro de la circunferencia que pasapor los tres vértices del triángulo de mayor área.

) Encuentra e punto que equi ista e os tres a osdel triángulo de menor área.

4. Resuelve utilizando la notación científica. (15puntos)

a) 1 mol es igual a 6.022 ϫ 1 23 partículas. ¿Cuántas partículas equivalen a 2ϫ 1 moles?

La ve oci a e reacción e os sustancias y S es e 1.2ϫ – m/s mientras que a e S y S es e 3.6ϫ 1 –

m/s. ¿Cuá es a razón e proporciona i a entre as ve oci a es e reacción?

c) Un picómetro equivale a 1 ϫ 0– metros, es decir, 1 pm = 1ϫ 10– m. El radio de un átomo es aproximada-mente e 100 pm mientras que e ra io e núc eo atómico es só o e 5ϫ 1 – pm. ¿Cuántas veces es más c ico

el radio del núcleo que el del átomo?) Un estudiante de secundaria recogió una basura del suelo en su escuela, al día siguiente 3 estudiantes siguieron

su ejemp o y ca a uno recogió una asurita, a tercer ía 9 estu iantes icieron a misma acción e impieza,al cuarto día cada uno de 27 estudiantes recogió basura. Si siguiera aumentando de la misma forma el númerode estudiantes que recogen basura cada día, ¿cuántos estudiantes ayudarían en la limpieza al octavo día?

5. Con base en los siguientes triángulos traza lo que a continuación se pide: (15 puntos)

a) Traza una circunferencia circunscrita. b) Traza una circunferencia inscrita.

c) Explica qué características tiene el centro de cada circunferencia.

6. Carla nadaba en una playa del Pacífico cuando vio caminar sobre el malecón a un amigo que tenía muchas

ganas de ver. Ella nadó hasta la orilla durante 2 minutos, corrió sobre la arena 30 metros hasta llegar a la

calle empedrada sobre la cual recorrió 10 metros más hasta alcanzar a su amigo. Carla nadó 50 metros, corrió

sobre la arena 30 segundos y 5 segundos más sobre la calle, siempre de manera uniforme. (20 puntos)

a) Haz la gráfica correspondiente al recorrido de Carla al dirigirse a su amigo.b) ¿Cuá fue e tiempo transcurrido desde que Car a empezó a dirigirse hacia su amigo?c) ¿Qué distancia recorrió?) ¿Cuántos metros nadó cada minuto?

e) ¿Cuántos metros recorrió en a p aya ca a segun o?) ¿Cuántos metros recorrió en la calle cada segundo?

XXXIII



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EVALUACIÓN QUINTO BIMESTRE (A)



1. Esteban sale de su casa rumbo a la escuela con una rapidez de 50 cm/s, pero olvida su libro de Matemáticas2. La mamá de Esteban sale de su casa 100 segundos más tarde con una rapidez de 90 cm/s para alcanzar a

su hijo y darle el libro olvidado. (20 puntos)

a) Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que represente la situación planteada.

) ¿A qué distancia a canza a mamá a Esteban?

c) ¿Cuánto tiempo e tomó a a mamá a canzar a su ijo?

2. Dibuja el siguiente hexágono, con una rotación de 120º respecto al centro O y al hexágono resultante, reflé-jalo respecto a la recta R y dibújalo también. (15 puntos)

3. Encuentra las coordenadas de los vértices del triángulo ABC. (25 puntos)

E

A y = 3 x + 15

y = –2 x – 2 y = 6 x + 12

XXIV



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Evaluación quinto bimestre A

4. Analiza la siguiente figura y responde: (10 puntos)

a) ¿Son congruentes los triángulos AB A’B’ ?, ¿por qué?

b) Encuentra el centro de rotación.

c) Compara a istancia e centro e rotación a ca a vértice.¿Cómo son estas distancias del triángulo AB n mp -ción con las del triángulo A’B’ ?

5. En la tabla siguiente, se muestra el número de platos que se lavan colectivamente en un campamento de

verano en una hora. Para ver quién empieza a lavar platos en la semana de limpieza, se selecciona al azar a

uno de los equipos. (15 puntos)

a) Ca cu a a pro a i i a e que e equipo se ecciona o sea uno que ave:

i) Más de 50 platos.ii) Menos de 60 p atos.ii) Más e 70 p atos.v) Más de 10 platos.

b) Escribe una ✓ a ado de cada inciso si os eventos son mutuamenteexcluyentes y una ✗ si no lo son.

i) E número e equipo es par y ava más e 50 p atos.ii) E número de equipo es impar y ava 60 p atos.iii) El número de equipo es mayor que 3 y lava 70 platos.

6. Se hace girar la f lecha de la siguiente ruleta en una feria. (15 puntos)

Ca cu a a probabi idad de que a f echa se detenga en:

a) La región .

) Un número impar.

c) Un número par y región azu .d) El número ocho o región verde.

e) Un número entre tres y oc o que sea región anaranja a.

) Un múltiplo de tres.

) Una región anaranjada o un múltiplo de cuatro.

) Escri e un evento con pro a i i a uno.

Nombre

del equipo

Número de platos

lavados en 1 hora

Equipo 50

Equipo

Equipo

Equipo 5Equipo 5 6

A

A ’

XXXV



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EVALUACIÓN QUINTO BIMESTRE (B)



1. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas correspondiente a cada situación y resuelve.(20 puntos)

a) En un estacionamiento ay icic etas y coc es. Hay 110 antas y 35 ve ícu os. ¿Cuántas icic etas y cuán-tos coches hay?

) Una señora intercambió bo sas con una mandarina por bo sitas de 5 uvas con su vecina. Si en tota había 18olsas y 50 frutas, ¿cuántas mandarinas y bolsas de uva se intercambiaron?

2. Refleja el polígono en la recta R 1 y luego refleja el polígono que obtuviste en la recta R 2. (20 puntos)

a) Comprue a que e tercer po ígono es una rotacióne primero.

) Mi e e ángu o entre y 2. Compara este ángu ocon e ángu o de rotación entre e primero y e tercerpolígono. ¿Qué relación hay entre estos ángulos?

3. Traza las rectas que representa el sistema de dos ecuaciones, encuentra la solución y comprueba tus resulta-

dos. (20 puntos)

x + y =

y – x =

XXVI



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Evaluación quinto bimestre B

Eventos Mutuamente

excluyentes

A, E A,

A,

,

, F

,

C,

, F,

,

,

,

4. ¿Cuántas simetrías tiene un triángulo isósceles? Dibújalas y explica. (10 puntos)

5. De la siguiente caja se extrae una canica al azar. (15 puntos)

a) Ca cu a a probabi idad de os siguientes eventos:

i) Se extrae una canica verde o roja.

i) Se extrae una canica amari a o roja.

iii) Se extrae una canica blanca o negra.b) Escribe un par de eventos D y E, para os cua es en uno a pro-

abi idad sea igua a 1 y para e otro a probabi idad sea cero.

6. En una caja hay 8 playeras de distintos colores y diversos equipos. Se saca al azar una playera. Escribe dentro

de la tabla E si los eventos son mutuamente excluyentes o N si no lo son. (15 puntos)

Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo

Equipo Equipo Equipo 1 Equipo

ventos A: Se saca una playera roja.B: Se saca una p ayera azu .C: Se saca una p ayera ver e.

: Se saca una playera amarilla.E: La p ayera es de equipo 1.F: La p ayera es de equipo 2.G: La playera es del equipo 3.

XXXVII



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RESPUESTAS

Guía docente

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL PRIMER BIMESTRE (A)1.

Ángulos que miden 180 grados: c. Ángulos que miden 90 gra-dos: g, i, Ángulos que miden más de 0 y menos de 90 grados:, e ngulos que miden más de 90 grados y menos de 180: b, d,

h. Rectas perpendiculares: 2 y 5, 3 y 4, 5 y 6, 5 y 7.2.

a) Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180

grados, a + + = 18°. Luego, b mide 30 grados por ser opuestopor el vértice a ese ángulo y c mide 70 grados por ser correspon-diente a g y éste es opuesto por el vértice al ángulo de 70grados; entonces a + b + c a + 70 + 30 = a + 100 = 18°. Porlo tanto, a) = 80 grados. b) f = 180 – 70, pues f y el ángu-lo de 70 grados, son complementarios. c) El ángulo g mide70º porque es opuesto por el vértice al ángulo de la mismamedida. El ángulo e mide 30º por ser alterno interno al otroángulo de la misma medida. d) La suma de los ángulos i yh es 100º porque forman un triángulo con el ángulo a, quemide 80º.

3.Juan compró x ca as con a galletas cada una, por lo que Juan

tiene x galletas. Pilar compró la tercera parte de las cajas quecompró Juan, entonces compró x/3 cajas y tiene a( x 3) galletas.Por lo que los dos juntos tienen ax + a( x/3) galletas en total.

4.Expresión algebraica para la suma de áreas de la figura b): x2 + x + 2 x + 2. Expresión algebraica para la figura c): x( x + 1) + ( x +1) + x + 1. a) Sí son equivalentes las tres expresiones algebraicaspara las tres figuras, pues representan la misma área. b) La ex-presión x2 + 3 x + 2 sí es equivalente a las dos anteriores, pues x2 + x + 2 x + 2 = x2 + 3 x + 2 y x( x + 1) + ( x + 1) + x + 1 = x2 + x +( x + 1) + x + 1= x2 + 3 x + 2. c) Sí son equivalentes.

5.

6.a) Dos conductores en las 3 t ransmisiones, se pueden presentar

de 6 formas distintas.b) Denotando con N , N2 y N3 los noticieros y con L , L2 los

conductores, el diagrama y la tabla quedan:

N N2 N3

L L2 L L2 L L2

c) Si fueran 4 noticieros y 3 conductores, tendríamos 12 formasdistintas de presentar a los conductores en los noticieros. Sifueran m noticieros y n conductores, serían n distintas for-mas de presentarlos.

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL PRIMER BIMESTRE (B)1.a) Ángulo b = 115º porque es opuesto por el vértice a dichoángulo. b) El ángulo c mide 115º, porque b y c son correspon-dientes. c) El ángulo e = 180 – 115 = 65, por que c y suman180º, (son complementarios). d) ngulo a = 360 – 115 – 65 – 55= 125, porque la suma de los ángulos de un cuadrilátero es de360 grados. e) El ángulo = 180 – 65 – 55 = 60, porque la sumade los ángulos de un triángulo es de 180 grados.

2.a) Un rectángulo de área a( + ) sería:

b) Un rompecabezas sería:

Así tenemos dos rectángulos cuya suma de áreas es igual alárea del rectángulo del inciso a). La expresión algebraica querepresenta su área es: ab + c.Las dos expresiones algebraicas sí son equivalentes, pues repre-sentan la misma área.

Longitud

ladoOriginal Reproducción

1

Reproducción

2

Reproducción

3a 3/2 (3/2)2 = 3 (4/3) (3/2) = 12/6 = 2 3ϫ 2 = 6

b 5/2 5 (4/3)(5/2) = 20/6= 3.3 3(20/6) = 10

2/2 = 1 2 (4/3) 3(4/3) = 4

d 4/2 = 2 4 (4/3)2 = 8/3 3(8/3) = 8

1/2 1 (4/3)(1/2) = 4/6 = 2/3 3(2/3) = 2

Reproducción1

Reproducción2

Expresión algebraica que relaciona la longitud de los lados de la figurariginal con la longitud de los lados de la reproducción 2 x 4/3 x

¿Es una relación de proporcionalidad directa? Sí Sí

Factor de proporcionalidad directa 2 4/3

Factor inverso de proporcionalidad 1/2 3/4

Para reducir la reproducción a la figura original,debo multiplicar la longitud de cada uno de sus lados por 1/2 3/4

N N2 N3

L (L ,N1) (L1,N ) (L ,N )

2 (L2,N1) (L2, 2) (L2, 3)

+

a

b

+ a

b

e

dc

XXVIII



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Respuestas

3.La tabla de la secretaria queda como sigue:

4.

) Expresión algebraica: y = x 6.

b) Expresión algebraica y=8 x/6.

c) Las dos son relaciones de proporcionalidad directa. d) La cons-tante de proporcionalidad en el inciso a) es 1/6. e) Su factor deproporcionalidad inverso es 6. f) La constante de proporcio-nalidad directa en el inciso b) es 8/6. g) Su factor de propor-cionalidad inverso es 6/8. h) Si le ponemos vainilla al flan, 12cucharadas para 8 personas, la cantidad que hay que ponerlede vainilla para 6 personas es (6/8) ϫ 12 = 9

5.a) Combinaciones posibles: 4ϫ 5 = 20

Diagrama:

A B C D E

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

b) Con 3 letras y 5 números serían 15 combinaciones.c) Con a letras y n números serían n combinaciones.

Tabla:

6.a) Rango de edades en que se encontraba el mayor número

de maestros: de 36 a 45 años. b) Sí, ésta era la edad medianade los maestros. c) Mediana entre el número de profesores:60 000. Rangos de edades de ese número de profesores: de26 a 35 años y de 46 a 55. d) Estimación del número demaestros más jóvenes: 10 mil maestros. Estimación del nú-

mero de maestros con mayor edad: 10 mil maestros.

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL SEGUNDO BIMESTRE (A)1.

d) Área de A + B

c) Área de A + B + C – D

b) Doble de área de C + D

) El perímetro de la figura completa.

e) El triple del área de A más el doble del área de D.

d) 5 5

2 2

45

c) 52

2 52-]

b) 2=

) + =#

e) 5 451= +

Movimiento Entra Sale Movimiento del día (entra)–(sale)Saldo (saldo anterior) +(movimiento del día)

1. Hay cierta cantidad x en caja. Entran$50 y salen $100

0 100 x + 50 – 100 = x – 50 ( x – 50)

2. Entra el triple de x. Sale el doble de x. 3 x 2 x 3 x – 2 x = x ( x – 50) + x = 2 x – 50

3. Entran $200 más x. Sale el saldo delía anterior

200 + x 2 x – 50(200 + x) – (2 x – 50)= 200 + x – 2 x + 50 = 250 – x

(2 x – 50) + (250 – x)= 2 x – 50 + 250 – x = x + 200

. Entra x. Sale el doble de x más $220 x 2 x + 220( x) – (2 x + 220)= x – 2 x –220 = – x – 220

x + 200 + (– x – 220)= x + 200 – x – 220 = – 20

5. Entran $100. Sale el triple del saldoel día anterior

1003( – 20)= – 60

(100) – ( – 60) = 100 + 60= 160

– 20 + 160 = 140

Ingredientes 6p 1p 8p

Leche evaporada (tazas) 1 1/6 8/6

Leche condensada(tazas) 1 1/6 8/6

Huevos (unidades) /6 32/6

Queso (gramos) 150 150/6 150 ϫ 8/6

Azúcar(cucharadas) 5 5/6 5ϫ 8/6

A

(A, 1) (B, 1) (C, 1) (D, 1) (E, 1)

(A, 2) (B, 2) (C, 2) (D, 2) (E, 2)(A, 3) (B, 3) (C, 3) (D, 3) (E, 3)

4 (A, 4) (B, 4) (C, 4) (D, 4) (E, 4)

XXXIX



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Guía docente

2.a) El área del trapecio es 16, porque 2(3) + 2 x = 16, entonces

2 x = 16 – 6 y por tanto

x2

x = 5

b) El número es:

+

x + 7 = 9 x = 23.a) 6 veces el lado del cubo azul equivale a una vez el lado del

cubo verde. Entonces caben 6 ϫ 6 ϫ 6 = 216 cubos azulesen el cubo verde. El lado del cubo verde mide 60u.

b) El volumen del queso i) es ( )ϫ 12 = 72, mientras que

el volumen del queso ii) es de ( ) 6 = 144, por lo

an o, el queso ii) tiene mayor volumen.4.

Número de caras Número de aristas Número de vértices

Figura 1 10 24 16

Figura 2 8 18 12

5.a) Se representan 9 datos en la gráfica.b) No podemos saber la rapidez exacta del móvil en un tiem-

po determinado porque sólo se muestran algunos puntos porintervalo.

c) El primer punto es (2,5), entonces en el minuto 2 tenemosuna rapidez de 5 m/s y al minuto 5 tenemos una rapidezde 20 m/s. Por tanto, la rapidez media en el intervalo delminuto 2 al 5 es (5 + 20)/2= 25/2 = 12.5 m/s.

d) La rapidez mediana es 25 m/s, pues antes y después de estedato hay la misma cantidad de valores (5, 10, 15, 20 antes y30, 35, 40 y 45 después).

6.

a) La longitud vertical de cada salto, se calcula dividiendo ladistancia recorrida verticalmente entre el número de saltos.

b) La razón correspondiente a cada tarántula con base en losdatos es T1 = 5, T2 = 4.58, T3 = 6, T4 = 6 y T5 = 4.09, por lotanto, las tarántulas que saltaron más alto fueron la 3 y la 4,hay un empate.

c) La tarántula que saltó menos alto fue la última, la tarántula 5.d) El tamaño de los saltos de la segunda tarántula es de 4.58 cm.

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL SEGUNDO BIMESTRE (B)1.El matematigrama queda:

2 ) 2 2) 7

3) 1 ) 4

) 4 8

5) 1

HORIZONTALES1) 3ϫ 4 + (2 ϫ 5) = 12 + 10 = 222) 4 + (6 ÷ 2) = 4 + 3 = 73) 7 (5 – 3) = 7 2 = 144) (18 ÷ 3)ϫ 8 = 6ϫ 8 = 485) (10 + 35) ÷ 3 = 45 ÷ 3 = 15

VERTICALES6) 7ϫ (8 – 5) = 217) (8ϫ 9) – (7ϫ 5 – 7) = 44

2.a) Área de los rectángulos A, B y C juntos: a( + 3) = ab + 3a.b) rea del rectángulo A = 3b. c) Área del rectángulo B = 3ϫ 3

= 32 = 9. d) Área del rectángulo C = (a – 3)(b + 3).e) Si = 8 y b = 9, sustituyendo, queda:

i a(b + 3) = ab + 3 = (8ϫ 9) + (3ϫ 8) = 72 + 24 = 96 u2

ii 3b = 3ϫ 9 = 27 u2

iii 32 = 9 u2

iv (a – 3)(b + 3) = (8 – 3)(9 + 3) = 5 + 12 = 60 u2

3.Desarrollos planos del cubo son las figuras b y . Un desarrolloplano del tetraedro es la figura . La figura c no es desarrollo planoni del cubo ni del tetraedro.

4.a) (volumen de la pecera)/3 = volumen de la pirámide = 30, por

lo que el volumen de la pecera es de 30 ϫ 3 = 90 cm3.b) El volumen de la pecera es (área de la base)ϫ = (2ϫ 5)a =

10a = 90, por lo que el valor de la altura es a = 9 cm.

c) La tabla queda:

Altura de la pecera a a 3 2a 7a na (1/5)a

Volumen de lapecera

90 cm3 30 cm3 180 cm3 630 cm3 0n 18 cm3

Razón (Vol.pirámide) ÷ (Vol.

pecera)1/3 1 1/6 1/21 1/(3n) /3

d) La cantidad de agua que le cabe a la pecera es de 90/1000 = 0.09decímetros cúbicos; 0.09 litros; que es equivalente a 0.09 ϫ1 000 = 90 mililitros.

5.a) 7 + 18 = 25 personas trabajan en el taller.

b) Salario que más personan ganan en el taller: $4 500.

c) Esta medida se llama moda

d) Para encontrar la mediana, acomodamos los datos en ordendescendente (o ascendente):

20 000, 10 000, 8 000, 6 000 , 6 000, 6 000, 4 500, 4 500, 4 500,4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500,4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 3 000. El dato que apa-rece en el centro es la mediana; es decir, mediana = 4 500

e) Salario promedio = suma de todos los datos entre 25:(38 000 + (3 ϫ 6 000) + (18ϫ 4 500) + 3 000)/25 =(38 000 + 18 000 + 81 000 + 3 000)/25 = 140 000/25 = 5 600

L



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Respuestas

f) Número de personas que ganan un salario que se aproximal salario promedio: 3 (los 3 que ganan 6 mil pesos).

) Este dato NO muestra cuánto gana cada trabajador, porquela diferencia entre el promedio y el salario de un trabajadores de más de mil pesos, de $1 100.

h) Para obtener un promedio que se aproxime más a lo quegana cada trabajador, se podría sacar el promedio sin consi-

derar al dueño y al encargado; de esta forma el salario pro-medio sería de (140 000 – 30 000)/23 = 4 783.

i) Proporción entre el salario del dueño y el salario de un trabaja-dor:

Salario dueñoSalario trabajador

= 20 000/4 500 = 4.44

j) Para encontrar el valor de x, a partir de las razones equi-valentes: 20 000/4 500 = 100/x, usando productos cruza-dos, se tiene que 20 000 x = (100 ϫ 4 500) = 450 000; así x = 450 000/20 000 = 22.50.(Otra forma: (20 000 ÷ 200) = (4 500 ÷ 200) = 100/22.50= 100/ ; por lo tanto, x = 22.50.)

Entonces, por cada 100 pesos que gana el dueño, un traba-jador gana 22.50.

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL TERCER BIMESTRE (A)1.

) Los primeros 10 términos de la sucesión 4n son 4, 8, 12, 16,20, 24, 28, 32, 36, 40.

b) Los términos 15, 20 y 30 para la siguiente sucesión 3n – 1on 44, 59, 89.

c) Los términos que no pertenezcan a la sucesión 9 – 3(n + 1)on: 10, –9, –3, 3, 9 y 10.

2.La regla para cada sucesión es la siguiente:) n2 b) n2 + 1 c) –2n – 2 = –2(n+1)

3.La expresión algebraica para el perímetro del hexágono es6 + (2 + x) + (3 + x) + 2 x = 11 + 2 x + 2 x = 9+ 4 x.La expresión algebraica para el perímetro del pentágono es(1 + x) + (1 + x) + 3 + 3 + 3 x = 8 + 5 x.Igualamos ambas expresiones, entonces 9 + 4 x = 8 + 5 x.Despejamos x por an o x = 1 para que los perímetros sean iguales.

4.) 6 + x = 1/3 (30 + x) entonces 6 + x = 10 + x/3 entonces 3 x 3 – x 3 = 10 – 6 entonces 2/3 x = 4 por lo tanto x = 12/2 = 6.Dentro de 6 años Lizet tendrá la tercera parte de la edad de

u madre.b) 6 + x = 6 + 6 = 12 Lizet tendrá 12 años.

30 + x = 30 + 6 = 36 su madre tendrá 36 años.5.

) En aire ya = 300 x, donde x es el tiempo transcurrido y y re-presenta la distancia recorrida.En hidrógeno, y = 1200 x.

b) Gráfica en el plano cartesiano de las rectas que representanel movimiento de las ondas de sonido:

6.) En las fincas 1 y 3 la producción aumentó conforme la in-

versión lo hizo.b) En la finca 2 la producción no aumentó.c) En la f inca 1 hubo mejor producción.d) En las fincas 2 y 3 no se necesitó una inversión inicial para

la producción.e) En ninguna de las fincas la producción disminuyó.

7.Los ángulos internos de un pentágono regular no son divisiblesentre 360, por lo cual no se puede cubrir el plano.El triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular pue-den recubrir un plano.

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL TERCER BIMESTRE (B)1.

) El número siguiente es 8(nϩ 1)Ϫ 2El número anterior es 8(nϪ 1)Ϫ 2

b)

100 – 1 000 – 0 10 000 – 00

c) Los primeros cinco términos de la sucesión 5.66 – 1.66n son:4, 2.34, 0.68, – 0.98, – 2.64 ...

2.La regla correspondiente a cada una de las sucesiones dadas

on:) 4 + 3n

b) n2

c) – n (0.1)3.

) Cuando Alma sale de la biblioteca, Hugo habrá dado60(pasos/min)ϫ 10min = 600 pasos, entonces si x represen-

ta el tiempo y el movimiento de Hugo es x + 600. Mientrasque para Alma la expresión algebraica correspondiente es 2 x. Cuando Alma

lcanza a Hugo están a la misma distancia de la biblioteca, enton-ces x + 600 = 2 x.

b) x + 600 = 2 x entonces 600 = x Alma tardó 600 segundos en alcanzar a Hugo, o bien 10minutos.

c) Hugo y Alma dieron el mismo número de pasos cuando se en-contraron. Como pasaron 600 segundos entonces: 600 ϫ 2pasos/s = 1 200 pasos/s. Alma y Hugo se encontraron a 1 200 pasos de la biblioteca.

Distancia(m)

empo(s)

300

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

nogrE

n a re

XLI



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Guía docente

4.a) Un número par es de la forma 2n; el número par anterior es

2n–2 y el sucesor 2n+2, entonces (2n–2) + 2n + (2n+2) = 96entonces 6n = 96, por tanto, n = 16Sustituyendo el valor de n enemos que2n – 2 = 2(16) – 2 = 32 – 2 = 30 2n = 2(16) = 32 n +2 = 2(16) + 2 = 32 + 2 = 34Por lo tanto, los números pares consecutivos son 30, 32 y 34.

Comprobando 30 + 32 + 34 = 96b) Tres enteros consecutivos se puede expresar como (n – 1) +

n + (n + 1).Duplicar el menor 2(n – 1) y sumarle 12 nos da 2 (n – 1) + 12Como ambas sumas son iguales, entonces igualamos (n – 1)+ n + (n + 1) = 2 (n – 1) + 12Despejamos n: 3n = 2n + 10 por lo tanto n = 10Los tres enteros son 9, 10 y 11.Comprobación: 9 + 10 + 11 = 2(9) + 12 30 = 18 + 1230 = 30.

5.a) La primera persona hace más ciclos por hora porque emplea

menos tiempo para respirar.

b) Primera persona y = 6x + 2

Segunda persona y2 = 10 x + 4

Donde x representa el número de ciclos de respiración y Y, eltiempo en el que se realizan estos ciclos.

c) Gráfica:

d) Significa que los ciclos de respiración se realizan en un tiem-po mayor.

e) Si b = 5 significa que la persona deja de respirar 5 segundosantes de iniciar su método de respiración.

6.Para recubrir un plano con polígonos regulares sólo sirven eltriángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.Si los ángulos internos de una figura son divisores de 360º en-tonces la figura se puede usar para recubrir un plano.

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL CUARTO BIMESTRE (A)1.

a) A: Se contrata a una mujer, P = 4/6 = 2/3.B: Se contrata a un varón, P = 2/6 = 1/3.C: Se contrata a quien hace 4 artesanías o más por día, P =3/6 = 1/2.D: Se contrata a quien hace menos de 3 artesanías por día,P = 1/6.

b) E: La probabilidad de que la segunda tarjeta tenga escrito elnombre de una mujer es P = 4/5.F: La probabilidad de que la segunda tarjeta tenga escrito elnombre de Sandra es P = 1/5.

c) La probabilidad de que el segundo contratado sea José es P = 1/4.d) G: Se obtienen los nombres de José y Coral, P = 1/3 ϫ 1/3

= 1/9.H: Se obtienen los nombres de dos personas que hacen 5 arte-

sanías por día, P = 1/3ϫ 0 = 0.I: Se obtienen dos nombres del grupo de artesanos, P = 3/3 ϫ

3/3 = 1.2.

Son congruentes:

(t1 y t3), (t2 y t ), (t4 y t6). Los criterios pueden ser LAL, ALAy LLL .3.

a) Una pareja de triángulos congruentes es AOB y DOA, y laotra pareja de triángulos congruentes es DOC y OCB.

b) Los triángulos DOA y AOB son isósceles.c) Las mediatrices de los triángulos DOC y OBC se muestran

en la figura. La distancia de cada circuncentro al segmento AC es igual una respecto a la otra.

d) el ángulo = 60º.e) x = 15º.

4.a) Habrán leído en total entre las dos hasta el 15 de enero

2 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … + )2ϫ (20 + 2 + 22 + 23 + 2 + … + 2 ) == 2 ϫ (2 5–1) páginas.

b) 26

es el número de páginas que debe leer cada una el 7 deenero.c) 5 de enero: 2 10 de enero: 29 29/2 = 25

5.a) 1 cal = 2.613 ϫ 10 9 eV ; 2ϫ 103 cal = 5.226ϫ 1022 eV.b) 1 año = 3.156 ϫ 107 seg; 1 s. = 3.169 ϫ 10–8 años.

6.a) Ortocentro ob) Incentro ic) Gravicentro gd) Circuncentro c

C

D B

A

d 60°

30° x = 15°

O

26

2422

161412

8

4

Tiempo(s)

Ciclos derespiracióni

1 2 3 4 51

y2

y1

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Respuestas

Sólo en triángulos equiláteros, estos puntos coinciden.a) Es el punto de intersección de las alturas.b) El incentro equidista de los 3 lados del triángulo, es donde

concurren las bisectrices del triángulo.c) Es el punto donde se cortan las medianas de un triángulo.

La distancia de cada vértice al gravicentro es igual a 2/3 de ladistancia del vértice al punto medio del lado opuesto.

d) Es el punto donde concurren las mediatrices de los 3 lados

de un triángulo. Este punto es el centro de una circunferen-cia que pasa por los 3 vértices del triángulo.

7.a) La máquina más eficiente es la M5.b) Las máquinas menos eficientes son las M1 y M3.c) La máquina más costosa es la M5.d) La máquina menos costosa es la M1.e) La máquina que se debe comprar es la M4.

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL CUARTO BIMESTRE (B)1.

a) A: Se elige el florero f3.I, porque no depende de otro evento.

B: Se elige una flor amarilla.N, porque depende del evento anterior, es decir, del floreroque se elija.

b) Para cada florero, la probabilidad de elegir una flor amarillaes: P1= 1/2, P2 = 1/4 y P3 = 3/4.

c) La probabilidad de escoger tres flores rojas, una de cada flo-rero, es cero.

d) La probabilidad de elegir una flor negra del florero 1, unaamarilla del florero 2 y una blanca del florero 3 es 1/4 ϫ 1/4ϫ 1/4 = 1/64.

e) La probabilidad de elegir una flor amarilla de florero 1, unaflor amarilla del florero 2 y una flor amarilla del florero 31/2ϫ 1/4ϫ 3/4 = 3/32.

f) La probabilidad de seleccionar una flor roja del florero 1, unaflor roja del florero dos y una flor blanca del florero tres es1/4ϫ 3/4ϫ 1/4 = 3/64.

2.Son congruentes: T1 y T3 porque T1 es isósceles y T3 tam-bién además de tener la longitud de dos lados iguales. T2 yT4, porque T2 debe ser equilátero para cumplir tal propiedady T4 es triángulo equilátero por tener sus tres ángulos iguales,además de tener las longitudes de sus lados correspondientesiguales. T5 y T6, porque son dos triángulos rectángulos condos ángulos de la misma medida y uno de sus catetos tiene lamisma longitud.

3.) El circuncentro se encuentra en el punto de intersección de

las medianas.b) El incentro se encuentra en el punto de intersección de las

bisectrices.

4.) 2ϫ 102 moles = 12.044ϫ 1025 partículas.

b) La razón de proporcionalidad entre las velocidades de reac-ción es:

. 1

. 01

#=- m/s

c) 1

0

= 20ϫ

103

veces más chico el radio del núcleo queel del átomo.

d) El número de estudiantes que ayudarían en la limpieza aloctavo día es de 37 estudiantes.

5.Circunferencia circunscrita. Circunferencia inscrita.

El circuncentro pasa por los tres vértices del triángulo.El incentro equidista de los 3 lados del triángulo.

6.) Gráfica correspondiente al recorrido de Carla al dirigirse a

u amigo.

b) El tiempo transcurrido desde que Carla empezó a dirigirsehacia su amigo fue de 2 minutos con 35 segundos.

c) Recorrió una distancia de 90 metros.d) Nadó 25 m cada minuto.e) Recorrió en la playa 1 m cada segundo.f) Recorrió en la calle 2 m cada segundo.

o, i. g, c.

i

C

D(m)

T(s)

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Guía docente

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL QUINTO BIMESTRE (A)1.

a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitasque representa la situación planteada es: y = 50 ( x + 100)

y = 90 x.b) La mamá alcanza a su hijo a 112.5 metros de distancia:

90(125) = 11 250cm = 112.5 metros.c) A la mamá de Esteban, le tomó 125 segundos alcanzar a su

hijo:0 x + 5 000 = 90 x x = 0 = 125.

2.Primer hexágono con rotación de 120º respecto al centro O ysegundo hexágono reflejado respecto a la recta R.

3.Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son las si-uientes:

– 2x – 2 = 3x + 15x = – 17/5y = 24/5 Vértice A (– 17/5, 24/5)

Vértice B:– 2x – 2 = 6x + 12x = – 14/8y = 3/2 Vértice B: (– 14/8, 3/2)

4.a) Los triángulos ABC y A’B’C’ son congruentes porque las ro-

taciones conservan ángulos y longitudes.b) Ver figura.c) La distancia del centro de rotación a cada uno de los vértices

correspondientes de los triángulos ABC y A’B’C’, es siemprela misma por definición.

