matemáticas 1 - portafolio de...

Cuaderno de trabajo / María Teresa Huerta

Mary Luz Noguera

Matemáticas 1

1

Matemáticas 1 Cuaderno de trabajo

PRESENTACIÓN

2


DATOS PERSONALES

Grupo _____________

Nombre: ____________________________________________________

Matrícula: _______________ Periodo: ____________

3


Contenido PRESENTACIÓN......................................................................................................................

1

DATOS PERSONALES…………………………………………………………………………………….

2

CONTENIDO ..........................................................................................................................

3

ACERCA DEL CURSOS .........................................................................................................

6

1. LÓGICA Y CONJUNTOS ....................................................................................................

7

Esquema del capítulo…………………………………………………………………………………….

8

1.1 Definición y notación de conjuntos………….…………..………………………………… 9 ACTIVIDAD 1……………………................................................................................................................................ 10 ACTIVIDAD 2……………………................................................................................................................................ 11 ACTIVIDAD 3……………........................................................................................................................................... 12 ACTIVIDAD 4……………………................................................................................................................................ 13 ACTIVIDAD 5……………………................................................................................................................................ 14 GUIA DE OBSERVACIÓN…………..……………………………………………………………………………………

15

1.2 Operaciones con conjuntos y Diagramas de Venn…............................................ 16 ACTIVIDAD 6…......................................................................................................................................................... 18 ACTIVIDAD 7….......................................................................................................................................................... 19 ACTIVIDAD 8….......................................................................................................................................................... 21 ACTIVIDAD 9….......................................................................................................................................................... 22 ACTIVIDAD 10…....................................................................................................................................................... 23 GUIA DE OBSERVACIÓN…………..……………………………………………………………………………………

24

1.3 Lógica matemática…….................................................................................................... 25 ACTIVIDAD 11 ....................................................................................................................................................... 26 ACTIVIDAD 12 ....................................................................................................................................................... 27 ACTIVIDAD 13 ....................................................................................................................................................... 28 ACTIVIDAD 14 ....................................................................................................................................................... 29 ACTIVIDAD 15 ....................................................................................................................................................... 30 GUIA DE OBSERVACIÓN………………………………………………………………………………………………...

32

2. NOCIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA…..................................

33

2.1 Estadística Descriptiva……........................................................................................... 34 Proceso estadístico. Mapa conceptual……………………………………………………… 35

4


Medidas de tendencia central y dispersión………………………………………… 36 ACTIVIDAD 16……………………………………………………………………………………………………………… 37 ACTIVIDAD 17…………………………………………………………………………………………………………….. 38 ACTIVIDAD 18…………………………………………………………………………………………………………….. 39 ACTIVIDAD 19…………………………………………………………………………………………………………….. 40 ACTIVIDAD 20…………………………………………………………………………………………………………….. 41 ACTIVIDAD 21…………………………………………………………………………………………………………….. 42 ACTIVIDAD 22…………………………………………………………………………………………………………….. 44 ACTIVIDAD 23…………………………………………………………………………………………………………….. 45 ACTIVIDAD 24…………………………………………………………………………………………………………….. 46 ACTIVIDAD 25…………………………………………………………………………………………………………….. 48

2.2 Conceptos de probabilidad………………………………………………………………………. 49 ACTIVIDAD 26…………………………………………………………………………………………………………….. 51 ACTIVIDAD 27……………………………………………………………………………………………………….. 52 ACTIVIDAD 28…………………………………………………………………………………………………………….. 53 ACTIVIDAD 29…………………………………………………………………………………………………………….. 54 ACTIVIDAD 30…………………………………………………………………………………………………………….. 56 GUIA DE OBSERVACIÓN………………………………………………………………………………………………

57

3. ARITMÉTICA………………………………………………………………………………………………….

58

Esquema del capítulo…………………………………………………………………………………….. 59 3.1 Campo de los números reales 60 ACTIVIDAD 31……………………………………………………………………………………………………………. 62 ACTIVIDAD 32……………………………………………………………………………………………………………. 63 ACTIVIDAD 33……………………………………………………………………………………………………………… 64

3.2 Operaciones con números reales…………………………………………………………… 65 ACTIVIDAD 34…………………………………………………………………………………………………………….. 66 ACTIVIDAD 35…………………………………………………………………………………………………………….. 67 ACTIVIDAD 36…………………………………………………………………………………………………………….. 68 ACTIVIDAD 37…………………………………………………………………………………………………………….. 69 ACTIVIDAD 38…………………………………………………………………………………………………………….. 70 ACTIVIDAD 39…………………………………………………………………………………………………………….. 71 ACTIVIDAD 40…………………………………………………………………………………………………………….. 72 ACTIVIDAD 41…………………………………………………………………………………………………………….. 73 ACTIVIDAD 42…………………………………………………………………………………………………………….. 74 ACTIVIDAD 43……………………………………………………………………………………………………….. 76 ACTIVIDAD 44……………………………………………………………………………………………………………..

78

3.3 Porcentajes, razones y proporciones……………………………………………………….. 79 ACTIVIDAD 45…………………………………………………………………………………………………………….. 80 ACTIVIDAD 46……………………………………………………………………………………………………………… 81 ACTIVIDAD 47……………………………………………………………………………………………………………… 82 ACTIVIDAD 48………………………………………………………………………………………………………………. 83

5


ACTIVIDAD 49…………………………………………………………………………………………………… 84

3.4 Secuencias numéricas……………………………………………………………………………… 85 ACTIVIDAD 50………………………………………………………………………………………………………………. 86 ACTIVIDAD 51……………………………………………………………………………………………………………… 87 ACTIVIDAD 52………………………………………………………………………………………………………………. 88 GUÍA DE OBSERVACIÓN…………………………………………………………………………………………………

89

4. INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA……….……………………………………………………………

90

Esquema del capítulo……………………………………………………………………………………. 91 4.1 Expresiones algebraicas………………………………………………………………………..... 92 ACTIVIDAD 53………………………………………………………………………………………………………………. 93 ACTIVIDAD 54………………………………………………………………………………………………………………. 94 ACTIVIDAD 55……………………………………………………………………………………………………………….

95

4.2 Operaciones con expresiones algebraicas………………………………………………. 96 ACTIVIDAD 56………………………………………………………………………………………………………………. 97 ACTIVIDAD 57………………………………………………………………………………………………………………. 99 ACTIVIDAD 58………………………………………………………………………………………………………………. 100 ACTIVIDAD 59………………………………………………………………………………………………………………. 101 ACTIVIDAD 60……………………………………………………………………………………………………………. 102 ACTIVIDAD 61………………………………………………………………………………………………………………. 103 ACTIVIDAD 62………………………………………………………………………………………………………………. 104 ACTIVIDAD 63………………………………………………………………………………………………………………. 105 ACTIVIDAD 64………………………………………………………………………………………………………………. 106 ACTIVIDAD 65………………………………………………………………………………………………………………. 107

ACTIVIDAD 66………………………………………………………………………………………………………………. 108

ACTIVIDAD 67………………………………………………………………………………………………………………. 109

GUIA DE OBSERVACIÓN………………………………………………………………………………………………… 110

Radicales. Esquema del capítulo…………………………………………………………………… 111

ACTIVIDAD 68………………………………………………………………………………………………………………. 112

ACTIVIDAD 69………………………………………………………………………………………………………………. 113

ACTIVIDAD 70………………………………………………………………………………………………………………. 114

ACTIVIDAD 71………………………………………………………………………………………………………………. 115

GUIA DE OBSERVACIÓN…………………………………………………………………………………………………

116

BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………………………. 118

6


Acerca del curso… Matemáticas 1 - PM1006 2007

http://www.itesm.mx/va

Intención del curso

En este curso se tiene la intención de que el alumno consolide y profundice el uso y

dominio de los conceptos básicos matemáticos, para lo cual es necesario que conozca y utilice

la notación y terminología adecuada.

Se fomentará el desarrollo de un pensamiento lógico, crítico y creativo, así como la

paciencia, tenacidad y constancia en la resolución de problemas, de tal forma que el alumno

comience a visualizar a las matemáticas como herramienta para describir y entender

problemas diversos de nuestro entorno.

Este cuaderno de trabajo lo podemos considerar como una introducción al álgebra,

para este primer acercamiento se ha propuesto el trabajo con los siguientes grandes temas:

conjuntos, lógica, conceptos básicos de estadística y probabilidad, operaciones con números

enteros, operaciones con fracciones, expresiones algebraicas, radicales y números complejos.

Objetivo general del curso

Al finalizar este curso el alumno será capaz de:

Realizar operaciones numéricas y algebraicas, aplicando las propiedades de los

números reales y modelar situaciones reales haciendo uso del lenguaje algebraico.

Resolver problemas de conteo utilizando la teoría de conjuntos.

Organizar, representar e interpretar datos estadísticos que le permitan comunicar sus

ideas y tener elementos para la toma de decisiones.

Tiempo estimado de cada tema

1. Lógica y Conjuntos 15 horas

2. Nociones básicas de Probabilidad y Estadística 15 horas

3. Aritmética 12 horas

4. Introducción al Álgebra 30 horas

http://www.itesm.mx/va

7


1. Lógica y Conjuntos

Definición y notación de conjuntos

Operaciones con conjuntos y diagramas de Venn

Lógica matemática

8


Esquema del capítulo

Definición y notación de conjuntos. Operaciones con conjuntos y

diagramas de Venn

Lógica matemática

9


1.1 Definición y notación de conjuntos

Un conjunto es una colección de objetos. Los objetos de un conjunto se llaman

elementos. Un conjunto debe ser descrito de tal manera que dado un objeto sea posible

decidir si es o no elemento del conjunto. Si es un elemento y un conjunto, escribimos

para decir que pertenece a . Para señalar que un objeto no es un elemento del

conjunto , escribimos .

Llamaremos Universo al conjunto que en un momento dado es usado como marco de

referencia para formar conjuntos .

Usaremos letras mayúsculas para representar conjuntos y minúsculas para denotar a los

elementos. Para escribir un conjunto emplearemos llaves, abriéndola por el lado izquierdo y

cerrándola por el lado derecho, entre estas dos llaves estarán los elementos del conjunto.

