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RECURSOS
ACOMPAÑAMIENTO PARA REFORZAR
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS
Etapa 2. Competencias matemáticas
Proceso de admisión 2016-2
Universidad abierta y a distancia de México.
2
Guía de acompañamiento
Imagen 1: El pensamiento matemático, 2015.
3
ÍNDICE
ÍNDICE 3
INTRODUCCIÓN 5
I. SENTIDO NUMÉRICO 8
1. SIGNIFICADO DEL NÚMERO 9
2. RELACIONES NUMÉRICAS 10
3. TAMAÑO DE LOS NÚMEROS 10
4. OPERACIONES CON LOS NÚMEROS 11
5. REFERENTES PARA LOS NÚMEROS Y CANTIDADES 12
Significado y uso de los números 13
Los Números Reales 14
Los Números naturales 16
Números fraccionarios y decimales 17
Leyes de los signos 18
Operaciones con Fracciones 19
Valor Absoluto de un Número Real 21
Exponentes y Radicales 21
Leyes de los Exponentes 22
Raíz enésima de un número real 23
Propiedades de las raíces enésimas 23
Definición de exponentes racionales 24
Factorización y Productos Notables 26
II. PENSAMIENTO ALGEBRAICO 28
PENSAMIENTO ALGEBRAICO 29
Algebra 31
Fórmulas de factorización 33
Ecuaciones de Primer Grado con una Variable 35
Guías para resolver problemas 36
La Ecuación Cuadrática 38
III. FORMA ESPACIO Y MEDIDA 39
FORMA ESPACIO Y MEDIDA 40
El razonamiento deductivo 42
4
Definición y clasificación de ángulos 44
Clasificación de los ángulos 44
Clases de pares de ángulos 47
Ángulos que se forman cuando dos paralelas son cortadas por una secante 49
Medida de ángulos 49
Sistema sexagesimal 50
Propiedades de los triángulos (Teoremas) 50
Polígonos 52
La suma de los ángulos internos y externos 54
Perímetros y áreas 56
Rectas tangentes a un círculo 57
Posiciones relativas de un ángulo y una circunferencia 60
Perímetros y áreas sobre la longitud de la circunferencia y el área del círculo 60
Trigonometría 61
Razones trigonométricas 61
RECURSOS DE ACOMPAÑAMIENTO 62
Estrategias de aprendizaje 62
Cuaderno de trabajo 64
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 64
FUENTES BIBLIOGRÁFICAS 64
FUENTES DE IMÁGENES 65
5
INTRODUCCIÓN
Imagen 2. Estrategias, 2014.
6
El presente recurso es una guía de acompañamiento, contiene los temas relacionados a
procesos lógico matemáticos, considerados en las secciones y reactivos del cuestionario.
Se dividen en tres grandes bloques, los cuales son:
SENTIDO NUMÉRICO
PENSAMIENTO ALGEBRAICO
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Este documento será útil para analizar los temas que pudieron ser considerados en el
bachillerato y que ahora se percató que es momento de repasar. Se le recomienda adoptar
una actitud de reconocimiento en la parte teórica y enfatizar lo relativo a la solución de
problemas.
Para los temas que presenten mayor dificultad se le invita a trazar una ruta de estudio, y
centrarse en el procedimiento del tema o su utilidad. Considerando el análisis de
información, reflexionar sobre el proceso y finalidad.
Los recursos compilados consideran los elementos básicos de las competencias de egreso
para el pensamiento reflexivo que la Dirección General de Bachillerato (DGB) plantea. Esta
información procede de diversas guías y recomendaciones de Institutos,
Universidades, expertos en el tema, y distintos recursos de la web (videos, blogs,
portales). La información aquí presentada está referenciada al final de documento.
Antes de dar inicio a cada sección, le invitamos a recordar el origen y sentido de las
matemáticas en la vida cotidiana; para ello recomendamos ampliamente que visualice la
entrevista que realiza Eduard Punset, en el programa REDES, al historiador en
ciencias. De las matemáticas: Dr. Joseph Dauben.
Así empezamos a contar
Documental Redes. N° 11.
Punset, E. (Actualizado, 2011) Así empezamos a contar. Programa
N° 11. Entrevista a Dr. Joseph Dauben. Recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=tzYNV-mUl44
7
Dr. Joseph Dauben. Punset, E. 2011)
Esperamos que esta sea una herramienta útil para su aprendizaje.
8
I. SENTIDO NUMÉRICO
Imagen 3. Pensamiento creativo, 2014.
9
El sentido numérico “en términos generales se refiere a varias capacidades importantes
de los sujetos, incluyendo cálculo mental flexible, estimación numérica y razonamiento
cuantitativo” (Godino, J., Font, V., Conic, P. ,2009).
En 1989, El National Council of Teachers of Mathematics identifica 5 componentes que
caracterizan el sentido numérico:
1. SIGNIFICADO DEL NÚMERO
I. Signo con que se representa una cantidad o un valor. Cifra
Arábigo: Signo que se usa de manera universal para representar una
cantidad: los números arábigos son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Romano: Letra del alfabeto latino que se usa para representar una
cantidad: los siglos se expresan en números romanos: s. xxi.
II. Valor o expresión de la cantidad, con relación a la unidad
Atómico: Número que indica la cantidad de protones que hay en el
núcleo del átomo de un elemento.
Decimal: Número racional que se expresa mediante fracciones de
denominador un múltiplo de diez.
Entero: Número positivo o negativo no fraccionario: 2 y -5 son números
enteros.
Imaginario: Número que es el resultado de la raíz cuadrada de un
número negativo.
Impar o non: Número que no se puede dividir por dos una cantidad
exacta de veces.
Irracional: Número que no puede expresarse como el cociente de dos
enteros.
Natural: Número entero positivo.
Ordinal: Número que expresa idea de orden: ''primero´´ y ''segundo´´
son números ordinales.
Par: Número que se puede dividir por dos una cantidad exacta de
veces.
Periódico: Número decimal cuyas cifras decimales se repiten
periódicamente: 4,333... y 2,9686868... son números periódicos.
10
Primo: Número que solamente se puede dividir por él mismo y por la
unidad: los números que no tienen ningún factor común, es decir, cuyo
máximo común divisor es 1, son primos entre sí.
Racional: Número que puede expresarse como el cociente de dos
enteros.
Real: Número racional o irracional (es.thefreedictionary, 2007)
2. RELACIONES NUMÉRICAS
Es el desarrollo del sentido numérico, es decir la forma de expresar la habilidad de
comprender y utilizar la estructura del número. Su utilización en las estadísticas, cálculo, y
sistemas que solucionan necesidades se presentan a continuación:
Las primeras relaciones son las
numéricas, relaciones indeterminadas, o
relaciones de números determinados
entre sí, o relaciones de un número con la
unidad.
Así la relación numérica de la pluralidad a
la unidad no es determinada: puede ser
tal o cual número.
La relación del número fraccionario en
general a la fracción, no es una relación
de números determinados: sucede con
ella lo que con la pluralidad de la unidad
(Aristóteles; 1013 b-1025 a)
El concepto de la relación implica la idea
de correspondencia entre los elementos
de dos conjuntos que forman parejas
ordenadas. Cuando se formula una
expresión que liga dos o más objetos
entre sí, postulamos una relación, no
necesariamente matemática
(funciónnumérica.blogspot, 2008).