5.a) La probabilidad para cada evento es:

i Lave más de 50 platos. P = 4/5ii Lave menos de 60 platos. P = 1/5iii Lave más de 70 platos. P = 0iv Lave más de 10 platos. P = 1

b) ✗ i) El número de equipo es par y lava más de 50 platos.✓ ii) El número de equipo es impar y lava 60 platos.✓ iii) El número de equipo es mayor que 3 y lava 70 platos.

6.La probabilidad de que la flecha se detenga en:

a) La región 5. =

b) Un número impar. 4 1

c) Un núnero par y región azul.

d) El ocho o región verde. = + =

e) Un número entre tres y

ocho que sea región anaranjada.

f) Un múltiplo de tres. =4

1

g) Una región de anaranjada + =

o un número múltiplo de cuatro.

h) Escribe un evento cuya probabilidad sea uno.

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL QUINTO BIMESTRE (B)1.

a) 2 x + 4 y =110 x + y = 35, por lo tanto, son 15 bicicletas y 20coches.

b) x + y = 18 x + 5 y = 50, por lo tanto, se intercambiaron 8bolsas de uvas y 10 mandarinas.

2.a) Un polígono P’ es la rotación del polígono P con centro de ro-

tación en O y ángulo de rotación a asi los vértices correspon-dientes de los dos polígonos están a la misma distancia de O ysi cada uno de los ángulos que se forman al unir cualesquierados vértices correspondientes con el punto O es igual a a.

b) La relación que hay entre esos ángulos es que son iguales.

R

E

C B

D A

F

A D

E

B C

O O

F

A

C

B

A’

C’

B’

Centro derotación

O

R2

R1

Vértice C:3x + 15 = 6x + 12x = 1y = 18

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Respuestas

3. y = 8 – x

y = 1/2 + 3/2 x

x = 3 y = 5Comprobación:Sustituimos los valores de x y y encontrados en las ecuaciones

x + y = 8 2 y – 3 x = 12(5) – 3(3) = 10 – 9 = 13 + 5 = 8

4.Un triángulo isósceles tiene un eje de simetría y una rotación de

360º, por lo tanto un triángulo isósceles tiene dos simetrías.

5.

a) La probabilidad de los siguientes eventos es:i) Se extrae una canica P = 4/10 + 3/10 = 7/10

verde o roja.ii) Se extrae una canica P = 2/10 + 3/10 = 5/10

amarilla o roja.iii) Se extrae una canica P = 1/10 + 0/10 = 1/10

blanca o negra.

6.

a) La probabilidad de los siguientes eventos es:

Eventos Mutuamenteexcluyentes

A, E N

A, F N

A, G E

B, E E

B, F E

B, G N

C, E N

C, F N

C, G E

D, E E

D, F ND, G E

8

5

8

(3, 5)

60°

XLV



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E N T A

Guía docente

BIBLIOGRAFÍA PARA LOSDOCENTES

Alarcón, B., Bonilla, R. et a ., Libro para el maestro educación secundaria , SEP, México, 1994.García, J. y C. Bertrán. eometría y experiencias, Alhambra Mexicana, México, 1997.Gardner, Howard, a mente no escolarizada. Cómo piensan los niños y cómo deberían enseñar en las escuelas. Fon o

Mixto Paidós-SEP, México, 1997.Noger B. Nelsen. Demostraciones sin palabras, ejercicios de pensamiento visua . Proyecto Sur de Ediciones, España,

2 1.erelman Y., Aritmética recreativa, Ediciones de Cultura Popular, México, 1978.

Rivaud, uan osé. Matemáticas para to os (compilación), Fomento Mexicano para la Educación y el Desarrollo, A.C., México, 2005.

Bibliografía para el escolar

Ber anga, Ricardo et a ., Las matemáticas, pereji e to as as sa sas, FCE, México, 1999.Enzensberger. E ia o e os números, Sirue a, México, 1998.Gardner, Martín. Acertijos matemáticos. Se ector, México, 2000.

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Páginas de internet

http://euler.ciens.ucv.ve/matematicos/kepler.html (sobre matemáticos famosos).http://es.geocities.com/yakovperelman1 (con en aces a astronomía, matemáticas, geometría y física recreativa, así

como víncu os a prob emas y experimentos recreativos. Ir a en ace de “matemáticas” y después a de “á gebrarecreativa”).

http://sepiensa.org.mx/librero/matematicas.html (rica en información matemática para nive es e primaria ysecun aria, así como para maestros y pa res e fami ia. En os iferentes víncu os y en aces se encuentranartículos, lecciones, problemas, actividades y juegos, con contenido matemático).

http://redescolar.ilce.edu.mx (ir al enlace de “actividades permanentes”, ahí encontrarán diferentes actividades paradiferentes asignaturas, incluida matemáticas).

http://interactiva.matem.unam.mx (dedicada a la enseñanza de las matemáticas. En los diferentes vínculos haytalleres y juegos con información de álgebra, geometría e historia de las matemáticas, tanto para jóvenes como paramaestros .

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/juegos/juegos.htm (con muchos juegos dematemáticas, mayoritariamente de geometría y álgebra).

http://e21.ilce.edu.mx (ir a al enlace de “asignaturas”, donde se encuentran vínculos y enlaces a actividadesrelacionadas con matemáticas y otras asignaturas. En el enlace “matemáticas” hay diferentes actividades de

aritmética, geometría y álgebra).http://redescolar.ilce.edu.mx ir al enlace de “actividades permanentes”, donde hallarán diferentes actividades paradiversas asignaturas, incluidas matemáticas.

www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas (ir al vinculo “taller”, donde se presentan dos vínculos: unosobre información didáctica acerca del juego en matemáticas y a una página con muchos juegos de matemáticas,mayoritariamente de geometría y álgebra).

www.juegosmensa.com (en a que se encontrará una co ección que reúne juegos de ingenio y prob emas dematemática recreativa .

http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/ (geometría interactiva con e programa Cabri).

LVI



Matemáticas 2Eduardo Mancera Martínez

El libro Matemáticas 2 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones

Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Clemente Merodio López.

PROHIBIDA

SU VENTA



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Presentación

Origina lmente o sficb sucó o cífic. L pb v

d o Athenaion,qu po d A As, dod os pos, odos

y fiósofos copí sus obs. E Ro u, o u dsdo sudo

d s s y s éccs . Po xsó, cudd o sfic sucó dod s

cuv cooco y pco d s s.

A dos d pz, sdd, c y sbduí. Su

psb, os coss, pudc. D hí qu pb o hs usos dís

s soc co poso cu y spu d s huo.

S dos duccó coo o, zoo cífico y sbduí pácc

qu xd os ís d bd y p s psos qucs y quc

qus s od, ocs, objvo d s Ao suá sdo sfo s

psos p qu s sfo udo d fvob.Dsd os pos os s sbí qu s huo uc sá cop hcho,

so cou ch, pfccoádos d u odo cbb. E sujo d duccó

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S bo, pso s pfcco coudd; s v sus sjs y os y

co os dscub su dso. A so po, coudd soc bé s pfcco

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E ps bo d s Ao coo objvo ofc opoudds p

cosuccó d cooco áco, d cudo co os ps y pos d su-

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y coo cuddo d u pís qu cs psos coo ú, u udo cuy copjdd

xá qu sp sés uy ppdo y o.

L uucó d u uv scu, coo pouv s ás cs dcs du-

cvs, s u xc opoudd p vz o s xpuso, sí qu, ienveni o

al ateneo.

PROHIBIDA

SU VENTA

Algunas de las ideas básicas de las

corrientes constructivistas tienen

relación con el cambio constante

y la renovación de significados,

aspectos que se han incorporado

en las lecciones que constituyen elpresente texto.



1 Poner y quitar…tantas veces 12

• En busca del equilibrio 14• Operaciones de cuadritos 1• aminos entre números

letras 2• Caminos entre letras y figuras• Expresiones algebraicas

equivalentes 34• Expresiones equivalentes y

operaciones algebraicas 7

2 Qué dicen los ángulosy sus medidas 48

• etras para figuras 5• Clases de ángulos• Ángulos y rectas 4• Ángulos entre rectas 66• Suma de los ángulos interiores

de un polígono 69

3 Si uno aumenta,el otro también 78

• as buenas proporciones 80• Cuando lo grande

se hace pequeño 87• scala tras escala 9

4 Cuentas de cuántos 98

• Tablas, árboles y posibilidades 1

5 Gráfcas que hablan 106

• istogramas y polígonosde frecuencia 1

6 Operacionescon números y letras 120

• ¡Que alguien me ayude

a calcular! 122• Gente calculadora 12• Uso de los paréntesis 126• Geometría para calcular 1• Figuras que dividen 140

7 Prismas y pirámides 144

• Anatomía de los cuerpos…

geom tricos 14• Volúmenes de cuerposgeométricos

8 Encuentra volúmenesde prismas y pirámides 164

• Áreas y volumen 166• Volúmenes y fórmulas 17

9 Las razonesde la proporcionalidad 180

• Uso de proporcionalidad 18

10 Tendencia centraly dispersión de datos 186

• ¿Qué nos dicenlas tendencias? 1

21Contenido BloqueBloque

PROHIBIDA

SU VENTA

Conviene recordar que la educación secundaria

es el último paso del nivel de educación básica,

en el cual es importante centrar la atención en la

formación integral del individuo. En matemáticas,

los estudiantes deben tener la oportunidad de

reflexionar sobre lo que han aprendido y usar

ese conocimiento para abordar nuevos

contenidos. Esa posibilidad se tiene desde elinicio del curso; en efecto, al revisar varios

contenidos integrados en los bloques 1 y 2,

hay algunos contenidos que los estudiantes ya

conocen del grado anterior, así que pueden

aprovecharse para profundizar sobre relaciones

matemáticas nuevas.

Frecuentemente, se presta más atención al

manejo simbólico de las entidades matemáticasque a darle significado a esos símbolos; la

intención de planes y programas de estudio

es invertir esa tendencia y atender a la formación

de significados antes de abordar la

manipulación simbólica.

Una tendencia reciente en la didáctica de las

matemáticas es la atención a varios “lenguajes”

en los que se presenta un contenido matemático.

Por ejemplo, en el caso de las funciones,es posible trabajar este contenido con tablas

numéricas (lenguaje aritmético), con expresiones

algebraicas lineales (lenguaje algebraico) o por

medio de representaciones en el plano cartesiano

(lenguaje gráfico).



11 Números con signo 196

• os números negativos

en la historia 198• Negativos y positivos

en todos lados 199• Sucesiones de números

con signo 201

12 Cuando las letrasse comportancomo números 206

• Ecuaciones de las fichas 20

13 La realidad a travésde modelos lineales 218

• e rectas y costos 220• Funciones lineales

en distintas disciplinas 225

14 Funciones linealesy sus gráfcas 232

• Funciones crecientesy decrecientes 23

• La recta que sube y que baja 237• Cuando las rectas giran 24

15 Mosaicosy recubrimientos 258

• Sólo para convexos 260• Para no perder el piso 263

16 La potenciade los números 270

• La bacteria prolífica 272• Bases y exponentes 273• Multiplicación de potencias 75• Potencias de potencias 277• División de cantidades

expresadas en potencias,el caso de los exponentesnegativos 279

• Notación científica(cálculos con cantidadesgrandes o pequeñas) 281

17 Triángulosen todas partes 286

• Preámbulo: ¿Cómo se hacenlos triángulos? 288

• Congruencia de triángulos• Puntos y rectas notables

en el triángulo 9

18 Independenciade eventos 302

• ¿Cuándo son independientesdos eventos? 304

• ¿Cuándo son dependientesdos eventos? 308

19 Poligonales einormación 314

• Lo que una gráfica dice 1

20 Gráfcas segmentadas 322

• Cobros y su modelación 2

21 Ecuacionescon dos incógnitas 330

• El papiro Rhind

y las matemáticas antiguas

que estudias hoy 33• Sistema de dos ecuaciones

con dos incógnitas• Métodos para solucionar

ecuaciones con dos incógnitas 33

22 Gráfcas y sistemasde ecuaciones 340

• Ecuaciones extrañas 342• Gráficas de rectas

que se cortan: una soluciónal sistema de ecuaciones 4

• Gráficas de rectas que no secortan: ninguna soluciónal sistema de ecuaciones 4

• Gráficas de rectasque se enc man:infinidad de solucionesal sistema de ecuaciones 4

23 Transormacionesy fguras 350

• Geometría y movimiento 352• Traslación• Rotación 354• Reflexión

24 Teselacionesy movimientosen el plano 364

• La geometría de los tapices 366

25 Probabilidadde eventos excluyentes 374

• Eventos que no sonmutuamente excluyentes 376

• ventos mutuamenteexcluyentes 377

Glosario

Simbología 381Bibliografía general

3 4 5Bloque Bloque Bloque

PROHIBIDA

SU VENTA

En los bloques 3, 4 y 5 se abordan contenidos no

trabajados en los niveles anteriores por los estudiantes,

por ello es importante intentar abordar éstos

a partir de relaciones conocidas, aprovechando

lo que ya saben los estudiantes.

Las ecuaciones de primer grado dan la

oportunidad de utilizar algunas actividades para

analizar desde otra perspectiva algunos procesos

y conocimientos.

Algunas actividades pueden ser inventadas

por los propios estudiantes; no basta que ellos

repitan lo que se les plantea en clase, es muy

importante que diseñen sus propias actividades.

En general, las lecciones se han diseñado a fin

de apoyar al maestro en su planeación de clase.

El docente puede identificar los contenidos quese pueden trabajar y la cantidad de páginas por

abordar.



n este índice se muestra la correlación entre los temas del nuevo programa deestudios, organizados en tres ejes principales, y las lecciones donde se desarro-lan dichos temas en la obra.

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico

T E M A Subtema Lección Página

Signifcado y uso

de las operaciones Operaciones combinadas1 12

6 120

Problemas aditivos 1 12

Problemas multiplicativos 2

Potenciación y radicación 1 7


Signifcado y uso

de las literales

Patrones y fórmulas 196

Ecuaciones12 206

21 330

Relación funcional 1 1

Eje Forma, espacio y medida


Formas geométricas

Rectas y ángulos

4

8

Cuerpos geométricos

Justificación de fórmulas 258

Figuras planas15 258

17 286

Índice temático

PROHIBIDA

SU VENTA

En este índice se muestra cómo es posibleabarcar todo el programa de estudios con

las lecciones que contiene este texto.

Esta relación de temas puede ser de

utilidad para que el maestro diseñe

diferentes secuencias de contenidos y adapte el desarrollo del curso a las

condiciones del grupo.

El maestro puede observar en este índice el

espacio que se ha dado a cada eje en

el programa, lo cual puede serle útil para la

toma de decisiones respecto a sus planes

de clase y sobre el espacio que requiere

cada eje en las evaluaciones o exámenes

parciales.




MedidaEstimar, medir y calcular

4

8 164

Justificación de fórmulas 7 144


TransormacionesMovimientos en el plano

50

Eje Manejo de la inormación


Análisis de la inormaciónRelaciones de proporcionalidad

3 78

9 180

Noción de probabilidad

18 302

25 374


Representacìón

de la inormación

Diagramas y tablas

Gráficas

232

19 314

20 322

40

Medidas de tendencia central y de dispersión 1

PROHIBIDA

SU VENTA

Con este índice se pueden generar varias

ideas para la integración de contenidos, de tal

modo que el maestro puede utilizar el texto

con varias propuestas de organización

de contenidos, dado que existe flexibilidad

en el manejo de los temas.

Además de una secuencia de contenidos, en

el índice se muestra uno de los puntos

importantes de los planes y programas: el

que se refiere al avance espiral, en el cual

un aspecto de un contenido se trabaja

desde el inicio y a medida que se avanza,

se profundiza; se recomienda leer con

detenimiento el enfoque descrito en planes yprogramas de estudio.

Al intentar realizar una evaluación global del

curso, el índice ayudará a decidir el tipo

de contenidos por considerar. Además, se

encontrarán algunas ideas para construir ítems

que reflejen las competencias mencionadas en

los documentos oficiales

al consultar las lecciones respectivas.



En cada entrada de bloque se incluyen lospropósitos señalados en los programas deestudio, resaltando la importancia de éstospara el estudiante.

Las entradas de lección se componende tres apartados:

• is Retos informa al estudiante losconocimientos que se espera que adquierao amplíe al terminar la lección.

• ¿Qué sé? recuerda al estudiante loscontenidos trabajados en cursos anterioresque están relacionados con el desarrollo dela lección que inicia.

• ¿Qué lograré aprender? plantea cuestionesespecíficas al estudiante que lo ayudarán adeterminar su dominio de los contenidos alterminar la lección.

Entrada de bloque

Eneste bloque…

Conocerásprocedimientos paratrabajar

con lasleyesdelosexponentesy dela

notacióncient ífica;ademásresolverás

problemasrelacionados conestos

contenidos.

Abordarásalgunosproblemas

geométricosqueimplicaneluso delas

alturas,medianas, mediatricesybisectricesen triángulos.

Analizarásinformación registradaen

variasgráficasde funcioneslineales para

interpretary relacionardiferentes

característicasde unfen ómeno o

situación problemática.

Resolverásproblemasque impliquen elcálculo dela probabilidadde doseventos

independientes.

Podrásrepresentar medianteuna gráfica

compuestapor distintossegmentos de

rectaselcomportamientodeun

fenómeno.

Bloque 4“Conocimientospuedetenerloscualquiera,

pero elartedepensareselregalo más

escaso dela naturaleza.”

FedericoII

Emperador prusiano

Entrada de lección “Algo de lo que me enseñaron”

Misretos

Utilizaráslasideas delcurso anteriorparacon struirsucesiones de

números,pero ahoraincorporarásnúmeros negativos,demodo que

podrásobtenerlareglaparaconstruircualquieradelostérminosde

unadeterminada sucesión.

¿Qué sé?

Ya pudisteanalizar,en elcursoanterior,varias sucesionesde

númerosnaturales, algunasde ellasrelacionadascon

configuracionesgeométricas.

Con baseen regularidadesquedetectaste endeterminadas

sucesionespudiste plantearuna fórmulao reglaparaobtener

cualquiermiembrodeellassintenerquepartirsiempredelprimer

término.

¿Qué lograré aprender?

Aprenderásalgunasestrategiaspara detectarregularidadesen

sucesionesde númeroscon signo.También podrásrepresentar

algebraicamentelaregla paraencontrar términosde lasucesión.

11 meros con s no1 Setieneungrupode15troncosdemaderaapiladosen5filascomolo

muestralafigura.¿Cuántostroncossepuedenapilardemanerasemejanteen

10 filas? ¿Cuántostroncos podríanapilarse entres filas?

2 ¿Quénúmerosigueenla secuencia1,6,36,…?

3 Delasiguientessecuenciasnuméricasdeterminalafórmulageneralyanota

otrostres números.

5 , 15 , 5 ,7

,9

11 , ,

4 Dadaslassiguientesfórmulas,encuentraloscincoprimerostérminosdela

sucesiónque generan.

Sn= 2n + 2 S

n=

4n

2+ 1

n= 3´ 5n-1

5 Encuentraos primeros10términosdeunasucesióncuyoprimertérmino

es5y dondeelsiguienteessiempreeltripledelanteriormenoslamitaddel

anterior.¿Quésucesiónseformarásilareglaesmásbienque cadatérmino

sea el anterior menosla mitaddel anterior?

196

197

ALGODE LOQUEME ENSEÑARON “Algo de lo que me enseñaron” proponeactividades sobre contenidos que esconveniente tener claros antes de abordarlos temas de la lección. También sirve comoevaluación diagnóstica.

Las actividades planteadas en las secciones“Algo de lo que me enseñaron” y“Demuestro lo que sé y hago” (p. 9) debendosificarse de acuerdo con el criterio delmaestro. No es indispensable resolver todoslos incisos, sino sólo aquellos necesariospara asignar tiempos adecuados altratamiento de los contenidos y de acuerdocon el avance del curso.

Estructura de la obra

PROHIBIDA

SU VENTA

Al inicio de cada bloque se incluye una frase

célebre, en parte para recordar personajes

importantes, o para conocer algunos que sondesconocidos pero que han contribuido en

el desarrollo de la ciencia, o también para

resaltar aspectos relacionados con el desarrollo

del conocimiento matemático.

La entrada del bloque permite al maestro relatar

anécdotas o situaciones que conoce sobre el

desarrollo de las matemáticas y la importancia de

algunos temas; incluso a partir de las secciones

incluidas en dichas entradas se puede recordar

lo que deben conocer los estudiantes y hacer

planes para superar deficiencias de manera

conjunta, de acuerdo con las estrategias

preferidas del maestro.

La sección “Algo de lo que me enseñaron” puede ser aprovechada de varias formas: para revisar

el uso eficiente de procedimientos y el manejo de conceptos necesarios para abordar la lección;

plantear discusiones sobre contenidos ya estudiados y, en general, confirmar habilidades útilespara trabajar esta lección.



Secciones particulares

Desarrollo de lección

Cada contenido planteado en elprograma de estudios constituye untema o subtema de la lección, loscuales se resaltan para su mejoridentificación.

Este apartado, específico de la primeralección de cada bloque, exploraalgunas situaciones didácticasindicadas en los planes y programasde estudio.

Apertura de lección

“Para curiosos” es una sección que invita a los estudiantes a trabajar en equipopara buscar respuestas a preguntas frecuentes sobre el tema tratado, lo cual losinvolucra en situaciones que los ayudan a desarrollar su pensamiento crítico.

Para curiosos

“En el ateneo” es un espacio dedicado al planteamiento de actividades que serecomienda que el alumno realice en grupo para posteriormente redactar en sucuaderno las respuestas y los procedimientos para llegar a ellas. Aquí tambiénse invita a la reflexión y se hace hincapié en las partes operativas cuando seconsidera necesario. En esta sección hay algo más que solamente “ejercicios”.

E N

E L AT E N E O

Al final de cada lección se incluyen lassiguientes dos secciones:

“Demuestro lo que sé y hago”

Es una evaluación sumaria en la quese integran los diversos contenidosestudiados en la lección. El maestroencontrará aquí actividades con lascuales puede plantear tareas oconstruir exámenes de acuerdo consus necesidades.

“Conéctate”

Esta sección presenta opciones deconsulta en Internet o en libros quepermiten profundizar en algunoscontenidos.

Considerando que los contenidosde Internet cambian o desaparecensin previo aviso, las direcciones que seofrecen sólo son un ejemplo de lo quese puede encontrar en este medio deinformación. Se recomienda utilizar un

“motor de búsqueda” para hallar otraspáginas sobre el tema de interés.

Por otra parte, aun cuando algunasreferencias bibliográficas que sesugieren son publicadas por editoria-les extranjeras, son parte de las fuentesque se pueden obtener en idiomaespañol y se han detectado en bibliote-cas de varias instituciones o en librerías.

Se pueden obtener artículos sobrela enseñanza y el aprendizaje de lamatemática en revistas especializadas,

como las incluidas en el índice derevistas de excelencia sobre investiga-ción del CONACYT. También se cuentacon revistas digitalizadas de distribu-ción gratuita, como la revista Uno, yotras publicaciones periódicas en

emerotecas de servicio gratuito enlínea, como Redalyc.

¡Que alguien me ayude a calcular!¿Cuántasformasde hacer cálculostenemos?

Algunosutilizanlos

dedos de la mano,

incluso partesde la

mano comolas

falanges.

Antesseusabantablas

de contar o ábacos

de diferentestipos.

Algunoshacen

mentalmente

oscálculos.

Pero enla actualidad

uchoscálculos

e realizancon

alculadoras

o computadoras.

Independientemente del recurso que usemos para calcular se deben tener en cuenta

algunas reglas, pues de no hacerlo, aunque parezca increíble, se pueden obtener

diferentes resultados en cada ocasión.

Por ejemplo, sitú ytus compañerosrealizan operaciones con pocos términos, como

123 + 35 ´ 76 o 34 - 56 ´ 93, no seríaextraño que obtuvieranresultados diferentes.

Lo anterior se complica cuando se requiere realizar operaciones complicadascomo:

+ ´ 7 - 2 ´(-4 + 7) ´ - 3)+ (-7)¸ + 2 - 7 + 4 ¸ 2 ´ 7 -(-12),

8 +(-3)

2

3- 3 ´ (-5)+ 4 +

2

-3(2 + 7 - 8)

(-3)5

- 2 + 7 -4

´-

Tratade resolver los casos sencillos ylos complicadosparacomprobar sillegana

resuta os i erentes .

¿Por qué se obtienen resultados diferentes, tanto en casos sencillos como com-

plicados?

122

L O U E 2

Argumentatu respuesta.

.

Tambiénpuedesutilizar elresultado de loscuadriláterospara segmentar polígo-

nos convexos de más de 5 lados y así calcular la suma de sus ángulos interiores.

Observala figura8.

360°

180°

360°

360°

A

A

B

BC C

D

D

E

E F

uma e osánguosinteriores

e po ígono A B DE:

+ =

uma e osánguosinteriores

e po ígono B DEF:

+ =

Ahoracompletala siguiente tablacuyosdatos se refierena polígonosconvexos:

Número

delados

Suma delos

ángulos interiores

Expresión querelaciona el número delados

con la suma delos ángulos interiores

3 180° (3 - 2)180°= 1 ´ 180°= 180°

4 360° (4 - 2)180°= 2 ´ 180°= 360°

5

6

7

1

25 140° 25 - 2)180°= 23 ´ 18 °= 4 14

3

7

n

Laexpresión a la que llegarásal completar elúltimo renglón de la tabla esla fór-

mula para obtener la suma de los ángulos interioresde un polígono convexo.

Figura 8

262

BL UE 3

PROHIBIDA

SU VENTA

Desde el inicio de cada lección, el texto induce

a utilizar la resolución de problemas para el

tratamiento de contenidos.

El desarrollo de la lección atiende de manera

preferencial al manejo de imágenes pues “una

imagen dice más que cien palabras”.

La sección “Conéctate” abre las puertas para el

autoaprendizaje, para utilizar los medios como

fuente de información o ideas que complementanlos temas vistos o resolver posibles dudas.

Las secciones “Para curiosos”, son “proyectos” que se plantean a

los estudiantes como oportunidades para profundizar en aspectos

relevantes del conocimiento o para escudriñar aspectos interesantesdel conocimiento, además de mostrar algunas formas de plantearse

preguntas cuando se aborda algún tema.



“En la medida en que las leyes de la

matemática se referen a la realidad no son

ciertas, y en la medida que son ciertas no se

referen a la realidad”.

Albert Einstein

Bloque 1

La cita incorporada provoca una reflexiónimportante pues indica algo que puede ir en contra de nuestras creencias más fuertes;la utilidad inmediata de las matemáticas.En realidad, las estructuras matemáticas sepueden desarrollar totalmente desligadasde problemas de la vida o de los que nacenen las sociedades; pueden ser el productode razonamientos acuciosos sobre objetosabstractos regidos por las reglas deinferencia de la teoría; en ese nivel el rigor matemático es extremo y no se permitenambigüedades. Sin embargo, al aplicar lasmatemáticas, se requiere flexibilizar las exigencias sometidas a los objetosmatemáticos en la teoría y a veces hasta sehace necesario pasar por alto algunascaracterísticas de los objetos matemáticospara ajustarlos a los sucesos que sepresentan en diversas problemáticas enel mundo.

El maestro puede aprovechar esta cita paraplantear a los alumnos la importancia delconocimiento teórico como un modeloriguroso. Por ello, una habilidad que debendesarrollar los estudiantes con el trabajoen la asignatura de Matemáticas, es que

puedan reconocer formas de modelar oaplicar el conocimiento matemático, quepongan en juego diversos contenidos y nose restrinjan a uno solo, esto es, quepuedan enfrentar las mismas situaciones yproblemáticas parecidas con diferentescontenidos; adquirir esta competencia esnecesaria para la vida.

PROHIBIDA

SU VENTA



En este bloque…

Resolverás problemas que requieran

efectuar sumas, restas, multiplicacioneso divisiones de números con signo.

Encontrarás explicaciones para entender

por qué la suma de los ángulos internos

de cualquier triángulo es 180∞ y la de los

de un cuadrilátero es 360∞.

Hallarás la solución de problemas de

conteo mediante la realización de

cálculos numéricos.

Determinarás el valor faltante en

problemas en los que intervienen más de

dos conjuntos de cantidades.

Construirás polígonos de frecuencia

e interpretarás la información contenida

en ellos.

Los aprendizajes esperados se enlistan en este apartado. Es buenotenerlos a la mano para conocer el avance que debe lograrse en este

bloque.

El maestro puede revisar el programa de estudios y compararlo con lospropósitos de este inicio. Podrá observar que en algunos se hamodificado un poco la redacción, pues se considera que además delograr lo que se pide en planes y programas de estudio, pueden lograrseotros conocimientos o competencias adicionales.

Una actividad que puede ser interesante es compartir con los estudianteslos propósitos y pedirles que al final del bloque se recapitule sobre lo quese alcanzó y lo que requiere un esfuerzo adicional.

PROHIBIDA

SU VENTA



Mis retos

Ya as tra aja o con números con signo, pero so amente rea izaste

a iciones y sustracciones con e os. En esta ección apren erás a

realizar operaciones de multiplicación y división con este tipo de

números, además de resolver problemas que los involucren.

Tam ién, emp ean o as reg as que se an o teni o para operar

con números con signo, y usando figuras geométricas y sus

relaciones, abordarás procedimientos para obtener expresiones

algebraicas equivalentes, sumarlas y restarlas.

¿Qué sé?

En e curso anterior rea izaste operaciones a itivas, sumas y restas,

e números de varios tipos: naturales, racciones, decimales e

incluso números con signo; para ello utilizaste modelos como la

recta num rica.

Tam ién e a oraste a representación a ge raica e situaciones

relacionadas primordialmente con funciones lineales y expresiones

e la orma = .

Así mismo, pudiste resolver problemas en los que las letras

representan relaciones numéricas vinculadas a configuraciones

geométricas, y tam ién tra ajaste con otros on e as etras

representan inc gnitas.


A gunos conteni os en esta ección sintetizan otros que a or aste

en el primer año y sirven para repasar algunos procedimientos.

Utilizando guras geométricas aprenderás algunos elementos de

álgebra elemental que sentarán las bases para abordar contenidose mayor comp eji a .

En esta ección as itera es representan números y se pue en operar

como tales aunque no se conozca su valor numérico. Las reglas de

este tipo de manipulación algebraica las podrás descubrir

empleando agrupaciones de figuras geométricas.

1 Poner uitar… tantas veces

Aquí se establecen loscontenidos aprendidos en cursosanteriores y que se utilizarán enla presente lección. Los alumnos y el maestro pueden hacer actividades para recordar algunos de ellos.

Los retos establecidos al inicio sedesglosan en preguntas, lascuales serán un punto dereferencia para los alumnos,pues al final podrán ofrecer respuestas a estoscuestionamientos.

PROHIBIDA

SU VENTA

La sección “Mis retos” presenta los contenidos del curso organizados como “Conocimientos y habilidades” para enfatizar el enfoque de construcción de significados por parte de los alumnos,

con base en la resolución de problemas.



1 Encuentra el resultado de las siguientes operaciones y efectúa las comproba-

ciones. Es decir, si obtienes por ejemplo que (-3) (+8) (+5), esto se com-

prueba con la operación (-3) ( 5) - (+8).

Representa las operaciones en una recta numérica con la escala adecuada.

Interpreta as operaciones usan o “ganar” para canti a es positivas y “per-

der” para cantidades negativas; escribe tus interpretaciones.

• (+3) ( 5) • (-6) (-3)

• (+ ) 9) • (-4) +7)

• (-2) ( 6) • (+3) (+5)

• - 3 • +12 - -

• (+15) + (+23) • (+12) - (+25)

• - 2 + - 4 • + 4 - -43

• (+67) + (-123) • (-122) - (-345)

• - 67 56 • -456 - + 27

2 Analiza cada una de las siguientes expresiones numéricas en las cuales hay un

valor desconocido, simbolizado por un pequeño recuadro. Encuentra dicho

valor faltante y escribe, con tus propias palabras, la forma de encontrarlo.

• + = 9 • 6 =

• + 12 = 18 • 8 - = 17

• + = • = -

• - 3 = 29 • +

• - = • . + 1 .

Empleando el mismo procedimiento sugerido en el enunciado de la activi-

dad 1, comprueba cada una de tus respuestas.

3 En las siguientes ecuaciones encuentra el valor de x . Comprueba cada una de

tus respuestas.

• + = 1

• - =

1

ALGO DE LO UE ME ENSEÑARON

La sección “Algo de lo que me enseñaron” puede utilizarse como tarea al iniciode una lección y ser resuelta individual o colectivamente; también sirve comotema de discusión en clase para resolver dudas y asegurar el manejo adecuadode conceptos o procedimientos necesarios para desarrollar los temas de lalección. No debe usarse como evaluación con fines de acreditación.

Como ya se trabajaronalgunos aspectos de laoperaciones con númecon signo con el modela recta numérica, esnecesario conocer lo qsaben los estudiantes seste punto y qué ideastienen sobre este tipode operaciones.