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos del conjunto. Si el número

de elementos es un entero no negativo, decimos que el conjunto es finito. Cuando un conjunto

no es finito, se dice que es infinito.

Cuando dos conjuntos finitos tienen la misma cardinalidad, decimos que los

conjuntos son equivalentes y escribimos .

Para dos conjuntos , escribimos si todo elemento del conjunto es un

elemento del conjunto y en ese caso decimos que A es subconjunto de . Cuando al

menos un elemento de no pertenece a , escribimos .

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos y escribimos .

10


ACTIVIDAD 1

E R T Y U I O P S U B C O N J U N T O H J Y U I L

E I T N H T Y U N M I O L Ñ E E D S C W Q Z Y J I

L O N E C O N J U N T O S A L E D C R T J L O M S

E S C F D E C O M E T O D O E S U E R T E C O N T

S E R I I O J L L A V E S Y M I N U S C U L A S L

D C R I T N O L O Y G R E A E S V E S T N S Z Q I

S O B U E N I T A S E R D Q N N U L I T I E D C I

T M E R I O L T Ñ N D E S I T L P O L I V E R I D

S P I T H N M I O D C E R T O I L O Ñ P E E R F G

D R E W B H E J U L O I Y B D B N T D E R S G T J

R E D N I J E N U M E R A C I O N L O J S M X D R

D N F G T U K I K L H N T I L O P E R I O L O Ñ P

A S E D S I T I O L P Ñ P T Y U U O E D I N E O S

S I S A S E G U R O Q U E Q U I E R E S I N I T E

C O C R O I L U G H T I L P E L E T I Y O C E R T

I N S F I L O E C F R T H N M I L O P E A C A S A

C U N A L O T P E R T E N E C E L O S V F O C O S

S U S O E D C T I L O P F G H Y R C S D S S A C E

L O S T S D T Y J L O I T R Y B Y U L E U I L O P

S A D I E F T E Y T N M R T I L O S L F T Y U I L

S O S N S X W O I R A T I N U S D A D V G T Y I L

S C I I D S C Y I L L K J U H T U G Y R Y Y G R H

N H T F U J G O A E Z S E G F G E D G T Y J U I L

Ñ C A R D I N A L I D A D R I I H R J A J E N O S

J H T G F R D N J K H Y G T F R J Y H G T F T F L

Encuentra las siguientes palabras:

CONJUNTO ELEMENTO LLAVES Y MINUSCULAS

ENUMERACION COMPRENSION PERTENECE

UNIVERSO VACIO UNITARIO

IGUALES AJENOS FINITO

INFINITO SUBCONJUNTO CARDINALIDAD

11


ACTIVIDAD 2.

Contesta brevemente lo que se te pide:

1. ¿Qué es un Conjunto?___________________________________________________

_____________________________________________________________________

2. ¿Qué es un Elemento?___________________________________________________

_____________________________________________________________________

3. ¿Cómo se indican los elementos de un conjunto?______________________________

_____________________________________________________________________

4. ¿Qué es un conjunto por enumeración?______________________________________

_____________________________________________________________________

5. ¿Qué es un conjunto por comprensión? _____________________________________

_____________________________________________________________________

6. Indica el significado de cada símbolo _____________________________________________________________________

7. ¿Qué es conjunto universo?_______________________________________________

_____________________________________________________________________

8. ¿Qué es conjunto vacio?_________________________________________________

_____________________________________________________________________

9. ¿Qué es conjunto unitario?________________________________________________

_____________________________________________________________________

10. ¿Qué son conjuntos iguales? ______________________________________________

_____________________________________________________________________

11. ¿Qué son conjuntos ajenos? ______________________________________________

_____________________________________________________________________

12. ¿Qué es un conjunto finito e infinito? _______________________________________

_____________________________________________________________________

13. ¿Qué es un subconjunto? _________________________________________________

_____________________________________________________________________

14. ¿Qué es la cardinalidad de un conjunto? _____________________________________

_____________________________________________________________________

12


ACTIVIDAD 3

I. Indicar los siguientes conjuntos en su forma de comprensión:

1. A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

___________________________________________________________________________

2. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} __________________________________________________

3. C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} ___________________________________________

4. D = {luna} ________________________________________________________________

5. E = {l} ___________________________________________________________________

II. Dar los siguientes conjuntos en su forma de enumeración:

6. A = {x | x es el nombre y primer apellido de un niño héroe} _________________________

7. B = {x | x es un número natural menor o igual a 7} ________________________________

8. C = {x | x es un número natural entre 2 y 7} _____________________________________

9. D = {x | x es un número natural aumentado en múltiplo de 3} ________________________

10. E = {x/x es un planeta del sistema solar} _______________________________________

III. Define cada conjunto por extensión.

11. A = {x/x es el conjunto de los números naturales inferiores a 4}._____________________

12. B = {x/x es impar mayor que 1 y menor de 10} __________________________________

13. C = {x/x es el conjunto de los sucesores de 4, 5, 6}._______________________________

14. D = {x/x es el conjunto de enteros dados por si pertenece a 5, 10, 15} ____________

15. E= {x/x es el conjunto de los números no indicados en 1, 3, 5,…17, 19, 21} ___________

13


ACTIVIDAD 4

I. Sea el siguiente conjunto: A = {rosa, geranio, clavel}. Decir si ese elemento pertenece

( .

1. rosa _____ A 2. Flor ____ A 3. {rosa, clavel} ____ A

II. Sean los conjuntos: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {2, 4, 6, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}.

Decir si es subconjunto ( ) o no ( ).

4. 5. A ____ U 6. A ____ B 7. B ____ U

III. Obtener la cardinalidad de los siguientes conjuntos:

8. A = {x | x es un mes del año que tenga la letra "r"} __________

9. B = {x | x es número primo menor que 20} _________

10. C = {x | x es un número entero positivo entre 3 y 7} __________

11. D = {x | x es un número entero positivo entre 2 y 5, incluyendo los números indicados}

__________

12. E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} ________

13. F = {x | x es un número real} _________

IV. Indica si cada uno de los enunciados siguientes es verdadero o falso, en relación con

los conjuntos indicados.

14. A y B son conjuntos iguales __________

15. B y E son conjuntos iguales ___________

16. C es el conjunto vacío ___________

17. 6 B _________

18. ½ B _________

19. 1 A y 0 C _________

20. ¼ F y ½ E __________

14


ACTIVIDAD 5

I. Escribe por notación de conjuntos las siguientes afirmaciones:

1. ____________ 5. _______________

2. 6. __________________

3. _________ 7. _________

4. ________ 8. _____________

II. Indica si los conjuntos son finitos o infinitos:

9. Las estaciones del año 13. {x/x es una ciudad del planeta tierra}

________________________________ _________________________________

10. Los seres humanos que habitan en la 14. {x/x es un número entero}

Tierra ________________________ __________________________________

11. {1, 2, 3,... 100000} 15. El conjunto de los múltiplos de 4

________________________________ __________________________________

12. {x/x es un número impar} 16. {x/x es un número racional mayor que

________________________________ 4 pero menor que 5} ______________

III. Determina la cardinalidad de los siguientes conjuntos:

17. ________ 19. ________

18. __________ 20. __________

IV. Escribe todos los subconjuntos que se pueden formar con los elementos del conjunto:

21.

22.

23.

24.

25.

15


Guía de observación

Instrucciones: La guía de observación debe ser aplicada por el estudiante de acuerdo con

los reactivos señalados y deberá colocarse un 1 en dominio si el estudiante cree haber

cumplido con este objetivo y un 0 si no cumplió con cada indicador, en caso de que la

respuesta sea que no cumplió colocar en la columna de observaciones la justificación de ello.

Indicador Dominio

Observaciones

1. Define conjuntos por enumeración y

por comprensión.

2. Identifica y utiliza correctamente la

siguiente terminología

a) Relación de pertenencia:

b) Notación de subconjuntos,

subconjunto propio e impropio:

3. Identifica los diferentes tipos de

conjuntos

4.Define la cardinalidad de un conjunto

TOTAL

16


1.2 Operaciones con conjuntos y Diagramas de Venn.

Unión La unión del conjunto A y el conjunto B, es el conjunto de elementos que

pertenece al conjunto A o al conjunto B.

A B = {x/x Є A o x Є B}

Intersección La intersección del conjunto A y el conjunto B, es el conjunto de todos los

elementos que son comunes a ambos conjuntos.

A ∩ B = {x/x Є A y x Є B}

Llamaremos Universo al conjunto que en un momento dado

es usado como marco de referencia para formar conjuntos

17


Complemento

Consideramos a U como el conjunto Universo y definimos el

complemento de como todos los elementos del Universo que no

pertenecen al conjunto .

Diferencia

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, definimos el conjunto diferencia

A – B como sigue:

A – B {x/x Є A y x Є B}

Observación: Ac se puede considerar como la diferencia entre U y A

Ac

= U – A = {x/x Є U y x Є A}

Leyes de Morgan (A B) c

= Ac

Bc (A B)

c = A

c

B c

Ac o A´= {x Є U / x Є A}

U A B U A B

18


ACTIVIDAD 6

I. Determina

1.

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {2, 3, 4, 5}

2.

A = {3, 5, 7, 9}

B = {2, 4, 6, 8…}

II. Si U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {1, 4, 7, 10}

Encontrar los siguientes conjuntos:

1. A – C 4. C – A

5. (A – B) (B – C)

19


ACTIVIDAD 7

I. Contesta verdadero o falso.

1. _____ 3.

Entonces A = B _____

5. _____

2. _____ 4. _____ 6. Entonces _____

II. Elabora el diagrama de Venn de los conjuntos

7. 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,19,20}

8.

9.

20


III. Si A = {2, 4, 5}, B = {a, b, c, 4} y C = {-1, 3, a, 5}, encuentra:

10.

13. 16.

11.

14. 17.

12.

15. 18.

IV. Sea el conjunto universal U = {a, b, c, d, e, f} y el conjunto A = {a, e}.

19. Hallar A' = _______________________________

V. Sea el conjunto universal U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y los conjuntos

A = {2, 3, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9} y C = {0, 2, 4, 6, 8}, Hallar:

20.