3. TAMAÑO DE LOS NÚMEROS
Para comenzar a comprender el mundo de los números es necesario comenzar por ubicar
sus dimensiones y sus propiedades, así como su tamaño, “los números cuánticos son unos
números asociados a magnitudes físicas conservadas en ciertos sistemas cuánticos. En
muchos sistemas, el estado del sistema puede ser representado por un conjunto de
números, los números cuánticos, que se corresponden con valores posibles
de observables que conmutan con el Hamiltoniano del sistema” (Wikipedia, 2016).
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Imagen 4. Tabla ley de los signos
4. OPERACIONES CON LOS NÚMEROS
A continuación se describen algunas de las operaciones que pueden realizarse con
números enteros, es decir, la suma, resta, multiplicación y división de números enteros.
Ahora se expondrá la aplicación de la regla de los signos (Vadenumeros.es, 2016)
El conjunto de los números enteros lo forman los enteros positivos, enteros
negativos y el cero. Los signos + y - que llevan los números enteros no son
signos de operaciones (suma, resta), sino que indican simplemente la cualidad
de ser positivos o negativos (Vadenumeros.es, 2016).
Se llama valor absoluto un número entero al número natural que resulta de
prescindir del signo. Se expresa encerrando este número entre dos barras
(Vadenumeros.es, 2016).
Operación con número entero: se suman los valores y se deja el signo que
tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se
pone nada delante del número se entiende que es + (Vadenumeros.es, 2016).
Regla de signos: La regla de signos resume el comportamiento del producto de
números positivos y negativos. El producto de dos números positivos es
evidentemente un número positivo, igualmente puede argumentarse
intutivamente que el producto de un número negativo por un positivo es negativo.
Menos intuitivo es el hecho de que el producto de dos números negativos es un
número positivo. (Wikipedia.org, 2016).
Producto Cociente
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5. REFERENTES PARA LOS NÚMEROS Y CANTIDADES
El sentido numérico es aquella significación que se le da a los procesos para las
habilidades de descomponer números, comprender y utilizar la estructura del sistema de
numeración decimal, asimismo para conocer cómo y cuándo utilizar las propiedades de las
operaciones y las relaciones entre ellas para realizar mentalmente cálculos (Godino, J.,
Font, V., Conic, P. X; 2009), y desde luego para encontrar el sentido a lo que estas
operaciones representan.
Imagen 5. Desarrollo de habilidades analíticas, 2015
Retomando la connotación de sentido numérico, basta con mirar alrededor de cada
acción que se realice en la vida cotidiana, de esta manera se podrá expresar a partir de la
relación numérica diversas formas de articulación como son: fracciones, razones,
decimales y porcentajes, estando ligadas usualmente a cantidades de magnitudes y a
prácticas específicas según los tipos de situaciones en que participen (Godino, J., Font, V.,
Conic, P., 2009).
El sentido numérico se refiere, por tanto, a la comprensión general que tiene una persona sobre los números y operaciones junto con la capacidad para usar esta comprensión de manera flexible para emitir juicios matemáticos y desarrollar estrategias útiles para resolver problemas complejos. Implica, por tanto, la posesión de una competencia que se desarrolla gradualmente.
Imagen 5. Desarrollo de habilidades analíticas, 2015.
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SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS
Ahora comprenderemos el significado y uso de los signos, así como algunas formas de
utilizarlos.
Los números representan mediante símbolos valores reales, las connotaciones que se le
dan a un número son de carga positiva o negativa.
Representándose con signo de + o de –
Los números con signo nos proporcionan un medio conveniente para indicar direcciones
opuestas con un mínimo de palabras (matematicasconalepvallarta, 2011). Usos positivos o
negativos, por ejemplo, a continuación se representan escenarios de este tipo de medidas:
CENTÍGRADOS:
Ilustra el uso de los números positivos y
negativos para indicar la dirección de
desplazamiento por encima y por debajo
de 0. La marca 0 es el punto de
transición en el cual los signos de la
escala numérica cambian de – a +.
Fuente: Vásquez, M. (2011).
SISTEMA DE COORDENADAS:
En el campo de las matemáticas se
siguen ciertas normas para el uso de los
números con signo en las mediciones
que tienen dirección. Sobre la línea
vertical la dirección hacia arriba es
positiva, mientas que la dirección hacia
abajo es negativa
Fuente: Vásquez, M. (2011).
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RECTA NUMÉRICA:
Conocer la dimensión relativa
(magnitud) de números positivos y
negativos.
Para determinar cuándo un número
particular es mayor o menor que otro
se piensa en todos los números, tanto
positivos como negativos, ordenados a
lo largo de una línea horizontal.
Fuente: Vásquez, M. (2011).
Los Números Reales
El conjunto de los números naturales junto con el cero forman el conjunto de los números
enteros no negativos. Si a este último conjunto le agregamos los enteros negativos
obtenemos el conjunto de los números enteros Z = {. . ., −2, −1, 0, 1, 2,...}. Más tarde se
observó el problema de poder expresar fracciones de una unidad. La solución para este
problema fue la aparición de los números racionales Q = {: a y b son enteros y b es distinto
El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que
comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir
que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los
números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que
tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).
Los números reales se representa con la letra RR, y aparecen por la necesidad de
realizar cálculos más complejos ya que en épocas como entre el siglo XVI y el XVII,
se hacían necesarias nuevas cifras para los avances tecnológicos que ya no podían
ser representados por cifras aproximadas ni por expresiones coloquiales por su
inexactitud. El rigor del avance de la humanidad a partir de sus herramientas, hizo
necesaria la creación de nuevas expresiones matemáticas que den mayor exactitud a
los cálculos.
Por lo tanto, el conjunto de los números reales se conformó a partir de otros
subconjuntos de números que surgían de necesidades en las matemáticas, como los
números negativos y los números fraccionarios y decimales. En Europa, cuna de la
ciencia en la modernidad, los números negativos no fueron utilizados hasta ya
avanzado el siglo XVII, sin embargo, ya habían sido pensados muchos siglos atrás
por culturas como la china y la hindú. Incluso se llegaba a descartar las soluciones de
cálculos que tenían resultado negativo, por ser considerados números irreales
(Números reales, 2016).
15
de cero}. Con la aparición de los racionales se creía que cualquier operación propuesta se
podía resolver. Sin embargo, el problema de encontrar un número tal que elevado al
cuadrado de como resultado dos no tenía solución en los racionales, es decir, la solución
de x2= 2, es un número irracional. La aparición de estos números vino a completar un
conjunto de números más extenso que es conocido como el conjunto de los números reales
el cual es denotado por R (Yam et al., Palacios; 2008; pág3).
Propiedades de los Números reales. Si a y b son números reales, tenemos:
Propiedad de cerradura para la suma: a + b ∈ R
Para cada par de números reales a, b existe un número real único a + b, llamado
la suma de a y b
Propiedad de cerradura para la multiplicación: ab ∈ R
Para cada par de números reales a, b existe un número real único ab, llamado el
producto de a y b Ejemplo: 4 · 7 es un número real
Propiedad conmutativa de la adición: a + b = b + a
Cuando dos números son sumados, el orden no importa. Ejemplo: 7 + 3 = 3 + 7
Propiedad conmutativa de la multiplicación: ab = ba
Cuando dos números son multiplicados el orden no importa. Ejemplo: 3 · 5 = 5 · 3
Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c)
Cuando tres números son sumados, no importa cuales dos son sumados primero.