El enfoque que se ha d

a las ecuaciones de primgrado enfatiza el manelas relaciones aritméticentre las cantidades, pulos procedimientotradicionales aún no sehan trabajado, por ellose requiere conocer córesuelven los estudianteste tipo de situaciones

PROHIBIDA

SU VENTA

32

→ 4x = 8 x = 2

→ 7x = 14 x = 2

10

(–9)

–9

11.2

35

6

2

74

53

= 8= 8

= -4= -4

= -8= -8

= -1= -1

= 38= 38

= -46= -46

= -56= -56

= -11= -11

= -3= -3

= -11= -11

= -2= -2

= 21= 21

= -13= -13

= 77= 77

= 223= 223

= -583= -583



Poner y quitar

Si tienes una balanza equilibrada y quitas

peso de uno de los platos, ¿qué sucede con

la balanza? Si en cambio pones más peso en

un plato, ¿qué sucede con la balanza?

Si en la balanza equilibrada quitas tres fichas

de uno de los platos, ¿cómo equilibrarías la ba-

lanza de nuevo?

Si pones cinco fichas en uno de los platos,

¿cómo equilibrarías la balanza de nuevo?

Ganar y perder

Algo similar sucede cuando ganas y pierdes.

• Si tienes cinco monedas de $1.00 y ganas en un

juego ocho monedas más, pero pierdes nueve

monedas en otro juego, ¿con cuántas te que-

das?

• Si pierdes 10 monedas y ganas otras 10, ¿cuán-

to te queda?

• Si ganas tres veces cuatro monedas, ¿cuántas

monedas tendrás?

• ¿Ganar tres monedas y perder cuatro da el

mismo resultado que ganar siete monedas y perder seis?

En esta primera lección veremos cómo pode-

mos representar y resolver lo que se plantea en

situaciones como las anteriores mediante el uso

de los números con signo.

En busca

del

equilibrio

Premisas importantes enciertas corrientes

pedagógicas se refieren aque “el aprendizaje se lograde lo sencillo a lo complejo” y que “se debe partir de loconcreto para arribar a loabstracto”, por ello, setrabajarán las operacionescon enteros a partir de casossencillos y concretos.

Si los signos en losnúmeros se asocian a“ganar” o “perder”, comose hizo en el gradoanterior, también puedenasociarse a “poner” (signo+ en el número) o “quitar”(signo − en el número).

Con las interpretacionesformuladas para los signosen los números, el cero seconsiderará no comoausencia de cantidad, sinocomo equilibrio entre poner y quitar.

PROHIBIDA

SU VENTA

4 monedas.

10 monedas.

12 monedas.

No.

El plato con más fichas baja.

Quitando 3 fichas al otro plato.

Poniendo 5 fichas en el otro plato.

La balanza se desequilibra.



Operaciones de cuadritos

Para estudiar los números negativos trabajaste con la recta numérica en cursos ante-

riores. Ahora, para comprender mejor la adición y sustracción de números con signo

podemos recurrir a representaciones diferentes a la recta numérica; tal es el caso de

la siguiente actividad, en la que emplearemos fichas de dos colores.

Tú mismo puedes elaborar las fichas. De una cartulina recorta 20 fichas azules y

20 amarillas, todas de forma cuadrada y de 1 cm de lado, como las que se muestran

en la figura 1.

Ahora bien, si tomas al azar varias de estas fichas recortadas, ¿cómo sabrás que

tienes un “equilibrio” en el número de fichas de cada color? Si conviniéramos en que

una ficha azul indica “ganar” una vez y una ficha amarilla “perder” una vez, ¿cómo

representarías cuándo ganaste y perdiste lo mismo? ¿Qué instrucciones darías a un

compañero para representar mediante agregados de fichas el resultado de un partido

de futbol?

Con nuestro material podemos investigar algunos hechos interesantes sobre las

operaciones de números con signo. Asignaremos el valor (+1) a cada ficha azul y (-1)

a cada ficha amarilla.

De esta forma, el cero se representará con un equilibrio de fichas: es decir, un agru-

pamiento compuesto por una misma cantidad de fichas de cada color, como se ilustra

en la figura 3.

Observa que cada número puede representarse de varias maneras con las fichas

(figura 4).

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

Figura 1

Figura 4

- +

0 0 0

- - -

- - -

+ + +

Figura 2

Figura 3 Tres formas de representar el

cero con “equilibrios” de

fichas.

1

LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES

Los equilibrios se puedenrepresentar con fichas de colores; laforma de las fichas no importasiempre y cuando sea la mismapara todas y no incluyan diferenciasentre ellas que desvíen la atenciónde los estudiantes en los signos.

Este modelo servirá para cantidadespequeñas, pero es sencillo ymuestra ejemplos concretosde los números negativos.

Conviene trabajar mucho lasrepresentaciones de un númerocon signo, a partir de las fichaspues continuamente las utilizaránlos estudiantes.P

ROHIBIDA

SU VENTA



Ya que hemos asignado valores a las fichas que nos servirán como unidades, y que

determinamos representar al cero mediante un equilibrio de éstas, vamos a repre-

sentar operaciones de números con signo empleando las fichas.

Comencemos por la adición. Considera que sumar una cantidad a otra se puede

interpretar como “añadir” o “juntar” una cantidad con otra: a partir de esta interpre-

tación puedes usar las fichas para representar la suma de números con signo. Observa

los siguientes ejemplos. Anticipa tu resultado y después compruébalo con el uso de

fichas de colores:

• ( 3) ( 2) ( ): A e añade resulta


Recuerda que las fichas de distintos colores se “equilibran”.



También puedes usar las fichas para representar sustracciones o restas de núme-

ros con signo. Esta operación implica lo contrario de “añadir”, esto es, “retirar”.

• ( 3) ( 2) : A e le retiran resulta

¿Puedes hacer esto usando fichas de los dos colores?

• ( 3) ( 2) = ( ): A e deben retirar ¡pero no tiene fichas,

amarillas!

¿Es posible agregar un cero con fichas suficientes para retirar lo necesario? Explica

tu respuesta:

De acuerdo con lo anterior, la operación puede replantearse como sigue:

Discute con tus compañeros la manera de representar números con signo de distin-

as maneras.

• Encuentra varias representaciones con fichas para los siguientes números: (-5),

(-2), ( 4) y ( 7).

• ¿Las fichas tienen que ser necesariamente cuadradas? ¿Pueden ser de otra forma?

• ¿Los colores tienen que ser azul y amarillo?

• ¿Las fichas amarillas siempre deben estar a la izquierda y las azules a la derecha?

• ¿Es necesario colocar las fichas en línea?

Para curiosos

BLOQUE 1

La sección “Para curiosos” propicia

que el alumno asuma la

responsabilidad de buscar al menosuna manera de resolver cada

problema que se plantea. Junto con

ello, crea condiciones para que los

alumnos vean la necesidad e

importancia de formular

argumentos que den sustento al

procedimiento o solución con base

en las reglas del debate. Este

mecanismo es básico para que los

estudiantes aprendan a construir y

fundamentar los conceptos.

En este proyecto, los estudiantes deben

analizar si la actividad depende de

aspectos secundarios como la forma

o el color de las fichas.

Mientras el signo en el número se

reserva para “poner”, el signo de la

operación de suma sigue teniendo

la misma connotación de “añadir”

o “juntar”.

Se recomienda que los alumnos no

trabajen varias sumas de un solo tipo,

luego otras tantas de otros

tipos, etc. En vez de ello, conviene

hacer todas las posibilidades de

operaciones con ciertos números

para que los estudiantes

discriminen y traten de encontrar

reglas para entender lo que se debe

hacer en cada caso. Los estudiantes

deben hacer sus conjeturas y el

maestro debe evitar a toda costa

darles el procedimiento.

PROHIBIDA

SU VENTA

5 cinco.

1 uno.

– 1 menos uno.

– 5 menos cinco.

1 uno.

5

SÍ. Utilizando el mismo número tanto de fichas azules como amarillas no altera el equilibrio.

Las fichas no necesariamente tienen que ser cuadradas.Los colores pueden ser diferentes.Las fichas pueden tener otro orden. El orden que se propone aquí essemejante al de la recta numérica.

Respuesta modelo.

Las fichas no necesariamente tienen que ser cuadradas, podrían ser de otra forma.

Los colores pueden ser otros

Las fichas pueden estar en otro orden pero el orden propuesto asemeja a la recta numérica que es una línea.

No.

0

0

0

0

(-5)

(-2)

(4)

(7)



A l rtran rsulta

• ( 3) (+2) : A dbn rtrar ¡pro no hay fichas,

azuls para rtrar d ( 3

¿Podrás rcurrr nuvamnt a un “cro”? Explca tu rspusta:

D acurdo con lo antror, la opracón pud rplantars como su:

A l rtran rsulta

¿Con cuántas fichas podrías ncar para no tnr qu arar?

• ( 3) (-2) ( ): A l rtran rsulta

Con l tratamnto d los númros con sno a partr d fichas d colors, tns

otra forma d vsualzar las opracons artmétcas, apart d la qu studast n l

rado antror, la cual s basa n la rcta numérca, y qu rcordamos n “Alo d lo

qu m nsñaron”.

Discute con tus compañeros los procedimientos para sumar y restar números con

signo empleando las chas.

Realiza operaciones como las siguientes, comprueba los resultados y discútelos con

tus compañeros. Primero utiliza números “pequeños” para que te alcancen las chas.Intenta anticipar el resultado de cada operación, luego compáralo con el resultado

obtenido al utilizar el material.

• (+5) (+4) • (+5) ( 4)

• + -4 • +5 4

• (-5) (+4) • (-5) ( 4)

• - -4 • -5 4

Posteriormente, plantea con tus compañeros operaciones de números con signo

“grandes”, donde tus fichas no te alcancen, por ejemplo:

• (+13) + (+22) • (+25) - (+14)

• + 5 + - 4 • + 7 - -24• (-25) + (+14) • (-35) - (+14)

• -35 + -44 • -35 - - 1

Discute con tus compañeros la redacción de una regla para sumar y restar números

con signo, de tal forma que la puedan entender otros compañeros de tu grupo. Com-

para el método que redactaste con el que elaboraron otros compañeros y consulta

otros libros para que analices los procedimientos que en ellos se plantean y los com-

pares con tu método.

Para curiosos


También, la resta conserva la

interpretación de “retirar”,

“sustraer” o “eliminar”.

Aunque el enfoque del tema

apunta principalmente al desarrollo

del sentido numérico y del

pensamiento algebraico, no

podemos dejar de lado el desarrollo

de la competencia de “Manejo de

técnicas”, es decir, el uso eficiente

de procedimientos y formas de

representación al efectuar cálculos

con el apoyo de la tecnología o sin

él. Muchas veces el manejo

eficiente o deficiente de técnicas

establece la diferencia entre

quienes resuelven un problema de

manera óptima y quienes no

alcanzan una solución eficiente.

Después de realizar varias

actividades con números chicos y

las fichas, el maestro observará que

los estudiantes se desprenden poco

a poco de las fichas y realizan las

operaciones mentalmente.

Finalmente, conviene que los

estudiantes realicen operaciones

con cantidades “grandes” de tal

modo que manejar las fichas no sea

sencillo; esto ayudará a que tengan

la necesidad de encontrar reglas o

procedimientos generales.

En este tipo de operaciones es

fundamental “agregar un cero”

para poder realizar la operación.

PROHIBIDA

SU VENTA

cinco.

– 5

Se añade un cero para de ahí retirar dos.

menos cinco.

Con otro “cero”, digamos un par: una ficha azul y una amarilla.

– 1 menos uno.

= 9

= 1

= – 1

= – 9

= 1

= 9

= – 9

= – 1

= 35

= – 19

= – 11

= – 79

= 11

= 41

= – 49

= 6



Lo antror t ayudará a utlzar las fichas para analzar las opracons d mult-

plcacón y dvsón d númros con sno.

Es mportant rcordar cómo s ntrprta la multplcacón d dos númros na-

turals. Por jmplo, la opracón 3 ¥ 2 s ntrprta como “trs vcs dos” o “dos

vcs trs”. ¿Cómo ntrprtarías —n térmnos d “ponr o qutar tantas vcs”— las

sunts multplcacons?

( 5) ( 3) y ( 4) (+2).

Puds multplcar númros con sno mplando la sunt ntrprtacón: El

prmr númro ndca, con su sno, s “s pon o s quta”, y la cantdad.

• ( 7) ndca . • ( 6) ndca .

Como l prmr factor ndca l númro d vcs qu s “pon o quta”, al nco no

hay fichas, s dcr, s part d un cro.

Analza los sunts casos:

• ( 3) ( 2) ) s ntrprta como “Ponr trs vcs ( 2)”, y rsulta:

• ( 3) ( 2) ( ) s ntrprta como “Ponr trs vcs ( 2)”, y rsulta:

• ( 3) ( 2) ( ) s ntrprta como “Qutar trs vcs (+2)”, y rsulta:

=

3ª1ª 2ª

(+2) (+2) (+2)

=

3ª1ª 2ª

(-2) (-2) (-2)

=

3ª1ª 2ª

(+2)(+2)(+2)(-6)

BLOQUE 1

Cuando se trabaja la multiplicación,

se utiliza la forma de interpretar

una multiplicación con números

naturales (en matemáticas: lo

“nuevo”, siempre debe parecerse alo conocido), lo cual implica partir

de lo sencillo a lo complejo.

La interpretación de números consigno de “poner tantas veces…” o

“quitar tantas veces…” es relevante

para mostrar ejemplos concretos de

las operaciones de multiplicación

de números con signo, pues a

veces se piensa que no existe

representación posible en este caso.

Además, se conservan las ideas que

se han manejado en las operaciones

de suma y resta, es decir, no se

introducen nuevas interpretaciones.

No hay que confundir el modelo

que se utiliza para enseñar con el

contenido, el modelo solamente

sirve para “introducir” o “motivar”,

no es el concepto abstracto que

suele comportarse de maneras

diversas y sin las limitaciones del

modelo. Las fichas son una manera

de aproximarse al contenido, pero

no son el contenido en sí, los

estudiantes deben llegar a manejar

las relaciones matemáticas enabstracto; la diferencia es partir de

lo abstracto dando solamente

reglas o dándoles la oportunidad

de que ellos construyan sus propias

reglas por medio de un modelo

sencillo.PROHIBIDA

SU VENTA

Ponemos tres veces cinco y quitamos cuatro veces dos.

Se pone 7. Se quita 6.

6

2 + 2 + 2

– 6

– 2 – 2 – 2

– 6

– 6 + 2 + 2 + 2



• ( 3) (-2) s ntrprta como “Qutar trs vcs (-2)”, y rsulta:

Para ntndr la dvsón d númros con sno puds apoyart n l msmo mo-

dlo d las fichas, pro rcurda para mpzar cómo s ntrprta la dvsón d dos

númros naturals. Por jmplo, la opracón 6 2 s ntrprta como “¿cuántas

vcs cab 2 n 6?” o “¿por cuál cantdad s db multplcar 2 para obtnr 6?”:

6 2 = ? 2 ¥ ? = 6.

En l caso d los númros con sno s smlar, pro db consdrars l sno qu

tn cada númro, así como su ntrprtacón (“ponr” o “qutar”).

Así, las dvsons con stos númros s pudn ralzar como su:

• ( 6) ∏ ( 2) = (+3) s ntrprta como “¿cuántas vcs hay qu ponr o qutar (+2)

para obtnr ( 6)?”

¿D dónd s “quta” o s “pon”? ¡Pus d un cro!:

Ponmos trs vcs (+2):

=

(-2) (-2)(-2) (+6)

3ª1ª 2ª

+ + +

Discute con tus compañeros este procedimiento de multiplicación y experimenta

con él usando otros números con signo. Primero usa números “pequeños” y luego

números “grandes”.

edacta un método para multiplicar números con signo y luego discútelo con tus

compañeros.

Cuan o mu tip icas os números que tienen signos contrarios, ¿qué signo ten rá e

resultado?

i multiplicas dos números con el mismo signo, ¿qué signo tendrá el resultado?

Para curiosos

1


En este proyecto, se pide hacer varios

tipos de operaciones con números

con signo y no caer en la repetición

de casos que no permiten a los

estudiantes discernir ni construir sus

propios procedimientos generales.

También en el proyecto, se pide que

los estudiantes trabajen con

cantidades pequeñas y mayores paradesprenderse del material y

construyan sus propias reglas, las

cuales deben escribir en lenguaje

común y posteriormente simbolizar

lo que han planteado como regla

o procedimiento general.

La división entre números con signo

puede introducirse como una

“ecuación”, atendiendo a reglas

aritméticas, es decir, se puede trabajar

la división como una relación de

multiplicación con una cantidad

desconocida, o de otra manera como

la operación inversa de la

multiplicación, lo cual ayuda a repasar

términos como divisor, dividendo,

residuo o cociente, además del

algoritmo de la división con

números naturales.

PROHIBIDA

SU VENTA

6

– 2 – 2 – 2 + 6

Negativo.

Positivo.

6 ÷ 2 = 3 2 ϫ 3 = 6

Para multiplicar números con signos,

se sigue la siguiente regla:

– ϫ – = +

– ϫ + = –

+ ϫ – = –

+ ϫ + = +

Signos iguales da +.Signos diferentes da –.



El cro s vulv (+6):

• ( 6) ∏ ( 2) = (-3) s ntrprta como “¿cuántas vcs hay qu ponr o qutar (-2)

para obtnr ( 6)?”

¿D dónd s “quta” o s “pon”? ¡D un cro! :

Qutamos trs vcs (-2):

El cro s vulv (+6):

• ( 6) ∏ ( 2) = (-3) s ntrprta como “¿cuántas vcs hay qu ponr o qutar (+2)

para obtnr (-6)?”


Qutamos trs vcs (+2):

El cro s vulv (-6):

• ( 6) ∏ ( 2) = (+3) s ntrprta como “¿cuántas vcs hay qu ponr o qutar ( 2)

para obtnr (-6)?”


+

- - -

+

+

+ + +

-

-

BLOQUE 1

La división se presenta un poco

más difícil que la multiplicación,

pero la forma de trabajo será muy

útil para proponer procedimientos

en la resolución de ecuaciones.

La idea de “adivinar” el signo del

resultado es muy útil, no importa

que los estudiantes se confundan y

cometan errores, pues discutir la

actividad será muy importante para

su formación matemática.

En este tipo de situaciones se

puede constatar la necesidad de

trabajar todas las combinaciones

posibles de los mismos números

con signo, para hacer una misma

operación.

PROHIBIDA

SU VENTA



Ponmos trs vcs (-2):

El cro s vulv (-6):

- - -

-

Discute con tus compañeros este procedimiento de división y ponlo a prueba con

otros números con signo. Recuerda que, en principio, debes utilizar números chicos yespués números gran es.

scri e un méto o para ivi ir números con signo y iscúte o con tus compañeros.

Además aplícalo a diversas cantidades.

La división es una operación inversa de la multiplicación, esto es,

(+8) ∏ ( 2) = (+4) porque (+8) (+4) ¥ ( 2)

(+8) ( 2) = (-4) porque (+8) (-4) ¥ ( 2)

(-8) ( 2) = (-4) porque (-8) (-4) ¥ ( 2)

(-8) ∏ (-2) = (+4) porque (-8) (+4) ¥ (-2)

• De acuerdo con lo anterior, cuando divides dos números que tienen signos contra-

rios, ¿qué signo ten rá e resu ta o? ¿Por qué?

• Si divides dos números con el mismo signo, ¿qué signo tendrá el resultado? ¿Por

qué?

En una de las actividades anteriores se mostró que:

( 6) ∏ (+2) = (+3) se escribe (+6)

+2( 3), y puede omitirse el signo “ ” = .

( 6) ∏ (-2) = (-3) se escribe (+6)-2

( 3), y puede omitirse el signo “ ”-

3.

( 6) ∏ (+2) = (-3) se escribe (-6)

22( 3), y puede omitirse el signo “ ” - .

( 6) ∏ (-2) = (+3) se escribe (-6)

-2( 3), y puede omitirse el signo “ ” -

-3.

¿Entonces podemos decir que: - =-

= - y = ? ¿Por qué?

Para curiosos


Nuevamente, del trabajo con

números chicos se pasa a números

grandes y al final se escribe una reglageneral para realizar las operaciones

que se trabajan; discutir la regla

general propiciará en los alumnos un

mejor entendimiento del contenido

matemático.

PROHIBIDA

SU VENTA

Positivo.

Negativo.

Porque al aplicar la regla de los

signos la igualdad se mantiene.

Se sigue la misma regla

que con la multiplicación:

– ϫ – = +

– ϫ + = –

+ ϫ – = –

+ ϫ + = +

La división se puede ver como una

multiplicación, de ahí que el

tratamiento con signos sea igual

que para la multiplicación. Ejemplo:

= = =– a – b

(– 1)a

(– 1) b

(–1)(–1)a

b(1) a

b



Efectúa las siguientes operaciones, comprueba en cada caso el resultado obtenido y

discútelo con tus compañeros. ¿Coincidieron todos? Si hubo diferencias, ¿a qué se

debió?

• (+4) ( 2 ) • ( 5) + (-6) • (+9) + (+8)

• (-12) + (+14) • ( 18) + (-17) • (+24) ( 15)

• (-144) (-50) • (+232) + ( 62) • (+358) + (-125)

• (+3) ( 4) • (+7) - (+6 ) • (+10) ( 5)

• (-16) - (+19) • ( 25) - (-13) • (-32) ( 17)

• (-111) (+44) • ( 369) - ( 31) • (-670) - (-270)

• (-3) (-5) • ( 7) (+6) • (+4) ( 8)• (+11) (-7) • ( 38) ( 4) • (-57) (-9)

• (+250) ( 12) • ( 421) (-43) • (+682) (-62)

• (+12) ∏ (+6) • ( 28) ∏ (+7) • (+36) ( 12)

• (-20) ∏ (+5) • ( 48) ∏ (-6) • (+50) ( 5)

• (-24) ∏ (+4) • ( 72) ∏ (+9) • (-30) ∏ ( 6)

•( 44)

11•

(+60)

+ 0•

(+25)

5•

( 72)

-8

Encuentra el número faltante en las siguientes expresiones.

• +3 + • + -5 -

• + • -7 + -

• +4 - - • +6 - -8

• ( ) 3) -9 • ( ) - (- ) +6

• -3 + • - - +5

• + 0 - +4 • +7 + -

• -4 + • -5 -1

• -5) (-3) • ( ) (-4) +8

• +2 +12 • + + 0

• -7 +2 • 4 +

• +5 - • - -18

1

E N

E L AT E N E O

2

BLOQUE 1

En algunas actividades los

estudiantes pueden utilizar las

fichas y en otras no, pero al no

presentarse en orden de dificultad

los obligará a que las trabajen

sin fichas.

Se insiste en la búsqueda decantidades, no como ecuaciones, sino

atendiendo a las relaciones aritméticas;

el maestro puede llamar la atención

hacia los casos que considere

conveniente.

PROHIBIDA

SU VENTA

= 2

= 2

= – 194

= – 11

= – 35

= 294

= 17

= 9

= 233

= – 15

= – 77

= – 3000

= 7

= – 35

= – 155

= – 42

= – 152

= 18103

= – 4

= 8

= – 8

= 1

= – 12

= 400

= – 32

= 513

= – 42284

= – 3

= 10

= – 5

= – 4 = 6 = – 5 = 9

= 15

= – 15

= – 400

= 2

= – 4

= – 6

+ 9

+ 6

+ 11

12

10

6

– 5

15

6

– 14

– 1

– 4

2

14

2

– 1

– 18

2

– 2

20

3

2



• ( 8) (+2) = • ( ) ( 4) = +

• ( 15) ∏ ( ) = - • (-18) ∏ ( )

• ( ) ∏ (-4) = 20 • (+84) ∏ (-7) =

• ( 96) ∏ (-6) • ( ) ( 2) = +

• ( 5) ∏ ( ) = - • (-122) ( ) = -

Se ha convenido en omitir el signo “+” en los números con signo positivo; tomando

en cuenta esto realiza las siguientes operaciones.

• (12) + (23) • (20) - (31) • (-26) + (14)

• (-38) + (18) • (-42) - (36) • (+55) - (15)

• ( 248) + (122) • (364) - (234) • (-580) (220)

• (21) (11) • ( 30) (15) • (41) (-18)• ( 160) (13) • (455) ( 29) • (-386) (-63)

• (135) (15) • ( 126) (18) • (264) ∏ (-24)

• (-294) ∏ (21) • (168) ∏ (-42) • (-639) ( 71)

Las reglas para operar con números con signo son válidas también para fracciones y

decimales. Encuentra los resultados de las siguientes operaciones con este tipo de

n meros.

• + • + • + • +

•ͩ ͪ ͩ ͪ •ͩ-ͪ +ͩ

-ͪ •ͩ-ͪ ͩ ͪ •ͩ

-ͪ +ͩ

-ͪ

• . . • . + .4 • .7 . • .1 + .

• • - • • -

•ͩ ͪ -ͩ ͪ •ͩ-ͪ -ͩ ͪ •ͩ

-ͪ ͩ ͪ •ͩ

-ͪ +ͩ

-1ͪ

• . . • - . + . • .4 . • - . + 1.

•ͩ ͪͩ ͪ •ͩ ͪͩ ͪ •ͩ ͪͩ ͪ •ͩ ͪͩ ͪ

•ͩ-ͪͩ 2ͪ •ͩ

4ͪͩ •ͩ-ͪͩ

-ͪ •ͩ

-

-ͪͩ -

-7ͪ

• (0.2)(0.4) • (-0.5)(0.4) • (0.6)(-0.8) • ( 0.4)(-0.7)

3

4

2


Se han omitido signos de

multiplicación y ahora se omiten

los signos positivos a fin de que losestudiantes centren su atención en

el manejo de los números

negativos; incluso el maestro podría

preguntar si también se pueden

omitir los signos de los números

negativos sin causar confusión.

Siempre será importante

generalizar los procedimientos a

otro tipo de números como las

fracciones y los decimales. El

maestro puede pedir a los estudiantes

los representen en la recta o que

modifiquen cantidades, para

que analicen lo que sucede.

PROHIBIDA

SU VENTA

– 4

– 3

– 80

16

– 1

12

2

– 12

– 34

11

= – 11

= – 78

= – 130

= – 450

= – 13195

= – 7

= – 4

= 12

= 40

= – 800

= – 738

= 24318

= – 11

= + 9

= 35

= – 20

= – 126

= 231

= – 2080

= 9

= – 14

37

28

– 16

15

– 6

5

5

8

11

10

28

15

5

4

= 1 = = =

= = = =

= = = =

= = = =

= = = =

= = = =

= 1 = 1.3 = 1.0 = 0.6

– 3

14

26

10

– 4

6

4

11

7

18

7

6

9

20

5

3

= 0.27 = – 0.4 = 1.9 = 0.9

= 0.08 = – 0.2 = – 0.48 = 0.28

20

14

18

56

– 12

28

– 10

18

6

14

15

72

4

35

2

18



Caminos entre números y letras

La suma 2 + 7 = 9 pud rprsntar la forma d rsolvr un problma, ¿como cuál?

Dscut con tus compañros y rdacta varos problmas qu s rsulvan con dcha

suma.

Rdacta varos problmas qu s rlaconn con la rsta 8 5 = 3.

•5

• • •-18

•ͩ6ͪ

∏ͩ-

4ͪ•ͩ

-ͪ ∏ͩ

-ͪ •ͩ-3ͪ ∏ͩ ͪ •ͩ

-ͪ ∏ͩ-ͪ

•

2

• •-

-2•

-2

Encuentra el número altante en las siguientes operaciones.

• ͩ-ͪͩ ͪ =ͩ ͪ • ͩ ͪͩ ͪ =ͩ ͪ

•ͩ-ͪͩ ͪ =ͩ ͪ •ͩ ͪͩ -

5ͪ=

• - .5 +1.0 • .3 .24

• 0.8 0.1 • -2.2 + .4

• 0.5 + . • .4 +0.5

• 4.2 1.05 • 0.5 .

• 1.5 -5 • .14 ∏ = -0.2

• 0.2 + .2 • 5.8 .2

5

BLOQUE 1

En estas actividades, el maestro

puede resaltar lo que implica

considerar a una fracción negativa

en tanto el numerador o

denominador sea negativo.

Resulta adecuado en la enseñanza

partir de una operación y que los

estudiantes planteen problemasrelacionados con esa operación,

cambiando el lugar de la incógnita,

para ver el efecto que se produce

en el texto del problema y en el

proceso de resolución.

PROHIBIDA

SU VENTA

= = = =

= 9 = – 7 = 7 = – 9

= = = =

– 16

6

12

5

24

10

48

27

8

5

30

16

– 18

7

– 12

18

– 3

– 2

– 7

– 3

– 3

– 4

6

– 20

– 2

.08

.4

– 4

– 0.3

– 0.25

0.8

– 1.1

1.2

2.25

.028

– 29

Omar toma dos cucharadas de azúcar con café, pero su mamá no sabía que ya estaba

endulzado y le echó siete más. ¿Cuántas cucharadas de azúcar tiene el café de Omar?

En el grupo de 2° A hay ocho alumnos de los cuales cinco son mujeres. ¿Cuántos hombres hay?

Respuesta

modelo:



S tns una opracón como 6 + 11 = 17, rdacta un problma dond los datos

san 11 y 17. Tambén rdacta un problma dond los datos san 6 y 17.

Datos 11 y 17:

Datos 6 y 17:

Mdant los númros con sno puds xprsarrelaciones aditivas con las cuals,

a su vz, puds modlar stuacons qu mplcan l uso d adcons y sustraccons.

Comncmos por analzar una stuacón qu s modla mdant una adcón n

la qu ntrvnn númros con sno postvo y a partr d la cual podmos construr

alunos problmas.

S Pdro tn $63.00 y ana $15.00 al ralzar un trabajo, obtn n total $78.00.

La xprsón numérca con qu s rprsnta sta stuacón s:

63 + (+15) = 78.

Est prmr plantamnto d problmas con la suma 63 ( 15) = 78 (la cual

tambén s pud scrbr: 63 + 15 = 78) lo puds rsolvr con los conocmntos

adqurdos n prmr rado.

A partr d una xprsón como la antror, qu modla la rlacón ntr los datos,

s pudn plantar varos problmas n los cuals s dsconoc aluna d las trs

cantdads. Es dcr, una d las trs cantdads s propon como incógnita .

Analza los sunts problmas —cuyo plantamnto tn como bas la rla-

cón 63 ( 15) 78— y su l dsarrollo d su solucón.

1) S Pdro tn $63.00 y ana $15.00 al ralzar un trabajo, ¿cuánto tn n total?

Esta stuacón s pud modlar mdant la sunt xprsón, qu ndca qu

s dsconoc la cantdad final dspués d habr anado $15.00:

63 + (+15) = ?

S pud rprsntar la cantdad dsconocda por una ltra:

63 + (+15) = x.

++ = ?

Figura 5

2


Es más importante que los estudiantes

comprendan las relaciones aditivas,

que aprender procedimientos

estereotipados de resolución.

Se pueden hacer representaciones

del problema con objetos concretos y,

posteriormente, plantearlos sin ellos.

Los procesos de resolución también

se pueden presentar a los

estudiantes, de manera que

observen que no se está haciendo

nada extraño, sino que el proceso

de resolución debe representar la

situación planteada en el problema.

PROHIBIDA

SU VENTA

Julián tiene en su casa 17 arbolitos de aguacate.Si su papá sembró 11 de esos

árboles y el resto Julián, ¿cuántos árboles plantó Julián?

Julian y su papá cosecharon 17 kilos de café de los cuales 6 fueron recolectados por

su mamá.¿Cuántos kilos de café recolectaron Julián y su papá?



La forma d rsolvr l problma consst solamnt n ralzar la opracón n-

dcada:

63 ( 15) x Ecuacón qu modla la rlacón ntr los datos.

63 + 15 x S pud omtr l sno + d ( 15).

x

Así, Pdro tn finalmnt $ .

La cuacón antror la pudst rsolvr con lo qu ya sabías dl prmr rado d

scundara. Srá la bas para lo qu vn más adlant. En st caso, la ncónta fu

l rsultado d la opracón.

El sunt caso tambén lo puds rsolvr con lo ya aprnddo, pro s l nco

d otras stuacons qu vrmos dspués. Ahora analza lo qu sucd s la ncón-

ta s uno d los dos sumandos.

2) uan tnía alo d dnro, anó $15.00 al ralzar un trabajo; ahora tn $78.00.

¿Cuánto dnro tnía ornalmnt?

No s conoc la cantdad qu ncalmnt tnía Juan:

x + 15 78.

La solucón s pud obtnr consdrando qu, s a la cantdad dsconocda s l

suma 15 y da como rsultado 78, ntoncs la cantdad dsconocda db obtnrs

rstando 15 a 78.

x + 15 = 78 Ecuacón qu modla la rlacón ntr los datos. x = 78 - 15 S a 78 l qutamos 15 s obtn l valor d x.

x =

Entoncs Juan tnía ornalmnt $ .

3) osé Lus tnía $63.00. Dspués d ralzar un trabajo l paan una crta cantdad

y al final tn $78.00. ¿Cuánto anó?