22. 24.

21.

23. 25.

VI. Sea U = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e, g} y C = {b, e, f, g}.

Hallar:

26.

27. [ ]

28. [ ]

21


ACTIVIDAD 8

En cada uno de los siguientes diagramas sombrea la región que corresponde a cada

una de las relaciones u operaciones entre los conjuntos indicados.

1. A – B 2. A´ 3.

4. 5. 6.

7. 8. ´ 9.

10. 11. 12.

22


ACTIVIDAD 9

PROBLEMAS

1. En una encuesta a 200 estudiantes que cursan Matemáticas se encontró que: 68 se

comportan bien en clase; 138 tienen habilidad para la materia; 160 son participativos; 120 son

participativos y tienen habilidad; 20 se comportan bien y no tienen habilidad; 13 se comportan

bien y no son participativos; 15 se comportan bien y son participativos, pero no tienen

habilidad. ¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, son

participativos y no tienen habilidad para la materia?

2. Una agencia de autos vendió durante el primer semestre del año 180 unidades son las

siguientes características: 57 tenían transmisión automática; 77 tenían clima; 45 tenían

transmisión automática y clima; 10 tenían transmisión automática pero no tenían ni clima ni

CD; 28 tenían transmisión automática y clima, pero no tenían CD; 70 no tenían ninguna de las

características mencionadas y 19 tenían clima y CD. ¿Cuántas de estas unidades tenían CD?

3. Con respecto a los empleados de una empresa se tiene la siguiente información: 317 son

hombres; 316 son casados; 25 son mujeres casadas sin profesión; 72 son hombres casados sin

profesión; 83 son hombres profesionistas solteros; 15 son mujeres profesionistas solteras; 125

son hombres profesionistas casados y 49 son mujeres solteras sin profesión. Se desea conocer

lo siguiente:

a) ¿Cuántos de los empleados son hombres solteros sin profesión?

b) ¿Cuántos de los empleados son mujeres profesionistas casadas?

c) ¿Cuántos empleados hay en la empresa?

23


ACTIVIDAD 10

PROBLEMAS

1. Se hizo una entrevista a 885 amas de casa y se encontró la siguiente información acerca de

ciertos programas de televisión: 600 veían noticieros, 400 veían series policiacas, 620 veían

programas deportivos, 195 veían noticieros y series policiacas, 190 veían series policiacas y

deportivos, 400 veían noticieros y deportivos, y todos ven al menos uno de estos tres

programas. Determinar cuántas de las entrevistadas ven los tres tipos de programas

mencionados.

2. Encuestadas 150 personas, se obtuvo que 81 de ellas lee el diario El Sur, que 62 leen un

diario de Santiago y que 39 leen de los 2 tipos.

a) ¿Cuántas personas no leen ningún diario?

b) ¿cuántos leen sólo el diario El Sur?

c) ¿cuántos sólo leen un diario de Santiago?

d) Representa lo anterior en un diagrama de Venn.

3. Una encuesta de 100 alumnos sobre idiomas extranjeros, arrojó el siguiente resultado: 52

pueden leer inglés, 40 pueden leer francés, 24 pueden leer alemán, 19 pueden leer inglés y

francés, 12 pueden leer francés y alemán y 6 pueden leer los 3 idiomas.

a) ¿Cuántos pueden leer solamente inglés?,

b) ¿cuántos no pueden leer ninguno de los 3 idiomas?,

c) ¿cuántos pueden leer sólo un idioma?

24







Indicador Dominio

Observaciones

1. Define las operaciones de:

a) Unión (

b) Intersección

c) Diferencia

d) Complemento

2. Define el diagrama de Venn, así como

la representación del mismo a partir de

conjuntos dados.

3. Resuelve operaciones de conjuntos

dados por enumeración y/o por

comprensión y presentar el resultado en

un diagrama de Venn.

4. Identifica las operaciones realizadas a

partir de un diagrama de Venn.

5. Aplica las operaciones de conjuntos en

problemas razonados de conteo

TOTAL

25


1.3 Lógica matemática

Una proposición es una expresión con significado que afirma algo de algo, la cual tiene “es

verdadera” o “es falsa”.

Ejemplos: p: "Hoy es sábado" q: "Estoy descansando"

Una tautología es una proposición siempre verdadera.

Una contradicción es una proposición siempre falsa.

CONECTIVO SIMBOLO EJEMPLO TABLA DE

VERDAD

Conjunción

V V V

V F F

F V F

F F F

Disyunción

V V V

V F V

F V V

F F F

Negación

V F

F V

26


ACTIVIDAD 11

Cuestionario

1. Definir proposición simple:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2. Definir proposición compuesta:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

3. Definir proposición abierta:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

4. Definir proposición disyuntiva:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5. Definir proposición conjuntiva:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

6. Definir cuantificador:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

7. Define cuantificador universal y existencial y el símbolo de cada uno:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

8. Sea p una proposición determina la proposición negativa de p:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

9. Define que es dominio de la variable:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

27


ACTIVIDAD 12

I. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones?

1. ¡Qué miedo!

2. ¿Cómo estás?

3. ¿Cuándo regresas?

4. Olga regresa mañana.

5. Tengo mucho dinero.

6. No tengo dinero.

7. ¿Qué estudias?

8. Necesito estudiar matemáticas

9. No me gusta estudiar.

10. Lunes, 20 de noviembre.

II. Identifica cuáles de las siguientes proposiciones son simples y cuáles son

compuestas

11. Estoy en la casa o en la universidad.

12. Gabriela está trabajando

13. Juan y Tomás son atractivos.

14. Si gano suficiente, voy a un viaje.

15. Si multiplicamos por cero, el producto siempre es igual a cero.

28


ACTIVIDAD 13

I. Convierte cada proposición abierta, en verdadera o falsa, según se indique,

sustituyendo la variable por un valor adecuado.

1. es un número real _______ (V) 6. ______ (F)

2. es un número primo ______ (F) 7. es un planeta del

sistema solar

______

(V)

3. es par ______ (V) 8. es compañero de mi

grupo

______

(F)

4. ______ (F) 9. es un color primario ______ (V)

5. es entero negativo ______ (V) 10. es un número dígito ______ (F)

II. Escribe simbólicamente las siguientes proposiciones y define si es V o F dicha

proposición.

a) “Existe un presidente de México que es originario de Puebla”.

b) “Para todo número entero, su raíz cuadrada es entero”.

c) “Existe un deportista en la Delegación Olímpica Mexicana de 1976 que obtuvo medalla de

oro”

29


ACTIVIDAD 14

Para cada una de las proposiciones dadas a continuación:

i) Traducir a la forma simbólica.

ii) Escribir la negación en el lenguaje ordinario

iii) Obtener el valor de verdad de la negación.

1. Todos los estudiantes son jóvenes

i)

ii)

iii)

2. Ningún triángulo es cuadrado

i)

ii)

iii)

3. Por lo menos para un número entero, su cuadrado es negativo

i)

ii)

iii)

4. Algunos dígitos no son impares

i)

ii)

iii)

30


ACTIVIDAD 15

Desarrolla las siguientes tablas de verdad:

1. p q 2. ( ) r

3.

31


32







Indicador Dominio

Observaciones

1. Define una proposición simple y compuesta

2. Define una proposición disyuntiva y conjuntiva.

3. Identifica los diferentes cuantificadores:

4. Construye tablas de verdad

TOTAL

33


2. Nociones básicas de probabilidad y estadística

Estadística Descriptiva

Conceptos de Probabilidad

34


2.1 Estadística Descriptiva

La estadística es una rama de las matemáticas cuya función principal es proporcionar

principios y métodos para reunir, organizar, analizar e interpretar información. La estadística

se divide en dos ramas:

Población. Es el conjunto o colección total de elementos o datos acerca de los cuales

deseamos hacer alguna inferencia.

Muestra. Es un subconjunto de población.

Variable. Se llama así a una característica que tienen en común los elementos de una

población o de una muestra. Una variable puede ser discreta o continua.

Discreta: cuando puede tomar valores con números enteros (ejemplo: número

de alumnos en una escuela).

Continua: cuando admite todos los valores de un intervalo (ejemplo: peso,

estatura)

Datos. Es uno de los valores que puede tomar una variable; cada valor corresponde a

un elemento de una población o muestra.

Parámetro. Es el valor numérico que resume algunos de los aspectos más relevantes

de una distribución estadística que se obtiene de una población.

Muestreo. La parte de la estadística que estudia la forma de seleccionar una muestra

de la población.

La información resumida se presenta por medio de tablas (distribución de frecuencias)

y gráficas (barras, pastel o circular, polígono de frecuencias).

ESTADISTICA

Descriptiva:

Organiza y resume la información

Inferencial:

Analiza e interpreta la información para llegar a conclusiones

35


36


Medidas de tendencia central

Datos no agrupados Datos agrupados

Media

Mi: marca de clase

fi: frecuencia de clase

n: número de datos

Mediana

Se ordenan los datos en forma

ascendente o descendente, la

mediana es el valor

central

(

) Intervalo= n/2, buscar en Fa

L = Límite real inferior del intervalo que contiene a

la mediana

n = número de datos

Fa = frecuencia acumulada del intervalo anterior

al que contiene la mediana

fx = frecuencia del intervalo que contiene la

mediana

c = tamaño del intervalo

Moda

Valor que aparece con mayor

frecuencia en un conjunto de

datos

Más de 1 moda: multimodales

No hay moda: amodales

(

)

La moda se encuentra en el intervalo de mayor

frecuencia

L = Límite real inferior del intervalo que

Contiene la moda

frecuencia del intervalo que contiene la moda

menos la frecuencia del intervalo anterior

frecuencia del intervalo que contiene la moda

menos la frecuencia del intervalo siguiente

Medidas de dispersión

Rango

(R)

R= (Xn-X1)

Valor más alto-valor más bajo

R = Límite superior de la clase n (última clase)

menos Límite inferior de la clase 1

Varianza

[

]

Desviación

estándar √ √

37


ACTIVIDAD 16

Relaciona las siguientes columnas:

1. Conjunto de técnicas para la colección, organización,

resumen, presentación y análisis de información. ( ) Rango, varianza

Y desv. estándar

2. Organiza y resume la información. ( ) Variable

3. Analiza e interpreta la información para llegar a conclusiones.

( ) Estadística

4. Conjunto o colección total de elementos o datos acerca de los

cuales deseamos hacer alguna inferencia.