Ejemplo: (2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7)
Propiedad del elemento identidad para la suma: a + 0 = a
El cero es el elemento identidad para la suma. Ejemplo: 3 + 0 = 3
Propiedad del elemento identidad para la multiplicación: a · 1 = a
El uno es el elemento identidad para la multiplicación. Ejemplo: 9 · 1 = 9
Propiedad del inverso aditivo: a + (−a) = 0
Para cada número real a, existe un número real (−a) llamado el inverso aditivo de
a Ejemplo: 3 + (−3) = 0
Propiedad del inverso multiplicativo: a ·()= 1
Para cada número real a, distinto de cero, existe un número real () llamado el
inverso multiplicativo de a. Ejemplo: 5 · (1) = 1
Propiedad asociativa de la multiplicación: (ab) c = a(bc)
Cuando tres números son multiplicados, no importa cuales dos son multiplicados
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primero. Ejemplo: (3 · 7) · 5 = 3 · (7 · 5)
Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac
Cuando se multiplica un número con la suma de otros dos números, se tiene el
mismo resultado que al multiplicar el número con cada uno de los términos y
después sumar los resultados. Ejemplo: 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
Fuente: Yam, et al, Palacios; 2008: 3
Los Números naturales
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de
un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano
para contar objetos o representar la cantidad de los conjuntos (SEP, s/f).
Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: se representan con
N = [{0, 1, 2, 3, 4,5,…}].
Las características del conjunto N son:
N Es un conjunto infinito.
N Es un conjunto perfectamente ordenado.
En un banco se entregaron fichas para recibir atención personalizada. Los clientes se
sentaron en una fila de sillas, en la posición uno se sentó Francisco, después Ángel, Mario,
Javier, Gil, Gustavo, Sebastián y Mariano en la última posición. Las fichas estaban
numeradas del 1 a la posición 8. ¿Qué número le tocó a Gil?
1 8
Gil
Solución: En este caso particular a Gil está en la posición 5, por lo tanto le corresponde el
número 5, como puedes observar en el dibujo anterior.
En este problema se muestra claramente el uso que se le da a los números naturales, que
es contar y enumerar, entre otros.
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Números fraccionarios y decimales
Se representan como el cociente de dos enteros por lo tanto se pueden representar de
igual forma como un número decimal.
Su notación es:
Periodicidad. Una fracción es un cociente entre dos números enteros. La división de esos
dos números da lugar a una expresión decimal con un grupo de cifras que se repiten
periódicamente.
Estos fueron utilizados por los egipcios para la resolución de diferentes problemas.
Pero es en la cultura griega de donde se extrae el actual uso de los racionales, de
raciones de números, ya que los utilizaban para definir el espacio entre las notas
musicales con relaciones de armonía que correspondían a divisiones en las
melodías del sonido. Así se empezó a ver fracciones en otras cosas y sustancias.
A partir de allí, la complejidad de los cálculos empieza a profundizarse y es hasta el
teorema de Pitágoras que surgen los números irracionales de los que se hablaba,
donde los decimales de la fracción son infinitos y por lo tanto no son expresables en
números únicos. De aquí nace el, quizás, primer número irracional que se conoce. A
partir del teorema planteado como la constante pitagórica, cuya cifra surge de la
longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuya longitud de cada uno de
sus catetos es 11, la cifra obtenida es 2√2. (Número reales, 2016)
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Leyes de los signos
“Para poder realizar cualquier operación de números con signos, es necesario conocer las leyes de los signos, que se presentan a continuación. Al multiplicar un número por 1 (la unidad), se obtiene el mismo número; por lo que se
puede escribir lo siguiente: (-2) (1) = - 2
Observe que para multiplicar no se usa el signo "x", con ello se evita confundirse con una "equis". Así, para indicar un producto, se usará un punto o un paréntesis entre las cantidades. Observe que un número con signo negativo multiplicado por un número con signo
positivo da como resultado un número con signo negativo (-). (-)(+) = (-)
En la recta numérica, se observa que multiplicar a -2 por1 se obtiene -2.
Al multiplicar números con signo diferente se obtienen números con signo negativo.
(-) (+) = (-)
(+) (-) = (-)
Así, (2) (-4) = -8, porque se está multiplicando dos veces al -4.
Lo mismo sucederá si se pone primero el negativo y luego el positivo. (-4) (+2) = (-8)
Al multiplicar un número negativo por otro número negativo, se tendrá como resultado un número positivo:(-) (-) = (+).
(-1) (-2) = 2 Esto se explica al recordar que todo número multiplicado por la unidad da el mismo número. Si la unidad fuera negativa, habría que cambiar el signo del número que se multiplica. (-1) (-2) = 2
También, si se multiplica a un número positivo por otro positivo, se tendrá otro positivo. (+1) (+2) = (+2) Al multiplicar números con el mismo signo se obtendrán productos con
signo positivo” (conevyt.org.mx, s/f)
(-) (-) = (+)
(+) (+) = (+)
19
Si a y b son dos números reales cualesquiera, se tienen las siguientes leyes de los signos:
(−1) a = −a Ejemplo: (−1)5 = −5
− (−a) = a Ejemplo: − (−5) = 5
(−a) b = a (−b) = − (ab) Ejemplo: (−5)7 = 5(−7) = − (5 · 7)
(−a) (−b) = ab Ejemplo: (−4) (−3) = 4 · 3
−(a + b) = −a − b Ejemplo: − (3 + 5) = −3 − 5
−(a − b) = b − a Ejemplo: − (5 − 8) = 8 − 5
Operaciones con Fracciones
Dados a, b, c y d, números reales con b y d diferentes de cero se cumplen las siguientes
propiedades:
• Igualdad de fracciones:
𝑎
𝑏 =
𝑪
𝑪, si y sólo si, ad = bc
Dos fracciones son iguales si y solamente si son iguales sus productos cruzados.
Ejemplo: 2
3=
6
9, entonces 2 · 9 = 3 · 6
• Multiplicación de fracciones: 𝑎
𝑏 ·
𝑐
𝑑 =
𝑎𝑐
𝑏𝑑
Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y denominadores.
Ejemplo: 2
3 ·
5
7=
2 [?][?]5
3 [?][?]7 =
10
21
• División de fracciones: 𝑎
𝑏 ÷
𝑐
𝑑 =
𝑎
𝑏 ·
𝑑
𝑐
20
Para dividir fracciones, se invierte el divisor y se procede como en la multiplicación. Nota:
En este caso, puesto que el divisor debe ser distinto de cero, se requiere que tanto c como
d sean distintos de cero.
Ejemplo: 2
3 ÷
5
7 =
2
3 ·
7
5 =
14
15
• Suma de fracciones con el mismo denominador: 𝑎
𝑐 +
𝑏
𝑐 =
𝑎+𝑏
𝑐
Para sumar fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores y se
mantiene el mismo denominador.
Ejemplo: 2
5 +
7
5 =
2+7
5 =
9
5
• Suma de fracciones con diferentes denominadores: 𝑎
𝑏+
𝑐
𝑑 =
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑏𝑑
Para sumar fracciones con diferentes denominadores, el numerador es la suma de los
productos cruzados y el denominador es la multiplicación de los denominadores.