Figura 6

=? +

BLOQUE 1

Al inicio no importa que los

estudiantes utilicen el lenguaje

cotidiano para referirse al problema

o su resolución, pues a partir de

ello se pueden elaborar

convenciones necesarias para llegar

al uso del lenguaje algebraico.

PROHIBIDA

SU VENTA

78

78

63

63



El modlo corrspondnt s rprsnta con la xprsón

63 + x 78.

Para rsolvrlo s procd como su:

63 + x 78 Ecuacón qu modla la rlacón ntr los datos.

x 78 - 63 S a 78 l qutamos 63 s obtn l valor d x.

x

Es dcr, José Lus anó $ .

Vamos ahora alunas stuacons qu s pudn modlar mdant rlacons adt-

vas n las qu ntrvnn númros con sno natvo.

1) Pablo tn 18 lapcros n su tnda. Su prmo Jam tn 7 lapcros mnos qu

él, d ahí qu Jam tn 11 lapcros.

Escrb la rlacón numérca qu modla la stuacón antror:

Figura 7

+ ? =

Discute con tus compañeros sobre lo siguiente.

• ¿Es necesario usar siempre para representar una nc gn ta

• ¿Qué sucede si utilizas otra letra? ¿Cambia el proceso de resolución? ¿Cambia el resultado final?

Considera la siguiente situación: Alguien tenía 63.00 y pagó 15.00; le quedaron 48.00.

• ¿Cuál es la relación numérica correspondiente?

• Usando dicha relación, redacta con tus compañeros problemas modelados por cada una de las

siguientes expresiones:

a) + (-15) x (se puede escribir como 63 = x )

b) 15 40 (se puede escribir como x 40

c) + x 4

Para curiosos


Hay relaciones de comparación que

son más complejas de interpretar,

esto ayuda a que los alumnos no

utilicen objetos concretos para

plantear problemas y busquen

formas simbólicas de representar

las relaciones entre los datos del

problema.

Cada vez que sea necesari

es importante recalcar alos estudiantes que las

literales empleadas son

convencionales y el uso d

la “x ” para representar la

incógnita en una ecuació

es parte de dichas

convenciones.

Una competencia

importante que deben

desarrollar los estudiante

es plantear problemas

sujetos a condiciones prev

PROHIBIDA

SU VENTA

Nota : para ser consecuente deberia decir 48 en vez de 40 (con el desarrollo y el ejemplo del cual se partió)

Yo tenia 63 gatos y murieron 15. ¿Cuántos gatos tengo?

$15 + $48 = $63

No cambia nada, es exactamente lo mismo.

No. Podemos usar cualquier letra pero generalmente se usa x.

15

15

7 + 11 = 18



2) osé l dbía $381.00 a Manul y l dvulv $123.00. Ahora solamnt l db

$258.00.

Puds xprsar sta rlacón numérca como:

3) Pablo l db 12 stampllas a Flp, pro Flp l db 7 a Pablo, así qu Pablo

solamnt l db 5 stampllas a Flp.

La rlacón ntr los númros mplcados s la sunt:

Consdrando los trs ncsos antrors y las rlacons adtvas qu s dtrm-

naron n llos, rtoma la stuacón ornal y planta trs problmas qu tnan la

ncónta n l luar ndcado, ncuntra l valor d la ncónta n cada caso y d-

trmna la solucón dl problma.

Stuacón adtva dl ncso 1): Pablo tn 38 lapcros n su tnda. Su prmo Jam

tn 17 lapcros mnos qu él, d ahí qu Jam tn 21 lapcros.

a) Planta un problma n l qu la ncónta sa l prmr sumando:

Rsolucón dl problma:

• Ecuacón: x +

• Opracons:

• Rsultado: x =• La solucón dl problma s: .

b) Planta un problma n l qu la ncónta sa l sundo sumando:


• Ecuacón: + x

Discute con tus compañeros por qué siempre se uti iza e signo + para p antear arelación aditiva. ¿Se podría hacer utilizando el signo -?

Para curiosos

BLOQUE 1

En el curso anterior se dio sentido a

los números enteros a través de la

representación en la recta numérica

de diversas situaciones de

comparación, adición y sustracción.

Puesto que no abundan los

problemas reales que impliquen

operaciones de números con signo,

el plantear situaciones en base a

“deber y pagar”, facilitará la

comprensión de este tema a los

alumnos.

PROHIBIDA

SU VENTA

381.00 – 123.00 = 258

12 – 7 = 5

Se ha convenido utilizar el signo +

para la adicion y – para la

sustracción, sin embargo, una restaes una suma de un número

negativo.

A la hora de la cena la familia se comió un total de 17 panes. Si se compraron 38 panes,

¿cuántos quedan para el desayuno?

2121 panes quedan para el desayuno

17 38

x = 38 – 17

Rodrigo tiene 38 años y tuve a su hijo a los 21 años.

¿Cuántos años tiene el hijo?

21 38



• pracons:

• Rsultado: x =

• La solucón dl problma s: .

c) Planta un problma n l qu la ncónta sa l rsultado d la suma:


• Ecuacón: + x

• Opracons:

• Rsultado: x =


Stuacón adtva dl ncso 2): José l dbía $570.00 a Manul y l dvulv $356.00.

Ahora solamnt l db $214.00.



• Ecuacón: x +• Opracons:

• Rsultado: x =




• Ecuacón: + x =

• Opracons:

• Rsultado: x =

• La solucón dl problma s:

2


Los aspectos algorítmicos del álgebra

no van separados del proceso de

modelación. Esto es, se propone que

los alumnos vayan aprendiendo a

operar con expresiones algebraicas

a medida que sean necesarias en la

resolución de problemas.

PROHIBIDA

SU VENTA

21 + x = 38 21 – 21 + x = 38 – 21 x = 38 – 21

17

17

Si Andrea y Ximena tenían 21 estampitas de colección y las juntaron con las de Carlos

y Jorge que contaban ya con 17, ¿cuántas estampas tenían en total?

El uniforme de la escuela cuesta $570. Alfredo solo tiene $214,

¿cuánto le falta para poder comprar el uniforme?

214 570

x + 214 – 214 = 570 – 214

356

$ 356

17 21

17 + 21 = 38

38

38

En una escuela se cuenta con 570 estudiantes de los cuales 356 se fueron de excursión al

bosque. ¿Cuántos alumnos se quedaron estudiando en la escuela suponiendo que nadie faltó?

356 570

356 – 356 + x = 570 – 356

214

214 estudiantes





• Ecuacón: + = x• Opracons:

• Rsultado: x =

• La solucón dl problma s:

Stuacón adtva dl ncso 3): Pablo l db 27 stampllas a Flp, pro Flp l

db 9 a Pablo, así qu Pablo solamnt l db 18 stampllas a Flp.



• Ecuacón: x +

• Opracons:

• Rsultado: x• La solucón dl problma s: .



• Ecuacón: + x

• Opracons:

• Rsultado: x =



BLOQUE 1

Siempre que se trabajen temas

algebraicos es conveniente insistir

en que los alumnos interpreten,

simbolicen y manipulen las

variables incluidas en los

problemas.

PROHIBIDA

SU VENTA

En un establo tienen 27 bestias, de las cuales 9 son vacas y el resto caballos y becerros.

¿Cuántos animales distintos a las vacas hay en esl establo?

9 27

9 – 9 + x = 27 – 9

18

18 animales.

En Io A se clasificaron 17 insectos diferentes en 2° B se clasificaron 9 insectos diferentes.

¿Cuántos clasificaciones se tienen en los dos grupos en total?

En una fiesta se partió un pastel en 27 rebanadas pero sólo se comieron 18.

¿Cuántas rebanadas de pastel quedaron?

18 27

x + 18 – 18 = 27 – 18

9

9 rebanadas.

356 214

356 + 214 = x

570

570

La primera semana doña Gonzala gastó en despensa $356 y la segundo $214.

¿Cuánto gastó en total las dos semanas?




• Ecuacón: + = x

• Opracons:

• Rsultado: x =• La solucón dl problma s:

Resuelve los siguientes problemas utilizando adiciones y sustracciones de números

con signo. Discute los resultados con tus compañeros.

• Si Andrés tiene $81.00 y gana $50.00 en una apuesta, ¿cuánto tiene en total?

• A Miguel le pagaron 350.00 y perdió 125.00. ¿Con cuánto dinero se queda?• Juan tiene $250.00 y le deben $75.00. ¿Cuánto dinero tendrá cuando le paguen?

• Silvia tiene 32 estampas, Miriam tiene 6 más que Silvia. ¿Cuántas estampas tiene

Miriam?

• Rosa tiene 18 muñecas, Elvira tiene 6 menos que Rosa. ¿Cuántas muñecas tiene

E vira?

• Gerardo ganó 5 boletos para el cine, y en una ri a ganó otros 3. ¿Cuántos boletos

tiene?

• Leonardo ganó 25 estampas en un volado, y perdió 6 en otro volado. ¿Con cuántas

estampas se que ó?

• Luis perdió 11 canicas, y al jugar perdió otras 6. ¿Cuántas canicas perdió en total?

• Rodolfo realizó dos trabajos para una empresa. De uno le deben 310.00 y del otro,160.00 ¿Cuánto dinero le deben en total?

• Ernesto ganó 460.00 y le debe a Yolanda 540.00. ¿Cuánto dinero le seguirá de-

biendo a Yolanda si le paga todo lo que ganó?

• Beto tenía 82.00 y después cobró una cantidad que le debían; al final tiene 98.00.

¿Cuánto le debían?

• Jorge le debía 175.00 a José y le devuelve 58.00. ¿Cuánto le debe todavía?

• Antonio tenía ahorrado un poco de dinero. Le debían y le pagaron $94.00 de una

venta, con lo que ahora tiene 132.00. ¿Cuánto dinero tenía?

Resuelve los siguientes problemas en los que realizarás adiciones y sustracciones de

números decimales o racciones con signo.

• Roberto le debe 20.00 a Luis, y si Roberto le da 30.00 a Luis, ¿quién debe a quién

y cuánto?

• Si Francisco tiene ahorrados 250.00, y le pagan por una venta la mitad de lo que

tiene, ¿cuánto dinero tiene ahora?

• Manuel le debe a su hermano 750.00, y a Pedro le debe e o que e e e a su

hermano. ¿Cuánto dinero debe en total?

E N

E L AT E N E O

1

2


La resolución de problemas

implica, en la perspectiva delautor, una estimación

del resultado antes de

resolverlo, aplicar varios

procedimientos, discutir

los procedimientos

empleados, modificar

los datos para valorar los

procedimientos de

resolución, plantear una

solución diferente, encontrar

los datos que se acomodan

a dicha solución y plantear

problemas similares referidos

a otros contextos.

Siempre que sea posible

hay que incluir números

decimales y fracciones,sobre todo para resaltar las

relaciones numéricas y que

los estudiantes no centren

su atención en el tipo de

números empleados.PROHIBIDA

SU VENTA

9 18

9 + 18 = x

2727 clasificaciones.

$ 131

$ 225

$ 325

38 estampas

12 muñecas

8 boletos para el cine

19 estampillas

17 canicas

$ 470

$ 80

$ 16

117

$ 38

Luis debe a Roberto $10.00.

$ 375

$ 1 000



Caminos entre letras y fguras

Dspués d analzar los procdmntos para ralzar opracons artmétcas con

númros con sno, puds utlzar las msmas rlas para fctuar opracons con

ltrals, a fin d cuntas pudn rprsntar númros tambén.

• Si de lo que tenía de lápices doy a Jorge y me quedan 12 lápices, ¿cuántos lápi-

ces tenía?

• Un albañil cobra $500.00 por un trabajo, y Tito tiene 3 veces lo que le cobra el al-

bañil, ¿con cuánto dinero se queda Tito después de pagar el trabajo?

• José cobra $1600.00 por un trabajo, y si le piden que haga solamente2

de esetrabajo, ¿cuánto tendrá que cobrar?

• Brenda tiene 46 estampas, y jugando con Gloria pierde2

de ellas. ¿Cuántas estam-

pas obtiene Gloria?

• Un carpintero tiene una tabla que mide 2.54 m de largo y necesita usar7

de esa

longitud. ¿Cuánto mide el pedazo de tabla que le queda?

• Para pintar un muro de 3 m se utiliza L de pintura. ¿Cuántos m se pintar n con9

L de pintura?

Resuelve los siguientes problemas en los que se puede utilizar una multiplicación o

división de números con signo.

• Pongo $35.00 en una apuesta y gané 5 veces ese valor. ¿Cuánto dinero gané?

• Si paso libros de un librero a otro empleando una caja a la que le caben 15 libros,

¿cuántos libros cambié de librero si realicé 7 viajes?

• En una apuesta puse $1500.00, y me prometieron que si ganaba me darían 6.5

veces lo apostado. ¿Cuánto dinero me ganaría?

• Toño tiene 36 canicas y en secreto sus padres le pusieron en el costal de canicas

4.5 veces la cantidad que originalmente tenía. ¿Cuántas canicas tiene ahora Toño

en su costal?

• Mariana tiene una colección de 424 estampillas y por accidente perdió8

e esa

cantidad. ¿Cuántas estampas perdió?

• arcos tiene de los 123 libros que tiene Marta. ¿Cuántos libros le altan a Marcos

para tener a misma canti a que Marta

• Guillermo y Octavio juntaron dinero para comprar un boleto de avión para Guiller-

mo. Guillermo puso $426.00 y Octavio puso de lo que puso Guillermo. ¿Cuánto

cost el oleto e Guillermo

• De 350 aves que tiene una granja, son ga inas, son gansos, e resto son patos.

¿ uántas aves ay e ca a especie?

• ¿Cuántos lápices son la mitad de las tres cuartas partes de 64 lápices?

3

2

BLOQUE 1

Más que resolver un

problema particular, los

estudiantes deben

aprender a plantearlo y

resolverlo con las

modificaciones que han

incorporado; ese tipo de

actividad es más relevante

que repetir un

procedimiento de

resolución muchas veces.

Se inicia el proceso para

introducir la manipulación

algebraica, dado que en

los problemas anteriores

debieron prevalecer

solamente las relaciones

aritméticas: “si a este

número se le debe sumar

(restar, multiplicar o

dividir) un número para

que me dé este valor,

entonces dicho número

debe ser tal”.

PROHIBIDA

SU VENTA

48 lápices.

$ 1000.

$1 066.67.

18 estampas.

0.66 m.

8.1m2.

$75.

105 libros.

$9 750.

198 canicas 36 X 4.5 162 + 36 = 198 canicas.

Perdió 159 estampillas.

82 libros.

$781.

140 gallinas, 175 gansos, 35 patos.

24 lápices.



Para llo ralzarmos una actvdad. Comncmos por amplar l matral utlza-

do n l prmr apartado d sta lccón. D un matral rído rcorta 10 pzas

azuls y 10 amarllas d cada una d las undads qu s mustran n la fiura 8, s-

undo las mddas qu ahí s ndcan.

Antrormnt asnamos a cada cuadrado pquño d color azul l valor ( 1) y a

cada cuadrado amarllo l valor ( 1).

Ahora, a cada rctánulo d color azul l asnarmos l símbolo “ x” y al d color

amarllo, “ x”.

Así msmo, cada cuadrado rand azul s asocará con “ x2”, y cada cuadrado ran-

d amarllo con “ x2”.

Como cada tránulo s obtn al dvdr por la mtad, rspctvamnt, l cua-

drado pquño, l rctánulo y l cuadrado rand (sún s aprca n la fiura 8),

ls asnarmos la mtad dl valor qu tna l cuadrlátro qu ls corrsponda.

Así pus, n la fiura 9 s mustra l valor asocado a cada pza.

3.3 cm 3.3 cm

3.3 cm 3.3 cm

1 cm 3.3 cm 3.3 cm

3.3 cm 3.3 cm

1 cm

1 cm

3.3 cm 3.3 cm

1 cm 1 cm 1 cm

1 cm 3.3 cm 3.3 cm1 cm

1 cm 1 cm 1 cm 1 cm

Figura 8


Se describen materiales similares a

los que Dienes presentó en la

década de 1950 y en los cuales

basó sus propuestas para la

enseñanza del álgebra.

Para trabajar con los bloques

algebraicos de Dienes seutilizaron algunos elementos

que presentó Bruner por la misma

época, en particular tres modos

básicos mediante los cuales el ser

humano representa la realidad, los

modos enactivo, icónico y simbólico.

Representación enactiva: consiste

en representar cosas mediante la

reacción inmediata de la persona,

en la cual se fusionan la acción con

la experiencia externa. En este caso la

representación es meramente

concreta, como sucede en las

matemáticas naturales.

Representación icónica: consiste en

representar cosas mediante una

imagen o esquema. Sin embargo talrepresentación sigue teniendo algún

parecido con la cosa representada.

La elección de la imagen no es

arbitraria.

Representación simbólica:

consiste en representar una cosa

mediante un símbolo arbitrario que

en su forma no guarda relación con

la cosa representada.

PROHIBIDA

SU VENTA



Expresiones algebraicas equivalentes

Para qu vas cómo s manjan las pzas, a las qu llamarmos fichas, analza l s-

unt jmplo y dscútlo con tus compañros.

Toma las sunts pzas:

Toma n cunta cada pza y haz una lsta d las qu tns:

S juntas las pzas, ¿cuántas fichas d cada una tndrías? ¿cómo smbolzarías l

juntar todas las pzas? ¿qué opracón artmétca stá asocada a juntar las pzas?

Figura 9

Figura 10

x

-

-

-

x

4

BLOQUE 1

Las representaciones geométricas

son un modelo claro de

las expresiones algebraicas. Estas

representaciones ayudan a los

alumnos a comprender notaciones

y procesos algebraicos a partir de

elementos gráficos sencillos.

No todo lo que se puede hacer en

álgebra se podrá hacer con el

material sugerido, hay que recordar

que el material solamente ayuda al

inicio y que el objetivo es que los

estudiantes se desprendan de élpara realizar el trabajo formal

con símbolos.

PROHIBIDA

SU VENTA

x , x , 1, 1

Si las juntamos tendríamos 2x y 2.

La operación aritmética al asociar las piezas es una suma 2x + 2.



Entoncs, l rsultado d juntar todas las pzas pud sr xprsado smbólcamn-

t como: .

¿Con cuáls pzas rprsntarías: 2 x + 2; 3 x + 5; x 1; 3 x 2; 2 x 1; 4 x 5?

Con las pzas d la fiura 10 s pud formar l rctánulo mostrado n la fiu-

ra 11. ¿Cómo xprsarías, con las dnomnacons d las pzas, cada uno d sus la-

dos? ¿Qué opracón utlzarías para rprsntar l ára dl rctánulo? ¿Cómo x-

prsarías, usando las dnomnacons d las pzas, l ára dl rctánulo?

Como con las msmas pzas x, x, 1 y 1 construmos dstntas cosas, las dfrnts

xprsons para rprsntar la msma cantdad d pzas s ls llama expresiones

equivalentes.

x + x 1 + 1 2 x + 2 2 ¥ ( x 1).

Tambén podmos construr xprsons quvalnts con otras fichas. Analza lo

qu ocurr con las sunts confiuracons d las fichas.

Las fichas qu tnmos n la fiura 12 son:

, , , , , , , .

Sumando térmnos smjants, s obtn la sunt xprsón:

+ .

S s forma un rctánulo con las fichas (fiura 14), s obtn:

( + ) ( + ).

Figura 11

Figura 12

Figura 13


Se puede partir de un conjunto de

fichas y agregar o quitar fichas para

representar simbólicamente los

cambios. También, se puedenhacer actividades en las cuales

algunos estudiantes muestren a

otros expresiones algebraicas y

estos últimos indiquen las fichas

que pueden servir para representar

lo que se indica.PROHIBIDA

SU VENTA

Para representar el área del

rectángulo multiplicamos base por

altura.

(x + 1) ϫ (x + 1)

2x + 2

x 2 x x x x 1 1 1

x 2 4x 3

x 3 x 1

2x 2

1 1

x x

4x 5

1 1 11 1

x x x x

2x 1

x x

1

x 1

1x

3x 5

1 1 1 1 1

x

x x

3x 2

1 1

x x x



D sta forma, tnmos qu con las fichas x , x, x, x, x, 1, 1, 1 s pudn obtnr

las sunts xprsons quvalnts:

Con tus compañros, ncuntra xprsons quvalnts para las confiuracons

qu s pudn obtnr con las sunts fichas:

Figura 14

Figura 15

Figura 16

Figura 17

BLOQUE 1

En el caso de la suma se usa la

conocida idea de “juntar”, pero en

el caso de la resta conviene utilizar

la idea de “eliminar”.

PROHIBIDA

SU VENTA

(x +3) (x + 1) = x 2 + 4x + 3

(3x – 6) = – 1 + 3x – 5

(–x 2 + 4x ) = 2x – x 2 + 2x

(x 2 + x ) – 1 + x = x 2 + 2x – 1



Expresiones equivalentes y operaciones algebraicas

Habndo asnado valors a las pzas qu nos srvrán d undads, procdamos

ahora a rprsntar opracons con llas.

Consdra, para mpzar, qu puds arupar y combnar pzas dl msmo tpo

pro no d tpos dfrnts. Obsrva la fiura 18.

Con las fichas d la fiura 18 s forman trs arupamntos dstntos. Tomados

por sparado son:

, , .

Tomadas las pzas n conjunto y dado qu sumar s juntar, s pud scrbr la

xprsón albraca:

+ .

En la fiura 19 l conjunto d los trs arupamntos , , s pu-

d rprsntar con la adcón:

+ .

Figura 18

Con tus compañeros, encuentra expresiones equiva entes a as siguientes:

• (+ x ) • ( x ) • (+ ) • (- )

• ͩ + ͪ • ͩ - x ͪ • ͩ + ͪ • ͩ x ͪ

Para curiosos


Las identidades algebraicas son

un concepto central del álgebra

y constituyen la base para la

transformación de expresiones

algebraicas en la resolución de

ecuaciones y en la simplificación

de expresiones. Este modelo

geométrico permite establecer

algunas identidades algebraicas

elementales.

PROHIBIDA

SU VENTA

= 3x = – 2x = (2x )2 = – (3x )2

= x 2/2 = – 3x 2/2 = 3x /2 = – x /2

2x 2 5x 3

2x 2 5x 3

+ x 2 – 2x 1

x 2 (– 2x ) 1



Puds usar las pzas tranulars, qu rprsntan parts d las pzas cuadra-

das o rctanulars, para xprsar d dvrsas manras una msma stuacón. Por

jmplo, scrb n l rcuadro una xprsón albraca asocada a las pzas mos-

tradas n la fiura 20:

.

Esta xprsón tambén s pud scrbr como:

o o ,

por lo tanto, s pudn obtnr varas xprsons quvalnts. Con tus compañros

dscut as posbls xprsons quvalnts y scrb n tu cuadrno las ualdads

corrspondnts.

En st tpo d fichas tambén s aplcan los qulbros ntr colors, s dcr,

l msmo númro d fichas smjants azuls con l msmo númro d fichas s-

mjants amarllas s qulbran y forman un cro, como s hzo antrormnt n

sta lccón.

Escrb xprsons quvalnts rlaconadas a la fiura 21:

Figura 19

Figura 20

Figura 21

BLOQUE 1

La relación entre la formación de

figuras con las piezas y su

representación en el lenguaje

algebraico es un punto importante

en el uso de este tipo de materiales.

La representación de algunos

polinomios sencillos es el comienzo

para reconocer términos

semejantes y constatar que no se

pueden operar de manera

arbitraria.

PROHIBIDA

SU VENTA

x 2 + ½ x 2

3/2 x 2 1.5x 2 3x 2/2

= – 3x + x + ½ x + ½ x

= – 2x + 2/2x

= – 2x + x

= – x



Obsrva qu:

Esto conduc a:

.

¿Cómo rprsntarías las sunts opracons usando fichas d los dos colors?

• (2 x + 4) + ( x 2)

• ( 3 x + 2) + (4 x 5)

• ( x 2 x + 1) + ( 2 x + 3)

¿Cuál sría l rsultado s al juntar las pzas n cada caso no consdras los qu-

lbros? ¿Por qué no mporta consdrar los qulbros?

Una manra d obtnr xprsons quvalnts s ralzar opracons. Con los

procdmntos para sumar númros con sno puds sumar xprsons al-

bracas apoyándot tambén n l uso d las pzas. Por jmplo, para sumar las

xprsons

+3 x2 2 x 5

x x 3

s procdrá d la sunt manra:

iscute con tus compañeros lo siguiente.

Encuentra diversas ormas de representar las siguientes expresiones algebraicas. En

cada caso dibu a al menos dos disposiciones que representen la misma expresión

algebraica.

• +3

• - -5

2

• - x + 2 • -

Para curiosos

Figura 22


Las maneras de escribir una

expresión algebraica asociada a las

mismas piezas, pero acomodadas

de diferente forma, ayuda a entender

algunas equivalencias entre

expresiones algebraicas.

La escritura de expresiones

algebraicas que se pueden

reducir es un tema importante.

La reducción de piezas se puede

hacer manualmente a partir de las

reglas y equilibrios con fichas de

colores que se emplearon en el

trabajo de los números enteros.

PROHIBIDA

SU VENTA

Respuesta modelo.

Porque con las fichas el orden no afecta el resultado.

= ½ x 2 + 2x 2 + x + ½ x

= – 2x

2 + 1/2x

+ 2x

= 4x 2 + 3x – 2 – ½

= x 2 – 1 – ½

– 3x + x + ½ x + ½ x = – x

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)



La suma qu acabamos d ralzar tambén s pud hacr n forma scrta, prs-

cndndo d las pzas, pro oprando solamnt con térmnos smjants, colum-

na por columna:

+3 x2 2 x 5

- x2 x 3

3 x - 2 x 5

x + x 3

2 x

3 x 2 x - 5

x x + 3

2 x - x

Así obtuvmos xprsons quvalnts, xprsadas d la sunt manra:

(3 x2 2 x - 5) + ( - x2 + x + 3) = 2 x x 2.

La sustraccón d xprsons albracas la puds ralzar d manra smlar.

Tommos l sunt jmplo:

3 x 2 x - 5

x x 3

Rprsntamos cada sumando con pzas.1

3 x2 - 2 x - 5 - x2 + x + 3

Para sumar, juntamos todo.2 Postrormnt, lmnamos las p-

zas qu forman qulbros. (Solamnt

podmos “qulbrar” pzas dl ms-

mo tpo, s dcr, piezas semejantes.)

3

+

3 x2 2 x 5

- x2 + x + 3 +

3 x2 2 x 5

- x2 + x + 3

2 x2 - x - 2

BLOQUE 1

Los estudiantes deben trabajar

constantemente en la

transformación de expresiones

algebraicas para que se familiaricen

con el manejo de las fichas. En esta

parte pueden emplear fracciones

y decimales.

PROHIBIDA

SU VENTA

2x 2 – x – 2



En st caso, al mnundo (la xprsón d arrba) hay qu “qutarl” l sustrando (la xprsón d abajo).1

(mnundo) (sustrando)

Tal y como s procdó n la sustraccón con númros ntros, s s tn un mnundo qu carc d las

pzas ncsaras para qutarl l sustrando, s l aran cros.

2

Para obtnr l rsultado rtramos dl mnundo las pzas qu conforman l sustrando.3

3 x 2 x - 5

x x + 3


La suma de polinomios es un buen pun

de partida para trabajar con las fichas.

El maestro debe ir elaborando pregunt

para reducir términos semejantes y res

el procedimiento “usual” empleado pa

realizar esta operación a partir del uso

exclusivo de términos.

Se deben utilizar las fichas del minuendo

para ir eliminando fichas que se indiquen en el

sustraendo; en el caso de faltar fichas solamente se

añadirá un cero o un equilibrio con el número de

fichas suficientes para poder realizar la operación.

PROHIBIDA

SU VENTA

x 2 – x 2 + x – x + 3 – 3 = 0

4x 2 – 3x – 8

3x 2 – 2x – 5 – x 2 + x + 3



En símbolos, sta opracón tambén s llva a cabo por columnas d térmnos

smjants:

-3 x2 2 x 5

- x2 x 3-

3 x - 2 x - 5

x + x 3

4 x

-3 x - 2 x - 5

x2 x + 3

4 x - 3 x

S obtuvron las sunts xprsons quvalnts:

(3 x2 2 x - 5) - ( x2 x + 3) = 4 x - 3 x 8.

bserva que en el e emplo anterior se puede obtener el mismo resultado sumando

el sustraendo con los signos cambiados:

3 x 2 - x -

x 2 - -4 x 2

x - 2 x -

- x - x - 3 x

+

x - 5

- 34 x - 8

¿Esto es válido en general?

Escri e os expresiones que si se suman o se restan, consi eran o que a suma y a

resta son expresiones de signo contrario, den el mismo resultado. ¿Es posible?

Para curiosos

Para ca a uno e os siguientes 12 agrupamientos e piezas escri e a expresión a ge raica que e

corresponda. Además, cuando sea el caso, encuentra expresiones equivalentes en cada inciso.

1

E N

E L AT E N E O

(a (b ( (

( (f (g (h

BLOQUE 1

El maestro debe ir señalando

momentos que indican pasos

generales para resolver la operación

de manera simbólica.

PROHIBIDA

SU VENTA

5 5x + 2x = 7x – 3x 2 ½ x + ½ x + ½ x + ½ x = 2x

– 4x – 5x = – 9x 2/2 x 2 + 5/2 x 2 = 7/2 x 2 5 + 5 = 10 5x 2

Sí, por la ley de los signos.

Por la regla de los signos es posible.

Ejemplo.

4x 2 – 8x + 3

– 2x 2 – 6x – 1

6x 2 – 2x + 4

Es lo mismo que:

4x 2 – 8x + 32x 2 + 6x + 1

6x 2 – 2x + 4

4x 2 – 3x – 8

+

–

– +

2 – +



Representa con piezas las siguientes expresiones algebraicas.

• + - • - x + 2

• + + • - - +

• - - 5 • - +

Para cada uno de los siguientes 9 agrupamientos de piezas escribe al menos dos expresiones alge-

braicas equivalentes.

2

3

( ( ( (

(a) (b) (c )

( ( ) (f )

(g (h) ( )

4


Es importante trabajar

piezas triangulares jun

con las piezas cuadrad

y rectangulares.

Conviene insistir en qu

los estudiantes deben

trabajar una configura

de fichas considerando

varias representacione

algebraicas; por lo me

una tomando en cuen

todas las fichas y otra

después de reducir el

número de fichas por

equilibrios o reacomod

de las fichas.

PROHIBIDA

SU VENTA

5/2 x 2 5 – 5/2x – 4/2x = – 9/2x 3 + 5 = 8

– x 2 – 2x 2/2 = – x 2 – ½ x 2 – ½ x 2 = – 2x 2

– 2x – ½ x – ½ x = – 3x –1 – 3/2 = – 5/2

3x 3/2x + x = 5/2 x 5/2 + 1 = 7/2

4 – 2 + 5/2 – 5/2 = 2

– x 2/2 + 3/2 x 2 + 2x 2 – x 2 = 2x 2 3/2 x – 4/2x – x + 3x = 3/2 x 4 – 2 + 5/2 – 5/2



Dadas las siguientes expresiones algebraicas, encuentra dos expresiones algebraicas equivalentes.

• - x • 2 x • x • - x

• 2 x • - 2 x • - 2 x • 2 x

• 2 • - • • -

Realiza con las piezas las siguientes operaciones entre las expresiones algebraicas dadas y escribe el

procedimiento que emplearías si las resolvieras simbólicamente.

• +- - -

x - 3 x + 2• +

+ +

3 x 2 3 x +• -

- +

-2 x - x 3

• -- +

- a a

• ++ w -

-2 - w +

•m - +

-2m + m -

Resuelve con símbolos las siguientes operaciones representadas con piezas.

• Adición:

• ustracción:

• Adición:

4

5

6

Primer sumando Segundo sumando

Primer sumando Segundo sumando

inuendo ustraendo

BLOQUE 1

Conviene usar una

ustracción para

omprobar una suma de

olinomios e inversamente,

sar una suma para

omprobar una sustracción

e polinomios.

No son necesarias largas

stas de operaciones, basta

artir de algunas de las

ue se plantean,

modificarlas y analizar lo

ue sucede.

PROHIBIDA

SU VENTA

= – ½ x 2 – x 2 = 2x 2 + x2/2 = x 2 + ½ x 2 = x 2 – 3/2 x 2

= x – ½ x = – 1/2x – x = x – ½ x = 3x

= ½ + ½ + ½ + ½ + ½ = – 4 –½ = 2 + ½ = – 3 – ½

– x 2 – 5x – 5 – 2x 2 – x + 5 – 2x 2 + 4x – 2

2a2 (1) + 7a – 5 2w 2 +3 m2 – 8m + 7

– 4x 2 – 3x – 3 + 2x 2 + 2x + 5 = – 2x 2 – x + 2

4x 2 – 5x – 4 – (– 2x 2 + 3x + 3) =



Demuestro lo que sé y hago1 Rsulv las sumas, rstas, multplcacons y dv-

sons sunts.