( ) Límites

5. Es la característica o fenómeno que puede tomar diferentes

valores.

( ) Estadística

descriptiva

6. Subconjunto de una población.

( ) Moda

7. Fronteras de las clases. Limitan un intervalo de clase.

( ) Rango

8. La medida de tendencia central más común, llamada también

como el promedio de los datos.

( ) Estadística

inferencial

9. Este valor divide a un grupo de números en dos partes, de

manera que la mitad de los números se encuentra por debajo

de éste y la otra mitad se halla por encima.

( ) Frecuencia

De clase

10. Valor que aparece con mayor frecuencia.

( ) Frecuencia

relativa

11. Diferencia entre el valor más pequeño y el valor más

Grande de un conjunto.

( ) Histogramas y

Diagramas de pastel

12. Número de observaciones en una clase.

( ) Mediana

13. El cociente de una frecuencia de clase con respecto al

Número de observaciones de todas las clases.

( ) Media

14. Medidas de dispersión.

( ) Población

15. Diagramas más comunes en estadística.

( ) Muestra

38


ACTIVIDAD 17

Tipos de variables estadísticas.

Di, en cada caso, cuál es la población y cuál la variable que se quiere estudiar. Especifica si es

una varable cualitativa o cuantitativa, determinando, es este último caso, si es discreta o

continua:

a) Tiempo dedicado a las tareas domésticas por los hombres y las mujeres que trabajan

fuera del hogar.

b) Estudios que quieren hacer las alumnas y los alumnos de un centro escolar al terminar

la Educación Secundaria Obligatoria.

c) Intención de voto en unas elecciones autonómicas.

d) Horas que dedican a ver televisión los estudiantes de la Enseñanza Secundaria

Obligatoria en España.

e) Número de aparatos de radio que hay en los hogares españoles.

Población Variable Tipo de variable

a)

b)

c)

d)

e)

39


ACTIVIDAD 18

Obtén información de periódicos y analízala.

a) Anota el encabezado principal. ¿A qué tipo de nota corresponde? __________________________ ________________________________________________________________________________________________________

b) Escribe el título de una noticia; puede ser internacional, nacional, política, financiera, policiaca, de espectáculos, de portes o sociales. _________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________

c) ¿Cuántas noticias internacionales tiene el ejemplar? ¿Cuántas noticias de política nacional se incluyeron en el diario? __________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________ d) Cuenta las noticias financieras, las policiacas y las noticias de espectáculos y deportes.

Escribe las frecuencias en el siguiente cuadro.

Tipo de noticias Frecuencia

Internacionales Nacionales Financieras Deportivas Espectáculos Policiacas Sociales

e) ¿Cuántas noticias de los tipos mencionados tiene el periódico de tu equipo? ______________

________________________________________________________________________________________________________ f) ¿Qué tipo de noticias prefiere publicar el periódico? _________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ g) ¿Cuáles menos? ___________________________________________________________________________________

h) ¿A qué publico va dirigido dicho periódico? ____________________________________________________

i) ¿Las frecuencias obtenidas ayudan a responder las preguntas anteriores? Explica. _______

40


ACTIVIDAD 19

DATOS CUALITATIVOS

Datos de 25 diferentes colores.

verde azul rojo amarillo verde

azul amarillo verde verde rojo

rosa negro rojo verde amarillo

verde amarillo rojo azul verde

amarillo verde rosa rojo verde

Tabla de frecuencias.

Color Frecuencia

(fi)

Frecuencia

relativa (fr)

Frecuencia

acumulada (Fa)

Frecuencia

porcentual (f%)

a) Elabora un diagrama de barras. b) Elabora un diagrama de pastel

41


ACTIVIDAD 20

DATOS CUANTITATIVOS (no agrupados)

1. A continuación se presentan la cantidad de materias que adeudan 15 estudiantes de un

colegio:

1 3 3 4 1

2 6 2 4 6

1 2 5 1 3

a) Ordena los datos de forma creciente.

Determina:

b) Media

c) Mediana d) Moda

e) Elabora una distribución de frecuencias para datos no agrupados.

Número de

materias que se

adeudan (x)

Número de

estudiantes

Frecuencia

(fi)

Frecuencia

relativa

(fr)

Frecuencia

acumulada

(Fa)

Frecuencia relativa

acumulada

(Fa)

Total ∑

f) Determina la mayor cantidad de materias que los estudiantes adeudan:_____________

g) ¿Qué porcentaje de alumnos reprueban 1, 2 y 3 materias?: ______________________

h) ¿Cuántos alumnos reprueban 6 materias?: ___________________________________

42


ACTIVIDAD 21

Valores de las estaturas (en centímetros) de éste grupo.

a) Ordena en forma creciente los datos reunidos.

Determina:

b) Rango

c) Media d) Mediana e) Moda

Elabora una tabla de frecuencias agrupando los datos en intervalos de clase

f) Determina el intervalo de clase.

Tabla de frecuencias.

Limite de

clase

Límite real

de clase

Frecuencia

(fi)

Frecuencia

relativa

(fr)

Frecuencia

Acumulada

(Fa)

Frecuencia

Relativa

acumulada

Marca de

clase

(Mi)

43


g) Construye el histograma y el polígono de frecuencias correspondiente.

h) Construye el diagrama de pastel.

Frecuencia

Relativa (fr) X 360°

360°

44


ACTIVIDAD 22

El entrenador de un equipo de baloncesto duda entre seleccionar Elena o a María. Los puntos

conseguidos por cada una, en una semana de entrenamiento, fueron estos:

a) ¿Cuál de las dos tiene mejor media?

b) Calcula la desviación estándar. ¿Cuál de las dos es más regular?

Elena 18 23 22 24 19 25 16

María 18 26 18 28 22 17 18

45


ACTIVIDAD 23

DATOS CUANTITATIVOS (datos agrupados)

La siguiente distribución muestra la duración (en días) de 80 lámparas. Con base en la

siguiente tabla, determina lo que se te pide.

Clase Intervalo Marca de

Clase (Mi) fi fr Fa Mi fi Mi

2 Mi

2 fi

1 30 - 40 35 8 0.1000 280

2 40 - 50 7 0.0875

3 50 - 60 55 4

4 60 – 70 15 975

5 70 – 80 12

6 80 – 90 85 15 0.1875

7 90 - 100 19 80 1805

a) Calcula el valor de la media

Fórmula Sustitución Resultado___________

b) Calcula el valor de la desviación estándar.

Fórmula Sustitución Resultado___________

c) Elabora un histograma y polígono de frecuencia.

d) ¿Cuál es el intervalo que comprende a la media entre una desviación estándar a la

derecha y a la izquierda? ________________________

46


ACTIVIDAD 24

Los siguientes datos indican las cuotas cobradas por una empresa de mensajería por los

paquetes entregados el día de hoy:

2.03 1.56 1.1 4.04 3.62 1.16 0.93 1.82

2.3 1.86 2.57 1.59 2.57 4.16 0.88 3.02

3.46 1.87 4.81 2.91 1.62 1.62 1.8 1.7

2.15 2.07 1.77 3.77 5.86 2.63 2.81 0.86

3.02 3.24 2.02 3.44 2.65 1.89 2.00 0.99

Utiliza Excel para resolver cada inciso.

a) Realiza una tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados

b) Determina las medidas de tendencia central

c) Determina la desviación estándar

d) Grafica los datos agrupados en un histograma y en un polígono de frecuencias, asi

cono un diagrama de pastel.

48


ACTIVIDAD 25

Encuesta.

Se ha hecho una encuesta para saber con qué regularidad se lee el periódico en una ciudad, y

los resultados fueron los siguientes:

RESPUESTAS %

Todos los días 37.3

Una vez por semana 29

Una vez al mes 10.5

Alguna vez al año 12

Nunca …

No contesta 0.4

a) ¿Qué tanto por ciento de personas respondieron “nunca”?

b) Si las personas que no contestaron fueron 6, ¿cuántas personas fueron encuestadas?

c) Las personas encuestadas, ¿son muestra o población?

49


2.2 Conceptos de probabilidad

Experimento. Proceso que produce un resultado o una observación. Experimento aleatorio. Sus resultados no se conocen y no pueden predecirse; por

ejemplo, el lanzamiento de dados y de monedas o la cantidad de artículos defectuosos en un

supermercado.

Experimento determinístico. Describe fenómenos cuyos resultados pueden

predecirse; por ejemplo, la caída libre de un objeto, la mezcla de sustancias o la extracción de

una ficha de una urna.

Espacio muestral. Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se

simboliza con la letra S.

Para calcular la probabilidad de cualquier evento se efectúa el cociente del número de

elementos del evento entre el número de elementos del espacio muestral S

Los datos de un problema se obtienen con experimentación controlada o por

observación de los sucesos incontrolados de la naturaleza.

La población es el conjunto de todos los sucesos susceptibles de aparecer en un

problema y que interesan a la persona que realiza el estudio.

La muestra es el subconjunto de mediciones seleccionadas de la población que

fundamentan un problema.

Tipos de sucesos. Mutuamente excluyentes o disjuntos. La ocurrencia de uno de ellos

elimina automáticamente la posibilidad de que ocurra el otro.

No excluyentes entre sí. Se presentan en un mismo experimento aleatorio

y la posibilidad de que ocurra uno de ellos no impide que el otro suceso ocurra.