Ejemplo: 5
2 +
37
= 2 [?][?]7+3 [?][?]5
3 5 =
29
35
• Cancelación de números con factores comunes en el numerador y el denominador:
𝑎𝑏
𝑐𝑑 =
𝑎
𝑏
Es posible cancelar factores comunes en el numerador y el denominador y el resultado no
se altera.
Ejemplo: 2 [?][?]5
3 [?][?]5 =
2
3
Esta información de recuperó de: Yam, et al., Palacios: 2008: 6
21
Valor Absoluto de un Número Real
Si 𝑎 es un número real entonces el valor absoluto de 𝑎 es:
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
|𝒂|= −𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0 Ejemplos:
1) |3|= 3
2) |− 11|= 11
Fuente: Yam, et al., Palacios: 2008: 6
Exponentes y Radicales
Si 𝑎 es cualquier número real y 𝑛 es un entero positivo, entonces la enésima potencia de
𝑎 es:
𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙∙∙∙∙ 𝑎
n factores
En las operaciones algebráicas, algunas ocasiones utilizamos exponentes, a continuación
se presentan algunos de estos usos:
El número 𝑎 es llamado la base y 𝑛 es llamado el exponente.
Si a 0 es cualquier número real y 𝑛 es un entero positivo, entonces
Fuente: Yam et al., Palacios; 2008: 8
El valor absoluto, como puede observar es
siempre es positivo
22
Leyes de los Exponentes
Multiplicación de potencias con la misma base: 𝑎𝑚𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
Para multiplicar dos potencias con la misma base, se conserva la base y se suman los
exponentes.
Ejemplo: 𝑎2 𝑎𝑚5= 𝑎𝑚2+5= 𝑎7
División de potencias con la misma base:
Para dividir dos potencias con la misma base, se conserva la base y se restan los
exponentes.
Ejemplo:
Potencia de una potencia: (𝑎𝑚)𝑛= 𝑎𝑚𝑛
Para elevar una potencia a una nueva potencia, se conserva la base y se multiplican los
exponentes.
Ejemplo: (𝑎7)2=𝑎7.2= 𝑎14
Potencia de un producto: (𝑎𝑏)𝑛= 𝑎𝑛𝑏𝑛
Para elevar un producto a una potencia, cada factor debe ser elevado a la potencia.
Ejemplo: (𝑎𝑏)8= 𝑎8 ∙ 𝑏8
Potencia de una fracción: (𝑎
𝑏)
𝑛=
𝑎
𝑏𝑛
𝑛
Para elevar una fracción a potencia se elevan ambos, el numerador y el denominador, a la
potencia.
Ejemplo: (𝑎
𝑏)
7=
𝑎
𝑏7
7
Fuente: Yam et al., Palacios; 2008: 9
23
Raíz enésima de un número real
Si 𝑛 es cualquier entero positivo, entonces cualquier número real tal que cuando se eleva a
la enésima potencia, da el número real 𝑎, es una raíz enésima de 𝑎. Si 𝑛 es cualquier
entero positivo entonces la 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 raíz principal de 𝑎 es definida como:
√𝑎𝑛
= b significa 𝑏𝑛= 𝑎
Si 𝑛 es par se debe tener 𝑎 ≥ 0 𝑦 𝑏 ≥ 0.
Fuente: Yam et al., Palacios; 2008: 9
Propiedades de las raíces enésimas
Sean 𝑎 número real, 𝑛 número natural mayor que 1 y 𝑏 un número no necesariamente
real, entonces:
𝑏𝑛= 𝑎 𝑏 es raíz enésima de 𝑎.
√ab n
= √a n
√b n
Ejemplo: √−8 ∙ 27 3
= √−8 3
√27 3
= (-2) (3)= -6.
√𝒂
𝒃
𝒏 =
√𝒂𝒏
√𝒃𝒏
Ejemplo: √𝟏𝟔
81
4 =
√𝟏𝟔𝟒
√𝟖𝟏𝟒 =
2
3
√ √𝑎𝑛𝑚
= √𝑎𝑚𝑛
Ejemplo: √ √7293
=√7296
= 3
24
√𝑎𝑛𝑚= a si n es impar
Ejemplo: √(−5)33= -5
√an n
= |𝑎| si n es par
Ejemplo: √(−3)44= |−3|= 3
Fuente: ENEAYUDAS, 2014
Definición de exponentes racionales
Los radicales y los exponentes fraccionales son maneras alternativas de expresar lo
mismo. Así como las raíces cuadradas pueden expresarse como un exponente a la
potencia de un medio. Esta información como las gráficas que se presentan en este
apartado se tomaron de: montereyinstitute.org
Fuente: Montereyinstitute.org
Otro ejemplo: con raíces cúbicas. Elevar un cubo a un número es tener una potencia de
tres. Observa que en estos ejemplos el denominador del exponente racional es el número
3.
Fuente: Montereyinstitute.org
25
26
Factorización y Productos Notables
Un factor es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto.
Ejemplo.
Sean los siguientes productos:
(3)(2) = 6 , por lo que factores de son 3 y .
(5)(2) =10 , por lo que factores de son 5 y 2 .
(5)(3)(2) = 30, por lo que factores de 30 son 5, 3 y 2.
Como puede ver el número 2 aparece como factor común de 6, 10 y 30 porque cada uno
de estos números se divide exactamente entre dicho factor común.
Cuando una expresión algebraica está contenida exactamente en todos y cada uno de los
términos de un polinomio, se dice que es factor común de ellos.
Recuerde que factorizar es el proceso que permite descomponer en factores una
expresión matemática. Esto significa que factorización es convertir una expresión en el
producto indicado de sus factores (DGENP.UNAM, s/f).
Para profundizar en los tipos de factorización, su uso y aplicación podrá consultar el
siguiente recurso.
Dirección General de la Escuela Nacional Preparatoria
DGENP. Universidad Nacional Autónoma Metropolitana,
UNAM, (s/f). Productos notables y factorización
Unidad V. Recuperado de:
http://dgenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/p
df/m4unidad05.pdf
Una variable es una letra que puede representar cualquier número de un conjunto de
números dado. Una constante representa un número fijo. El dominio de una variable es el
conjunto de valores que la variable puede tomar. Por ejemplo en la expresión el
dominio de x es el conjunto de todos los números reales mayores o igual a cero, en
símbolos {x | x ≥ 0}.
Las expresiones algebraicas se obtienen de variables y constantes relacionadas usando
sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, exponenciación y radicación. Las expresiones
algebraicas, más simples, obtenidas usando sólo sumas, restas y multiplicaciones son
llamadas polinomios.
27
La forma general de un polinomio de grado n en la variable x es
Fuente: ENEAYUDAS, 2014
28
II. PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Imagen 6. Lenguaje algebraico, 2012.
29
PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Enseguida, le daremos a conocer los principales conceptos y características que conforman
el pensamiento algebraico, a fin de que usted cuente con algunos elementos generales, sin
embargo, le sugerimos consultar las fuentes que le presentamos o bien realizar una
búsqueda que le permita profundizar los temas que brevemente se encuentran descritos a
lo largo de este apartado.
El pensamiento algebraico permite la interpretación, aplicación y generación de datos a
partir de sistemas e representación que sirven para tomar decisiones, y son exponenciales
como: como gráficas, tablas, notación y exploración de estructuras a través de procesos de
medición, relación, entre otras características (Ake, 2015).
La forma en que se relacionan los objetos, propiedades y funciones requieren un uso
adecuado para ser abordador y analizados en este caso, el Álgebra es útil para analizar los
problemas de acuerdo a patrones numéricos, geométricos.