• (-10) + (+18) • (-21) + (-14) • ( 26) (-13)

• ( 16) (+29) • ( 15) ( 17) • ( 30) ( 18)

• (+21)( 9) • (+25)( ) • ( 42)( 8)

• (-22) ∏ (+11) • ( 42) ( 6) • ( 60) (-15)

•ͩ 1

-2ͪͩ

5

6ͪ• ͩ

4

7ͪͩ

-3

8ͪ • ͩ

-2

5ͩ 2

-5ͪ

• (0.2)(1.5) • ( 0.8)(6.2) • ( .3)( 3.2)

2 Encuntra l númro faltant n las sunts op-

racons.

• (+8) + ( ) = 12 • ( ) + (-4) = -15

• ( ) + ( 6) = 12 • ( 6) ( ) = -6

• (+9) - (-8) = • ( 13) ( 7)

• ( )(-5) = +20 • (-5)( ) 20

• (-4)(-2) = • ( )( 4) +12

• (+7)( ) = +35 • (+5)(+10) =

• ( ) ∏ ( 2) = 20 • (+35) ( 7)• (-90) ∏ (-5) = • ( ) ∏ (-2) = +14

• (+4) ∏ ( ) 4 • ( 144) ( ) = -24

•ͩ 1

-3ͪͩ ͪ ͩ -2

9ͪ•ͩ ͪͩ 2

5ͪ ͩ 6

20ͪ

•ͩ 1

2ͪͩ ͪ ͩ 3

-14ͪ•ͩ 3

4ͪͩ

2

5ͪ=ͩ ͪ

•ͩ 2

9ͪͩ

4

-5ͪ ͩ ͪ •ͩ ͪͩ 1

8ͪ ͩ 4

-40ͪ

• (-0.8)(+0.5) = • ( )( .9) = +3.42

• (+0.4)( ) = 0.4 • ( 1.6)( ) = 5.44

• (-0.25) ∏ ( 0.5) =

• ( ) ∏ ( 0.13) +3.8

• (+0.18) ( ) = -0.3

• (-0.936) ∏ ( ) = 2.6

3 Rsulv los problmas sunts.

• A Manul l paaron $650.00 y prdó $225.00.

¿Con cuánto dnro s quda?

• Jor tn $450.00 y l dbn $65.00. ¿Cuánto d-

nro tndrá dspués d cobrar sa duda?

• Raúl anó $420.00 por un trabajo, y l dbían por

otro trabajo $210.00. ¿Cuánto dnro tndrá?

• Alfonso tnía $52.00 y dspués cobra una suma

qu l dbían; al final tn $720.00. ¿Cuánto

anó?

• Javr l dbía $850.00 a Susana, l dvulv

$230.00. ¿Cuánto l db todavía?

• S d lo qu tno d lápcs l doy 12

a Jssca y

m qudan 19 lápcs, ¿cuántos lápcs tnía?

• S un albañl cobra $2 500 por un trabajo, y

Tomás tn 4 vcs lo qu l cobra l albañl,

¿con cuánto dnro s quda Tomás dspués d

paar por s trabajo?

• Lus cobra $3 400 por un dtrmnado trabajo, y

s l pdn qu solamnt haa3

4d s trabajo,

¿cuánto tndrá qu cobrar?

• Un carpntro tn una tabla qu md 3.25 m dlaro y tn qu cortarla n dos parts para usar4

7d la lontud total. ¿Cuánto md l pdazo d

tabla qu l quda?

• Sandra tn una colccón d 536 stampllas y

por accdnt prdó2

5d llas. ¿Cuántas stam-

pllas prdó?

• S María tn1

3d los 693 lbros qu tn Elsa,

¿cuántos lbros l faltan para tnr la msma can-

tdad qu Elsa?

• Aída puso1

3d los $725.00 qu tn Gonzalo

para compltar l costo d su vaj. ¿Cuánto paó

Gonzalo por su vaj?

• D 550 avs qu tn una ranja,2

5son allnas,

1

2son ansos, l rsto son patos. ¿Cuántas avs

hay d cada spc?

4


Las actividades planteadas pueden ser

aprovechadas de diversas formas; como

evaluación parcial o de la lección,

como temas de discusión en clase o como

actividades por resolver en casa

o como base para que los estudiantes

planteen actividades similares.

El maestro puede elegir solamente algunas

de las actividades: no es necesario que se

resuelvan todas.

PROHIBIDA

SU VENTA

8 =

– 45 =

– 189 =

– 2 =

= 2

= – 100

= 7

= 13

= – 12

= 336

= – 4

= – 5/12 = 3/14 = 4 /25

= 0.3 = – 4.96 = 0.96

4

6

17

25

8

5

– 40

18

– 1

– 2

– 3

– 3

– 7

8

– 45

– .4

– 1

0.5

– 0.94

– 0.6

0.36

– 11

0

20

4

– 3

50

– 5

– 28

6

– 3

– 4

6

20

4

5

3.8

3.4

$425.

$115.

$630.

$668.

$620.

38 lápices.

$7 500.

$2 250.

1.39.

214.4.

462 libros.

$483.33.

220 gallinas.

275 gansos.

55 patos

= –35



4 Escrb la xprsón albraca qu corrsponda a

cada uno d los sunts arupamntos d pzas.

5 Para cada uno d los sunts arupamntos d

pzas scrb al mnos dos xprsons albracasquvalnts.

6 Rsulv con símbolos las sunts opracons.

•2 x2 + 3 x + 2

3 x2 4 x + 3

•2 x2 + 4 x - 2

2 x2 - 3 x - 1

•6 x2 3 x 9

3 x2 2 x + 5

7 Rsulv los sunts problmas.

• En la msa d un rstaurant s han colocado

12 cucharas más qu cuchllos. S n total son

76 cubrtos, ¿cuántos son d cada uno?

• Corté una tabla d 60 cm d laro n dos parts.

S una md 14 cm más qu la otra, ¿cuánto md

cada part?

8 Rsulv con símbolos las sunts opracons

rprsntadas con pzas.

• Adcón:

• Adcón:

9 En un rctánulo l laro s cuatro vcs l ancho, y

l prímtro s 30 cm. ¿Cuánto md cada lado?

rimer sumando

Segundo sumando

rimer sumando

Segundo sumando

x

BLOQUE 1

En la actividad 8, el maestro puede solicitar que

los términos no se sumen solamente, sino

que también se resten en el orden que se presentan

e invirtiendo los términos de la operación a fin de

comparar los resultados obtenidos.

PROHIBIDA

SU VENTA

– 4x 2 5x + x = 6x

5 + 1 = 6 5 + 3 = 8

x 2 + x 2/2 = 3/2x 2 4x + ½ x + ½ x = 5x 3 + 5/2 = 11/2

– x 2 – x +5

4x 2 + 7x – 1

– 3x 2 – 5x – 4

32 cuchillos.

44 cucharas.

23 cm una parte.

37 cm la otra.

5x 2 – 4x – 5

– 7x 2 + 8x + 8

– 2x 2

+ 4x + 3

– 3x 2 – 5x – 4

3x 2 + 5x – 3

– 7

2x + 2 (4) (x ) = 30

10x = 30

x = 3 cm y y = 12 cm

+

+

– + +

– 7



10 Calcula l valor d cada lado qu s pd. ( P corrs-

pond al prímtro d la fiura.)

11 Encuntra l valor d la cantdad dsconocda n las

sunts fiuras.

P 4 cm

x +

x +

x x

w

w + w

2 cm

P 40 cm

*h

*&Yc

h h h h

'&Yc

d d

ConéctatePuds consultar alunas pánas d Intrnt para pro-

fundzar n lo qu hmos studado n sta lccón.

• http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html

En este sitio encontrarás opciones de materiales virtuales

de enseñanza en varios grados y temas.

Tambén puds consultar los sunts lbros.

• Aurlo Baldor

ÁlgebraGrupo Cultural Patra, Méxco, 2007.

• José María Chamoso y Wllam Rawson

A vueltas con los númerosColccón Dáloos d matmátcas

Nvola, Madrd, 2003.

• Edouard Lucas

El laberinto y otros juegos matemáticosZuarto Edcons, Madrd, 1996.

• Eduardo Mancra

Matematebloquemática: el arte de aprender matemáticas haciéndose la vida de cuadritos

gei, Méxco, 2001.• Yakov Prlman

Álgebra recreativa.En lína: http://www.lbrosmaravllosos.com/

albrarcratva/ndx.html.

• Inmaculada Varas-Machuca et al. Números enterosSíntss, Madrd, 1990.


Lo que se ha trabajado con geometr ía y expresiones

algebraicas se puede generalizar para trabajar otras

situaciones geométricas.

En Internet hay diversos sitios en los cuales se enlistan varias

operaciones con polinomios que se pueden trabajar con las

fichas. También hay textos clásicos que tratan sobre la

enseñanza con manipulativos, de donde el maestro puede

obtener ideas valiosas.

PROHIBIDA

SU VENTA

x = 6 cm

x = 21/5 cm

w = 7 cm

r = 5 cm

d = 2 cm

d = 2 cm



Mis retos

Ya conoces os ángu os, a ora uti izarás sus me i as para estimar,

me ir y ca cu ar en iversas situaciones. Las me i as e ángu os as

realizarás con una unidad que conoces, los grados.

Haciendo uso de los ángulos podrás analizar las relaciones que se

esta ecen entre varias rectas en virtu e sus posiciones re ativas

en e p ano (rectas para e as, perpen icu ares u o icuas). E

conocimiento de esas relaciones es undamental en algunas

construcciones geométricas.Utilizarás criterios para reconocer ángulos opuestos por el vértice o

a yacentes. A emás, esta ecerás re aciones entre os ángu os que

se forman al cortar dos rectas paralelas por una transversal, lo cual es

muy útil para justi car relaciones entre los ángulos interiores de los

triángulos y paralelogramos.

¿Qué sé?

En el primer grado ya trabajaste con los ángulos, con bisectrices y

me iatrices.

También abordaste varios aspectos de la geometría que implicaron

el uso de figuras con ángulos de diversos tipos.


Muchas propiedades de las guras geométricas provienen de

considerar los ángulos que forman sus lados, ya que a partir de ellos

se establecen criterios para clasificarlas o para obtener unas figuras a

partir de otras.

2Qué dicen los ángulos

sus medidas

PROHIBIDA

SU VENTA



1 Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

• ¿Qué es un ángulo?

• ¿Cuántos grados mide un ángulo recto?

• ¿Cuántos grados mide un ángulo colineal?

• ¿Qué instrumento de medición usamos para saber cuántos grados mide un

ángulo?

• ¿Qué es una bisectriz?

• ¿Qué es una mediatriz?

• ¿Cuáles son los ángulos complementarios?

• ¿Cuáles son los ángulos suplementarios?

• ¿Cuáles son las rectas paralelas?

• ¿Cuáles son las rectas perpendiculares?• ¿Qué es la simetría?

2 Traza la bisectriz de los ángulos DE F y .

3 Traza la mediatriz de los segmentos D

4 En la gura (a) y en la gura (b), respectivamente, ¿cómo son entre sí los pares

de ángulos D DB

:

; < N O

P

L

MC

: :

9

9

7

7

8

8W X

4


Los estudiantes puede

responder usando el

lenguaje cotidiano; sin

embargo, la idea es qu

conozcan la terminolo

que se emplea en

estos casos.

En la escuela primaria

alumnos estudiaron el

ángulo como giro y co

elemento de las figura

geométricas. El desarr

de este tema permite

plantear situaciones en

que, mediante deducc

simples, se pueda calc

la medida de un ángu

Es importante que los

alumnos manejen eltransportador y utilice

compás para trazar án

PROHIBIDA

SU VENTA

Es la abertura entre dos rectas que se intersecan.

90°.

180°.

Transportador.

Recta que divide a un ángulo en dos partes iguales.

La mediatriz de un segmento está formada por todos los puntos que equidistande los extremos del segmento.

La suma de los ángulos ADC y CDB es igual a 180°. La suma de los ángulos ADC y CDB es igual a 90°.

Un par de figuras son simétr icas respecta de una recta l si cada par de puntoscorrespondientes de las figuras es simétrica respecto a l.

Los que forman un ángulo de 90° entre sí.

Aquéllas que se cruzan en el infinito.

Cuando la suma de las medidas de dos ángulos es 180°,se dice que son suplementarios.

La suma de dos ángulos que son complementarios es siempre igual a 90°.



Letras para fguras

Discute con tus compañeros la forma en que te referirías a una línea recta que pasa

por dos puntos diferentes y B, sin usar palabras y sin hacer dibujos. En el mismo

sentido: ¿cómo te referirías al segmento de extremos A y B?, ¿a la distancia entre A y B?, ¿cómo te referirías a un ángulo?

Como vimos anteriormente, las letras nos sirven para representar números. ¿Nos

servirán también para referirnos a figuras geométricas?

Dibuja un triángulo en tu cuaderno y da instrucciones a otro de tus compañeros

para que, sin ver tu triángulo, pueda reproducir uno igual.

Ahora conviene hacer algunas precisiones.

Por dos puntos pasa una y sólo una recta.

Una recta que pasa por los puntos A y B se denota por AB.

Un segmento de recta cuyos extremos están en los puntos A y B se denota

como AB. La longitud del segmento o la distancia entre los puntos extremos se sim-

boliza por AB.

De esta forma, un punto R está entre A y B si se cumple que AR + RB = AB, siendo

R A y R π B.

Un punto O en una recta divide a ésta en dos partes. Cada parte se denomina se-

mirrecta y el punto O que divide a la recta se conoce como origen de semirrectas.

Cada semirrecta queda determinada por el origen y un punto por donde pasa.

Cabe aclarar, sin embargo, que las semirrectas no incluyen a su punto de origen; en

otras palabras, el origen de una semirrecta no es un punto de ella.

¿Por qué el origen no puede ser punto de ninguna de las semirrectas?

En la figura 4 el punto O divide a la recta MN en dos semirrectas, que se denotan

como OM y ON respectivamente.

Cuando una semirrecta incluye su origen se denomina rayo, de tal modo que un

rayo queda determinado por su punto de origen y otro punto por donde pasa. El rayo

con origen en O y que pasa por R se denota como R (figura 5). La flecha indica la

dirección hacia donde continúa el rayo indefinidamente.

A

Figura 1

ecta

Figura 2

egmento A

Figura 3 A

Figura 4 M N O

Figura 5

ayo R RO

BLOQUE 1

La simbología que actualmente

se utiliza en geometría permite

referirse a los objetos geométricossin causar confusiones, es

conveniente iniciar desde los

objetos más sencillos hasta

los más complejos.

Un par de letras puede servir para

nombrar muchos objetos

geométricos: rectas, segmentos,

distancias entre dos puntos,

semirrectas o rayos, por ello se

utilizan otros elementos gráficos

para resaltar el tipo de objetos a

los que refieren un par de letras.

La diferencia entre rayo y semirrecta

es solamente un punto, pero es

importante notar esto porque

en los programas de cómputo se

utilizan semirrectas en vez de rayos,

dada la imposibilidad de eliminar

un punto de un trazo.

PROHIBIDA

SU VENTA

(PA)

Sí, también.

Un segmento con extremos A y B se denota como AB , la distanciacomo AB y a un ángulo como ü AB o ü AOB



Los ángulos y sus medidas

Ya sabes, del curso anterior, que un ángulo es una figura geométrica formada por dos

rayos, denominados lados del ángulo, que tienen un origen común llamado vértice

del ángulo. Esto se ilustra en la figura 6.

Discute con tus compañeros las siguientes preguntas, haz los dibujos necesarios.

• ¿ or qu e or gen e as sem rrectas no se nc uye en n nguna

• ¿La recta A es la misma que la recta ?

• ¿El segmento A es el mismo que el segmento ?• ¿La distancia es la misma que la distancia ?

• ¿La sem rrecta A es la misma que la semirrecta ?

• ¿El rayo A es el mismo que el rayo ?

• Si un punto est entre , ¿será punto de la semirrecta A ?, ¿de la semirrecta

?, ¿del rayo A ?, ¿o del rayo A ?

Para curiosos

Dadas las siguientes expresiones simbólicas, explica a qué se re eren y haz una gu-

ra que corresponda con lo que simbolizan.

• La recta RS • El rayo QL • El segmento RS

• El rayo AB • El segmento EF • La recta WX

Escribe el nombre y la notación correspondiente a las siguientes seis guras.

1

E N

E L AT E N E O

2

A

W

Y

J

G

O

A

Vértice

Lado

LadoFigura 6

Ángulo AOB

U Y

LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

Vale la pena dedicar un espacio en

el curso a manejar adecuadamente

la notación en geometría.

Una de las nociones en las que se

detectan muchos errores es en el

manejo de los ángulos dado que

los alumnos confunden esta figura

con la medida de la figura y los

manejan indistintamente.

PROHIBIDA

SU VENTA

Porque por definición, el origen de unasemirrecta no es punto de ella, de locontrario la llamaríamos rayo.Sí.

Sí.

Sí.

Sí.

No.

Sí a todo salvo que M fuera el origen, en su caso,no pertenecería a la semirrecta pero sí al rayo.

Recta que pasa por los puntos RS.

Rayo AB.

Rayo QZ.

Segmento EF.

Segmento RS

Recta que paso por los

puntos WX: recta WX

W X

R S

E F

Q L

A B

R S

Rayo DE .Recta DE.

Recta UY .Semirrecta WY .

Rayo JG.

Segmento AB .

RS.RS.RS.RS.RS.RS.RS.RS.

AB.AB.AB.AB.AB.AB.AB.AB.

QL.QL.QL.QL.QL.QL.QL.QL.

EF.EF.EF.EF.EF.EF.EF.EF.

RS.RS.RS.RS.RS.RS.RS.RS.

WX WX.



Denotaremos un ángulo mediante tres puntos: el vértice y un punto en cada uno

de los rayos, ubicando en medio el punto que indica el vértice. Así, por ejemplo, el

ángulo de la figura 6 se denota como ü OB.Aun cuando hemos definido los ángulos en términos de rayos, que son semirrec-

tas de longitud infinita, en adelante representaremos los ángulos usando segmentos

de rectas, por comodidad, prescindiendo de las flechas.

A los ángulos se les asigna una medida. Esta medida es un número que se denota

anteponiendo una “m” al nombre del ángulo. La medida del ángulo representado en

la figura 6 se denota como m(ü AOB).

Para medir ángulos se utiliza un instrumento que consiste en un semicírculo divi-

dido en 180 partes, llamado transportador.

Cada una de las 180 divisiones de ese semicírculo se denomina grado. Observa la

figura 7.

Generalmente cuando mides la longitud de un segmento rectilíneo, colocas el

cero de la escala en uno de los extremos del segmento e identificas el número que se

corresponde con el otro extremo (figura 8).

Medir ángulos no difiere mucho de ese procedimiento: se hace coincidir el origen

del eje de referencia del transportador con el vértice del ángulo, de tal modo que los

dos lados pasen por la zona graduada. Un lado debe corresponder con la marca del

cero en la escala y se observa por qué marca pasa el otro lado: ésa será la medida en

grados del ángulo. Observa un ejemplo en la figura 9.

Figura 8

Medición de un segmento

Eh_][dZ[b[`[

Z[h[\[h[dY_W

']hWZe

Figura 7

El transportador

La cantidad de grados que abarque un ángulo será su medida.

2

BLOQUE 1

Además de los grados, las unidades

utilizadas para la medida de los

ángulos en el plano son:

Radián: se define como el ángulo

que limita un arco de circunferencia

cuya longitud es igual al radio de la

circunferencia. Es usado oficialmente

en el sistema internacional de

unidades.

Grado centesimal: resulta de dividir

un ángulo recto en cien unidades.

El proceso de medición de ángulos

es parecido al de medición de

longitudes, solamente que en el

caso de longitudes el instrumento

no representa muchas dificultades

por sus dimensiones, pero con los

ángulos el tamaño y la forma del

transportador puede plantear

algunas dudas a los estudiantes.

PROHIBIDA

SU VENTA



Tal vez has podido observar que en la medición de ángulos queda por determinar

lo que se está midiendo. Hay dos posibilidades: lo de “afuera” (llamado el exterior del

ángulo) o lo de “adentro” (llamado el interior del ángulo). Observa la figura 10 y res-

ponde ¿a qué región corresponde la medida?

iscute con tus compañeros o que

s gue.

En la figura, ¿el ángulo AO es igual al

ángulo SO ? En otras palabras, verifica

si m(ü OB m(ü SOR).

Para curiosos

A

S

R

O B

Exterior

Interior

Figura 10

Figura 9

Medición de un ángulocon e transportador

& ' . &

' &

' - &

( &

' , &

) & '

+ &

* & '

* &

+ & ' ) &

, & ' ( &

- & ' ' &

. & '& &

/&' & &

. & ' ' &

- & ' (

&

, &

' ) &

+ &

' * &

* &

' + &

) &

' , &

( &

' - &

' &

' . &

&

BWc[Z_ZWZ[b|d]kbeFHG

[iZ['(&°

BWb[YjkhWi[^WY[[dbW[iYWbW

j[d_[dZe[dYk[djW[bi[dj_Ze

Z[b|d]kbe

BWc[Z_ZWi[b[[[dbW[iYWbW

gk[Yec_[dpWYedY[he

[d[ij[YWiebWc|i[nj[h_eh

G

F H

Discute con tus compañeros cómo caracterizar geométricamente el interior de un

ángulo. Puedes apoyarte en la siguiente figura:

¿Qué observas? ¿Cada segmento trazado en dónde está respecto al ángulo?

Para curiosos

?dj[h_eh

;nj[h_eh


La medición de los ángulos se

realiza tomando en cuenta el

interior del ángulo, lo cual implica

mediciones entre cero y 180°.

El tratamiento de ángulos mayores

de 180° se reservará para otros

niveles educativos.

Casos especiales serán los de los

ángulos de cero grados y 180° que

no tienen interior pues

corresponden a rayos colineales; en

esos casos solamente se indica la

medida sin referirse al interior.

PROHIBIDA

SU VENTA

Los ángulos AOB y SOR son iguales,es decir m (ü AOB ) = m (ü SOR)

porque A y R son colineales y lo son

S y B también. Por tanto, forman el

mismo ángulo.

Los segmentos dividen al interior

del exterior del ángulo.



¿Cómo son los segmentos de recta, es decir qué

posición relativa tienen, si son los lados de un

ángulo de 90∞?

A un ángulo que mide 90∞ se le denomina

ángulo recto.

Al trazar la bisectriz de un ángulo recto cada

ángulo debe medir .

Al dividir un ángulo recto en tres partes iguales,

cada parte debe medir .

Dos terceras partes de un ángulo recto corres-

ponde a una medida de .

Un ángulo que indica media vuelta se le deno-

mina ángulo llano y le corresponde a una me-

dida de .

Un ángulo que indica una vuelta completa le

corresponde a una medida de .

9 ∞

4

BLOQUE 1

La comparación de

ángulos requiere

conocer las figuras

que corresponden a

ángulos familiares.

PROHIBIDA

SU VENTA

45°

60°30°

360°

180°



Para curiosos

Estima la medida de cada uno de los siguientes ángulos. Posteriormente determina su medida con un

ransportador y denota cada ángulo utilizando la notación de tres letras.

1

E N

E L AT E N E O

O

Q

L

G

T

V

U

Discute con tus compañeros las siguientes preguntas.

i en un círculo se trazó un ángulo recto, con vértice en su centro, ¿qué parte o racción del círculo

abarca el interior del ángulo? ¿Cuál parte el exterior?

¿Un ángulo que mida 180∞ tiene interior y exterior?

Considera que tienes tres transportadores para medir un ángulo. ¿Puedes usar cualquiera de ellos?, es

decir, ¿la medida del á isma si utilizas cualquiera de los transportadores? ¿Por qué?

ara me r un ngu o, ¿ e es e eg r un os a os en part cu ar para u car o en e cero e ae su

escala circular del transportador?


En este proyecto se requiere que lo

estudiantes discutan las secciones d

círculo que representan ciertas

medidas de ángulos y que también

discutan si se modifican las

mediciones por el tamaño del

transportador.


alumnos se acostumbren

a medir ángulos sin lado

paralelos a la horizontal,

dado que eso puede

conducirles a errores.

PROHIBIDA

SU VENTA

¼ del interior, ¾ del exterior

No, sería indistinto

Sí, porque están hechos bajo el mismo principio.

Sí.

23°

15°66°

70°



Estima la medida de cada uno de los ángulos interiores de los siguientes polígonos. Suma dichas es-

timaciones y compara ese resultado con el que obtienes al medir los ángulos con tu transportador y

calcular la suma con esas medidas.

Traza el lado altante para que los ángulos así ormados tengan las medidas indicadas.

2

3

<

<

;

7

@

@

B

B

A

A

C

D

E

:

9

;

=

8

>

?

?

>

=

m(ü ABC ) m(ü XYZ ) ∞m(ü GH ) 17

m(ü TU ) ∞ m( R 1

G

A

Y

X

T

O

BLOQUE 1

Las mediciones de ángulosinteriores en polígonos son

importantes, por ello se

requiere que los estudiantes

se involucren y empiecen

a hacer estimaciones de

la medida de este tipo

de ángulos.

Esta actividad ayuda

a que los estudiantes

reconozcan el vértice

del ángulo y se

enfrenten a

problemas con más

de una solución.

PROHIBIDA

SU VENTA

F

E G

108

4131 120

120120

85

95

I

E

H

G

F

103120

230

53

33H

K

J I

L

255

2025

60

C

A

B

D

278

125

60

8697

74

J

O

L

N

M

24

A

B

GF

175

85

Y

X

RO

160

17

S

T



Clases de ángulos

Entre los ángulos se presentan diferentes tipos de relaciones que es importante cono-

cer pues ayudan a estudiar las propiedades de distintas figuras geométricas.

Ángulos congruentes

Dos ángulos con la misma medida se dice que son ángulos congruentes.

Observa que en la figura 11, el ángulo PQR es congruente al ángulo MTN, pues

m(ü PQR) = m(ü MTN ).

El signo se utiliza para expresar la congruencia de ángulos. Con los ángulos de

la figura 11, tendríamos que

ü PQR @ ü MTN.

Cómo copiar ángulos

Tal vez conoces los pasos para copiar un ángulo con regla y compás. Para que lo re-

cuerdes, observa la secuencia de pasos de la figura 12, en la que a partir del ü AOB se

obtiene el ü O B¢.

Discute con tus compañeros qué se hizo en cada paso para copiar el ángulo en la

figura 12, y escríbelo en tu cuaderno. Comprueba además que ü AOB ü ¢O B ;

para ello puedes utilizar un transportador.

A los siguientes ángulos les alta el vértice, complétalos y obtén sus medidas.4

C

(,$.°

(,$.°D

F

GH

J

Figura 11


Esta actividad está orientada a que

los estudiantes determinen la figura

completa conociendo algunas de sus

partes, además de que vean que es

importante encontrar el vértice para

determinar la medida del ángulo. El

maestro puede sugerir que

encuentren la medida del ángulo sindeterminar el vértice, para provocar

una discusión en el grupo acerca de la

relevancia del vértice.

El tema de la congruencia de ángulos

es una noción que se empleará en

varios contenidos relacionados con

figuras geométricas a lo largo de la

escuela secundaria y por ello debe

prestársele atención.

A veces la noción de congruencia se

basa en la superposición de figuras,

pero el plantear este concepto en

términos de la medida del ángulo

resulta más conveniente.

PROHIBIDA

SU VENTA

12050



Figura 12

Copia del ángulo AOB

1

O

R I G I N A L

C O P I A

3 5

O

AA

B

O

A

O

B ¢

A

B¢¢

O ¢ O ¢ O ¢

2 4 6

Analiza con tus compañeros lo siguiente.

Si se sa e que os ángu os cump en con a re ación ü PR ü , sien o PR

RQ = , ¿será cierto que ü QRP @ ü ? ¿Será cierto que ü PQR @ ü ? Re-

acta revemente una exp icación e tu respuesta.

Conjuntamente con algunos de tus compañeros, dibuja un ángulo y cópialo en otrahoja. Posteriormente encima las figuras de los ángulos y observa a contraluz si coin-

ciden. También puedes recortar uno de los ángulos y sobreponer su interior con el

e otro para sa er si son congruentes o no.

Para curiosos

Haz una copia de cada uno de los siguientes ángulos, pero en diferentes posiciones.1

E N

E L AT E N E O

OQ

J

D

F

BLOQUE 1

Al copiar ángulos es importante recalcar que el

ángulo que es copia de otro puede estar en

cualquier posición.

En este proyecto se pide que los

estudiantes analicen lo que se

realiza con regla y compás y se les

prepara para otras relaciones de

congruencia entre figuras

geométricas.

En esta actividad los

estudiantes pueden

encimar figuras o medir

ángulos e incluso tratar

de ver si los pasos para

copiar a un ángulo se

pueden reproducir enotro; las estrategias

pueden ser diversas.

PROHIBIDA

SU VENTA

Son ciertas las relacionesü QRP @ ü NTM yü PQR @ ü NMT

porque si dos ángulos y dos pares

de segmentos son congruentes,

entonces los triángulos formados

por éstos, son congruentes.

A

B

ab



Relaciones entre pares de ángulos

Estudia las siguientes figuras:

O

A

B

C

Con tu transportador, mide los ángulos ü AOB, ü BOC y ü AOC .

• ¿Hay alguna relación entre esas medidas?

• ¿La suma de dos de esas medidas es igual a alguna de ellas?

• ¿La diferencia de dos medidas es igual a una de ellas?

Detecta en cada una de las siguientes guras ángulos congruentes, si los hay.2

A

AB

B

C

C

D

D

E

F

G

N

K

L

MM

N

O

P

P

Q

R

T

U

V

W

X

Y

Z

Figura 13


Los alumnos deberán construir sus

definiciones para diferentes tipos de

ángulos a partir de la descripción

de las figuras propuestas.

El maestro deberá pedir todas las

representaciones geométricas de cada

definición para ver si se puede

considerar matemáticamente correcta

y, en caso de que no sea así, deberá

hacer uso de contraejemplos que

ayuden a los alumnos a reconstruir

sus propias definiciones.

PROHIBIDA

SU VENTA

ü AOB + ü BOC = ü AOC

Sí.

Sí, ü AOC Ϫü BOC = ü AOB y ü AOC Ϫü AOB = ü BOC

Q

R

P

P

N

M

G

E

D

V

U

T

X

W

Y

Z

L

M

K

N

B

AC

B

A

C

D



S

P R

Q

Con tu transportador, mide los ángulos ü PSQ, üQSR y ü PSR.

• ¿Hay alguna relación entre esas medidas?

• ¿La suma de dos de esas medidas es igual a alguna de ellas?

• ¿La diferencia de dos medidas es igual a una de ellas?

Dado el siguiente rayo, dibuja un par de ángulos que tengan el vértice y un lado

común y que la suma de sus medidas sea 90 grados.

Z

V

¿Cuánto suman las medidas de cualquiera de los ángulos que se forman en cada

una de las siguientes figuras?

O

Q

P

R

Z

V

U

M

L N

Traza dos ángulos que tengan como lado común el segmento de la figura 17, que

su vértice sea común y que sus medidas sumen 180 grados.

Figura 14

Figura 15

Figura 16

BLOQUE 1

Esta actividad permitirá a los

alumnos elaborar una lista de

los atributos relevantes de los

ángulos adyacentes y, a partir de

esta lista, construir su propia

definición. Es probable que definan

ángulos adyacentes como “ángulos

que comparten un lado y un

vértice”, “ángulos que tienen

un vértice común” o “ángulos que

tienen un lado común”, el profesor

deberá usar contraejemplos queayuden a los alumnos a elaborar

una definición correcta.

PROHIBIDA

SU VENTA

Z

90

O

R

P

O

97

82

15

L

267399

26

U

Z

V

73

732697196

Sí. ü PSQ + ü RSQ = ü PSR

Sí.

Sí, ü PSR – ü PSQ = ü RSQ y ü PSR – ü RSQ = PSQ



Z

V

¿Cuánto suman las medidas de cualquier par de los ángulos que se forman en cada

una las siguientes figuras?

Z

V

U

M

L N

O

P

Q

Ángulos adyacentes, complementarios y suplementarios

adyacentes si comparten el vértice y un lado (uno de los rayos

que los conforman).

Nótese que la suma de las medidas de los ángulos adyacentes es la medida del

ángulo total que conforman. Esto se ilustra en la figura 19, donde

m(ü MQN ) m(ü PQN ) m(ü PQM ) ;

es decir,

47.8∞ + 23.6∞ 71.4∞.

Dos ángulos cuyas medidas suman 90∞ se dice que son complementarios.

Por ejemplo, en la figura 20 las medidas de ü RWS y üSWT suman 90∞:

m(ü RWS ) + m(ü WT ) = m(ü RWT )

66.4∞ + 23.6∞ 90∞.

Figura 17

Figura 18

()$,°

*-$.°

G

F

D

C

Figura 19

ü PQN y ü MQN sonadyacentes

,,$*°

()$,°

M

H

I

J

Figura 20

ü RW y ü soncomplementarios


Se ha preferido introducir

medidas de ángulos que no

sean necesariamente números

enteros, pues en la práctica

casi siempre se presentan en

medidas decimales.