LEYES DE ALGEBRA DE EVENTOS

a) Idempotente:

A ∪ A = A ; A ∩ A = A b) Asociativa:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C;

A ∩ (B ∩ C) = (A∩ B) ∩ C

c) Conmutativa:

A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A d) Neutro:

A ∪ φ = A A ∩ E = A

e) Absorbente:

A ∪ E = E; A ∩ φ = φ f) Distributiva:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

g) Leyes de Morgan:

( A ∪ B)c = A

c∩ Bc

(A ∩ B)c = A

c ∪ B

c

50


y se aplica la siguiente

relación:

A y B no son mutuamente excluyentes, se tiene y se

aplica la siguiente relación:

A y B sin independientes, se aplica la siguiente relación:

Cuando los sucesos A y B son dependientes, se aplica la relación de la probabilidad

condicional:

(

)

con P(A)

Las probabilidades de la probabilidad condicional son:

a) Para sucesos dependientes: (

)

Además: | |

b) Para sucesos independientes ,tales que Además:

51


ACTIVIDAD 26

Experimento aleatorio compuesto

I. Una experiencia consiste en extraer una bola de esta urna y, después, lanzar la

moneda. Los casos son: 1 y C, 1 y +, 2 y C, etc.

a) Escribe el espacio muestral (son 8 casos). ¿Cuál es la probabilidad de cada caso?

E = {

Probabilidad =

b) Describe el suceso BOLA VERDE Y CARA enumerando todos sus casos. ¿Cuál es su

probabilidad?

Bola verde y cara = {

Probabilidad.{Bola verde y cara} =

II. En cada uno de los siguientes experimentos aleatorios di cuál es la probabilidad de

que ocurra el suceso que se indica.

Se extrae una pieza de fruta Se extrae una bola

Suceso: Extraer una pera Suceso: extraer una bola verde

Se hace girar la flecha y se observa sobre que color se detiene

Suceso: Obtener color azul.

52


ACTIVIDAD 27

I. Los alumnos de una clase se distribuyen del siguiente modo:

Escogemos al azar a una persona de esa clase.

Calcula la probabilidad de que:

a) Sea chica

b) Tenga gafas

c) Sea una chica con gafas

a)

b) c)

II. Una botella contiene 20 bolas de colores: negro, rojo y verde. No sabemos cuántas

de cada color, ni podemos verlo, porque la botella es opaca. Sólo podemos ver,

cuando la volteamos, el color de la bola que queda junto al tapón. Que es

transparente.

A lo largo de varios días hacemos 1000 veces la experiencia de agitar, inclinar la

botella y anotar el color de la bola que se ve. Hemos obtenido estos resultados:

Podemos averiguar, con cierta seguridad, cuántas bolas hay de cada color.

Chicas Chicos

Con gafas 3 6

Sin gafas 12 10

53


ACTIVIDAD 28

1. Una urna contiene tres bolas rojas y dos verdes y otra contiene dos bolas rojas y tres verdes.

Se toma, al azar, una bola de cada urna. Escribe el espacio muestral10. ¿Cuál es la

probabilidad de que ambas sean del mismo color? ¿Y la de que sean de distinto color?

2. Lanzamos una moneda hasta observar la segunda cara. ¿Cuál es la probabilidad de observar

dos cruces antes de que se observe la segunda cara?

3. Se lanza un dado 6 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener puntuación par en los

lanzamientos impares e impar en los lanzamientos pares?

4. De una baraja de 40 cartas se extraen dos de ellas a la vez. Calcula la probabilidad de que:

a) las dos sean reyes

b) Una sea copas y otra el rey de espadas.

c) al menos una sea copas.

5. Un 65% de los alumnos de un centro han aprobado Matemáticas, un 70% ha aprobado

Filosofía, y un 53% ha aprobado ambas materias. Si se elige al azar un estudiante, calcúlese la

probabilidad de que:

a) haya aprobado al menos una de las dos materias.

b) haya suspendido ambas materias

c) Si aprobó Matemáticas ¿Cuál es la probabilidad de haber aprobado filosofía?

Un jugador de tenis tiene una probabilidad de ganar una partida 0,25. si juega cuatro

partidas calcula la probabilidad de ganar más de la mitad.

7. Suponiendo que la riqueza es independiente del sexo, calcular:

a) Las probabilidades que faltan en la tabla

Rico/a Pobre Total

Hombre ----- ----- 0,607

Mujer ----- ----- 0,393

0,002

b) La probabilidad de que sabiendo que una persona no es pobre que sea hombre.

c) La probabilidad de que una persona sea rica o mujer.

8. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de cinco cartas de una baraja española se

presenten dos reyes?

9. Un aparato está formado por dos partes A y B. El proceso de fabricación es tal que la

probabilidad de un defecto en A es 0,06 y la probabilidad de un defecto en B es 0,07. ¿Cuál es

la probabilidad de que el producto no sea defectuoso?

10. Se lanzan 6 bolas en 3 cajas de modo que cualquiera tenga la misma probabilidad de caer

en cualquier caja. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cajas queden ocupadas?

54


ACTIVIDAD 29

Experimento: Lanzamiento de dados

1. Lanza un dado 30 veces y anota en la siguiente tabla las veces que cada número sale

en la cara superior. ¿Qué concluyes de los resultados obtenidos?

1 2 3 4 5 6

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2. Lanza dos dados al aire 30 veces y observa los números que salen en las caras

superiores, suma los números y anota las veces que cada suma aparece en la siguiente

tabla. ¿Qué observas de los resultados obtenidos?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

3. En la siguiente distribución de frecuencias registra los totales de la tabla anterior.

Suma de puntos Frecuencia de clase (Fi) Frecuencia relativa (fr) Probabilidad

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

55


4. Se aplica la probabilidad clásica, por lo que la suma de los puntos se presentan a

continuación

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

5. Completa la siguiente tabla con base en la información que se presentó en la tabla

anterior.

Suma de los puntos

de los dados

Frecuencia

(número de maneras) Probabilidad

1 0

2 1/36

3 2

4

5 4

6

7 6

8

9 4

10

11

12

Totales 36 36/36

6. Compara los resultados que obtuviste al hacer la simulación y las probabilidades

obtenidas de acuerdo con la probabilidad clásica. Anota tus observaciones.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

56


ACTIVIDAD 30

De un total de 89 estudiantes, 26 estudian al menos inglés, 34 francés y 32 alemán. Seis sólo

estudian francés y alemán, 12 únicamente inglés, 15 tan sólo francés y 25 alumnos no

estudian ninguno de los tres idiomas.

1. Elabora un diagrama de Venn con la información proporcionada.

2. Si se escoge un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad…

a) de que no estudie inglés, ni francés, pero sí alemán.

b) de que no estudie alemán, pero si inglés y francés.

c) de que estudie inglés y alemán, pero no francés.

57







Indicador Dominio

Observaciones

Estadística descriptiva

1. Conceptos básicos: área de estudio de

estadística descriptiva utilizando datos

continuos y discretos, muestra y población, y

variables cuantitativas o cualitativas.

2. Representación de datos: A) Distribución de

frecuencias. Comprender los conceptos de

clase, intervalo, límites de clase, marcas de

clase, frecuencia, frecuencia relativa y

frecuencia acumulada. Elaboración de tabla de

distribución de frecuencias partir de una serie

de datos no agrupados. B) representaciones

gráficas: histogramas, gráficas de barras,

gráficas de pastel. C) Representación gráfica

con datos agrupados y no agrupados. D)

análisis e interpretación de una gráfica dada.

3. Medidas de Tendencia Central: media

aritmética, mediana, moda de datos agrupados

y no agrupados.

4. Medidas de dispersión: rango, varianza y

desviación estándar de datos agrupados y

no agrupados.

Conceptos de probabilidad

5. Conceptos de probabilidad, experimento

aleatorio, espacio muestral, evento.

6. Probabilidad de un evento simple

TOTAL

58


3. Aritmética

Campo de los números reales

Operaciones con números reales

Porcentajes, razones y proporciones

Secuencias numéricas

59



60


3.1 Campo de los números reales

Los números negativos son aquellos números que se ubican del lado izquierdo del cero

(origen) en una recta numérica.

Los números positivos son aquellos números que se ubican del lado derecho del cero

(origen) en una recta numérica.

Los números fraccionarios son aquellos que nos permiten expresar una división inexacta

Los dígitos van del 0 al 9.

Símbolo Nombre Descripción Representación

matemática

Números

naturales

Son los números que utilizamos para

contar. Se denominan también enteros

positivos.

1, 2, 2, 4,…

Números

enteros

Se conforman de los números naturales, sus

negativos y el cero. …,-3, -2, -1, 0, 1, 2, .

Números

racionales

Se pueden representar como a/b, donde a y

b son enteros y b Las representaciones

decimales son periódicas

-3, 0, 1, 12, ¼, -2/7,

5.61, 0.33333,

1.424242

Números

irracionales

Se pueden representar como números

decimales no periódicos √ , √

,

1.414213….

Números

reales

Incluyen a los números racionales e

irracionales

61


Propiedades de campo de los números reales:

Para todo a, b, c, d R; a ≠ 0:

Operación binaria. Es aquella en la que tomamos dos elementos de un conjunto y, definida

una operación, se obtiene como resultado un solo elemento.

1. CERRADURA a + b R, a × b R

2. CONMUTATIVA a + b = b + a, a × b = b × a

3. ASOCIATIVA a + (b + c) = (a + b) + c, a × (b × c) = (a × b) × c

4. DISTRIBUTIVA a (b + c - d) = ab + ab - ad

5. IDENTIDAD a + 0 = , a × 1 = a

6. INVERSO a + (-a) = 0, a × (1/a) = 1 con a≠ 0

62


ACTIVIDAD 31

I. Resuelve las siguientes operaciones utilizando la recta numérica.

1.

2.

3.

4.

5.

II. Indica a que subconjunto de los números reales pertenece cada número.

1. -17/31 ______________________________________________________

2. 23 ______________________________________________________

3. 0 ______________________________________________________

4. 4.582 _______________________________________________________

5. -4.72 ________________________________________________________

63


ACTIVIDAD 32

Localiza los siguientes valores en la recta numérica.

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

64


ACTIVIDAD 33

I. Utiliza para comparar los siguientes números.

1.

2.

3.

4.

II. Ordena los siguientes números de menor a mayor.

5. 2.01, 2.1, 2.001

6.

7.

8.

9.

10.

65


1.2 Operaciones con números reales Números primos y compuestos

Números primos: Es un subconjunto de los números naturales. Son divisibles por si

mismos y por la unidad.

Números compuestos: Se les llama así a los números que no son primos.