Algunas de las definiciones de algebra se consideraron del texto de Lilia Ake (2015),
mismas que se sistematizan a continuación:
Expresión de la generalización de patrones numéricos y geométricos y de las leyes
que gobiernan las relaciones numéricas.
Herramienta para la resolución de problemas.
Modelización de fenómenos físicos, usando variedad de representaciones.
Estudio de las funciones, más tarde se le adjudica el estudio de las relaciones.
Involucra actos de generalización deliberada y expresiones de generalidad, e
involucra un razonamiento basado en las formas de generalizaciones sintácticamente-
estructuradas.
Generalización de patrones y relaciones (particularmente la generalización de la
aritmética y del razonamiento cualitativo).
Desarrollar un pensamiento relacional, es decir, apreciar relaciones numéricas entre
los términos de una expresión y entre distintas expresiones o ecuaciones, transformar
expresiones matemáticas, sin restringirse al cálculo de una respuesta concreta.
Desarrollar un conocimiento sobre conjuntos de objetos matemáticos (números o
variables), de operaciones entre ellos, de propiedades de estos objetos y sus
operaciones (asociativa, conmutativa, distributiva), y de las propiedades de relaciones
cuantitativas. (transitividad e igualdad).
30
Recuerde, que el pensamiento algébrico permite a partir de un lenguaje de operación,
función, relación, considerar las características generales del sistema numérico:
La conmutativa, asociativa para la suma y producto, y la distributiva
a + b = b + a
(a + b) + c = a+ (b + c)
a*b = b*a
(a* b)*c = a* (b*c)
a* (b + c) = a* b + a*c
Fuente: Albornoz, J., s/f
Las "leyes conmutativas" se refiere al intercambio de números para acciones de suma, o
de multiplicación, dando como resultados los mismos número. Por ejemplo:
Intercambio en suma: a + b = b + a / ejemplo; 6 + 9 = 9 + 6
Intercambio en multiplicación: a × b = b × a / ejemplo: 4 × 6 = 6 × 4 (Albornoz, J., s/f)
Para las "Leyes asociativas" los números pueden agruparse de distinta manera. Y el
resultado no cambia. El proceso da por resultado el mismo número, aunque la distribución
de la misma tenga en distinto orden los factores. A continuación el ejemplo:
Agrupación en suma: (a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo la siguiente distribución tiene
como resultado 11:(2 + 4) + 5 = 6 + 5 = 11, de la misma forma que si se agrupa: 2 + (4 +
5) = 2 + 9 = 11(Albornoz, J., s/f)
En cuanto a la distributiva, permite hacer distribución de la suma de varios números y el
resultado al multiplicarse por algo por separado es el mismo. (a + b) × c = a × c + b × c
Por lo que ejemplificando esta secuencia: (6 - 4) × 3 = 2 × 3 = 6. Si se coloca de la
siguiente manera el resultado es el mismo: 6×3 - 4×3 = 18 - 12 = 6 (Albornoz, J., s/f)
31
ALGEBRA
Algunas conceptualizaciones son:
“Álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea números,
letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El término
tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo árabe que se
traduce al español como “reducción” o “cotejo” (DEFINICION.DE, 2008).
Álgebra al área matemática que se centra en las relaciones, estructuras y cantidades. La
disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo
operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la
aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto permite formular
leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el
desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su resolución. (DEFINICION.DE,
2008).
El álgebra elemental postula leyes que permiten conocer las propiedades de
operaciones aritméticas: multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa
(DEFINICION.DE, 2008).
Se conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, a un postulado según el cual, en
una variable no constante donde hay coeficientes complejos, un polinomio posee tantas
raíces como marca su grado, debido a que las raíces se tienen en cuenta con sus
Imagen 7. Algebra.
32
multiplicidades. Esto supone que el cuerpo de los números complejos es cerrado para las
operaciones del álgebra. Los sistemas de control desde la postulación de Boole, los
conectores utilizan muchos componentes que tienen dos estados muy bien diferenciados:
abierto (conduce) o cerrado (no conduce). Éstos se denominan componentes todo o nada,
o lógicos (DEFINICION.DE, 2008)
La palabra álgebra proviene del libro Árabe Hisˆab al-Jabr w’al-Muqabala escrito por al-
Khowarizmi. El título se refiere a la transposición y combinación de términos, dos procesos
usados en la resolución de ecuaciones. La traducción latina del título fue acortada a Aljabr
de donde se deriva la palabra álgebra (Yam et al., Palacios; 2008).
33
FÓRMULAS DE FACTORIZACIÓN
Fuente: Soto, E. 2010
La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables. Esto es, ambas cosas
se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba una operación
que debíamos realizar y encontrar el resultado. Ahora, en la factorización se nos entrega el
resultado y debemos encontrar cuál era la operación que se realizó, es decir, tenemos que
expresarlo como si apenas se fuera a desarrollar el producto notable. (Soto, E. 2010)
Factorizar por ejemplo:
2 x 2 + 5 x
En este caso debemos utilizar la ley distributiva.
• Para esto identificamos el factor que se repite en todos los términos y lo escribimos a la
izquierda.
• Luego escribimos dentro de un paréntesis todos los términos que no se repiten...
• Aquí se repite la x: 2 x 2 + 5 x = x (2 x + 5)
• De manea que si multiplicamos obtenemos de nuevo: 2 x 2 + 5 x. (Soto, E. 2010)
34
Fuente: Soto, E. 2010
Recordando:
Para que puedas identificar rápidamente qué caso de
factorización debes utilizar trata de ver qué estructura tiene el
polinomio que deseas factorizar.
Utiliza los procedimientos que se explican en los ejemplos,
dependiendo de la estructura de cada polinomio. No todos los
polinomios se pueden factorizar.
Por ejemplo, x 2 + 1 no se puede factorizar, a pesar de que
parece sencillo.
Cuando un polinomio no se pueda factorizar, es decir, no se
pueda expresar como el producto de otros polinomios lineales
(de grado 1) o cuadráticos (de grado 2), diremos que es un
polinomio primo.
En caso de que sí sea posible factorizarlo, diremos que ese
polinomio es compuesto. (Soto, E., 2010)
35
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE
Una ecuación de primer grado, de una variable es una ecuación en la cual cada término es
una constante o una constante distinta de cero multiplicando a la variable. Estas son
ecuaciones de primer grado con una variable:
Estas ecuaciones se resuelven utilizando las propiedades de las igualdades para
transformarlas en ecuaciones equivalentes de la forma: x =?
Es decir, se realizan pasos en los cuales se suma el mismo número en ambos lados o se
multiplica ambos lados con el mismo número hasta que la variable quede sola en un lado
de la ecuación.
Ejemplo 1 Resolver la ecuación:
x = 3
36
GUÍAS PARA RESOLVER PROBLEMAS
1. Identificar la variable. Identificar, en el problema, la cantidad que se está pidiendo
encontrar. Esta cantidad puede ser determinada leyendo cuidadosamente la pregunta, que
generalmente se hace al final del problema. Nombrar esta cantidad con una variable, x, por
ejemplo. Escribir con precisión lo que representa esta variable.
2. Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable. Lea cada
oración en el problema de nuevo y exprese todas las cantidades mencionadas en términos
de la variable definida en el paso 1. Algunas veces realizar un bosquejo del problema es de
ayuda en este paso.