PROHIBIDA

SU VENTA

180

Z

V

77

U

V

Z

27

M

N

75

752710277751527725102P

Q

O



Cuando la suma de las medidas de dos ángulos es 180∞ se dice que son suple-

mentarios

Observa que, en la figura 21, las medidas de ü RWS y üSWT suman 180∞:

m(ü RWS ) + m(ü WT ) = m(ü RWT )

156.4∞ + 23.6∞ 180∞.

Discute con tus compañeros cómo las medidas de ángulos escritas en forma decimal

(por ejemplo, 37.56∞) se pueden convertir a expresiones equivalentes en grados, mi-

nutos y segundos. Por ejemplo,

7. ∞ = ∞ . ¢ = ∞ ¢ ≤ .

Si un ángu o se expresa en gra os, minutos y segun os, ¿cómo se pue e encontrar

su expresión en forma decimal?

Para curiosos

()$,°'+,$*°

M H

I

J

Figura 21

RW suplementarios

¿Puede haber ángulos complementarios o suplementarios que no sean adyacentes? ¿Por qué?

Considera dos ángulos con lados correspondientes paralelos (es decir, las rectas que contienen a sus

lados son respectivamente paralelas de un ángulo a otro). ¿Estos ángulos serán congruentes?

Comprueba si lo son o no usando el transportador, también puedes copiar uno de los ángulos so-

bre el otro, o puedes recortar uno de ellos para sobreponerlo al otro.

es paralela a

es para e a a R

1

E N

E L AT E N E O

2

7

8

9

F

G

H

2

BLOQUE 1


alumnos reconozcan

ángulos congruentes

utilizando diversoscriterios.

El maestro puede presentar ángulos no

adyacentes, incluso sin tener partes en

común para señalar ángulos complementarios

y suplementarios, puede formar algunas

figuras geométricas con los estudiantes para

adelantar resultados que posteriormente se

trabajarán.

PROHIBIDA

SU VENTA

Sí, basta que sumen 90° o 180°.

Sí.

Sí lo son.

Basta con hacer las conversiones.

° ‘ “

1 grado 1° 60’ 3 600”

1 minuto 1.667 x10-2 1 60

1 segundo 2 778 x 10-4 1.667 x 102 1



¿Son congruentes dos ángulos que tienen sus lados paralelos?

Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares ¿serán congruentes?

Si se intersecan dos segmentos de recta perpendiculares ¿cuántas parejas de ángulos adyacentes se

orman?, ¿cuánto miden cada uno de ellos?

¿Cuántas parejas de ángulos adyacentes orman dos rectas paralelas? ¿Por qué?

En cada una de las siguientes guras identi ca pares de ángulos que sean complementarios o suple-

mentarios, si los hay. Compara ángulos interiores que provengan de una misma gura. Puedes usar

un transportador o reproducir cada gura y recortar sus ángulos para ver cuáles de ellos ormanángulos rectos o llanos; también puedes copiarlos con regla y compás de tal orma que queden ad-

yacentes, y ver si orman un ángulo recto o llano; otra orma de reproducir los ángulos es doblando

un papel.

3

5

6

7

4


Cuando dos ángulos

tienen lados paralelos,

hay que saber la relació

que se puede establece

entre dichos ángulos,

pues ese tipo de relacio

se requieren al estudiar

las propiedades de vari

figuras geométricas.

Cuando los ángulos tie

lados perpendiculares,

también se requiere

reconocer la relación qu

puede establecer entre

ángulos.

Los estudiantes podrán

conjeturar sobre alguna

relaciones entre los áng

interiores de triángulos

cuadriláteros; no impor

que se equivoquen en s

conjeturas, pues deben

ponerlas a prueba

analizando si se cumple

en otras situaciones.

PROHIBIDA

SU VENTA

a y b son congruentes y a es congruente con b.

Sí y serían suplementarios.

4 de 90° cada uno.

Ninguna porque no se cruzan.

A

Bb

a

a b

d c

c b

a

a bc 180

c

b

a

a bc 180

c

b

a

a bc 180

r s

r s 90

a

b

d

c

a c 180a b180c d 180bd 180a d 180c b180b

c

a

a bc 180



Ángulos y rectas

En las siguientes figuras, elige los puntos necesarios y denomínalos con letras para

determinar, con la medida de ángulos o mediante regla y compás, las parejas de án-

gulos que son congruentes, complementarios y suplementarios.

a)

En la gura, los segmentos rectilíneos AC y BD son perpendiculares. Con esta in ormación encuentra

la medida de los siguientes ángulos.

• ü A

•ü

BOI • ü B

• ü COJ

En los siguientes pares de ángulos suplementarios encuentra la medida del ángulo que se pide.

• ü GH

• ü BCA

• ü T

• ü L

8

9

7

8 9 :

=

A B C

>

?

D

@

F

H

I

J

)&°

/&°

')+°

((°

7

8

9

:

=

>

? @

*&°

-&°

,&°

(+°)&ÔE

Figura 22

4

BLOQUE 1

El cálculo de medidas de

ángulos, conociendo otros

en una figura, es unaparte necesaria al estudiar

figuras geométricas y

establecer la manera de

emplearlas en algunas

aplicaciones, por ello este

ipo de actividad debe ser

ampliada por

el maestro.

PROHIBIDA

SU VENTA

= 20°

= 30°

= 50°

= 64° 30´

ü MON + ü NOP = 180°ü POR + ü ROM = 180°

N

M

R

P

150°

90°

45°

158°

T R

O

O

X

V

T

U

W

R

S

W

S

O

RU

T

D

OA

b)

c)

d)

B C



b)

c)

Para curiosos

Si varías la posición de alguna de las rectas en:

los resultados que encontraste cambian respecto a las parejas de ángulos congruentes, complemen-

tarios y suplementarios. Si varías la posición de la recta que corta al par de rectas paralelas:

los resultados que encontraste cambian respecto a las parejas de ángulos congruentes, complemen-

tarios y suplementarios.

Construye dos rectas que se intersecten y ormen un par de ángulos de 90 grados. Esas rectas tienen

alguna relación? ¿Cómo se les denomina a ese tipo de rectas?

Si dos rectas al cortarse forman solamente un ángulo de 90 grados, ¿son perpendiculares?

ibu a dos rectas que al ser cortadas por otra recta que sea perpendicular a una de ellas, sea perpen-

dicular a la otra recta. ¿Cómo se denomina a ese par de rectas?

Figura 23

Figura 24

Figura 25


Un problema interesante consiste en pedir

a los alumnos que busquen argumentos para

justificar que los ángulos opuestos por el

vértice son iguales, sin recurrir a la medición.

Respecto a los

ángulos que se forman entre dos

rectas paralelas

cortadas por una

secante, no sólo se

trata de que los

alumnos recuerden

los nombres, sino

también de que

establezcan

relaciones de

igualdad entre ellos y

que busquen

argumentos para

justificarlos.

PROHIBIDA

SU VENTA

ü AOB + ü BOC = 180°

ü AOD + ü DOC = 180°

ü ROS + ü UOR = 180°ü R´O´W + ü S O‘R‘ = 180°ü ROU + ü VOT = 180°ü ROS + ü SOT = 180°

ü XOV + ü VOU = 180°ü WOT + ü ROT = 180°ü WO´S + ü RO´S = 180 °

ü UTO + ü TOX = 180°

T R

O

O

X

V

T

U

W

R

S

W

S

O

RU

T

D

OA

b)

c)

d)

B C

T R

O

O

X

V

T

U

W

R

S

W

S

O

RU

T

D

OA

b)

c)

d)

B C

R

L

Son perpendiculares.

Sí.

Son paralelas.

L y R



Ángulos entre rectas

Ángulos determinados por dos rectas oblicuas

Dibuja dos rectas que se intersequen, ¿cuántos ángulos se forman? Dibuja dos rectas

paralelas y otra recta que corte ambas, ¿cuántos ángulos se forman?

Para referirnos a dichos ángulos hay terminología que conviene conocer.

Dos rectas que se cortan y no son perpendiculares se denominan oblicuas. Estas

rectas forman varias parejas de ángulos adyacentes, como se observa en la figura 26.

Los ángulos üYPZ y ü FPE se denominan ángulos opuestos por el vértice.

También ü ZPF y ü YPE son opuestos por el vértice.

Observa que los ángulos opuestos por el vértice tienen sus lados en semirrectas

opuestas respecto al vértice.

En la figura 27 hay varias parejas de ángulos suplementarios adyacentes, ¿cuáles son?

¿Es posible que con dos rectas perpendiculares u oblicuas se formen ángulos com-

plementarios?

Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una secante

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta se forman varios ángulos

(figura 28). La recta que corta las paralelas es una recta secante a ellas.

Vamos a identificar a continuación cuáles de estos ángulos son congruentes, para

lo cual conviene clasificarlos por parejas según su ubicación respecto a la secante y

las dos paralelas dadas.

Figura 26

as rectas

oblicuas

Figura 27

;

<

F

O

P

A B

C D

O

Figura 28

a recta es secante a as

paralelas y

7 ;

8 :

<

9

E

F

Con algunos de tus compañeros dibuja varias parejas de rectas oblicuas y comprueba

que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Usa el transportador o al-

gún otro recurso de medición para hacer esta comprobación.

Para curiosos

BLOQUE 1

Muchas veces se detectan ángulos

en configuraciones geométricas

que implican varias figuras, por ello

es indispensable que los estudiantes

aprendan a detectar ángulos

congruentes en varias posiciones

relacionadas con rectas paralelas o

que se intersecan.

El maestro puede simplificar la

notación utilizando letras griegas

para las medidas de los ángulos,

pero a veces eso hace que

los estudiantes no reconozcan al

ángulo como una figura, sino como

la medida de una “abertura”. Serecomienda usar la notación con

letras de nuestro alfabeto para

identificar ángulos.

PROHIBIDA

SU VENTA

Faltaría una más.

ü AOC + ü AOB = 180°ü COD + ü BOD = 180°

Forman 4 ángulos.

4.



Ángulos alternos internos Ángulos alternos externos

PF @ OP FP @ PO BOC @ APO CO @ OP

ü APO ü POD ü BOP ü OPE ü APF @ üCOD ü PE @ üBOC

A

B

E

F

C D

O

P A

B

E

F

C D

O

P A

B

E

F

C D

O

P A

B

E

F

C D

O

P

Ángulos correspondientes

A

B

E

F

C

DO

P A

B

E

F

C

DO

P

A

B

E

F

C

DO

P A

B

E

F

C

DO

P

En la siguiente figura identifica, junto con tus compañeros, todas las parejas de ángu-

los suplementarios y de ángulos opuestos por el vértice.

¿Será posible dibujar dos rectas paralelas y una secante que corte a ambas de tal

modo que se formen parejas de ángulos complementarios?

Para curiosos

A E

B D

F

C

O

P

Completa la figura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos corres-

pondientes de dos rectas paralelas cortadas por una secante.

1

E N

E L AT E N E O


El maestro puede trabajar con

rectas paralelas cortadas por una

secante en diversas posiciones y

completar algunas figuras

geométricas en ellas para resaltar

congruencias con los ángulos que

se forman.

PROHIBIDA

SU VENTA

Opuestos por el vértice.ü FPE @ ü APO

ü APF @ ü OPEü BOC @ ü PODü BOP @ ü COD

Parejas de ángulos suplementarios.ü APF , ü FPE

ü APO, ü OPE ü BOC , ü CODü BOP , ü POD

No. Faltaría uno más.



Completa la gura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos alternos

internos de dos rectas paralelas cortadas por una secante.

Completa la gura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos alternos

externos de dos rectas paralelas cortadas por una secante.

n cada una de las siguientes guras considera las rectas que contienen a sus lados

y, en donde sea posible, identi ca algunos ángulos correspondientes, alternos inter-

nos o alternos externos.

En las siguientes actividades hay situaciones en las que el trazo de paralelas es rele-vante, y en caso de no usarlas puede complicarse mucho su resolución. Por eso, pri-

mero intenta resolverlas sin usar paralelas.

Utiliza el trazo de paralelas para encontrar cinco triángulos que tengan la misma área

que el siguiente:

Para ello, observa la siguiente gura, donde se ha trazado AB paralela al segmento .

2

3

4

5

7 8

C D

E

BLOQUE 1

Resulta importante que los

estudiantes tengan la oportunidad

de conocer propiedades de diversas

figuras geométricas a partir de

las relaciones entre sus ángulos.

También es necesario que los

alumnos reconozcan algunas de las

propiedades de figuras trazadas

entre paralelas, como es el caso de

los triángulos y las relaciones entre

sus áreas si están entre paralelas y

tienen la misma base.

PROHIBIDA

SU VENTA

Correspondientes. Alternos internos.

Correspondientes.

Alternos externos. Alternos externos.



Suma de los ángulos interiores de un polígono

Toma un triángulo cualquiera como el de la figura 29.

Haz dobleces siguiendo las líneas punteadas (figura 30).

Para cada uno de los siguientes cuadriláteros construye un triángulo que tenga la

misma área que él.

Para ello, observa la siguiente construcción, donde Z se construyó paralela a ,

Z paralela a D

6

7 : 7 : 7 :

9

P P

Figura 29

Figura 30


Problemas de este tipogeneralmente no son resueltos por

los estudiantes de varios niveles

educativos, porque casi siempre se

enfatizan relaciones algebraicas en

las figuras geométricas y se hacen

de lado las relaciones

esencialmente geométricas.

PROHIBIDA

SU VENTA



Obtendrás algo como lo siguiente (figura 31):

¿Coinciden los tres vértices? ¿Siempre coincidirán con este tipo de dobleces?

¿Cuál sería la suma de los ángulos que tienen vértice en el punto donde concurren

los vértices?

Ahora dibuja un triángulo, recorta dos de sus ángulos y colócalos de cada lado del

ángulo que no se recortó, como se ilustra en la figura 33. ¿Qué ángulo se forma?

Tam ién pue es recortar tres triángu os iguales y ensamblarlos como en un rom-

pecabezas; observa la figura 34.

De acuerdo con lo anterior, ¿cuánto debe medir la suma de los tres ángulos inte-

riores de un triángulo?

Figura 31

Figura 32

Figura 33

Figura 34

BLOQUE 1

Hay argumentaciones sobre la

suma de los ángulos interiores de

un triángulo que pueden realizarse

directamente manipulando algunos

materiales.

También pueden aprovecharse

construcciones geométricas para

reproducir un triángulo las veces

que sea necesario y encontrar

relaciones entre los ángulos

internos.

PROHIBIDA

SU VENTA

Los tres vértices

coinciden.

180°.

180°.

180°.



En la figura 35 se muestran las medidas de los ángulos interiores de tres triángulos

diferentes. Suma los ángulos en cada triángulo y anota el resultado.

¿Lo que obtuviste concuerda con la respuesta que diste a la pregunta anterior so-

bre la suma de los ángulos interiores de un triángulo? ¿Qué concluyes?

Los procedimientos anteriores parecen arrojar un mismo resultado para la suma

de los ángulos interiores de un triángulo; discute con tus compañeros cuánto debe

ser dicha suma.

Observa las siguientes figuras. ¿Cómo debe ser la recta “verde” para que exista

congruencia de algunos de los ángulos? ¿Por qué?

111.9°26.2°

41.9°

41.9°

26.2°

21.7° 56°

21.7° 56°102.3°

126.3°14.4°

14.4° 126.3°39.3°

Considera cualquier triángulo y traza la recta “verde” de manera conveniente para

tener congruencia de ángulos, como en las figuras anteriores.

¿Qué infieres de estas figuras respecto a la suma de los ángulos interiores de un

triángulo?

Figura 35

Figura 36

Figura 37

87.4°

54.3°

60.5°

13.6°

152.3°

14.1°

65.2°

36.2° 56.4°


El trabajo con paralelas permitirá

iniciar el estudio del comportamiento

de las medidas de ángulos interiores

en los polígonos.

Las argumentaciones que se

construyen con los métodos de la

página 70, si bien se basan en casosparticulares de una prueba física,

sirven como apoyo al establecer

relaciones más formales; aunque no

se planteen como una meta en la

enseñanza en secundaria, tampoco se

trata de limitar las posibilidades de

los alumnos en la búsqueda

de argumentos.

PROHIBIDA

SU VENTA

Sí. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, suman siempre 180°.

Paralela a una de las bases del triángulo, en

este caso de la base horizontal. Ocurre esto

por las propiedades de una secante que

corta a dos paralelas.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

180°.

180°.

180°.



Comencemos con el triángulo ABC que se ilustra en la siguiente gura:

A

B

C

PQ a la recta que contiene al lado AC y que pase por el vértice B del

triángulo como se muestra a continuación:

A

B

C

P

Q

Discute con tus compañeros las siguientes preguntas y elabora con ellos una res-

puesta para cada una (los datos se refieren a la figura 24).

• ¿Por qué ü @ ü ü BC ü B

• ¿Por qué m(ü A P ) = m(ü A ) y m(ü BC ) m(ü BC )?

• ¿Por qué m(ü A P ) + m(ü B ) + m(ü B ) 1 ∞

• ¿Por qué m(ü BA ) + m(ü AB ) + m(ü B ) 1 ∞

¿La conclusión hubiera sido la misma si en la gura 24 se hubiera trazado PQ paralela

a cualquier otro lado del triángulo B

¿Qué pasaría si se usa cualquiera de los siguientes triángulos?

Para curiosos

7

8

9

7

8

9 F

F

G

G

A

A

B

B

C

C

A

B

C

BLOQUE 1

La demostración es una

argumentación como la que se

presenta, en la cual las afirmaciones

del inicio apoyan a las siguientes y

así sucesivamente hasta obtener el

resultado deseado.

Las demostraciones se pueden

desarrollar apoyándose en otros

elementos de la figura o en

otras figuras y la conclusión no

debe variar.

PROHIBIDA

SU VENTA

Lo mismo. El resultado y análisis es el mi

Sí.

180°.

180°.

180°.



Considera el cuadrilátero ABCD de la figura 38.

¿Cuál debe ser la suma de los ángulos internos del ese cuadrilátero?

Considera la siguiente figura:

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de cada triángulo?

Completa las siguientes relaciones:

• m(ü ABC ) m(ü BCA) m(ü CAB) =

• m(ü ADC ) m(ü DCA) + m(üCAD) =

• m(ü ABC ) m(ü BCA) m(ü CAB) + m(ü ADC ) + m(ü DCA) + m(üCAD)

• m(üCAB) m(üCAD) =

• m(ü BCA) m(ü DCA) =

• m(ü ABC ) + m(ü BCD) + m(ü ADC ) + m(ü DAB) =

De lo anterior obtenemos que la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero

ABCD es .

Si hubieras utilizado alguno de los cuadriláteros mostrados en la figura 40, ¿val-

drían todos los elementos que utilizaste, es decir, la conclusión sería la misma?

Figura 38

Figura 39

A

B

C

D

A

B

C

D

7


Dada una demostración, el

resultado obtenido se puede usar

en otras figuras para deducir

propiedades en éstas.

El uso de trazos auxiliares para

dividir una figura en dos figuras

conocidas es algo frecuente en

geometría. A veces dichos trazosdeben hacerse en partes específicas

o en ocasiones no importa en

dónde se realice el trazo, pero este

asunto no se debe determinar por

advertencia del maestro, los

estudiantes deben tener la

oportunidad de hacer los trazos

donde deseen y constatar si son

de utilidad para encontrar el

resultado deseado.

PROHIBIDA

SU VENTA

Sí.

360°.

180°.

180°.

180°.

60°.

360°.

360°.

360°

90°.



AB

B

B A

D

C

C

A

D

C

D

ángulos interiores de ABCD se cumple cada una de las siguientes igualdades.

• m(ü DAC ) + m(ü ACD) m(ü CDA) 18 ∞

• m(ü BAC ) + m(ü AC B) + m(ü CBA) 18 ∞

• m(ü BA ) + m(ü C B) + m(ü CBA) m(ü AC ) m(ü ACD) + m(ü DA) = 36 ∞

• m(ü BA ) + m(ü AC ) m(ü A )

• m ü C m ü AC m ü C

• m ü BC + m ü BCD + m ü DA m ü A 360∞

Para curiosos

Figura 40

BLOQUE 1

Para dar consistencia a la

argumentación, cada paso de

la demostración debe tener razones

para llevarse a cabo; esta parte es

en la que el maestro debe llamar la

atención, no al tipo de figuras o

letras empleadas, sino a las razones

que sustentan cada paso.

PROHIBIDA

SU VENTA

Como estudiamos,comprobamos y

demostramos que la suma de

los ángulos internos de todo

triángulo es igual a 180°,

podemos estar seguros.

Podemos deducir que la

suma de cualquier

cuadrilátero es igual a 360°:

esto lo podemos demostrar

triangulando al cuadrilatero.

Obtenemos dos triángulos

180 ϫ 2 = 360°

Por las relaciones entre ángulos

congruentes, alternos internos y

alternos externos; esto gracias

a las propiedades que tienen dos

rectas paralelas cortadas por

una recta secante.



Dados el siguiente triángulo y cuadrilátero, calcula las medidas de los ángulos que

altan:

52.3°

81.3°

134.8°

36.4°

31.9°

P

R

Q

B

C

A

D

Si te dicen que un triángulo tiene dos ángulos congruentes cuyas medidas suman

2 ∞, ¿de que tipo es el triángulo?

En un triángulo, dos de sus ángulos son complementarios. ¿Qué tipo de triánguloes

En un triángulo, la suma de dos de sus ángulos es 133∞ y uno de ellos mide 86∞. ¿De

qué tipo es e triángu o

En un cua ri átero, os e os ángu os opuestos mi en 3 ∞. ¿De qué tipo es e cua ri-

látero?

En un cuadrilátero, todos los ángulos internos miden lo mismo. ¿Qué tipo de cuadri-

tero es

¿Pue e trazarse un triángu o isósce es cuyas me i as e os tres ángu os internos

sean di erentes?

En un triángulo rectángulo, ¿cuál es la suma de los dos ángulos que no son rectos?

¿Puede haber un triángulo con dos ángulos internos rectos?

1

2

4

6

3

5

7

8

9

E N

E L AT E N E O


Varias propiedades de los triángulos

pueden utilizarse en cuadriláteros, pues

éstas pueden “triangularse” de tal

modo que lo que debe quedar claro

a los alumnos son dichas propiedades

de los triángulos y la forma de utilizarlas

para analizar propiedades en los

cuadriláteros.

PROHIBIDA

SU VENTA

Equilátero.

Rectángulo.

90°.

No.

No. Dos de sus ángulos son iguales.

Un cuadrado o rectángulo.

Uno diferente al cuadrado y rectángulo.

Escaleno.

O

R

P

46.4

81.3

52.3

A

B

C D

134.8

156.9

31.9

36.4



1 Con la ayuda del transportador traza la bisectriz de

los siguientes ángulos:

2 Con ayuda de la regla y el transportador, traza la

mediatriz de los siguientes segmentos:

3 Traza lo que se indica

• La recta MN • El rayo TU • El segmento CD

4 Anota el nombre de las siguientes figuras.

5 Dados los siguientes ángulos que tienen como un

lado el del dibujo, completa la figura que corres-

ponda.

6 Dados los siguientes lados de ángulos, traza el lado

faltante de modo que el ángulo resultante tenga la

medida que se indica.

7 Con ayuda del transportador, traza una paralela a la

recta dada que satisfaga las condiciones pedidas:

• Que pase por el punto señalado en rojo

• Que al cortarlas por una transversal, tenga dos

ángulos alternos internos de 65∞.

• Que al cortarlas por una transversal, tenga dos

ángulos alternos externos de 123∞.

8 Si en la figura el segmento CG es perpendicular al

segmento AE , encuentra el valor de los siguientes

ángulos.

• ü BOC • ü EOD• ü FOG• üGOH

Demuestro lo que sé y hago

G

H I

C

R

S

J

A

B

H

G J

m(

m( ) 1

m(ü MN ) 12

C

E

G

A

BD

F

H

80∞20∞

50∞ 35∞O

61.7°

34.9°

Completa el triángulo

61.7°

57.4°

Completa el cuadrilátero

BLOQUE 1

Las actividades planteadas pueden ser aprovechadas de

diversas formas, como evaluación parcial o de la lección,

como temas de discusión en clase o como actividades

por resolver en casa o como base para que los

estudiantes planteen actividades similares.

PROHIBIDA

SU VENTA

= 70∞

= 10∞

= 40∞

= 55∞

F

C

D

J

G

H

M N T U C D

Segmento HG

Rayo JK

Recta AB

A

D

B H

J

I

G

N

M



9 Encuentra las medidas de todos los ángulos forma-

dos por las tres rectas.

10 Dadas las parejas de ángulos suplementarios en-

cuentra el valor de los siguientes ángulos.

• ü GHJ • ü BCA

11 Calcula los ángulos interiores del siguiente para-

lelogramo:

Puedes consultar algunas páginas de Internet para pro-

fundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.

• http://www.math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm

• http://www.eneayudas.cl/optentrada.htm#angulo

También puedes consultar los siguientes libros.

• Aurelio Baldor

Geometría y trigonometríaGrupo Cultural Patria, México, 2007

• José María Chamoso y William Rawson

Contando la geometríaNivola, Madrid, 2004.

• Ana Millán Gasca

Euclides. La fuerza del razonamiento matemáticoNivola, Madrid, 2004.

• Yakov Perelman

Geometría recreativa.En línea: http://www.librosmaravillosos.com/

geometriarecreativa/index.html.

Conéctate

A

B C D

G

H

I

J

80∞

140∞

38.6°

55.8°


En Internet hay diversos sitios con

configuraciones geométricas en las

que se pueden calcular algunos

ángulos internos o la suma de ellos.

El maestro puede utilizar esas

figuras para plantear algunos

diseños de pirámides o artesanías.

PROHIBIDA

SU VENTA

14.14

14.14

14.14

14.14

J

G

I

H

A

B C D



Mis retos

Las re aciones e proporciona i a son muy importantes para

a or ar istintas c ases e pro emas. En esta ección apren erás a

trabajar con actores de proporcionalidad raccionarios.

Si tienes una canti a que varía proporciona mente con re ación a

otra canti a , aprenderás cómo se establece un factor inverso

para conocer c mo var a s es a que cam ia e va ores.

Al nal podrás encontrar procedimientos para relacionar más de dos

conjuntos de cantidades por medio de relaciones de proporciona-lidad múltiples.

¿Qué sé?

En el curso anterior estudiaste varias relaciones de proporcionalidad

irecta e inversa, y las aplicaste a la solución de algunos problemas.

También trabajaste con tablas, expresiones algebraicas y gráficas

asocia as a re aciones e proporciona i a .


Establecerás relaciones de proporcionalidad como las que se

manejan frecuentemente en el dibujo a escala.

Por otra parte, si ay una canti a que varía proporciona mente con

respecto a otra, pero esta última también varía proporcionalmente

respecto a otra cantidad, y así sucesivamente se relacionan varias

canti a es, po rás conocer a re ación que se pue e esta ecer

entre a primera canti a y a ú tima.

3Si uno aumenta,

el otro también

PROHIBIDA

SU VENTA



1 ¿Qué es una variación directamente proporcional?

2 ¿Qué es una variación inversamente proporcional?

3 Si tu mamá invierte $85 en una comida para 10 personas, ¿cuánto tendrá que

invertir en una comida para 24 personas sin disminuir la ración que le

corresponde a cada una?

4 Si tienes un cubo de 4 cm de arista, ¿cuántos cubos de 1 cm de arista necesi-tas para igualar su volumen? ¿Cuántos de 2 cm de arista? ¿Cuántos para

incrementar 10 el volumen?

5 ¿Cuántos kilogramos pesan 30 metros de alambre, si 120 metros pesan

10 kilogramos?

6 Si Elia compró un tramo de tela de 1 m a $120, ¿cuánto le costará m ?

¿Cuánto 14 m

7 Se asignó a tarea e pintar tres ar as a tres óvenes. Hugo tar a 3 ías en

pintar su barda, Luis tarda e lo que tarda Hugo en completar la suya, y

aco se eva e o que tar a Hugo en terminar a suya.

• ¿Cuánto tardan Paco y Luis en pintar sus bardas?

• Si Hugo pue e pintar una casa en 11 ías, ¿cuánto se tar arían respectiva-

mente Paco y Luis en llevar a cabo la misma tarea?

4 cm

7


El trabajo con

proporciones se realiz

durante todo el grado

anterior. Se requiere

conocer si los alumno

manejan o reconocen

algunos elementos de

variación proporciona

directa.

PROHIBIDA

SU VENTA

Es una variación de la forma y = xk, donde k es la constante de proporcionalidad.

Es una variación donde si x aumenta, y disminuye (a diferencia de la directamente

proporcional donde si x aumenta y aumenta) y viceversa, si x disminuye, y crece.

$204

64 cubos de 1 cm de arista.

8 cubos de 2 cm de arista.

Para incrementar 10 veces el volumen

se necesitan 640 cubos de 1 cm

de arista, 80 cubos de 2 cm de arista.

Tienen 2.5 kilogramos.

$1680

$60.

Luis 2 días y 1.2 días Paco.

Luis 7.3 días y Paco 13.2 días.



Las buenas proporciones

En el mismo tipo de problemas que trabajaste en “Algo de lo que me enseñaron” con-

sidera la siguiente situación: Varios amigos se juntan para planear una fiesta y deci-

den que la bebida que se repartirá será agua de sabores. Saben que cada sobre del

sabor requerido se debe preparar con litro y medio de agua. Con tus compañeros

completa la siguiente tabla.

Usando fracciones Usando decimales

Sobres de sabor Litros de agua requeridos Sobres de sabor Litros de agua requeridos

Especificando el valor de los sobres requeridos, se determina la cantidad de litros

de agua.De la tabla anterior se sacan los elementos necesarios para contestar las siguientes

preguntas:

• Considerando las cantidades de los renglones de la tabla, ¿cuál es el resultado de

los cocientes del tipo

sobres de sabor

litros de agua requerida?

BLOQUE 1

Nuevamente se trabajan varias

representaciones simultáneamente:

aritméticas (por medio de

tabulaciones), algebraicas (con

expresiones algebraicas) y

geométricas (con las gráficas); la

coordinación de estas

representaciones permitirá

enriquecer los significados

relacionados con la variación

proporcional directa.

PROHIBIDA

SU VENTA

1/2 x 3/2 = 3/4 0.5 0.75

1 x 3/2 = 3/2 1 1.5

3/2 x 3/2 = 9/4 1.5 2.25

1 x 1/2 x 2 = 3/2 x 2 = 6/2 = 3 2 1.5 x 2 = 3

5/2 x 3/2 = 15/4 2.5 3.75

3 x 3/2 = 9/2 3 4.5

7/2 x 3/2 = 21/4 3.5 5.25

4 x 3/2 = 12/2 = 6 4 6

9/2 x 3/2 = 27/4 4.5 6.75

5 x 3/2 = 15/2 5 7.5

= 0.6



Fracciones Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6

Cantidad de so res

Cantidad de litros

ocientesobres

litro

Decimales Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6

Cantidad de sobres

Cantidad de litros

ocientesobres

litro

¿Lo anterior indica que hay proporcionalidad en los datos?

En su caso, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

En fracciones: . En decimales:

Si conoces la cantidad de sobres de sabor, ¿puedes calcular la cantidad de litros de

agua que se necesitan?

Si se representa la cantidad de sobres con la letra x, y con y a la cantidad de litros

de agua, ¿cuál sería su expresión algebraica?

, o bien con decimales ,

cuya gráfica se muestra en la figura 1.

Los puntos marcados en la recta de dicha gráfica, ¿qué represen-

tan? Por ejemplo, ¿cómo se interpreta el punto (2, 3)?

El 2 indica

El 3 indica

En la pareja (4.5, 6.75), ¿que representan cada uno de los núme-

ros?:

El 4.5 indica El 6.75 indica

En la pareja (6, 9), ¿que representan cada uno de los números?:

El 6 indica

El 9 indica

Discute con tus com-pañeros lo siguiente.

Si hay 12 sobres de

sabor y hay 5 litros de

agua, ¿se utilizarán

los 12 sobres?

Si hay 17 sobres y 23

litros de agua, ¿se uti-

lizarán todos los litros

de agua?

Para curiosos

'

/

.

-

,

+

*

)

(

'

( ) * + , - . /

O

N&

9Wdj_ZWZZ[ieXh[i

(")

*$+",$-+

,"/

B_jhei

Z[W]kW

Figura 1

LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN

Es importante que los alumnos entiendan que los puntos de la gráfic

una relación de valores entre dos elementos del problema, no solament

como puntos en el plano.

Conviene recordar que al resolver problemas, un tema a trabajar e

modificar los datos para valorar los procedimientos de resolución, pe

los estudiantes que planteen problemas similares o encuentren dato

se acomodan a una solución dada. De esta manera se enfatizará el ti

de relación entre variables que define una proporcionalidad directa.

La constante de proporcionalidad es 3/2

bien 1.5. La expresión algebraica es y = 3

o bien y = 1.5x . El 2 indica la cantidad de

sobres y el 3 indica la cantidad de litros.