Criterios de divisibilidad Ejemplo

2 Su última cifra es un número par o cero 24, 10, 86, 128, 4280, etc

3 La suma de los valores absolutos de sus cifras es un

múltiplo de 3

423, es divisible entre 3 ya

que 4+2+3 = 9 y 9 es un

múltiplo de 3

4 Sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de

4

200, 4200, 812, 936, 108, etc.

5 Su última cifra termina en cero o 5 35, 40, 115, 120, etc.

6 Cuando es divisible entre 2 y 3 3120, 282

7 Ver ejemplo:

Comprobar que 38409 es divisible entre 7

1. 38409 es divisible entre 7 si 3840-2(9) = 3822 lo es.



Como 21/7 = 3, entonces 38409 es divisible entre 7

8 Sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de

8

34000, 84632

9 La suma de los valores absolutos de sus cifras es

múltiplo de 9

918, 513

11 Al sustraer la suma de sus valores absolutos de las cifras

que ocupan un lugar par, de la suma de los valores

absolutos de las cifras que ocupan un lugar impar, en el

sentido de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11

1364, 25817

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor número que es

divisor de todos ellos, es decir, el mayor número que divide exactamente a cada uno de ellos.

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor número de

todos los múltiplos comunes a todos ellos.

Cuando el numerador de una fracción es menor que el denominador decimos que se

trata de una fracción propia.

La fracción impropia es en la que el numerador es mayor o igual que el denominador.

El número mixto se compone de un entero y una fracción.

Dos o más fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador.

Dos o más fracciones son heterogéneas si tienen diferentes denominadores.

Las fracciones

son diferentes de cero, son equivalentes, cuando

representan el mismo número y esto se cumple si y sólo si: .

66


ACTIVIDAD 34

Los números primos son aquellos números (mayores a 1) que son divisibles por uno y sí

mismos exclusivamente. El griego Eratóstenes, creó un método para encontrar estos números,

aunque este método sólo se aplica a un rango limitado de números:

a) Escribe los números del 1 al 100 en 10 renglones de 10.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 23 25 28 30

31 32 40

41 45 50

60

70

80

90

100

b) Tacha el número 1, porque todos los números primos son mayores a 1.

c) El número 2 es un primo, así que no lo tachamos, pero tachamos todos los múltiplos

de 2 (por ejemplo, los números pares).

d) El número 3 también es primo, así que no lo tachamos, pero tachamos los múltiplos de

3.

e) El siguiente número es el 5 (porque el 4 está tachado), así que no lo tachamos y

tachamos los múltiplos de este número.

f) El último número en el primer renglón es el 7, tachamos sus múltiplos.

g) Terminamos. ¿Todos los números que están tachados, son primos? ______________

h) Indica los factores primos de los siguientes números aplicando los criterios de

divisibilidad.

1) 12 2) 90 3) 147

67


ACTIVIDAD 35

Indica la divisibilidad de los siguientes números aplicando los criterios de divisibilidad.

1. 7680

2. 27016

3. Determina el valor absoluto de la cifra , para que el número sea divisible entre 9.

4. Determina el valor absoluto de la cifra , para que el número sea múltiplo de 11.

5. Determina el valor absoluto de la cifra , para que el número sea un múltiplo de 9.

6. Determina cuál de los siguientes números es un múltiplo de 11.

a. 83420 b. 13828 c. 25625 d. 53416 e. 9620

7. Determina la suma de los valores absolutos que puede tomar la cifra , para que el número

sea un múltiplo de 6.

8. Determina el valor absoluto del dígito , para que el número sea divisible entre 2 y

entre 5.

9. Determina el valor absoluto del dígito , para que el número sea múltiplo de 9.

10. Determina el valor menor que puede tomar el dígito , para que el número sea

múltiplo de 2.

68


ACTIVIDAD 36

Determina el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números

M.C.D. m.c.m M.C.D. m.c.m

1. 30, 45

6. 36, 48, 60

2. 14, 49

7. 14, 21, 28

3. 15, 75

8. 12, 18, 30

4. 110, 275

9. 6, 8, 9, 12

5. 240, 252

10. 60, 72, 80

69


ACTIVIDAD 37

M.C.D m.c.m M.C.D. m.c.m

11. 637, 105

12. 15, 75, 30

13. 165, 130

14. 49, 28, 84

15. 1000, 2400

16. 3, 18, 36

17. 180, 270, 360

18. 16, 24, 40

19. 90, 72, 54

20. 875, 2250, 4625

70


ACTIVIDAD 38

Simplifica las siguientes fracciones a su mínima expresión:

1.

7.

2.

8.

3.

9.

4.

10.

5.

11.

6.

12.

Escribe cada número mixto como una fracción impropia.

13.

15.

14.

16.

Escribe cada fracción impropia como un número mixto:

17.

19.

18.

20.

71


ACTIVIDAD 39

1. Se compra un auto en $40,000.00 y se quiere vender ganándole

de su precio de

compra. ¿Cuál debe ser su precio de venta?

2. César se tarda alrededor de

de hora en resolver un problema de matemáticas,

de

hora en cada ejercicio de español y

de hora en cada problema de física. Si su tarea

consta de 3 problemas de matemáticas, 5 ejercicios de español y 2 problemas de física,

¿cuánto tiempo en total tardará en resolver la tarea? (expresa el resultado como una

fracción de hora).

3. Juan, Luis y Gera se dividen 50 manzanas, Juan tiene

y Luis tiene

. ¿Cuántas

manzanas tiene Gera?

4. Hallar el número decimal que corresponde a la fracción:

5. Hallar la fracción que corresponde al número

6. Convertir en un número fraccionario.

7. Expresa como un número fraccionario.

8. Convierte 3.12252525… en un número fraccionario.

72


ACTIVIDAD 40

Efectúa las operaciones indicadas:

1.

11.

2.

12.

3.

13.

4.

14.

5.

15.

6.

16.

7.

17.

8.

18.

9.

19.

10.

20.

73


ACTIVIDAD 41

Efectúa las operaciones indicadas:

1.

6.

2.

7. (

)

3.

8.

(

)

4.

9.

(

)

5.

10.

74


ACTIVIDAD 42

Resuelve los siguientes problemas:

1. Javier ha vendido a lo largo de la mañana los 4/5 de un lote de periódicos. Por la tarde

vendió la mitad de los que quedaban.

a) ¿Qué fracción del total de periódicos representan los vendidos por la tarde?

b) Si se trajeron 1,000 periódicos, ¿cuántos se devolverán?

2. Adriana tiene en su local tres tipos de café: chiapaneco, colombiano y cubano. El peso

total es de 885 Kg. Si el peso del café chiapaneco es los 2/5 del total y el del

colombiano los 2/3de lo que queda:

a) ¿Cuántos Kg de café hay de cada clase?

b) Si de cada café tiene unas ventas aseguradas para una cafetería de 1/10, 2/7 y 3/13,

respectivamente, ¿cuánto le quedará para vender en su local de cada tipo?

3. Danae hizo una fiesta en su patio. En total invitó a 20 personas, de las cuales 3/5 eran

chicas.

a) ¿Cuántos chicos hay?

b) Si el 40% de las chicas querían dos refrescos cada una y el resto tres y de los

chicos los ¾ querían tres y el resto dos, ¿cuántos refrescos pidieron?

75


ACTIVIDAD 42

76


ACTIVIDAD 43

Jerarquía de operaciones

1.

2.

3. (

)

4. (

)

5. (

)

6.

7. (

)

8. √ √

9. [ ] [ ]

77

10. [ ]

11. [ ]

12.

13.

14.

(

)

15. [

]

78


ACTIVIDAD 44

Efectúa las operaciones que se te indican y escribe el resultado en notación científica.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15. .

79


3.3 Porcentajes, razones y proporciones.

Uno de los conceptos matemáticos que se usa con más frecuencia en la vida cotidiana es

la razón. El promedio de bateo de un pelotero, en realidad, es una razón. La pendiente o

inclinación del techo de una edificación se expresa como una razón. Las razones son una

manera de comparar dos números o cantidades.

Una razón es el cociente de dos cantidades. La razón del número al número b se escribe

como sigue:

a

Para representar una fracción en forma de porcentaje, se divide el numerador entre el

denominador y se multiplica el resultado por 100.

Una proporción es un enunciado que afirma que dos razones son iguales.

Extremos

Medios

80


ACTIVIDAD 45

Completa la siguiente tabla con las representaciones que se indican.

Fracción Como razón se lee: Decimal Porcentaje

La razón de 2 a 5

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

81


ACTIVIDAD 46

I. Relaciona las columnas según corresponda

II. Obtén lo que se te pide.

1. El 20% de 40

2. El 50% de 50

3. ¿Qué porcentaje es 8 de 80?


5. 20 es el 40% de…?

6. 10 es el 5% de…?


8. 1.2 es el 2% de…?

9. El 120% de 80

10. El 200% de 100

82


ACTIVIDAD 47

Resuelve los siguientes problemas.

1. En un grupo de 30 alumnos, 4 de ellos tienen suéter de color azul, 5 de ellos de color

verde, 6 de color rojo y el resto de color café.

a) ¿Cuál es la razón entre los alumnos que tienen suéter de color café y el total de

alumnos?

b) ¿Cuál es la razón entre los alumnos que tienen suéter, de color azul y de color

rojo?

c) ¿Cuál es la razón entre los alumnos que tienen suéter de color verde y los que

tienen suéter de color azul?

2. Dos grupos, a y b, tienen en total 105 alumnos. ¿Cuántos alumnos tienen cada grupo si

la razón del grupo a con respecto al grupo b es de

3. Joel presenta un examen de 80 reactivos. La razón entre el número de aciertos y el

número de errores es de

¿Cuántos aciertos y cuántos errores tuvo Joel en el

examen?

4. Saúl demora 20 días en pintar una casa. ¿Cuánto demorarán Saúl, Gerardo, Alberto e

Ian en pintar la misma casa, si todos tienen el mismo ritmo de trabajo?

5. Si 18 mecánicos arman 6 vehículos en 16 días, ¿cuántos días demorarán 24 mecánicos

en armar 12 vehículos en las mismas condiciones?

83


ACTIVIDAD 48

I. Resuelve las siguientes proporciones.

1.

2.

6.

3.

7.