3. Relacione las cantidades. Encuentre las palabras claves en el problema que relacionan
dos o más expresiones listadas en el paso dos. Estas palabras claves son usualmente:
“es”, “igual a”, “es lo mismo que”, “es el doble de”, entre otras.
Imagen 8. Formas de resolver problemas.
37
4. Escriba una ecuación. Escriba una ecuación que exprese los hechos cruciales
encontrados en el paso tres, en forma algebraica.
5. Resuelva el problema y verifique su respuesta. Resuelva la ecuación y verifique que su
respuesta satisface el problema original planteado.
Para acercarse a este proceso de confrontación de información y de maduración de un
proceso que permite observar causas, efectos, sucesos de situaciones se plantean otros
proceso favorables como por ejemplo:
Comprender el problema
Elaborar un plan de acción
Implementar el plan trazado
Analizar y reflexionar de los procesos directos e indirectos
Redactar el proceso de solución y variables
En este recurso también se encontrará estrategias para resolver problemas.
Pérez, J. (2008). Algunos consejos para resolver problemas. Apuntes y Ejercicios de Cálculo.
Prácticas con Mathematica. Universidad de Granda. Recuperado de:
http://www.ugr.es/~fjperez/resolver_problemas.html
38
LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Fuente: Pérez, 2008
Fuente: Pérez, 2008
39
III. FORMA ESPACIO Y MEDIDA
La siguiente sección pretende generar
en Usted articulaciones conceptuales
que faciliten realmente la promoción de
habilidades como observar, clasificar,
describir, relacionar, abstraer, calcular,
argumentar, justificar, intuir, conjeturar,
deducir y probar, entre otras, que
distinguimos como propias de ese
pensamiento geométrico a partir de la
descripción de elementos que
conforman la geometría y trigonometría.
Reiterándole que durante esta guía de
acompañamiento, sólo se presentan
nociones esenciales de algunos temas,
sin embargo, le invitamos a consultar
fuentes que le permitan profundizar en
ellos. Por ello, encontrará al término de
la presente guía un listado con las
referencias bibliográficas y sitios webs
que seguramente le serán de utilidad
para tales fines.
Imagen 9. París, 2015
40
FORMA ESPACIO Y MEDIDA
La conceptualización en las habilidades matemáticas respecto a la forma espacio y medida,
se centra en la articulación de conocimientos, habilidades y actitudes con el propósito de
desarrollar las competencias disciplinares identificadas para este nivel: el planteamiento y
la resolución de problemas, la argumentación, la comunicación y el manejo de técnicas (Del
Castillo, A., Villalba, M., Vargas, J. 2009)
La teoría de la medida es una rama del análisis real que investiga las σ-álgebras, las
medidas, funciones medibles e integrales. Es de importancia central en probabilidad
y en estadística.
En matemática, una medida es una función que asigna un número real positivo o
cero, interpretable como un "intervalo", un "área", un "volumen", o una
"probabilidad", a los subconjuntos de un conjunto dado. El concepto es importante
para el análisis matemático, la geometría y para la teoría de la probabilidad
(WIKIPEDIA.ORG, 2015)
A continuación se presentan los conceptos básicos utilizados en geometría:
CONCEPTO FIGURA DEFINICIÓN
GEOMETRÍA
EUCLIDIANA
Es la rama de las
matemáticas que estudia las
propiedades de las formas y
de los cuerpos geométricos.
CUERPO
GEOMÉTRICO
Son cuerpos físicos todas las
cosas que nos rodean:
lápices, libros, mesas, etc.
Tienen forma, color, están
hechos de una sustancia
determinada y ocupan un
lugar en el espacio.
PUNTO
Es un término indefinido.
Como el centro de reunión.
41
LÍNEA RECTA
Como la distancia más corta
entre dos puntos del plano,
como el borde de una
pizarra, etc.
PLANO
Son dibujos que representan
una ciudad o parte de ella,
como también puede
referirse a un edificio, una
urbanización, un conjunto
residencial
Le sugerimos revisar la siguiente tabla, pues le aportará algunas definiciones y ejemplos.
NOMBRE
DESCRIPCIÓN EJEMPLOS
RAZONAMIENTO
Es la capacidad que posee el ser
humano de asociar en forma debida,
diversas ideas, observaciones y
hechos para obtener conclusiones
correctas
Se usa en matemáticas para
establecer la verdad de una
proposición.
AXIOMA
Es una proposición tan evidente por
si misma que no requiere
demostración
El todo es igual a la suma de
sus partes.
El todo es mayor que
cualquiera de sus partes.
POSTULADO Es una proposición que también se
admite sin demostración.
La recta es la distancia más
corta entre dos puntos.
TEOREMA
Es una proposición que requiere
demostración y consta de un
conjunto de razonamientos: la
hipótesis y la tesis.
La suma de los ángulos
interiores de un triángulo son
dos ángulos rectos.
DEFINICIÓN
Es una proporción que implica una
convención o descripción.
Ángulos adyacentes son dos
ángulos que tienen el mismo
vértice y un lado común
entre ellos.
COROLARIO
Es una proposición que se deduce
de un teorema como consecuencia
del mismo y cuya demostración
requiere de un ligero razonamiento y
en ocasiones, ninguno.
La suma de los ángulos
interiores de un triángulo es
igual a dos rectos. Se
deduce el siguiente
corolario: “La suma de los
ángulos agudos de un
triángulo rectángulo es un
ángulo recto.
42
EL RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
El razonamiento deductivo es probablemente el proceso más usado en matemáticas.
Cualquiera que ha resuelto un rompecabezas como el Sudoku ha usado el razonamiento
deductivo. Cuando razonamos deductivamente, usamos hechos conocidos para llegar a
conclusiones lógicas que sabemos son verdaderas. (Deducimos un hecho al unir otros
factores.) Esto es distinto que el razonamiento inductivo, que generaliza y conjetura
basado en observaciones en lugar de lógica. Los matemáticos (y el resto de nosotros
también) a menudo usamos los razonamientos inductivo y deductivo juntos… El
razonamiento deductivo es el proceso de hacer conclusiones juntando hechos conocidos
para dar un argumento razonado para un nuevo hecho. El razonamiento deductivo puede
ser usado para justificar una conjetura a la que se llegó usando el razonamiento inductivo.
Es también útil cuando el razonamiento inductivo es inapropiado, como cuando no hay
suficientes ejemplo de dónde generalizar (MONTEREYINSTITUTE.ORG).
El pensamiento deductivo parte de categorías generales para hacer afirmaciones sobre
casos particulares. Va de lo general a lo particular. Es una forma de razonamiento donde se
infiere una conclusión a partir de una o varias premisas.
Teorema: “Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los dos
ángulos opuestos son congruentes”.
El proceso de razonamiento deductivo consta de tres pasos:
PASO 1. Empieza con las condiciones dadas (hipótesis)
PASO 2. Úsese la lógica, definiciones, postulados o teoremas previamente probados para
justificar una serie de proposiciones o pasos que den el resultado deseado.
PASO 3. Afírmese el resultado (la conclusión).
Ejemplo: Dado el triángulo ABC es un triángulo con el lado AB= AC
43
Las proposiciones que arroja esta conclusión es que por lo tanto, el triángulo B y el ángulo
C son congruentes.