PROHIBIDA

SU VENTA

1/2 1 1 1/2 2 2 1/2 3

3/4 3/2 9/4 3 15/4 9/2

4/6 4/6 2/3 2/3 20/30 6/9

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5

0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6

Sí.

Y x 2

3y 0.6 x

Sí.

Sí.

2

30.6

Cantidad de sobres.

Litros de agua.

Cantidad de sobres.

Litros de agua.

Cantidad de sobres.

Litros de agua.

La constante es 0.6



¿Qué sucedería si tienes 10 litros de agua para preparar las bebidas de la fiesta?

¿Cuántos sobres necesitarías?

Con tus compañeros considera que tienes varios litros de agua y determina la can-

tidad de sobres que se requieren.

También puedes suponer que tienes varios sobres para hacer la mezcla, determina

los litros de agua necesarios en cada caso.

La cantidad de sobres y la cantidad de agua están relacionados, encuentra la ex-

presión algebraica correspondiente y determina si hay o no una relación de propor-

cionalidad entre dichas cantidades.

Construye la siguiente tabla (algunos valores incluidos en ella son aproximaciones).

Usando fracciones Usando decimales

Litros de agua Sobres de sabores Litros de agua Sobres de sabores

12

3 1 0.67

7

10

Discute con tus compañeros cómo saber, aproximadamente, los litros de agua que se

necesitan para y 6 sobres.

Usa la expresión algebraica que relaciona la cantidad de sobres con la cantidad de li-

tros de agua para saber los valores exactos correspondientes para y 6 obres.

Para tener una mejor idea de las cantidades implicadas, ¿es preferible usar decimales

o fracciones? ¿Por qué?

Para curiosos

2

BLOQUE 1

Los estudiantes deben aprender a

plantearse preguntas y atreverse

a modificar las situaciones que ya

enfrentaron; solamente de esta

manera descubrirán las relaciones más

importantes.

El uso de distintos números es un

tema para trabajar siempre, pues

por lo general las aplicaciones

requieren de fracciones odecimales, no necesariamente se

presentan con números enteros.

PROHIBIDA

SU VENTA

33/8 litro y 75/8 litro

11/4 ϫ 3/2 = 33/8 y

25/4 ϫ 3/2 = 75/8

Sí hay una relación de proporcionalidad. La expresión algebraica es 3/2 y =

Depende. Ambos se pueden usar indistintamente, sólo que con decimales a

veces se pierde información por la cola infinita de cifras decimales y sólo

podemos aproximar, mientras que con fracciones tenemos el resultado exacto.

Basta multiplicar por 3/2.

6.6 sobres.

4/3 2 1.3

6/3 = 2 3 2

8/3 4 2.6

10/3 5 3.3

12/3 = 4 6 4

14/3 7 4.6

16/3 8 5.3

18/3 = 6 9 6

20/3 10 6.6

22/3 11 7.3



De acuerdo con las cantidades que calculaste, por cada renglón de la tabla, ¿cuál

es el resultado de lo cocientes del tipo:

litros de agua requeridos

sobres de sabor ?

Fracciones Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6

Cantidad de litros

Cantidad de sobres

ocientelitros

so re

Decimales Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6

Cantidad de litros

Cantidad de so res

Cocientelitros

sobre

¿Hay proporcionalidad entre los datos? ¿Cuál es el factor de proporcionalidad?

En fracciones: . En decimales:

En este caso, para calcular la cantidad de sobres ( x) si conoces la cantidad de agua

( y), se observa que se puede utilizar la expresión algebraica:

x = y,

En los siguientes ejes coordenados construye una gráfica de esta relación e inter-

preta las coordenadas de cada punto en términos de la situación analizada.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Litros de agua

Cantidadde sobres


Hacer ensayos y modificar lo

realizado es una forma de trabajo

que ayuda a ordenar los

pensamientos y desarrollar habilidades que no solamente

servirán en matemáticas, sino que

tienen repercusiones importantes

en otros campos y en el

pensamiento crítico.

La constante de proporcionalidad

es 2/3. La expresión algebraica

es x = 2y /3. El 2 indica la

cantidad de sobres y el 3 indica

la cantidad de litros. Algunos

puntos en la recta son (3, 2),

(7, 4.67) y (12, 8).

PROHIBIDA

SU VENTA

1 2 3 4 5 6

2/3 4/3 2 8/3 10/3 4

3/2 6/4 3/2 12/8 15/10 6/4

1 2 3 4 5 6

0.67 1.3 2 2.6 3.3 4

1.49 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

= 3/2

3

2

3

2

1.5

Hay proporcionalidad entre los datos.

El factor de proporcionalidad es 3/2.



Cuando a partir de la cantidad de sobres requeridos ( x) se determinó la cantidad

de litros de agua ( y), la expresión algebraica correspondiente fue:

y =2

x.

En este caso, el factor de proporcionalidad es3

2.

Sin embargo, cuando invertimos la relación entre las cantidades, es decir, cuando

a partir de la cantidad de litros de agua ( y) se determinó la cantidad de sobres reque-

ridos ( x), la expresión algebraica correspondiente fue:

x3

y .

En este caso, el factor de proporcionalidad es2

3

.

Como

3

2

2

3= = =

Resulta que2

es el recíproco (también llamado inverso multiplicativo) de3

. En

el grado anterior ya trabajaste con este tipo de números.

Por analogía podemos decir que2

3es el factor de proporcionalidad inverso de

3

2.

Discute con tus compañeros lo siguiente.

¿Qué es más útil para tener una mejor idea de las cantidades implicadas, usar decima-

les o racciones? ¿Por qué?

Observando la grá ca es posible encontrar la expresión algebraica de una relación de

proporcionalidad y algunos valores en orma aproximada. Utiliza la siguiente grá ca

para determinar la expresión algebraica correspondiente y encontrar algunos valores

de y a partir de los de x.

Ana iza o que suce e con e punto (6, 8) que está so re a recta.

'&

.

-

,

+

*

)

(

'

( ) * + , - . /

O

N

Para curiosos

4

BLOQUE 1

En este proyecto se promueve que los

alumnos partan de relaciones gráficas

para conocer las relaciones

numéricas y algebraicas, lo cual se

logra si se comprende el papel que

juegan los puntos en la recta.

PROHIBIDA

SU VENTA

Depende de lo que se quiera analizar.

3 2 6

2 3 6

(6, 8)

y = 4/3 x

(3, x)

8/6 = 4/3 = pendiente.

1



Dada la relación de proporcionalidad encuentra los valores que altan en las tablas.

• Un vendedor de autos recibe por cada unidad vendida de cierto modelo y marcade su costo, que es de 123 589.00. Llena la siguiente tabla:

Unidadesvendidas

( x)

Pago querecibe

( y)

¿Cuá es a expresión a ge raica correspon iente para acer os cá cu os

Elabora una grá ca de la situación.

¿Cuál sería la expresión algebraica de la relación de proporcionalidad inversa?

¿Qué parte de la venta de cada unidad, de otra marca y modelo, recibe el vende-

dor si se conoce que el precio de cada unidad es de: 154 978.00? Llena los espa-

cios vacíos de la siguiente tabla:

Unidadesvendidas

( x)

Pago querecibe

( y)

$21 7 $ 7

¿Cuál es la expresión algebraica de este caso?



1

E N

E L AT E N E O

Analiza y responde con tus compañeros:

¿Podemos decir que es el actor de proporcionalidad inverso de ?

i = = x ¥ , ¿es correc o que x ∏ ? ¿Por qué

Para curiosos


En estas actividades se pone énfasis en

la relación de proporcionalidad

asegurada solamente por pocos

elementos de las tablas.

PROHIBIDA

SU VENTA

148 306 247 175 346 045 593 220 1 680 790 2 224. 575 2 966. 100

155 379 266 364 754 698 998 865 1 331. 820

Recibe por unidad 49 435.6

Sí, pues 3/2 ϫ 2/3 = 1.

No, porque la multiplicación de x por 3/2

no es igual a x entre 3/2 a menos que x = 0.

49 435ϫ

n, donde n es el número de unidades vendidas.

49 435 ϫ n, donde n es el número de unidades vendidas.

22 197 ϫ n, donde n es el número de unidades vendidas.

y kx

y

x

k49 435



• Un en ermo debe consumir 456 gramos de carbohidratos diarios. Cada gramo de

comida proporciona4

de gramo de carbohidratos. Llena la siguiente tabla:

Gramos de comida

por día ( x)

7 5 7 14 4

Gramos decarbohidratos ( y)

¿Cuál es la expresión algebraica de este caso?



• Un automóvil consume de tanque de gasolina en un día. ¿Cuánto consume en

7 días?

Días

Tanque de gasolina

¿Cuá es a expresión a ge raica e este caso



Dadas las siguientes gráficas encuentra la relación de proporcionalidad.

Observa que en la gráfica de la izquierda (1, 2) y (2, 4), están sobre la recta.

Observa que en la gráfica de la derecha (2, 1) y (4, 2), están sobre la recta.

¿Las gráficas anteriores tienen alguna relación? ¿Una es inversa de la otra?

Dada la siguiente gráfica llena los valores faltantes de la tabla.

2

BLOQUE 1

Se trabajan las relaciones gráficas

para determinar las relaciones

aritméticas y algebraicas, pues en

los cursos de matemáticas,

generalmente se presentan las

relaciones algebraicas para obtener

las numéricas y las gráficas, cuando

en la práctica lo que se debe

interpretar es el comportamiento

contenido en gráficas y a partir de

ello determinar los modelos

algebraicos correspondientes.

PROHIBIDA

SU VENTA

No son inversas.

93.75 132 196.5 35.5 87 138.75 115

2/3 3/3 4/5 5/3 6/3 7/3

X 0 1 2 3

(1,2)

(2,4)

4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

y

X 0 1 2 3

(2,1)

(4,2)

4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

y

Y 2x

y 1/2x

x 4

1

y

y 1/4x

X 3

1

y

y 1/3x

y = ¼ x

y = 1/3 x



Cuando lo grande se hace pequeño

Recorta un dibujo sencillo de un periódico y trata de reproducirlo al doble de su ta-

maño original.

Toma dos puntos cualesquiera en el dibujo original y mide la longitud del segmen-

to que los une. ¿Qué longitud deberá tener la réplica de ese segmento en el dibujo que

hiciste al doble del tamaño?

Si ahora intentas reproducir el dibujo pero para que sea más pequeño, digamos a

la tercera parte, ¿qué longitud deberá tener la réplica del segmento en el dibujo más

pequeño?

Procedimientos como estos son muy frecuentes al reproducir figuras a escala.

Por ejemplo, en la figura 2 el triángulo grande ( ABC ) se utiliza para dibujar otro

más pequeño ( PRQ), a escala.

x y

Encuentra expresiones con un factor de proporcionalidad inverso al de las siguientes

expresiones algebraicas.

• = x • 4

= L • b • m3

4

3

4

'&

'&

/

.

-

,

+

*

)

(

'

( ) * + ,

O

N

'&Yc

,Yc

)Yc

*Yc

+Yc

.Yc 7

9

8 F G

H

Figura 2


Aquí se hace énfasis en la relación

que tienen los puntos de la gráfica

para determinar los valores en una

tabla, sin mediar la expresión

algebraica.

Las relaciones de proporcionalidad

directa no siempre aparecen escritasen forma explícita, por ello

es importante que los estudiantes

sepan reconocerlas y realizar

las manipulaciones algebraicas

necesarias para determinar las

constantes de proporcionalidad

respectivas.

Las constantes de proporcionalidad

se pueden expresar con números

menores que uno y la situación

equivalente, puede representarse con

una constante de proporcionalidad

con un coeficiente mayor que uno;

por ello los estudiantes deben

analizar ambas situaciones y

encontrar relaciones entre dichas

representaciones.

PROHIBIDA

SU VENTA

1/3.

El doble

1/4 4 3 4/3

1.5

8

10

3

3.5



Las longitudes de los lados del triángulo pequeño equivalen a la mitad de las lon-

gitudes de los lados del triángulo grande. También es posible establecer una expre-

sión algebraica en estos casos.

Denotemos por x la longitud de cada lado del triángulo grande ABC, y por y la de

cada lado del triángulo chico PQR. En la tabla siguiente se describe el procedimiento

por el que se obtienen los lados del triángulo chico a partir de los del grande.

Lados del triángulo grande( x )

Cálculo de los lados deltriángulo chico

Lados del triángulo chico( y )

A cm P

cm

CA 1 cm

Generalizando este procedimiento llegamos a que la relación proporcional que seda entre las longitudes de los lados del triángulo chico y el grande está dada por

y ,

donde es el factor de proporcionalidad.

Nota que cualquier longitud medida dentro del triángulo mantiene dicha relación,

como se ilustra en la figura 3.

Inversamente, si se parte del triángulo chico para dibujar el triángulo grande, se

establecería una relación inversa (figura 4).

Figura 3

' & Y c

,Yc

)Yc

*Yc

+ Y c

*$ + Y c

/ Y c

.Yc

7

9

8

F G

H

D

C

N AM

BLOQUE 1

En los dibujos a escala todas las

partes de una figura son

afectadas por la misma

constante de proporcionalidad.El profesor debe plantear

situaciones donde esto sea

evidente.

PROHIBIDA

SU VENTA

8/2 4

6/2 3

10/2 5

x 1

1

2

2



El resultado es que la longitud de los lados del triángulo chico debe ser del

para construir el triángulo grande.

Si x es la longitud de los los lados del triángulo chico y y es la longitud de los lados

del triángulo grande, llena la tabla siguiente:

Valores de x Cálculos Valores de y

PQ 4 cm AB

QR cm BC

cm

La expresión algebraica correspondiente es:

y = .

En este caso también, cualquier longitud medida en el triángulo chico será el do-

ble en el triángulo grande (figura 5).

¿Qué sucedería si hubiera que agrandar cada parte del triángulo 2.56?

¿Cuál sería el factor de proporcionalidad? ¿Cuál el factor inverso?

Escribe las expresiones algebraicas correspondientes:

'&Yc

,Yc

)Yc

*Yc

+Yc

.Yc 7

9

8 F G

H

ura 5 Figura 4

Figura 5

' & Y c

,Yc

*Yc

+ Y c

* $ . Y c

( $ * Y c

.Yc

7

9

C

D

8

F G

H

)Yc


El maestro puede analizar una

situación en la que se detecte

una relación de proporcionalidad

directa con constante de

proporcionalidad mayor que uno

e intercambiar el papel de las

variables implicadas para obtener

otra relación de proporcionalidad

directa con constante menor queuno.

Puede trabajarse en clase lo que

sucede con algunos cuadriláteroso polígonos.

PROHIBIDA

SU VENTA

4 ϫ 2 8

3 ϫ 2 6

5 ϫ 2 10

Se tiene y = 2.56x

2.56, 1/ 2.56 = 0.39

y = 2.56 x , y = 0.39x

2 x

doble



¿Que sucedería si hubiera que agrander cada parte del cuadrilátero 0.46?

¿Cuál sería el factor de proporcionalidad? ¿Cuál el factor inverso?

Escribe las expresiones algebraicas correspondientes:

Discute con tus compañeros lo siguiente.

• ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el actor de proporcionalidad es mayor que 1?

¿Qué se está haciendo?

• ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el actor de proporcionalidad es igual a 1?

¿Qué se está haciendo?

• ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el actor de proporcionalidad es menor que 1?

¿Qué se está haciendo?• Si en un i u o a esca a sa es que cua quier ongitu es un écimo e tamaño

real, y mides en ese dibujo un segmento de 12 cm, ¿cuánto mide la longitud co-

rrespondiente en el objeto real?

• Si la escala de un mapa es de y una carretera en el mapa mide 28 cm de lon-

gitud, ¿cuál es la longitud de la carre era real?

Para curiosos

Toma las medidas necesarias de las guras y, en cada caso, encuentra el actor de

proporcionalidad que se aplicó. También encuentra el actor de proporcionalidad

inverso y las expresiones algebraicas asociadas.

1

E N

E L AT E N E O

BLOQUE 1

En este proyecto se incorporan

algunas preguntas que los

estudiantes se formulan y son

importantes en la comprensión del

concepto de proporcionalidad.

PROHIBIDA

SU VENTA

Se agranda.

Queda igual.

Se reduce.

1.2 cm.

2 800 cm.

x 1/3 3x

x 1.61 x 1.57x 1.61 x 1.57x 1.61 x 1.57

x 1/3 x 3

y = 0.46 x y = x / 0.46

0.46, 1/0.46

Se hace y = x (0.4



Escala tras escala

Una empresa que fabrica carteles educativos desarrolla cuatro versiones del apara-

to circulatorio: la original, una que debe tener una altura de la mitad del original, otra

que debe ser la tercera parte de la primera versión y una más que se reduce a una

cuarta parte de la segunda versión.

Las longitudes de los lados de un rectángulo son 12 y 23 cm. Si se hace un dibujo

a escala de éste de tal modo que las longitudes de sus lados sean 5.14ͩ ͪy 9.86ͩ ͪ .

¿Cuál sería el actor de proporcionalidad directa e inversa?

¿Cuáles serían las expresiones algebraicas correspondientes a los dos actores?

En la reducción, ¿qué longitudes tendrían los segmentos marcados en la gura?

Se hizo un dibujo a escala de un rectángulo usando un actor de proporcionalidad

de . Si el rectángulo a escala tiene dimensiones de 9.75 cm por 4.5 cm, dibuja el

rectángulo original.

2

3

'(Yc

()Yc

+ Y c

/Yc

- Y c

Figura 6


Con mucha frecuencia en mapas o

catálogos de diseño se emplean

relaciones de proporcionalidad con

constante de proporcionalidad

menor que uno, por ello conviene

hacer énfasis en este tipo

de situaciones.

El trabajo con escalas repetidas se

puede motivar con el diseño demantas o carteles, en los cuales se

modifican las dimensiones de letras

y figuras, ello suele ser el resultado

de la aplicación de diferentes

escalas.

PROHIBIDA

SU VENTA

Tendría dimensiones de 26 cm x 12 cm.

2.3 y 0.42 y = 2.3x , y = 0.42x

9N 3.78 cm, 5N 2.1cm 7N 2.94 cm

26 cm



Para cerciorarte de que todas las partes del cartel se redujeron proporcionalmen-

te, escribe las expresiones algebraicas y encuentra también la expresión algebraica

correspondiente a las situaciones inversas, que corresponderían a:

• La reducción de la versión original a la primera versión:

• La reducción de la versión original a la segunda versión:

• La reducción de la versión original a la tercera versión:

• La reducción de la primera versión a la segunda versión:

• La reducción de la segunda versión a la tercera versión:

• Si el cartel tiene dimensiones de 50 por 35 cm, encuentra el tamaño de la primera,

segunda y tercera versión.

, y .

2

BLOQUE 1

Es importante encontrar una

relación entre las dimensiones del

objeto inicial y el resultado de la

última reducción o ampliación,

la cual se puede calcular a partir

de las reducciones o ampliaciones

sucesivas del efecto final.

PROHIBIDA

SU VENTA

Y = 1/2 x

El proceso inverso sería y = 2x.

y = 1/3 x

El proceso inverso sería y = 3x.

y = 1/8 x .

El proceso inverso y = 8x .

y = 0.6x

y = 1/0.6 x

y = 0.75 x

y = 1.33 x

25 ϫ 17.5 16.6 ϫ 11.66 4.15, 2.9



• Si la tercera versión debe ser de 5 por 3 cm, ¿cuál debe ser el tamaño de la segun-

da y primera versión, así como el original?

, y

Se edita un libro de arte y las reproducciones de las pinturas deben quedar enmar-

cadas con cuadros de dimensiones 2.75 por 1.56.

Las reducciones deben ocupar media cuartilla impresa en tamaño carta (21.59 por

27.94 cm) con márgenes de 2.5 cm en cada orilla.

• ¿Cuál sería el tamaño de la reproducción que mejor se acomodaría?

.

• ¿Con qué fórmula se calcularían las reducciones necesarias de otras obras de arte

para ocupar el mismo espacio?

• Para promoción, se quieren imprimir folletos que contengan reducciones de algu-

nas obras de arte en un octavo de cuartilla, con los márgenes antes señalados.

Encuentra la fórmula que acomodaría mejor a esta situación

Compara los resultados con tus compañeros. Pueden variar, pero en conjunto se-

guramente encontrarán la mejor solución para esta situación.

A veces se aplican relaciones de proporcionalidad de manera reiterada.

Por ejemplo, si se desea incluir en un libro una imagen a escala de una pintura que

tiene dimensiones de 2 m (200 cm) de largo por 1 m (100 cm) de alto, y se tiene que

ocupar un espacio de 20 cm 10 cm, se aplica una escala de1

10.

También se quiere imprimir un folleto promocional que contenga dicha imagen

en un espacio de 10 cm por 5 cm. En este caso, a la reproducción de la pintura en el

libro se le aplica una escala de1

2.

Finalmente, se desea hacer estampas de 2 cm por 1 cm a partir de la imagen el

folleto. Para lograr esto, se aplica a dicha imagen una escala de1

5.

Así pues, la imagen de la pintura original ha sufrido varias reducciones hasta su

impresión en las estampas, como se aprecia en la figura 7. La primera reducción fue

de1

10, a la cual se le aplicó después una escala de

1

2y a esta última una escala de

1

5.

Esto quiere decir que la imagen original se redujo en una escala de

1

10

1

2

1

5=

1

100.


Las reproducciones a escala son

buenas oportunidades para

desarrollar la habilidad de determinar

el factor inverso dada una relación

de proporcionalidad y el factor de

proporcionalidad fraccionario.

Esta actividad permite relacionar

datos de más de dos conjuntos y

utilizar procedimientos para

resolver problemas de

proporcionalidad múltiple.

PROHIBIDA

SU VENTA

22.94ϫ 5.79 cm

Y = 1/12x

y = 1/8x

20, 12, 13.33, 8 40, 24

Primera versión, segunda versión original.



Discute con tus amigos lo siguiente.

Una foto primero se reduce , luego posteriormente y finalmente . Si la foto

original tiene dimensiones de 30 cm por 20 cm, ¿cuáles son las dimensiones de

cada reducción y cuál será el actor que indica la reducción del original a la últimareducción?

Si se tiene una oto de 15 cm por 30 cm después de haber su rido las mismas reduc-

ciones que en el inciso anterior, ¿cuál era el tamaño del original?

1

E N

E L AT E N E O

2

F_djkhWeh_]_dWb0

(c´'c

;iYWbW

H[fheZkYY_d[d[bb_Xhe

H[fheZkYY_d[d[b\ebb[je

H[fheZkYY_d

[dbWi[ijWcfWi

'Yc

(Yc

'&Yc

'&Yc

(&Yc

+Yc

2

1

10

5

Figura 7

4

BLOQUE 1

Las actividades planteadas pueden

ser aprovechadas como evaluación

parcial o de la lección, como temas

de discusión en clase o como

actividades para resolver en casa o

como base para que los estudiantes

planteen actividades similares.

PROHIBIDA

SU VENTA

20 ϫ 13.33, 12 ϫ 7.99; 1.7 ϫ 1.19, 1.27 ϫ 0.85

La reducción total fue de 18/420.

350 ϫ 700 cm.



Demuestro lo que sé y hago1 De la siguiente gráfica, encuentra la relación de pro-

porcionalidad.

2 Dada la siguiente gráfica llena los valores faltantes

de la tabla.

x

y

3 Alberto cobra por cada hora de trabajo $150. ¿Cuánto cobrará en

7 horas?

Horas 2 3 6

Cobro $150


La posibilidad de representar una situación de diferentes maneras es una

habilidad importante en todo el estudio de la matemática. Por ello,

una vez que los alumnos han resuelto problemas mediante el uso de tablas,

la expresión algebraica y con la representación gráfica, hay que integrar

estos aspectos. Estos problemas permiten hacer esa integración.

PROHIBIDA

SU VENTA

2 3 5 7 8 9 10

300 450 600 750 900 1 050

$1,050

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

y

y 4x

x 0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

y



4 A partir de cada uno de los siguientes triángulos, di-

buja otro a escala usando el factor de proporcionali-

dad que se pide.

5 ¿Cuántas botellas de3

4de litro se requieren para

embotellar 240 litros de aceite?

6 En un poblado,2

3del total de los varones están casa-

dos con2

5del total de las mujeres. ¿Qué parte de la

población total está soltera?

7 Una máquina para retirar lirio acuático retira 2 to-

neladas por día.

• ¿Cuántas toneladas retira en la tercera parte de un

día?

• ¿Cuántas toneladas retira en 4 días y medio?

• ¿Cuántos días se requieren para retirar 13 tonela-

das?

8 Reproduce a escala las siguientes figuras usando un

factor de proporcionalidad de1

3.

9 En una medicina se agregan 30 ml de la sustancia A,

a 76 ml de la sustancia B.

• Si se tienen 12, 17, 34, 56 ml de la sustancia A,

¿con cuántos ml de la sustancia B se pueden mez-

clar cada uno?

• Encuentra la fórmula para calcular los ml de sus-ancia B que se necesitan, dadas ciertas cantida-

des de ml de la sustancia A.

• Si se tienen 56, 89, 102, 306 ml de la sustancia B,

¿cuántos ml de la sustancia A se requieren para

mezclar en cada caso?

• Encuentra la fórmula para calcular los ml de sus-

ancia A que se necesitan, dadas ciertas cantida-

des de ml de la sustancia B

actor

Factor

BLOQUE 1


estudiantes manejensituaciones en las que el

álgebra sea el primer

contexto por utilizar y

otras donde se haga

referencia a figuras

geométricas.

PROHIBIDA

SU VENTA

Queda enorme, de 20, 16 y 12 unidades en cada lado.

320 botellas.

8/15

2/3 de tonelada

6.5 días.

9

30.4, 43.06, 86.1, y 141 ml, respectivamente.

B = 76/30 x

22.1, 35.1, 40.2 y 120 ml, respectivamente.

A = 30 / 76 x



10 Mi reloj se adelanta 8 minutos al día, ¿cuánto se ade-

lantará en 3 horas?

11 Dada la siguiente gráfica, encuentra la relación de

proporcionalidad.

12 Una empresa de juguetes decide hacer un modelo a

escala de un auto que ocupa un espacio de 2.8 m de

largo por 1.5 m de ancho y 1.6 m de altura.

• Quiere hacer un modelo, en un auto de pedales quedebe reducir el largo del vehículo a 1.2 m. ¿Cuánto

deberán reducirse las otras dimensiones?

• Encuentra una fórmula para calcular las dimensio-

nes de distintas partes de la reducción.

• Si del auto de pedales se desea hacer una reduc-

ción, como adorno, donde su altura sea de 5 cm,

¿cuánto deben reducirse las otras dimensiones?


nes de diversas partes de la reducción del auto de

pedales al auto de adorno.


nes de distintas partes de la reducción del auto ori-

ginal al auto de adorno.

13 Dada la siguiente gráfica, encuentra la relación de

proporcionalidad.

Conéctate


• http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/

documentos/10021635.pdf Encontrarás información sobre el manejo de escalas en

distintas situaciones.


• Aurelio Baldor

Geometría y trigonometría

Grupo Cultural Patria, México, 2007

• Grupo Beta

Proporcionalidad geométrica y semejanza

Síntesis, Madrid, 1990.

•María Luisa Fiol y Josep Maria Fortuny Proporcionalidad directa

Síntesis, Madrid, 1990.

• Yakov Perelman

Geometría recreativa

En línea: http://www.librosmaravillosos.com/

geometriarecreativa/index.html.

Matemática recreativa

En línea: http://www.librosmaravillosos.com/

matematicarecreativa/index.html.


En Internet hay diversos sitios en los cuales se pueden obtener imágenes

que se pueden modificar de diversos modos con un solo factor o por

medio de la aplicación de varios, lo cual podrá ayudar a los estudiantes

a conocer con mayor profundidad los efectos que tienen la aplicación

de uno o varios factores de proporcionalidad.

PROHIBIDA

SU VENTA

1 minuto.

y = 3x

y = 1/2 x

y = 0.31 x

y = 3.2 x

3.2 m

y = 2.33 x

Reducción de 2.33 m.

x 0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

34

5

6

7

8

9

10

11

12

y

y 3x

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

y

y 1/2x



Mis retos

En esta ección a or arás situaciones e conteo apoyán ote en e

uso e arreg os rectangu ares y iagramas e ár o , entre otros

recursos, con el n de determinar el número de casos posibles en

iversos problemas.

¿Qué sé?

En el curso anterior trabajaste con algunas técnicas de conteo,

empleando tablas y diagramas. Además abordaste diversassituaciones en las cuales se presentan regularidades numéricas.


Abordarás problemas de conteo en los cuales, para organizar la

in ormación y averiguar el total de combinaciones posibles,

uti izarás recursos asocia os a a mu tip icación e números, como

es e caso e os arreg os rectangu ares y os enomina os

iagramas de árbol, gracias a los cuales puedes analizar todas las

posibilidades de organización de un conjunto de datos. Esto

conducirá a la deducción de un principio undamental de conteo.

4 Cuentas de cuántos Se presenta de manera genérica lo que se espera que los

estudiantes aprenderán en esta lección.

Aquí se establecen los contenidos ya

aprendidos en la escuela primaria y

que se utilizarán en la presente

lección; los alumnos y el maestro

pueden recordar algunos de ellos.

Los retos establecidos al inicio se

desglosan en preguntas por

responder, lo cual será un punto de

referencia para los alumnos, pues al

final deberán poder responder estos

cuestionamientos.

PROHIBIDA

SU VENTA



1 Si echo volados con dos monedas a la vez, una de $10 y otra de $1, ¿de

cuántas maneras distintas pueden caer esas monedas?

2 Si tengo 2 playeras, una verde y otra amarilla, y también tengo 3 pantalones

cortos: uno rojo, otro blanco y otro verde, ¿cuántas formas distintas de

combinar ambos tipos de prendas tengo?

3 Si se deben etiquetar varias cajas con tres dígitos del 000 al 999 seguidos de

a etra A o a etra B. ¿Cuá es e número máximo e cajas que se pue en

etiquetar utilizando este sistema?

4 ¿Qué es un diagrama de árbol?

5 Una señora gana dos boletos para viajar a Cancún, Puerto Vallarta o Ixtapa, y

solamente puede llevar a su esposo, hija o hermana. ¿Cuántos lugares y

com inaciones posi es ten rá a señora para e egir?

6 Si un mago tiene escon i as en una o sa 3 pe otas, una ver e, una roja y

una amarilla, ¿cuántas maneras diferentes tiene para sacar las 3 pelotas?

ecuer a que as pe otas no se regresan a a o sa espués e sacar as.

7 En una cafetería venden 3 tipos de café y 5 tipos de sándwich. ¿Cuántos

almuerzos diferentes se pueden formar con un tipo de café y un tipo de

sándwich?

8 En una eliminatoria hay 5 boxeadores de Asia que deben pelear con 7

boxeadores europeos. ¿Cuántas parejas de contrincantes se pueden formar?


Esta sección puede considerarse una prueba escrita o ut ilizarse como tarea

al inicio de una lección, la cual puede ser resuelta individual o

colectivamente, asimismo, se puede usar como temas de discusión en clase

para resolver dudas y asegurar cierto nivel del manejo de conceptos o

procedimientos necesarios para los temas de la lección. La manera en que

se emplee tiene como único fin homogeneizar los conocimientos básicos

del grupo. No debe usarse esta parte como una evaluación con fines de

acreditación.

Las técnicas de conteo

basan en diagramas

rectangulares o de árbo

por ello una exploració

inicial antes de avanzar

el tema es necesario, so

todo dado que el tema

se ha trabajado

anteriormente.

PROHIBIDA

SU VENTA

4

6

2 000

Es una gráfica que sirve para analizar todas las combinaciones posibles.

Se le llama así porque gráficamente se va ramificando como un árbol.

9

6

15

35



Tablas, árboles y posibilidades

En una escuela se está organizando un baile para conmemorar la Revolución mexica-

na. A uno de los grupos le toca organizar una presentación de bailes regionales. En él

hay dos hombres y tres mujeres dispuestas a participar (figura 1).

¿Cómo se podrán organizar las parejas para el baile?

Hay muchas posibilidades para realizar la asignación de parejas. ¿Cuántas parejas

se pueden formar en total?

Si en cada baile debe actuar por lo menos una pareja diferente, ¿cuántos bailes se

podrían montar?

Si después de algún tiempo ya se cuenta con cinco hombres y tres mujeres, ¿cuán-

tas parejas se podrían formar?

¿Cuántos bailes se podrían considerar en la función con la condición de que por lo

menos una pareja fuera diferente?

Figura 1

Figura 2

1

BLOQUE 1

Debido a que los estudiantes ya

han trabajo aspectos relacionados

con los diagramas rectangulares y

de árbol, conviene que “jueguen”

con este tipo de herramientas de

conteo, lo cual se logra ampliandoo disminuyendo el número de

componentes para determinar el

número de posibilidades.

En muchas situaciones se utilizan

estrategias de conteo que ayudan a

planear eventos o a realizar

presupuestos, de tal modo que las

estrategias y ejemplos planteados

pueden servir de pauta para que los

estudiantes planteen situaciones

análogas pero de otros contextos.