4.

8.

II. Observa la figura

9. ¿Qué porcentaje del número total de las figura son círculos? ___________________

10. ¿Qué porcentaje del número total de las figuras no son estrellas? ________________

84


ACTIVIDAD 49 Nombre:_______________________ Matrícula:______________

Escoge la respuesta correcta

1. Si para construir un muro se necesitan 8

bultos de cemento de 50 Kg. Cada uno,

¿cuántos bultos de 75 kg. Se necesitarían para

construir un muro tres veces mayor?

(A) 10.0 (B) 7.5

(C) 16.0 (D) 18.0

(E) 12.0

6. Si en un autobús viajan 60 pasajeros en

donde una tercera parte son hombres, la

cuarta parte mujeres y el resto de los niños y

de las niñas en una proporción de 3:2

a) ¿Cuántos niños viajan en el autobús?

(A) 10 (B) 12 (C) 15

(D) 18 (E) 9

2. Una telefonista de telemarketing trabaja a

un ritmo de 4 minutos por llamada y otro a 2

llamadas por minuto. ¿Cuántas llamadas

realizan en cuatro horas?

(A) 540 (B) 480

(C) 1440 (D) 180

(E) 360

b) Si bajaron 20 en la primera parada, de los

cuales fueron el 40% hombres, 20% mujeres

y el resto fueron niños, ¿cuántos niños

quedaron en el autobús?

(A) 7 (B) 2 (C) 5

(D) 1 (E) 4

3. En un grupo de 60 alumnos en un examen

de selección 3/10 del grupo fue reprobado,

2/3 de los reprobados faltan al día siguiente,

mientras que el resto de todo el grupo asiste a

clases. El número de alumnos que asiste a

clases fue:

(A) 36 (B) 48

(C) 40 (D) 18

(E) 30

c) Si en la misma parada subieron el doble de

niños de los que bajaron y el resto eran niñas

para ocupar los asientos que se desocuparon,

¿cuántas niñas viajan ahora en el autobús?

(A) 10 (B) 8 (C) 12

(D) 20 (E) 16

4. Calcula el precio normal de una camisa

que tiene un descuento del 40% sobre su

valor, si al adquirir 15 de ellas se gastó

$3,150.00

(A) $415.00 (B) $355.00

(C) $400.00 (D) $135.00

(E) $350.00

7. Si Manuel contrata un albañil para levantar

las paredes de su casa, se tarda 15 días,

¿cuánto se tardarían 5 albañiles en levantar el

doble de paredes, suponiendo que trabajan al

mismo ritmo?

(A) 5 días (B) 10 días (C) 6 días

(D) 12 días (E) 3 días

5. Una torre de 25.05 m. da una sombra de

33.40 m, ¿cuál será la medida de la sombra

de una persona cuya estatura es de 1.80 m. a

la misma hora?

(A) 3.50 m. (B) 2.40 m.

(C) 4.20 m. (D) 5.20 m.

(E) 6.45 m.

8. Eduardo gana $209,700, después de recibir

un aumento. ¿Cuál fue el porcentaje de este

aumento, si su sueldo anterior era de

$181,550.

85


3.4 Secuencias numéricas

Una secuencia es una colección ordenada de objetos, de modo que uno de ellos se

identifica como el primero, otro como el segundo, etcétera.

Hay varias formas de definir una secuencia:

Mediante una regla que nos dice como formar un término a partir de los anteriores.

El primer o primeros términos pueden ser arbitrarios, dando origen a distintas

alternativas de la serie. A estos términos iniciales se les puede llamar semilla.

Mediante una regla que nos dice cómo formar un término a partir de su índice.

Mediante una regla que, dado un número, nos permite comprobar si pertenece o no

a la serie. Estas series se suelen escribir por orden creciente.

Algunas series se pueden decir que tienen “existencia previa”. Por ejemplo 1, 4, 1,

4, 2, 1, 3, 5, 6… es la secuencia de los dígitos de la raíz cuadrada de 2.

Secuencia aritmética. La diferencia entre términos sucesivos es constante.

Primer

Término

( ) diferencia

en común

Número

del

término

Secuencia geométrica. Cada término (después del primero) tiene una relación fija con

respecto al término anterior.

La secuencia de Fibonacci es una secuencia infinita de números que comienza por: 1, 1, 2, 3,

5, 8, 13,… en la que cada uno de ellos es la suma de los dos anteriores.

Término enésimo

86


ACTIVIDAD 50

Observa la siguiente frecuencia gráfica

1 2 3 4

Imagina que la secuencia delas figuras continúa. De acuerdo con este supuesto llena la

siguiente tabla:

Figura Perímetro de

la figura (u)

Área correspondiente a los

cuadros blancos

Área correspondiente a

los cuadros negros

Área de la

figura

1

2

3

4

5

6

7

.

.

.

100

.

.

.

n

87


ACTIVIDAD 51

Escoge la respuesta correcta

1. 0, 8, 2, 6, … los números que siguen son:

(A) 4, 10

(B) 8, 0

(C) 4, 4

(D) 10, 4

6. El número que sigue es:

21, 26, 22, 27, 23, ___

(A) 25

(B) 26

(C) 27

(D) 28

2. 1, 2, 6, …, 120, el número que falta es:

(A) 36

(B) 24

(C) 12

(D) 60

7. Los números que faltan son:

2 4 12

3 18

4 8

(A) 5 y 24

(B) 6 y 24

(C) 6 y 32

(D) 9 y 24

3. ¿Qué tipo de patrón numérico se observa

en la siguiente serie aritmética?

1, 4, 9, 16, 25,…

(A) Aumenta consecutivamente

(B) Disminuye radicalmente

(C) Aumenta exponencialmente

(D) Aumenta radicalmente

4. El número 657, qué lugar ocupa en la

siguiente secuencia:

012, 123, …, 890, 901, 012

(A) 3

(B) 5

(C) no está en la secuencia

(D) 10

8. ¿Qué número ocupa el lugar 27 en la

siguiente serie? 4, 8, 12, 16…

5. ¿Cuál número deberá escribirse en el

espacio en blanco?

212 = 424

2112 = 4224

21112 = 42224

= 422222224

(A) 422224

(B) 422222224

(C) 211111112

(D) 211114

9. En la siguiente secuencia numérica escribe

los términos que faltan.

1, 3, 5, 7, ____, ____,…, _______ .

centésimo

término.

88


ACTIVIDAD 52

Resuelve los siguientes problemas.

1. Determina la suma de los primeros 25 números naturales.

2. María recibe un salario inicial de $25,000.00 y se le promete un aumento de $1,200.00 al

término de cada uno de los siguientes 8 años. Determina su salario durante su octavo año

de trabajo.

3. La primera fila de un auditorio tiene 18 asientos. Cada fila sucesiva tiene 2 asientos más

que la fila previa.

¿Cuántos asientos hay en la fila décimo segunda?

¿Cuántos asientos hay en las primeras doce filas?

4. Samuel apila troncos de modo que hay 20 troncos en la parte inferior y cada fila hacia

arriba tiene un tronco menos que la fila previa.

¿Cuántos troncos hay en la pila?

5. Si Carlos ahorra $1.00 el día 1, $2.00 el día 2, $3.00 el día 3, y así sucesivamente.

¿Cuánto habrá ahorrado en total para el día 31?

6. Carmen se jubiló recientemente, así que visitó a su asesor financiero, con quien acordó

recibir $32,000.00 el primer año. Además establecieron que debido a la inflación, cada año

recibiría $400.00 más que lo que recibiera el año previo.

¿Cuál fue el ingreso que recibió en su décimo año de jubilación?

¿Cuánto dinero recibirá en total durante los primeros 10 años de jubilación?

89







Indicador Dominio

Observaciones

Campo de los números reales

1. Comprende el concepto de los números reales. 2. Define y comprende los subconjuntos que forman a

los números reales.

3. Define y representa los números reales en la recta

numérica.

4. Enuncia e identifica las propiedades del campo de

los números reales en expresiones dadas.

Operaciones con números reales

5. Define e identifica los números primos y

compuestos, criterios de divisibilidad y descompone

en factores primos un número compuesto.

6. Define y obtiene el mínimo común múltiplo y el

máximo común divisor de números enteros.

7. Conoce las propiedades de las fracciones y las

simplifica mediante la descomposición en factores

primos del numerador y denominador.

8. Conoce la jerarquía de operaciones y signos de

agrupación y efectúa operaciones con números enteros

y/o fraccionarios.

9. Efectúa operaciones que involucren notación

científica.

Porcentajes, razones y proporciones 10. Obtiene el porcentaje, razones y proporciones de

números.

11. Resuelve problemas de aplicación que involucre el

uso de razones, porcentajes y/o proporciones.

Secuencias numéricas 12. Define una secuencia numérica, identifica el

patrón de comportamiento tanto de secuencias

numéricas como secuencias figurativas.

TOTAL

90


4. Introducción al Álgebra

Expresiones algebraicas

Operaciones con expresiones algebraicas

http://www.google.com.mx/imgres?q=%C3%A1lgebra&um=1&hl=es&rlz=1W1ADRA_esMX490&biw=1280&bih=644&tbm=isch&tbnid=qx7I7oulAEbpEM:&imgrefurl=http://blogdematesdelucia.blogspot.com/2010/05/refuerza-tu-algebra.html&docid=cWoBoFa5LEMLMM&imgurl=http://4.bp.blogspot.com/_YS-pLgARaXM/S-0EpNDYM5I/AAAAAAAAAAM/ddQq2dC-vks/s1600/algebra.gif&w=711&h=424&ei=UsP1T-PpCebc2AX66uyBDw&zoom=1&iact=hc&vpx=794&vpy=159&dur=364&hovh=173&hovw=291&tx=131&ty=119&sig=104628471445522972460&page=1&tbnh=114&tbnw=192&start=0&ndsp=17&ved=1t:429,r:3,s:0,i:75

91



http://www.google.com.mx/imgres?q=algebra&sa=X&biw=1280&bih=682&tbm=isch&tbnid=g_iJUzVBGcAnKM:&imgrefurl=http://www.kidshonduras.com/por-que-se-utiliza-la-x-en-algebra/&docid=CKdXpd9hy2pKCM&imgurl=http://www.kidshonduras.com/wp-content/uploads/2013/05/algebra2.jpg&w=425&h=282&ei=xkD9UfW1C4SE9gS4v4DACg&zoom=1&ved=1t:3588,r:36,s:0,i:201&iact=rc&page=3&tbnh=175&tbnw=262&start=30&ndsp=22&tx=173&ty=90

92


Algebra

Es la rama de las matemáticas que estudia estructuras, relaciones y cantidades. Junto a

la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números

El álgebra es una de las principales ramas de las matemáticas

En álgebra para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de

letras, las cuales pueden representar todos los valores.