[Capte la atención de los lectores mediante una cita importante extraída del documento o
utilice este espacio para resaltar un punto clave. Para colocar el cuadro de texto en
cualquier lugar de la página, solo tiene que arrastrarlo.]
Después de usar la lógica para obtener las proposiciones correctas del paso 2 del ejemplo
probado en las líneas anteriores, se habrá demostrado este teorema.
A
B C
44
DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS
Cuando se analizan figuras y cuerpos de formas geométricas se observan espacios en los
puntos de unión o de intersección de planos de rectas y trazos.
Estos espacios son de vital consideración en Geometría.
Se llama ángulo a la abertura o amplitud que hay entre dos semirrectas que se
cortan en un punto llamado vértice.
Recuperado de: Wikipedia, 2016
Ejemplo:
La abertura comprendida entre AB Y AC se llama ángulo.
Las semirectas que forman el ángulo se llaman lados del ángulo. El punto donde se unen
las semirrectas se llama vértice. Para representar un ángulo se utiliza el símbolo:
Clasificación de los ángulos
Un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas que parten de
un mismo punto. También se puede decir que un ángulo es la abertura formada por dos
rayos llamados lados, que tienen un origen común llamado vértice (profesor en línea)
También, un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas con origen en un
mismo punto. Las semirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen común se le denomina
vértice del ángulo.
45
Fuente: CEIBAL. (s/f)
Los ángulos se nombran de varias maneras:
-con una letra minúscula, como a o b, o a veces con una letra griega como (alfa).
-con tres letras mayúsculas y un símbolo en forma de ángulo encima. La letra del medio es
el vértice
Fuente: CEIBAL. (s/f)
46
A continuación encontrará una tabla que ilustrará los tipos de ángulos que existen y sus
características principales:
ÁNGULO DESCRIPCIÓN FIGURAS
A) Agudos Es el que mide menos
de 90°
B) Recto Mide 90°
C) Obtusos
Son aquellos que
miden más de 90°,
pero menos de 180°
D) Llano Es el que mide 180°
E) Cóncavo
o entrante
Miden más de 180°
pero menos de 360°
F) Perígono Es el ángulo que mide
360°
47
Clases de pares de ángulos
a) Ángulos consecutivos:
Se llaman ángulos consecutivos a los que tienen común un vértice y un lado que los
separa. Ejemplo:
1 y 2 son consecutivos porque tienen el mismo vértice O y el lado
común OA, que forma parte de los dos ángulos, tal como lo muestra la siguiente figura:
Fuente: sitesgoogle.com
b) Ángulos adyacentes:
Son aquellos que tienen un vértice y un lado en común, los lados no comunes están
alineados uno del otro. Ejemplo:
Fuente: sitesgoogle.com
48
Al sumarlos, dos ángulos pueden ser:
a) Ángulos complementarios:
Son dos ángulos que juntos suman 90° ( o se forma un ángulo recto), ejemplo:
Fuente: sitesgoogle.com
Un ángulo es complementario de otro, es decir: 40° es el complemento de 50° y
viceversa. Por ende su suma es de 90°
b) Ángulos suplementarios:
Son dos ángulos que juntos suman 180° (o sea forman un ángulo colineal o llano), ejemplo:
Fuente: Xtec.cat (s/f)
49
ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO DOS PARALELAS SON CORTADAS POR
UNA SECANTE
Cuando dos rectas se localizan en el plano, tenemos que éstas se cortan en un solo punto,
o bien no se cortan. Este segundo caso, que definiremos a continuación merece un trato
especial dada la importancia que tiene cuando son cortadas por una recta y forman una
serie de ángulos con características especiales en cuanto a su posición y que son utilizados
en el análisis de figuras, así las rectas paralelas se definen como aquellas que estando en
el plano no se cortan.
Fuente: sitesgoogle.com
Medida de ángulos
La unidad de medida de los ángulos se llama grado y su símbolo es (°), y resulta de dividir
un ángulo recto en 90 partes iguales, por lo tanto, un ángulo recto mide 90°. El sistema de
medición de los ángulos se llama sexagesimal y está formado por las siguientes medidas
menores al grado:
Minuto: 1° = 60´
Segundo: 1´= 60”
50
SISTEMA SEXAGESIMAL
Recibe este nombre porque cada unidad es sesenta veces mayor (o menor) que la
siguiente inferior (o superior).
La unidad de medida de ángulos del sistema sexagesimales el grado (°), y cada grado
se divide en 60 minutos (´) y, cada minuto, en 60 segundos (“) (Yam O., et al, Palacios,
2008).
PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS (TEOREMAS)
1) Longitud de los triángulos (Teoremas)
Una propiedad obvia de todos los triángulos es que la suma de las longitudes de dos de
sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
Fuente: Lanubeartistica.es
2) Suma de ángulos internos (Teorema)
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. Disponiendo los ángulos
del triángulo consecutiva se obtiene un ángulo llano. (Yam, O., et al Palacios, 2008).
51
Fuente: sitesgoogle.com
Otras propiedades adicionales (corolarios):
En todo triángulo, cada ángulo es igual a 180° menos la suma de los otros dos ángulos.
Si en un triángulo un ángulo es rectángulo u obtuso, los dos ángulos restantes son
agudos.
Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales (Yam,
O., et al Palacios, 2008).
52
POLÍGONOS
“Un polígono es la región del plano limitada, por tres o más segmentos. La palabra polígono
proviene del griego POLYGONOS; DE POLYS, que significa muchos y de GONIA que
significa ángulos” (Yam, O., & Palacios, 2008).
Un polígono es un parte cerrada del plano cuyos bordes son segmentos rectos.
Los polígonos como los triángulos y cuadriláteros son formas geométricas que
podemos encontrar en el mundo que nos rodea: en la naturaleza, en el arte y en los
objetos fabricados por el ser humano. De ahí que sea importante para todos, el
conocimiento de estas figuras y de sus elementos.
Fuente: Yam, O., et al. Palacios, 2008
Fuente: Poligonos. Plastiline, 2011
Elementos de los polígonos son figuras planas cerradas por segmentos rectilíneos (sus
lados).
Lados: son cada uno de los segmentos que limitan el polígono.
Vértices: son los puntos en los que se unen los lados.
Ángulos: porción de plano comprendida entre dos lados y un vértice común.
Diagonal: segmento de recta que une dos vértices no consecutivos (CEIBAL.EDU, 2014)
53
Fuente: CEIBAL.EDU, 2014
Polígonos
Regulares
Polígonos
Irregulares
54
Fuente: CEIBAL.EDU, 2014
LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS
Un ángulo exterior o ángulo externo a un polígono es el ángulo formado por un lado
de un polígono y la prolongación del lado adyacente.
En cada vértice de un polígono es posible identificar dos ángulos exteriores, que
poseen la misma amplitud. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior
que comparte el mismo vértice, por tanto solo tiene sentido cuando el ángulo interior
es menor a 180^0.
Dado un ángulo interior, \alpha, el valor del ángulo exterior adyacente será:
La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360 grados o radianes cuando se
considera solamente un ángulo exterior por cada vértice del polígono, sin importar el número de
lados de éste. Cuando se consideran los dos ángulos externos posibles de cada vértice, la suma
de todos ellos es igual a 720° o rad.
Demostración
(Solo un ángulo exterior por cada vértice)
Sean αi (i=1 ... n, n≥3) los ángulos interiores en cada de los n vértices, luego son (180°-αi) los
ángulos exteriores correspondientes.