PROHIBIDA

SU VENTA

B

1

2

3

Se pueden formar 6 parejas.

6, si no son del mismo sexo.

6

15 parejas.

6

A

1

23



¿Empleaste diagramas de árbol o rectangulares como en la sección “Algo de lo que

me enseñaron”? Si no fue así, trata de utilizarlos para resolver las preguntas y analiza

qué tipo de diagrama es más adecuado para cada pregunta.

¿Qué operación utilizarías para hacer los cálculos en las preguntas anteriores?

Veamos otro ejemplo. Analiza con tus compañeros la siguiente situación y respon-

de las preguntas.

En el periodo de elecciones de una escuela, para determinar cuáles serán los dos

estudiantes que se encargarán de la organización estudiantil, hay 4 candidatos de un

grupo A y 3 de otro grupo, el B. Ambos grupos están de acuerdo en lanzar candida-

turas conjuntas.

¿Cuántas parejas de posibles contendientes se pueden formar?

¿Cómo utilizarías un diagrama rectangular para resolver esta situación?

¿Puedes utilizar un diagrama de árbol? ¿Cómo?

¿Qué operación harías para determinar el número de casos posibles?

iscute con tus compañeros:

¿Cuántas parejas se pueden ormar para tener planillas si en cada grupo (A y B) hay 5

estudiantes para ormar la planilla?

¿Cuántas parejas se pueden formar para tener planillas si hubiera 7 estudiantes en el

grupo A y 12 en el B?

¿Cuántas ternas se pueden ormar para tener planillas si se trataran de poner de

acuer o tres grupos, uno con 2 can i atos, otro con 4 y otro con 5?

Para curiosos

1

LECCIÓN 4 • CUENTAS DE CUÁNTOS

PROHIBIDA

SU VENTA

Diagrama de árbol.

Diagrama rectangular.

12

Multiplicación 3 ϫ 2 _= 6 y

3 ϫ 5 = 15

B

1

2

3

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A A2 A3 A4

B1 A1B1 A2B1 A3B1 A4B1

B2 B2 A1 A2B2 A3B2 A4B2

B3 A1B3 A2B3 A3B3 A4B3

25 parejas.

40 ternas.

84 parejas.

3 ϫ 4 = 12

Multiplicación.



Analiza otra situación.

Se organiza un torneo de yudo entre dos clubes deportivos, el Club A y el Club B.

En el Club A hay cinco competidores y en el Club B, 12 competidores.

¿Cuántas parejas se podrán formar en el primer encuentro eliminatorio?

Si usas un diagrama rectangular, ¿cuántas filas y columnas se forman?

Si usas un diagrama de árbol, ¿de cuántos puntos inicias las ramas? ¿En cuántas

ramas se despliega cada una?

¿Con qué operación aritmética se calcula el resultado del total de posibilidades?

Se van a mezclar 5 tonos de pintura verde con tres tonos de pintura café ¿Cuántoscolores se obtendrían de todas las combinaciones posibles?

¿Se pueden realizar operaciones aritméticas para obtener la solución?

¿Cómo calcularías el total de colores que se obtendrían con las combinaciones?

Plantea la solución empleando solamente sumas.

Plantea el procedimiento para resolver la situación con una multiplicación.

Utiliza un diagrama de árbol y un diagrama rectangular para comprobar tus res-

puestas

Lo anterior se resume en lo que se denomina el rincipio de multiplicación: si

tienes dos grupos con determinado número de elementos, el total de parejas que se

pueden formar con un elemento de cada grupo, sin considerar permutaciones, es

1

BLOQUE 1

PROHIBIDA

SU VENTA

Multiplicando 3 x 5.

5 + 5 + 5 = 15

o 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 155 ϫ 3 = 15

Sí, 5 ϫ 3 = 15.

15

Con la multiplicación.

De 5 con 12 ramas o 12 con 5 ramas cada uno.

5 filas, 12 columnas o viceversa.

60 parejas

C1 C2 C3

V 1 V 1C1 V 1C2 V 1C3

V 2 V 2C1 V 2C2 V 2C3

V 3 V 3C1 V 3C2 V 3C3

V 4 V 4C1 V 4C2 V 4C3

V 5 V 5C1 V 5C2 V 5C3

V 1 V 2 V 3 Tonos de pintura verde.

V 4 V 5

C1

C2 Tonos de pintura café.

C3

c1

c2

c3

c1

c2

c3

c1

c2

c3c1

c2

c3

c1

c2

c3

V 1 V 2

V 4 V 5

V 3



igual al producto de las cantidades que indican los elementos de cada uno de los

grupos. Este principio se puede aplicar a más de dos grupos.

¿Cuántas parejas se puede formar con cinco hombres y siete mujeres?

.

Si fueran 32 hombres y 45 mujeres, ¿cuántas parejas se formarían?

¥ .

Plantea un problema que se resuelva con una tabla como esta:

¿Cuántas parejas se pueden formar?

.

Plantea un problema que se resuelva con el diagrama de árbol de la figura 3.

En las siguientes actividades, analiza con tus compañeros si es más útil un diagrama

de árbol o uno cartesiano (la tabla) para resolver los problemas.

Unos amigos llegaron a un expendio de tacos. En él se o recen tacos de bistec y pollo,

con cebolla, con salsa y cilantro.

¿Cuántas posibles combinaciones de tacos se pueden elegir?

¿Cuántas maneras ay para contestar un examen e 6 preguntas que só o a mite

como opciones de respuesta verdadero o also?

i e examen tiene 15 preguntas y ca a una con 5 opciones e respuesta, ¿cuántas

maneras hay para responderlo?

1

E N

E L AT E N E O

2


El maestro debe llamar la atención

a los estudiantes en el método de

cálculo que se desprende de los

diagramas rectangulares y de árbol.

El uso de cantidades “grandes”

inhibe el uso de tablas o diagramas

de árbol, por ello deben plantearse

con dichos números, además deincluir más de dos componentes y

generalizar así el método.

PROHIBIDA

SU VENTA

6

12

75

Respuesta modelo.

Tienes 10 galletas de animalitos diferentes y 6 chocolates con distintos rellenos. ¿De cuántas maneras te puedes

comer una pareja de galleta y chocolate?

Tienes 4 playeras de distinto color y 3 faldas con diferente estampado. ¿De cuántas maneras diferentes te puedes vestir?

10 6 60

5 7 35

32 45 1440

Respuesta modelo.



¿Cuántos números de 3 ci ras se pueden ormar con los dígitos 1, 2, 3 y 4?

Un almacén tiene siete puertas regulares y cinco de emergencia, que sólo pueden abrirse por

dentro. ¿De cuántas ormas puede una persona entrar y salir de la tienda?

Para el lanzamiento de dos monedas y un dado:

• Construye el diagrama de árbol y enumera todos los casos posibles.

• ¿Cuántas veces saldrá dos soles y el uno?

Construye el diagrama de árbol para el lanzamiento de tres dados.

¿Cómo podrías distribuir en un diagrama cartesiano todas las posibles formas en que pueden caer

tres monedas que se lanzan? ¿Cuántas combinaciones se obtienen?

Ahora se tienen cuatro monedas de distinto valor, al lanzarse generan di erentes combinaciones.

¿Cuántas combinaciones se obtienen?

Construye el diagrama de árbol para dos dados de di erente color y una moneda.

Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces a lo sumo. En cada juego gana o pierde 100.

El hombre empieza con un billete de 100 y dejará de jugar si antes de la quinta vez pierde todo su

dinero o si gana 300, esto es, si tiene cuatro billetes de 100. Hace el siguiente diagrama para deli-

near su estrategia.

• Después de cinco juegos, ¿en cuántos puede ganar $400, en cuántos puede ganar $200 y en cuán-

tos no gana

9

10

3

4

5

6

7

8

$100

$200

$300

$400 $200 $200 $0 $400 $200 $200 $0

$400 $200

$300 $100 $300 $100

$200 $0

$100

$0Juego 1

Juego 2

Juego 3

Juego 4

Juego 5

BLOQUE 1Hay varias situaciones

que pueden analizarse

con los diagramas

rectangulares y de

árbol, pero más que

hacer que los

estudiantes abarquen

muchas situaciones, es

importante que ellos

las diseñen y

resuelvan, de tal modo

que las actividades

aquí planteadas sirven

de ejemplo para que

los alumnos imaginen

nuevas situaciones.

PROHIBIDA

SU VENTA

16 combinaciones

Tres columnas, 8 renglones. Hay 8 combinaciones.

En el diagrama aparece una sola vez. p = 1/ 24

a = águila.

s = sol.

35

12

En 3 o en 5 puede ganar $400.

En 1, 3 o 5 puede ganar $200.

En 1, en 3 y 5 puede quedarse con $0.



Demuestro lo que sé y hago1 De cuántas formas diferentes se puede responder

un examen que consta de 12 preguntas de falso y

verdadero.

2 De cuántas formas diferentes se puede responder

un examen de 6 opciones por pregunta, si consta de

25 preguntas.

3 ¿Cuántas palabras de siete letras se podrán formar

utilizando solamente las cinco vocales?

4 ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con

los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, incluyendo repeticiones?

5 Eduardo tiene 6 camisas y 4 pantalones que com-binan perfectamente. Haciendo un diagrama de

árbol, ¿cuántas combinaciones tendrá para elegir?

6 Se tiene un dado verde y un rojo, al arrojarlos se

producen diferentes combinaciones. ¿Cuántas son?

7 ¿De cuántas maneras puede acomodarse una enci-

clopedia de 4 volúmenes en el anaquel de un librero?

8 Si arrojamos un dado y una moneda al mismo tiem-

po, ¿de cuántas formas distintas podrán caer?

9 En un problema de arrojar dos dados de distinto co-lor, ¿cuántas combinaciones existen en donde apa-

rece un cinco?

ConéctatePuedes consultar algunas páginas de Internet para pro-


• http://www.aaamatematicas.com/sta-basic-cntg.htm

Encontrarás elementos para analizar las técnicas de

conteo que se aplican en diagramas como los de árbol.


• Juan Díaz Godino et al.

Azar y probabilidad

Síntesis, Madrid, 2001.• Carlos Sánchez Fernández y Concepción Valdés

Castro

Kolmogórov: el zar del azar

Nivola, Madrid, 2003.



aprovechadas de diversas formas, como

evaluación parcial o de la lección, como

temas de discusión en clase o como

actividades para resolver en casa o como

base para que los estudiantes planteen

actividades similares.

Cuando se hacen búsquedas en Internet para obtener datos se

suelen encontrar pocas situaciones en las que se utilicen diagramas

de árbol o rectangulares, pero pueden adaptarse algunas para ser

utilizadas en clase.PROHIBIDA

SU VENTA

SOLUCIONARIO

12

10

24 formas

150 formas

En castellano no existen esas palabras. Si no importa que no

tenga ningún sentido, podemos formar 35 palabras.

30

24

36

24

P =

C=

P1

C1C2

C3

C4

C5C6

C1C2

C3

C4C5C6

C1C2

C3

C4

C5C6

C1

C2

C3

C4

C5

C6

P2

P3

P4



Mis retos

Conocerás un nuevo tipo de gráfica que te ayudará a interpretar

información contenida en conjuntos de datos.

¿Qué sé?

En el curso anterior trabajaste con representaciones gráficas básicas,

as cua es pue en ayu ar a a or ar otro tipo e representaciones

grá cas y a partir de ello analizar la conveniencia de utilizar unas u

o ras.


Aprenderás a leer nuevos tipos de gráficas que te permitirán

interpretar las características de un conjunto particular de datos, lo

cual resulta relevante cuando se quiere comparar dos conjuntos de

atos.

5 Gráficas ue hablan

1

Se presenta de manera genérica lo que se espera que los

estudiantes aprenderán en esta lección.

Aquí se establecen los contenidos ya

aprendidos en la escuela primaria y

que se utilizarán en la presente

lección; los alumnos y el maestropueden recordar algunos de ellos.

Los retos establecidos al inicio se

desglosan en preguntas por

responder, lo cual será un punto de

referencia para los alumnos, pues al

final deberán poder responder estos

cuestionamientos.

PROHIBIDA

SU VENTA



1 Define los términos “frecuencia absoluta” y “frecuencia relativa”.

2 Si tienes el valor de la frecuencia relativa en una tabla de datos, ¿cómo

ca cu as e porcentaje correspon iente?

3 En un estudio se recolectaron los siguientes datos:

Deporte avoritoFrecuencias

absolutasFrecuencias

relativasPorcentajes

Golf 1

Voleibol

Futbol 2

Beisbol 1

Natación

Total

• Completa la tabla, calculando las recuencias relativas y los porcentajes

altantes.

• Elabora una gráfica de barras que presente la información recabada en la

tabla.

4 La siguiente tabla muestra la cantidad de veces que se obtuvo un número al

lanzar un dado.

Resultado del lanzamiento

Frecuencia absoluta 1

• Elabora una grá ca circular para representar esta in ormación.

7


Esta sección puede considerarse una prueba escrita o utilizarse como tarea al inicio

de una lección, la cual puede ser resuelta individual o colectivamente, asimismo,

se puede usar como temas de discusión en clase para resolver dudas y asegurar

cierto nivel del manejo de conceptos o procedimientos necesarios para los temas

de la lección. La manera en que se emplee tiene como único fin homogeneizar los

conocimientos básicos del grupo. No debe usarse esta parte como una evaluación

con fines de acreditación.

Para interpretar gráfic

es importante saber si

estudiantes manejan

algunos temas

relacionados con las

frecuencias absolutas

y relativas.

PROHIBIDA

SU VENTA

Frecuencia absoluta es el número de veces que ocurre un evento y la relativa es la frecuencia absolutaentre el número total de veces que se realizó el experimento.

Con el cociente

Con el cociente.

G 13/610 2%

V 81/610 13%

F 235/610 38%

B 167/610 27%

N 114/610 18%

610 610 /610 98%

16.41% 15% 20.5%

Total: 73.

G F B V

20

140

F r e c u e n c i a s

160

40

60

80100

120

180

200

220

240

Deporte

1

2

3 6

5

4

16.4 %

16.4 %16.4 %

15 % 15 %

20.5 %



Histogramas y polígonos de frecuencia

S ralizó una nusta on studiants d sundaria. En una part s ls prguntó

qué volun (n litros) d agua pura y d bbidas gasosas qu toan al día. Los

datos rabados s nuntran n la siguint tabla.

Llna las olunas d frunia rlativa y porntaj d ada una d las tablas

ostradas abajo.

Elabora una gráfia d barras on los datos d ada tabla, usando los valors d las

frunias rlativas.

Distribución de recuencias para consumo de agua pura

Litros de agua bebidosrecuenc a

absoluta

Frecuenc a

relativaPorcentajes

. ero

2. Más de cero hasta medio litro 1

3. Más de medio litro hasta un litro

. Más de un litro hasta un litro y medio 7

5. Más de un litro y medio hasta dos litros 4

. Más de dos itros asta dos itros y medio

. Más de dos itros y medio asta tres itros 1

8. Más de tres litros

Distribución de recuencias para consumo de gaseosas

Litros de gaseosas bebidosrecuencia

a soluta

Frecuencia

relativaorcenta es

1. Cero

. Más de cero asta medio itro

. M s de medio litro hasta un litro

. Más de un litro hasta un litro y medio

5. Más de un litro y medio hasta dos litros

. Más de dos litros hasta dos litros y medio

7. Más de dos litros y medio hasta tres litros 1

. Más de tres itros

BLOQUE 1

Una dificultad de trabajar

interpretaciones de gráficas en

clase es que muchos datos son

ficticios o poco reales, pero sobre

todo generalmente son pocos

datos, los cuales no requieren

tantos elementos para ser

analizados, por ello debe iniciarse

con situaciones que impliquen una

cantidad importante de datos.

PROHIBIDA

SU VENTA

25/256 9.7 %

16/256 6.2 %

54/256 21 %

76/256 29 %

45/256 17 %

23/256 8.9 %

12/256 4.6 %

5/256 1.9%

Total: 256

15/257 5.8 %

28/257 10.8 %

69/257 26.8%

71/257 27.6%

30/257 11.6%

21/257 8.1%

19/257 7.4%

4/257 1.5%

Total: 257



Frecuencia relativa para consumo de agua pura

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

1 2 3 4 5 6 7 8

recuencia re ativa para consumo de gaseosas

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

1 2 3 4 5 6 7 8

Al oparar las gráfias, ¿qué obsrvas rspto al onsuo d agua o gasosas?

Puds plantart prguntas oo:

¿Qué bbida s onsu ás?

¿Qué antidads d agua o gasosas son ás bbidas?

Elabora una gráfia qu inluya las dos gráfias.

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

1 2 3 4 5 6 7 8

Figura 1

Gráfica con barras encimadas

LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN

PROHIBIDA

SU VENTA

04

09

1

1 2 3 4 5 7 6

0

07

08

01

02

03

05

06

04

09

1

1 2 3 4 5 7 86

0

07

08

01

02

03

05

06

04

09

1

1 2 3 4 5 7 6

0

07

08

01

02

03

05

06

a) Los estudiantes beben en su mayoría, entre medio y litro

y medio de gaseosas.

La mayoría bebe entre un litro

y litro y medio de agua.

b) Se consume más agua.

c) De agua entre litro y litro

y medio, de gaseosas entre

litro y litro y medio.



¿Qué problas s prsntan al intntar har la gráfia d barras d dos onjun-

tos d datos?

Si n la gráfia qu intgra a las dos gráfias, n lugar d dibujar las barras opl-

tas, solant dibujas la part suprior d las barras y nlazas los salons rsultan-

ts diant sgntos d rta, ¿óo s vrá ahora la gráfia?

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

01 2 3 4 5 6 7 8

Si n lugar d salons utilizas l punto dio d ada salón y los nlazas -

diant sgntos d rta, ¿óo quda la gráfia ahora?

A la gráfia rsultant d st aso s l dnoina polígono de frecuencias.

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

1 2 3 4 5 6 7 8

Figura 2

Gráfica con escalones de

colores unidos por segmentos

de recta

Figura 3

Gráfica con el punto mediodel escalón unidos por

segmentos de recta

Supongamos que agregas 20 a cada recuencia absoluta en las dos tablas. ¿Cambia-

rán las recuencias relativas y los porcentajes?

¿Se modi carán las grá cas?

Si en vez de usar en las gráficas frecuencias relativas, usas frecuencias absolutas o

porcentajes, ¿se modificarán en su forma las gráficas?

Para curiosos

11

BLOQUE 1

PROHIBIDA

SU VENTA

No porque al aumentar la misma cantidad se

conserva la proporcionalidad.

No.

La forma es la misma, la más alta corres-

ponde a la de mayor frecuencia que corresponda a la de mayor porcentaje. Son formas de representar lo mismo.



Considra ahora los siguints datos obtnidos d un studio sobr las longituds

dl urpo d irta spi d srpints. S roltaron los siguints datos:

43, 41, 17, 24, 19, 34, 16, 45, 10, 36, 43, 10, 17, 43, 25, 39, 44, 13, 33, 19, 44, 38,

28, 45, 33, 14, 12, 24, 19, 34, 16, 43, 25, 39, 44, 13, 33, 43, 41, 17, 24, 19, 16, 43,

25, 39, 44, 13, 19, 34, 16, 45, 10, 36, 43, 17, 24, 19, 16, 43, 25, 39, 43, 25, 39, 44,

13, 33, 43, 41, 17, 24, 19, 16, 43, 25, 39, 45, 33, 14, 12, 24, 19, 34, 16, 43, 24, 19,

16, 43, 25, 39.

Si t pidn laborar una tabla qu indiqu la frunia d ada diión, ¿uán-

tos rnglons tndría la tabla? ¿Cuántas barras tndría la gráfia?

Coo aabas d dduir, sría iprátio harlo d sta anra. ¿Qué onvn-

dría har ntons?

El nor dato s , l ayor dato s .

Quir dir qu todos los datos s nuntran ntr y .

Puds dividir l sgnto on xtros nor dato y ayor dato n varias par-

ts y onsidrar n ada una a los datos qu an n llas.

Divid n dos parts l spaio ntr l nor y ayor dato. Así, l núro qu s

l punto dio ntr l dato ayor y l nor s .

¿Cuántos datos an n la prira part (d a ) y uántos an n la

sgunda part (d a ). Pro, ¿n qué part s onsidra?

La posibilidad qu ás s usa s:

La prira part s d hasta ants d (sto s siboliza d la siguin-

t anra: , à).La sgunda part s dsd hasta (sto s siboliza: ó , ò).Llna la siguint tabla:

recuencia a soluta

ó , à

ó , ò

Haz una gráfia on sta inforaión, pro usando las frunias rlativas.

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

1 2 3 4 5 6 7 8


PROHIBIDA

SU VENTA

27.5 45 27.5 45

10 27.5 47

27.5 45 45 Total: 92

27.5 45 27.5

10 27.5

27.5

10 45

10 45

10

10

27.5

27.5

04

09

1

1 2 3 4 5 7 86

0

07

08

01

02

03

05

06

10, 27.5 27.5, 45



Puds dividir l spaio ntr y n ás parts; por jplo, n ino

parts. Llna la siguint tabla y labora una gráfia on los datos d la tabla:

Frecuencia absoluta Frecuencia relativa orcenta e

1

0.9

0.8

0.70.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

1 2 3 4 5 6 7 8

Divid l spaio ntr y , n 12 parts iguals.

Llna la siguint tabla y labora una gráfia on los datos d la tabla:

Frecuencia absoluta Frecuencia relativa orcentaje

BLOQUE 1

PROHIBIDA

SU VENTA

(10, 13) 5 5/92 5.4

(13, 16) 6 6/92 6.5

(16, 19) 13 13/92 14.1

(19, 22) 9 9/92 9.7

(22,25) 7 7/92 7.6

(25, 28) 7 7/92 7.6

(28, 31) 1 1/92 1.0

(31, 34) 5 5/92 5.4

(34, 37) 6 5/92 6.5

(40, 43) 11 11/92 11.9

(43, 44) 13 13/92 14.1

(44, 45) 9 9/92 9.7

(10, 17) 19 19/92 20.6 %

(17, 24) 14 14/92 15.2 %

(24, 31) 14 15/92 16.3 %

(31, 38) 11 11/92 11.9 %

(38, 45) 33 33/92 35.8 %

10 45

10 45

Para que el espacio entre 10 y 45 se

pueda dividir en partes iguales,

se tendrían que hacer intervalos

de 2.916 de diferencia entre datos,

lo cual NO es posible.

Por ello aproximamos para hacerlo

de 3 en 3.



1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

1 2 3 4 5 6 7 8

Sobr las gráfias qu laborast, traza un polígono d frunias.

La siguint tabla ustra la inforaión rabada n un studio sobr l tipo

qu los plados d una fábria ddiaron a aprndr una tara d arpintría.

Distribución de recuencias

Intervalo

(en minutosPunto medio

Longitud

del intervalo

Frecuencia absoluta

(empleados)

Porcentaje

(empleados

[20, 25) .5 .

[25, 30 7.5 .

[30, 35 .5 .

[35, 40) 7.5 .

[40, 45 .5 .

[45, 50 . 4 7.

[50, 55) .5 .

[55, 60) . .

[60, 65 .5 .

Totales 360 100.0

Cada intrvalo abara un rango d tipo n l qu

s logró aprndr diha tara. Los paréntsis rtan-

gulars indian qu l valor adjunto s inluy y los

irulars indian qu s xluy.La inforaión d la tabla s rgistra n la gráfia d

la figura 4.

A st tipo d gráfias s ls dnoina histograma.

En la figura 4 s obsrva qu uy poos plados

aprndiron uy rápido, y tabién uy poos aprn-

diron uy lnto. La ayor part rquirió ntr 30 y 55

inutos para lograrlo y, d éstos, la ayoría logró aprn-

dr la tara ntr 40 y 45 inutos.

35

30

25

20

15

10

5

0

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Tiempo (en minutos)

Porcentaje

de empleados

Tiempo de aprendizaje de la tarea

Figura 4

1


PROHIBIDA

SU VENTA

04

09

1

1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 126

0

07

08

01

02

03

05

06



Si n ada barra s idntifia l punto dio d ada intrvalo y s unn dihos

puntos on una lína rta s obtin lo qu s ono oo olígono de frecuen-

cias, l ual s ustra, on barras y sin llas, n las gráfias d la figura 5.

En la tabla, un dos intrvalos y labora la tabla d frunias.

ntervalos Punto medioLongitud del

intervalo

Frecuencia

absoluta

recuencia

relativa

60 65

35

30

25

20

15

10

5

0

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Tiempo (en minutos)

P o r c e n t a j e

d e e m p l e a d o s

Tiempo de aprendizaje de la tarea

(polígono de frecuencias)

35

30

25

20

15

10

5

0

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Tiempo (en minutos)

P o r c e n t a j e

d e e m p l e a d o s

Figura 5

Discute con tus compañeros os siguiente.

¿Hay di erencias entre un diagrama de barras y un histograma? Si las hay, ¿cuáles son?

¿Es necesario tener la gráfica de barras para dibujar el polígono de frecuencias corres-

pondiente?

Dado un polígono de recuencias, ¿será posible dibujar la grá ca con las barras?

Para curiosos

BLOQUE 1

PROHIBIDA

SU VENTA

[20, 30] 25.5 10 6 6/360

[30, 40] 35.5 10 126 126/360

[40, 50] 40.5 10 172 172/360

[50, 60] 50.5 10 54 54/360

[60, 70] 60.5 10 2 2/360

No. Basta tener los datos.

La diferencia es sólo la forma

gráfica pues presenta los mismos

datos

1o

2o

3o

4o

5o



Tabién labora l histograa orrspondint y l polígono d frunias para

la atividad qu propusist utilizando los datos d la tabla antrior.

Ahora vaos otro jplo. Dada la iportania qu tin la apaitaión para

jorar la produtividad n las prsas, irta fábria didió valuar las alifia-

ions obtnidas por l prsonal atutino (grupo A) y l vsprtino (grupo B) para

irto urso ipartido. El infor final d la valuaión inluyó las alifiaions

d los dos grupos qu ribiron apaitaión y una gráfia, las uals s ustran

a ontinuaión:

Califcaciones

Grupo Grupo B

2

4 7

7 1

4

1

2 2

1

2 4

4 4

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Calificaciones

Grupo A

Grupo B

Personal

evaluado

Calificaciones de capacitación

¿Cuál d los dos grupos s l ás stabl porqu tin nos variaions?

¿En uál d los grupos la gnt stá jor apaitada?

¿En qué grupo s ongloran ás las alifiaions bajas?

¿En uál las ás altas?

Figura 6

1


Las gráficas que se pueden

desarrollar con datos brutos

requieren de mucho esfuerzo para

sistematizar y ordenar los datos,

hasta conformar las clases y la

escala necesaria para realizar el

dibujo necesario. Por ello, es

adecuado partir de una tabla de

frecuencias para obtener

histogramas.

Los polígonos de frecuencias se

presentan como una alternativa

para obtener una representación

gráfica de datos que muestre el

comportamiento global de una

variable, sin recurrir a muchos

efectos visuales como se logra con

las barras.

PROHIBIDA

SU VENTA

1

0

35

P o r c e n t a j e d e e m p l e a d o s

5

15

Intervalos de tiempo

2 4 3 5

Grupo B.

Grupo B.

Grupo A.

Grupo B.



Se obtuvieron los siguientes resultados en un examen de matemáticas en una escuela (el puntaje

máximo era e 50 :

6, 7, 14, 31, 32, 30, 25, 17, 13, 25, 6, 8, 14, 30, 31, 26, 40, 17, 20, 45, 7, 15, 24, 26, 36, 41, 35, 17, 20, 39, 12,

24, 24, 38, 26, 43, 41, 17, 36, 17.

• Construye una tabla de recuencias, el histograma correspondiente y el polígono de recuencias,

para e o uti iza interva os e ongitu 5.

Se registraron los siguientes tiempos (en minutos) para completar un examen:

6.3 4.9 49.1 9. 5.2 30.3 37.8 46. 36. 46.

40. 1.0 52. . 47.6 36.3 3.1 48. 53.5 42.

8.4 . 9.8 2. 3.8 35. 37.8 45.3 . 43.8

9.4 51.0 3. . 1.9 33. 6.7 . 1.9 4.8

5. 38.0 45. 3. 6.2 0. 3.0 41. 2. .

8. . 45.3 3.5 40.3 44. 35.5 4.8 37.2 0.8

41. 7. 52. 34. 47.3 . . 3. 35.1 .

8. 3.5 3. 32. 41.3 40.4 5.0 . 7.2 .

4.4 2.7 7.7 31.5 52.3 38.4 35. 43. 4. 2.

1.3 . 40.1 38. 49.1 0. 3.5 42. 2. 9.

• Construye una tabla de recuencias con tres intervalos, el histograma correspondiente y el polígo-

no de recuencias. Determina la longitud del intervalo.

• Construye una tabla de recuencias con cinco intervalos, el histograma correspondiente y el polí-

gono de recuencias. Determina la longitud del intervalo.

Para cada uno de los siguientes polígonos de frecuencias reconstruye el histograma

correspondiente y la tabla de frecuencias relativas.

2

E N

E L AT E N E O

1

3

11

BLOQUE 1

Solamente analizando

diversas situaciones será

posible conocer elaprovechamiento de las

gráficas que se pueden

construir como

histogramas o polígonos

de frecuencia, pues cada

tipo de gráficas tienen

ventajas y limitaciones.

Esta actividad presenta

una situación en la cual

será necesario reconstruir

una tabla de la cual se

extrajo la gráfica original y

con esa información

poder construir otra

representación gráfica

como el histograma. En

general se construye elhistograma y luego el

polígono de frecuencias,

pero si se conocen las

relaciones entre estos dos

tipos de representaciones

gráficas se podrá pasar de

una a otra sin problemas.PROHIBIDA

SU VENTA

34

600

P o r c e n t a j e

5

10

15

120 240 300180

20

30

0

P o r c e n t a j e

5

10

15

25

34 4238 46 50

SOLUCIONARIO



Demuestro lo que sé y hago1 Para l siguint polígono d frunias rlativas

nuntra la tabla d frunias absolutas y rlati-

vas y l histograa orrspondint.

Utiliza l punto dio d ada intrvalo oo r-

prsntant d toda la las o intrvalo.

2 Elabora un polígono d frunias on los siguin-

ts datos:

33.9 41.7 31.9 33.9 46.7 55.4

45.6 43.4 36.2 50.7 43.0 41.2

45.3 53.5 40.3 44.9 35.5 34.8

52.5 34.3 47.3 41.7 51.5 53.9

33.2 32.8 41.3 40.4 45.0 44.1

3 S obtuviron los siguints datos sobr l tipo

(n inutos) para opltar un xan:

35.1 38.0 45.6 43.4 36.238.6 41.7 45.3 53.5 40.3

41.0 47.8 52.5 34.3 47.3

38.2 43.5 33.2 32.8 41.3

34.4 42.7 37.7 31.5 52.3

31.3 41.4 40.1 38.8 49.1

30.3 37.8 46.6 36.4 46.5

• Construy una tabla d frunias on trs in-

trvalos, l histograa orrspondint y l po-

lígono d frunias. Dtrina la longitud d

los intrvalos.

• Construy una tabla d frunias on ino in-trvalos, l histograa orrspondint y l po-

lígono d frunias. Dtrina la longitud d

los intrvalos.

4 La siguint grá a orrspond a dos grupos

valuados d aurdo on di rnts d taras.

• ¿Qué grupo tuvo jor dspño?

• ¿Qué grupo obtuvo las puntuaions ás altas?

• ¿Hubo algún onto n qu los grupos s

parjaron

30

25

20

15

10

5

0

30 34 38 42 46 50

Porcentaje

Puds onsultar algunas páginas d Intrnt para pro-

fundizar n lo qu hos studiado n sta lión.

• http://www.mty.itesm.mx/dia/profs/anavarro/

Cap6NAV.htm

• http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/

guia_estadistica/modulo_2.htm

Tabién puds onsultar los siguints libros.

• Carn Azárat y Jordi Dulofu

Funciones y gráficas

Síntsis, Madrid, 1990.

• Shll Cntr for Maths (d.)

El lenguaje de las funciones y gráficas

Univrsidad dl País Vaso y mec, Madrid, 1990.

Conéctate

100

80

60

40

20

0

1 2 4 6 8 103 5 7 9

Calificaciones

Grupo A

Grupo B

Trabajos manuales



aprovechadas de diversas formas, como

evaluación parcial o de la lección, como

temas de discusión en clase o como

actividades para resolver en casa o como

base para que los estudiantes planteen

actividades similares.

En Internet hay diversos sitios en los cuales se pueden encontrar

datos para usar en clase, también será posible localizar software

gratuito para construir graficas y tabulaciones, lo cual ayuda a los

estudiantes a experimentar y hacer cambios libremente en losdatos originales.

PROHIBIDA

SU VENTA

Grupo A.

Grup

Sí, en 3 de calificación.

Histograma

SOLUCIONARIO



Matemáticas 2

matemáticas 2 recursos didacticos.pdf

Documents