4.1. Expresiones algebraicas

Cualquier expresión que indique una o varias de las operaciones algebraicas (suma,

resta, multiplicación o división, potenciación, radicación) se llama expresión algebraica.

Un término algebraico es una expresión compuesta por números concretos y letras

que también representan números relacionados entre sí mediante las operaciones de

multiplicación, división, potenciación y radicación.

Los elementos de un término son:

El signo

El coeficiente numérico

La parte literal

El grado de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales.

93


ACTIVIDAD 53

Escribe sobre la línea la palabra del concepto correspondiente a la definición dada.

1. Descomposición de un término algebraico que se realiza considerando los

exponentes de las literales ___________________

2. Puede ser positivo o negativo, indica la separación de los términos entre sí.

_________

3. Términos que tienen exactamente iguales las literales y sus exponentes

____________

4. Elemento de un término algebraico que nos indica cuántas veces se repite como

sumando la parte literal, es un factor numérico. _______________________

5. Se forma con sólo dos términos algebraicos __________________________

6. Parte variable de un término algebraico __________________________

7. Rama de las matemáticas, estudia las cantidades de modo abstracto, es una

aritmética generalizada. ________________

8. Descomposición de un término algebraico que se hace en base al coeficiente

_______

9. Elemento de un término algebraico, indica cuántas veces se repite la literal como

factor ____________________

10. Polinomio que consta de tres términos algebraicos

__________________________

94


ACTIVIDAD 54

1. Para cada uno de los siguientes términos señalar su coeficiente numérico, su parte literal y su

grado

Término Coeficiente

numérico

Parte literal Grado

a.

b.

c.

d.

e.

2. Escribe una expresión algebraica que represente cada uno de los siguientes enunciados.

f. El doble de un número

g. El doble de un número aumentado en 7

h. La diferencia de dos números

i. La diferencia de dos cuadrados

j. La mitad del cuadrado de un número

k. La cuarta parte del cubo de un número

l. El cociente de dos números

m. El triple de un número aumentado en 12

n. El doble del cuadrado de un número disminuido en 5

o. El producto del cuadrado de un número por la suma de otros dos

p. Cinco veces el cubo de un número aumentado en 4

q. La raíz cúbica de un número

r. La raíz cuadrada del producto de tres números

s. El doble de la diferencia de dos números

t. Cuatro veces la diferencia de dos cuadrados

u. Tres veces la diferencia de dos cubos

3. Escribe la frase que corresponda a cada expresión algebraica.

v.

w.

x. √

y. √

95


ACTIVIDAD 55

1. Escribe una fórmula para calcular el área de la región sombreada de cada figura.

a) b)

r

A= _______________ A = __________________

2. Escribe una fórmula para calcular el perímetro de las figuras que se describen.

c) De un rectángulo cuyo largo es el doble de su ancho. ______________________________

d) De un hexágono regular. ______________________

e) De un trapecio isósceles cuya base mayor es el doble de su base menor y cuya altura es la

tercera parte de la suma de sus bases. ____________________________

f) De un triángulo isósceles cuya base es la quinta parte de uno de sus lados

iguales.___________________

g) De un triángulo rectángulo en el que uno de sus catetos es la sexta parte del otro cateto.

____________________

3. Determina una fórmula para calcular el volumen de lo siguiente.

h) Un prisma cuadrangular cuya altura es igual al perímetro de su base cuadrada.

__________________________

i) Un cilindro cuya altura es igual al radio de la base. _____________________________

j) Un cono cuyo perímetro de la base es igual a la mitad de su altura. __________________

96


4.2 Operaciones con expresiones algebraicas

Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal.

Al reducir términos semejantes se pueden presentar los tres casos siguientes:

1° Términos semejantes con el mismo signo.

2° Términos semejantes con distinto signo.

3° Tres o más términos semejantes que no tienen todos los mismos signos.

Un polinomio es cualquier expresión algebraica constituida por un conjunto finito de

términos, en cada uno delos cuales aparecen números y letras relacionadas solamente

mediante productos y potencias de exponentes que son números naturales.

LEYES DE LOS

EXPONENTES

LEYES DE LOS

RADICALES

LEYES DE LOS

SIGNOS

(

)

(√

)

( )

√

√ √

√

√

√ √

√

√√

√

97


ACTIVIDAD 56

Reducción de términos semejantes.

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

___________________________

98


Reducción de términos semejantes

Suma y resta de expresiones algebraicas

+

- =

Suma de expresiones algebraicas

w w w 1 1 1 1

1

6

99


ACTIVIDAD 57

Suma y resta de expresiones algebraicas.

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

Completa las siguientes operaciones.

12.

13.

14.

635

15. 4b

3b b 7

b 3 1/2b

2b

________________________________________________________________

100


ACTIVIDAD 58

Elimina los símbolos de cada agrupación y reduce términos semejantes en cada uno de los

siguientes ejercicios:

1. [ ]

[ ]

2. [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

9. [ ]

10. [ ]

101


ACTIVIDAD 59

I. Relaciona las siguientes columnas.

√ √ √

√

(√ )

√ √ √

√

II. Coloca las expresiones en los círculos de la figura, de

modo que la suma de los cuatro monomios de cada lado del triángulo sea

102


ACTIVIDAD 60

Leyes de los exponentes

Resuelve los siguientes ejercicios

1.

2.

(

)

3.

(

)

4.

(

)

5.

(

)

6.

(

)

7.

8.

(

)

9.

10.

103


ACTIVIDAD 61

Multiplicación de expresiones algebraicas

I. Completa las siguientes tablas

Multiplicación de

potencias Resultado

Cuadrado de un

monomio Resultado

9

[ ]

II. Escribe en los círculos las expresiones que faltan.

III. Efectúa los siguientes productos.

(

)

104


ACTIVIDAD 62

I. Efectúa las siguientes multiplicaciones utilizando la forma vertical.

1.

2.

3.

II. Completa la siguiente tabla.

Multiplicación de un monomio por la suma

o resta de monomios Resultado

√

[ ]

III. Escribe en los rectángulos las expresiones que faltan.

105


ACTIVIDAD 63

11.

12.

13.

14.

15.

106


ACTIVIDAD 64

División de expresiones algebraicas

I. Completa la siguiente tabla

División de expresiones algebraicas Resultado

√

√

II. Realiza las siguientes divisiones.

4.

107


ACTIVIDAD 65

Realiza las siguientes divisiones.

1.

2.

3.

108


ACTIVIDAD 66

Realiza las siguientes divisiones

109


ACTIVIDAD 67

Realiza las siguientes divisiones utilizando división sintética

1.

4.

5.

110







Indicador Dominio

Observaciones

Expresiones algebraicas

1. Identifica el álgebra como una aritmética

generalizada, utiliza correctamente la

terminología de término, variable y constante.

2. Clasifica una expresión algebraica. 3. Traduce proposiciones verbales a

expresiones algebraicas, describiendo

situaciones planteadas en problemas de

diversas temáticas.

Operaciones con expresiones algebraicas 4. Resuelve sumas y restas de términos

algebraicos dados.

5. Identifica y utiliza las leyes delos

exponentes en la simplificación de expresiones

algebraicas.

6. Efectúa operaciones de multiplicación con

expresiones algebraicas.

7. Efectúa operaciones de división con

expresiones algebraicas.

8. Resuelve divisiones algebraicas utilizando la

división sintética.

TOTAL

111


Radicales


112


ACTIVIDAD 68

I. Expresa los radicales en exponentes fraccionarios.

√ 2. √

√

√

II. Dados los exponentes fraccionarios pasarlos a radicales.

⁄ 6.

⁄

7.

⁄

⁄

III. Simplifica a su mínima expresión.

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

113


ACTIVIDAD 69

I. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica.

1. √ √

2. √ √ √

3. √ √ √

4. √ √ √

5. √ √ √

√

114


ACTIVIDAD 70

I. Realiza las siguientes operaciones y simplifica

1. √ √

√ √

√ √

√

( √

)

√ (√ √ )

6. (√ √ )(√ √ )

7. √

√

8. √

√

9. √

10. √

√

115


ACTIVIDAD 71

I. Racionaliza las siguientes expresiones radicales.

√

2. √

3. √

√

4. √

5.

√

116







Indicador Dominio

Observaciones

Radicales

1. Escribe expresiones algebraicas con exponentes

fraccionarios a la forma radical y viceversa.

2. Conoce y aplica las leyes de los radicales. 3. Conoce y aplica las propiedades de los

exponentes fraccionarios.

4. Simplifica correctamente expresiones radicales

dadas, aplicando las propiedades de los radicales.

5. Efectúa operaciones entre expresiones radicales

dadas (suma, resta, multiplicación y división) del

mismo índice.

6. Racionaliza expresiones radicales con

denominador.

TOTAL

117


118


BIBLIOGRAFIA

Allen, A. Álgebra intermedia. 6ª. Edición. Pearson Educación. México. 2004

Chávez, A., Sierra, F., Sánchez, E., Cruz, R. Práctica Matemática I. Segunda Edición. Grupo

Editorial Iberoamericana. México, 2007

Ibañez, P., García, G. Matemáticas I Aritmética y álgebra. Primer semestre. Cengage

Learning Editores, S.A. de C.V. México 2009.

Miller, Ch., Heeren, V. y Hornsby, J. Matemática: razonamiento y aplicaciones. 10ª. Edición.

Pearson. México 2006.

Silva, J. y Lazo, A. Fundamentos de matemáticas. 7ª. Edición. Limusa. México 2006.

matemáticas 1 - portafolio de...

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