Suma de los ángulos interiores:
55
Suma de los ángulos exteriores:
Fuente: WIKIPEDIA.ORG, 2015
También considere la siguiente información:
En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los
exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los exteriores
son sus suplementarios. Conocemos la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es 180º. Como
cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá calcular cuál es la suma total
en cada caso. Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4,
etc.; siempre dos menos que el número de lados. En definitiva, un polígono de n lados se
puede descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, lasuma de los ángulos
interiores será: 180º·(n-2). Si el polígono es regular el valor de uno de los ángulos
interiores es:
La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta
que el ángulo interior y el exterior suman 180º, en un polígono de n lados los interiores y
los exteriores sumaran, en total, n·180º, como los interiores suman 180º·(n-2) los
exteriores suman 360º
Fuente: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, 2001
56
PERÍMETROS Y ÁREAS
Las figuras tienen una extensión que se puede medir. La medida de la frontera o
contorno se llama perímetro. Para medirlo utilizamos otra medida de la misma
magnitud, por ejemplo el centímetro o el metro.
La medida de la superficie se llama área y para medirla utilizamos otra superficie
que nos sirva de unidad, por ejemplo el centímetro cuadrado o el metro cuadrado,
dependiendo del tamaño de la superficie
Fuente: CEIBAL.EDU s/f
Nombre Forma Perímetro Área
Triangulo
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
Trapecio
Trapezoide
Polígono regular
Fuente: wordpress.com
57
RECTAS TANGENTES A UN CÍRCULO
Conceptualizaciones:
La tangente a una curva en uno de sus puntos, es una recta que toca a la curva en
el punto dado, el punto de tangencia (se puede decir que «forman un ángulo nulo»
en la vecindad de dicho punto). Esta noción se puede generalizar, desde la recta
tangente a un círculo o una curva, a «figuras tangentes» en dos dimensiones (es
decir, figuras geométricas con un único punto de contacto, por ejemplo la
circunferencia inscrita), hasta los espacios tangentes, en donde se clasifica el
concepto de «tangencia» en más dimensiones (WIKIPEDIA.ORG, 2015)
“una recta que intercepta a una circunferencia exactamente en
un punto se llama sectatangnete el teorema de la recta tangente dice que si una recta es
tangente a una circunferencia, entonces esta es perpendicular al radio trazado al punto de
tangencia
58
el ángulo centrales el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son
ángulos
el ángulo interior es el que tiene su vértice en el interior de la circunferencia
el ángulo inscrito es el que tiene su vértice en la circunferencia y está formada por 2 cuerdas
59
el ángulo seminscrito es el que tiene su vértice en la circunferencia y esta formado por una
cuerda y una tangente
el ángulo exterior tiene su vértice en el exterior de la circunferencia y está formada por 2
secantes o por 1 secante y 1 tangente o por 2 secantes”. BLIGOO.COM
Fuente: Rectas tangentes a un círculo.
http://memotube.bligoo.com.mx/rectas-tangentes-a-un-circulo#.VrichPl97IU
60
POSICIONES RELATIVAS DE UN ÁNGULO Y UNA CIRCUNFERENCIA
Perímetros y áreas sobre la longitud de la circunferencia y el área del círculo
Una de las formas más difundidas de la naturaleza es la circular. Casi todas las formas
tienden a hacerse más o menos “redondeadas”. Cuando en matemáticas un conjunto de
puntos tiene una propiedad común, dicho conjunto se denomina: lugar geométrico.
El lugar geométrico de los puntos del plano esquidistan de otro, que se denomina centro,
es decir una circunferencia (DGETA, y Yam, O., & Palacios, 2008)
El segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia es el
radio de la circunferencia.
La porción de plano limitada por una circunferencia (incluida la misma) se denomina
círculo y el centro de la circunferencia es el centro del círculo. (DGETA, y Yam, O., &
Palacios, 2008)
61
TRIGONOMETRÍA
La palabra trigonometría proviene de dos vocablos griegos: “trígono” cuyo significado es
triángulo y “metría” cuyo significado es medición. Por tanto, podemos decir que: La
trigonometría es la parte de la geometría que estudia las relaciones existentes entre las
longitudes de los lados y las medidas de los ángulos de los triángulos (Yam, O., & Palacios,
2008).
Razones trigonométricas
Las razones trigonométricas son relaciones que se establecen entre los lados de un
triángulo rectángulo.
Estas razones varían al variar el ángulo de que se trate, es decir, que las razones son
funciones del ángulo. A estas razones se les llama funciones trigonométricas.
Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer
seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones
trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo
son las siguientes:
Seno: Razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno: Razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto
opuesto.
Cotangente: Razón entre el cateto adyacente al
ángulo y el cateto opuesto.
Secante: Razón entre la hipotenusa y el cateto
adyacente al ángulo.
Cosecante: Razón entre la hipotenusa y el cateto
opuesto al ángulo (Yam, O., & Palacios, 2008).
Fuente: slidehare.net
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RECURSOS DE ACOMPAÑAMIENTO
Es importante que considere trabajar
las áreas de oportunidad detectadas.
Aquí se presenta un panel de recursos
que contiene información respecto a los
temas referidos en el instrumento que
respondió.
Recuerde que estos ejercicios son para
que pueda acercarse a recursos de
aprendizaje y así trazar estrategias de
aprendizaje para elaborar, organizar,
procesos con una construcción de un
nuevo significado de responsabilidad de
los ambientes abiertos y a distancia.
Estrategias de aprendizaje
Para poder resolver problemas, algo que le puede ayudar de manera significativa es seguir
el proceso de matematización, que consiste de cinco pasos sencillos:
1. Identificar un problema de tu entorno que pueda ser tratado como un problema
matemático, desde situaciones sencillas, como por ejemplo, medir un objeto, ver cuánto
cabe en él, hasta saber calcular el precio de un producto si se aplica un porcentaje de
descuento.
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2. Identificar el conocimiento matemático necesario para resolver el problema, comenzando
por leer bien el problema para comprender de qué o de quién se habla y saber qué
operaciones necesitas hacer para resolverlo.
3. Formular un modelo matemático que represente el problema, que pueden ser dibujos,
barras, gráficas, fórmulas, etc., en donde se ilustre la información obtenida del problema. 4.
Resolver el problema utilizando fórmulas, procedimientos o métodos que ya conoce y que
le pueden ayudar a dar solución, planteando varias estrategias diferentes para resolverlo.
5. Interpretar la solución del problema en su vida cotidiana escribiendo la respuesta
siempre como una oración completa donde exprese el resultado obtenido, para que
cualquier persona que lo vea lo pueda entender claramente.
Esquema de estrategia de aprendizaje
64
Cuaderno de trabajo
Coordinación Sectorial de Desarrollo Académico, COSDAC. (1999) Evaluación del ingreso
al bachillerato. Curso propedéutico para el fortalecimiento de la habilidad matemática y
lectora y habilidades matemáticas.
Propósito de material:
El propósito de este curso propedéutico pretende que desarrolles como estudiante de
nuevo ingreso a la educación media superior, las habilidades que favorezcan el aprendizaje
y el desarrollo del perfil de egreso del bachillerato. Recuperado de:
http://www.sems.gob.mx/work/models/sems/Resource/11390/1/images/09_Propuesta_curs
o_propedeutico.pdf
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